PROJECT KELOMPOK 3 MATEMATIKA FISIKA_TURUNAN PARSIAL

Persamaan Diferensial merupakan salah satu topik dalam MATEMATIKA
matematika yang cukup menarik untuk dikaji lebih lanjut.
Hal itu karena banyak permasalahan kehidupan sehari-hari TURUNAN PARSIAL
yang dapat dimodelkan dengan persamaan Diferensial,
diantaranya dalam bidang kesehatan yaitu pemodelan KELOMPOK 3
penyakit, perkembangan bakteri, sedangkan dalam bidang
teknik yaitu pemodelan gelombang air laut, pemodelan
perambatan panas pada batang logam, dan sistem kerja pada
pegas. Persamaan Diferensial secara umum dibedakan
menjadi dua, yaitu persamaan Diferensial biasa dan
persamaan Diferensial parsial. Persamaan Diferensial biasa
adalah persamaan yang hanya memuat turunan yang terdiri
dari satu atau lebih variabel tak bebas dengan satu variabel
bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial adalah
persamaan yang memuat turunan parsial satu atau lebih
variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas
(Ross,1984:4).

KELOMPOK 3

Oleh Kelompok 3
ASIMIKAULI Br. TAMBUNAN
CHRISTIN ELIDA SARI SIAHAAN
EMMY PUTRI SIMANJUNTAK
HIKMAH MUTIARA HARAHAP
SANDY JEFRY PUTRA TAMPUBOLON

2.3 TURUNAN PARSIAL

Jika adalah fungsi dua peubah dan , andaikan kita misalkan hanya yang
bervarasi sementara kita tahan tetap, katakanlah = , dimana adalah

konstanta. Maka kita sebenarnya sedang memperhatikan sebuah fungsi dari satu
peubah , yaitu, ( ) = ( , ). Jika memiliki turunan di , maka kita
menyebutnya turunan parsial dari terhadap di ( , ) dan menyatakannya
dengan ( , ). Jadi

( , ) = ′( ) dimana ( ) = ( , )

Oleh definisi turunan, kita memiliki

′( ) = lim ( + ℎ) − ( )
ℎ
ℎ→0

dan dengan demikian

( , ) = lim ( + ℎ, ) − ( , )
ℎ
ℎ→0

Dengan cara yang sama, turunan parsial dari terhadap di ( , ),

dinyatakan dengan ( , ), diperoleh dengan menahan tetap ( = ) dan
menemukan turunan biasa di dari fungsi ( ) = ( , ):

( , ) = lim ( , + ℎ) − ( , )
ℎ
ℎ→0

Jika sekarang kita misalkan titik ( , ) bervariasi dalam persamaan
( , ) dan ( , ) di atas, maka dan menjadi fungsi dua peubah.

Jika adalah fungsi dua peubah, turunan parsial-nya adalah fungsi-fungsi
dan yang didefinisikan oleh

( , ) = lim ( + ℎ, ) − ( , )
ℎ
ℎ→0

( , ) = lim ( , + ℎ) − ( , )

ℎ→0 ℎ

Terdapat banyak notasi alternatif untuk turunan parsial. Sebagai contoh,
sebagai ganti dari kita dapat menuliskan 1 atau 1 (untuk mengindikasikan

diferensiasi terhadap peubah pertama) atau . Tetapi di sini tidak bisa



diinterpretasikan sebagai rasio dari diferensial.

NOTASI UNTUK TURUNAN PARSIAL Jika = ( , ), kita tuliskan


( , ) = = = ( , ) = = 1 = 1 =

( , ) = = = ( , ) = = 2 = 2 =


Untuk menghitung turunan parsial, yang harus kita lakukan adalah mengingat
bahwa turunan parsial terhadap hanyalah turunan biasa dari fungsi dari
peubah tunggal yang kita peroleh dengan menahan tetap. Jadi kita memiliki
aturan berikut

ATURAN UNTUK MENCARI TURUNAN PARSIAL DARI = ( , )
1. Untuk mencari , anggap sebagai sebuah konstanta dan diferensialkan

( , ) terhadap .
2. Untuk mencari , anggap sebagai sebuah konstanta dan diferensialkan

( , ) terhadap .

Contoh 1
Jika ( , ) = 3 + 2 3 − 2 2, cari (2, 1) dan (2, 1).

Penyelesaian
Dengan menahan konstan dan mendiferensialkan terhadap , kita

dapatkan

( , ) = 3 2 + 2 3
dan dengan demikian

(2, 1) = 3 ∙ 22 + 2 ∙ 2 ∙ 13 = 6

Dengan menahan konstan dan mendiferensialkan terhadap , kita
dapatkan

( , ) = 3 2 2 − 4 □

dan dengan demikian
(2, 1) = 3 ∙ 22 ∙ 12 − 4 ∙ 1 = 8

Untuk memberikan interpretasi geometris dari turunan parsial, kita ingat kembali

bahwa persamaan = ( , ) merepresentasikan sebuah permukaan (grafik
dari ). Jika ( , ) = , maka titik ( , , ) terletak pada . Dengan

menetapkan = , kita membatasi perhatian kita pada kurva 1 dalam mana
bidang vertikal = memotong . (Dengan kata lain, 1 adalah jejak dari pada
bidang = ). begitu juga, bidang vertikal = memotong dalam kurva 2.
Kedua kurva 1 dan 2 melalui titik (lihat Gambar 1).

Gambar 1

Turunan parsial dari di ( , )
adalah kemiringan garis singgung pada 1 dan 2

Perhatikan bahwa kurva 1 adalah grafik dari fungsi ( ) = ( , ), jadi
kemiringan garis singgungnya 1 di adalah ′( ) = ( , ). Kurva 2 adalah
grafik dari fungsi ( ) = ( , ), jadi kemiringan garis singgunnya 2 di
adalah ′( ) = ( , ).

Jadi turunan parsial ( , ) dan ( , ) dapat diinterpretasikan secara
geometris sebagai kemiringan garis singgung di ( , , ) pada jejak-jejak 1 dan
2 dari di bidang = dan = .

Turunan parsial juga bisa diinterpretasikan sebagai laju perubahan. Jika
= ( , ), maka / merepresentasikan laju perubahan dari terhadap
bilamana tetap. Begitu juga, / merepresentasikan laju perubahan dari
terhadap bilamana tetap.

Contoh 2
Jika ( , ) = 4 − 2 − 2 2, cari (1, 1) dan (1, 1) dan interpretasikan

bilangan-bilangan ini sebagai kemiringan.

Penyelesaian
Kita memiliki

( , ) = −2 ( , ) = −4

(1, 1) = −2 (1, 1) = −4

Grafik dari adalah paraboloida = 4 − 2 − 2 2 dan bidang vertikal
= 1 memotongnya dalam parabola = 2 − 2, = 1. (Sebagaimana

dalam diskusi sebelumnya, kita memberi label 1 dalam Gambar 2).
Kemiringan garis singgung pada parabola ini di titik (1, 1, 1) adalah
(1, 1) = −2. Dengan cara yang sama, kurva 2 dalam mana bidang =
1 memotong paraboloida adalah parabola = 3 − 2 2, = 1, dan
kemiringan garis singgung di (1, 1, 1) adalah (1, 1) = −4 (lihat Gambar

3).

□

Gambar 2 Gambar 3

Gambar 4 di bawah ini adalah gambar pembanding oleh komputer pada

Gambar 2 di atas. Bagian (a) memperlihatkan bidang = 1 memotong
permukaan untuk membentuk kurva 1 dan bagian (b) memperlihatkan 1 dan 1.
[Kita menggunakan persamaan vektor ( ) = 〈 , 1,2 − 2〉 untuk 1 dan ( ) =
〈1 + , 1, 1 − 2 〉 untuk 1]. Dengan cara yang sama, Gambar 5 berhubungan
dengan Gambar 3.

(a) (b)

Gambar 4

(a) (b)

Gambar 5

Contoh 3

Jika ( , ) = sin (1+ ), hitunglah dan .


Penyelesaian
Dengan menggunakan Aturan Rantai untuk fungsi satu peubah, kita
memiliki

1
= cos (1 + ) ∙ (1 + ) = cos (1 + ) ∙ 1 +

1
= cos (1 + ) ∙ (1 + ) = cos (1 + ) ∙ (1 + )2

□

Contoh 4
Cari dan jika didefinisikan secara implsit sebagai sebuah fungsi



dari dan oleh persamaan
3 + 3 + 3 + 6 = 1

Penyelesaian

Untuk mencari , kita diferensiasikan secara implisit terhadap , dan


berhati-hati memperlakukan sebagai konstanta:

3 2 + 3 2 + 6 + 6 = 0


Dengan menyelesaiakan persamaan ini untuk , kita peroleh
2 + 2
= − 2 + 2

Dengan cara yang sama, diferensiasi implisit terhadap memberikan

2 + 2
= − 2 + 2

□

Turunan parsial juga bisa didefinisikan untuk fungsi dengan tiga atau lebih
peubah. Sebagai contoh, jika adalah fungsi tiga peubah , , dan , maka
turunan parsialnya terhadap didefinisikan sebagai

( , , ) = lim ( + ℎ, , ) − ( , , )

ℎ→0 ℎ

dan definisi ini ditemukan dengan menganggap dan sebagai konstanta dan
mendiferensiasikan ( , , ) terhadap . Jika = ( , , ), maka = /
dapat diinterpretasikan sebagai laju perubahan terhadap bila dan ditahan

tetap. Tetapi kita tidak bisa menginterpretasikannya secara geometris karena
grafik dari terletak dalam ruang dimensi-empat.

Secara umum, jika adalah fungsi dari peubah, = ( 1, 2, … , ),
turunan parsialnya terhadap peubah ke- adalah

= lim ( 1, … , −1, + ℎ, +1, … , ) − ( 1, … , , … , )
ℎ
ℎ→0

dan kita juga menuliskan


= = = =

Contoh 5
Cari , , dan jika ( , , ) = ln .

Penyelesaian
Dengan menahan dan konstan dan mendiferensiasikan terhadap , kita
memiliki

= ln

Dengan cara yang sama, dan =
= ln

□

Jika adalah fungsi dari dua peubah, maka turunan parsialnya dan juga

merupakan fungsi dari dua peubah, jadi kita dapat memeriksa turunan-turunan

parsialnya ( ) , ( ) , ( ) , dan ( ) , yang disebut turunan parsial kedua



dari . Jika = ( , ), kita menggunakan notasi berikut ini:

( ) = = 11 = = 2 = 2
( ) 2 2

2 2
( ) = = 12 = ( ) = =

( ) 2 2
= = 21 = ( ) = =


( ) = 2 2
= = 22 ( ) = =
2 2

Jadi notasi atau 2 berarti bahwa pertama kita mendiferensialkan terhadap


dan kemudian terhadap , sebaliknya dalam mengitung urutannya dibalik.

Contoh 6
Cari turunan-turunan parsial kedua dari

( , ) = 3 + 2 3 − 2 2

Penyelesaian
Dalam Contoh 1 kita temukan bahwa

( , ) = 3 2 + 2 3 ( , ) = 3 2 2 − 4

Dengan demikian

= (3 2 + 2 3) = 6 + 2 3 = (3 2 + 2 3) = 6 2


= (3 2 2 − 4 ) = 6 2 = (3 2 2 − 4 ) = 6 2 − 4

□

Gambar 6 di bawah ini memperlihatkan grafik fungsi dalam Contoh 6
dan grafik dari turunan-turunan parsial pertama dan keduanya untuk −2 ≤ ≤ 2,
−2 ≤ ≤ 2. Perhatikan bahwa grafik-grafik ini konsisten dengan interpretasi kita
terhadap dan sebagai kemiringan dari garis singgung pada jejak-jejak grafik
. Sebagai contoh, grafik dari menurun jika kita memulai dari (0, −2) dan
bergerak dalam arah positif. Ini direfleksikan dalam nilai negatif dari . Anda

sebaiknya mencoba untuk membandingakan sendiri grafik dari dan
dengan grafik dari untuk melihat hubungannya.

Grafik Grafik Grafik

Grafik Grafik = Grafik

Gambar 6

Perhatikan bahwa = dalam Contoh 6. Ini bukalah kebetulan.
Turunan parsial campuran dan adalah sama untuk kebanyakan fungsi yang
dijumpai dalam praktek. Teorema berikut ini, yang dikemukakan oleh
matematikawan berkebangsaan Prancis, Alexis Clairut (1713-1765), memberikan
kondisi pada mana kita dapat menyatakan bahwa = . Bukti ditinggalkan
kepada mahasiswa untuk latihan.

TEOREMA CLAIRUT Andaikan didefinisikan pada sebuah cakram
yang mengandung titik ( , ). Jika fungsi dan keduanya kontinu pada
, maka

( , ) = ( , )

Turunan parsial tingkat 3 atau yang lebih tinggi juga dapat didefinisikan.

Sebagai contoh,

= ( ) = 2 = 3
( )
2

dan dengan menggunakan Teorema Clairut dapat diperlihatkan bahwa =
= jika fungsi-fungsi ini kontinu.

Contoh 7
Hitung jika ( , , ) = sin(3 + ).

Penyelesaian

= 3 cos(3 + )
= −9 sin(3 + )
= −9 (3 + )
= −9 cos(3 + ) + 9 sin(3 + )

□

LATIHAN 2.3

1. Tentukan tanda dari turunan-turuan parsial untuk fungsi yang grafiknya
diberikan di bawah ini

(a) (−1, 2) (b) (−1, 2)
(c) (−1, 2) (d) (−1, 2)
(e) (1, 2) (f) (−1, 2)

2. Cari turunan parsial pertama dari fungsi berikut.

(a) ( , ) = 5 − 3 (b) ( , ) = √ ln

(c) = (2 + 3 )10 (d) = sin cos

(e) = /( + 2) (f) ( , ) = ln( 2 + 2)
(g) ( , ) = ∫ cos( 2) (h) ( , , ) = sin( − )

(i) ( , , , ) = 2/( + 2 ) (j) = √ 12 + 22 + ⋯ + 2

3. Cari turunan parsial yang diindikasikan berikut.

(a) ( , ) = ln( + √ 2 + 2); (3, 4)
(b) ( , ) = arctan ( ); (2, 3)
(c) ( , , ) = /( + + ); (2, 1, −1)

4. Gunakan definisi turunan parsial sebagai limit untuk menentukan ( , ) dan
( , ).

(a) ( , ) = 2 − 3
(b) ( , ) = /( + 2)

5. Gunakan diferensiasi implisit untuk menentukan / dan / .
(a) 2 + 2 + 2 = 3
(b) = ln( + )

(c) − = arctan( )

(d) sin( ) = + 2 + 3

6. Cari semua turunan parsial kedua dari fungsi-fungsi berikut.

(a) ( , ) = 3 5 + 2 4
(b) ( , ) = sin2( + )

(c) = √ 2 + 2
arctan +
(d) =
1−

7. Pastikan bahwa kesimpulan dari Teorema Clairut dipenuhi, yakni, = .
(a) = sin( + 2 )

(b) = ln √ 2 + 2
(c) =

2.4 BIDANG SINGGUNG
DAN HAMPIRAN LINIER

Salah satu ide terpenting dalam kalkulus peubah tunggal adalah bahwa
sebagaimana kita memperbesar penglihatan ke arah titik pada grafik dari sebuah
fungsi yang terdiferensialkan, grafik tersebut menjadi tidak dapat dibedakan dari
garis singgungnya dan kita dapat menghampiri fungsi itu dengan sebuah fungsi
linier. Di sini kita mengembangkan ide yang sama dala dimensi tiga. Sebagaiman
kita memperbesar penglihatan ke arah titik pada sebuah bidang yaitu grafik dari
sebuah fungsi dua peubah yang terdiferensialkan, permukaan terlihat lebih dan
lebih mirip seperti bidang (bidang singgungnya) dan kita dapat menghampiri
fungsi itu denagn sebuah fungsi linier dua peubah. kit ajuga memperluas ide
diferensial kepada fungsi dua atau lebih peubah.

Andaikan sebuah permukaan memiliki persamaan = ( , ), dimana
memiliki turunan pertama yang kontinu, dan misalkan ( 0, 0, 0) adalah titik
pada . Sebagaimana pada bagian sebelumnya, misalkan 1 dan 2 adalah kurva
yang diperoleh dari perpotongan bidang-bidang vertikal = 0 dan = 0
dengan permukaan . Maka titik terletak pada kedua 1 dan 2. Misalkan 1
dan 2 adalah garis-garis singgung pada kurva 1 dan 2 di titik . Maka bidang
singgung pada permukaan di titik didefinisikan merupakan bidang yang
mengandung kedua garis singgung 1 dan 2 (lihat Gambar 1).

Gambar 1

Bidang singgung mengandung garis-garis singgung 1 dan 2

Kita akan melihat pada bagian berikutnya bahwa jika adalah sebarang
kurva lain yang terletak pada permukaan dan melalui , maka garis
singgungnya di juga terletak pada bidang singgung itu. Dengan demikian kita
dapat memikirkan bidang singgung pada di terdiri dari semua garis-garis
singgung yang mungkin di pada kurva yang terletak pada dan melalui .

Bidang singgung di adalah bidang yang paling dekat menghampiri permukaan
di sekitar titik .

Kita ketahui dari sebelumnya bahwa sebarang bidang yang melalui titik
( 0, 0, 0) memiliki persamaan dalam bentuk

( − 0) + ( − 0) + ( − 0) = 0

Membagi persamaan ini dengan dan memisalkan = − / dan =
− / , kita dapat menuliskannya dalam bentuk

− 0 = ( − 0) + ( − 0)

Jika persamaan di atas merepresentasikan bidang singgung di , maka
perpotongannya dengan bidang = 0 haruslah garis singgung 1. Dengan
menetapkan = 0 kita peroleh

− 0 = ( − 0) = 0

dan kita mengenalinya sebagai persamaan garis dengan kemiringan . Tetapi kita
ketahui juga bahwa kemiringan garis singgung 1 adalah ( 0, 0). Dengan
demikian = ( 0, 0).

Dengan cara yang sama, kita tempatkan = 0, kita peroleh − 0 =
( − 0), yang pastinya merepresentasikan garis singgung 2, sehingga =
( 0, 0).

Andaikan memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu. Persamaan
bidang singgung pada permukaan = ( , ) di titik ( 0, 0, 0) adalah

− 0 = ( 0, 0)( − 0) + ( 0, 0)( − 0)

Perhatikan kesamaan diantara persamaan bidang singgun dan persamaan garis
singgung − 0 = ′( 0)( − 0).

Contoh 1
Tentukan bidang singgung pada paraboloida elliptik = 2 2 + 2 di titik
(1, 1, 3).

Penyelesaian
Misalkan ( , ) = 2 2 + 2. Maka

( , ) = 4 ( , ) = 2
(1, 1) = 4 (1, 1) = 2

Maka persamaan bidang singgung di (1, 1, 3) adalah

− 3 = 4( − 1) + 2( − 1)
atau

= 4 + 2 − 3

□

Gambar 2(a) memperlihatkan paraboloida elliptik dan bidang singgungnya

di (1, 1, 3) yang kita cari dalam Contoh 1. Pada bagian (b) dan (c) kita
memperbesarnya titik (1, 1, 3) dengan membatasi domain fungsi ( , ) = 2 2 +
2. Catat bahwa semakin kita perbesar, maka grafik akan terlihat semakin datar

dan semakin kita perbesar lagi maka grafik akan menyerupai bidang singgung.

(a) (b) (c)

Gambar 2

Paraboloida elliptik = 2 2 + 2 terlihat serupa dengan
bidang singgung bialmana kita perbesar ke arah titik (1, 1, 3)
Dalam Gambar 3 kita menguatkan kesan ini dengan memperbesar ke arah
titik (1, 1) pada peta kontur dari fungsi ( , ) = 2 2 + 2. Perhatikan bahwa
semakin kita perbesar, kurva-kurva ketinggian semakin terlihat seperti garis-garis
sejajar yang berjarak sama, yang merupakan karakteristik dari sebuah bidang.

Gambar 3

Pembesaran ke arah (1, 1) pada peta kontur dari ( , ) = 2 2 + 2

Dalam Contoh 1 kita temukan bahwa persamaan bidang singgung pada grafik dari
fungsi ( , ) = 2 2 + 2 di titik (1, 1, 3) adalah = 4 + 2 − 3. Dengan
demikian, dari sudut pandang bukti visual dalam Gambar 2 dan 3, fungsi linier
dua peubah

( , ) = 4 + 2 − 3

adalah hampiran yang baik untuk ( , ) ketika ( , ) di dekat (1, 1). Fungsi
disebut linierisasi dari di (1, 1) dan hampiran

( , ) ≈ 4 + 2 − 3

disebut hampiran linier atau hampiran bidang singgung dari di (1, 1).

Sebagai contoh, di titik (1.1, 0.95) hampiran linier memberikan

(1.1, 0.95) ≈ 4(1.1) + 2(0.95) − 3 = 3.3

yang cukup dekat ke nilai sejati dari (1.1, 0.95) = 2(1.1)2 + (0.95)2 = 3.3225.
Tetapi jika kita mengambil titik yang lebih jauh dari (1, 1), seperti (2, 3), kita
tidak lagi mendapatkan hampiran yang baik. Kenyataannya, (2, 3) = 11
sebaliknya (2, 3) = 17.

Secara umum, kita ketahui bahwa persamaan bidang singgung pada grafik
fungsi dua peubah di titik ( , , ( , )) adalah

= ( , ) + ( , )( − ) + ( , )( − )

Fungsi linier yang grafiknya adalah bidang singgung ini, yaitu

( , ) = ( , ) + ( , )( − ) + ( , )( − )

disebut linierisasi dari di ( , ) dan hampiran

( , ) ≈ ( , ) + ( , )( − ) + ( , )( − )

disebut hampiran linier atau hampiran bidang singgung dari di ( , ).

Kita telah mendefinisikan bidang singgung untuk permukaan = ( , ),
dimana memiliki turunan-turunan parsial pertama yang kontinu. Apa yang akan
terjadi jika dan tidak kontinu? Gambar 4 menggambarkan fungsi yang
demikian, persamaannya adalah


( , ) = { 2 + 2 jika( , ) ≠ (0, 0)

0 jika( , ) = (0, 0)

Gambar 4

Anda dapat memastikan bahwa turunan-turunan parsial fungsi ini ada di

titik asal dan, pada kenyataannya, (0, 0) = 0 dan (0, 0) = 0, tetapi dan

tidak kontinu. Hampiran liniernya adalah ( , ) ≈ 0, tetapi ( , ) = 1 di semua
2

titik pada garis = . Jadi fungsi dua peubah dapat berperilaku buruk meskipun

kedua turunan parsialnya ada. Untuk membuat aturan pada tingkah laku yang

demikian, kita formulasikan ide fungsi dua peubah yang terdiferensialkan.

Ingat kembali bahwa untuk fungsi satu peubah, = ( ), jika berubah
dari ke + Δ , kita definisikan kenaikan dari sebagai

Δ = ( + Δ ) = ( )

Pada kalkulus satu peubah kita ketahui bahwa jika terdiferensialkan di , maka

Δ = ′( )Δ + Δ dimana → 0 bilamana Δ → 0

Sekarang perhatikan fungsi dua peubah, = ( , ), dan andaikan
berubah dari ( , ) ke ( + Δ , + Δ ). Oleh analogi kita definisikan
keterdiferensialan fungsi dua peubah sebagai berikut.

Definsi Jika = ( , ), maka terdiferensialkan di ( , ) jika Δ dapat
diekspresikan dalam bentuk

Δ = ( , )Δ + ( , )Δ + 1Δ + 2Δ

dimana 1 dan 2 → 0 bilamana (Δ , Δ ) → (0, 0).

Definisi di atas menyatakan bahwa fungsi yang terdiferensialkan adalah
satu untuk mana hampiran liniernya adalah hampiran yang baik ketika ( , ) di

dekat ( , ). Dengan kata lain, bidang singgung menghampiri grafik akan dekat
ke titik singgung.

Terkadang sulit untuk menggunakan Definisi di atas untuk memeriksa
keterdiferensialan sebuah fungsi, tetapi teorema berikut memberikan syarat cukup
yang sesuai untuk keterdiferensialan. Bukti dari teorema ini ditinggalkan kepada
mahasiswa sebagai latihan.

TEOREMA Jika turunan-turunan parsial dan ada di dekat ( , )
dan kontinu di ( , ), maka terdiferensialkan di ( , ).

Contoh 2
Perlihatkan bahwa ( , ) = terdiferensialkan di (1, 0) dan tentukan
linierisasinya di sana. Kemudian gunakan untuk menghampiri
(1.1, −0.1).

Penyelesaian
Turunan-turunan parsialnya adalah

( , ) = + ( , ) = 2
(1, 0) = 1 (1, 0) = 1

Kedua dan adalah fungsi-fungsi kontinu, sehingga
terdiferensialkan oleh teorema di atas. Linierisasinya adalah

( , ) = (1, 0) + (1, 0)( − 1) + (1, 0)( − 0)
= 1 + 1( − 1) + 1 ∙ = +

Hampiran liniernya yang berhubungan adalah

sehingga ≈ +
(1.1, −0.1) ≈ 1.1 − 0.1 = 1

Bandingkan hasil ini dengan nilai aktual dari (1.1, −0.1) = 1.1 −0.11 ≈

0.9854.

□

Gambar 5 memperlihatkan grafik fungsi dan linierisasinya dalam Contoh 2.

Gambar 5

Untuk fungsi satu peubah yang terdiferensialkan, = ( ), kita definisikan
diferensial sebagai sebuah variabel bebas; yakni, dapat diberikan nilai dari
sebarang bilangan riil. Diferensial dari kemudian didefinisikan sebagai

= ′( )
Gambar 6 memperlihatkan hubungan antara kenaikan Δ dan diferensial : Δ
merepresentasikan perubahan dalam tinggi dari kkurva = ( ) dan
merepresentasikan perubahan dalam tinggi dari garis singgung bilamana
berubah dengan suatu besaran = Δ .

garis singgung

Gambar 6

Untuk fungsi dua peubah yang terdiferensialkan, = ( , ), kita
definisikan diferensial dan merupakan peubah-peubah bebas; yakni,
keduanya dapat diberikan sebarang nilai. Maka diferensial , yang juga disebut
diferensial total, didefinsikan oleh


= ( , ) + ( , ) = +
Terkadang notasi digunakan sebagai ganti dari .
Jika kita mengambil = Δ = − dan = Δ = − dalam persamaan,
maka diferensial dari adalah

= ( , )( − ) + ( , )( − )
Jadi, dalam notasi diferensial, hampiran linier dapat dituliskan sebagai

( , ) ≈ ( , ) +
Gambar 7 adalah gambar dimensi tiga sebagai pembanding dari Gambar 6
dan memperlihatkan interpretasi geometris dari diferensial dan kenaikan Δ :
merepresentasikan perubahan dalam tinggi dari bidang singgung, sebaliknya
Δ merepresentasikan perubahan dalam tinggi dari permukaan = ( , )
bilaman ( , ) berubah dari ( , ) ke ( + Δ , + Δ ).

permukaan

bidang singgung

Gambar 7

Contoh 4
(a) Jika = ( , ) = 2 + 3 − 2, tentukan diferensial
(b) Jika berubah dari 2 ke 2.05 dan berubah dari 3 ke 2.96, bandingkan
nilai-nilai dari Δ dan .

Penyelesiaan
(a) Oleh definisi

= + = (2 + 3 ) + (3 − 2 )


(b) Dengan menempatkan = 2, = Δ = 0.05, = 3, dan =
Δ = −0.004, kita mendapatkan

= [2(2) + 3(3)]0.05 + [3(2) − 2(3)](−0.04) = 0.65

Kenaikan dari adalah

Δ = (2.05, 2.96) − (2, 3)
= [(2.05)2 + 3(2.05)(2.96) − (2.96)2] − [22 + 3(2)(3) − 32]

= 0.6449

Perhatikan bahwa Δ ≈ tetapi lebih mudah dihitung.

□

Dalam Contoh 4, dekat ke Δ karena bidang tangen adalah hampiran
yang baik pada permukaan = 2 + 3 − 2 di dekat (2, 3, 13). Perhatikan

Gambar 8.

Gambar 8

Contoh 5
Jari-jari alas dan tinggi dari sebuah kerucut sirkular siku-siku diukur
berturut-turut 10 cm dan 25 cm, dengan kemungkinan kesalahan (error)
dalam pengukuran paling besar 0.1 cm dalam setiap ukurannya. Gunakan
diferensial untuk mengestimasi kesalahan maksimum dalam menghitung
volume kerucut tersebut.

Penyelesaian
Volume dari sebuah kerucut dengan jari-jari alas dan tinggi ℎ adalah
= 2ℎ/3. Jadi diferensial dari adalah

2 ℎ 2
= + ℎ ℎ = 3 + 3 ℎ

Karena setiap kesalahan paling besar 0.1 cm, kita memiliki |Δ | ≤ 0.1,
|Δℎ| ≤ 0.1. untuk mencari kesalahan terbesar dalam volume kita
mengambil kesalahan terbesar dalam pengukuran dan ℎ. Dengan
demikian kita ambil = 0.1 dan ℎ = 0.1 selama = 10, ℎ = 25. Ini

memberikan

= 500 (0.1) + 100 (0.1) = 20
3 3

Jadi kesalahan maksimum dalam menghitung volume adalah sekitar 20

cm3≈ 63 cm3.

□

Penghampiran linier, keterdiferensialan, dan diferensial dapat didefinisikan dalam
cara yang sama untuk fungsi lebih dari dua peubah. Fungsi yang terdiferensialkan
didefinisikan oleh sebuah ekspresi yang mirip dengan Definisi di atas. untuk
fungsi yang demikian hampiran linier adalah

( , , ) ≈ ( , , ) + ( , , )( − ) + ( , , )( − ) + ( , , )( − )

dan linierisasi ( , , ) adalah sisi kanan dari ekspresi ini.

Jika = ( , , ), maka kenaikan dari adalah

Δ = ( + Δ , + Δ , + Δ ) − ( , , )

Differensial didefinisikan dalam suku-suku diferensial , , dan dari
peubah-peubah bebas oleh


= + +

Contoh 6
Dimensi dari sebuah kotak segi empat diukur 75 cm, 60 cm, dan 40 cm,
dan setiap pengukuran benar dalam 0.2 cm. gunakan diferensial untuk
mengestimasi kesalahan terbesar yang mungkin bilamana volume kotak
tersebut dihitung dari ukuran-ukuran ini.

Penyelesaian
Jika dimensi-dimensi kotak adalah , , dan , volumenya = dan
dengan demikian

= + + = + +

Diberikan bahwa |Δ | ≤ 0.2, |Δ | ≤ 0.2, dan |Δ | ≤ 0.2. Untuk mencari
kesalahan terbesar volume, kita gunakan = 0.2, = 0.2, dan =
0.2 bersama-sama dengan = 75, = 60, dan = 40:

Δ ≈ = (60)(40)(0.2) + (75)(40)(0.2) + (75)(60)(0.2) = 1980

Jadi kesalahan dari hanya 0.2 cm dalam mengukur setiap dimensi dapat
membawa kepada kesalahan sebesar 1980 cm3 dalam menghitung volume.
Bilangan ini mungkin terkesan merupakan kesalahan yang besar, tetapi
hanya sekitar 1% dari volume kotak tersebut.

□

LATIHAN 2.4

1. Cari persamaan bidang singgunpada permukaan yang diberikan di titik yang

ditentukan. (2, −2, 12)
(a) = 4 2 − 2 + 2 , (−1, 2, 4)
(b) = 3( − 1)2 + 2( + 3)2 + 7,

(c) = √ , (1, 1, 1)

(d) = ln , (1, 4, 0)

(e) = cos( − ), (2, 2, 2)
(f) = 2− 2, (1, −1, 1)

2. Jelaskan mengapa fungsi-fungsi dberikut ini terdiferensialkan pada titik yang

diberikan. Kemudian cari linierisasi ( , ) dari fungsi tersebut pada titik itu.

(a) ( , ) = 3 4, (1, 1)
(b) ( , ) = , (2, 1)

+

(c) ( , ) = √ + 4 , (3, 0)

(d) ( , ) = − cos , ( , 0)

(e) ( , ) = sin(2 + 3 ), (−3, 2)

3. Tentukan hampiran linier dari fungsi ( , ) = √20 − 2 − 7 2 di (2, 1)
dan gunakan untuk menghampiri (1.95, 1.08).

4. Cari diferensial dari fungsi-fungsi berikut ini.
(a) = 3 ln( 2)
(b) = cos

(c) =

1+

(d) = 2 cos
(e) =

5. Panjang dan lebar dari sebuah persegi panjang berturut-turut diukur 30 cm
dan 24 cm, dengan kesalahan pengukuran paling besar 0.1 cm setiapnya.
Gunakan diferensial untuk mengestimasi kesalahan maksimum dalam
menghitung luas persegi panjang tersebut.

6. Dimensi dari sebuah kotak segi empat tertutup berturut-turut diukur 80 cm,
60 cm, dan 50 cm, dengan kemungkinan kesalahan 0.2 cm setiap dimensi.
Guanakan diferensial untuk mengestimasi kesalahan maksimum dalam
menghitung luas permukaan kotak tersebut.

PERSOALAN EKSTRIM TAK TERKENDALA

Pada fungsi dua variabel z= f(x,y) atau lebih berlaku pola persyaratan ekstrem (maksimun

atau minimum) yang sama misalkan pada adalah jika : atau

* + untuk ekstrim pada dua persamaan x ( 0, 0 ) dan y
( 0, 0)

Jika x dan y bebas maka persoalan ekstrimnya disebut ekstrim tak terkendala (
unconstraint) untuk mincirikan ekstrimnya dihitung : xx , yy dan xy

Maka

[]

Penentuan ekstrimnya pada titik ( a,b) ekstrem jenis

A. maksimum jika : xx ( )

B. minimum jika : xx

C. Titik pelana jika bukan suatu nilai ekstrim

D. Jika tak ada yang dapat disimpulkan mengenai jenis ekstrem fungsi

Contoh – x2 – y2 –
Tentukan jenis ekstrem fungsi
Solusi :

–

Maka titik ( -2,-2) satu satunya ekstrem

xx yy xy yx

| |0 > 3 =

Karena xx maka ekstrem

maksimum pada (-2,-2) dengan nilai : ( )( ) ( )2 ( )2 ( ) ( )( )

PERSOALAN EKSTRIM TERKENDALA

Ekstrim fungsi dengan fungsi kendalanya untuk penyelesaian

ekstrim tak terkendala ada dua cara yaitu:

1. Cara eliminasi

 Pecahkan persamaan kendala untuk sala satu variabel .

 Eliminasikan variabel tersebut pada fungsi

 Tinjau ekstrem pada variabel yang sisa seperti pada ekstrem tak terkendala

Contoh:

Tentukan leta titik pada sebuah permukaan bidang yang jarak
terdektnya ketitik asal 0:

Solusi : Jarak sebuah titik P (x,y,z) terhadap 0

|̅̅̅| = √ 2 2 2 maka : 2+ 2+ 2

Persamaan terkendala

Jadi:

2 22

22

-

Dari persamaan x-y+2z =2 diperoleh untuk titik terdekat yang dicari, yaitu:
( 2)

Untuk mencari bentuk ekstrimnya maka dicari:

xx

| |= . Maka bentuk ekstremnya ekstrem minimum
Jadi xx = 4

2. Metode Lagrange

Fungsi memiliki nilai ekstrim jika : dimana :

Maka pada titik ekstrim berlaku :

(5-9)

Persamaan kendala : (5-10)

Maka : (5-11)

Persamaan (5-11) dikalikan dengan lalu djumlahkan dengan persamaan (5-9) diperoleh
:

+ (5-12)
Karena x,y dan z bebas, mada dx, dy dan dz juga bebas maka diperoleh :

; (5-13)

Ketiga persamaan (5-13) bersama dengan persamaan kendala (5-10) memberikan 4 sistem
persamaan yang dipecahkan bagi keempat variabel x, y,z dan λ.

Bentuk umum persamaan (5-10) dan persamaan (5-13) merupakan syarat ekstrim dari
fungsi :

(5-14)
 Dua atau lebih kendala
Misalkan W = f (x.y,z,...) dengan n buah variabel dan n buah kendala, maka :

Maka fungsi baru :

∑ (5-15)

Dengan menganggap x,y,z, 1, 2,.. m bebas. Persyaratan ekstrim fungsi (x,y,z, 1,
2,... m)
∑ (5-16)
∑ (5-17)
∑ (5-18)

Contoh :

Tentukan ukuran ketiga sisi sebuah kotak tanpa penutup atas dengan volume maksimum
jika luas permukaannya: 108 cm2

Solusi:

Volume suatu kotak adalah fungsi: :

= x . y. z (volume)

jumlah luas kotak tanpa penutup atas adalah:
L = xy + 2 xz + 2yz =108 cm2

Maka persamaan kendalanya :

= xy+2 xz+2 yz=108 (5-19)
Jadi: yz + λ( y+ 2 z) = 0 (5-20)
xz + λ ( x+ 2 z) = 0 (5-21)
xy + λ ( 2x+ 2 y) = 0 (5-22)

Persamaan ( 5-20),(5-21),(5-22) berturut-turut dikali dengan x, y, dan z, lalu dijumlahkan
maka diperoleh:

2xyz + λ( xy+ 2 xz +2 yz) = 0

2xyz + λ ( ) = 0 λ 2

Substitusi persamaan ( 5-23) kepersamaan (5-20), (5-21), dan (5-22) diperoleh:

2 (5-24)

2 (5-25)

2 (5-26)

Dari persamaan ( 5-24) dan ( 5-25) diperoleh x=y, lalu disubstitusi kepersamaan (5-26),

maka diperoleh : (5-27)

Substitusikan y dan z pada persamaan ( 5-19) akan diperoleh : x=6 ; y=6 dan dari
persamaan (5-22) diperoleh, z=3, Jadi ukuran kotak yang dikehendaki: x=6 ; y=6 dan
z=3.

Daftar Pustaka

Ahmad A., Tarmizi, R.A., Nanawi, M. (2010). Visual representasions in mathematical word problem
solving among form four student in malacca. Procedia social and behavioral science, 8 (pp.356-
361)

Bates, E.T, Weist, L.R.2004. Impact of personalization of mathematical word problems student
performance. The mathematics Educator, 14(2), (pp.17-26).

Blum W. (2015) Quality Teaching of Mathematical Modelling: What Do We Know, What Can We Do?.
In: Cho S. (eds). The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical
Education. Springer, Cham. Doi: https://doi.org/10.1007/978-3-319-12688-3_9

Confrey, J., & Maloney, A. (2007). A theory of mathematical modelling in technological settings. In
W.Blum, P. Galbraith, H.W. Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics

education: The 14th ICMI Study (pp. 57-68). New York, NY: Springer.
Daniel Lawson and Glenn Marion. 2008. An Introduction to Mathematical Modelling. (online)

(https://people.maths.bris.ac.uk/~madjl/course_text.pdf), diakses 20 januari 2019
Neumaier, A. (2004). Mathematical Model Building, Chapter 3 in: Modeling Languages in

Mathematical
Optimization (J. Kallrath, ed.), Applied Optimization, Vol. 88, Kluwer, Boston.

Prakitipong, N. dan Nakamura, S. (2006). Analysis of Mathematics Performance of Grade Five
Students in Thailand Using Newman Procedure. Journal of International Cooperation in
Education, 9(1),(pp.111-122).
Sahendra, A., Budiarto, M. T., & Fuad, Y. (2018). Students’ Representation in Mathematical Word
ProblemSolving: Exploring Students’ Self-efficacy. IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf.
Series 947 (2018) 012059 doi :10.1088/1742-6596/947/1/012059
Sumule, U., Amin, S. M., & Fuad, Y. (2018). Error Analysis of Indonesian Junior High School Student
in Solving Space and Shape Content PISA Problem Using Newman Procedure. IOP Conf.
Series: Journal of Physics: Conf. Series 947 (2018) 012053 doi :10.1088/1742-
6596/947/1/012053.
Tello, E.A. 2010. Making Mathematics Word Reliable Measures of Student Mathematics Abilities.
Journal of Mathematics Education, 3 (1), (pp.15-26).
Zamzam, K. F. & Patricia, F. A. (2018). Error Analysis of Newman to Solve the Geometry Problem in
Terms of Cognitive Style. Advances in Social Science, Education and Humanities Research
(ASSEHR), volume 160 University of Muhammadiyah Malang's 1st International Conference of
Mathematics Education (INCOMED 2017). (24-27), Malang: Universitas Muhamamadiyah.
Zulkarnaen, R. (2018). Why is mathematical modeling so difficult for students? AIP Conference
Proceedings 2021, 060026 (2018); https://doi.org/10.1063/1.5062790 Published Online: 17
October 2018 (1-6)

1