เนื้อหาอนุกรมเรขาคณิต

1

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

คำช้ีแจง ให้นักเรียนเลอื กคำตอบท่ีถูกตอ้ งทีส่ ดุ เพียงขอ้ เดยี ว

1. ข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ก. 16 + 8 + 4 + … + 1

64

ข. 3 + 6 + 12 + 24 + …

ค. 1 + 1 + 1 + 1 + …

3 9 27

ง. 12 + 6 + 0 + (–6) + … + (–24)
2. ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 1 + 2 + 4 + 8 + … ตรงกบั ข้อใด

ก. 255
ข. 340
ค. 525
ง. 880
3. ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ 1 + (–2) + 4 + (–8) + … + 256 ตรงกบั ข้อใด
ก. –171
ข. –85
ค. 171
ง. 85
4. ถา้ อนกุ รมเรขาคณิตอนกุ รมหน่งึ มพี จนแ์ รกเทา่ กับ 6 และอัตราส่วนรว่ มเท่ากบั –2
แล้วผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ น้ีตรงกับข้อใด
ก. 258
ข. 285
ค. 458
ง. 485

2

5. อนกุ รมเรขาคณติ อนุกรมหนึง่ มีพจน์แรกเท่ากบั 5 และอตั ราส่วนรว่ มเท่ากบั 3

ถา้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมน้ี เทา่ กับ 605 แล้วอนกุ รมนมี้ ีกี่พจน์

ก. 3

ข. 4

ค. 5

ง. 6

6. ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ 16 + 8 + 4 + … ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 16(1− 2n )
ข. 32(1− 2n )

ค. 161 − 1 
 2n 

ง. 321 − 1 
 2n 

7. พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ ท่มี ผี ลบวก 6 พจนแ์ รกเทา่ กบั 441 และมอี ัตราส่วนรว่ ม

เท่ากับ 2 ตรงกบั ข้อใด

ก. 8

ข. 7

ค. 6

ง. 5

8. อนุกรมเรขาคณติ อนุกรมหนง่ึ มีพจนแ์ รกเทา่ กับ 4 และผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 3 แล้วผลบวก

5 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี ตรงกับข้อใด

ก. 348

ข. 458

ค. 484

ง. 568

3

9. ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต 2 + 6 + 18 + … + 162 ตรงกับขอ้ ใด
ก. 142
ข. 242
ค. 324
ง. 444

10. จนั ทรฉ์ ายออมเงนิ เพ่ือซ้อื อุปกรณ์ออกกาลังกาย โดยเดือนแรกออม 1,000 บาท
เดือนทสี่ อง 1,300 บาท เดือนท่สี าม 1,600 บาท เช่นนี้เรื่อยไป จนครบ 1 ปี
จันทร์ฉายจะมีเงินออมทงั้ หมดเทา่ ใด

ก. 4,300 บาท
ข. 35,000 บาท
ค. 31,800 บาท
ง. 13,800 บาท

4

กระดำษคำตอบแบบทดสอบกอ่ นเรยี น
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศำสตร์ เร่อื ง ลำดับและอนกุ รม

ชน้ั มธั ยมศกึ ษำปที ี่ 5 เลม่ ที่ 5 อนกุ รมเรขำคณิต
ชื่อ..................................................................ชนั้ .................เลขท่ี.................

คำชี้แจง
จงเลอื กคำตอบท่ีถูกทส่ี ดุ เพียงขอ้ ละคำตอบเดียว แลว้ ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมำย X ลงใน

ช่องคำตอบท่ีเลือกให้ถกู ต้อง

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

ได.้ ........................คะแนน

5

ใบความรูท้ ี่ 15
ความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต

บทนิยาม อนกุ รมเรขำคณติ คอื อนกุ รมท่ีไดจ้ ำกลำดับเรขำคณิต และอัตรำสว่ นรว่ ม
ของลำดบั เรขำคณิตจะเป็นอตั รำสว่ นรว่ มของอนุกรมเรขำคณิตดว้ ย

กำหนด a1 , a1r , a1r2 , … , a1rn−1 เป็นลำดบั เรขำคณติ

จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1rn−1 เปน็ อนุกรมเรขำคณิต

ซงึ่ มี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอัตรำส่วนรว่ มของอนุกรมเรขำคณิต

จำกบทนยิ ำม จะไดว้ ำ่ ถ้ำ a1, a2 , a3 , …, an เปน็ ลำดบั เรขำคณติ ที่มี n พจน์ จะเรยี ก

กำรเขียนแสดงผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลำดบั ในรูป a1+ a2 + a3 + … + an วำ่ อนกุ รม

เรขำคณิต และอตั รำสว่ นร่วมของลำดบั เรขำคณติ จะเป็นอัตรำส่วนร่วมของอนกุ รมเรขำคณติ ดว้ ย

ตัวอยา่ งของอนกุ รมเรขาคณิต เป็นอนกุ รมเรขำคณิต
1. 3 + 6 + 12 + 24 + …

เพรำะ 3, 6, 12, 24, … เป็นลำดับเรขำคณติ

และมีอตั รำส่วนร่วมเทำ่ กับ 2

2. 32 + 16 +8 + 4 เป็นอนกุ รมเรขำคณิต
เพรำะ 32, 16, 8, 4 เป็นลำดับเรขำคณิต

และมีอตั รำส่วนรว่ มเท่ำกบั 1 เป็นอนุกรมเรขำคณิต

2

3. 2 + 6 +18 + 54 + …

เพรำะ 2, 6, 18, 54, … เปน็ ลำดับเรขำคณติ

และมีอัตรำส่วนรว่ มเทำ่ กบั 3

4. 1 + 1 + 1 + 1 + … เป็นอนกุ รมเรขำคณิต
เป็นลำดับเรขำคณิต
2 6 18 54

เพรำะ 1 , 1 , 1 , 1 , …

2 6 18 54

และมีอตั รำส่วนร่วมเทำ่ กับ 1

3

6

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ที่ 15

1. ใหน้ ักเรยี นเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละขอ้ ต่อไปน้ใี ห้ถกู ต้องสมบรู ณ์

ท่ี ลาดบั เรขาคณติ อัตราส่วนรว่ ม อนกุ รมเรขาคณติ

1 3 , –6 , 12 , –24 , …

2 9,3,1, 1,…

3

3 7 , –7 , 7 , –7 , …

4 –5 , 10 , –20 , 40 , …

5 1 , 1, 1, 1 ,…

2 4 8 16

6 –5 , 25 , –125 , 625

7 –1 , 3 , –9 , … , –729

8 1 , –2 , 4 , … , 512

9 54 , –18 , 6 , –2 , …

10 4 , –16 , 64 , –256 , …

2. จงเขยี นอนกุ รมเรขาคณติ 4 พจน์ 3. จงเขียนอนุกรมเรขาคณติ 4 พจน์
2 เมือ่ กาหนด a1 = 10 , r = 2 3 เมอื่ กาหนด a1 = 5 , r = 3

จำก =a n a1rn−1 จำก ………………………………….
จะได้ a1 = .………….. = …….. จะได้ a1 = .………….. = ……..

a2 = .………….. = …….. a2 = .………….. = ……..
a1 = .………….. = …….. a3 = .………….. = ……..
a2 = .………….. = …….. a4 = .………….. = ……..
ดังน้ัน อนุกรมเรขำคณิต ดงั นั้น อนกุ รมเรขำคณติ
คอื .………………….…….. คือ .………………….……..

7

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ท่ี 15

1. ใหน้ กั เรยี นเติมคาตอบลงในชอ่ งว่างแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ใี ห้ถกู ต้องสมบูรณ์

ที่ ลาดบั เรขาคณติ อตั ราสว่ นร่วม อนุกรมเรขาคณิต

1 3 , –6 , 12 , –24 , … –2 3 + (–6) + 12 + (–24) + …

2 9,3,1, 1,… 1 9+3+1+ 1+…

3 33

3 7 , –7 , 7 , –7 , … –1 7 + (–7) + 7 + (–7) + …

4 –5 , 10 , –20 , 40 , … –2 (–5) + 10 + (–20) + 40 + …

5 1 , 1, 1, 1 ,… 1 1 + 1 + 1 + 1 +…

2 4 8 16 2 2 4 8 16

6 –5 , 25 , –125 , 625 –5 (–5) + 25 + (–125) + 625

7 –1 , 3 , –9 , … , –729 –3 (–1) + 3 + (–9) + … + (–729)

8 1 , –2 , 4 , … , 512 –2 1 + (–2) + 4 + … + 512

9 54 , –18 , 6 , –2 , … − 1 54 + (–18) + 6 + (–2) + …
10 4 , –16 , 64 , –256 , …
3

–3 4 + (–16) + 64 + (–256) + …

2. จงเขยี นอนกุ รมเรขาคณติ 4 พจน์ 3. จงเขยี นอนุกรมเรขาคณิต 4 พจน์
2 เมอ่ื กาหนด a1 = 10 , r = 28 3 เมือ่ กาหนด a1 = 5 , r = 3

จำก =a n a1rn−1 จำก =a n a1rn−1
จะได้ a1 = 10(2)1−1 = 10 จะได้ a1 = 5(3)1−1 = 5

a 2 = 10(2)2−1 = 20 a 2 = 5(3)2−1 = 15
a3 = 10(2)3−1 = 40 a3 = 5(3)3−1 = 45
a 2 = 10(2)4−1 = 80 a 4 = 5(3)4−1 = 135
ดงั นน้ั อนุกรมเรขำคณติ ดังนัน้ อนุกรมเรขำคณติ
คือ 10 + 20 + 40 + 80 คอื 5 + 15 + 45 + 135

8

ใบความรทู้ ่ี 16

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ

อนุกรมท่ีได้จากลาดบั เรขาคณติ เรยี กวา่ อนุกรมเรขาคณิต และอัตราสว่ นร่วมของลาดบั

เรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

พิจารณาลาดบั 1 , 3 , 9 , 27 , … , 6561 ซึ่งเป็นลาดบั เรขาคณิตท่มี ี 3 เป็นอตั ราส่วนร่วม

การหาผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องลาดับเรขาคณติ ขา้ งต้นทาได้ดังน้ี

ให้ S = 1 + 3 + 9 + 27 + … + 6,561 (1)

3S = 3 + 9 + 27 + … + 6,561 + 19,683 (2)

จะได้ 2S = 19,683 – 1

= 19,682

S = 9,841

ในกรณีทั่วไปเราสามารถหาผลบวกของพจน์ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + … + a1rn−1 ได้ดังน้ี
ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี a1 เป็นพจน์แรก

และมี r เป็นอัตราส่วนรว่ ม จะได้

Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + … + a1rn−1 (3)
= a1r + a1r2 + a1r3 + … + +a1rn−1 a1rn (4)
rSn = –a1rn a1
= –a1rn a1
(4) – (3) ; rSn – Sn
Sn (r – 1)

Sn = a1rn − a1
r −1
( )a1 rn −1
Sn = เมือ่ r  1 , r  1
r −1
( )a1 1− rn
Sn = เมอื่ r  1 , r  1
1− r

อาจเขยี นผลบวกของ n พจน์แรกได้อกี แบบหนึง่ ดงั นี้

จาก Sn = ( )a1 1− rn

1− r

9

แต่ Sn = a1 − a1rn−1r
ดงั นนั้ an = 1− r
Sn =
หรอื a1r n −1
Sn =
a1 − anr เมอื่ r  1 , r  1

1− r

anr − a1 เม่ือ r  1 , r  1

r −1

สูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต

Sn = ( )a1 1− rn เมื่อ r  1 , r  1
Sn = เมือ่ r  1 , r  1
1− r

( )a1 rn −1

r −1

Sn = a1 − anr เมอ่ื r  1 , r  1
1− r

Sn = anr − a1 เมื่อ r  1 , r  1
r −1

เม่ือ a1 คอื พจน์แรก , r คือ อตั ราส่วนร่วม

Sn คือ ผลบวก n พจน์แรก , an คือ พจนท์ ี่ n

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงหำผลบวก 10 พจน์แรก ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลบวกของอนุกรม

ของอนกุ รมเรขำคณิต เมื่อกำหนดพจน์ เรขาคณิต 2 + 8 + 32 + … + 8192

แรกเปน็ 3 และอตั รำสว่ นร่วมเปน็ 2 แนวคิด a1 = 2 , r = 4 , an = 8192

แนวคิด a1 = 3 , r = 2 , n = 10 จาก Sn = anr − a1
จะได้ Sn
จาก Sn = ( )a1 rn −1 r −1

r −1 = (8192)(4) − 2
( )3 210 −1
จะได้ S10 = 4 −1
2 −1
= 32766
= 3(1023)
3
= 3069
= 10,922

ดงั นนั้ ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม ดงั น้ัน ผลบวกของอนุกรมน้ีคอื 10,922

นคี้ อื 3069

10

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ท่ี 16

1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต เม่ือกาหนดให้

1) n = 5 , a1 = 4 , r = 3 2) n = 7 , a1 = 5 , r = 4

( )Sn จำก Sn = …………...............
จำก = a1 rn −1
r −1 จะได้ …………………………………
……………..……………………………
จะได้ ………………………………… ……………..……………………………
……………..……………………………
……………..……………………………

……………..……………………………

……………..……………………………

3) n = 7 , a1 = 1 , r = –3 4) n = 6 , a1 = 5 , r = –2

( )Sn จำก Sn = …………...............
จำก = a1 rn −1
r −1 จะได้ …………………………………
……………..……………………………
จะได้ ………………………………… ……………..……………………………
……………..……………………………
……………..……………………………

……………..……………………………

……………..……………………………

5) n = 7 , a1 = 3 , r = 3 6) n = 10 , a1 = –2 , r = –2

จำก Sn = ………………… จำก Sn = …………………

จะได้ ……………………………… จะได้ ………………………………
……………..………………………… ……………..…………………………
……………..………………………… ……………..…………………………
……………..………………………… ……………..…………………………

… …

11

2 จงหาผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณติ ทกี่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

2.1 2 + 6 + 18 + … + 162 2.2 1 + (–2) + 4 + … + 256

a1 = …….. , r = …….. , an = ….... a1 = …….. , r = …….. , an = …....

จำก Sn = …………………… จำก Sn = ……………………
= …………………… = ……………………
= …………………… = ……………………

ดังนัน้ ผลบวกของอนกุ รมเทำ่ กบั ............. ดังนัน้ ผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ.............

……………………… = =

…………..…..……… ……………………… =
2.4 …2 +…8…+…32..…+ …..…+…81…92
2.3ดงั นน้ั ผลบ1ว6ก+ข8อง+อ4น+กุ ร…มเ+ท่ำก1บั ………..
ดงั น้ันผลบวกของอนุกรม
32

เaท1่ำก=บั ………….…. ,..r. = …….. , an = …....

a1 = …….. , r = …….. , an = ….... จำก Sn = ……………………

จำก Sn = …………………… = ……………………
= …………………… = ……………………
= …………………… ดังนัน้ ผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ.............

ดังน้นั ผลบวกของอนุกรมเทำ่ กบั .............

12

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ที่ 16

1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ เม่อื กาหนดให้

1) n = 5 , a1 = 4 , r = 3 2) n = 7 , a1 = 5 , r = 4

( )Sn ( )Sn
จำก = a1 rn −1 จำก = a1 rn −1
r −1 r −1
(4 35 −1) (5 47 −1)
จะได้ S5 = จะได้ S7 =
3−1 4 −1
= 4(242) = 5(16383)
2 3

= 484 = 27305

3) n = 7 , a1 = 1 , r = –3 4) n = 6 , a1 = 5 , r = –2

( )Sn ( )Sn
จำก = a1 1 − rn จำก = a1 1 − rn
1− r 1− r
 จะได้  จะได้
S7 = 11 − (− 3)7 S6 = 51 − (− 2)6
1− (− 3) 1 − (− 2)

= (2188) = 5(− 63)
4 3

= 547 = –105

ดังนัน้ ผลบวก 5 พจน์แรกเท่ากับ 547 ดงั นัน้ ผลบวก 5 พจน์แรกเทา่ กบั –105
5) n = 7 , a1 = 3 , r = 3 6) n = 10 , a1 = –2 , r = –2

( )Sn ( )Sn
จำก = a1 rn −1 จำก = a1 1 − rn
r −1 1− r
= (3 37 −1)  จะได้
จะได้ S7 3−1 =S10 − 2 1 − (− )2 10
1− (− 2)
= 3(2186)
2 = − 2(−1023)
3
= 3279
= 682
ดงั นนั้ ผลบวก 5 พจน์แรกเท่ำกับ 3279
ดังนัน้ ผลบวก 5 พจน์แรกเทำ่ กบั 682

13

2 จงหาผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องอนกุ รมเรขาคณติ ที่กาหนดให้ต่อไปน้ี

2.1 2 + 6 + 18 + … + 162 2.2 1 + (–2) + 4 + … + 256

a1 = 2 , r = 3 , an = 162 a1 = 1 , r = –2 , an = 256

จำก Sn = anr − a1 จำก Sn = a1 − anr

r −1 1− r

= (162)(3) − 2 = 1− (256)(−2)

3−1 1− (−2)

= 484 = 513

2 3

= 242 = 171

ดงั นั้นผลบวกของอนกุ รมเท่ำกับ 242 ดังนน้ั ผลบวกของอนกุ รมเทำ่ กับ 171

=

2.3…………1……6…+…8……+……4….+.……..…+ …312… = 2.4……………2…+ 8…+…32…+ … + 8192=
…………..…..………

ดังนน้ั ผลบวกของอนุกรมเท่ำกับ……….. ดังนั้นผลบวกของอนกุ รม

a1 = 16 , r = 1 , an = 1 เaท1ำ่ ก=บั …2…,…r... = 4 , an = 8192
2 32
จำก = anr − a1
จำก Sn = a1 − anr Sn
r −1
1− r
= (8192)(4) − 2
16 −  1  1 
4 −1
=  32  2 
= 32766
1− 1
2 3

= 1023 = 10,922

32 ดงั นนั้ ผลบวกของอนุกรมเทำ่ กบั 10,922

ดังน้ันผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 1023

32

14

ใบความรทู้ ี่ 17
การหาผลบวก n ผลแรกของอนกุ รมเรขาคณติ

สูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ

Sn = ( )a1 1− rn เม่อื r  1 , r  1

1− r
( )a1 rn −1
Sn = เม่ือ r  1 , r  1
r −1

เมอ่ื a1 คอื พจนแ์ รก , r คอื อัตรำส่วนร่วม

Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รก , an คือ พจนท์ ่ี n

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของ ตัวอย่างที่ 2 อนุกรมเรขำคณติ

อนุกรมเรขำคณติ 2 + 4 + 8 + … 3 + 6 + 12 + … มกี ี่พจนท์ ท่ี ำให้ผลบวก

แนวคดิ a1 = 2 , r = 2 , n = 8 เปน็ Sn = 1,533

( )Sn วิธีทา a1 = 3 , r = 2 , Sn = 1,533
จำก = a1 rn −1
( )Sn
r −1 จำก = a1 rn −1
( )S8
= 2 28 −1 r −1
2 −1 1533 = (3 2n −1)

= 2(255) 2 −1

= 510 511 = 2n −1

ดังนน้ั ผลบวกของอนกุ รมเท่ำกับ 510 29 = 2n

n =9

ตวั อย่างท่ี 3 จงหำผลบวก n พจนแ์ รกของ ดังนั้น n = 9

อนกุ รมเรขำคณิต 5 + 15 + 45 + 135 + …

แนวคดิ a1 = 5 , r = 3 = 5 (3n −1)
2
( )Sn
จำก = a1 rn −1 ดงั นน้ั ผลบวก n พจน์ของอนกุ รม

r −1
( )Sn
= 5 3n −1 = 5 3n −1
3−1
2
คือ ( )Sn

15

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรท์ ่ี 17

1. จงหาผลบวก 6 พจน์แรกของ 2. จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของ
อนกุ รมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + … อนุกรมเรขาคณิต 3 + (–6) + 12 + …

a1 = …….. , r = …….. , n = …… a1 = …….. , r = …….. , n = ……

( )Sn ( )Sn
จำก = a1 rn −1 จำก = a1 1 − rn

r −1 1− r

…….. = ……………………. …….. = …………………….

= ……………………. = …………………….

= ……………………. = …………………….

ดังนัน้ ผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ……... ดังนัน้ ผลบวกของอนกุ รมเท่ำกับ……...

3. จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รกของ 4. จงหาผลบวก 12 พจนแ์ รกของ
อนกุ รมเรขาคณิต 1 + 4 + 16 + … อนกุ รมเรขาคณติ 3 + 6 + 12 + …

a1 = …….. , r = …….. , n = …… a1 = …….. , r = …….. , n = ……

จำก …….. = ……………………. จำก …….. = …………………….
…….. = ……………………. …….. = …………………….
= ……………………. = …………………….
= ……………………. = …………………….

ดังน้นั ผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ……... ดังน้ันผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ……...

16

5. ถำ้ อนกุ รมเรขำคณิตมี a1 = 160 , r= 3 , Sn = 2110 จงหำคำ่ n
2

a1 = ……. , r = ……… , Sn = …………………………………..
……….. …………………………………..
…………………………………..
( )Sn
จำก = a1 rn −1 n = ……………..
ดงั นั้น n = ………….
r −1
7. อนกุ รมเรขำคณติ 4 + 12 + 36 + …
………………………………………….. มกี ่ีพจน์ทที่ ำใหผ้ ลบวกเป็น
Sn = 13,120
…………………………………………..
a1 = ……. , r = ……. , Sn = …….
6. อนกุ รมเรขำคณิต 2 + 6 + 18 + …
จงหำคำ่ n ท่ีทำให้ Sn = 2186 จำก ………………………………
…………………………………………
a1 = ……. , r = ……. , Sn = ……. …………………………………………
…………………………………………
( )Sn …………………………………………
จำก = a1 rn −1
n = …………………
r −1 ดังนั้น n = …………….

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

n = …………………
ดังน้ัน n = …………….

17

8. จงหำผลบวก n พจนแ์ รกของ 9. จงหำผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม
อนกุ รมเรขำคณติ 12+6+3+ 3 +… เรขำคณิต 3 + 6 + 12 + …

2 a1 = ………… , r = …………...
จำก Sn = ……………………
a1 = ………… , r = …………...
จำก Sn = …………………… Sn = ……………………
= ……………………
Sn = ……………………
= …………………… ดังนั้น ผลบวก n พจนข์ องอนุกรม
คือ Sn = ……………………
ดังนัน้ ผลบวก n พจน์ของอนุกรม
คือ Sn = ……………………

18

เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรท์ ี่ 17

1. จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รกของ 2. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของ
อนุกรมเรขาคณติ 4 + 8 + 16 + … อนุกรมเรขาคณิต 3 + (–6) + 12 + …

a1 = 4 , r = 2 , n = 6 a1 = 3 , r = –2 , n = 8

( )Sn ( )Sn
จำก = a1 rn −1 จำก = a1 1 − rn

r −1 1− r
( )S6  S8
= 4 26 −1 = 31 − (−2)8
2 −1
1 − (−2)

= 4(63) = –255

= 252 ดงั นน้ั ผลบวกของอนกุ รมเท่ำกบั –255

ดังนั้นผลบวกของอนุกรมเทำ่ กับ 252

3. จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รกของ 4. จงหาผลบวก 12 พจนแ์ รกของ
อนุกรมเรขาคณิต 1 + 4 + 16 + … อนุกรมเรขาคณติ 3 + 6 + 12 + …

a1 = 1 , r = 4 , n = 6 a1 = 3 , r = 2 , n = 12

( )Sn ( )Sn
จำก = a1 rn −1 จำก = a1 rn −1

r −1 r −1
( )S6 ( )S12
= 1 46 −1 = 3 212 −1
2 −1
4 −1

= 4095 = 3(4095)

3 = 12,285

= 1365 ดังนั้นผลบวกของอนุกรมเทำ่ กบั

ดงั น้ันผลบวกของอนกุ รมเท่ำกบั 1365 12,285

19

5. ถำ้ อนกุ รมเรขำคณิตมี a1 = 160 , r= 3 , Sn = 2110 จงหำค่ำ n
2

a1 = 160 , r =3 , Sn = 2110 211 =  3 n − 1

2 32  2 
( )Sn
จำก = a1 rn −1 243 =  3 n

r −1 32  2 

160 3 n   3 5 =  3 n
− 1
 2   2 2
2110 =
3 −1 n =5
2 ดังนั้น n = 5

…………………………………………..

6. อนกุ รมเรขำคณติ 2 + 6 + 18 + … 7. อนกุ รมเรขำคณติ 4 + 12 + 36 + …
จงหำค่ำ n ที่ทำให้ Sn = 2186 มกี ี่พจนท์ ที่ ำให้ผลบวกเป็น

Sn = 13,120

a1 = 2 , r = 3 , Sn = 2186 a1 = 4 , r = 3 , Sn = 13,120

( )Sn
จำก = a1 rn −1 ( )Sn
จำก = a1 rn −1
r −1
2186 = (2 3n −1) r −1
13120 = (4 3n −1)
3−1

2186 = 3n −1 3−1

2187 = 3n 6560 = 3n −1

37 = 3n 6561 = 3n

n =7 n =8

ดงั น้นั n = 7 ดงั น้นั n = 8

20

8. จงหำผลบวก n พจน์แรกของ 9. จงหำผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
อนกุ รมเรขำคณิต 12+6+3+ 3 +… เรขำคณิต 3 + 6 + 12 + …

2

a1 = 3 , r = 2

( )Sn
a1 = 12 , r =1 จำก = a1 rn −1

2 r −1
( )Sn
= a1 1 − rn ( )Sn
จำก = 3 2n −1
1− r
2 −1

121 1  = (3 2n −1)
2 
= − ( )n ดังนน้ั ผลบวก n พจนข์ องอนุกรม

Sn 1− 1 คือ ( )Sn = 3 2n −1

2

= 241 −  1 n 
 2  

ดงั นนั้ ผลบวก n พจนข์ องอนุกรม

คือ Sn = 241 −  1 n 
 2  

21

ใบความรู้ที่ 18

การแก้โจทยป์ ัญหาเก่ียวกับอนุกรมเรขาคณิต

สตู รการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

Sn = ( )a1 1− rn เม่ือ r  1 , r  1
Sn = เมอ่ื r  1 , r  1
1− r

( )a1 rn −1

r −1

Sn = a1 − anr เม่อื r  1 , r  1
1− r

เม่อื a1 คอื พจน์แรก , r คือ อตั รำสว่ นร่วม

Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รก , an คอื พจน์ท่ี n

ตัวอย่างที่ 1 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมเรขำคณติ 2 + 4 + 8 + …

แนวคดิ a1 = 2 , r = 2 , n = 8

จำก Sn = ( )a1 rn −1
r −1
( )S8
= 2 28 −1

2 −1

= 2(255) = 510

ดังน้ันผลบวกของอนุกรมเท่ำกับ 510

ตวั อย่างที่ 2 ต้นต้ังใจจะออมเงินโดยวนั แรกเขำเกบ็ ไว้ 2 บำท วนั ท่สี อง 4 บำท วันท่ีสำม 8 บำท

วนั ทสี่ ่ี 16 บำท เช่นน้ีเร่ือยไปจบครบ 10 วัน ตน้ จะมเี งินออมทง้ั หมดเทำ่ ใด

แนวคิด ให้เงินที่ต้นเกบ็ ออมตั้งแตว่ ันแรกเขียนแทนด้วยอนกุ รมเรขำคณิต 2 + 4 + 8 + 16 + …

ทีม่ ี a1 = 2 , r = 2 , n = 10

( )Sn
จำก = a1 rn −1

r −1
( )S10
= 2 210 −1

2 −1

= 2(1023) = 2046

ดังนนั้ ต้นจะมีเงินออมทัง้ หมด 2,046 บำท

22

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ท่ี 18

1. ดิเรกต้ังใจจะออมเงิน โดยวันแรกเขำเก็บไว้ 1 บำท วันที่สอง 2 บำท วนั ทส่ี ำม 4 บำท
วันทสี่ ี่ 8 บำท เช่นน้ีเร่ือยไป จนครบ 10 วัน ปำนเดือนจะออมเงนิ ได้กี่บำท

ให้เงนิ ทดี่ ิเรกเก็บออมตง้ั แต่วันแรก S10 = ……………………….
เขยี นแทนด้วยอนุกรมเรขำคณติ = ……………………….
………………………………………… = ……………………….
ทีม่ ี a1 = ….... , r = ……. , n = ……..
จำก Sn = ………………………. ดงั นัน้ ดิเรกออมเงนิ ได้ ….…... บำท

2. ไชยำเรม่ิ ออมเงนิ โดยวันแรกจะมเี งนิ สำหรับเป็นเงนิ ออม 5 บำท วนั ที่สอง 10 บำท
วนั ที่สำม 20 บำท ทำเช่นนเ้ี รื่อยไป เขำจะต้องออมเงินกี่วนั จึงจะมเี งนิ ท้ังหมด 2,555 บำท

เขยี นแทนด้วยอนกุ รมเรขำคณติ ..……… = …………………..
……………………………………… ..……… = …………………..
ทม่ี ี a1 = ……. , r = …… , Sn = …… ..……… = …………………..
จำก Sn = …………………..
n = …………………..
..……… = ………………….. ดงั นนั้ ไชยำต้องออมเงิน …… วนั

23

3. หงส์ฟ้ำตง้ั ใจจะออมเงินเพ่ือซื้อเครอ่ื งกีฬำ โดยวันแรกออมไว้ 20 บำท วันท่สี อง 40
บำท วันทส่ี ำม 80 บำท เช่นนเ้ี รื่อยไป เมื่อครบ 8 วัน เขำจะมีเงนิ เทำ่ ไร

เขียนแทนด้วยอนกุ รมเรขำคณติ S8 = ……………………..
………………………………………… = …………………..
ทมี่ ี a1= ……. , r = …….. , n = ……. = …………………..
จำก Sn = ……………………..
ดังนัน้ หงส์ฟ้ำจะมีเงิน …….…… บำท

4. ถงั นำ้ ใบหนึง่ จุ 5,832 ลติ ร ถำ้ มีกำรนำนำ้ จำกถึงไปใช้ทกุ วนั ตลอดสปั ดำห์ โดยทีแ่ ต่
ละวันจะใชน้ ้ำไป 1 ของปริมำณนำ้ ท่มี ีอยใู่ นถัง อยำกทรำบวำ่ เม่อื ครบ 6 วัน จะมีน้ำ

3

เหลืออย่ใู นถงั ก่ีลิตร

เดิมมนี ้ำ 5,832 ลิตร นำนำ้ ออกจำกถังวันที่ 1 จะมนี ้ำเหลืออยู่ 5,832 x 2 ลติ ร

3

มีน้ำ …………... ลติ ร นำน้ำออกจำกถงั วนั ท่ี 2 จะมีน้ำเหลืออยู่ ……………. ลิตร

มนี ำ้ …………... ลติ ร นำนำ้ ออกจำกถงั วันท่ี 3 จะมีนำ้ เหลืออยู่ ……………. ลติ ร

ดังน้ัน เมื่อครบ 6 วัน จะมนี ำ้ เหลืออยใู่ นถงั …..…………. ลติ ร เท่ำกบั ……… ลิตร

24

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ท่ี 18

1. ดิเรกตงั้ ใจจะออมเงิน โดยวนั แรกเขำเกบ็ ไว้ 1 บำท วันท่สี อง 2 บำท วนั ท่ีสำม 4 บำท
วันท่ีสี่ 8 บำท เชน่ นี้เรื่อยไป จนครบ 10 วนั ปำนเดือนจะออมเงินไดก้ ่บี ำท

ให้เงินทดี่ ิเรกเก็บออมต้งั แต่วันแรก ( )S10
= 1 210 −1
เขียนแทนด้วยอนุกรมเรขำคณิต
2 −1

1+2+4+8+… = 1024 – 1

ท่ีมี a1 = 1 , r = 2 , n = 10 = 1023

( )Sn ดังนั้น ดิเรกออมเงนิ ได้ 1,023 บำท
จำก = a1 rn −1
r −1

2. ไชยำเร่ิมออมเงนิ โดยวันแรกจะมเี งนิ สำหรับเป็นเงินออม 5 บำท วนั ทสี่ อง 10 บำท
วันที่สำม 20 บำท ทำเชน่ น้ีเร่ือยไป เขำจะต้องออมเงินก่วี นั จึงจะมเี งนิ ทั้งหมด 2,555 บำท

เขยี นแทนด้วยอนุกรมเรขำคณิต 511 = 2n −1
512 = 2n
5 + 10 + 20 + … 29 = 2n
n =9
ท่มี ี a1 = 5 , r = 2 , Sn = 2555 ดงั นัน้ ไชยำต้องออมเงิน 9 วนั

( )Sn
จำก = a1 rn −1

r −1
2555 = (5 2n −1)
2 −1

25

3. หงส์ฟำ้ ตงั้ ใจจะออมเงนิ เพื่อซ้อื เครอ่ื งกฬี ำ โดยวนั แรกออมไว้ 20 บำท วันทส่ี อง
40 บำท วันทสี่ ำม 80 บำท เช่นนีเ้ ร่ือยไป เมื่อครบ 8 วัน เขำจะมเี งินเท่ำไร

เขยี นแทนด้วยอนกุ รมเรขำคณติ ( )S8
= 20 28 −1
20 + 40 + 80 + …
2 −1

ที่มี a1 = 20 , r = 2 , n = 8 = 20(255)

( )Sn = 5100
จำก = a1 rn −1
r −1 ดงั น้ัน หงส์ฟ้ำจะมเี งิน 5,100 บำท

4. ถังน้าใบหนง่ึ จุ 5,832 ลิตร ถ้ามกี ารนาน้าจากถึงไปใช้ทุกวันตลอดสัปดาห์ โดยที่

แตล่ ะวนั จะใชน้ ้าไป 1 ของปริมาณน้าทีม่ ีอยใู่ นถัง อยากทราบวา่ เม่ือครบ 6 วัน จะ

3

มีน้าเหลืออยูใ่ นถงั กลี่ ิตร

เดมิ มนี ้ำ 5,832 ลติ ร นำน้ำออกจำกถงั วันที่ 1 จะมนี ้ำเหลอื อยู่ 5,832 x 2 ลติ ร

3

มนี ำ้ 5,832 x 2 ลติ ร นำนำ้ ออกจำกถงั วนั ท่ี 2 จะมีน้ำเหลอื อยู่ 5,832 x  2 2 ลติ ร

3 3

มีนำ้ 5,832 x  2 2 ลติ ร นำนำ้ ออกจำกถังวนั ท่ี 3 จะมีนำ้ เหลอื อยู่ 5,832 x  2 3 ลิตร

3 3

ดังน้ัน เม่ือครบ 6 วนั จะมนี ้ำเหลอื อยูใ่ นถงั 5,832 x  2 6 ลิตร เท่ำกับ 512 ลติ ร

3

26

แบบทดสอบหลงั เรียน

คำช้ีแจง ให้นักเรียนเลือกคำตอบท่ีถูกต้องทีส่ ดุ เพียงขอ้ เดียว

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมเ่ ป็นอนกุ รมเรขาคณติ

ก. 16 + 8 + 4 + … + 1

64

ข. 3 + 6 + 12 + 24 + …

ค. 1 + 1 + 1 + 1 + …

3 9 27

ง. 12 + 6 + 0 + (–6) + … + (–24)
2. ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 1 + 2 + 4 + 8 + … ตรงกับข้อใด

ก. 255
ข. 340
ค. 525
ง. 880
3. ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ 1 + (–2) + 4 + (–8) + … + 256 ตรงกับข้อใด
ก. –171
ข. –85
ค. 171
ง. 85
4. ถา้ อนกุ รมเรขาคณิตอนกุ รมหน่ึงมพี จน์แรกเทา่ กบั 6 และอตั ราสว่ นร่วมเท่ากบั –2
แล้วผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิตน้ีตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 258
ข. 285
ค. 458
ง. 485

27

5. อนุกรมเรขาคณิตอนกุ รมหน่ึงมีพจน์แรกเท่ากบั 5 และอตั ราส่วนร่วมเทา่ กบั 3

ถา้ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมนี้ เท่ากบั 605 แล้วอนกุ รมน้ีมกี ่พี จน์

ก. 3

ข. 4

ค. 5

ง. 6

6. ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ 16 + 8 + 4 + … ตรงกับขอ้ ใด

ก. 16(1− 2n )
ข. 32(1− 2n )

ค. 161 − 1 
 2n 

ง. 321 − 1 
 2n 

7. พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิตท่มี ีผลบวก 6 พจน์แรกเทา่ กับ 441 และมอี ตั ราสว่ นร่วม

เทา่ กบั 2 ตรงกับข้อใด

ก. 8

ข. 7

ค. 6

ง. 5

8. อนุกรมเรขาคณติ อนุกรมหนงึ่ มพี จน์แรกเท่ากบั 4 และผลตา่ งรว่ มเทา่ กบั 3 แล้วผลบวก

5 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 348

ข. 458

ค. 484

ง. 568

28

9. ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต 2 + 6 + 18 + … + 162 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 142
ข. 242
ค. 324
ง. 444

10. จนั ทรฉ์ ายออมเงินเพื่อซือ้ อปุ กรณอ์ อกกาลงั กาย โดยเดือนแรกออม 1,000 บาท
เดอื นที่สอง 1,300 บาท เดอื นท่ีสาม 1,600 บาท เช่นนี้เร่อื ยไป จนครบ 1 ปี
จนั ทร์ฉายจะมีเงนิ ออมทง้ั หมดเทา่ ใด

ก. 4,300 บาท
ข. 35,000 บาท
ค. 31,800 บาท
ง. 13,800 บาท

29

กระดำษคำตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
แบบฝกึ ทักษะคณิตศำสตร์ เรอื่ ง ลำดับและอนุกรม

ชน้ั มธั ยมศึกษำปีที่ 5 เล่มท่ี 5 อนุกรมเรขำคณิต
ชอื่ ..................................................................ชนั้ .................เลขท.่ี ................

คาช้ีแจง
จงเลือกคำตอบท่ีถูกที่สดุ เพียงขอ้ ละคำตอบเดียว แลว้ ให้นักเรยี นทำเครอื่ งหมำย X ลงใน

ช่องคำตอบท่เี ลอื กให้ถูกต้อง

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

1 x6 x

2x 7x

3 x8 x

4x 9x

5 x 10 x

ได.้ ........................คะแนน

30

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น
แบบฝกึ ทักษะคณิตศำสตร์ เรื่อง ลำดบั และอนุกรม

ช้ันมธั ยมศกึ ษำปที ี่ 5 เลม่ ที่ 5 อนกุ รมเรขำคณิต
ช่ือ..................................................................ชนั้ .................เลขที่.................

คำชแี้ จง
จงเลอื กคำตอบทถี่ กู ที่สดุ เพยี งข้อละคำตอบเดยี ว แล้วใหน้ ักเรียนทำเครอ่ื งหมำย X ลงใน

ชอ่ งคำตอบท่ีเลือกใหถ้ ูกต้อง

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

1 x6x

2x 7x

3 x8x

4 x 9x

5x 10 x

ได.้ ........................คะแนน

31

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชัย มำเจริญทรัพย์. แบบฝึกหดั และประเมินผลการเรียนรู้
คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ม.5 เล่ม 1 ช่วงช้นั ที่ 4. กรุงเทพมหำนคร : เดอะบคุ ส์, 2548.

กมล เอกไทยเจริญ. คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 สาระการเรียนรู้พน้ื ฐาน. กรงุ เทพมหำนคร :
ไฮเอ็ดพบั ลิชชง่ิ , ม.ป.ป.

จักรนิ ทร์ วรรณโพธิ์กลำง. คมู่ ือ สาระการเรียนรูพ้ ืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1.
กรุงเทพมหำนคร : พ.ศ. พัฒนำ, 2547.

ณรงค์ ป้ันน่มิ , กนกวลี อษุ ณกรกุล และเรณู สุทธิวำรี. คู่มือ เตรยี มสอบ คณติ ศาสต์พน้ื ฐาน
ม.5 เลม่ 1 ชว่ งชนั้ ที่ 4 (ม.4–ม.6). กรุงเทพมหำนคร : ภมู ิบญั ฑิต, ม.ป.ป.

ประหยดั แก้วอำไพ. UP GRADE คู่มอื แบบฝกึ หัดคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ม.5. ปทมุ ธำนี :
สกำยบกุ๊ ส์, 2552.

พนั ธศ์ กั ด์ิ ภทู อง. แผนการจดั การเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตสาตร์
รายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1. กรงุ เทพมหำนคร :
พฒั นศึกษำ, 2549.

สถำบันสง่ เสริมวทิ ยำศำสตร์และเทคโนโลยี. คมู่ อื ครูสาระการเรียนรพู้ ้นื ฐาน คณิตศาสตร์ เลม่ 1
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5. กรุงเทพมหำนคร :
โรงพิมพค์ ุรสุ ภำลำดพร้ำว, 2547.
. หนังสือเรียนสาระการเรียนรพู้ ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1
กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5. กรงุ เทพมหำนคร :
โรงพิมพค์ ุรสุ ภำลำดพรำ้ ว, 2547.