Nişantaşı Anadolu Lisesi Hendese Matematik Dergisi

Matematik Dergisi
Mart Sayısı



“Benim mânevi mirasım ilim ve akıldır”

. Nisantası An.adolu Lisesi

Matematik Dergisi

Danışman Öğretmen
Deniz Günoz

Dergi Kapak Tasarım
Eren Gümüş

Dergi Mizanpaj/Tasarım
Eren Gümüş

Görevli Öğrenciler
Eren Gümüş

Işıl Doğa Akkaya
Tohana Çiftçi

Perihan Akdoğan
Derya Taşlıçukur

Enis Kocaelli
Kayra Tümen

Okul Adres: Teşvikiye Mah.
Valikonağı Caddesi Poyracık Sokak Sk.

No65 Nişantaşı/Şişli/İstanbul
Tel: 0212 240 12 86

Web: nisantasial.meb.k12.tr

IV

İçindekiler

Shannon Sayısı..........................................6
Van Gogh, Yıldızlı Gece ve Matematik.......9
Hayatımızdaki Matematik.......................12
Her Şeyin Teorisi: Sicimler.......................17
Robert Recorde.......................................18
Öpücük Sayısı.........................................20
Cebrail'in Borusu....................................22
Réne Descartes.......................................25
Ömer Hayyam.........................................28
İrrasyonel Sayılar....................................29
Sonsuz Maymun Teoremi........................30
Adli Bilimler ve Matematik......................33

5

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

B Shannon Sayısıir maç başlamadan önce, satranç taşla-
rı düzenli dizilimleri ile göz doldurur.
Ancak ilk hareket, kaosa doğru bir sarmal
başlatır. rakip olan şahı kıskaç altına almak ve aynı za-
manda kendi şahlarını korumak üzerine yaparlar.
Görünüşte mütevazi olan bu oyun, matematiksel
açıdan bakılmaya başlandığında her hamleyle
Birinci hamlelerin sonunda 400 olası tahta kuru- birlikte daha da korkunçlaşmaya başlar.
lumu vardır. İkinci hamlelerden sonra olası oyun
sayısı 197.742 olur. Üçüncü hamleden sonra da İlk 5 Turdaki Olası Durumlar
bu sayı 121 milyona çıkar. Bunun sonucunda da
Öncelikle buradaki tur kavramına açıklık geti-
her oyun muhtemelen daha önce hiç oynanma- relim: 1 tur, hem beyaz ve hem de siyahın hamle
mış bir oyuna dönüşür. sonucu sonlanacaktır (Yani ilk 5 turda toplam
Dünya’da 1023 kum tanesi olduğu ve evrende
yaklaşık 1081 atom olduğu düşünülmektedir. 10 hamle yapılır). Bahsettiğimiz gibi ilk tur için
olasılıkları hesaplamak zor değildir.
Tipik satranç oyunlarının sayısı, tüm bu sayıların Her oyuncu 20 hareket yaparsa ilk tur sonunda
çarpımından kat kat fazladır. sadece olası 400 oyun oynanacaktır. Tahmin de
Oyunun başında rakibinizin ilk hareketini
edebileceğiniz üzere ilk turun sonunda yapılan
tahmin etmek basittir. Çünkü; oyuncu, başlangıç her hamleye göre de ikinci tur şekillenmiş olacak-
dizilimi nedeniyle sadece piyonlarını ve atlarını tır.
hareket ettirecektir. Her bir piyon ve at da sade- İkinci turda gelirsek oynanacak oyun sayı yak-
ce 2 konuma hareket eder. Bu durumda toplam laşık 197 bin'e kadar çıkacaktır. Gördüğünüz gibi
20 olasılık vardır. Beyaz oynadıktan sonra siyah olası oyun sayısı bir anda 400’den 197 bine çıktı.
tarafta 20 olası hareketinden birini yapar. Gerçek Oyunda biraz daha ileri gidip bir de 5. turdaki
kaos bu kısımdan sonra kendini gösterir çünkü toplam olası oyunların sayısına bakalım. Bu turun
her hamle ile olasılıklar kendini katlamaya devam sonuna kadar oynanılabilecek 69.352.859.712.417
eder. kadar olası oyun olduğunu göreceğiz.
Asırların oyunu olan satranç, temel mekanikleri- Oyunun tümüne bakarsak karşımıza kesin
nin öğrenilmesi kolay olan ama ustalaşması yıllar cevaplar yerine yaklaşık sayılar bulabileceğiz. İşte
alan bir oyundur. Oyuncular tüm hamlelerini bu sayılardan biri de “Shannon Sayısı” olacaktır.

Thomas Eakins, The Chess Players Hendese | 2022
6

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Shannon Sayısı Nedir? kilde oynanırsa, oyunun 40 tur sonunda biteceği
üzerine hesaplamasını yaptı.
Claude Elwood Shannon, satrancın sunduğu Ancak Hardy’nin bu tahmini üzerine somut bir
olasılıklardan etkilenen matematikçilerden biri- çalışması olmadığından, onun sayısının gerçeğe
siydi. ne kadar uygun olduğunu bilemiyoruz. Bu yüz-
 “How To Programme A Com- den Shannon’ın sayısına bu hususta daha çok
puter For Playing Chess“ isimli güvenebiliriz.
makalesinde şu soruyu sordu:
"Olası satranç oyunlarının sayısı Sonsuz Santranç Oyunu Mümkün
kaçtır?". Shannon bu soru- Mü?
ya cevap vermek için satranç
tahtasındaki oluşabilecek olası Olası hamlelerin sayısının devasa olmasına
durumları incelemeye başladı. Claude Shannon rağmen, satranç oyunundaki, bazı kurallar oyu-
Bu incelemelerinin sonucunda, oynanılan oyu- nun sonsuza kadar gitmesini engeller. “50 hamle
nun farklı evrelerinde, karşı oyuncunun yaklaşık ” ve“3 kat tekrar” olarak adlandırılan bu kurallar,
30 farklı hamle yapabilme olasılığı olduğunu var- oyunun berabere olarak bitmesini sağlarlar. “50
saydı. Bir diğer varsayımını da; oyunun, ortalama hamle” kuralına göre bir piyonun hareket etme-
her tarafın yaptığı, toplam 80 hamle sonrasında diği ve hiçbir taşın alınmadığı art arda geçen 50
biteceği üzerine kurdu. Bu verileri kullanarak hamle olursa oyun beraberlikle sonuçlanır. “3 kat
3080 yani yaklaşık 10120 olası satranç oyunu oldu- tekrar” ise oyundaki taşların 3 kez aynı konuma
ğunu tahmin etti. gelmesi yani hareketlerin tekrar etmesi duru-
Shannon gibi bir diğer matematikçi Godfrey munda uygulanır. Sonuçta oyun yine beraberlikle
Hardy’nin de bu soru için bir cevabı vardı. Ona sonuçlanır. Bu tür kurallar uygulanmazsa ve be-
göre bu olasılık 10500sayısına denk gelmektedir. raberlik durumu göz ardı edilirse sonsuza kadar
Bu iki tahmin birbirinden oldukça uzak tahmin- sürecek bir oyun olabilir.
lerdir. Shannon’ın sayısı bu sayı yanında oldukça Her hamlenin; binlerce, belki de milyonlarca
küçük kalmaktadır. Bu devasa farkın nedeni ise yeni durumlara yol açtığı bir oyunda tüm oyna-
Shannon’ın varsayımlarını gerçekçi durumlar nacak olası hamleleri tahmin etmek, bizi içinden
üzerine kurmuş olduğundandır. çıkamayacağımız bir karmaşanın içine atacaktır.
Diğer bir deyişle Shannon, bir oyun gerçekçi şe-
Kayra Tümen

2022 | Hendese 1876
7

Van Gogh'un bir otoportresi.
Self-Portrait- Van Gogh
8

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Van Gogh, Yıldızlı Gece ve Matematik
GVan Gogh Yıldızlı Gece ve Matematik
ogh, Güney Hollanda'nın Brabant
bölgesinde bir köyde doğup büyüdü. 16 Gogh, ölümünden bir yıl önce, 1889 yılının Ha-
yaşında, amcasının ortak olduğu sanat ziran ayında yapılan Yıldızlı Gece tablosu(sf. 12,
mağazasında çıraklık yaptı. 13) Batı resim tarihinin en güzel ve ikonik tablo-
Gogh , 1873'ten Mayıs 1875'e kadar Londra'da larından biridir.
ve o tarihten Nisan 1876'ya kadar Paris'te Goupil 2004 yılında Hubble Uzay Teleskobu kullanıla-
için çalıştı . Sanat eserleriyle günlük temas, sanat- rak gerçekleştirilen gözlemler, uzak yıldızların
sal duyarlılığını uyandırdı. Gogh sanatla uğraş- dönen gaz ve toz bulutları tarafından çevrelen-
mayı sevmezdi. En azından o zamanlar. Zamanla diğini ortaya çıkarmıştır. Bu konunun Gogh ile
insan sevgisine olan yakıcı arzusu engellendi, ilgisi ise, astronomlar, bu bulutların görüntü ve
giderek yalnızlaştı. 1877'de Hollanda'nın Dordre- hareketlerinin gizemli biçimde “Yıldızlı Gece”
cht kentinde bir kitapçıda çalıştı. İnsanlığa hizmet tablosuna benzediğini öne sürmeleri.
etme isteği ile harekete geçerek bakanlığa girmeyi Bilim İnsanları Gogh’un birçok resminde “çal-
karar verdi ve teolojiye başladı; ancak, Brüksel'de kantılı akışkan yapıların” ayrı bir desen olduğunu
bir evangelist olarak kısa süreli eğitim için bu keşfettiler. Hollandalı ünlü ressam Fransa’da bir
projeyi 1878'de terk etti. Üç ay sonra randevu akıl hastanesindeyken bilimdeki en karmaşık ve
alamayınca, Belçika'nın güneybatısındaki bir kö- zor kavramlarından birini kavradı: Türbülans…
mür madenciliği bölgesi olan Borinage'nin fakir Beynimizdeki görsel korteksin ilkel kısmı farklı
nüfusu arasında misyonerlik yapma kararı almış- renklendirilmiş iki alanı, eğer parlaklıkları aynıy-
tır. Orada, 1879-80 kışında, hayatının ilk büyük sa bir araya getirerek birbirine karıştırır. Ancak
ruhsal krizini yaşadı. beyinlerimizin ilkel olmayan bölgesi bu karşıt
Beş parasız ve inancının yıkıldığını hissederek renkleri birbirine karıştırmadan görebilir. İşte
umutsuzluğa kapıldı ve herkesten çekildi . Bir bunlar yüzünden bir çok empresyonistin çalış-
tanıdığına “Benim deli olduğumu düşünüyorlar” masında ışık, titreşiyormuş ve garip bir şekilde
dedi, “çünkü gerçek bir dindar olmak istiyor- ışıyormuş gibi görünür. İşte Yıldızlı Gece tablosu-
dum. Bir skandala neden olduğumu söyleyerek nu bu kadar büyüleyici yapan şey aslında bu.
beni çıkardılar.” Gogh o zaman ciddi bir şekilde Sanatçının psikolojik olarak zor ve karmaşık bir
çizmeye başladı ve böylece 1880'de bir sanatçı dönemden geçtiği bir dönemde türbülansı böy-
olarak kendini buldu. Gogh ardından görevinin lesine net yansıtması bu konuda etkili mi yoksa
sanat yoluyla insanlığa teselli getirmek olduğuna bu anlamda bir mana ifade etmiyor mu bugün-
karar verdi. Kardeşi Theo'ya "Zavallılara kardeşçe lerde hala kafa karıştıran bir soru ve cevabını hala
bir mesaj vermek istiyorum" dedi,resimleri için. bilmiyoruz. Ancak görünen o ki böyle bir analiz
Yaratıcı güçlerinin bu farkındalığı, kendine olan yöntemi sayesinde belki de ilk kez bir sanat eseri-
güvenini kazandırdı. nin yarattığı etkinin öznel ifadesi sayısal olarak da
desteklenmiş oluyor.

Perihan Akdoğan

Van Gogh, Ren Nehri'nde Yıldızlı Bir Gece                            1888
2022 | Hendese 9

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

10 Hendese | 2022

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Yıldızlı Gcce(Starry Night)
Van Gogh

2022 | Hendese 11

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Hayatımızdaki Matematikoğu öğrenci matematiğe karşı ön yargı duyar çünkü matematiği günlük hayattan bağımsız olarak

Çve diğer disiplinlerle ilişkilendirmeden öğrenmeye çalışırlar dolayısıyla da "Neden bunu öğreni-

yoruz?" Bu ne işimize yarayacak?" gibi sorular kafalarında belirmeye başlar.
Matematik eğitiminde hedeflenen başarıya ulaşabilmek için öğrencilere matematiğin sadece sayı
ve sembollerden oluşmadığını fen, mühendislik, tıp ve sanat gibi birçok alanda uygulamalarının var
olduğu gösterilebilir.
Günümüzde hayatın her alanında matematik kullanılmaktadır; çevremizdeki doğa olaylarını açıkla-
ma, temel bilimlerin (fizik, kimya, biyoloji) uygulama alanları, tıp, eczacılık, diş hekimliği gibi sağlık
alanları, ticaret, ekonomi gibi sosyal alanlar kısacası hayatın her alanında karşılaştığımız problemlerin
çözümünde matematikten yararlanmaktayız.
Gök cisimlerinin eliptik yörüngeler çizmesi, eğik atılan cisimlerin parabolik yollar izlemesi, gelen ışık
ile yansıyan ışığın aynı açıyı oluşturması, canlı yapılarında altın oran gözlenmesi gibi birçok olayın
matematik içermesi bilimsel faaliyetlerde matematikten yararlanmayı zorunlu hale getirmiştir.

Matematik Ve Sağlık
Damarlardaki kan dolaşımının diferansiyel
denkleminin Euler tarafından bulunuşunun
ardından matematik kullanılarak kalp, böbrek,
pankreas ve kulak hastalıklarının teşhisinde
önemli rol oynayan modeller geliştirilmiştir.
Günümüzde de gerek kanser tedavisinde amino-
asitlerin matematiği, gerekse altın oranı dikkate
alarak tedavi düzenleme gibi yöntemlerine sıkça
rastlamaktayız.
Kanser tedavisinde protein etkileşimleri ve ma-
tematiksel modelleme üzerine çalışmalar
yapılmaktadır. Proteinler 20 çeşit
aminoasitin kombinasyonların-
dan oluşur. Üç boyutlu protein
yapılarının hücre bozulmalarına
nasıl sebebiyet verdiklerini anla-
Aminoasit Örneği mak için aminoasitlerin dizilişin-
(Temsili)

deki matematiğin keşfedilmesi gerekir. Kanser
tedavisi için aminoasit dizilişlerinin matematiksel
modellemelere ve bunları yorumlayabilecek gra-
fiklere ihtiyaç duyulmaktadır. Bu durum mate-
matik bilgisinin sağlık araştırmacıları tarafından
etkin ve doğru bir şekilde kullanılması ile kanser
tedavisinin mümkün olabileceğinin göstergesidir.
Sağlık çalışanlarının toplama, çıkarma, çarpma,
bölme gibi temel matematiksel işlemlerin yanı
sıra ölçüm sistemleri arasındaki dönüşümleri ve
doz miktarını formülize etme gibi matematiksel
becerilerden yoksun olması hasta yaşamını tehdit
edecek kadar ciddi sorunlara yol açmaktadır.
İlaç tedavilerini doğru hesaplama, damar içi sıvı
tedavilerinin hesaplanması gibi sağlık bilimlerin-
deki temel işlemlerde sürekli olarak matematikten
faydalanılmaktadır.
Leonhard Euler'in Emanuel Handmann tarafından
12 çizilmiş bir portesi.

Hendese | 2022

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Matematik Ve Sanat yerleştirilebildiğini ifade etmiştir.
Matematiğin sanatla ilişkili olduğu alanlardan
İnsanlar matematik ve sanat arasındaki ilişkiden bir diğeri de müziktir. 19. yüzyılda müzikal sesle-
yeterince haberdar değildir, matematiğin sanat- rin niteliğini inceleyen ünlü matematikçi Fourier
taki kullanımı insanlara gösterilerek matemati- müzik aletleri ve insanların çıkardığı müzikal
ğin kendi içindeki güzelliğin ve estetiğin farkına seslerin, matematiksel olarak periyodik sinüs
varılması sağlanmalıdır. Günümüzde görsel fonksiyonları ile ifade edilebileceğini ispatlamış-
matematik, algoritmik sanat, sanat ve tasarım tır. Günümüzde hala müzik notaları y=Sin2πfx
gibi birçok yeni çalışma alanı matematik ve sanat şeklindeki trigonometrik fonksiyon ile ifade
dalları arasındaki ilişkinin giderek artığını göster- edilmektedir. Burada f hertz cinsinden frekansı,
mektedir. x ise saniye cinsinden zamanı göstermektedir. Bu
Aritmetik, oran orantı, simetri ve perspektif gibi durum matematiğin sanatta kullanıldığının açık
matematik konularını içinde barındıran resim bir göstergesidir.
sanatı bu iki disiplinin akıl yürütme yöntemle- Notaların temeli ise matematik ve geometri
rinin benzerliğini bir kez daha göstermektedir alanında önemli katkıları bulunan bilim adamı
Rönesans döneminin Leonardo Da Vinci, Piero Pisagor tarafından müziğin matematiksel ifade-
Della Francesko, Albercht Dürer gibi eserleri sinin keşfedilmesine dayanır. Pisagor sayıların
günümüzde hala önemini koruyan ressamlar aynı oranları ile müzikal aralıkların ilişkisini ortaya
zamanda dönemlerinin saygın matematikçileridir. çıkarmıştır Pisagor demir üreten bir mağazanın
Koni kesitleri yapabilmek için pergeller üreten önünden yürürken, çekiçlerin farklı sesler çıkar-
Leonardo Da Vinci matematikçi olmayanların dığını fark edince müzik aralıklarını çekiçlerin
eserlerini incelemelerini istememiştir. Ressamın ağırlıkları ile matematiksel olarak ilişkilendirip
ünlü tablosu Mona Lisa portresi tarihte bilinen ilk nota sistemini bulmuştur. Örneğin bir teli
altın oranın kullanıldığı ilk eserdir Resimde iki eş parçaya bölerek (1⁄2 sini alarak) aynı se-
Mona Lisa portresinin baş ve omuzlarına kadar sin incesini yani oktavı bulmuştur. Böylece telin
olan kısmını bir dikdörtgen içerisine aldığımızda uzunluğu ile müzikte çıkarılan seslerin arasında
‘’Altın Dikdörtgen’’ oluştuğu görülmektedir. Bu- bir ilişki olduğu sonucuna ulaşmıştır. Örneğin,
nun yanı sıra tabloda boyundan ellerin yukarısına do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15’i si
kadar ve elbisenin yakasından ellerin altına kadar sesini oluştururken, 6/5’i la sesini, 4/3’ü sol sesini,
da altın dikdörtgenlerin yer aldığı görülmektedir. 3/2’si fa sesini, 8/5’i mi sesini, 16/9’u ise re sesini
Matematik ve Mona Lisa adlı kitabında Mona oluşturduğu müzikteki armoni ile tam sayılar
Lisa’nın sağ omzuyla, sağ yanağının; sol omzuyla, arasındaki ilişkinin göstergesidir.
sol yanağına göre hafifçe yana dönmüş gövdesi-
nin, 72-36-72 açılarına sahip bir altın üçgen içine

Leanorda Da Vinci'nin meşhur
Mona Lisa adlı eseri.

2022 | Hendese 13

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Matematik Ve Mimari

Mimari yapılarda duvar yüzeyi, zemin, kapı ve pencere yüzeyleri kubbe yüzeyleri iki boyutlu geomet-
rik cisimlerden; mukarnas, kubbe ve giriş portelleri gibi yapılarda üç boyutlu geometrik cisimlerden
yararlanarak süsleme yapılmaktadır. Bu da geometrinin mimarlık alanının vazgeçilmez bir parçası ol-

duğunun göstergesidir.

14 Hendese | 2022

Mimari üzerine olan eserleriyle öne çıkan Claude Monet'nin,1871 dolaylarında
yapılan, "The Thames below Westminster"(Westminster'in altındaki Thames) adlı

eseri.
Bu eser içerisinde; Lonra'da bulunan Thames Nehri'nin, üzerinde yer alan

Westminster Köprüsüyle birlikte resmedildiğini görebiliyoruz.
15

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Matematik Ve Sosyal Bilimler

Topluluk içinde yaşayan insanları çeşitli yönleriyle incelemeyi amaçlayan sosyal bilimler ekonomi,
sosyoloji, psikoloji, felsefe,hukuk gibi birçok disiplini içerisinde barındırır.
Her alanda olduğu gibi hukuk alanında da süreci aktarılmıştır.
matematik gereklidir. Sosyal bilimler alanında Geometri bilen kadı kararı düzeltip hakkının
önemli çalışmalar yapmış olan Kâtip Çelebi yarısıdır diyerek davayı hakkaniyetli olarak karara
“Hendese Bilen Kadı ile Bilmeyen Kadı’’ adlı bağlamıştır.
eserinde hukuk alanında matematiğin önemini bir Bu örnek matematik bilmeyen birinin hukuk
örnek ile açıklamıştır. alanında sağlıklı kararlar verememe ihtimalinin
Bu örnekte boyutları 100 arşın olan bir tarla ile vbariz bir göstergesidir.
boyutları 50’şer arşın olan iki tarla takas edilmiştir. Ayrıca hukukta davaların karara bağlanmasında
Bu takas sonucu oluşan anlaşmazlık ile taraflar önemli rol oynayan kriminal laboratuvarlardan
kadıya başvurmuştur. elde edilen DNA, parmak izi gibi delillerin elde
Geometri bilmeyen kadı, hakkı budur diye karar edilmesinde matematiksel mantık ve ölçümlerden
verdiği için geometri bilen bir kadı bulunarak dava yararlanılmaktadır.

Ekonominin temel öğeleri olan ürün miktarı bilgi ve becerilerimizin yardımı ile sağlıklı bir
ve fiyatının belirlenmesi, karşılaştırılması biçimde gerçekleştiririz.
işlemlerinin yapılabilmesi için diferansiyel, lineer Ayrıca bankaya para yatırma işlemleri, döviz
cebir gibi matematik konularından yararlanılır. kurlarındaki değişimler gibi bankalarda
Matematik bilgisine sahip olma ve bu bilgiyi gerçekleştirilen finansal işlemlerin tamamı
kullanabilme bireye problem çözme, analitik matematiksel işlemlerden yararlanarak
düşünme ve olaylara farklı açıdan bakabilme yapılmaktadır.
becerisi kazandırdığı için birey ekonomik Bu nedenle hem banka personellerinin hem
analizleri daha rahat görebilme, bu alanlarda parasal işlem yapan herhangi bir bireyin
yeni çözümler üretebilme imkanına sahip olur. hatalı hesaplamalar yapmasını önlemek için
Alışveriş, kar, zarar veya faiz gibi günlük hayatta matematiksel işlem yapma yeteneğinin gelişmiş
sürekli karşılaştığımız hesaplamaları matematiksel olması gerekir.

Sağlık, sanat, mimari, sosyal bilimler ve daha birçok alanda yaşamı kolaylaştırmak amacıyla geçmişten
günümüze kadar matematik sürekli olarak kullanılmıştır. Yüzyıllardır matematik hayatımıza girmiş, bir-
çok bilim dalının oluşmasına katkı sağlamış, bilimlerin dili olmuştur. Bilim ve teknolojide olduğu gibi
yaşamımızın da vazgeçilmez bir parçası olmuştur. Özetle matematiğin hayatımızdaki önemi tartışmaya
açık bile değildir.

Tohana Çiftçi

16 Hendese | 2022

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Johannes Vermeer, Astronom                           1668
Her Şeyin Teorisi: Sicimleroğumuz Einstein’in genel görelilik ve ku-

antum kütleçekim teorisinin kavgalı oldu-

Çğunu bir yerden duymuştur. Evrendeki her
bu teorinin matematiksel kısmındaki pürüz bize
evrenimizin 10, belki 11 boyutlu olması gerektiğini
söylüyor. ( 12 değil çünkü 11. boyutta bile matema-
şey, kütlesiyle orantılı olarak uzayı büker. (Bunun tiksel olarak az da fizik yasalarının işleyişi bozulu-
deneyini iki arkadaşınızdan bir kumaş parçasını ha- yor. 11. boyutta göz ardı edebilecek kadar az olsa da
vada germelerini istedikten sonra kumaşa elma ya 12. boyutta fazlasıyla önemli sonuçları oluyor.) Peki
da ona benzer bir cisim atarak yapabilirsiniz) An- biz bu boyutları neden göremiyoruz? Hemen size
cak kuantum dünyasında işler böyle işlemez. Orası eğlenceli bir şekilde açıklayayım. Edwin A. Abbott
bambaşka bir evrendir. Kuantum dünyasında bir bizden bir ülke düşünmemizi istedi. Adı düzlemler
parçacığın tam olarak nerde, ne yaptığını anlama- ülkesi. Bu ülkeyi kağıt üzerinde yaşayan kağıda çi-
mız mümküm değildir. (bkz: Heisenberg Belirsizlik zilmiş kare, üçgen gibi cisimlerin vatandaşlık ettiği
İlkesi) Çok büyük ve çok küçük şeylerin doğada iş- bir ülke olarak düşünebiliriz. Sonuç olarak elimizde
leyişindeki bu farklılık dönemin bilim insanlarının 2 boyutlu bir ülke ve halkı var. Şimdi de 3 boyutlu
kafasını karıştırdı. Çünkü büyük cisimler (yıldızlar, bir cismin (atıyorum taşın) o ülkeye uğradığını
karadelikler...) küçük cisimlerden oluşmuştu (pro- ( içinden geçtiğini açıkçası) düşünelim. Taşımız
ton, nötron, elektron, kuarklar...). Buna göre büyük ülkenin etrafındayken düzlemler ülkesi vatandaşları
cisimler de küçük cisimler gibi hareket etmeliydi taşın sadece gölgesini görür. Taş ülkenin içinden
çünkü bütünün bir parçalarıydı. Bu sinir bozucu geçmeye karar verdiğinde ise taşın sadece belli bir
buluştan sonra bilim insanları kütleçekim ve kuan- kesit alanını görücek. Sadece hayal edin. Taş ülkeye
tum mekaniğini birleştirecek, ikisini ortak bir atada ilk girdiğinde vatandaşlar küçük bir nokta görücek,
buluşturacak ve bir parmağın uzunluğunu geçme- taş daha çok ilerlediğinde ise nokta giderek daha
yen bir denklem, dolayısıyla teori arayışına girdiler. büyük bir noktaya dönüşecek ve taşımız ülkeden
Ortaya onlarca teori atılsa da (bkz: Halka Kuantum çıkmadan hemen önce de büyük noktamız küçülüp
Kütleçekim Modeli, Nedensel Fermiyon Sistemleri tekrar bir nokta halini alacak. Demek oluyor ki eğer
Teorisi, Nedensel Küreler Teorisi, E8 Önerisi, Şerit orada bir 5. Boyut varsa bizler de tıpkı düzlemler
Modeli) bana göre bizi sonuca asıl ulaştıracak olan ülkesi vatandaşlarının bizim sadece belli bir kıs-
her şeyin teorisi Sicim Teorisidir. mımızı belli aktarımlarla görebildiği gibi 5. Boyut
Sicim teorisine göre, kuarkların da ötesinde mad- cisimlerini tam olarak göremeyeceğiz. Belki de
deyi oluşturan en küçük şeyler sicimlerdi.(titreşen karadelikler 5. Boyuta açılan ama bizim kavraya-
ipler olarak düşünebiliriz) Bu sicimlerin farklı fre- madığımız (tıpkı düzlemler ülkesi vatandaşlarının
kanslarda (rezonanslarda) titreşmesiyle de kuarklar taşın ne olduğunu kavrayamadığı gibi) bir boyut
oluşuyordu. Kuarkların farklılaşmasının sebebi re- kapısıdır. Kim bilir.
zonanstaki farklılıktı. (Sicimler bu teoriye göre pro- Sonuç olarak, odanızın içinde farklı boyutlardaki
tondan milyar × milyar kat küçük, bu da çok fazla sizlerin sonsuz tane paralel evrende farklı şeyler
sıfır demek oluyor. Aşağı yukarı planck mesafesi yaptığı fikri korkutucu olsa da, evreni açıklamamıza
kadar.) Ancak teorinin ortaya atılmasının hemen en çok yaklaştığımız teorilerden biri sicim teorisi.
ardından bir pürüz bulundu. Bu teoriye göre uzay- Bazıları insanlığın bilimde geldiği max nokta olarak
zaman bizim düşündüğümüz gibi 4 boyuttan ibaret düşünüyor sicim teorisini. Yani onlara göre daha
olamazdı. ( bildiğimiz 3 boyuta zaman da eklenince ilerisini insan zekasının çözmesi mümkün değil.
4 boyutlu bir evrende yaşadığımızı düşünüyorduk.) Ancak ben böyle düşünmüyorum. Yıllar geçtikçe
Bunun matematiksel açıklaması çok karmaşık ve eminim yeni şeyler bulacak ve evrenin nasıl işledi-
uzun ama isterseniz Leonard Susskind’in anlatımını ğini açıklamaya başaracağız.
dinleyebilirsiniz. Sonuç olarak şunu bilmeliyiz ki
Melisa Şahin

2022 | Hendese 17

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

R Robert Recordeobert Recorde, zamanından önce bu
dünyaya gelen ve trajik bir sonla aramız-
dan ayrılan bilim insanlarından biri. 16.
Eşittir İşareti

16. yüzyıla kadar bütün matematikçiler kendi-
lerine has eşittir işaretleri kullanırlardı. Ortak bir
yüzyılda ekonomi, tıp, matematik, teoloji üzerine gösterim biçimi olmaması nedeniyle de birbirle-
birçok çalışma yaptı. Ama onu günümüzde unu- rini anlamakta zorlanıyorlardı. Sembol kullan-
tulmaz kılan, matematikte olmazsa olmaz eşittir madıkları zamanlarda da bunu kelimeler ile ifade
işareti oldu. etmek zorunda kalıyorlardı. Son kitabında Robert
1510 doğumlu Recorde başarılı bir öğrencilik
hayatı geçirdi. 1545’de Cambridge Üniversite- Recorde neredeyse iki yüz kez “is equal to” yani
“eşittir” yazdıktan sonra daha fazla dayanamayıp
si’nden tıp doktoru unvanını aldı. 1549’da Bristol bunu bir sembol ile göstermeye karar verdi. So-
Darphanesi’nde denetçi oldu; 1551-1553 arasında nunda “=====” sembolünü tasarladı(Ayrıca bu
İrlanda gümüş madenlerinde ve Dublin Darpha- kitapta + ve – ilk kez İngilizce olarak yer aldı.).
nesi’nde çalıştı. Ancak bu parlak kariyer William Recorde yapıtında: “Eşittir sözcüğünü bıktırıcı
Herbert ile yaşanan bir tartışma ile son buldu. bir biçimde tekrar tekrar kullanmaktansa genelde
Karşılıklı açılan hakaret davalarında Robert Re- çalışırken yaptığım gibi paralel iki çizgi koyaca-
corde suçlu bulundu ve o zaman için çok büyük ğım, çünkü paralel iki çizgiden daha eşit bir şey
bir miktar olan 1000 pound gibi olamaz“ diyerek düşüncesini dile
bir para ile cezalandırıldı. O bu
parayı ödeyemezdi, ödemedi de. getirdi. Bu arada görselde de gör-
düğünüz gibi o zamanlarda kul-
1558’de Southwark’taki Kings lanılan eşittir işareti günümüz-
Bench Cezaevi’ne gönderildi ve
ölene kadar burada kaldı. dekinden biraz daha uzundu.
Eşittir İşareti Kolay
Üretken bir kişi olan Robert Kabul Görmedi
Recorde, yazdığı ders kitapla-
rında astronomiyi, geometriyi Kavram hemen popüler hale
gelmedi. Sonuçta Latince 16.
ve aritmetiği İngilizce olarak yüzyılda etkili idi ve “aequ-
açıkladı. Şu an için bu bize
önemli bir durum gibi gözükme- alis”kelimesi bu dilde eşitlik
anlamında kullanılmaktaydı.
se de yaşadığı yıllarda bilim dili İnsanlara bu kelimeyi yazmak
Latince idi. Sonucunda bu dili
okuyabilen kişi sayısı da sınırlıy- Robert Recorde zor geldiğinde “ae” ya da “oe”bi-

dı. İşte bu nedenle kendisi İngiliz matematiğinin çiminde kısaltıyorlardı. Ancak
eşittir işareti + ve – ile birlikte kullanıldığında he-
kurucusu olarak tanındı. Kolay okunan bu ilk saplamaları gerçekten kolaylaştırıyordu. Sonuçta
İngilizce matematik ve astronomi kitapları uzun-
ca bir dönem İngiltere’de geçerliliğini sürdürdü. pratikliği nedeniyle zaman içinde matematikçiler
tarafından tercih edilmeye başlandı. Eşittir işareti
Bu kitaplar İngiltere’nin bilimsel ilerleme sürecine ilk olarak 1957’de FORTRAN I’de bir bilgisayar
önemli katkı sağladı.
Robert Recorde’un Ders Kitapları programlama dilinin parçası olarak kullanıldı.
Recorde’nin geliştirdiği bu sembolik dil bilgisayar
İlk kitabı olan The Ground of Artes, pratik hesap programcılığının temellerinin atılmasını sağladı.
yöntemlerini, örneğin Arap rakamlarıyla işlem
yapma, kesir ve orantı hesapları gibi konuları Amacı aslında bilimi anlaşılır kılmak ve hal-
ka indirgemekti. Ancak yanlış işlerde çalıştı ve
içeriyordu. Ticaretin önemli olduğu İngiltere’de yanlış kişilerle tartıştı. Ve çok önemli bir olguyu
bu bilgiler çok önemli idi. İkinci kitabı olan The
Castle of Knowledge’da astronomiyi ele alıyor- unutmuştu, her zaman aristokrasi kazanırdı ve
nitekim öyle oldu. Bugün ondan geriye Tenby’de
du. Bu kitap İngiliz okurlarına ilk kez Kopernik bulunan Aziz Mary Kilisesi’nde bulunan bir anıt
sistemini tanıttı. The Whetstone of Witte adlı son
yapıtı da, denklem çözümü, kök alma ve irras- kaldı. Ancak en önemlisi hayatımız boyunca bin-
lerce defa çizdiğimiz iki tane paralel çizgi…
yonel sayılar gibi önemli konuların işlendiği bir
cebir kitabıydı.
Kayra Tümen

18 Hendese | 2022

19

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Ö Öpücük Sayısıpücük sayısı denilince aklımıza küreler
dışında bir anlam geliyor olabilir fakat
öpücük sayısı tam anlamıyla küreler-
le ilgili. Öncelikle "öpücük" sözcüğünün başka Tek Boyutta ve 2. Boyutta Problemin
Çözümü
Tek boyutta cevap, açıkça 2'dir. Aşağıdaki gör-

bağlamlarda nasıl kullanıldığına açıklık getirelim: sel, bunu net bir şekilde göstermektedir:

Örneğin bilardo oyununda, sert topların birbirine
temas etmesine de "öpücük" denmektedir. Bu top-
ların birbirine kaç kez temas ettiği ise "Öpücük
Sayısı" olarak
adlandırılır. 2. boyutta ise öpüşme sayısı 6 olduğunu göre-
Öpücük sayı- biliriz:

sının asıl çıkış
noktası ise daha
çok iki bilim
insanı arasında
geçen ve iddi-
alaşma sonucu
ortaya çıkan bir
probleme dayan-
maktadır. Bu Peki 3. Boyutta Durum Nasıl?
iddialaşmanın Newton'a göre 12, Gregory'e göre sıkıştırılarak
başrolündeki bi- 13 top birbirini öpebilir. Başlangıç olarakdüzenli
bir yerleşim olmasını istiyorsak merkezde duran
lim insanlarından biri; nerDedaevyisde Gbilriemgodarlylarının topun ekvator çizgisine sırasıyla 6 tane top öpüş-
türülebilir. Daha sonra ekvatorun üst ve alt kısmı
çoğunda etkisi bulunan klasik mekaniğin öncüsü, olarak iki bölüm ayırdığımızda, üstte 3 tane, alt
kalkülüsün babası, "Yaşamış Son Büyücü" olarak kısma da yine 3 tane top yerleştirilir. Bu yerleştir-
nitelendirilen Isaac Newton, diğeri ise Newton'un mede toplamda 12 tane top, merkezde duran topu
Principia'sının en büyük savunucularından biri öpmüş oluyor. Boşluklara ne kadar denense de 1
olan İskoç Matematikçi David Gregory'dir. top daha eklenemeyecğini de belirtmek gerek. Bu
1694 yılında Gregory, Cambridge Üniversitesi'n- durumda kazanan Newton olmuştur.
de bulunan Newton'u birkaç günlüğüne ziyaret
etmiştir. Bu ziyareti sırasında Newton'u adeta
hocası olarak gören Gregory, Newton'un ağzın-
dan çıkan her sözü not almaya çalışmıştır. Yani
aslında sohbet, büyük oranda tek taraflı ilerle-
miştir. Bu durumu fark eden Newton, ilginçtir ki
Gregory'in elindeki defteri alarak konuşmaktan
ziyade, birkaç bilimsel ifadeyi kendisi bizzat yaz-
mıştır. Bunları yazarken defterde kendi sözlerin-
den bağımsız bir soruyu görmüştür. Soru şudur:
"Güneş etrafında dönen gezegenlerin sayısı
kaçtır?" Diğer Boyutlarda Öpücük Sayısı
Bu soru üzerinde kısa bir tartışma yaparlar ve Kalan boyutlsrın en küçüğü olan 4. boyutta
sonucunda "aynı boyuttaki merkezi bir topun öpüşme sayısı 24'tür. 5 boyutta 40-44, 6 boyutta
(mesela bir bilardo topunun) etrafında eşitbüyük- 72-78, 7 boyutta 126-134, 8 boyutta 240... gibidir.
lükte kaç top dönebileceği" sorusu üzerine dü- Bilinen en yüksek cevaplı boyut 24. boyuttur; 24.
şünmeye başlarlar. Derken soru evrilerek "Bir top boyutta cevap 196.560'tır. 25 ve daha üst boyut-
üzerinde eşit çaplara sahip 13 farklı top birbirini lardaki öpüşme sayıları henüz çözülmemiştir.

öpebilir mi?" halini almıştır ve tartışma ciddi
anlamda kızışmıştır.
Işıl Doğa Akkaya

20 Hendese | 2022

Isaac Newton
(1642-1727)

21

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Cebrail'in Borusuebrail'in Borusu -Cebrail'in Sûru veya

Torricelli'nin Trompeti olarak da bilinir-,

Csonlu hacmi olmasına rağmen sınırsız

yüzey alanı olan bir geometrik şekildir.
Cebrail'in Borusu, adını semavi inançların bir
Cebrail'in Borusunun Yüzey
Alanı Nasıl Hesaplanır?

Kalkülüs kullanarak bu yüzeyin yüzey alanını
hesaplayabiliriz. Şöyle hesaplanır:

parçası olan Kıyamet Günü'nde; İslamiyet için
İsrafil, Hristiyanlık için Cebrail'in üfleyeceğine
inanılan sûrdan alır.
Borunun geometrik nitelikleri dini anlatılarda Yazdığımız integralin sonsuza ıraksadığını gös-
veya kitaplarda belirtilmemiştir; bu da demek termeliyiz. Biz biliyoruz ki x>1 için:

oluyor ki borunun tasarımı insanlar tarafından
hayal edilmiştir. İnsanların hayal gücüyle orta-
ya çıkmasına rağmen, hayal edilen bu sûr şekli,
matematikte çok ilginç bir geometriye karşılık ifadesi doğrudur. Dolayısıyla:

gelmektedir.
Cebrail'in Borusu'nun matematik ve geometri
açısından önemi, sonsuz kavramının yüzyıllar-
dır matematikçiler ve fizikçiler arasında kavram
tartışmalarında başı çekmesinden ileri gelmekte- olacaktır. İntegrallerin üst sınırlarını limit
dir çünkü bu şekil öyle ki aynı anda sonsuzluğu biçiminde yazmamızın sebebi, sonsuzu içeren
ve sonluluğu barındırır; sınırlı bir hacme sahip integrallerin hesaplanması için kullanılan me-
olmasına rağmen sonsuz bir yüzey alanına sahip- tottan kaynaklıdır. Şu ifadenin doğru olduğunu
tir. Bu sıra dışı matematiksel özellik, ilk olarak 17. biliyoruz:

yüzyıl matematikçilerinden Evangelista Torricelli
tarafından analiz edildiği için, bu şekle kimi za-
man "Torricelli'nin Trompeti" de denir.
Bu boru, sonsuz uzunlukta olmasından ötürü, Dolayısıyla yüzey alanımız için yazdığımız in-
fiziksel dünyada pratik olarak elde edilemez; do- tegralin değeri de ∞'a ıraksamaktadır. Dolayısıyla
layısıyla sadece teorik bir kavramdır. Cebrail'in borusunun yüzey alanı, sonlu bir sayı
değildir.
Cebrail'in Borusunun
Matematiği
Bu yapının matematiksel olarak elde etmek için,
f(x)= 1/x fonksiyonunun grafiğinin x>1 bölgesi
ele alınır. Daha sonra bu eğri x ekseni etrafında
360 derece döndürülür. Ortaya çıkan yüzeye Ceb-
rail'in Borusu adı verilir.

f(x)= 1/x
fonksiyonunun
x>1 şartlı alanı

y=1/x eğrisinin 3 Evangelista Torricelli
boyutlu düzlemde
x ekseni etrafında
360° derece
döndürülmüş hali

22 Hendese | 2022

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Cebrail'in Borusunun Hacmi Nasıl Hesaplanır?

Şimdi, hacmini hesaplayalım. Burada "hacim"den kastımız Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan
bölgedir.
Kalkülüs'ten bilindiği üzere f fonksiyonu ile x ekseni arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 360
derece döndürülmesiyle elde edilen katı cismin hacmini şöyle hesaplayabiliriz:

Burada f(x)= 1/x'tir. Bu ifadeyi integralde yerine koyarsak:

sonucuna ulaşırız. Yani Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgenin hacmi π br3 olarak bulunur.
Bu, sonlu bir sayıdır.
Görebileceğiniz gibi Cebrail'in Borusu, geometrik olarak sonlu bir hacme sahip olmasına rağmen,
sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu, şu demektir: Sonlu hacmi olmasından ötürü, Cebrail'in borusu-
nun içini sıvı ile doldurmak mümkündür. Yani bir noktadan sonra sıvı eklemeye devam ederseniz, sıvı
taşacaktır; çünkü Cebrail'in Borusu sonsuz hacme sahip değildir.
Ne var ki, Cebrail'in Borusu'nun dış yüzeyini boyamaya çalışacak olsaydınız, boyanın hacmi π br3
iken (yani sonlu bir hacme sahipken) dış yüzey ∞ olduğu için, boya borunun dış yüzeyini kaplamaya
asla yetmezdi.

Işıl Doğa Akkaya

Cebrail ve Sûrunun bir Tasviri                         

2022 | Hendese 23

Réne Descartes
24

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Réne Descartes

DDescartes Kimdir? Matematikte elde edilen bilgiler kontrol
escartes, 1596 yılında Fransa’ da bulu- edilebilir olduğu için güvenilirdi. Buna bilim
nan La Haye’ de doğdu. Sağlık sorun- tanımında da yer verdi: : “Bilim bütünüyle doğru
ları sebebiyle geç bir tarihte 1607’de La ve apaçık bir bilgidir”. Bundan hareketle mate-
Fléche Koleji’nde eğitimine başladı. Cizvitliler matiğin tüm bilimler için tek teknik olabileceği
tarafından yönetilen bu okulda, eğitiminin büyük sonucuna ulaştı.
bir kısmını klasik dil, fizik, felsefe ve matematik
üzerine aldı. 1614’te mezun oldu ve iki yıl(1615- Matematik ile doğanın gizeminin çözülebi-
1616) Poitiers Üniversitesi’nde hukuk eğitimi leceğini söyleyen bu yöntem evrensel matematik
gördü. yöntemiydi.
Bu yöntem için dört önemli kural belirledi:
1618’de profesyonel bir subay olma tutkusuyla 1.Kural(Apaçıklık): Doğruluğu apaçık bilinme-
Protestan Hollanda Devletleri Ordusuna katıl- yen hiçbir şeyi doğru olarak kabul etmemek.
dı. Burada kurulan askeri mühendislik dalı ile 2.Kural(Analiz): İncelenecek güçlüklerden her
ilgili çalışmalar yaptı. Serbest düşüş, zincir eğrisi, birini, mümkün olduğu kadar bölüme ayırmak.
konik kesitler ve akışkan statiği üzerine araştır- 3.Kural(Sıra): En basit ve anlaşılması en kolay
malar yaptı. Bu görevi sırasında mükemmel bir şeylerden başlayarak düşüncelerinizi bir sıraya
bilimin temellerinin matematik ile kurulacağına göre yönetmek.
ilişkin bir rüya gördü. Rüyanın etkisinde kalarak 4.Kural(Sayış):Ele aldığımız bütün şeyleri sü-
uzun süre matematik üzerine çalıştı. Tüm bilim- rekli ve kesintisiz bir düşünce ile incelemek.
leri matematik ile inceleme düşüncesini tekniğe
dönüştürmeye çalıştı. Uğraşları sonuca ulaştı. Bu Tavandaki Sinek ve Descartes
yönteme evrensel matematik yöntem adını verdi.
Çalışmaları sonucunda analitik geometriyi kurdu. Descartes yatağında sırt üstü uzanıp tavanı izle-
yerek matematik ve felsefe üzerinde düşünmeyi
1622’de Fransa’ya dönen Descartes 1628’de severmiş. Bir gün uzanıyorken tavanın üstünde
tekrar Hollanda’ya dönene kadar orada kaldı. gezinen sineği izliyormuş. Aklına bir soru takıl-
Son senelerine kadar Hollanda’da yaşadı. 1649’da mış ‘Sineğin konumunu burada olamayan birine
Avrupa’nın en ünlü bilim insanlarından biri nasıl anlatabilirim?’ Tavanın bir köşesini başlan-
haline gelmişti. İsveç Kraliçesi’nden bir davet aldı gıç noktası olarak seçmiş. Seçtiği nokta üzerin-
ve kabul ederek Stockholm’e gitti. İsveç’in soğuk den önce dikey sonra yatay olarak belli ölçülerde
iklimi ona hiç iyi gelmedi, gittikten yaklaşık 5 ay giderse sineğin konumuna varacağını keşfetmiş.
sonra öldü.
Evrensel Matematik Yöntemi Descartes yatay olarak gittiği mesafeye x der,
dikey olarak gittiği mesafeye de y der. Sineğin
Descartes, kesin doğruya ulaşmayı amaçlıyor- bulunduğu nokta (x,y) ile ifade edilebilir. Çizilen
du. Tabiatın ışığında hakikati bulmaya çalışan yatay ve dikey iki çizgi sonsuza dek uzatıldığında
Descartes, bunun nasıl başarılabileceğinden şöyle elde edilen şeye koordinat sistemi denilir.
bahseder: “Hakikati arayanın yaşamında bir kez Antik Yunanistan’da yaşamış olan matematikçi-
tüm nesnelerden gücü yettiği ölçüde kuşku duy- ler x2 ifadesini alan, x3 ifadesiniyse hacim olarak
ması gerekir.” düşünmüştü. La Geometrie’ deyse Descartes bu
ifadelerin aslında kâğıt üzerine çizilen doğru veya
Aradığı kesin bilgi için ona yardımcı olabi- eğrileri de belirttiğini göstermişti. Descartes’in
lecek araçları değerlendirdi. İlk adım olarak üç gösterimi iki yönlüydü, yani bir cebirsel ifade
disiplini ele aldı: mantık, cebir, geometri. Mantı- geometrik olarak gösterilebiliyorken aynı şekilde
ğın yeni bir şey öğretmediğine karar verdi. Cebir çizilen bir eğri de cebirsel ifadeye denk gelebilirdi.
ve geometriyi ise ikisinin de sadece soyut olduğu Descartes ile Fermat aynı dönemde kartezyen
ve birtakım sınırların içinde kaldığı gerekçesiyle koordinat sistemi üzerine çalışmalar yapmış
yetersiz buldu. Bu üçünün kusurlarını atıp kul- birbirinden habersiz matematikçilerdi. İki bilim
lanılabilir yanlarını temel alan yeni bir yöntem insanının çalışmaları incelendiğinde farklı nokta-
geliştirmeyi düşündü. Bu yöntemin bir parçası lara değindikleri ve birbirlerinden etkilenmedik-
olarak cebir ile geometrinin birleştirildiği analitik leri görülüyor.
geometriyi kurdu.
Derya Taşlıçukur
2022 | Hendese
25

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Görülen eser, Laurent de La Hyre(1606-1656)
tarafından 1650 dolaylarında çizilmiştir. Bu
eserde;
Antik Yunanda yaşayan genç bir kız tarafından
tutulan, aritmetik hakkında bir kitap görünüyor;
Yunan matematikçi Pisagor'un adı bulunurken,
çalışma sayfasında birincil matematiksel işlevler
bulunmakta: toplama, çıkarma ve çarpma.

26 Hendese | 2022

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

2022 | Hendese 27

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Ö Ömer Hayyammer Hayyam 1048 yılında Nişabur’da
doğmuş, 1131 yılında vefat etmiş İranlı
astronom, şair, filozof ve matematikçi-
larını tartışır.
Pascal üçgenini ilk olarak Ömer Hayyam’ın bul-
duğu söylenir. Hatta İran’da Pascal üçgeni Hay-
dir. yam üçgeni olarak bilinir. Bu konuda da önemli
Daha çok şair ve rubaileri ile bilinmesine rağ- deliller bulunmaktadır.
men Hayyam’ı büyük yapan asıl yönü matematik- Binom açılımının temeli olan formülü şu şekilde
çiliğidir. Ömer Hayyam Batı’da birçok otoriteye ortaya koymuştur:
göre gelmiş geçmiş en büyük matematikçiler
arasında görülür. (x+y)n = n! Σ xkyn-k / k!(n-k)!
Hayyam’ın matematik eserleri:
Rubaiyat’ın bu derece ünlenmesinin en önemli • Kitabün fi'l Burhan ül Sıhhat-ı Turuk ül
nedenlerinden biri büyük İngiliz ozan Edward Hind. (Geometri kitabı)
Fitzgerald tarafından yapılan çeviridir. Bu çevi- • Risaletün fi Berahin İl Cebr ve Mukabele.
rinin 1859 yılında Londra’da yayımlanmasının (Cebir ve denklemlerle alakalı)
ardından tüm edebiyat dünyasının ilgisi Hayyam • Müşkilat'ül Hisab. (Aritmetik ve hesaplama-
üzerinde yoğunlaşmıştır. 1892’de lar kitabı)
Londra’da onun adına bir kulüp ku- • Nevruzname (Takvim ve yıl-
rulmuş, 1970’te ayın üzerindeki bir başı hesaplaması)
kratere, 1980’de yeni bulunan bir • Risaletün fi Şerhi ma Eşkele
kuyruklu yıldıza adı verilmiştir. min Musaderat (Öklid'in bir prob-
Hayyam matematiğin her iki leminin çözülmesiyle ilgili kitap)
yanına da önemli katkılar sağla- • Muhtasarun fi't Tabiiyat (Fizik
mıştır. Hem geometriyle ilgili hem bilimi kitabı)
de cebirle ilgili önemli çalışmalar Ömer Hayyam’ın diğer bir vasfı da
yapmıştır. astronomluğudur. Aslında astrono-
Geometride Öklid’in paralel pos- mi matematikten bağımsız değildir.
tulatına alternatif üretmiş ve kendi Ömer Hayyam bundan yaklaşık bin
adıyla anılan teoremle bunu açık- sene önce takvim hazırlamıştır. İl-
lamaya çalışmıştır. Hayyam, konik Ömer Hayyam ginç bir şekilde bu takvim bir yılın

kesitlerin dairelerle kesişimini kullanarak kübik üresini çok doğru bir değerle ortaya koymuştur.
denklemlere çözümler üretmiştir. Kübik denk- Takvim hazırlamak çok zor bir iştir. Gözlem
lemlerin düzlem mantığıyla çözülemeyeceğini o yapma olanaklarının kısıtlı olduğu o yıllarda daha
yıllarda ortaya koymuştur. Bu gerçek ondan sonra da zordur. Ancak Hayyam matematik zekası saye-
8 asır geçince kanıtlandı. sinde hesaplamalarını kusursuza yakın yapmıştır.
Hayyam cebirde daha da önemli çalışmalar yap- Ayrıntıya girersek; Hayyam, Sultan Melikşah ta-
mıştır. Cebirle ilgili çalışmalarını bir ders kitabı rafından Fars takvimini düzenlemesi için görev-
şeklinde yayımlamıştır. Burada yüksek dereceli lendirilmiştir. Görevi kabul eden Hayyam “Celali
denklemlere çözümler üretmiştir. Takvimi” olarak isimlendirilen güneş yılına dayalı
Bugün denklemlerde “bilinmeyen” dediğimiz ve bir takvim meydana getirmiştir. Bu takvimin hata
x ile ifade ettiğimiz kavramı ilk Hayyam ortaya payı her 5000 yılda 1 gün kadardır.Denildiği gibi
koymuştur. Matematikte “şey” diye tabir edilen kusursuza yakın bir değerdir.
bu kavram denklemleri ifade etmeye ve çözmeye Hayyam aynı zamanda bir yıldız haritası geliş-
yaramıştır. tirmiştir. Bununla birlikte Dünya’nın kendi ekseni
13 farklı 3.dereceden denklem tanımlamıştır. etrafında döndüğüne inanmıştır.
Denklemleri çoğunlukla geometrik metod kulla- Hayyam’ın ortaya koyduklarına baktığımızda
narak çözmüştür ve bu çözümler zekice seçilmiş onun müthiş bir zekâ sahibi olduğu sonucuna
konikler üzerine dayandırılmıştır. Bu kitabında ulaşıyoruz. Hayyam eşine az rastlanır bir dehadır.
iki koniğin arakesitini kullanarak 3.dereceden her
denklem tipi için köklerin bir geometrik çizimi
bulunduğunu belirtir ve bu köklerin varlık koşul- Perihan Akdoğan

28 Hendese | 2022

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

M İrrasyonel Sayılaratematikte söz konusu güçlüklerin
yaşandığı kavramlardan biri
irrasyonel sayı kavramıdır. Bu
e sayısı, 1.618033... diye giden altın oran veya
basitçe tam kök olmayan bir sayı; örneğin √7
sayısı, irrasyoneldir. Hiçbir şekilde iki tam sayının
kavram, tarihi gelişiminde matematikçilerin birbirine oranı şeklinde ifade edilemezler.
de anlamlandırmakta zorluklar yaşadıkları bir Öte yandan irrasyonel sayıları birbiriyle
kavramdır. çarparak rasyonel veya irrasyonel sayılar elde
Matematikte irrasyonel sayılar, rasyonel olmayan edebiliririz. Örneğin π*π çarpımı yani π sayısının
reel sayıları ifade etmekte kullanılır. Dolayısıyla karesi de bir rasyonel sayıdır. Başka bir örnek
önce "rasyonel sayı" kavramını tanımlamakta olaraktan √7*√7 de bir rasyonel sayıdır
fayda vardır: Rasyonel sayılar, iki tam sayının Transandantal (Aşkın) Sayı Nedir?
birbirine bölümüyle ifade edilebilen sayılardır. Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir
Sözcüğün kökü "ratio", yani "kesir" veya "oran" karmaşık sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir
demektir. Dolayısıyla rasyonel, yani "ratio-nel" deyişle, rasyonel katsayılı bir polinomun kökü
sayılar, iki tam sayının bölümü olarak ifade olmayan sayılara aşkın sayı denir. Buradan,
edilebilen sayılardır. Bu bakımdan "rasyonel sayı" tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna
kavramını Türkçeye kesirlenebilir sayı olarak varılabilir.
çevirmek mümkündür (tabii ki kesirin pay ve Transandantal Ve İrrasyonel Sayıların
paydasının tam sayı, örneğin 1, 2, -5, vb. olması İlişkisi
gerektiği unutulmamalıdır). Bu konuyla ilgili en önemli şey tüm transandan-
Örnek olarak 0.5 sayısını 1/2 olarak veya tal sayılar irrasyonel olsa da tüm irrasyonel sayılar
0.000025 sayısını 1/40000 olarak ifade edebiliriz. transandatal değildir (her ne kadar nerdeyse
Bu da demek oluyor ki 0.5 ve 0.000025 sayıları tamamı öyle olsa da).
rasyonel sayılardır. Kendini tekrar eden ondalıklı Örneğin irrasyonel bir sayı olan √2 sayısını ele
sayılar da rasyonel sayılmaktadır: Örneğin alalım. Bu sayı, rasyonel katsayılara sahip bir
0.77777... diye giden sayıyı 1/7 olarak ifade polinom olan x2-2=0 polinomunun köklerin-
edebiliriz ve bu da 0.7777... sayısını rasyonel den biridir. Dolayısıyla √2 , irrasyonel olmasına
yapar. Sonucu tam sayı olan karekökler de rağmen transandantal olmayan bir sayıdır. Benzer
rasyoneldir: Örneğin √9 rasyonel bir sayıdır ; şekilde, 1.618033... diye giden φ sayısı (altın oran)
çünkü karekökün sonucu olan 3 sayısı, iki tam da irrasyoneldir; ancak aynı zamanda x2-x-1=0
sayının oranı olarak (mesela 3/1 veya 6/2 olarak) polinomunun köküdür. Bu polinom katsayıları
ifade edilebilir. rasyonel sayılardan oluştuğu için, altın oran da
Bunlar bir yana π sayısı rasyonel değildir irrasyonel olmasına rağmen transandantal olma-
çünkü π sayısını ne yaparsak yapalım iki sayının yan bir sayıdır.
bölümü olarak ifade edemeyiz.Günümüzde Bunun haricinde kalan irrasyonel sayıların çoğu
matematikçiler, halen pi sayısını gerçek anlamıyla transendentaldir. Örnek olarak π sayısı verilebile-
ifade edebilecek yöntemler aramaktadırlar. ceği gibi, 0.8346268... diye giden Gauss sabiti gibi
Sadece pi sayısı da değil; 2.71828... diye giden sayılar da verilebilir.
Işıl Doğa Akkaya
29
2022 | Hendese

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Sonsuz Maymun Teoremi900’lerin başında Fransız matematikçi Emile Şimdi de dijital maymunlarımızla Shakespeare
1asla gerçekleşemeyeceğini düşünüyordu.
Borel küçük bir olasılığa sahip olayların için bir örnek inceleyelim. Yazmak istediğimiz şey
”To be or not to be” olsun. 26 harfli bir İngilizce
İmkansızlığı göstermek için bir örnek buldu: daktilomuz var. Boşlukları dikkate almadan
Daktilo tuşlarına rastgele basan maymunlar yazmamız gereken 13 harf var. İlk harfin doğru
eninde sonunda Shakespeare’in tüm eserlerini olma olasılığı 1/26, diğer 12 harfin de doğru olma
yazacaktı. Bunun olasılık dışı olduğunu ve olasılığı yine 1/26 olduğundan (1/26)13 bu 13
sonsuz bir zaman içinde sonsuz kadar maymunla harfin yazılma olasılığını verir. Bu sayı 4× 10-19
gerçekleştirilebileceğini düşünüyordu. Zamanla değerine eşittir. Maymunlar “tobeornottobe”
Sonsuz Maymun Teoremi ismini aldı. yazmak için 2,5×1018 kez tuşlara basmalıdır.
İlerleyen yıllarda bunu test etmek isteyenler Teoremin Popüler Kültürdeki Yeri
oldu ancak elbette mümkün olmadı. Teorem hakkında çok konuşulan bir diğer şey
Teoremi inceleyecek olursak: Daktiloda 50 ise bunun matematik için bir kazançken sanat
tuş olduğunu ve yazmak istediğimiz sözcüğün için bir kayıp mı olduğu. Eğer maymunlar (ya da
de maymun olduğunu varsayalım. İlk harfin m bir çeşit yapay zeka) Shakespeare’in bir eserini,
olma olasılığı 1/50 ‘dir. Aynı şekilde ikinci harfin örneğin Hamlet’i yazabiliyorsa o zaman metinler
a olma olasılığı da 1/50 ‘dir. Buna göre seçilen ilk için yazar gerekir mi? Pek çok kişi bu teoremle sa-
6 harfin maymun sözcüğünü oluşturma olasılığı natın belki taklit edilebileceğini ama asla yeniden
(1/50) x (1/50) x (1/50) x (1/50)x (1/50) x (1/50)= yaratılamayacağını düşünüyor.
(1/50)6 =1/15.625.000.000 olur. Aslında sözü edilen maymunlar rastgele seçil-
miş imgesel bir sembol. Shakespeare için de aynı
15 milyarda 1 den küçük ama sıfır değil!
6 harflik ilk n bloktan herhangi birinde maymun şeyi söyleyebiliriz. Bunun bir saçmalık olduğu
%yan•••0z.annna1rm  7t===t)aı'111kdm.00çi0raa.0.00 .oX000l.00na00.sa00.ıXz000lıa00nğil=0.çıı0r i.X.(n00001nX'0d-inçi1iriç/n.≈i5n X00d6.n9) en≈9 Xo90l9nu.≈5(r3.≈0(.%0≈09%197.59(3≈9))v, e konusunda ısrarcı iddialar var. Oysa ki hem may-
mun hem de Shakespeare birer değişken ancak
birçok kişinin kafasını karıştıran da bu nokta
oluyor.

Sonsuz maymun teoremi zamanla olasılık
matematiğinde popüler ve deyimsel bir konuya
dönüştü. Teorem 2007 yılında Wired dergisi ta-
azGaöltrıülalbdiüliğrü. BgöibyilencebümyaüytmüluernekyaXznmisateonlaisldıliığğiınce rafından 8 klasik düşünce deneyi arasında liste-
%100’e yaklaştırılabilir. lendi. Pek çok çizgi filmde ve podcastlerde atıflar
yapılmaya devam ediliyor.

Derya Taşlıçukur

Ferrier ve Borel (Soldan Sağa)                                 1926
30 Hendese | 2022

Geroge Stubbs'ın 1779 tarihli, "Maymun"
adlı eseri
31

Arşimet

32

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Hendese

Adli Bilimler ve Matematik
Bir Suçun Nerede İşlendiğini Kan Coğrafi Profilleme
Lekeleri Bize Söyleyebilir Mi? Bazen işlenen bir dizi suç birbiri ile bağlantılı
olur.. Bu tip bir cinayeti aydınlatmak için genel-
Kan lekeleri, suç mahallinde ne olduğu hakkın- likle, bağlantılı suçların her birinden önce bilgiler
da birçok ipucu barındırır. Kan lekesi desen anali- alınır. Daha sonra bu bilgiler ve önceki sabıka
zi (BPA), kan lekelerine neden olan eylemleri kayıtlarından yola çıkarak bir şüpheli listesi yapı-
yeniden oluşturmak için bir suç mahallindeki kan lır. Coğrafi profilleme birbiriyle ilişkili suç bilgi-
lekelerinin yorumlanmasıdır. Kanın kaynağını ve lerinden faydalanarak muhtemel sanık adresine
mağdur ile failin pozisyonlarını belirlemek için ulaşmak için kullanılan bir araştırma yöntemidir.
biyoloji, fizik ve matematik birlikte çalışır. Kan Okulda öğrendiğimiz neredeyse tüm matematik
lekesinin şekli ve kuyruğu, kanın hareket ettiği suçların ardındaki gizemi çözebilmek için adli tıp
yönü gösterir. Aşağıdaki şemada gösterildiği gibi, uzmanları tarafından yoğun bir biçimde kullanı-
yerde üç kan lekesi olduğunu hayal edin. Ayrıca lır. Bunlardan biri de coğrafi profilleme ile ilgili-
tüm bu lekelerin aynı kaynaktan geldiğini düşü- dir.
nün. Şimdi kan lekelerinden hareket yönlerine Suçluların aşina oldukları alanlarda hareket
göre çizgiler çizdiğini hayal edin. etme eğiliminde oldukları gerçeğine dayanarak
her şüpheliye bir olasılık atamak için bağlantılı
Bu çizgiler kaynağınız olan P noktasında bulu- suçların mekânsal kalıplarını analiz etmeyi içerir.
Pşacaktır. Sistem sayesinde suç işlenen yerden yola çıkarak
Kanın kayna- muhtemel suçlu ikametinin haritası oluşturulur.
ğı P’nin üzerinde bir Bu sayede her şüpheliyi araştırmak için zaman ve
kaynak harcanmaz. Bunun yerine, olası suçlular
yerde olacaktır. coğrafi profillemeyle elde edilen olasılığa göre
Kaynağı bulduktan sonra sıralanır.
tam olarak hangi yükseklikte
olduğunu bulmak için biraz daha Olasılık ve İstatistik
geometri yapmak gerekir.
Damlacıklar bir yüzeye çarptığında oluşan şekil Olasılık ve istatistik de günümüzde suç ile ilgili
aşağıda da gördüğünüz gibi çarpma açısına ve araştırmalarda giderek daha fazla kullanılmak-
kat edilen mesafeye bağlıdır. Öncelikle yapılma- tadır. İstatistiksel analiz aracılığı ile benzerlikler
sı gereken kan damlasının yüzeye çarptığı açıyı ve farklılıklar belirlenebilmektedir. Sonuçta iki
belirlemektir. kişinin aynı DNA profillerine sahip olma şansı
Kan, düz bir yüzeye dikey olarak düşer- yüz trilyonda birdir. Ayrıca adli tıp biyologları
se, kanın yörüngesi yüzeyle çoğu zaman küçük bir alanda ve genelde bozul-
muş olay yeri örnekleriyle çalışmak zorunda kalır.
90 ° açı yapacak Bu, bir bireyin tanımlanmasını zor hale getirir.
şekilde, dairesel şekilli bir damla oluşturur.  Bunun sonucunda da çıkarımlar yapmak için ince
Kan yere eğik olarak, yaklaşık 70°’den daha az olasılıklı argümanlar gerekir.
bir açıyla düşerse, kuyruklu eliptik bir şekil oluş- Parmak izi, kan grubu ve DNA ile ilgili kanıtlar
turacaktır. analiz edilirken özellikle koşullu olasılık devreye
Uzmanlar bu açıyı belirlemek için aşağıda gör- girer. Bu tür değerlendirmeler, bir suçla ilgili iki
düğünüz uzunlukları hesaplar. Sonrasında da kan olayın bağlantılı veya bağımsız olup olmadığını
damlasının yüzeye çarptığı açıyı bulmaya çalışır. belirlemeye yarar. Koşullu olasılığa önem veril-
memesi, hatalı çıkarımlar yapılmasına neden olur.
Hesaplamada çarpmadan önceki bir damlacık Sonuç olarak, okulda öğrendiğimiz matematik ile
çapının çarptıktan sonrakine eşit olduğu varsayı- ilgili hemen hemen her konu, adli bilim tarafın-
lır. dan suçluları yakalamak için bir biçimde kullanıl-
Bu tam olarak doğru olmasa da bize yaklaşık bir maktadır.
cevap verecektir.
Bundan sonra yapılması gereken dik üçgenler ve Kayra Tümen
trigonometrik bağlantılar yardımı ile kanın geliş
açısını hesaplamaktır.

2022 | Hendese 33

Kaynakça

Shannon Sayısı(sf. 6) Robert Recorde (sf. Ömer Hayyam (sf.
18) 28)
• How Many Chess Games
Are Possible? This Will • The strange and righteous • https://webders.net/417/
Blow Your Mind!; https:// history of the equals omer-hayyam-vematematik-
herculeschess.com sign; https://arstechnica. alanindayaptigi-calismalar.html
• How Many Different com/ • https://www.
Ways Can a Chess Game • Robert Recorde – the man yuksekmatematik.
Unfold?; https://www. who invented the equals com/omer-hayyam-
popsci.com/ sign; http://www.bbc.co.uk/ vematematik/
• Notation, notation, • https://www.matematiksel.
Van Gogh, Yıldızlı notation: a brief history org/sair-filozofmatematikci-
Gece vc Matema- of mathematical omerhayyam/
tik(sf. 9) symbols; https://www.
theguardian.com/ İrrasyonel Sayılar
• https://kadiminsan. (sf. 29)
com/guncel/bilim/birrenk- Öpücük Sayısı
ustasi-van-goghve-arkasindaki- (sf.20) • https://evrimagaci.org/
bilimturbulans-akisi/ irrasyonel-sayi-nedemektir-
• https://www.britannica. • https://evrimagaci.org/ irrasyonelsayilar-mantiksiz-
com/biography/Vincentvan- opucuk-sayisi-nedir- sayilarmi-11122
Gogh birkureye-ayni-anda-ve- • https://tr.wikipedia.org/
• https://ogrencikariyeri. aynicapta-en-fazla-kac- wiki/A%C5%9Fk%C4%B1n_
com/haber/van- tanekure-dokunabilir-11240/ say%C4%B1
gogh-unyildizli-gece- amp
tablosununardinda-yatan- Sonsuz Maymun Te-
matematik Cebrail'in Borusu oremi(sf. 30)
• https://piacademic.com/ (sf. 22)
van-gogh-yildizli-gece- • https://www.matematiksel.
vematematik-turbulans/ • https://evrimagaci.org/ org/
cebrailin-borusu-sonluhacmi- • https://tr.wikipedia.org/wiki/
Hayatımızdaki Mate- olmasina-ragmensonsuz- Sonsuz_maymun_teoremi
matik (sf. 12) yuzey-alani-olangeometrik- • https://stringfixer.com/tr/
sekil-11357 Typewriting_monkeys
• https://www.tzv.org.tr/#/ • https://barisozcan.com/
haber/6089 Réne Descartes(sf. sonsuz-maymun-teoremi/
• https://www.bilgibaba. 25)
com/yazi/matematik- Adli Bilimler ve Ma-
nedirhayatimizdaki-onemi-ve- • https://e-dergi.tubitak.gov. tematik (sf. 33)
amaci tr/edergi/yazi.pdf;jsessio-
• http://acikerisim.dicle. nid=ovxf8lPH7h1Hp3xPl- • Catching criminals
edu.tr/xmlui/bitstream/ Y2qR96J?dergiKodu=4&- with maths; http://
handle/11468/4524/583639. cilt=44&sayi=743&say- chalkdustmagazine.com
pdf ?sequence=1&isAllowed=y fa=104&yaziid=32110 • A forensic formula for
• https://www.cag.edu.tr/ solving crimes; https://www.
uploads/site/users-special/013 • Rene Descartes : analitik irishtimes.com
86bd6d8e091c2ab4c7c7de644d geometri ve odadaki sinek • Solving crimes with
37b/files/Matematik-ve- bilimveutopya.com.tr maths: Bloodstain pattern
İnsanYaşamı.pdf analysis; https://plus.maths.
• Kartezyen koordinat org/
sistemi www.
matematikciler.com

• 3 boyutlu koordinat
sistemiderspresso.com.tr

Öneri Kitaplar