MODUL 1 - FUNGSI

NOTA RINGKAS
Domain, kodomain, objek, imej dan julat

Rajah menunjukkan hubungan antara set P dan set Q.

1 aa
21 b

32 bc

3c

P Q
(b) Kodomain = {a, b , c},
(a) Domain = {1, 2, 3} (d) Objek bagi a = 1
(c) Imej bagi objek 1 = a Objek bagi b = 2 dan 3
Objek bagi c = 3
Imej bagi objek 2 = b
Imej bagi objek 3 = b dan c 
(e) Julat = {a, b, c}
Jenis-jenis hubungan

Satu kepada satu Satu kepada banyak
Banyak kepada banyak


Banyak kepada satu

1

Latihan Pengukuhan
1. Rajah menunjukkan hubungan antara set A dan set B.

Nyatakan 2 p
4 q
6
r
Set A s

Set B

(a) Domain = (b) Kodomain =

(c) Imej bagi objek 4 = (d) Objek bagi p =
Imej bagi objek 6 = Objek bagi q =

(e) Julat = (f) Jenis hubungan =

2. P = {4, 8, 7, 9}
Q = {8, 13, 16, 21}

Berdasarkan maklumat di atas, hubungan P kepada Q ditakrifkan oleh set pasangan bertertib
{(4,8), (8,13), (7,16), (9,21)}.
Nyatakan:

(a) Domain = (b) Kodomain =

(c) Imej bagi objek 9 = (d) Objek bagi 8 =
(e) Julat = (f) Jenis hubungan =

Fungsi

3) Tentukan imej bagi setiap fungsi berikut: b) Diberi ( ) = 5 +3 carikan imej untuk =
a) Diberi ( ) = 2 2 + 4 − 3, cari nilai (1) 2

−3

2

c) Diberi ( ) = 3 2 − 4 + 6 carikan imej d) Diberi ( ) = + 6 carikan imej untuk =
5
untuk objek 2.
−2

4) Tentukan nilai x atau objek bagi setiap fungsi berikut.

a) Diberi h : x  4  x , x  0 , carikan b) Diberi ( ) = 6 − 7, carikan objek untuk
2x

objek untuk imej 1. imej -5.

c) Diberi fungsi h : x  x2  3 , cari nilai- d) Diberi ( ) = 12 − 5 , cari objek yang
nilai x jika h(x) = 33. memetakan kepada dirinya sendiri di
bawah fungsi g.

e) Diberi f : x → 5x – 3. Cari nilai bagi x jika f) Diberi ℎ( ) = 5 −4 cari nilai x jika ℎ( ) =
( ) = −13 2

8

3

Fungsi Songsangan
Konsep fungsi songsangan

f y f 7

x 2

f 1 f 1

f(x)  y f (3)  7
f 1(y )  x f 1(7)  3

Mencari fungsi songsangan

(a) Tukarkan x kepada y dan samakan (=) dengan x
f : x  3x  5 Proses bermula dengan menjadikan y sebagai subjek
Fungsi songsangan
3y  5  x
3y  x  5
y  x5

3
f 1(x)  x  5

3

(b)

g : x  2x  5 Tukarkan x kepada y dan samakan (=) dengan x
7

2y  5  x
7

2y  5  7x Proses bermula dengan menjadikan y sebagai
2y  7x  5 subjek
y  7x  5

2

g 1(x)  7x  5
2

Fungsi songsangan

4

5) Cari fungsi songsangan bagi setiap yang berikut :

(a) ( ) = 3 (b) ( ) = 8 , ≠ 0

2

(c) ( ) = 7 + 13 (d) g : x  5 , x   3

4x  3 4

(e) ℎ( ) = 4 + (f) : → 2 , ≠ −1
+1
5

5

Mencari nilai bagi fungsi songsangan

Dengan menggunakan konsep fungsi songsangan.

Contoh :
Diberi fungsi ( ) = 2 − 3, cari nilai −1(5)

Jawapan : ( ) = 5 −1(5) =

2 − 3 = 5

2 = 5 + 3,

= 4
∴ −1(5) = 4

6) Cari nilai fungsi songsangan bagi fungsi berikut.

a) ( ) = 3 − 7, −1(2) b) Diberi ( ) = 2 + 9 cari −1(−3)

c) Diberi ( ) = 7−4 cari −1(6) d) Diberi ( ) = 3 +1 , cari −1(5)

3 2

Fungsi Gubahan

( )

x yz
( )

6

7) Cari fungsi gubahan bagi fungsi-fungsi berikut.

(a) ( ) = 4 − 3 dan ( ) = + 2

fg(x)  gf (x) 

(b) f : x  7  x dan g : x  x2  5 gf (x) 

fg(x) 

(c) h : x  3 , x  0 dan g : x  6x  5 gh(x) 
2x

fg(x) 

(d) f (x)  6x 1 dan g(x)  2x  5 fg(x) 
x

f2 

7

Mencari nilai fungsi gubahan
Contoh :
(a) Diberi fungsi f : x  4x  2 dan g : x  5  2x , cai nilai fg(3) .

Jawapan :

fg(3)  f (1) g(3)  5  2(3)
 4(1)  2  1
 6

fg(3)  6

(b) Diberi fungsi f : x  3x  1 dan g : x  x , cai nilai gf 1(3) .
5

Jawapan :

3y  1 3 gf 1(3)  g  2 
 3 

2

3y  3 1 3
5

y2 2
3 15

f 1(3)  2 gf 1(3)  2
3 15

8) Cari nilai fungsi gubahan yang berikut.

(a) f : x  3x  5 fg(2)  gf (5) 
g : x  5  3x

8

(b) f : x  7x  2 fg(2)  gf (1) 
g : x  2x  7

(c) h : x  6 , x  0 hg1(5)  g2(4) 
x

g : x  2x  5

(d) f : x  x2  4 f 2(2)  fg 1(9) 
g : x  5x  3

(e) f : x  4  x2 fg 1  1   g 2 (3)
g : x  x 1  3 
6

9

SOALAN PENGUKUHAN FUNGSI SONGSANGAN DAN FUNGSI GUBAHAN
1. Diberi h : x  x  3 dan g : x  x2  x  6 , cari
(a) h -1(5),
(b) gh (x)

2. Diberi fungsi f : x  3x  2 dan g : x  2x  3 .Cari fungsi gubahan gf (x).

3. Diberi f : x  4x  3 dan g : x  3 , x  k . Cari nilai
x2

(a) k,
(b) fg -1(2).

4. Diberi f : x  3 , x   1 dan g : x  3x  4 , cari
2x  1 2

(a) f -1(x),

(b) f -1g (-2)

10

5. Diberi fungsi f 1 : x  1 , x  k .
3x 1

(a) Nyatakan nilai k,
(b) Cari fungsi f (x).

6. Diberi fungsi h : x  3x  2 dan g : x  4 , x  3 , cari
x 1

(a) h -1(x),
(b) gh -1(4).

7. Diberi fungsi f : x  m  2x2 , g : x  nx  1 dan gf : x  14  10x2 , cari nilai m dan nilai
n.

8. Diberi f : x  5x  2 dan g : x  x2  3 , cari
(a) f 2(2),
(b) fg (3)

11

9. Diberi f : x  5x  h dan f 1 : x  kx  1 , dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Cari
3 55

nilai h dan nilai k.

10. Diberi fungsi p: x → ax + b dengan keadaan a dan b ialah pemalar dan a > 0. Jika
p2: x → 25x + 12, cari nilai a dan nilai b.

Mencari Suatu Fungsi Apabila Diberi Satu Fungsi Dan Satu
Fungsi Gubahan
Contoh 1
Diberi ( ) = 2 + 4 dan ( ) = 3 − 8 cari fungsi g(x).

( ) = 3 − 8
[ ( )] = 3 − 8
2( ( )) + 4 = 3 − 8

3 − 12
( ) = 2

12

9) Cari fungsi g bagi setiap yang berikut: b) Diberi ( ) = 3 − 1 dan ( ) = 8 + 6
a) Diberi ( ) = + 2 dan cari fungsi g(x).

fg(x)  3x2  2x  2 cari fungsi g.

c) Diberi ( ) = + 3, dan ( ) = 3 2 − 2 d) Diberi ( ) = 2 − 1 dan

cari fungsi g(x) . ( ) = 2 + 6 + 6 cari g(x).

Contoh 2 [ ( )] = 2 − 7
Diberi ( ) = 6 + 2
dan ( ) = 2 − 7 cari f(x) − 2
( ) = 2 ( 6 ) − 7
− 2
Penyelesaian ( ) = ( 3 ) − 7

( ) = − 23
( ) = 3
6 + 2 =
− 2

= 6

13

10) Cari fungsi g bagi setiap yang berikut:

a) Diberi ( ) = − 3 dan ( ) = 3 b) Diberi ( ) = + 2 dan

−2 gf (x)  3 , x  1
2x 1 2
cari fungsi g. cari fungsi g(x)

c) Diberi ( ) = 4 − 3 , dan d) Diberi ( ) = + 2 dan
( ) = 2 − 6 cari fungsi f(x). ( ) = 2 + 9 + 2 cari g(x)

14

Soalan SPM
Kertas 1
1. Rajah menunjukkan hubungan antara set X dan set Y dalam bentuk graf.

Nyatakan [ 3 markah ]
a) hubungan itu dalam bentuk pasangan tertib.
b) jenis hubungan
c) julat hubungan itu.

2. SPM 2010

Diberi fungsi : → 2 + 1 dan ℎ: → 3 + 6, cari

a) −1( ) b ) ℎ −1(9) [ 3 markah ]

3. SPM 2010

Diberi fungsi : → − 8 dan ℎ: → , ≠ 23, cari nilai ℎ (10). [ 3 markah ]
3 −2

4. SPM 2011

Diberi bahawa hubungan antara set = {0, 1, 4, 9, 16} dan set = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
ialah “kuasa dua bagi”

a) Cari imej bagi 9,

b) Ungkapkan hubungan itu dalam bentuk pasangan tertib. [ 3 markah ]

5. SPM 2011 [ 2 markah ]
Diberi bahawa fungsi ( ) = 4 − 7 dan ℎ( ) = 2 . Cari nilai ℎ(2).

6. SPM 2011 [ 4 markah ]
Fungsi songsangan ℎ−1 ditakrifkan ℎ−1: → 2 , ≠ 3. Cari

3−

a) ℎ( )

b) nilai dengan keadaan ℎ( ) = −5

15

7. SPM 2012
Rajah menunjukkan hubungan antara set M dan set N.

-3
5 -1

61
3

74

Set M Set N
Nyatakan
[ 2 markah ]
a) objek bagi -1 [ 4 markah ]
[ 3 markah ]
b) julat hubungan itu

8. SPM 2012

Diberi ( ) = 3 + 4 dan ( ) = 6 + 7, cari

a) fg(4) b) g(x)

9. SPM 2012 b) nilai dengan keadaan 2 −1( )=f(3).
Diberi : → + 5, cari
a) f(3)

10. SPM 2013
Rajah menunjukkan hubungan antara set P dan set Q dalam bentuk graf.

Nyatakan [ 2 markah ]
a) julat hubungan itu
b) jenis hubungan antara set P dan set Q.

11. SPM 2013 [ 2 markah ]
Diberi fungsi : → 5 + 6 dan : → 2 − 1, cari ( ).

12. SPM 2013

Diberi bahawa fungsi ( ) = − 3 , dengan keadaan p ialah pemalar. Cari nilai p

dengan keadaan ( ) = 4. [ 2 markah ]

16

13. SPM 2014
Rajah menunjukkan hubungan antara set A dan set B dalam bentuk rajah anak panah.

a) Wakilkan hubungan itu dalam bentuk pasangan tertib. [ 2 markah ]
b) Nyatakan domain hubungan itu.

14. SPM 2014
Rajah menunjukkan suatu fungsi : → − 2 , dengan keadaan ialah pemalar.

Cari nilai . [ 2 markah ]

15. SPM 2015
Rajah menunjukkan fungsi gubahan gf yang memetakan x kepada z.

Nyatakan [ 2 markah ]

a) fungsi yang memetakan x kepada y
b) −1( )

16. SPM 2015

Diberi fungsi ( ) = 3 dan ( ) = ℎ − , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.

Ungkapkan h dalam sebutan k dengan keadaan (1) = 4 [ 3 markah ]

17. SPM 2016 [ 4 markah ]
Diberi fungsi : → 3 − 2, cari
a) nilai x apabila f(x) memeta kepada diri sendiri.
b) nilai h dengan keadaan (2 − ℎ) = 4ℎ

17

18. SPM 2016

Diberi fungsi : → + 1, ℎ: → 3 − 5 dan ℎ( ) = 3 + . Ungkapkan p

dalam sebutan q. [ 3 markah ]

19. SPM 2016

Diberi fungsi : → 3 + 1, dan : → 9 2 + 6 − 4, cari

a) −1( ) b) ( ) [ 3 markah ]

20. SPM 2017

Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi f : x  1 2x untuk domain 2  x  4.

f(x)

7
(-2,5)

0 x
Nyatakan 4
a) objek bagi 7.
c) domain bagi 0  f (x)  5. b) imej bagi 3

21. SPM 2017 [ 3 markah ]
Diberi fungsi g : x  2x  8 , cari [ 3 markah ]

a) g 1(x) b) nilai p dengan keadaan g 2  3p   30 .
 2 

Kertas 2

1. SPM 2014
Dalam rajah berikut, fungsi f memetakan set A kepada set B dan fungsi g memetakan
set B kepada set C.

Cari [ 5 markah ]
a) dalam sebutan x, fungsi

(i) yang memetakan set B kepada set A,
(ii) ( ).

18

b) nilai x dengan keadaan ( ) = 8 + 1 [ 2 markah ]

SOALAN PENGAYAAN

1. Hashim menawarkan perkhidmatan penghantaran bungkusan makanan. Harga kos bagi
setiap bungkusan makanan ialah RM5.70 dan harga jualan ialah RM6.50. Secara purata,
dia membelanjakan RM24 pada petrol bagi penghantaran makanan setiap hari.

a) Tuliskan satu fungsi keuntungan , f(n), berdasarkan bilangan bungkusan makanan yang
dihantar.

b) Cari nilai bagi n untuk mendapatkan pulangan modal dan cari nilai f(n) jika n sama
dengan 150.

c) Tunjukkan jawapan anda di (b) dalam bentuk rajah anak panah. [ 5 markah ]

2. f g
x 0.9x x x-50

x xf

Harga Harga Harga Harga
tersenarai diskaun tersenarai diskaun

f dan g ialah dua fungsi berbeza yang memetakan harga tersenarai suatu barang
kepada harga diskaunnya. Harga tersebut dalam RM.

a) Terangkan diskaun yang ditawarkan bagi setiap fungsi diskaun.

b) Jika sebuah kedai ingin menawarkan kedua-dua diskaun semasa promosi jualan,
cari harga diskaun fg(x) dan gf(x) bagi barang yang berharga RM500. Berikan ulasan
bagi kedua-dua harga diskaun tersebut.
[ 4 markah ]

19