เนื้อลำดับเรขาคณิต

1

แบบทดสอบก่อนเรยี น

คำช้แี จง ให้นกั เรียนเลอื กคำตอบทถี่ ูกตอ้ งทีส่ ดุ เพียงขอ้ เดยี ว

1. ลำดับในขอ้ ใดไม่เปน็ ลำดับเรขำคณิต
ก. 6 , –6 , 6 , –6 , …
ข. 4 , 8 , 16 , 32 , …
ค. 4 , 8 , 13 , 19 , …
ง. –1 , 2 , –4 , 8 , …

2. สำมพจนถ์ ัดไปของลำดับเรขำคณิต 1 , 7 , 49 , … มคี ่ำตรงกับข้อใด
ก. 360 , 670 , 980 , …
ข. 543 , 2054 , 12458 , …
ค. 392 , 449 , 687 , …
ง. 343 , 2401 , 16807

3. พจน์ท่วั ไปของลำดับเรขำคณติ 3 , 1 , 1 , 1 , … ตรงกบั ขอ้ ใด

39

ก. 32−n
ข. 4n - 1
ค. 3n−1

ง. 1 (2n )
3

4. จงหำพจน์ท่ี 7 ของลำดบั เรขำคณิต 5, 10 , 20 , ...
ก. 300
ข. 320
ค. 240
ง. 260

5. –196 เป็นพจน์ที่เทา่ ใดของลาดบั –1 , –6 , –11 , …
ก. 36
ข. 39
ค. 40
ง. 42

2

6. 54 , –18 , 6 เป็นสามพจน์ของลาดบั เรขาคณิตท่อี ยู่ระหวา่ งจานวนสองจานวนในข้อใด
ก. –162 และ –2
ข. 162 และ 2
ค. –162 และ 2
ง. 162 และ –2

7. ถา้ 8 , 4 , 2 , … , 1 เปน็ ลาดบั เรขาคณิต แล้วลาดบั นี้มีท้งั หมดกพ่ี จน์

64

ก. 14
ข. 12
ค. 11
ง. 10
8. ลาดบั เรขาคณิตมพี จน์ที่ 1 เปน็ 5 และพจน์ที่ 2 เป็น 10 แลว้ พจน์ท่ี 6 มีคา่ ตรงกบั
ขอ้ ใด
ก. 160
ข. 320
ค. 840
ง. 2560
9. ลาดับเรขาคณิตมพี จน์ท่ีหนง่ึ เปน็ 1 และพจน์ท่ีห้าเป็น 81 แลว้ อัตราส่วนร่วม
มีค่าตรงกบั ข้อใด
ก. 6
ข. 5
ค. 4
ง. 3
10. ลาดบั เรขาคณิตมีอัตราส่วนรว่ มเท่ากบั –1 และมีพจนท์ ี่แปดเท่ากับ –2
แลว้ พจนท์ ห่ี น่ึงมคี ่าตรงกบั ข้อใด
ก. 2
ข. 4
ค. 5
ง. 6

3

กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน
แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์ เร่อื ง ลำดบั และอนุกรม

ช้ันมธั ยมศกึ ษำปีท่ี 5 เล่มท่ี 3 ลำดับเรขำคณิต
ชอื่ ..................................................................ช้ัน.................เลขท่ี.................

คำชแี้ จง
จงเลอื กคำตอบทถี่ กู ทส่ี ุดเพยี งขอ้ ละคำตอบเดยี ว แลว้ ให้นักเรยี นทำเครื่องหมำย X ลงใน

ชอ่ งคำตอบที่เลอื กใหถ้ กู ต้อง

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

ได้.........................คะแนน

4

ใบความรู้ท่ี 7
ความหมายของลาดับเรขคณิต

ลำดบั เรขำคณิต (Geometric Sequence)

พจิ ำรณำลำดบั 2 , 6 , 18 , 54 , 162 จะพบว่ำ ลำดบั นีไ้ มเ่ ป็นลำดับเลขคณิต แต่มี
ลกั ษณะที่น่ำสนใจ คือ อตั รำสว่ นของพจน์สองพจนใ์ ด ๆ ที่อยูต่ ิดกนั จะมคี ่ำเทำ่ กันดังนี้

6 = 18 = 54 = 162 = 3

2 6 18 54

จะเรยี กลำดับทมี่ ลี กั ษณะเช่นน้ีว่ำ ลำดบั เรขำคณติ ดงั บทนิยำมต่อไปนี้

บทนิยำม ลำดับเรขำคณติ คือ ลำดับท่ีผลหำรซึง่ เกิดจำกพจนท์ ่ี n+1
หำรด้วยพจน์ท่ี n มคี ่ำคงตัว คำ่ คงตวั น้ี เรยี กวำ่ อตั รำส่วนร่วม (Common ratio)
เขยี นแทนดว้ ย r
ตัวอย่ำงของลำดบั เรขำคณติ

1. 5 , 10 , 20 , 40 , …
เปน็ ลำดับเรขำคณิต เน่อื งจำก r = 10 = 20 = 40 = 2

5 10 20

2. 4 , –16 , 64 , –256 , …
เป็นลำดับเรขำคณติ เน่อื งจำก r = −16 = 64 = − 256 = –4

4 −16 64

3. –5 , 25 , –125 , 625 , …
เปน็ ลำดับเรขำคณิต เนอ่ื งจำก r = 25 = −125 = 625 = –5

− 5 25 −125

4. 1 , 1 , 1 , 1 , …

2 4 8 16

เปน็ ลำดบั เรขำคณิต เนอ่ื งจำก r = 1  1 = 1  1 = 1  1 = 1

4 2 8 4 16 8 2

5. 2 , 10 , 50 , 200 , …
ไม่เป็นลำดับเรขำคณิต เนื่องจำก 10 = 50  200

2 10 50

6. 50 , 150 , 250 , … , 950
ไมเ่ ปน็ ลำดับเรขำคณิต เน่ืองจำก 150  250

50 150

5

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศำสตรท์ ่ี 7

จงตรวจสอบว่ำลำดบั ตอ่ ไปน้เี ปน็ ลำดับเรขำคณิตหรือไม่ ถำ้ เป็นจงหำอัตรำสว่ นรว่ ม

ที่ ลำดับ อตั รำสว่ นร่วม ลำดบั เรขำคณิต
เป็น ไมเ่ ปน็
1 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , …
2 16 , 8 , 4 , 2
3 3 , –12 , 48 , –192 , …
4 5 , 15 , 45 , 135 , …
5 –1 , 1 , –1 , 1 , …
6 1 , –2 , 4 , –8 , …
7 1 , 2 , 3, 4 ,…

2 3 45

8 3 , 6 , 9 , 12 , …
9 2 ,2, 2 2 ,4,…
10 5 , 5a , 5a2 , 5a3 , …

2 48

11 1 , 1 , 1 , 1 , …

2 345

12 6 , 12 , 24 , 48 , …
13 10 , 100 , 1000 , 10000 , …
14 a , ab , ab2 , ab3 , …

6

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศำสตร์ท่ี 7

จงตรวจสอบวำ่ ลำดับต่อไปนเ้ี ป็นลำดับเรขำคณติ หรือไม่ ถ้ำเปน็ จงหำอัตรำสว่ นร่วม

ท่ี ลาดับ อตั ราส่วนร่วม ลาดบั เรขาคณติ
1 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , … เปน็ ไมเ่ ปน็
2 16 , 8 , 4 , 2 r = 3 = 9 = 27 = 81 = 3 /
3 3 , –12 , 48 , –192 , … /
1 3 9 27 /
4 5 , 15 , 45 , 135 , …
5 –1 , 1 , –1 , 1 , … r= 8 =4=2=1 /
6 1 , –2 , 4 , –8 , … /
7 1 , 2 , 3, 4 ,… 16 8 4 2 /

2 3 45 r = −12 = 48 = −192 /
/
8 3 , 6 , 9 , 12 , … 3 −12 48 /
9 2 ,2, 2 2 ,4,…
= –4 /
10 5 , 5a , 5a2 , 5a3 , …
r = 15 = 45 = 135 = 3
2 48
5 15 45

r = 1 = −1 = 1 = –1

−1 1 −1

r = − 2 = 4 = − 8 = –2

1 −2 4
21 32
32 43
6  9  12
36 9

r= 2 =22= 4

2 2 22

=2

r = 5a  5 = 5a2  5a

2 42

= 5a3  5a2 = a

8 42

7

ท่ี ลาดับ อัตราส่วนรว่ ม ลาดบั เรขาคณติ
เปน็ ไม่เปน็
11 1 , 1 , 1 , 1 , … 11  1 1
32 43 /
2 345 /
r = 12 = 24 = 48 = 2 /
12 6 , 12 , 24 , 48 , …
6 12 24 /

13 10 , 100 , 1000 , 10000 , … r = 100 = 1000

10 100

= 10000 = 10

1000

14 a , ab , ab2 , ab3 , … r = ab = ab2 = ab3 = b

a ab ab2

8

ใบควำมรูท้ ่ี 8
กำรเขียนลำดบั เรขำคณิตในรูปแจงพจน์

บทนยิ ำม ลำดับเรขำคณิต คอื ลำดบั ที่ผลหำรซึ่งเกิดจำกพจนท์ ่ี n+1 หำรด้วยพจน์ท่ี n
มีค่ำคงตัว คำ่ คงตวั นี้ เรียกว่ำ อตั รำส่วนรว่ ม (Common ratio) เขียนแทนดว้ ย r

จากบทนิยาม ถา้ ให้ a1 , a2 , a3 , a4 , … , an , … เป็นลาดบั เรขาคณิต โดยท่ี a1 เปน็
พจน์แรก และ r เปน็ อัตราสว่ นรว่ ม จะเขียนพจน์อ่นื ๆ ของลาดบั เรขาคณิตในรปู ของ a1 และ
r ไดด้ งั น้ี

a 2 = a1r
a3 = a 2r = (a1r)r = a1r2

( )a 4 = a3r = a1r2 r = a1r3



=a n a1rn−1

ดงั นน้ั เมื่อกาหนดให้ a1 เปน็ พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตทม่ี ี a n +1 เทา่ กบั r เป็น
an

อตั ราส่วนร่วม จะได้พจน์ท่ี n ของลาดับเรขาคณิตนี้คือ an = a1rn−1

ตัวอยำ่ งท่ี 1 จงเขยี นส่พี จน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มี a1 = 3 และ r = 2

แนวคดิ จากโจทย์ a1 = 3 และ r = 2

จะได้ a2 = a1r = 3(2) = 6

a3 = a2r = 6(2) = 12

a4 = a3r = 12(2) = 24

ดงั น้ัน ส่ีพจน์แรกของลาดบั น้ี คอื 3 , 6 , 12 , 24

9

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงหาสามพจน์ถัดไปของลาดบั เรขาคณิต 3 , 3 , 12 , …

4

แนวคดิ จากโจทย์ a1 = 3 และ r = 4
จะได้ 4

a4 = a3r = 12(4) = 48

a5 = a4r = 48(4) = 192

a6 = a5r = 192(4) = 768
ดงั น้นั สามพจน์ถดั ไปของลาดับน้ี คอื 48 , 192 , 768

ตัวอยำ่ งท่ี 3 จงเขียนสามพจนถ์ ดั ไปของลาดับเลขคณิต –4 , –7 , –10 , …

แนวคดิ d = –7 – (–4 ) = –3
a4 = –10 + (–3) = –13
a5 = –13 + (–3) = –16
a6 = –16 + (–3) = –19

ดงั นน้ั สามพจน์ถัดไปของลาดบั เลขคณิตน้ี คือ –13 , –16 , –19

10

แบบฝึกหัดคณิตศำสตรท์ ี่ 8

1. จงเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดับเรขำคณติ เม่อื กำหนดค่ำดังตอ่ ไปน้ี

1) a1= 4 , r = 2 2) a1 = –5 , r = –2

…………………………………….. ……………………………………..
…………………………………….. ………………………………………..
…………………………………….. ………………………………………..
…………………………………….. ………………………………………..
…………………………………….. ………………………………………..

……………………………………….. ………………………………………..
3) a1= 3 , r = 4 4) a1 = 10 , r = –1

…………………………………….. ……………………………………..
…………………………………….. ……………………………………..
…………………………………….. ……………………………………..
…………………………………….. ……………………………………..
…………………………………….. ……………………………………..

……………………………………….. ………………………………………..
5) a1 = 3 2 , r = 3 6) a1 = 4 , r = –4

………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
……….. ….

11

2. จงหำ 3 พจนถ์ ัดไปของลำดบั เรขำคณิต

2.1) –1 , 2 , –4 , 8 , … ……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

2.2) 3 , 6 , 12 , 24 , … ……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

2.3) 72 , –36 , 18 , –9 , … ……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

2.4) 5 , 15 , 45 , 135 , … ……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

12

เฉลยแบบฝกึ หัดคณิตศำสตร์ท่ี 8

1. จงเขียน 5 พจนแ์ รกของลำดับเรขำคณติ เมื่อกำหนดค่ำดงั ตอ่ ไปน้ี

1) a1= 4 , r = 2 2) a1 = –5 , r = –2

a1 = 4 , r = 2 a1 = –5 , r = –2
a2 = 4(2) = 8 a2 = –5(–2) = 10
a3 = 8(2) = 16 a3 = 10(–2) = –20
a4 = 16(2) = 32 a4 = –20(–2) = 40
a5 = 32(2) = 64 a5 = 40(–2) = –80
หา้ พจนแ์ รก คือ 4, 8 , 16 , 32 , 64 ห้าพจน์แรก คอื –5 , 10 , –20 , 40 , –80
……………………………………….. ………………………………………..
4) a1 = 10 , r = –1
3) a1= 3 , r = 4
a1 = 10 , r = –1
a1 = 3 , r = 4 a2 = 10(–1) = –10
a2 = 3(4) = 12 a3 = –10(–1) = 10
a3 = 12(4) = 48 a4 = 10(–1) = –10
a4 = 48(4) = 192 a5 = –10(–1) = 10
a5 = 192(4) = 768 ห้าพจนแ์ รก คือ 10 , –10 , 10 , –10 , 10
ห้าพจน์แรกคอื 3 , 12 , 48 , 192 , 768
……………………………………….. 6) a1 = 4 , r = –4

5) a1 = 3 2 , r = 3 a1= 4 , r = –4
a2 = 4(–4) = –16
a1 = 3 2 , r = 3 a3 = –16(–4) = 64
a2 = 3 2 ( 3) = 3 6 a4 = 64(–4) = –256
a3 = 3 6 ( 3 ) = 9 2 a5 = –256(–4) = 1024
a4 = 9 2 ( 3) = 9 6 หา้ พจน์แรก คือ 4, –16 , 64, –256, 1024
a5 = 9 6 ( 3 ) = 27 2
ห้าพจนแ์ รกคอื 3 2 ,3 6 ,9 2 ,9 6 ,

2. 2จ7งห2ำ 3 พจน์ถดั ไปของลำดบั เรขำคณติ

13

2. จงหำสำมพจน์ถัดไปของลำดบั เรขำคณติ ตอ่ ไปนี้

2.1) –1 , 2 , –4 , 8 , … a1 = –1 , r = –2
a5 = 8(–2) = –16
a6 = –16(–2) = 32
a7 = 32(–2) = –64
สามพจน์ถัดไปคือ –16 , 32 , –64

2.2) 3 , 6 , 12 , 24 , … a1 = 3 , r = 2
a5 = 24(2) = 48
a6 = 48(2) = 96
a7 = 96(2) = 192
สามพจนถ์ ัดไปคือ 48 , 96 , 192

a1 = 72 , r = −1
2

a5 = –9 − 1  =9

 2 2

2.3) 72 , –36 , 18 , –9 , … a6 = 9  − 1  = −9

2  2 4

a7 = − 9  − 1  = 9

4  2 8

สามพจนถ์ ัดไปคือ 9 , − 9 , 9

2 48

2.4) 5 , 15 , 45 , 135 , … a1 = 5 , r = 3
a5 = 135(3) = 405
a6 = 405(3) = 1215
a7 = 1215(3) = 3645
สามพจน์ถัดไปคือ 405 , 1215 , 3645

14

ใบควำมรู้ท่ี 9

กำรหำพจน์ท่ี n หรือพจน์ท่ัวไปของลำดบั เรขำคณิต

ถ้าให้ a1 , a2 , a2 , a4 , … , an , … เป็นลาดับเรขาคณติ โดยท่ี a1 เปน็ พจน์แรก และ
r เปน็ อัตราสว่ นร่วม จะเขยี นพจน์อื่น ๆ ของลาดบั เรขาคณิตในรูปของ a1 และ r ไดด้ งั น้ี

a 2 = a1r
a3 = a 2r = (a1r)r = a1r2

( )a 4 = a3r = a1r2 r = a1r3



=a n a1rn−1

ดังนั้น เม่ือกาหนดให้ a1 เป็นพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตท่ีมี a n +1 เท่ากบั r เป็น
an

อตั ราสว่ นร่วม จะไดพ้ จน์ท่ี n ของลาดบั เรขาคณิตน้คี อื an = a1rn−1

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาพจนท์ ่ี n ของลาดบั เรขาคณติ 3 , 9 , 27 , …

แนวคดิ จากโจทย์จะได้ a1 = 3 และ r = 9 =3
3

จากสตู ร =a n a1rn−1

จะได้ =an 3(3)n−1

an = 3(3)n = 3n
3

ดงั น้ัน พจนท์ ี่ n ของลาดบั เรขาคณิต คือ an = 3n

ตัวอยำ่ งที่ 2 จงหาพจน์ที่ 7 ของลาดับเรขาคณติ 4 , 20 , 100 , …

แนวคิด จากโจทยจ์ ะได้ a1 = 4 และ r = 20 =5
9

จากสตู ร =a n a1rn−1

จะได้ =a7 4(5)7−1

a7 = 4(5)6

a7 = 4(15,625)

a7 = 62,500

ดังน้ัน พจนท์ ี่ 7 ของลาดบั เรขาคณิต คือ 62,500

15

ตวั อยำ่ งที่ 3 จงหาพจน์แรกของลาดบั เรขาคณติ ท่ีมี a3 = 2 และ r = 3
63
4

แนวคดิ จากสูตร =a n a1rn−1

จะได้ =a3 a1r3−1

2 =  3  2
63  4 
a1

a1 = 32
567

ดังนั้น พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต คือ 32

567

ตวั อย่ำงที่ 4 จงหาอตั ราสว่ นรว่ มของลาดับเรขาคณิตท่มี ี a2 = 8 และ a5 = 64
3 81

แนวคดิ จากสูตร =a n a1rn−1

จะได้ a2 = a1r

8 = a1r (1)
3

=a5 a1r4

64 = a1r4 (2)
81

(2)  (1) ; r3 = 8

27

r=2

3

ดังน้ัน อัตราส่วนร่วมของลาดบั เรขาคณิต คือ 2

3

16

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศำสตร์ที่ 9

1. จงหำพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั เรขำคณติ ตอ่ ไปน้ี 2) 2 , 4 , 8 , 16 , …
1) –9 , 3 , –1 , …

a1 = ……. , r = ………………. ……………………………………
……………………………………
จำก =a n a1rn−1 ……………………………………
……………………………………… ……………………………………
……………………………………… ……………………………………

ดังนน้ั พจน์ท่ี n คือ an = …………….

3) 3 , –3 , 3 , –3 , … 4) 2 , 2 3 , 6 , …

…………………….………………… ………..…….……………………..
…………………….………………… …………………….………………
…………………….………………… …………………….………………
…………………….………………… …………………….………………

5) 1 , –1 , 4 , … 6) 4 , 16 , 64 , 256 , …
4
……………………………………
……………………………………… ……………………………………
……………………………………… ……………………………………
……………………………………… ……………………………………
……………………………………… ……………………………………
……………………………………… ……………………………………
………………………………………

17

2. จงหำพจนท์ ่ี 8 ของลำดับเรขำคณิต 3. จงหำพจนท์ ่ี 15 ของลำดับเรขำคณติ
2 , 4 , 8 , 16 , … 3, 3 2 , 6 3 ,…

a1 = …….. , r = ……………. …………………….………………
…………………….………………
จำก a n = a1rn−1 …………………….………………
…………………….………………
…………………….……………… …………………….………………
…………………….………………
ดังน้นั a8 = ………………….

4. จงหำพจนท์ ่ี 6 ของลำดับเรขำคณติ 5. จงหำพจนแ์ รกของลำดบั เรขำคณิต
ทม่ี ี 32 เปน็ พจน์ท่ี 5 และ 2 เปน็
11 1
3
2 , 6 , 18 , …
อตั รำสว่ นร่วม
………………..…….……………
………………..…….…………… …………………..….……………
………………..…….…………… …………………..….……………
………………..…….…………… …………………..….……………
………………..…….…………… …………………..….……………
………………..…….…………… …………………..….……………
…………………..….……………

18

เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณติ ศำสตรท์ ่ี 9

1. จงหำพจนท์ วั่ ไปของลำดับเรขำคณิตต่อไปนี้ 2) 2 , 4 , 8 , 16 , …
1) –9 , 3 , –1 , …

a1 = –9 ,r = 3 = −1 a1 = 2 ,r = 4 = 2
3 2
−9

จำก =a n a1rn−1 จำก =a n a1rn−1

an = − 9 − 1 n−1 a n = 2(2)n−1
 3
an = 2n
= − 9 − 1 n−1
ดังน้ันพจน์ที่ n คือ an ดงั นน้ั พจน์ที่ n คือ an = 2n
 3

3) 3 , –3 , 3 , –3 , … 4) 2 , 2 3 , 6 , …

a1 =3 ,r = −3 = –1 a1 = 2 ,r = 23 = 3
3 2

จำก =a n a1rn−1 จำก =a n a1rn−1

a n = 3(−1)n−1 ( )= n−1

ดังนั้นพจนท์ ี่ n คือ an = 3(−1)n−1 an 2 3

ดังนัน้ พจน์ท่ี n คอื an = ( )n−1

23

5) 1 , –1 , 4 , … 6) 4 , 16 , 64 , 256 , …
4

a1 = 1 , r = –4 a1 = 4 ,r = 16 =4
4
4
จำก =a n a1rn−1
จำก =a n a1rn−1

an = 1 (− 4)n−1 a n = 4(4)n−1

4 ดงั นนั้ พจนท์ ่ี n คอื an = 4n

an = − 1 (− 4)n

16

ดงั นน้ั พจน์ท่ี n คือ an = − 1 (− 4)n

16

19

2. จงหำพจน์ที่ 8 ของลำดับ 3. จงหำพจน์ท่ี 15 ของลำดับเรขำคณติ
เรขำคณิต 2 , 4 , 8 , 16 , … 3, 3 2 , 6 3 ,…

a1 = 2 ,r = 4 = 2 a1 = 3 ,r = 3 2 = 6
2 จาก
3
ดังน้ัน
จาก =a n a1rn−1 =a n a1rn−1

a8 = 2(2)8−1 ( )=a15
15 −1

36

a8 = 2(2)7 =a15 67 3

ดังนั้น a8 = 256

4. จงหำพจน์ที่ 6 ของลำดับเรขำคณิต 5. จงหำพจนแ์ รกของลำดบั เรขำคณติ

11 1 ที่มี 32 เป็นพจน์ท่ี 5 และ 2 เป็น

2 , 6 , 18 , … 3

อตั รำสว่ นร่วม

a1 = 1 ,r =1 a5 = 32 ,r =2
2 3
3

จาก a n = a1rn−1 จาก a5 = a1r4

a6 = 1  1 6−1 32 = a1(2)4
23 3

a6 = 1  1 5 a1 = 32 x 1
23
3 16

ดังนน้ั a6 = 1 ดังนัน้ a1 = 2
486 3

20

ใบความร้ทู ่ี 10

กำรหำจำนวนพจน์ของลำดบั เรขำคณติ

ในการหาจานวนพจนข์ องลาดบั เรขาคณติ ใช้สูตร an = a1rn−1 ซึ่งจะตอ้ งทราบ
พจน์ท่ี 1 ( a1) อัตราสว่ นร่วม (r) และพจน์ท่ี n ( an ) กอ่ นเสมอ ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงหาวา่ ลาดบั เรขาคณิต 8 , 4 , 2 , … , 1 มที ้งั หมดก่พี จน์

64

แนวคิด a1 = 8 , r = 4 =1 และ an = 1
จาก 8 64
2

=a n a1rn−1

1 = 8 1 n−1

64  2 

1 =  1 n−1

512  2 

 1 9 =  1 n−1

2 2

n–1 = 9
n = 10

ดงั นัน้ ลาดับเรขาคณิต 8 , 4 , 2 , … , 1 มีทงั้ หมด 10 พจน์

64

ตัวอย่ำงที่ 2 256 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเรขาคณิต 2, 4 , 8 , …

แนวคดิ a1 = 2 , r = 2 และ an = 256
จาก =a n a1rn−1
256 = 2(2)n−1

128 = 2n−1

=27 2n−1

n–1 = 7

n= 8

ดังนนั้ 256 เป็นพจนท์ ี่ 8 ของลาดบั เรขาคณติ 2, 4 , 8 , …

21

ตัวกลางเรขาคณิต

ถำ้ a , b , c เป็น 3 พจน์เรยี งกนั เปน็ ลำดับเรขำคณิต แล้วอัตรำสว่ นรว่ มเทำ่ กับ
b  a หรอื c  b ดงั น้ัน b  a = c  b

b= c

ab

b2 = ac
b = ac
เรียก b วำ่ ตวั กลำงเรขำคณิตหนึ่งพจนร์ ะหวำ่ ง a และ c
ถำ้ a , b , c , d , e เปน็ 5 พจน์เรยี งกนั เป็นลำดับเรขำคณิต แลว้ เรยี ก b , c , d วำ่ ตัวกลำง
เรขำคณิต 3 พจน์ระหว่ำง a และ e

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหำจำนวนท่ีอยู่ระหวำ่ ง 5 และ 20 ทท่ี ำให้จำนวนทั้งสำมเป็นลำดบั เรขำคณติ

แนวคดิ แนวคิดท่ี 1 a1 = 5 , a3 = 20
จำก =a n a1rn−1
=a3 a1r2
20 = 5r2

r2 = 4

r = 2

ดงั น้นั ถ้ำ r = 2 จำนวนที่อยูร่ ะหวำ่ ง 5 และ 20 คือ 10

ถำ้ r = –2 จำนวนทีอ่ ยรู่ ะหว่ำง 5 และ 20 คอื –10

แนวคดิ ท่ี 2 ให้ b แทนจำนวนท่ีอยู่ระหวำ่ ง 5 และ 20

จะได้ ลำดับเรขำคณติ 5 , b , 20

จำก b = ac

b = 5x20

b = 100

b = 10

ดงั นน้ั จำนวนท่ีอยรู่ ะหว่ำง 5 และ 20 คอื 10

และ จำนวนท่อี ยู่ระหว่ำง 5 และ 20 คอื –10

22

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศำสตร์ท่ี 10

2 เป็นพจน์ทเ่ี ท่าใดของ จงหาพจน์ 2 พจนข์ องลาดบั เรขาคณติ ท่ี
อยรู่ ะหว่าง 1 และ 64
243
จะไดล้ ำดับเรขำคณติ คือ 1 , x , y , 64
ลาดับเรขาคณติ 54 , –18 , 6 , … จำก =a n a1rn−1

a1 = ……… , r = จะได้ a4 = ……………
…………..…… …………………………………………
จำก =a n a1rn−1
……………….......………………… r=
……………….......………………… …………………...
……………….......………………… จะได้ x = a1r = ……………
……………….......…………………
……………….......………………… y = …..… = ……………
ดังนัน้ 2 เป็นพจน์ท่ี ………… ดงั นั้น พจน์ 2 พจน์ของลำดับ
เรขำคณิตท่ีอยู่ระหวำ่ ง 1 และ 64 คอื
243 …………..

จงหาว่าลาดบั เรขาคณติ จงหำพจน์ 4 พจนข์ องลำดบั
2, 4, 8, … , 1024 มีท้ังหมดก่ีพจน์ เรขำคณิตทอ่ี ยู่ระหว่ำง 3 และ 32

a1 = …….. , r = …… , an = ……. 81
จำก …………………………………..
ลำดับเรขำคณิตคอื 3 , a , b , c , d , 32
………………………………………
………………………………………. 81
……………………………………….
………………………………………. จำก ………………………………
ดงั นนั้ ลำดับนี้มีทง้ั หมด …….. พจน์ จะได้ a6 = …………………..

………….…………………………
………….…………………………

r = ……………………
ดังน้ัน a = …….. , b = ………....

c = .…….. , d = …………

23

ถ้าพจนท์ ่ี 2 และพจน์ท่ี 5 ของลาดับ เมอื่ นำจำนวนจรงิ k ไปบวกกนั
เรขาคณติ มคี า่ เท่ากบั 3 และ 81 แตล่ ะพจนข์ องลำดบั 3, 20, 105
จะทำใหล้ ำดับที่ได้ใหม่เปน็ ลำดบั
8 เรขำคณิต แล้ว k มคี ่ำเท่ำใด

ตามลาดบั แล้ว จงหาพจนท์ ี่ 8 มีคา่ เท่าใด จะไดว้ ำ่ ลำดบั 3+k, 20+k, 105+k
เป็นลำดบั เรขำคณิต
a2 = ……… , a5 = ……….
จะได้ a1r = ……….. (1) จะได้ ............................................
.....................................................
a1r4 = ……….. (2) .....................................................
……………………...……..…………. .....................................................
……………………...……..…………. .....................................................
.....................................................
r = ………………… ดังน้ัน k = ......................
แทนคำ่ r = ……….. ใน (1)
จะได้ a1 = …………………..
…………………………………………
…………………………………………

a8 = …………………
…………………………………………
…………………………………………

ดังน้นั a8 = …….…………

24

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศำสตรท์ ่ี 10

2 เป็นพจน์ทีเ่ ท่าใดของ จงหาพจน์ 2 พจน์ของลาดับเรขาคณิตท่ี
อยูร่ ะหวา่ ง 1 และ 64
243

ลาดับเรขาคณิต 54 , –18 , 6 , …

a1 = 54 , r = − 18 = −1 จะไดล้ ำดบั เรขำคณิตคือ 1 , x , y , 64
54 3
จาก =a n a1rn−1
จาก an = a1rn−1 จะได้ =a 4 a1r3
64 = r3
2 = 54 − 1 n−1

243  3 

1 =  − 1 n−1 r =4

6561  3 จะได้ x = a1r = 4
y = a1r2 = 16
 − 1 8 =  − 1 n−1
 3 ดังน้นั พจน์ 2 พจน์ของลำดับ
 3
8 เรขำคณิตที่อย่รู ะหว่ำง 1 และ 64 คือ
n–1 =

n=9 4 , 16

ดงั น้ัน เป็นพจน์ที่ 9

จงหาว่าลาดบั เรขาคณิต 25
2, 4, 8, … , 1024 มีทัง้ หมดกี่พจน์
จงหำพจน์ 4 พจน์ของลำดับ
a1 = 2 , r = 2 , an = 1024 เรขำคณติ ท่ีอยู่ระหวำ่ ง 3 และ 32
จำก =a n a1rn−1
81
1024 = 2(2)n−1
512 = (2)n−1 ลำดับเรขำคณิตคือ 3 , a , b , c , d , 32
29 = (2)n−1
n–1 = 9 81

n = 10 จำก =a n a1rn−1
ดงั น้ัน ลำดับนีม้ ที ัง้ หมด 10 พจน์ จะได้ =a6 a1r5

32 = 3r5

81

r5 = 32

243

r =2

3

ดังนน้ั a = 2 , b = 4

3

c = 8 , d = 16

9 27

26

ถ้าพจนท์ ่ี 2 และพจนท์ ่ี 5 ของลาดับ เมื่อนำจำนวนจริง k ไปบวกกนั
แตล่ ะพจนข์ องลำดับ 3, 20, 105
เรขาคณติ มคี ่าเทา่ กับ 3 และ 81 จะทำให้ลำดับท่ีไดใ้ หมเ่ ป็นลำดบั
เรขำคณิต แลว้ k มคี ่ำเท่ำใด
8
จะได้ว่าลาดบั 3+k, 20+k, 105+k
ตามลาดับแล้ว จงหาพจน์ที่ 8 มคี ่าเทา่ ใด เปน็ ลาดบั เรขาคณิต

a2 = 3 , a5 = 81 ดงั นัน้ 20 + k = 105 + k
8
3 + k 20 + k
จะได้ a1r = 3 (1)
(20 + k)2 = (3+k)(105+k)
a1r 4 = 81 (2) 400+40k+ k2 = 315+108k+ k2

8 68k = 85
k = 85
(2)  (1) ; r3 = 27
68
8

r =3

2

แทนคา่ r = 3 ใน (1)

2

จะได้ a1 = 3  2  =2

3

a8 = 2 3 7
2

a8 = 2187
64

27

แบบทดสอบหลงั เรยี น

คำชแี้ จง ใหน้ ักเรียนเลอื กคำตอบทถ่ี ูกตอ้ งท่ีสดุ เพียงขอ้ เดียว

1. ลำดับในข้อใดไม่เป็นลำดับเรขำคณิต
ก. 6 , –6 , 6 , –6 , …
ข. 4 , 8 , 16 , 32 , …
ค. 4 , 8 , 13 , 19 , …
ง. –1 , 2 , –4 , 8 , …

2. สำมพจนถ์ ดั ไปของลำดับเรขำคณติ 1 , 7 , 49 , … มคี ่ำตรงกบั ข้อใด
ก. 360 , 670 , 980 , …
ข. 543 , 2054 , 12458 , …
ค. 392 , 449 , 687 , …
ง. 343 , 2401 , 16807

3. พจน์ทวั่ ไปของลำดบั เรขำคณิต 3 , 1 , 1 , 1 , … ตรงกบั ขอ้ ใด

39

ก. 32−n
ข. 4n - 1
ค. 3n−1

ง. 1 (2n )
3

4. จงหำพจน์ท่ี 7 ของลำดบั เรขำคณิต 5, 10 , 20 , ...
ก. 300
ข. 320
ค. 240
ง. 260

5. –196 เป็นพจน์ท่ีเท่าใดของลาดับ –1 , –6 , –11 , …
ก. 36
ข. 39
ค. 40
ง. 42

28

6. 54 , –18 , 6 เปน็ สามพจนข์ องลาดบั เรขาคณิตทีอ่ ยู่ระหวา่ งจานวนสองจานวนในข้อใด
ก. –162 และ –2
ข. 162 และ 2
ค. –162 และ 2
ง. 162 และ –2

7. ถ้า 8 , 4 , 2 , … , 1 เปน็ ลาดบั เรขาคณิต แล้วลาดับนมี้ ีทง้ั หมดกีพ่ จน์

64

ก. 14
ข. 12
ค. 11
ง. 10
8. ลาดับเรขาคณิตมีพจนท์ ี่ 1 เปน็ 5 และพจน์ท่ี 2 เป็น 10 แล้วพจน์ที่ 6 มีคา่ ตรงกบั
ขอ้ ใด
ก. 160
ข. 320
ค. 840
ง. 2560
9. ลาดบั เรขาคณิตมีพจนท์ ่ีหน่งึ เปน็ 1 และพจน์ที่หา้ เป็น 81 แลว้ อัตราส่วนร่วม
มีค่าตรงกับข้อใด
ก. 6
ข. 5
ค. 4
ง. 3
10. ลาดับเรขาคณิตมอี ัตราส่วนรว่ มเท่ากับ –1 และมีพจนท์ ่แี ปดเทา่ กบั –2
แลว้ พจนท์ ่ีหน่งึ มคี า่ ตรงกับข้อใด
ก. 2
ข. 4
ค. 5
ง. 6

29

กระดำษคำตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์ เรื่อง ลำดับและอนุกรม

ชน้ั มัธยมศึกษำปีท่ี 5 เลม่ ท่ี 3 ลำดบั เรขำคณิต
ชือ่ ..................................................................ช้ัน.................เลขท.่ี ................

คาชีแ้ จง
จงเลือกคำตอบท่ถี กู ทสี่ ดุ เพยี งขอ้ ละคำตอบเดยี ว แล้วใหน้ ักเรียนทำเคร่อื งหมำย X ลงใน

ชอ่ งคำตอบที่เลือกให้ถกู ต้อง

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

ได้.........................คะแนน

30

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียนและหลังเรียน
แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์ เรื่อง ลำดบั และอนกุ รม

ชั้นมัธยมศึกษำปที ี่ 5 เลม่ ที่ 3 ลำดบั เรขำคณิต
ชอ่ื ..................................................................ช้ัน.................เลขท.ี่ ................

คำชี้แจง
จงเลอื กคำตอบท่ีถกู ท่สี ดุ เพียงขอ้ ละคำตอบเดยี ว แลว้ ใหน้ ักเรยี นทำเครอ่ื งหมำย X ลงใน

ชอ่ งคำตอบท่ีเลอื กให้ถกู ต้อง

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

1 x6x

2x 7x

3 x8x

4 x 9x

5x 10 x

ได.้ ........................คะแนน

31

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชัย มำเจริญทรัพย์. แบบฝึกหดั และประเมินผลการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ม.5 เล่ม 1 ช่วงช้นั ที่ 4. กรุงเทพมหำนคร : เดอะบคุ ส์, 2548.

กมล เอกไทยเจริญ. คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 สาระการเรียนรู้พน้ื ฐาน. กรงุ เทพมหำนคร :
ไฮเอ็ดพบั ลิชชง่ิ , ม.ป.ป.

จักรนิ ทร์ วรรณโพธิ์กลำง. คมู่ ือ สาระการเรียนรูพ้ ืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1.
กรุงเทพมหำนคร : พ.ศ. พัฒนำ, 2547.

ณรงค์ ป้ันน่มิ , กนกวลี อษุ ณกรกุล และเรณู สุทธิวำรี. คู่มือ เตรยี มสอบ คณติ ศาสต์พน้ื ฐาน
ม.5 เลม่ 1 ช่วงชนั้ ที่ 4 (ม.4–ม.6). กรุงเทพมหำนคร : ภมู ิบญั ฑิต, ม.ป.ป.

ประหยดั แก้วอำไพ. UP GRADE คู่มอื แบบฝกึ หัดคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ม.5. ปทมุ ธำนี :
สกำยบกุ๊ ส์, 2552.

พนั ธศ์ กั ด์ิ ภทู อง. แผนการจดั การเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตสาตร์
รายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1. กรงุ เทพมหำนคร :
พฒั นศึกษำ, 2549.

สถำบันสง่ เสริมวทิ ยำศำสตร์และเทคโนโลยี. คมู่ อื ครูสาระการเรียนรพู้ ้นื ฐาน คณิตศาสตร์ เลม่ 1
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5. กรุงเทพมหำนคร :
โรงพิมพค์ ุรสุ ภำลำดพรำ้ ว, 2547.
. หนังสือเรียนสาระการเรียนรพู้ ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1
กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5. กรงุ เทพมหำนคร :
โรงพิมพ์คุรสุ ภำลำดพรำ้ ว, 2547.