Informatike dhe Programim_2014

Informatikë dhe Programim

4.7.3. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve

Le të shohim zgjidhjen e sistemit linear të ekuacioneve:

x  0 y  0

Given
x y 1
3y  5x 0

 x   Find(x y)
y

Zgjidhja do të jetë:

x  1.5 y  2.5

51

Dr. sc. Ahmet SHALA
Në vijim është paraqitur zgjidhja e sistemit jolinear të ekuacioneve:

x  0 y  0
Given

x2  y2 6
x y 2
zgjidhja Find(x y)

zgjidhja  2.414 
 0.414 

Nga zgjidhja e mëparshme shihet se kemi fituar vetëm një zgjidhje dhe atë reale, nëse dëshirojmë të
shohim edhe zgjidhjet tjera përfshi edhe ato imagjinare përdorim shembullin vijues, ku është
përfshirë edhe simbolika.

x  0 y  0

Given

x2  y2 6

x y 2

1 2 2 1
zgjidhja Find(x y)   
 21 1 2

zgjidhja  0.414 2.414 
 2.414 0.414 

Nga ky shembull shihet se ekziston edhe zgjidhje tjetër dhe atë reale. Duhet theksuar se me këtë
metodë shihen edhe zgjidhjet imagjinare që është paraqitur në shembullin vijues:

52

Informatikë dhe Programim

kurse me metodën paraprake shihet vetëm një zgjidhje dhe atë nëse ekziston ajo reale, kurse
zgjidhjet imagjinare nuk shihen, shih shembullin vijues:

x  0 y  0

Given
x y 1
3y  5x  2x3 0

zgjidhja Find(x y)

zgjidhja  0.861 
 
 1.861 

53

Dr. sc. Ahmet SHALA

4.7.4. Zgjidhja e inekuacioneve

Në vijim është paraqitur zgjidhja e një inekuacioni linear me metodën simbolike:

Në mënyrë analoge realizohet edhe zgjidhja e inekuacionit të rendit të dytë, që është paraqitur në
vijim:

Nga kjo lexojmë se zgjidhje janë të gjitha vlerat e x-it ndërmjet numrave –2 dhe +2 si dhe të gjithë
vlerat e x-it më të mëdha se 5.

54

Informatikë dhe Programim

4.8. Veprimet me vektor dhe matrica

Meqë matrica e rendit nx1 paraqet vektorë, atëherë veprimet janë analoge.

4.8.1. Veprimet me vektor

Janë dhënë dy vektorë në rrafsh:

 2  ( nënkupton vektorina=2·i+3·j+0·k )
a   3 

 0 

 3  ( nënkupton vektorinb=3·i+2·j+0·k )
b   2 

 0 

Shuma e vektorëve:

 5 
a b  5

 0 

Ndryshimi i vektorëve:

 1 
ab   1 

 0 

Produkti skalar i vektorëve:

ab  12
që është identike me:

ab (2i  3j  0k) (3i  2j  0k) 23ii  32j j  00kk 12
ku siq dihet i·i = j·j = k·k =1 dhe i·j = i·k = j·k =0

Produkti vektorial i vektorëve:

 0 
ab   0 

 5 

55

Dr. sc. Ahmet SHALA

që siq shihet është një vektor normal në rrafshin e përfaqësuar nga
vektorët a dhe b dhe ka intensitet të barabartë me 5 (pesë).
Minus (-) tregon se ka kahje të kundërt me kahjen pozitive në këtë
rast të aksit z (k).
Kjo është identike me:

a  b (2i  3j  0k)  (3i  2j  0k)
a  b 22(i  j)  20(i  k)  33(j  i)  30(j  k)  03(k  i)  02(k  j)
a  b 4k  0j  9(k)  0i  0j  0(i)
a  b 0i  0j  5k
ku siq dihet i x i = j x j = k x k = 0 dhe i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, i x k = -k x i = j

4.8.2. Veprimet me matrica

Në vijim janë paraqitur veprimet themelore me matrica.

Matricat e dhëna:  1 0 1 
N   4 8 2 
 1 7 1 
M   5 8 2   1 2 1 

 6 9 3   2 7 0 
N  M  9 0 4
Shuma e matricave M+N:
 5 11 4 
 2 7 0 
M N  9 0 4  0 7 2 
N  M   1 16 0 
 5 11 4 
 7 7 2 
Ndryshimi i matricave M-N:
 5 2 2 
 0 7 2  NM   24 18 6 
M  N   1 16 0 
 15 18 6 
 7 7 2 

Produkti i matricave M·N:

 28 54 14 
MN   35 60 13 

 39 66 15 

56

Informatikë dhe Programim

Matrica e transponuar e M: Matrica e transponuar e N:

MT   1 5 6  NT   1 4 1 
7 8 9  0 8 2 

 1 2 3   1 2 1 

Matrica inverse e M: Matrica inverse e N:

M 1   0.333 0.667 0.333  N 1   1 0.167 0.667 
 0.167 0.167 0.167   0.5 0 0.5 

 0.167 1.833 1.5   0 0.167 0.667 

Pwrcaktori - determinanta i
matricave M dhe N:

M  18 N  12

Në vijim është paraqitur mënyra e bashkimit të
matricave sipas rreshtave apo shtyllave

Matricat e dhëna:

 1 2   1 2 
A   3 7  B   3 7 

 4 9   4 9 

Me përdorim të funksionit stack bëhet bashkimi i
matricave njëra nën tjetrën (sipas rreshtave):

 1 2 
 3 7 

 4 9 
stack (A  B)   
1 2 

3 7 

4 9 

Me përdorim të funksionit augment bëhet bashkimi i
matricave njëra pas tjetrës (sipas kolonave):

 1 2 1 2 
augment(A  B)   3 7 3 7 

 4 9 4 9 

57

Dr. sc. Ahmet SHALA

4.9. Paraqitja grafike e funksioneve

4.9.1. Funksionet me një variabël

Në vijim janë paraqitur pamjet e moduleve që hapen me “double cick” në grafikun paraprak, kështu
kemi realizuar trashësinë më të madhe të lakores f(x), kemi përcaktuar që ndarjet e aksit x të jenë 20
ato të aksit y 10, forma e paraqitjes së grafikut është zgjedhur “Boxed-kuti”, në grafik të shihen
numrat dhe vijat ndarëse, legjenda të mos shihet etj.

58

Informatikë dhe Programim

Gjithashtu përmes modulit paraprak kemi zgjedhur titullin e grafikut, dhe kemi emëruar akset
përkatëse.
Grafiqet në MathCad mund të paraqiten edhe në forma tjera p.sh në koordinata polare si në vijim:

59

Dr. sc. Ahmet SHALA
4.9.2. Funksionet që ndryshojnë në intervale të veçanta sipas argumentit

Duke shfrytëzuar modulin “programming”

përkatësisht urdhrat “Add Line” “ if ” “ otherwise “ është definuar funksioni shkallë në
koordinatat e Dekartit dhe ato polare si në vijim:

Marrim një interval të x-it:
x  10  9.9  10
Definojmë funksionin:
f (x)  2  2sin(x) if 10  x  0
2 if 0  x  5
2  2cos(x) if 5  x  9
0.25 otherwise

4

3

f (x) 2

1

0 10 5 0 5 10
x

60

Informatikë dhe Programim

Marrim një intervalpër :
  0  0.01  360deg

Definojmë funksionin:

r  7  2sin  2cos if 0    45deg

7 if 45deg    225deg

7  2sin  2cos if 225deg    360deg

7 otherwise

120 90 60
10 30
150 8
6 0
r 4
2
7 180 0

210 330

240 300
270


Siç shihet ky grafik paraqet një të ashtuquajtur gungë.
4.9.3. Grafiku i funksioneve parametrike

Shkruani ekuacionet parametrike për x dhe y në
funksion të parametrit t:

x(t)  sin(2t) y(t)  sin(3t)

Lakorja parametrike

1

y ( t)
0

1
10 1
x( t)

61

Dr. sc. Ahmet SHALA
4.9.4. Funksionet me dy variabla

Shkruani funksionin f(x,y) grafikun e të cilit e dëshironi:
f (xy)  x3sin(4y)  y2cos(3x)

Grafiku 3D scatter:

f
Sipërfaqja e interpoluar:

f

62

Informatikë dhe Programim

4.10. Derivatet dhe integralet e funksioneve

Siç është parë më herët softveri MathCad posedon një modul të specializuar për derivate dhe
integrale të funksioneve “Calculus”. Le të shohim se si llogaritet në mënyrë simbolike një derivat i
funksionit. Pas shënimit të shprehjes për derivimi e selektojmë atë dhe shkojmë në
Symbolics/Evaluate/Symbolically ose përmes tastaturës Shift+F9 dhe fitojmë rezultatin:

Siç shihet moduli “Calculus” përmban nën-module për llogaritje të derivateve të rendeve n-ta,
integraleve të caktuara dhe të pacaktuara, shumave, prodhimeve si dhe limiteve. Gjithashtu këtu
gjen përdorim edhe moduli “Symbolic”

63

Dr. sc. Ahmet SHALA

Llogaritja e derivatit të parë me simbolikë:

 d 2x  x2  2sin(x)  2  2x  2cos(x)

dx

Llogaritja e derivatit të dytë me simbolikë:

 d2

dx2
2x  x2  2sin(x)  2  2sin(x)

Llogaritja e integralit të pacaktuar me simbolikë:

 


2x  x2  2sin(x) dx  x2  1 x3  2cos(x)
3

Llogaritja e integralit të caktuar:

 2


1 2x  x2  2sin(x) dx  7.246

Llogaritja e limit të funksionit me simbolikë:

 lim 2x  x2  2sin(x)  8  2sin(2)  9.819

x2

Llogaritja e shumës: n  10 Llogaritja e prodhimit:

  n   n
2i  i2  495 3i2  2i  6.184  1016

i 1 i 1

Gjithashtu mund të realizohet paraqitja grafike e funksionit së bashku me derivateve të tij:

Marrim një interval të x-it:
x  10  9.99  10
Definojmë funksionin:
f (x)  2x  x2  2sin(x)

100
f (x)

d f (x) 50
dx 0

ddx22f (x)

10 5 2.1316282072803 10 13 5 10
x
64

Informatikë dhe Programim

5. Softveri Matlab (MATrix LABoratory)

Softveri Matlab llogaritet si gjuhë programuese e rendit të lartë dhe është mjaft e përshtatshme për
përdorim në inxhinieri në përgjithësi. Baza e këtij softveri janë matricat. Përndryshe ky softver
është i specializuar për rregullimin e sistemeve inxhinierike. Posedon numër mjaft të madh të
moduleve (rregullatorëve) të projektuar deri më sot. Pak a shumë programimi në Matlab është i
ngjashëm me programin në C, C++. Matlab posedon “Converter” përmes të cilëve e bënë
përkthimin e file-ve të shkruar në C, C++ dhe ia përshtat vetvetes.
E metë e këtij softveri, që e kam vërejt gjatë përvojës time, është se file-at e shkruar në versionin
paraprak nuk funksionojnë si duhet në versionin e ri. Deri më sot versionet e këtij softveri kanë
arritur deri te “Matlab 7”. Mirëpo shumicën e file-ve është e mundur të “convert-ohen” nga njëri
version në tjetrin.

5.1. Instalimi dhe Startimi i softverit Matlab

Për të instaluar softverin Matlab duhet të posedoni file-at instalues (zakonisht në CD) dhe licencën
(numrin serik të tij). Instalimi i këtij softveri është i ngjashëm me softverët – programet tjerë dhe
pas ekzekutimit të setup.exe duhet t’i përcjellin kërkesat dhe udhëzimet që paraqiten gjatë
instalimit.
Pasi që është instaluar softveri, ai do të jetë i regjistruar në menynë /Programs, ku janë edhe
programet tjera që keni në kompjuterin tuaj.

Pas këtij ekzekutimi do të paraqitet dritarja vijuese:

65

Dr. sc. Ahmet SHALA

Në pjesën “Command Window” fillohet me ekzekutime, llogaritje …
Nëse dëshirojmë të llogarisim shumën e dy numrave atëherë i shkruajmë ato në Command window
dhe shtypim butonin “Enter” dhe do të kemi pamjen me përgjigjen vijuese:

66

Informatikë dhe Programim

Le të definojmë dy matrica:

1 3  1  1 1 0
A  0 2    0.5 1 ,
1  dhe B   2

1  3 4   6 7 4

atëherë shkrimi i këtyre matricave dhe operimet me to, bëhen si në vijim:

Definimi i matricave dhe mbledhja, zbritja, shumëzimi i tyre, etj:

67

Dr. sc. Ahmet SHALA
Matrica inverse caktohet me inv(A) ose A^(-1), kurse matrica e transponuar caktohem me A’.

Mund të realizohen edhe operacione tjera me matrica, kështu meqë i kemi definuar matricat A dhe
B, p.sh. le të llogarisim shprehjen: A+B- (A*B)+inv(A)*A’-B

68

Informatikë dhe Programim

5.2. Paraqitja grafike e funksioneve

Paraqitja grafike e funksioneve është mjaft e lehtë në Matlab, si për funksionet një, dy dhe tre
dimensionale.
Në vijim kemi realizuar paraqitjen grafike të funksionit me një variabël y = f(x).

69

Dr. sc. Ahmet SHALA
Paraqitjeve grafike mund t’u bashkëngjiten edhe shënime tjera si:

X Label – emërtimi i aksit x
Y Label – emërtimi i aksit y
Title – Titulli i grafikut (emërtimi i grafit). Etj.

Të gjitha këto mund të realizohen duke hapur menynë “Insert” dhe shtypur secilën njëra pas tjetrës
sipas dëshirës tone, shiko pamjen vijuese.
Gjithashtu mund të ndryshohet ngjyra dhe trashësia e lakores, mund të shtohet ndonjë sqarim tjetër
etj, në grafikun tonë si legjenda etj.

70

Informatikë dhe Programim
Në një dritare të grafikut mund të paraqiten dy e më tepër funksione si në figurën vijuese.

71

Dr. sc. Ahmet SHALA
Funksionet dihet se mund të jepen në formë parametrike, pra:
atëherë grafiku y = f(x) do të jetë:

72

Informatikë dhe Programim
Le të shikojmë paraqitjen grafike të funksionit në hapësirë, pra z = f(x,y) ose F(x,y,z)=0, si
lakore dhe sipërfaqe në hapësirë.
Në vijim kemi marrë një lakore të dhënë në koordinatat cilindrike (r,q,z) dhe ato të dhëna në
formën parametrike (në funksion të parametrit t), pastaj kemi shkruar lidhjen ndërmjet koordinatave
cilindrike dhe atyre të Dekartit (x,y,z) dhe kemi paraqitur grafikun e lakores në hapësirë.

Grafiku me urdhrin: plot3(x,y,z)

73

Dr. sc. Ahmet SHALA
Le të shohim në vijim paraqitjet grafike 3D të sipërfaqeve.

Grafiku me urdhrin: plot3(x,y,z)

74

Informatikë dhe Programim
Grafiku me urdhrin: mesh(x,y,z)

Grafiku me urdhrin: surf(x,y,z)

75

Dr. sc. Ahmet SHALA

5.3. Matlab / Simulink

Simulink është moduli kryesor dhe më i rëndësishëm i softverit Matlab. Përmes Simulink-ut bëhet
ndërlidhja e moduleve (toolbox) përbërëse të Matlab-it. Në simulink mund të ndërtojmë modelin
tonë për shqyrtim. Le të shohim një pasqyrë hap pas hapi të disa mundësive të Simulink-ut.

Me shkruarje në “Command Window” urdhrin “simulink” ose me klikim të ikonës

hapet dritarja vijuese:

76

Informatikë dhe Programim

Në anën e majtë të dritares paraprake shihen disa nga modulet përbërëse të Matlab /
Simulinkut, me klikim në ndonjërën nga modulet në anën e djathtë do të paraqiten nën-modulet
përkatëse.

Le të hapim një file të ri për simulimet tona: në dritaren paraprake shkojmë në
File/New/Model

dhe hapet dritarja (modeli i ri) si në vijim:

Në këtë dritare “untitled” mund të ndërtojmë modelin tonë për simulim.

77

Dr. sc. Ahmet SHALA
Le të realizojmë modelin për paraqitje grafike të një funksioni dhe derivatit të tij sipas kohës
“t” të dhënë në “Command Window” apo siç e kupton Matlab-i të lexuar nga “Workspace”. Sëpari
në “Command Window” definojmë parametrin-kohën “t” dhe funksionin “ y “:

Shkojmë në Simulink Library Browser / Sources / From Workspace, moduli “From
Workspace” tërhiqet për “miut” në dritaren ku jemi duke ndërtuar modelin tonë:

Pastaj hapim modulin “From Workspace” dhe në vend të variablës “simin” shkruajmë variablën
tonë [t,y] si në vijim:

78

Informatikë dhe Programim

Kështu tani nëpërmjet modulit “From Workspace” është mundësuar bartja (leximi) në Simulink /
untitled e funksionit y. File-in “untitled” po e emërojmë me emrin grafiku pra modeli ynë do të
ruhet në file-in grafiku.mdl.
Nga Simulink Library Browser / Sinks marrim modulin për grafiqe “Scope” dhe e tërheqim në
modelin tonë “grafiku”.

Lidhja e dy moduleve “From Workspace” (i riemëruar si y(t)) dhe modulit “Scope” bëhet përmes
“miut”.

Kështu modeli ynë është i gatshëm për simulim. Mund të shkojmë në Simulation/Start ose të

klikojmë në shenjën dhe në një dritare të veçantë do të shohim grafikun e funksionit y(t) si në
vijim:

79

Dr. sc. Ahmet SHALA

Vërejtje: “Scope” i janë ndërruar parametrat nga ata default në parametrat që shihen në anën e
djathtë si: ngjyra e prapavijës, ngjyra dhe trashësia e lakores etj.

Në mënyrë të ngjashme shkojmë në Simulink Library Browser / Continous dhe marrim
modulin për llogaritje të derivatit “Derivative” dhe e vendosim në modelin tonë. Për grafik të
derivatit të funksionit marrim edhe një modul nga “Scope” dhe emërojmë p.sh. “derivati i y(t)” si në
pamjen vijuese:

80

Informatikë dhe Programim
Këto dy grafe është e mundshme të bashkohen dhe të paraqiten në një dritare. Së pari
bashkojmë sinjalet përmes modulit “Mux” i cili merret nga Simulink Library Browser / Signal
Routing dhe kemi pamjen vijuese.

Me stratim të Simulimit do të paraqitet dritarja me grafet si në vijim:

81

Dr. sc. Ahmet SHALA
5.3.1. Krijimi i modelit për zgjidhje të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) diferenciale të të

gjitha llojeve

Ekuacionet diferenciale duhet të jenë në funksion të kohës. Le të shohim realizimin e
zgjidhjes së një ekuacioni diferencial të rendit të dytë p.sh.:

x''2  x  sin(t) ose në Mekanikë: x  2  x  sin(t) .............................................................. (1)
me kushte fillestare për t = 0, x = 0, x’ = 0.5.

Dihet se ekuacioni (1) paraqet një ekuacion diferencial të rendit të dytë, me koeficient
konstantë, johomogjen. Zgjidhja e tij kërkohet në dy pjesë, për atë homogjene dhe zgjidhja e
veçantë:

x  xh  xv

Zgjidhja homogjene nënkupton zgjidhjen e ekuacionit diferencial:
xh  2  xh  0 ......................................................................................................................... (2)

Zgjidhja e ekuacionit (2) kërkohet në formën:

xh  C1  sin( 2  t)  C2  cos( 2  t) , ku C1 dhe C2 janë konstante të integrimit.

Zgjidhja e veçantë varet prej formës së pjesës johomogjene, në rastin tonë ajo supozohet e
formës:

xv  A  sin(t) , prej nga: xv  A  cos(t) dhe xv   A  sin(t) ,
këto zëvendësohen në ekuacionin (1) dhe fitojmë:

 A  sin(t)  2 * A  sin(t)  sin(t) ,

përkatësisht
A  sin(t)  sin(t) . .................................................................................................................... (3)

Që të vlejë ky barazim duhet që konstanta A të jetë A=1, atëherë zgjidhja e veçantë është:
xv  sin(t) .
Kështu zgjidhja e përgjithshme ka marrë formën:

x  xh  xv  C1  sin( 2  t)  C2  cos( 2  t)  sin(t) ........................................................... (4)

Nëse derivojmë, anë për anë sipas kohës, shprehjen (4), do të fitojmë:

x  C1  2  cos( 2  t)  C2  2  sin( 2  t)  cos(t) ............................................................. (5)
Duke zëvendësuar kushtet fillestare to  0 dhe x = 0 , x  0.5 , në ekuacionet (4) dhe (5) do të
fitojmë:

(4)=> 0  C1  sin( 2  0)  C2  cos( 2  0)  sin(0)
(5)=> 0.5  C1  2  cos( 2  0)  C2  2  sin( 2  0)  cos(0)

82

Informatikë dhe Programim

përkatësisht
0  C2 ,

0.5  C1  2  1,
prej nga:

C1   0.5   1 2   2 dhe C2  0 .
2 2 4

Kështu me zëvendësim të konstanteve C1 dhe C2 në ekuacionin (4), zgjidhja e ekuacionit
diferencial (1) do të jetë:

x   2  sin( 2  t)  sin(t) , .................................................................................................. (6)
4

kurse derivati i parë (shpejtësia në mekanikë) do të jetë:
x   1  cos( 2  t)  cos(t) . ................................................................................................... (7)
2
Shprehjet (6) dhe (7) të paraqitura grafikisht do të duken si në vijim:

Legjenda: funksioni x(t) me vijë të plotë kurse derivati i tij me vijë të ndërprerë -----

Duke ditur se problemet reale përshkruhet me ekuacione diferenciale mjaft të komplekse
dhe në të shumtën e rasteve “të pazgjidhshme me dorë” në vijim le të realizojmë zgjidhjen e
ekuacionit paraprak në Matlab, dhe modeli vijues do të jetë udhërrëfyes mjaft i mirë për zgjidhje
edhe të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) tjera diferenciale.

83

Dr. sc. Ahmet SHALA
Së pari bëjmë uljen e rendit të ekuacionit diferencial, pra marrim këto shënime:
x  x(1) ,
x  x(2)  dx(1) , .................................................................................................................... (8)
prej nga x  dx(2)  x(2)  x(1) .
Ekuacionin (1) e shkruajmë në formën:
x  2 * x  sin(t) .................................................................................................................... (9)
Në këtë ekuacion hyrje (ngacmim) në funksion të kohës është M=sin(t), e cila brenda nën-
programit të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale do të identifikohet me u, atëherë ekuacionet (8)
dhe (9) paraqesin dy ekuacione diferenciale të rendit të parë të rrjedhura nga ekuacioni diferencial i
rendit të dytë (1). Një veprim i tillë shpesh quhet edhe paraqitje e ekuacioneve diferenciale
nëpërmjet variablave të gjendjes. Kështu ekuacionet që duhet të shkruhet në nën-programin
zgjidhja.m do kenë formën:
dx(1)=x(2)
dx(2)=-2*x(1)+u.
Listingu i nën-programit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale zgjidhja.m është dhënë në vijim:

84

Informatikë dhe Programim
Në vijim duhet të krijojmë modelin për simulim, të cilin do ta emërojmë modeli.mdl. Në
“Command Window” shkruajmë:
>> t = ( 0 : 0.01 : 10 ) ' ; M = sin( t );
Pas hapjes së Simulinkut, hapim modelin e ri në dritaren modeli.mdl, vendosim modulim
për lexim të të dhëna nga “Command Window” përkatësisht modulin “From Workspace” dhe aty
shënojmë se ky modul duhet të lexoj funksionin M.
Nga “Simulink Library Browser / User-Defined Funcions” tërheqim modulin “S-Function”
dhe e vendosim në modelin tonë. Me “double-click” hapim modulin “S-Function” dhe në vend të
kërkimit të hapjes së nën-programit “system” shkruajmë emrin e nën-programit “zgjidhja”.

Pas startimit të simulimit do të paraqitet dritarja me grafet për x(t) dhe derivatin e tij ----.

Legjenda: funksioni x(t) me vijë të plotë kurse derivati i tij me vijë të ndërprerë -----
Siç shihet zgjidhja është e njëjtë me zgjidhjet e realizuara me dorë.
85

Dr. sc. Ahmet SHALA

Literatura

[1] Ligjërata të autorizuara nga profesori i lëndës.
[2] Mathcad User Guide & Electronic boks & Documentations Help
[3] Matlab User Guide & Help
[4] Ahmet Shala, Software-t Aplikative, Prishtinë 2004-2011
[5] Ahmet Shala, Bazat e punes me kompjuter, Prishtinë 2009

Sponzor: N.Sh.T “EALGA” – Prishtinë
Ndërmarrje e specializuar për Inspektim-Testim-Certifikim

ASHENSOR – VINÇA – SKILIFTE & TELEFERIKE

Linku per download: MathCad 14
http://goo.gl/UAGND4
Linku per download: MathCad 15

https://drive.google.com/file/d/1yCENQ6t3CT2mGXza_bg__jQX1wc_j2C4/view?usp=sharing

Linku per download: Matlab R2014a

https://drive.google.com/file/d/1BTUplgwzqAFOTdvEHJycWcLyGPbm1DxM/view?usp=sharing

86