202เอกสารประกอบการสอนตรรกศาสตร์ ม.4

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 31101

2 ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้นเรือ่ งตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

2.1 ประพจน์

ประพจน์ (statement) คือ ประโยคหรอื ข้อความทีเ่ ป็นจรงิ หรอื เท็จอย่างใดอย่างหนง่ึ เท่านั้น
ซึง่ ประโยคหรอื ข้อความดงั กล่าวจะอยู่ในรูปบอกเล่าหรอื ปฏิเสธก็ได้

แบบฝึกทักษะท่ี 2.1 ประพจน์

1. จงพิจารณาประโยคหรอื ข้อความตอ่ ไปนวี้ ่าเป็นประพจน์หรอื ไม่ ถ้าเปน็ ประพจน์ จงหาค่าความจริง

ของประพจน์นนั้

1) ประเทศไทยอยู่ในทวีปเมรกิ า 17) 4 เปน็ 15 เท่าของ 2

2) สวัสดีปีใหม่ 18) นกน้อยทารงั แต่พอตัว

3) 0 เปน็ ทั้งจานวนคู่และจานวนคี่ 19) ชาวนากับงเู หา่

4) ฟ้าใสใจสว่าง 20) อย่าเห็นแก่ตัว

5) ในปี พ.ศ.2547 เกิด“สึนามิ”ทีจ่ งั หวัดภูเกต็ 21) ฝนตกหรือเปล่า

6)  5 เป็นจานวนอตรรกยะ 22) จงั หวัดเชยี งใหมไ่ ม่อยู่ในภาคใต้ของ

7) หมากับแมว ประเทศไทย

8) มีจานวนจรงิ x บางตัว ซึง่ x < 8 23) วาฬเปน็ สัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้านม

9) รกั ดีหามจว่ั รกั ช่ัวหามเสา 24) วันที่ 30 กุมภาพันธ์ 2530 เป็นวันจนั ทร์

10) โปรดแก้ที่ผดิ ใหด้ ้วย 25) ช่วยด้วย

11) 2 เปน็ จานวนตรรกยะ 26)   22
12) คณิตศาสตรง์ ่ายกว่าภาษาองั กฤษ
13)  เปน็ จานวนจริง 7
14) ไก่งามเพราะขน คนงามเพราะแต่ง
15) อย่าตามมานะ 27) หา้ มเดินลดั สนาม
16) โอ้พระผู้เป็นเจ้า
28) อยากไปเทีย่ วเหลือเกิน

29) 35%  0.35
30) ดาวพธุ เป็นดาวเคราะห์

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 31101 เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

2.2 การเชือ่ มประพจน์

1) นิเสธของประพจน์ “ ”
นิเสธ คือ การทีเ่ ราจะเอาค่าความจรงิ ที่อยู่ตรงขา้ มกับค่าความจรงิ ของประพจนน์ ั้น

ตารางค่าความจรงิ ของ 'นิเสธ' คือ
p ∼p

9F

FT

2) การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม “และ” เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ “  ”
และ เปน็ ตวั เชอ่ื มประพจน์ทีบ่ อกว่าประพจน์จะมีค่าความจริงเปน็ จริงเม่อื ประพจน์ย่อยท้ังสอง

ประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ตารางค่าความจรงิ ของ 'และ' คือ
p q p∼q
TT T

TF F

FT F

FF F

3) การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตัวเช่ือม “หรอื ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “  ”
หรอื เปน็ ตัวเช่อื มประพจน์ที่บอกว่า ถ้ามีประพจนย์ ่อยใดประพจน์นึงมีคา่ ความจริงเปน็ จริง

จะได้วา่ ประพจน์นั้นมคี ่าความจริงเป็นจริง ตารางค่าความจริงของ 'หรอื ' คือ

p q p∼q

TT T

TF T

FT T

FF F

ครูกฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 31101
เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

4) การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม “ถ้า...แล้ว...” เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ “  ”
ถา้ แล้ว เป็นตวั เชื่อมทีป่ ระพจน์ที่อยู่หน้าเครื่องหมายถ้าแล้ว จะเปน็ เหตุ และ ประพจน์ที่อยู่หลงั

เครื่องหมายถ้าแล้วจะเปน็ ผล เหตุ→ผล ตารางค่าความจริงของ 'ถ้าแล้ว' คือ
p q p∼q

TT T

TF F

FT T

FF T

5) การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตัวเช่ือม “ก็ต่อเมื่อ” เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ “  ”
ก็ต่อเมื่อ เปน็ ตัวเช่อื มที่จะใหค้ ่าความจริงเปน็ เมอ่ื ท้ังสองประพจน์ทีเ่ ชื่อมมีค่าความจรงิ

เหมอื นกนั ตารางค่าความจริงของ 'ก็ต่อเมอ่ื ' คือ

p q p∼q
TT T
TF F
FT F
FF T

แบบฝึกทักษะท่ี 2.2 การเชื่อมประพจน์

1. จงเขียนประโยคต่อไปนีใ้ ห้อยู่ในรปู สัญลกั ษณ์ โดยให้ p แทนประพจน์แรก และ q แทนประ

ประพจน์หลัง

1) 6 เป็นจานวนคู่ และ 3 เปน็ จานวนคี่ 7) วิชยั กินขา้ วหรอื ขนม

2) 2 เท่ากับ 4 หรอื 5 เท่ากับ 0 8) ถ้า ABCD เปน็ รูปสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั แลว้ จะต้องมีมุม

3) ถ้าปลาบินได้แลว้ นกจะเปน็ สตั ว์นา้ ท้ังสีเ่ ป็นมุมฉาก

4) สมพงษ์กันสนุ ีย์ไปดฟู ุตบอล 9) 2 หาร a ลงตวั กต็ ่อเมื่อ 2 เป็นตัวประกอบของ a

5) x  0ก็ต่อเมือ่ x เป็นจานวนเต็มลบ 10) อ้อมกับอ๋อยไปดภู าพยนตร์

6) ถ้า 7 เป็นจานวนคู่ แล้ว 9 เปน็ จานวนคี่

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 31101

เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

2. จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้

1) 3 นอ้ ยกว่า 10 6) 5  7  10
2) จงั หวดั กระบีอ่ ยู่ทางภาคใต้ 7) ช้างใหญ่กว่าหมู

3) ดวงอาทิตย์ข้ึนทางทิศตะวนั ออก 8) 1 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ

4) 4 หาร 30 ได้ลงตวั 9) นาย ก สงู กว่านาย ข

5) 12  7 10) ห.ร.ม. ของ 8 กับ 10 เท่ากับ 2

3. จงเขียนสญั ลกั ษณ์ T หน้าประพจน์ที่เป็นจริง และเขียนสญั ลักษณ์ F หน้าประพจน์ที่เป็นเทจ็

1) 1+1 = 2 และ 1+3 = 5

2) 4 และ 6 เปน็ สมาชิกของ {2, 4}

3) 3-5 = 2 หรอื 3-5 = -2

4) ถ้า 7+8 = 9 แล้ว 9+2 = 4

5) อยุธยาเป็นเมืองหลวงของไทยในปัจจุบันหรือกรุงเทพฯ อยู่ทางภาคใต้

6) ถ้า 1 ปี มี 13 เดอื น แล้ว 1 สัปดาห์มี 7 วัน

7)  เปน็ จานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ
8) 0 เป็นจานวนคู่ หรอื 0 เปน็ จานวนคี่

9) ถ้าไก่ออกลุกเปน็ ตวั แล้วววั ออกลูกเปน็ ไข่

10) แมวเป็นสตั ว์นา้ แต่ปลาเปน็ สัตว์ปีก

11) ถ้า 1+1 = 2 และ 5-4 = 9 แล้ว 0 = 2

12) 1+4 = 9 ก็ต่อเม่อื 4  3
13) ถ้า 3 ไม่ใชส่ มาชิตของเซตของจานวนคี่ แล้ว 3 ไม่ใช่จานวนคี่

14) อเมริกาเป็นเมือ่ งขึ้นของลาวกต็ ่อเม่อื ประเทศไทยเปน็ มหาอานาจ

4. กาหนดให้ A, B, C เปน็ จริง และ x, y เปน็ เทจ็

1) ~ x  y 6) ~ A ~ x
2) x yx~ A
3) A  B  C 7) ~ A x ~ A B
4) x y ~ AC 8) ~ A B~ x  C
5) A  x y 9) xC yA B  y
5. จงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 10) A  B C

1) p q r เปน็ เทจ็ 6) p q r  s เป็นเท็จ
2) p q  r เป็นเทจ็ 7) r t ~ s  tเป็นจรงิ
3) r  qq  s เป็นเท็จ 8) p ~ q r  sเป็นเทจ็
4) qq  r r  s เปน็ เทจ็ 9) p q rp  sเป็นเทจ็
5) p q p เป็นเทจ็ 10) p s p  qเปน็ เทจ็

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

2.3 การสร้างตารางค่าความจริง

กาหนด p , q , r เปน็ ประพจนย์ ่อยทีย่ ังไม่กาหนดค่าความจริง และเรียกประพจนท์ ี่มตี ัวเชอ่ื ม
ว่า รูปแบบของประพจน์ เช่น ~ p, p  q, p  q เป็นต้น

ในการพิจารณาค่าความจริงรปู แบบของประพจน์ จึงต้องพิจารณาค่าความจริงทุกกรณี
จานวนกรณีที่พิจารณา 2n กรณี

เมื่อ n คือ จานวนประพจน์
เชน่ 1. p  q p มี 2 ประพจน์ คือ p และ q

ดังนนั้ ต้องพิจารณา 22 = 4 กรณี
2. p  q  r มี 3 ประพจน์ คือ p , q และ r

ดงั นน้ั ต้องพิจารณา 23 = 8 กรณี

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.3 การสร้างตารางค่าความจริง 6) p  q  r
1. จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี้ 7) ~ q  p r
8) p  q q  rp  r
1) p  p  q 9) q ~ r  q  p r
2) ~ q  ~ p ~ q 10) p  q  q  r
3) p  q p q
4) p  q  q  p
5) p  q  ~ p  q

2.4 ประพจนท์ ่สี มมูล

ประพจน์ p และ q จะสมมูลกนั เมอ่ื ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจรงิ เหมอื นกนั ทกุ กรณีของค่า

ความจริงของประพจน์ย่อย เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ p  q ประพจน์ท้ังสองน้ีสามารถใช้แทนกันได้

เนือ่ งจากมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี

การตรวจสอบว่าประพจนส์ องประพจน์ใดๆ สมมลู กันหรอื ไม่ ทาได้ 2 วิธี คือ

1. โดยใช้ตารางค่าความจริง

2. ตรวจสอบจากรูปแบบของประพจน์ทีส่ มมูลกนั

แบบฝึกทักษะท่ี 2.4 ประพจน์ท่สี มมูลกนั

1. จงตรวจสอบว่าประพจนใ์ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนสี้ มมลู กนั หรอื ไม่ โดยใช้ตารางค่าความจรงิ

1) p  q กับ q ~ p 4) p q  r กบั p  q p  r

2) p  ~ p  q กบั p  q 5) p  q  r กับ p  q r

3) ~ p  q  p กบั p ~ q

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 31101

เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม