Persamaan Kuadrat

2

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat, karunia serta
InayahNya penulis dapat menyelesaikan tugas pembuatan modul matematika ini. Shalawat dan
salam semoga selamanya tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, beserta para keluarga, dan
para sahabatnya.

Modul ini dilengkapi dengan media pembelajaran berbasis Augmented Reality dengan
aplikasi penunjang assemblr. Modul ini juga dilengkapi contoh soal beserta cara
penyelesaiannya dan beberapa latihan-latiahan soal yang dapat dikerjakan sebagai pengukur
pemahaman materi siswa terkait dengan materi “Persamaan Kuadrat”. Setelah mempelajari
modul ini diharapkan peserta didik memperoleh pemahaman tentang konsep-konsep yang
berkaitan dengan persamaan kuadrat suatu kejadian secara sederhana.

Kami menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan modul ini. Oleh karena itu,
kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan dan kesempurnaan. Kami juga
mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu proses penyelesain
modul ini, terutama dosen pengampu mata kuliah Aplikasi Matematika ibu Lovika Ardana
Riswari S.Pd, M.Pd, yang telah membimbing kami dalam proses penyusunan dalam pembuatan
modul matematika ini. Semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta
didik yang membutuhkan pemahaman konsep materi peluang.

i

DAFTAR ISI

PRAKATA ......................................................................................................i
DAFTAR ISI ...................................................................................................ii
MATERI PEMBELAJARAN ..............................................................................1

KEGIATAN 1 ............................................................................................1
PENEMUAN PERSAMAAN KUADRAT DARI PARA AHLI ........................1
METODE GEOMETRIS BABILONIA .......................................................2

KEGIATAN 2 ............................................................................................4
PENDALAMAN MATERI ......................................................................4
METODE PERSAMAAN PERSAMAAN KUADRAT ............................4
JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT .............................................8
RUMUS .........................................................................................9

PENUTUP ......................................................................................................14
LATIHAN SOAL ........................................................................................14

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................17

ii

MATERI PEMBELAJARAN

PENEMUAN PERSAMAAN KUADRAT DARI PARA AHLI
Aljabar merupakan cabang matematika yang sangat penting. Hal tesebut

ditunjukkan melalui penerapannya secara langsung pada bidang lain seperti
sains, teknik, dan tentunya pada cabang lain dalam matematika itu sendiri
(French, 2002).

Aljabar juga merupakan pengembangan dan penyempurnaan dari
aritmatika (Wheeler, 1996). Dikatakan seperti itu karena dalam prakteknya ada
beberapa permasalahan yang melibatkan prosedur aritmatik, tapi tidak dapat
diselesaikan tanpa melibatkan aljabar.

Persamaan kuadrat merupakan salah satu cabang dalam aljabar. Secara
umum persamaan kuadrat didefinisikan dalam bentuk ² + + = 0, di mana
≠ 0; , disebut koefisien dan c adalah konstanta. Dalam persamaan ini terdapat
dua akar yang dinyatakan dalam bentuk variabel x. Kita dapat mencari dua akar
dari setiap persamaan kuadrat yang diberikan, dimana menemukan akar dari
persamaan kuadrat sama halnya dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.
Beberapa peneliti melakukan kajian mengenai pembelajaran persamaan
kuadrat (Lian & Yew, 2012; Olteanu, C., & Olteanu, L., 2012; Radford, 2002;
Radford & Guerette, 2000; Zakaria et al, 2010). Beberapa hasil dari kajian
tersebut menunjukkan masih banyak siswa yang melakukan kesalahan dalam
menyelesaikan persamaan kuadrat yang disebabkan oleh masih rendahnya
pemahaman sifat dan konsep aljabar.

1

Dalam menyikapi hal ini, peneliti melihat dua hal utama yang dapat
dijadikan landasan mendukung pemahaman siswa terhadap konsep persamaan
kuadrat.

Hal pertama adalah aspek pembelajaran, bahwa proses belajar hanya
akan terjadi ketika pengetahuan yang dipelajari bermakna bagi siswa
(Freudenthal, 1991). Juga, suatu pengetahuan akan menjadi bermakna bagi
siswa jika proses pembelajaran dilakukan dengan melibatkan suatu situasi atau
konteks (CORD, 1999).

Sedangkan hal kedua adalah aspek sejarah. Menurut perspektif sejarah,
konsep penyelesaian persamaan kuadrat dibangun berdasarkan landasan
geometri (French, 2002; Krantz, 2006; Merzbach & Boyer, 2010). Al-Khawarizmi
juga menjelaskan pondasi dan pembuktian penyelesaian persamaan kuadrat
secara geometris untuk penyelesaian persamaan kuadrat dalam bukunya yang
berjudul Hisob al-jabr wa’l muqabalah (Krantz, 2006; Merzbach & Boyer, 2010).

Metode Geometris Babilonia: Naïve Geometry

Secara implisit persamaan kuadrat telah dikenal dan dikembangkan pada
pada masa Babilonia. Hal tersebut ditunjukkan dengan penemuan beberapa
naskah atau prasasti. Hoyrup (1990) menyatakan bahwa masyarakat Babilonia
pada masa Babilonia kuno (2000 B.C.-1600 B.C.) telah mengenal dan mampu
memecahkan persamaan kuadrat (walau masih terbatas). Metode yang
digunakan para matematikawan Babilonia pada waktu itu berupa metode
geometri sederhana dan mereka gunakan untuk menyelesaikan permasalahan
aljabar yang juga mirip dengan metode yang digunakan oleh al-Khawarizmi yang
telah dibahas sebelumnya. Metode ini dikenal dengan nama Naïve geometry.

2

Ide dasar dari metode yang digunakan oleh matematikawan Babilonia
adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna (menyempurnakan bentuk
persegi). Matematikawan pada masa itu memang belum mengenal simbol
aljabar, akan tetapi berdasarkan interpretasi secara geometris dan aljabar yang
disajikan di atas, dapat dikatakan mereka telah mengenal persamaan kuadrat
dan bagimana mencari solusinya, walaupun penggunaannya masih terbatas
untuk bentuk persamaan kuadrat bentuk tertentu dan solusi bilangan positif
saja.

3

PENDALAMAN MATERI
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis dalam bentuk ax² + bx + c =
0 dengan a ≠ 0, a, b, c R
Dengan :
x merupakan variabel
a adalah koefisien x²
b adalah koefisien x
c adalah konstanta
misal :
4x2 + 3x + 1 = 0 maka a = 4, b = 3, dan c = 1
X2 – x + 2 = 0 maka a = 1, b = -1, dan c = 2

1. Metode untuk mencari akar pada persamaan kuadrat, yaitu :

1) Faktorisasi

4

jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0 maka berlaku :

1. x₁ + x₂ =−


2. x₁ + x₂ = √D


3. x₁ . x₂ =


4. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2 x₁x₂

5. 1 + 1 = ₁+ ₂
₁ ₂ ₁. ₂

6. x13 + x23 = (x₁ + x₂)3 – 3x₁ . x₂ (x₁ + x₂)

contoh :

hasil kali akar persamaan kuadrat 5x² + 13x +6 = 0

penyelesaian :

5x² + 13x +6 = 0

5x² + (10x + 3x) + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2)= 0

(5x+3)(x+2) = 0

5x = -3

x = - 3 , atau x = -2
5

jadi, himpuan penyelesaian HP = { - 3 , -2 }
5

persamaan kuadratnya adalah

x² - (x₁ + x₂) x + (x₁ . x₂) = 0

x² - (- 3 + -2)x + (- 3 . -2) = 0
5 5

x² + 153x + 6 = 0
5

5

2) Melengkapi kuadran sempurna
bentuk kuadran sempurna merupakan bentuk persamaan kuadrat yang
menghasilkan bilangan rasional.
Hasil dari persamaan sempurna umumnya menggunakan rumus sebagai
berikut :
(x + p)² = x² + 2px + p²
Dengan pemisalan ( x + p)² = q, maka:
( x + p)² = q
X+P=±q
X = -P ± q

Contoh :

lengkapi kuadrat sempurna berikut x2 + 6x + 5 = 0

Penyelesaian :

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x = -5

misal tambahkan angka 9 dikedua ruas

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x+3)2 = 4

x + 3 = √4

x=3±2

Untuk x + 3 = 2 untuk x + 3 = -2

x=2–3 x=-2-3

x = -1 x = -5

jadi, x = -1 atau x = -5

6

3) Menggunakan rumus ABC

Contoh :

Kerjakan soal berikut menggunakan rumus ABC

X2 + 4x – 12 = 0

Penyelesaian :

X2 + 4x – 12 = 0

a = 1, b = 4, c = -12

₁, ₂ = − ± √ 2 − 4
2

= −4 ± √42 − 4.1(−12)
2.1

= −4 ± √16 + 48
2

= −4 ± 8
2

₁ = −4 + 8 = 2
2

atau

₂ = −4 − 8 = −6
2

7

2. Jenis akar persamaan kuadrat

Cara penyelesaianya tanpa menggunakan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0
tetapi tergantung nilai diskriminan ( D = b2 - 4ac ).

a. D > 0, persamaan kuadrat tersebut kedua akarnya nyata (real) dan
berlainan. Terdapat dua kemungkinan :
1. Jika D berentuk kuadrat, maka kedua akarnya nyata, berlainan, dan
rasional.
2. Jika D bukan bentuk kuadrat, maka kedua akarnya tidak nyata,
berlainan, dan irasional.

b. D = 0, persamaan kuadrat yang kedua akarnya nyata dan sama (kembar).
c. D < 0, persamaan kuadrat yang kedua akarnya tidak nyata (khayal).

Untuk meningkatkan proses belajar kamu, disini disajikan barkode dari
aplikasi asembler yang dapat kamu scen menggunakan hp yang kalian
punya.

8

Contoh :
Tentukan jenis persamaan kuadrat tersebut terlebih dahulu.
X2 – 2 px + p2 = 0
Penyelesaian :
X2 – 2 px + p2 = 0, maka a = 1, b = -2p, c = p2

D = -b2 + 4ac
= (-2p)2 – 4 . 1 . p2
= 4p2 - 4p2
=0

Karena D = 0, maka persamaannya x2 ± p2 = 0, p R mempunyai dua
akar real yang sama atau kembar.

3. Rumus jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat

persamaan kuadrat dapat digunakan untuk :
(i) Menghitung bentuk simetri akar-akar

Persamaan kuadrat.
(ii) Menghitung koefisiensi, yang akarnya

Memenuhi syarat tertentu.
(iii) Menyusun persamaan kuadrat.

9

1. Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua peubahan/variabel

dikatakan simetris/setangkup, jika letak peubahan itu ditukarkan maka

nilainya tetap.

a. a + b = a + b

b. a2 + b2 = a2 + b2

c. 1 + 1 = 1 + 1


Bentuk simetri persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus

menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.

Contoh :

akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 adalah x1 dan x2, hitunglah :

a. x1 + x2

b. x1 . x2

penyelesaian :

x1 + x2 = − = − −3 = 3
1

x1 . x2 = = −1 = 1
1

2. menghitung koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya

memenuhi sifar-sifat tertentu

sifat-sifatnya yaitu sebagai berikut.

a. Salah satu akarnya n kali akar yang lain ( x1 = nx2)

b. Kedua akarnya sama ( x1 = x2 )

c. Kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 atau x2 = -x1)

d. Kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1 )
₂

e. Salah satu akarnya sama dengan nol ( x1 = 0)

10

Contoh :
jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 + 4x + p – 4 = 0 adalah tiga kali
akar yang lain, maka tentukan besar nilai p!
Penyelesaian:
salah satu akarnya tiga kali akar yang lain (x1 = 3x2), maka :

x1 + x2 = − x1 . x2 =


x1 + x2 = -4 (-3)(1) = −4
1

3x2 + x2 = -4 -3 = p – 4
4x2 = -4
X2 = -1 p=1

X1 = 3x2
= 3.-1

= -3

3. Menyusun persamaan kuadrat

cara menyusun persamaan kuadrat, antara lain :
1. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,
maka untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan
dengan cara berikut.
a. Perkalian faktor

(x – x1) (x – x2) = 0

11

b. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

x2 - (x1 + x2) x + (x1 . x2) = 0

Contoh :
Susunlah suatu persamaan kuadrat jika diketahui -2 dan 7
Penyelesaian :
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2, maka :
x1 = -2 dan x2 = 7
x1 + x2 = -2 + 7 = 5
x1 . x2 = -2 . 7 = -14
x2 - (x1 + x2) x + (x1 . x2) = 0

x2 – (5) x + (-14) = 0
x2 -5x – 14 = 0

2. Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya mempunyai

hubungan dengan akar persamaan kuadrat lainnya

Untuk mencari persamaan kuadrat baru digunkan rumus jumlah dan

hasil kali akar-akarnya.

Contoh :

Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 6x – 8 = 0 adalah x1 dan x2,

susunlah persamaan kuadrat yang akarnya 1 dan 1
₁ ₂

Penyelesaian :

3x2 + 6x – 8 = 0; x1 + x2 = - 6 = -2; x1 . x2 = - 8
3 3

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar

dan , maka = 1 dan = 1 ₂.
₁

12

+ = 1 + 1 + = 1 . 1
₁ ₂ ₁ ₂

 + = ₁+ ₂  + = 1
₁+ ₂ ₁+ ₂

 + = −2  + = 1

− 8 − 8
3 3

 + = 3  + = − 3
4 8

Maka diperoleh persamaan kuadrat :

x2 – ( + )x + ( . )= 0

x2 - 43x + (− 3 ) = 0
8

x2 - 34x − 3 =0
8

x8

8x2 -6x -3 = 0

13

PENUTUP

Latihan soal :
A. Pilihlah A, B, C, atau D sebagai jawaban yang benar!

1. Jika salah satu akar dari persamaan x² + 2x + c = 0 yaitu 3, maka akar
lainnya adalah...
A. 5
B. 3
C. -5
D. -15

2. Jika salah satau akar dari persamaan x² – 4x + c = 0 yaitu 2, maka nilai c
yang memenuhi persamaan tersebut adalah….
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4

3. Jika bentuk umum dari persamaan x² – 4 = 3(x – 2) merupakan ax² + bx +
c = 0, maka nilai a, b, dan c berturut-turut adalah ….
A. 1, -3, 2
B. 1, -2, 3
C. 1, 3, -2
D. 1, -3, -10

4. Himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 5x + 6 = 0 adalah…
A. {-2, -3}
B. {-3, -3}
C. {-3, 2}
D. {3, -2}

14

5. Himpunan penyelesaian dari persamaan x² - x = 12 adalah…
A. {-2, -6}
B. {-4, -3}
C. {-3, 4}
D. {6, -2}

6. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2x² + 5x + 3 = 0 adalah…
A. {3/2, -2}
B. {3/2, -1}
C. {-3, 2}
D. {1, 3/2}

7. Himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 9x + 18 = 0 adalah…
A. {3, -6}
B. {-6, -3}
C. {3, 6}
D. {6, -3}

8. Jenis akar persamaan x² + 16x + 64 = 0 adalah…
A. Memiliki dua akar yang berlainan
B. Akarnya kembar
C. Tidak memiliki akar real
D. Memiliki akar imajiner

9. Jenis akar persamaan x² + 8x + 16 = 0 adalah…
A. Memiliki dua akar yang berlainan
B. Akarnya kembar
C. Tidak memiliki akar real
D. Memiliki akar imajiner

10. Jenis akar persamaan x² - 6x - 16 = 0 adalah…
A. Memiliki dua akar yang berlainan

15

B. Akarnya kembar
C. Tidak memiliki akar real
D. Memiliki akar imajiner
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x² – 6x + c = 0 adalah 3.
Tentukan nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut!
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 9x + 14 = 0!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 8x + 15 = 0!
4. Tentukan jenis akar daari persamaan 2x² - 2x + 5 = 0!
5. Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar -3 dan 4. Tentukan
persamaan kuadratnya!

16

DAFTAR PUSTAKA

BSNP. 2006. Modul Pintar Matematika Kelas X Sekolah Menengah Atas.
Semarang: Citra Pustaka.

Fahrudin, A. D. (2015). Pendekatan geometri untuk membangun konsep
penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan perspektif sejarah. Jurnal
Edukasi, 1(2), 215-228.

Kesumayanti, N., & Putra, R. W. Y. (2017). Pengembangan Bahan Ajar Materi
Persamaan Kuadrat Berbantuan Rumus Cepat. Jurnal Edukasi dan Sains
Matematika (JES-MAT), 3(2), 125-138.

Purnama, Wahyu., dan Maya, S. R. (2018). Profesional Sejarah dan Filsafat
Matematika. Modul Pengembangan Keprofesional Berkelanjutan, (14-57).

Risnanto, A., Rosita, C. D., & Aminah, N. (2019, November). DESAIN BAHAN AJAR
PADA MATERI PERSAMAAN KUADRAT BERBASIS KEMAMPUAN
PEMAHAMAN KONSEP. In Prosiding Seminar Nasional Matematika dan
Sains (pp. 40-47).

Wahyono, Endro dan Sandy Fahamsyah. Super Referensi rumus Matematika SD,
SMP, SMA. Wahyu Media.

17

18

19