Sihir Matematik Dergisi

“Benim mânevi mirasım ilim ve Giriş
akıldır”
Nişantaşı Anadolu Lisesi Galileo, matematik hakkında “Evren her an
gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin
Matematik Dergisi yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz.
Danışman Öğretmen Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler,
daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan
Deniz Günoz tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir
Dergi Kapak Tasarım labirentte dolanılır.” der. Kozmolog Max Tegmark da bu
düşünceyi, “Eğer hem uzayın kendisinin hem de içindeki
Eren Gümüş tüm nesnelerin matematiksel özellikler dışında bir şeye
Dergi Mizanpaj/Tasarım sahip olmadıkları fikrini kabul ederseniz, o zaman her
şeyin matematiksel olması düşüncesi çılgınca gelmemeye
Eren Gümüş başlıyor. Eğer düşüncem yanlışsa sonuçta fiziğin başı
Görevli Öğrenciler dertte demektir; ama evren gerçekten matematik ise
ilkesel olarak anlayamayacağımız hiçbir şeyin olmadığı
Eren Gümüş anlamına gelir.” diyerek destekler. Matematik, insanlığın
Yunus Bora Bayraktar doğayı ve evreni anlama uğraşının ürünüdür. Doğayı
anlamak, matematiği anlamakla mümkündür. Gerçekten
Işıl Doğa Akkaya de matematik, evrenin işleyişini anlamamızda büyük bir
Perihan Akdoğan öneme sahiptir. Örneğin, enginar Fibonacci dizisine uyan
Emirhan Gedik bir desende çiçek açar. Gezegenler, eliptik yörüngelerde
Kadir Arslan Böğürcü döner.
Eyüp Efe Özçelik
Matematik ayrıca sanatta da etkili olmuştur. Leonardo
Arda Topçu da Vinci ve Mimar Sinan, eserlerini yaparken altın
Nil Işıkoğlu orandan yararlanmıştır. Müzikte seslerin aralıkları, ritim
Nehir Karaarslan ve diğer bazı kavramlar sayılar ile ifade edilir.

Okul Adres: Teşvikiye Mah. İnsanlığın ilk zamanlarından bu yana yapılan
Valikonağı Caddesi Poyracık Sokak Sk. keşifleri, icatları ve ortaya konulan sanatsal eserleri
anlamlandırmak ve özümsemek için matematik en büyük
No65 Nişantaşı/Şişli/İstanbul rehberdir.
Tel: 0212 240 12 86
Matematikte soru sormanın ve soru üzerine düşünerek
Web: nisantasial.meb.k12.tr yeni fikirler üretmenin çözüme ulaşmaktan daha önemli
olduğunu düşünüyoruz. Bu dergiyi hazırlama amacımız;
evrenin ve bilimin dili olan matematikle ilgili bazı
sorularınıza cevap bulmanıza ve yeni sorular sormanıza
yardımcı olmak. Dergiyi okurken aklınızdaki soruları
yanıtlamanızı ve daha önce dikkatinizi çekmemiş konular
üzerine düşünmenizi, sorular sormanızı temenni ediyor;
matematiğin ve düşüncenin her zaman hayatınızda
olmasını diliyoruz.

Nehir Kararslan
Nişantaşı Anadolu Lisesi Öğrencisi

3

Sıradışı

Bir matematik dergisinin takdim kısmına böyle bir başlık nasıl karşılanır bilemiyorum. Bu
dergiyi baştan sona okursanız bu başlığın uygun olduğunu göreceksiniz.
Eğitimle ilgilenen herkes öğrencilerin genellikle matematikte niçin başarısız olduklarını
merak eder. Matematik öğretmenimiz Deniz Günöz’ün rehberliğinde öğrencilerimizi
hazırladığı bu dergiyi inceleme fırsatı bulursanız, öğrencilerin matematiğe karşı
önyargılarının yıkıldığını ve başarısızlığın önüne kolaylıkla geçilebileceğini göreceksiniz.

Matematik soyut bir kavramdır dediğinizde, artık
matematiği anlamaya başladınız, hele matematiği felsefe ile
ilişkilendirdiyseniz, matematiğin sırrını çozdünüz demektir.
Dergi hazırlanırken bunlara dikkat edilmiştir.
İçerikte “Matematik nedir?” sorusunun cevabını aşağıdaki
kısa tanımlamaları görüyoruz.
Matematik sihirdir, tinseldir, paradokstur, sanattır, ilahi
sanattır, sonsuzluktur, sınırlılıktır, zihinsel üretimdir,
yaratıcılıktır.
Bu tanımlamalara göre matematiğin alanının ne kadar
geniş olduğu görülür. Matematik konuları mantıksaldır.
Problem çözme, hipotez kurmaya ve bilmece çözer gibi onları
ispatlamaya dayanır. Dergide bunları açıkça görecek, ilginizi
Ertan Demirtaş- Okul Müdürü çekecektir.
Bu dergiyi okumaya başladığınızda bazı tanımlamaların
özenle çizilmiş bir resim, derinlemesine tartıştığınız tatlı bir felsefe konusu, nefes nefese
okuduğunuz bir roman gibi okumaktan kendinizi alamayacak ve matematiği daha iyi
anladığınızı göreceksiniz.
Bugün kullandığımız matematik kavramları günümüze kolay gelmemiştir. Her bir kavram
insan ömrünü aşan çalışmalarla, bir kavramın ekolleri ve okulları oluşmuş, felsefi açıdan
tartışmaları yapılmış, sanat ve diğer disiplinler arasında bağları kurulmuş, kısaca bilimin dili
haline gelmiştir. Bizim için her şey kolaylaştırılmıştır.
Bugün bilim ve teknik göz kamaştıran bir noktaya gelmişse, bunu matematiğe borçlu
olduğunu söylemek yanlış olmaz. Matematik olmadan hiçbir bilim dalı kendini ifade edemez.
Çünkü Matematik bilimin dilidir.
Bu derginin çıkarılmasına rehberlik eden tecrübeli matematik öğretmenimiz Deniz Günöz,
öğrencilerine matematiği daha iyi anlamaları için dergi yazılarını matematik ve kavramların
tarihini içeren yazılar hazırlatmıştır.
Derginin ismi Sihir Matematik Dergisi! Bence çok uygun olmuş, sihir ve matematik!
Sihirli matematik ismi matematikle pek bağdaşmıyor gibi görünse de, matematiğe karşı
önyargısı olanlar için, dergiyi okuduklarında matematiğe karşı sergileyecekleri olumlu
tavıra dikkat çekmek olarak anlaşılabilir. Çünkü matematik normatiftir. İlginiz ölçüsünde
anlamanız ve öğrenmeniz de o kadar kolay olacaktır.
Öğretmen ve öğrencilerimizin matematiğin tarihe dayanan ve felsefesini yansıtan dergi
çalışmalarını başarılı bulduğumu ifade etmek isterim. Sihirli matematik dergisini hazırlayan
öğrencilerimizi tebrik ediyorum. Derginin hazırlanmasında öğrencilerimize rehberlik eden
matematik öğretmenimiz Deniz Günöz’e teşekkür ediyorum.
Sihirli matematik dergisini keyifle okuyacağınıza inanıyor, ikinci sayısını benim gibi merakla
beklediğinizi düşünüyorum.

Ertan Demirtaş

Nişantaşı Anadolu Lisesi Okul Müdürü

4

İçindekiler

Matematik ve Sayıların Felsefesi........................................................................ 4
Söndürülen Işık: Hypatia....................................................................................  7
Atatürk ve Matematik.......................................................................................... 8
Matematiğin Prensi: Gauss.................................................................................12
Hiçliğe Dair.........................................................................................................14
Leonardo Fibonacci............................................................................................16
Sonsuzluk............................................................................................................18
Paradokslar.........................................................................................................19
Rastgelelik...........................................................................................................22
Blaise Pascal.......................................................................................................24
Altın Oran...........................................................................................................25
Miletos’lu Thales.................................................................................................26
Matematik Tarihi................................................................................................30
Emile Borel ve Ölçüm Teorisi.............................................................................35
Matematikte Saat Sistemi ve Astronomi...........................................................36
Cahit Arf.............................................................................................................37
π Sayısının Tarihsel Gelişimi............................................................................40
Tarihte Müzik Ve Matematik İlişkisi.................................................................42
Matematik Keşif Midir Yoksa İcat Mı?..............................................................44
Elealı Zenon........................................................................................................46
Kaynaklar............................................................................................................48

5

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Matematik ve Sayıların Felsefesiatematik birçok disiplinin

birleşmesidir. Matematik sadece

Mözenle geliştirilmiş bilimsel bir teori

olmayıp, aynı zamanda modern bilimin de temeli
Birçok bilim dalı, matematiğin dilini kullanır.
Ama bu dil bizim bildiğimiz diğer dillerden elbet
çok farklıdır, daha sınırlı ve daha katıdır.

olmuştur. Bilimde bir teorinin gerçekten bilimsel Diğer bilimler ile matematik arasındaki temel
olmasını belirleyen ölçütlerden biri matematik farklılıklar düşünce sistemlerinde ve ispat-açıkla-
kullanımıdır. Matematiğin soyutluğu birçok ma yöntemlerindedir. Birincisinde olgusal içerik
insanı korkutur ve uzaklaştırır. İşin ilginci soyut bulunur, yani gözlemin sonucundaki açıklama
oluş, insanlar tarafından gözlenip açıklamada yeterli olur. Matematiksel düşüncede ise kavram-
zorluk çekişte bir numaralı kurtarıcıdır. B.Russell sallık vardır, yani “gözlenen olayı olgusal açıklama
“Matematik sadece doğruyu söylemekle kalmaz yerine ilişkileri teorem olarak ispatlama”.
aynı zamanda onun güzelliğini de ortaya
çıkartır” der.
Matematik felsefesi denildiğinde konu birçoğu-
nuza belki soğuk ya da anlamsız geliyordur. Oysa
Matematikteki ahenk veya düzen kimi zaman konu büyüleyici ve çekici. Rasyonel düşüncede
bazı filozoflara, bilim adamlarına bir resmin renk matematik ve bilim birlikte üretkendirler. Bir
ahengini, bir müziğin duruluğunu anımsatır. köprünün inşasından tutun da, internet bağlantı-
Kimisi bunun karşısında hayranlığını, sevinç ve larına kadar yaşamın her yerinde esrarengiz güç-
heyecanını gizleyemez. Her ne kadar başlangıçta lerini birlikte sergilerler. Yaşamda matematiğin
matematik doğayı ve insanları ilgilendiren prob- değerini sorguladığınızda karşınızda matematik
lemlerin çözümü olsa da, matematikçiler mate- felsefesini bulursunuz. Sonlu insanın sonsuzluk
matiği bu alanından alıp, bilinçlerinde oluşan ile nasıl oynadığını, matematiği nasıl yarattığını
problemlere kavramsal çözümler düşünsel eyle- düşündükçe karşımıza yine matematik felsefesi
mine dönüştürürler. Örneğin Geometri, ilk önce çıkar.
alan hesaplanması ve astronomik çalışmalardaki
yıldızların yeri ve hareketlerinin gözlenmesi ile
başlamıştır.

6 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Bizi baştan çıkaran matematikteki kesinlik, Plâtoncular ise matematiğin bizden bağımsızlığını
objektiflik, matematiksel düzendeki sonuçların varsayar ve kendine has yasaları olduğunu
estetik zihinsel güzelliğidir. İnsanoğlunun bu söylerler. Sezgiciler matematiğin insan zekası
gerçek ile nasıl bir bağlantı kurduğunu kolaya ürünü olduğu iddiası ile Platonculara karşı
kaçmadan açıklamamız gerekiyor. Başka bir çıkarlar. Onlara göre ispatlanamayan bir şey
deyiş ile biçimsel ya da tanımsal semboller doğru değildir.
ile oynanması, matematiğin bakış açısına ve Matematiksel gerçeklik ve düşünme yapısı
platonik* dünyasına kendimizi tam anlamı ile incelendiğinde, matematiksel nesnelerin gizemli
vermemizi gerektirir. Bu işi uzun yıllar önce özellikleri ve bunların büyük zekâ uğraşıları
temelciler çok iyi yaptılar. Matematiğin nasıl sonucunda ispatı göz önüne alındığında
yaratıldığını ince ince çözümlemeye ve sonra MATEMATİĞİN BİR FELSEFİ DÜŞÜNCE
dokumaya uğraştılar. sistemi içine sığdırılamayacak kadar sonsuz bir
Matematiksel konuşmada anlam ve gerçeğin zenginliğe sahip olduğu görülür.
analizi esastır. Çekiciliğin ve esrarengizliğin
perdesi böyle aralanır. Perdeyi aralayanlar farklı Eren Gümüş
yöntemlere başvururlar. Bilim felsefesi göz önüne
alındığında, eğer yapımcılığın verdiği yanıt doğru *Tensel olmayan, düş gücüyle yüceltilen, hep
olsaydı o zaman iyi bir bilgi kuramı anlaksal öyle kalması istenilen, ülküsel olan.
bir iç eylem olarak matematik için bir açıklama **Varlığı biçim sayan ve gerçeğin ancak biçim
oluştururdu. yönünden kavranabileceğini, özün, içeriğin değil
Matematik felsefesi, matematiğe getirilen biçimin belirleyici olduğunu savunan öğreti.
felsefi açıklama, Platon ve Pyhtagoras’ların
döneminden bugüne kadar gelmiş olup felsefe
içinde önemli bir yere sahiptir. Platon, kendi
felsefi sistemi içerisinde “Geometri bilmeyenler
giremez” akademisi içerisine geometri bilmeyen
öğrencilere yer vermemiştir. Pyhtagorasçılar,
varlığa ya da dünyaya ilişkin açıklamanın sayılar
aracılığıyla gerçekleşecek bir açıklama olduğu
düşüncesiyle de kalmayıp, dünyanın bir anlamda
sayı olduğunu öne sürerek, bir sayı metafiziği
geliştirmişlerdir. Matematik felsefesi kusursuz bir
disiplin olmakla birlikte müthiş bir değiştirme
gücüne de sahiptir.

Son olarak, Cantor matematiğin özünde zengin Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
bir özgürlüğün olduğunun altını çizer. Onun
vurguladığı bu özgürlük inşa etme, varsayımlar
oluşturma özgürlüğüdür. Formalizm** bu görüşe
ayrı bir yaklaşım daha getirir; gematematiğin
insan zekâsı ürünü olduğu ve matematiksel
nesnelerin sanal nitelikleri olduğunu ileri sürer.

2021 | Sihir Dergisi 7

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Carl Friedrich Gauss Isaac Newton Blaise Pascal Leonhard Euler

Öklid Pisagor Hypatia Georg Cantor

Gerolamo Cardano Thales Hârizmî Cahit Arf

Bernhard Riemann Gottfried Leibniz Leonardo Fibonacci René Descartes
8
Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Söndürülen Işık: Hypatia

MHypatia Kimdir? Hypatia’nın Ünü
atematikçi, astronom ve filozof olan
Hypatia , Mısır’ın İskenderiye şehrin- M.S 400 yılında Hypatia, babasının ardından ne-
de doğmuştur. Güzelliğiyle de tanınan oplanist felsefe okulunun başına geçti. Öğrenciler
Hypatia İskenderiye Üniversitesinde seçkin bir kitleler halinde onun düşüncelerini ve yazılarını
profesör olan Theon’un kızıdır.Hypatia’nın annesi takip ediyordu. Bir süre sonra Roma İmparator-
hakkında ne yazık ki bir bilgi yoktur. luğu’nun en güçlü ailelerinin çocuklarını görme-
Theon, Hypatia’yı mükemmel bir insan yapmaya ye başladı. Hypatia bir Pagan inancına mensup
kararlıdır. Bu yüzden Hypatia şanslı bir çocuktu. olmasına rağmen Hristiyan ve Yahudi insanları
Sanat,edebiyat, bilim ve felsefe alanlarında eği- özgürce kabul ediyordu. Hypatia’nın ölümünden
tim alırken babası da aynı zamanda öğretmene sonra bütün çalışmaları kaldırılmış olmasına
olmuştu. Theon Hypatia’yı fiziksel olarak formda rağmen ona yazılar yazılan mektuplar ve hayatı
tutmak içinde kürek çekmek, yüzme ve ata binme boyunca başkaları tarafından tutulan onunla ilgili
gibi fiziksel aktiviteler yaptırmıştır. Ayrıca Hypa- kayıtlardan elde edilebilir.
tia bilgisini başkalarına aktarmak ve hatip olma
yeteneğini artıran konuşma eğitimi de almıştır. Hypatia’nın Ölümü
Hypatia önünü duyduğu Yunanistan’ın Atina
kentinde bir okula gitmiştir. Orada eğitim aldık- Hypatia İskenderiye’de Hristiyanlar ile Hristiyan
tan sonra İskenderiye’ye geri dönmüş ve orada olmayanlar arasındaki gerginlik ve çatışmaların
babasıyla aynı enstitüde matematik ve felsefe öne çıkan isimlerinden biriydi. Şehrin pagan
öğretmesini istemiştir. Daha sonra felsefe, mate- valisi Orestes’in himayesindeydi. Vali ile beraber
matik ve astronomi üzerine İskenderiye Kütüp- birçok soylu ve zengin kişi o dönemde Hypati-
hanesi’ndeki Platon Okulu’nda dersler vermeye a’nın felsefe ve matematik derslerini takip ediyor-
başlamıştır. Hypatia bu okulda içinde Hristiyanlık du ancak bu olaylara katlanamayan İskenderiye
ve Musevilik gibi birçok inanca sahip öğrencisine piskoposu Cyril kıskançlıktan şeytan, cadı dedi.
Platon ve Aristo öğretilerini kazandırmış Diop- İncil’den ayetler gösterilerek halk kışkırtıldı. Sa-
hantus’un ‘’Arithmetica”dersini vermiştir. vunmasız bir halde okulun kapısında yakalandı,
taşınıp işkence ve linç edilerek 45 yaşında öldü-
Hypatia’nın Matematik rüldü. Cinayetin ertesi günü Cyril, kilise tarafın-
Çalışmaları dan Aziz ilan edildi. Hypatia’nın bütün eserleri
yok edildi.
Büyük geometreci Pergeli Apollonuius’un ça-
lışmaları ve Diyofantus’un Aritmetika’sı da dahil Perihan Akdoğan
olmak üzere kendi eleştirilerini yazmaya başla-
mıştır. Diyafontus’un kullandığı dil anlaşılması
zor ve yoğun olduğundan dolayı Hypatia daha
ayrıntılı bir şekilde incelemiştir. Hypatia kullandı-
ğı anlaşılır dil sayesinde de modern matematiğin
temelini oluşturmuştur. sadece bununla yetinme-
yip kendi araştırmalarında üstlenmiştir ve astro-
nomi alanında da birçok şey yapmıştır. Kısacası
Hypatia’nın çalışmaları şu şekildedir:
Aritmetik üzerine 13 ciltlik yorum
Apollonius’un konikler üzerine bir yorum
Batlamyus’un Almagest’i üzerine düzenleme
Babası Theon’un yazdığı “Öklid’in elementle-
ri” adlı eser üzerinde düzenleme “Astronominin
kanunları” adlı kitabı.

2021 | Sihir Dergisi Hypatia İskenderiye’de Halka Ders Anlatıyor

9

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

M Atatürk ve Matematikustafa Kemal Atatürk’ün 1893 yılında
ortaöğretimde matematik dersinde
öğretmeni Yüzbaşı Mustafa Bey,
ismine “Kemal”i de girdi. Derste ki öğretmen bir öğrenciyi tahtaya
kaldırıştı. Öğrenci, tahtada çizdiği paralel iki
çizginin başka iki paralel çizgiyle kesişmesinden
oluşan açıların Arapça adlarını söylemekte zorluk
koymuştur.Atatürk, çekip yanlışlıklar yapınca durumu fark eden
Selanik de geçen Atatürk tepki göstererek “Bu anlaşılmaz Arapça
olayı şöyle anlatır: terimlerle, öğrencilere bilgi verilemez. Dersler,
“Rüştiyede iken Türkçe yeni terimlerle anlatılmalıdır.” diyerek
en çok matematiğe tebeşiri eline aldı ve tahtada terimlerin türkçe
merak sardım. çevirisini yazdı.
Az zaman da Mustafa Kemal Atatürk elli yedi yıl boyunca
bize bu dersi yaşamında birçok başarıya ve ilke imza atmayı
veren öğretmen başardı. Her işi önceden planlar zamanında ve
kadar belki de yerinde yapmıştı. Bunda matematik zekası büyük
daha fazla bilgi bir rol oynadı.
edindim. Derslerin Mustafa Kemal Atatürk, 1937 yılında yayınlanan
üstündeki sorularla Mustafa Kemal Atatürk bir geometri kitabı yazmıştır. Bu kitapta
uğraşıyordum, yazılı sorular düzenliyordum. kullanılan yeni terimler ayrıntılarıyla açıklanmış
Matematik öğretmeni de yazılı olarak cevap ve üzerine örnekler ile verilmişti. Kitap geometri
veriyordu. Öğretmenim ismi Mustafa idi, bir gün üzerine bilgi edinmek ve üzerinde çalışanlar
bana dedi ki: için kılavuz olarak kültür bakanlığı altında
‐Oğlum senin de ismin Mustafa benim de. yayınlanmıştır.
Bu, böyle olmayacak arada bir fark bulunmalı. Bazı Eski Türkçe geometrik terimler ve günü-
Bundan sonra adın “Mustafa Kemal” olsun. O müz türkçesinde ki karşılıkları:
zamandan beri ismim gerçekten Mustafa Kemal
Atatürk oldu.”
Mustafa Kemal Atatürk terim çalışmalarının Eski Türkçe Türkçe

ülkedeki etkilerini fiili olarak da inceledi. Müsavi Eşittir
Ülkedeki pek çok okul ziyaret etti. İlk olarak
matematik derslerine girdi ve öğrencilerin Mecmû Toplam
dersteki başarılarını gözlemliyordu. 1937 yıllında
Kültür Bakanı Saffet Arıkan, İçişleri Bakanı Zâviye Açı
Şükrü Kaya, Sabiha Gökçen, İsmail Hakkı Tarh Çıkartma
Tekçe ve yaveri Naşit Mengü eşliğinde Sivas Taksim Bölme
Darb Çarpma

Lisesine gitmişti. 9‐A sınıfında geometri dersine Perihan Akdoğan

“Geometri kitabını Atatürk, ölümünden bir buçuk yıl kadar önce Üçüncü Türk Dil

Kurultayı’ndan hemen sonra 1936‐1937 yılı kış aylarında Dolmabahçe Sarayında

kendi eliyle yazmıştır.

1936 sonbaharında bir gün Atatürk beni, Özel Kalem Müdürü Süreyya Anderi-

man’ın yanına katarak Beyoğlu’ndaki Haşet Kitapevi’ne gönderip uygun gördüğü-

müz Fransızca Geometri kitaplarından bir tane aldırttı. Bunlar Atatürk’le birlikte

gözden geçirildikten sonra, yazılacak Geomeri kitabının genel tasarısı çizildi. Bir

süre sonra ben ayrıldım ve kış aylarında Atatürk bu eser üzerinde çalıştı. Geometri

kitabı bu emeğin ürünüdür.” TDK Başuzmanı Agop Dilaçar

“Ben öğretim devrimde matematik konusuna çok önem vermişimdir ve bundan ha-

yatımın çeşitli safhalarında başarı elde etmek için faydalanmış olduğumu

söyleyebilirim. Onun için herkes matematik bilgisinin çok gerekli olduğuna inan-

malıdır.’’s Mustafa Kemal Atatürk

10 Sihir Dergisi | 2021

Atatürk Sivas Lisesi'nde geometri
dersinde ders anlatıyor.

11

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

12 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

2021 | Sihir Dergisi Mustafa Kemal Atatürk

13

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Matematiğin Prensi: Gaussohann Carl Friedrich Gauss, Alman

matematikçi, astronom, istatistikçi, fizikçi ve

Jcoğrafyacı. Yaşamı boyunca bilime yaptığı
Gauss, 1799’da bitirdiği doktora tezinde
cebirin temel teoreminin*** bir kanıtını
sundu. Bu önemli teorem, karmaşık sayılar
olağanüstü katkılardan dolayı “Matematiğin üzerine tanımlanmış her polinomun en az bir
prensi” ve “antik çağlardan beri yaşamış en büyük kökü olduğunu söyler. Gauss’tan önce pek çok
matematikçi” olarak anılır. matematikçi bu teoremi kanıtlamayı denemiş
Hikâyeye göre, Gauss’un ilkokul öğretmeni ama hiçbir kanıt genel kabul görmemişti.
Büttner, öğrencilerini oyalamak için 1’den 100’e Gauss’un kanıtına da o zamanlar henüz
kadar olan sayıları toplamalarını isteyince, Gauss kanıtlanmamış olan Jordan eğri teoremini****
cevabı sınıftaki bütün öğrencilerden önce ve kullandığı için itiraz edildi. Bu itirazlar üzerine
hızlıca bularak hem öğretmenini Gauss, hayatı boyunca üç değişik
hem de asistanı Bertels’i hayrete kanıt daha sunmuş olup, 1849’daki
düşürdü. Küçük Gauss, sayı son kanıtı tüm matematikçilerden
listesinin iki zıt ucundan birer kabul görecekti. Gauss bu kanıtlar
sayı alıp topladığında hep aynı üzerinde çalışırken, karmaşık
sonucun çıktığını fark etmişti: sayılar kavramının olgunlaşmasına
(1 + 100) = (2 + 99) = (3 + 98) = ... çok büyük katkıda bulunmuştur.
= (50 + 51) = 101, vs. Böylece 1’den Hannover eyaleti için yüzey
100’e kadar olan sayıların toplamı ölçümleri yapan Gauss, bu
50 × 101 = 5050 oluyordu. ölçümler için helyotropu icat edip
1796’da kenar sayısı bir Fermat kullandı.
asalı* olan her düzgün çokgenin, Gauss, Öklit dışı geometrilerin
sadece cetvel ve pergel kullanılarak Johann Carl Friedrich Gauss varlığını keşfettiğini, ama
çizilebileceğini kanıtladı. tepkilerden çekindiği için fikirlerini
Yine kendi keşfi olan modüler aritmetik** yayımlamadığını iddia etmiştir. Öklit dışı
fikrini kullanarak, sayılar kuramında “karesel geometrilerin çıkış noktası Euclid’in “Elementler”
karşılıklılık ilkesi” olarak bilinen teoremi adlı 13 ciltlik eserinde kullandığı 5 postulattan
kanıtladı. İlk olarak Euler ve Legendre tarafından beşincisi olan paralellik postulatına (bir
ortaya atılmış ama kanıtlanamamış olan doğrunun dışındaki bir noktadan kendisine
bu teorem, ikinci dereceden denklemlerin ancak bir paralel çizilebilir) dayanmaktadır.
çözülebilirliğinin belirlenmesini sağlıyordu.
Işıl Doğa Akkaya

*Fermat sayıları, n sıfırdan küçük olmayan bir yan her polinomun en az bir karmaşık kökü var-
tam sayı olmak üzere, dır; çünkü tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçel
Fn=2 2 +1 sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır.
Şeklindne yazılabilen sayılardır. Örnek; ****Kendisiyle kesişmeyen kapalı sürekli bir
F0 = 2 1+1=3 eğri, düzlemi iki parçaya ayırır. Basit olarak
F1=2 2+1=5 “Çemberin ya içindesindir ya da dışındasındır”
**Modüler aritmetik, tamsayılarda kullanılan olarak bilinir.
bir hesap yöntemidir. Saatin her on iki saatte bir *****Güneş ışığı ve aynalar yardımıyla doğrultu
yinelenmesi gibi modül denen belli bir değere gözlemleri yapmaya yarayan aygıt.
gelindiğinde yeniden sıfıra dönülmesiyle olur.
***Cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli Jordan eğri teoreminin çizimi.
polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir Jordan eğrisi (siyahla çizilmiş),
sonuçtur. Teoremin açık bir ifadesi şöyledir: düzlemi bir “iç” bölge (açık
Katsayıları karmaşık olan ve sabit olmayan tek mavi) ve bir “dış” bölge (beyaz)
değişkenli her polinomun en az bir (karmaşık) olarak böler.
kökü vardır. Sonuç olarak, katsayıları tam sayı,
rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olma- Sihir Dergisi | 2021
14

Matematikçi ve filozof
Carl Friedrich Gauss'un portresi

15

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

S Hiçliğe Dairayıları anlamaya çalışmaya küçük yaşlardametik sistem içinde duran toplama ve çarpma gibi
başlarız ve bu öğrendiğimiz alfabenin ilk işlemlere bir uyum sağlayabiliyordu fakat böl-
harfinin 1 olduğunu da o yaşlarda öğreni- me gibi ayırma işlemlerinde yabancı kalıyordu.
riz. Bu öğrendiklerimizle birlikte bir asansörde Örneğin, 0 ile a değişkenini çarpalım: a 0 işlemi
kaç kişi var ya da bir sepette kaç muz var gibi so- aslında 0 tane a’yı topla demektir ya da a tane 0’ı
ruları cevaplayabiliriz fakat içi boş olan bir sepeti topla demektir ve her ikisinde de mutlak olarak
ya da içinde kimse olmayan bir asansörü tanımla- sonucun sıfır olması gerekir. Toplamada ise bir
mayı veya göstermeyi daha geç öğreniriz. şeye hiçlik eklersek (ki ekleyemeyiz) herhangi
0’ı geç öğrendiğimiz gibi, 0’ın bilimin basamak- bir değişiklik gözlemlenemeyeceği için 0 etkisiz
larında yer alması da geç olmuştur. Tarih içinde elemandır. Gördüğünüz gibi 0 toplama ve çarpma
mühendislikte ödün vermemiş ve müthiş başarı- işlemlerinde aritmetiğe tam olarak uyuyor.
lara imza atmış Romalılar; bilim ve matematikte Bölmeye gelirsek: 30 birim uzunluğunda bir
çığır açan antik yunanlar bile 0’ı sayılar alfabesine cetvel düşünün ve bunu 5’e bölelim: 30/5 = 6
sokmamıştı. eşitliğini elde ederiz. Bunu 0 uzunluğunda olan
0 nasıl kabul gördü? bir cetvel olduğunu varsayarak 0’a uygulayalım ve
sonucumuz a olsun: 0/5=a eşitliğini elde ederiz ve
0 belki de en Matematikten yoksun insanın ya- eğer iki tarafı 5’le çarparsanız eğer 0=a.5 eşitliğini
şamına bile girmiş durumda ve bu sağlam yerini
elde etmek için tarih boyunca birçok sü- elde ederiz buradan a’nın 0’a eşit olduğunu
reç geçirdi. Günümüz Meksika toprak- görebiliriz.
larında hüküm sürmüş olan Maya Dev- Asıl sıkıntı aslında 0’ın bölünmesi de-
leti 0’ı farklı şekillerde kullandı. Bir süre ğil, 0’ın bölmesinde ortaya çıkıyor. Eğer
ki 5/0 işlemine 0/5 ‘e yaklaştığımız gibi
sonra Babillerden etkilenen Klaudyos yaklaşırsak: 5/0 =b eşitliğini elde ede-
Batlamyus, sıfıra benzer bir simgeyi ken-
di sayı sistemi içerisinde yer belirteci riz. Eğer eşitlik içinde içler-dışlar
olarak kullandı. Bu gelişme sonu- çarpımı yaparsak 0=5 gibi akıl
cunda örnek verecek olursak 87 ile almaz bir sonuç elde ederiz ve eğer
807 sayılarını Babiller’ in aksine bunun gibi akıl almaz bir sonucun
bağlama göre ayırt etmek yerine olduğunu yani 0/5 gibi bir sayı
olduğunu kabul edersek matematik
doğrudan ayırt etmek mümkün olu- içinde büyük karmaşalara yol açarız. Bunu
yordu. Daha anlaşılır bir dille anlatacaksam engellemenin en iyi yolu böyle sayıların tanım-
eğer; örneğin virgülü bir şeyin gerçek anlamamızı sız olduğunu ileri sürmek ve kabul etmektir. En
saptamak için kullanırız. Aynen 0 da bu kullanım basite indirgeyecek olursak; 5’i veya herhangi bir
işlevinde görev görüyordu. Fakat sıfırın da virgül sayıyı 0‘a bölmenin herhangi bir anlamı yoktur,
gibi bir disipline ve kurallara ihtiyacı vardı. bu yüzden de bu işlemin gerçekleşmesine izin
7. yüzyılda Brahmagupta, sıfırı yer belirtecin- vermeyiz.
den çok bir sayı olduğunu düşünerek bunu kabul Hint Matematikçi Bhaskara, sıfıra bölünme
ediyordu. Dolayısıyla sıfırı eğer işlem içine kata- üzerinde yaptığı bazı çalışmalar sonucu sıfıra
caksak bunun da her sayı gibi bir disipline ihti- bölünme işlemlerinin sonucunun sonsuz olduğu-
yacı vardı ve Brahmagupta ise tam olarak bunu nu savunmuştur. Nedenini açıklayacak olursak:
yapıyordu. Tam olarak da bundan dolayı kendi Elimizde 0’a olabildiğince yakın bir sayı olsun ve
çağının çok ötesindeydi. Avrupa aritmetiğinin bu bbuinrasanydıyiyaebliömle-rslnie→mm0 -ç;obkubnüsyaüykıssıanyıılar elde ede-
konuda Brahmaguptaya yetişmesi için Hint-A- bilirim. n sayısına örnek bir değer verelim ve bu
rap aritmetiğinin 13. Yüzyılın başına kadar, yani 0,1 olsun ve eğer bu sayıyla örneğin 5’i bölersek
Fibonacci’nin Sayı Sayma Kitabı’nın yayımlanma- sonucum 50 olur bunun yerine daha küçük bir
sına kadar, beklemesi gerekirdi. sayıyla deneyelim: 5/0,001 işleminde ise sonucum
Sıfır elemanının sisteme eklenmesi sonucu belir- 5000 olur ve gördüğünüz gibi bu sayı ne kadar
li sorunlar da beraberinde geldi. Bu yeni elemana küçülürse sonsuza daha da yaklaşıyor.
nasıl davranılmalıydı? Sıfır, hali hazırda duran
aritmetik düzenine nasıl uydurulunabilirdi? Arit-

16 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

İşte bu yüzden Bhaskara sonucu sonsuz olarak “başlangıç” çağrışımı içerir, ama negatif ve pozitif
adlandırmıştı. değerler arasında bir referans noktasıdır.”
Fakat günümüzde bu kavramın kabul edilme- Sıfır, ilk tanıtıldığında matematikçilere garip gel-
mesinin sebebi ∞ gibi bir kavramın aritmetik miş olsa gerek; fakat matematikçilerin, faydaları
kurallarına uymaması ve aritmetik içinde karma- çok uzun zaman sonra ortaya çıkacak kavramlarla
şıklıklar yaratması ve bu yüzdende sonsuz kavra- uğraşmak gibi bir huyu vardır. Sıfırın günümüz-
mını sayısal bir değer olarak alamayız. Bu yüzden deki bir benzeri ise boş küme. Yani içinde hiç
sonucumuzu tanımsız olarak belirlemek daha eleman olmayan küme tipidir. Bu da tıpkı sıfır
makul bir sonuç olur. gibi olmazsa olmaz garip kavramlardan biridir.
5/0 Bu kadar karışıklıklar çıkarırken peki 0/0
nasıl sonuçlar doğuruyor? Önceki terimlerde de Eren Gümüş
yaptığımız gibi burada da aynı tekniği uygulaya-
lım: 0/0=c eşitliğimiz olsun. Eğer eşitliğe içler-dış- “Negatif olmadan pozitif anlamsızdır. Bunlar
lar çarpımı uygular isem eşitliğim şu hali alacak: 0 zorunlu olarak birbirlerinden ayrılamazlar. Hegel
= 0 belki çok basit bir cevap oldu fakat bu eşitliğin çok uzun zaman önce “saf varlığın” (çelişkiden
bir başka yönü de var: 0 = c 0 aslında eşitliğimiz arınmış) saf hiçlikle aynı şey olduğunu, yani boş
buna da eşit ve buradaki eşitlikten çıkarabilece- bir soyutlama olduğunu açıklamıştı. Aynı şekil-
ğimiz şeylerden biri c’nin, yani 0/0 eşitliğimin de, eğer her şey beyaz olsaydı, bu bizim için san-
sonucunun, herhangi bir sayının değerini alabilir. ki her şeyin siyah olmasıyla aynı olurdu. Gerçek
Bundan dolayı da 0/0 kavramının belirsiz olarak dünyada her şey pozitifi ve negatifi, olmayı ve ol-
belirlenmesi gerekir. mamayı içerir, çünkü her şey sürekli bir hareket
Matematikte sıfırın yeri çok büyüktür hatta sıfır ve değişim halindedir. Bu arada matematik sıfı-
olmasa matematik düzgün çalışmaz bile diyebili- rın hiçliğe eşit olmadığını göstermektedir. Şöyle
riz. Sayı sistemi, cebir ve geometrinin işlemesini yazıyor Engels: Sıfır, herhangi bir belirli niceliğin
sağlayan kavramların özündedir sıfır. Sayı doğ- yadsınması olduğu için içerikten yoksun değil-
rusunda ise pozitif ve negatif sayıları ayırdığı için dir. Tersine sıfırın çok kesin bir içeriği vardır.
özel bir konuma sahiptir. Onluk sistemlerde ise Tüm pozitif ve negatif büyüklüklerin sınır çizgisi
sıfır hem aklınızın alamayacağı büyüklükte sayıla- olarak, ne pozitif ne de negatif olabilen tek
rı hem de en mikroskobik küçüklükteki değerleri gerçek nötr sayı olarak o, yalnızca kesin bir sayı
ifade edebilmemizi sağlayan özel bir yer belirteci değil, aynı zamanda kendi başına bizzat sınırla-
görevindedir. dığı tüm diğer sayılardan daha önemlidir. Aslın-
Yaşamımıza bu kadar girmiş olan sıfıra ilişkin da sıfır, içerik olarak diğer tüm sayılardan daha
olarak Davenport’a sorulan “Matematik dilinde zengindir. Herhangi bir sayının sağına koyun,
+1, -1, 0 ve ∞ ne anlamlara gelir, açıklar mısınız?” onu on katına çıkarır. Kendi başına alındığında
sorusu üzerine şunları yazıyor: sıfır = 0 anlamına gelmesi şartıyla, sıfır yerine
“Sıfır” bir sayı veya bir değer değil, her tür nite- başka herhangi bir işaret kullanılabilirdi. Demek
leme ve nicelemenin yokluğudur aslında. Heplik ki, bu uygulamasının olması ve kendi başına bu
ile hiçliğin sınırı olarak algılanır… Bir bakıma bir şekilde uygulanabilmesi sıfırın doğasından gelen
bir şeydir. Sıfır kendisiyle çarpılan her sayıyı yok
eder; bölme işleminde herhangi bir sayıyla bölen
terim olarak bir araya geldiğinde o sayıyı sonsuz
ölçüde büyütür, bölünen terim olarak bir araya
geldiğinde sonsuz ölçüde küçültür; diğer her
sayıyla sonsuzluk ilişkisi içinde duran tek sayıdır,
0/0,-∞ ile + ∞ arasında her sayıyı ifade edebilir
ve her durumda gerçek bir büyüklüğü temsil

Alan Woods- Aklın İsyanı

Baskhara(M.S. 1114)-(M.S. 1185)

2021 | Sihir Dergisi 17

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Leonardo Fibonacci

LFibonacci Kimdir?
eonardo tahmini 1170 yılında İtalya’nın
Pisa şehrinde doğdu. Kesin doğum tarihi
bilinmemektedir. Babası Guglielmo’nun
takma adı Bonaccio idi ve bu ad, iyi tabiatlı veya
sade ruhlu anlamına gelmekteydi. Annesi Ales-
sandra Leonardo 9 yaşındayken öldü. Leonardo
babasının takma adını miras olarak aldı. İtalyanca
Filius Bonacci, Bonacci’nin oğlu anlamına gel-
mekteydi ve Leonardo bu nedenle Fibonacci diye
anılmaya başlandı.
Babası Guglielmo Cezayir’in Béjaïa limanı ile
İtalya’nın Bugia kenti arasında bir ticaret posta-
sını idare etmekteydi. Genç bir çocuk olan Leo- Fibonacci Dizisi
nardo babasına yardım etmek için onunla seyahat
ederdi. Burası Leonardo’nun Hint-Arap sayı Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki
sistemini öğrendiği yerdir. ile toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. Bu
Fibonacci Hint-Arap sayıları ile aritmetik şekilde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle
işlemler yapmanın Roma rakamları ile hesap oranlandığında altın oran ortaya çıkar, yani bir
yapmaktan çok daha basit ve verimli olduğunu sayı kendisinden önceki sayıya bölündüğünde
gördü. Leonardo bütün Akdeniz bölgesini gezdi altın orana gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir.
ve dönemin önde gelen Arap matematikçiler ile Bu durumda genel olarak Fibonacci sayısı F(n) şu
şekilde ifade edilir:

çalışma olanağı buldu. Leonardo yaklaşık olarak
1200 yıllarında bu seyahatinden döndü. 1202
yılına gelindiğinde 32 yaşında, öğrendiklerini
“abaküs kitabı” veya “hesaplama kitabı” anlamına Bu da bir Fibonacci dizisidir:4, 4, 8, 12, 20, 32, 52,
gelen Liber Abaci isimli eserinde topladı. Yayınla- … Çünkü Fibonacci dizisi herhangi iki sayıdan
dığı bu eserinde Hint-Arap Sayı Sistemi’ni Avru- başlayabilir
pa’ya duyurdu. Fibonacci sayı dizisindeki sayıların birbirleriyle
Leonardo matematik ve bilim ile ilgilenmeyi oranı olan ve altın oran denilen 1,618 sayısı ise
seven Roma İmparatoru II. Frederick ile dost doğada, sanatta ve hayatın her alanında görülen
oldu. 1240 senesinde Pisa cumhuriyeti kendisini ve estetik ile bağdaştırılan bir sayıdır.
Leonardo Bigollo namıyla taltif edip onurlandı ve Ayrıca Pascal Üçgeninde de Fibonacci sayı dizisi
maaş bağlandı. bulunmaktadır.
19. yüzyılda Pisa ‘da Fibonacci heykeli yapılmış Doğada çok sayıda Fibonacci Dizisine örnek
ve buraya dikilmiştir. Heykel bugün Camposan- vardır:
to’nun batı galerisinde ve Piazza dei Miracoli - Tavşanların üreme düzeni
tarihi mezarlığında bulunmaktadır. - Ay çiçeğinin göbeğinden dışarıya
Leonardo Fibonacci, her sayının, kendinden doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru
taneler sayıldığında çıkan rakamlar.
önce gelen sayı ile toplanarak bir sonrakinin elde -Salyangoz Kabuğu
edildiği sayı dizisini keşfetmiştir. (1 sayısı ken-
disiyle toplanıp 2 sayısını elde edilir ve 2, ken- Emirhan Gedik

dinden önceki sayı olan 1 ile toplanıp 3, 3 sayısı
kendinden önceki 2 ile toplayıp 5 ve bu şekilde,
her sayı kendinden önceki ile toplanarak bir son-
raki sayı elde edilir) Bu diziye, bulucusuna ithafen
Tavşan örneği ile Fibonacci Dizisi

Fibonacci sayıları denir. Bu sayı dizisi, doğadaki
birçok oluşumun düzeninde bulunduğu varsayı-
lan Altın Oran`ı kapsar ve birçok bilimsel araştır-

18 Sihir Dergisi | 2021

Pablo Picasso'nun olan bu tabloda, İspanya'nın
Barselona şehrindeki bir caddede, gitarının üzerine
eğilmiş, yırtık pırtık giysili yaşlı, bitkin kör bir adam
betimlenir. Günümüzde, Chicago Sanat Enstitüsü'nde,

Helen Birch Bartlett Hatıra Koleksiyonunun bir
parçası olarak sergilenmektedir.

Picasso'nun çoğu tablosu gibi Altın Oran(sf.16, 25)
örneği bir tablodur.

19

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

S Sonsuzlukonsuzluk ne kadar büyüktür? Aklımıza çokların yarısı çift, yarısı tektir. Cantor da bu cevaba
büyük bir sayı getirelim, 90 üssü 59473. katılıyordu fakat eşit olmaları için farklı bir neden
Bu sayıya 1 eklediğimizde daha büyük bir ortaya koydu. Ona göre bütün tek sayıların, bir
sayı elde ediyoruz. Yani her zaman akla gelen en çift sayı eşi olurdu. Yani 1 ve 2, 3 ve 4, 5 ve 6 gibi
büyükten bile daha büyüğünü elde edebiliyoruz. düşünebiliriz.
Sonsuzluk günlük yaşamda akla Şimdi de şu soruya bir cevap bulmaya
çok uzakta, ulaşılamayan veya çok çalışalım; “Tamsayılar kümesi ve çift
büyük miktarlar gibi gelir. Sonsuz- sayılar kümesinin eleman sayıları eşit
luk kavramı uzun süre tartışılmıştır. midir?”. Buna sezgisel olarak ilk anda
Matematikteki “sonsuz” kavramına hayır diyebiliriz, sonuçta tamsayılar
açıklık getirilmesinin püf noktası kümesi çift sayılar kümesini kapsadığı
“sonlu”nun ne demek olduğunu için daha büyük olması gerektiğini
bilmektir. Sonuçta “sonsuz”, “sonlu”- düşünürüz. Fakat “eşit” veya “daha
nun zıttıdır. Sonu olmayan her şey çok” gibi kavramlar, sonsuz sayıda
sonsuzdur. Sonsuz günlük hayatta elemanla uğraşırken anlaşılması zor
her ne kadar sayıymış gibi düşünül- bir hal alır. Bu gibi durumlarda bire bir
se de aslında matematikte bir sıfattır. Georg Cantor eşleme fikrine geri dönmemiz gerekir.

Nasıl “sonlu”yu günlük hayatta bir sayı olarak N ile çift sayılar kümesi olan Ç arasında bire bir
düşünmüyorsak, ki zaten “sonlu” da bir sıfattır, eşleme vardır. 1 ve 2, 3 ve 4, 5 ve 6, 7 ve 8... Bu şe-
“sonlu”nun karşıtı olan “sonsuz” da bir sıfattır.. kilde düşününce tam sayılar kümesi ve çift sayılar
Örneğin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” söz- kümesinin eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Bu
cüğü “sayı” sözcüğünü niteler. Bunun gibi, “son- durum Öklid’in “bütün, parçalardan büyüktür.”
suz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcüğü “sayı”yı fikriyle tezattır.
niteler. Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir Matematikte 15 bir nesnedir ve başka bir nesne
nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler olan 2’yi çıkarınca 13 nesnesini buluruz. Fakat
vardır. Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz bir nesne
olmadığı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur. olmadığından ∞-1 veya bunun gibi herhangi bir
Sonsuzluğun matematiksel tanımı kümeler ku- işlem yapılmamalıdır. Bir sıfattan bir nesneyi
ramının gelişmesiyle anlaşıldı. Kümeler ve son- çıkaramayız.
suzluk arasındaki ilişki hakkında Alman matema- Gelelim sonsuzluğun türlerine.; 2 tür sayısal
tikçi Georg Cantor bizi çok farklı bir sonsuzluk sonsuzluk vardır. Bunlar; sayılabilir sonszuluk ve
kavramıyla tanıştırdı. Şimdi Cantor’un bu düşün- sayılamaz sonsuzluktur.
celerine bakalım. N ile bire bir eşleme yapılabilen kümeye “sa-
Sayı saymasını bilmeyen bir çiftçi koyunlarının yılabilir sonsuz” küme denir. Sayılabilir sonsuz
hesabını için tek yapması gereken sabah koyunla- kümelerin elamanlarını bir liste halinde yazabili-
rını ağıldan çıkarırken her koyun için bir torbaya riz. Örneğin tek sayılar 1, 3, 5, 7, ,9.. diye gider ve
bir taş atmaktır. Eğer koyunlardan biri kaybol- bhangisi birinci hangisi ikinci biliriz. Veya buna
muşsa, akşam koyunları ağıla yerleştirirken her örnek tam sayılar kümesidir. Herhangi bir tam
bir taş çıkarınca 1 taş artacaktır. Ve bu yöntem ga- sayıya 1 ekleyin yeni ve daha büyük bir tamsayı
yet mantıklı ve matematik kuralları dahilindedir. elde edersiniz.
Cantor’un kuramı kümeler üzerine kuruludur. Sayılamaz sonsuz sayılara “irrasyonel” sayı-
N={0, 1, 2, 3, 4, 5...} doğal sayılar kümesidir. lar denir, zira herhangi iki tam sayının bölümü
Elimizde bir küme varsa alt kümelerini de oluştu- olarak ifade edilemezler. Bu tür sonsuzluğa örnek
rabiliriz. N kümesinin ilk akla gelen 2 alt kümesi, sıfır ile bir arasına düşen gerçel sayılardır. Bu tür
T={1, 3, 5, 7, 9...} ve Ç={0, 2, 4, 6, 8...}, yani tek sayıların kesirleri uzayıp gider. Doğadaki sabit-
ve çift sayılar kümeleridir. İki kümenin eleman ler bu tür sayılamaz sonsuzluğa sahip sayılardır.
sayıları eşit midir, diye sorulsa ne deriz? Küme- Örneğin, π sayısı 3.1415... şeklinde uzar gider. Bir
lerdeki elemanları saymamız mümkün değil fakat diğer örnek e sayısıdır. Bu sayı da 2.718281828...
cevabın evet olması gerekir. Ne de olsa tamsayı- şeklinde uzar gider.
Işıl Doğa Akkaya

20 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Paradokslar
TParadoks Nedir? Doğru Parçası Paradoksu:
ürkçeye, Fransızca paradoxe sözcüğün-
den türeyerek giren paradoks sözcüğü- Önce doğru parçasının tarifini yapalım.
nün, etimolojik anlamda kökeni Yunanca Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan, doğru
içinden alınmış, içinde sonsuz sayıda nokta ba-
paradoksos yani “karşıt-çelişen (düşünce)” keli- rındırarak oluşan bir kesit.
mesinden gelir. Peki, paradoks nedir? Peki nokta nedir? Nokta: Kalemin kâğıda bırak-
Paradoks, ilk bakışta doğru gözüken bir ifade tığı en küçük iz veya belirti.
veya ifadeler topluluğunun bir çelişki oluşturması Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde
veya sezgiye karşı bir sonuç oluşturmasına verilen dikkat. Paradoks başlıyor: Noktanın boyutu olma-
addır. dığına göre iki noktanın yan yana gelerek bir şekil
Ayrıca tam tersi şekilde sonuç olarak doğru olan oluşturmaya çalışması bir şey ifade etmez
fakat absürt veya çelişkili gözüken bir ifadeye 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldi-
veya ifadeler topluluğuna da paradoks denmekte- ğinde herhangi bir sekil oluşturmaz.
dir. (Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut
Genelde paradoksların cevapları yoktur, çünkü özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile
oluşan çelişkinin arasında bunu başarmanız im- sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı top-
kânsızdır. Yıkılamaz bir duvara durdurulamaz bir lasak “yarım” dahi etmez. O halde doğrunun tanı-
trenin çarptığı zaman oluşacak çelişki (paradoks) mında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın
gibi, bizim sonucu görmemizi engeller. yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın
Şimdi gelin matematikte bulunan bazı paradoks- çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etme-
lara göz atalım: miz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
2+2=5 ? Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir
paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz
X = Y → olsun adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da
X² = X.Y → eşitliğin her iki tarafını ‘X’ ile çarptık. uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa
X² - Y² = XY - Y² → her iki taraftan ‘Y²’ çıkardık. boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yan yana
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y ) → sol tarafı çarpanlara gelirse sonsuz uzunluk olur.
ayırdık, sağ tarafı ‘Y’ parantezine aldık.
( X + Y ) = Y → ( X - Y )’ler sadeleşti. Karışım Paradoksu:
X + X = X → X = Y olduğundan, Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz
2.X = X. → ‘X’ leri topladık. var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına
2 = 1 → ‘X’ ler sadeleşti. döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık
3 + 2 = 1 + 3 → her iki tarafa ‘3’ ilâve ettik. alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geli-
5 = 4 → buradan, yor:
5 = 2 + 2 → 4’ü, ‘2+2’ seklinde yazdık. HATA Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha
fazladır?
NEREDE? Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları
eşittir. İşte ispatı:
Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu: Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın.
Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe
a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten
c de bunların farkı olsun: aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
a-b=c ilk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt,
(a-b)(a-b)=c.(a-b) → her iki tarafı (a-b) ile çarptık. yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım
a²-2ab+b²=ac-bc. → parantezleri açtık. kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacak-
a²-2ab+b²-ac=-bc → ac yi sol tarafa attık. tır. Veya:
a²-2ab-ac=-bc-b → b² yi sağ tarafa attık. ilk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık
a²-ab-ac=ab-bc-b² → 2ab nin birini sağ tarafa karışımın % 90 ‘ını kahve, % 10’unu süt kabul
geçirdik. edelim. Sütün % 90’ı kahvede kalmıştır. Sonuçta
a(a-b-c)=b(a-b-c) → a ve b parantezine aldık.
a=b → (a-b-c) ler sadeleşti.

eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karı-
şım oranları eşit olur.
2021 | Sihir Dergisi Yunus Bora Bayraktar21

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

22 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Pier Francesco Mola, bu eserinde ebediyet
ve sonsuzluğu(sf. 18) ana konu edinmişitr.
Ay(Diane), uyuyan çoban Endymion'a bakıyor.

Tabloda Jüpiter'in(Zeus), ona sonsuz bir
uyku karşılığında sonsuz gençlik vermesini

anlatıyor.

2021 | Sihir Dergisi 23

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

R Rastgelelikastgelelik hakkında konuşacak isek herhangi bir basamağındaki rakamı hesaplamak
öncelikle bu kavramın ne olduğunu gibi formüller üretebiliyoruz. Bu demektir ki
anlamalıyız. öngörülebilir bir düzene uydurulabilir bir yapısı
O halde rastgelelik nedir? Kısaca gerçekleşmiş var demektir o halde rastgelelik kavramını
veya gerçekleşecek olaylarda öngörülemezliğin sağlamaz. Ayrıca π sabiti doğanın bize verdiği
olduğu durumlardır. Mantıksal olarak içinde bulduğumuz bir sabit olduğu için bir
öngörülebilir biçimde, dizilmiş dizilerde düzen, bir formül içindedir işte bu yüzden
rastgelelik kavramlarını göremeyiz. Kısacası rastgele olamaz.
irrasyonel bir kavramdır diğer adıyla akıl dışıdır Buradan çıkaracağımız sonuç şudur: Rastgele
ve öngörülemezdir. dizinlere herhangi bir
Peki bu kavramı matematik formül uygulanamaz ve
içinde nerelerde görebiliriz? bir düzen yani algoritma
Bu soruyu cevaplarken içine kısıtlanamaz. O halde
aklınıza muhtemelen olasılık irrasyonel ve diğer sayılar
ve irrasyonel sayıların ondalık rastgele olabilir fakat olması
biçimde yaklaşık halleri için az önce söylediğimiz
gelmiş olabilir. şartları sağlayabilmesi lazım.
Bu soruları cevaplarken ilk Peki normal sayılar var
olarak irrasyonel sayılardan mı? Fransız Matematikçi
bahsedelim. Fakat ilk önce bir Emile Borel bu konu üzerine
şeyi fark etmemiz gerek: çalışmalar sürdürmüştü ve bu
Fark etmemiz gereken konuda bir teori(sf. 37)ortaya
şey sağduyularımızın her sürmüştür. Borel bu teoremde
zaman bizi doğru yola sayıların çoğunun normal
götürmeyeceğidir(Zaten böyle olduğunu kanıtlamıştır.
bir şey olsa bilime ihtiyacımız Madem bu kadar çok
olmazdı). Hadi test edelim: var, ortaya bir örnek
0,999999…=1 gibi bir önerme Emile Borel(sf.35) sunabilmeliyiz diyebilirsiniz.

sunalım. Eminim bunu okuyanların çoğu Belki heves kırıcı olacak fakat günümüze kadar
sağduyularına dayanarak bu önermeyi yanlış elimizde gösterebileceğimiz bir normal sayı tespit
bulacak fakat sağduyumuz burada yanılır çünkü edilememiştir.
limit kavramı bize 0,999999… rasyonelinin 1
olduğunu söyler. Ya da bir dizin söyleyelim:
İlk dizinim 123456789 olsun ikinci dizinim Peki ya olasılık içindeki
192564 olsun. Eğer ki size hangisinin rastgele bir rastgelelik?
dizin olduğunu soracak olursam sağduyunuza
dayanarak ikinci dizini seçecektiniz muhtemelen. Bunun tanımını yapabilir miyiz? Az önce de
Nasıl olsa ilk dizin ardışık sayılar değil mi? Evet bahsettiğimiz gibi rastgelelik, nedenselliğe tabi
ilk dizin böyle olabilir fakat ikinci dizinde de herhangi bir forma tutulamaz yoksa öngörülebilir
bir düzen var: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64 ,81 tam kare olur ve rastgelelik kavramı bozulmuş olur.
sayılarının aralarında örüntüsel bir dizin vardı. Peki olası durumların rastgeleliğini ölçebilir
Gördüğünüz gibi sağduyularımız her zaman bizi miyiz? Bir olayın, rastgele olup olmadığını test
doğru kapılara yönlendirmiyor. etmenin hiçbir yolu yoktur. Rastgele olmadığı
Artık bunu bildiğimize göre can alıcı soruya gösterilebilir. Ama bir şeyin rastgele olduğu
gelebiliriz: İrrasyonel sayılar rastgele midir? gösterilemez. Rastgeleliği sadece tekrarlanan
Elimizde bir somut örnek olması için ele π deneylerle test edebilirsiniz. Sadece tek bir kere
sabitini ele alalım. Burada yine sağduyularımız olmuş bir olayın rastgele olup olmadığı hiçbir
bizi yanıltacaktır çünkü π rastgele bir sayı pratik anlam taşımaz. Rastgelelik sadece çok
büyük sayıda tekrarla teste tabi tutulur.

değildir çünkü π sabiti üzerinde virgülden sonra

24 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

“Gerçekleşme ihtimali”nin kaç olduğu, aslında “Matematiksel problem, sayılar
hiçbir teorik mana taşımaz. “Olasılık”, aslında veya fonksiyonların rasgele sırasının
geçmişte yapılmış çok sayıda testten edinilen ne anlama geldiğini tanımlayan bir
sonuçlara dayanır. Yani: mantıksal problemdir. Fiziksel rasge-
Aslında hiç de rastgele olmayan olayların belirli lelik problemi gerçek fiziksel olayların
“gerçekleşme olasılıkları” bulunur. Bu madde çok rasgelelik konusundaki matematiksel
önemli. Bir araba kazası rastgele değildir (ya da kriterlere uyup uymadığını belirle-
tamamen rastgele değildir.), ama bir arabanın mektir. Rasgeleliğin matematiksel bir
bugün kaza yapma “olasılığından” bahsedilebilir. tanımına sahip olana kadar, doğal
Pi sayısı kesinlikle rastgele bir sayı değildir, buna olayların bir dizisinin gerçekten rasge-
hiç şüphe yok. Ama basamakları tüm rastgelelik le olup olmadığını belirleyemeyiz. Bir
testlerinden geçmiştir. Herhangi bir basamağının kere böyle bir tanımımız olunca, o za-
örneğin 5 olma ihtimalinin tam olarak 1/10 man, gerçek olayların böyle bir tanıma
olduğundan bahsedilebilir. karşılık gelip gelmediğini belirleme
Bir olaydaki “rastgele olmayan” konulu ek deneysel bir problemimiz
yani determinist faktörleri tamamen olur. Burada ilk problemle karşılaşırız:
ayıklayamıyorsanız mecburen olasılıklara Matematikçiler, rasgeleliğin kesin bir
başvurursunuz. O yüzden gazetelerde her gün tanımını verme ya da onunla bağlantı-
“sigara kanser riskini iki kat artırıyor” gibi lı bir işolan olasılığı tanımlama işinde
haberler yer alır. Bilim insanları kanserin gerçek hiç bir zaman başarı sağlayamamıştır
determinist sebebini bulamıyor ama sigara ...”
içenlerin kansere yakalanma oranlarının iki kat
arttırdığını bularak sigara ile kanser arasında Teorik Fizikçi Heinz R. Pagels
bir ilişkinin muhtemel bağlantısına işaret
ediyorlar. Bu bağlantı doğrudan olmayabilir, pek Eren Gümüş
çok değişik faktörün bir araya gelmesinden de
olabilir. Ama arada bu tip bir istatistik ilişki varsa Heinz R. Pagels(sol) ve Steve Adler(Sağ)
bu bilgi çok değerlidir. Sigara ile kanser arasında
doğrudan determinist bir bağlantı olduğuna çok 25
güçlü bir kanıttır.
Mises’e göre olasılık hesabının tek amacı şudur:
Verilmiş olasılıklardan yola çıkarak başka
olasılıkların hesaplanmasıdır. Reichanbach,
olasılığın sıklık yorumunun, bir olasılık
önermesinin tek bir olaya uygulanması sırasında
güçlük çıkaracağını, tek bir olayın olasılığının
sıklık olarak belirtmenin bir anlam taşımadığını
söylemiştir.
Olasılığın çağdaş tanımı matematiğin
alt dalı olan ölçü teorisindeki kavramlar
yardımıyla Kolmogorov tarafından verilmiş
böylelikle olasılık teorisi aksiyomatik bir
yapıya kavuşturulmuştur. Bu tanım, klasik
olasılık tanımını da içermektedir. Olasılık
teorisi Kolmogorov Aksiyomları olarak bilinen
matematiksel alt yapısı ve Mises’in sıklık kuramı
ile birlikte ele alınmakta ve rasgelelik içeren
süreçleri modellemede kullanılmaktadır.

2021 | Sihir Dergisi

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Blaise Pascal
BPascal Kimdir?
laise Pascal 19 Haziran 1623’te Fransa’nın Pascal Üçgeni
Auvergne bölgesinin Clermont-Ferrand
şehrinde doğmuştur. Küçük yaşta annesini Fransız matematikçi Blaise
kaybeden Pascal, Rouen’de vergi tahsildarı olan Pascal‘ın soyadıyla anılsa da
babası tarafından eğitilen Pascal’dan önce Hindistan,
bir çocuktu. Küçük yaşta İran, Çin, Almanya ve İtalya’da Pascsal Üçgeni’nin Açılımı
kendini gösteren Pas- matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer
cal arkadaşları arasında Hayyam tarafından oluşturulmuştur.
öne çıkıyordu. Henüz 12 Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten
yaşındayken hiçbir geo- n=0’dan başlayarak numaralandırılır ve her satır-
metrik bilgi sahip olma- daki sayılar ise soldan itibaren k=0’dan başlayarak
masına rağmen, daireler numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sü-
ve eşkenar üçgen çizmeye tunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm
başlamıştır. Özellikle bir üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri
Blaise Pascal yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken hesaplanan
üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan de-
eşit olduğunu kendi kendine bulmuştur. Pascal, ğerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üstünde sayı yoksa
çocukluğunda “Geometri neyi inceler?” sorusu- buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın
nu babasına sormuş ve “doğru biçimde şekiller ilk sayısı 0 + 1 = 1’dir üçüncü satırda ise 4 ve 3
çizmeyi ve şekillerin kısımları arasındaki ilişki- toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.
leri inceler” cevabını almıştır. Pascal, bu cevaba
dayanarak gizli gizli geometri teoremleri kurma- Pascal Üçgenini Oluşturmak
ya ve kanıtlamaya başlamıştır. Sonunda babası,
onun yeteneğini anlamış ve ona Öklit’in (Euclid) Pascal üçgenini oluşturmak çok kolaydır. 1.Şe-
Elementler’ ini ve Apollonius’un Konikler’ini kilde görüldüğü gibi, bir eşkenar üçgenin tepesine
vermiştir. 1 yazılır. Biraz sonra anlaşılacak bir nedenle, buna
16 yaşında konikler üzerine bir eser yazmıştır. 0’ıncı satır diyelim. Bunun altına 1 , 1 sayılarını
Bu eserin mükemmeliği karşısında çok şaşıran birinci satır olarak, gene şekildeki gibi yerleştire-
Descartes , eserin Pascal gibi daha çok genç biri lim. İkinci satıra 1 , 2 , 1 ve üçüncü satıra 1 , 3 ,
tarafından yazıldığına inanmakta güçlük çekmiş- 3 , 1 sayılarını yerleştirelim. Bu işleme durmak-
tir. sızın devam edebilmek için üçgene sayı yerleş-
19 yaşında ilk icatlarından biri olan aritmetik tirme kuralını çıkaralım. 1.Şekle dikkat edersek
işlemlerini mekanik olarak yapan bir hesap maki- herhangi bir satırı yerleştirirken uyulan kuralı
nesi icat etmiştir. hemen görebiliriz. Satırdaki her öğe, üst satırda
Her şeyin yanında sağlığı hiç de iyiye gitmeyen kendisine göre sol üstünde ve sağ üstünde yer
Pascal mide ağrıları , hazımsızlık ve gece kabusla- alan iki sayının toplamıdır ve o ikisinin konum-
rıyla boğuşuyordu. 1658 yılında kendini kötü his- larına göre orta dikme üzerindedir (2.Şekil). Her
seden uyuklamalar ve şiddetli baş ağrılarına dört satırın en solundaki ve en sağındaki sayılar daima
yıl dayanabildi ve 1662’nın haziran ayında vefat
etti. Paskalın din, bilim ve hayat üzerine yazdığı 1 ‘dir ve aynı kuralla bulunurlar. Sol kenar
ve Felsefik acıdan en meşhur olan kitabı Pensees üzerindeki 1’lerin sol üst köşelerinde, sağdaki
(Düşünceler)’ dir. Bu kitabında ağır basan kısım, 1‘lerin ise sağ üst köşelerinde sayı yoktur. Olma-
Pascal’ın Tanrı inancıdır. Yaşadığı zamanda bu yan sayıları 0 sayarsak genel kuralın kenardaki
kitabın yayınlanmasına izin verilmediği için ölü- sayılar için de geçerli olduğu anlaşılır. Her satır
münden üç-dört yıl sonra yayınlanmıştır. Blaise ekleyişte yeni bir eşkenar üçgen ortaya çıkar. Bu
Pascal’ın en ünlü buluşlarından bir tanesi de ma- işleme durmaksızın devam edebiliriz. Dolayısıyla,
tematik, biyolojik uygulamalar ve birçok modern kenarlar sonsuz tane sayı içerecek kadar büyüye-
fizikte kullanılan ve kendi buluşu olan herkesin bilir. Ama her adımda bize sonlu tane sayı içeren
bildiği Pascal üçgenidir. bir eşkenar üçgen verir. O sonlu sayılar arasında
harika ilişkiler ortaya çıkar

Emirhan Gedik

26 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

A Altın Oranltın oran, matematik ve sanatta, bir Bir yapı ya da sanat eserinin altın orana yakınlı-
bütünün parçaları arasında gözlemle- ğı, onun aynı zamanda estetik olarak güzelliğinin
nen, uyum açısından en yetkin boyut- bir ölçüsü olarak kabul görmüştür.
ları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran Bir doğru parçasının (AC) Altın Oran’a
bağıntısıdır. uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerek-
İlk olarak kimler tarafından keşfedildiği bilin- tiğinde bu doğru öyle bir noktadan (B) bö-
mese de, Mısırlılar’ın ve Yunanlıların bu konu lünmelidirki; küçük parçanın (AB) büyük
üzerinde yapmış oldukları bazı çalışmalar oldu- parçaya (BC) oranı, büyük parçanın (BC)
ğu görülmektedir. Öklid, milattan önce 300’lü bütün doğruya (AC) oranına eşit olsun.
yıllarda yazdığı “elementler” adlı tezinde “ekstrem
ve önemli oranda bölmek” olarak altın oranı ifade
etmiştir. Mısırlıların Keops Piramidinde, Leonar-
do da Vinci’nin “İlahi Oran” adlı çalışmada sun-
duğu resimler de kullanıldığı bilinen “altın oran”
“Fibonacci Sayıları” olarak da bilinmektedir. Bildiğimiz gibi matematikte 3.14 sayısına kar-
şılık gelen ve bir dairenin çevresinin çapına
Orta Çağ’ın en ünlü matematikçisi olan İtalyan bölünmesiyle elde edilen sayıya π sayısı denir.
kökenli Leonardo Fibonacci, birbiri arasında ardı- Aynı π sayısı gibi altın oran da matematikte
şık ilişki ve olağanüstü bir oran bulunduğunu id- 1.618 ‘e eşit olan sayıya denir ve φ(Fi) sim-
dia ettiği sayıları keşfetmiş ya da diğer bir görüşe gesiyle gösterilir ve ondalık sistemde yazılışı;
göre de Hint-Arap medeniyetinden öğrenmiş ve 1,618033988749894...’tür. Bu oranın kısaca göste-
Avrupa’ya taşımıştır. Evrendeki muhteşem düzen- rimi:
le birebir örtüşen bu sayıları keşfetmesi nedeniyle,
altın orana da adının ilk iki harfi olan “Fi” (Φ)
sayısı denilmiştir.
şeklindedir.

Emirhan Gedik

Son Akşam Yemeği; dönemin ünlü hezarfeni Leonardo Da Vinci tarafından yapılmış, İsa'nın havarileriyle
olan son yemeğini simgeleyen, Santa Maria delle Grazie'de sergilenen Altın Oran(sf.16, 25) örneği ünlü bir

fresktir.

2021 | Sihir Dergisi 27

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

T Miletos’lu Thaleshales’in tam adı Miletli Thales’dir ve
kabaca MÖ 624 yılında doğmuş MÖ
546 yılında ölmüştür. Diogenes Laërtius,
Thales mühendislik dahil olmak üzere birçok
faaliyet gerçekleştirmiştir. Bazıları onun geriye
hiçbir yazı bırakmadığını söylerken bazıları ise
Atinalı Apollodorus’un kronolojisinden “Ekinoks’ta” ve “Gündönümü’nde”yi yaz-
Thales’in 58. Olimpiyat sırasında 78 dığını söylüyor. Doğal Yıldız Rehberi
yaşında öldüğünü ve maçları izler- ona atfedildi fakat bu antik zaman-
ken ölümünü sıcak çarpmasına larda tartışmalıydı. Kendisine
bağladığını aktarıyor. atfedilen hiçbir yazı günümüze
Thales; İyonya’dan bir Antik ulaşmamıştır.
Yunan matematikçi, astronom,
ve Sokratik öncesi filozofuydu. Matematik alanında çığırlar
İlk filozoflardan olduğu için fel- açmış birisidir. Eski Yunan bilgin-
sefenin ve bilimin öncüsü olarak lerinden Kallimakhos’un aktardığı
adlandırılır. İyonya aydınlanması- bir düşünceye göre denizcilere
nın başlatıcısı olarak bilinir ve Eski kuzey takımyıldızlarından Büyüka-
Yunan’ın Yedi Bilge’sinden ilkidir. yı yerine Küçükayı’ya bakarak yön
Ticaretle uğraşmış ve bu nedenle Mı- bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zaman-
sır’da bulunmuştur. Elimize ulaşmış da Mısırlılardan geometriyi öğrenip
hiçbir metni yoktur. Yaşa- Yunanlılara tanıtmıştır. Pira-
dığı döneme ait kaynak- mitlerin yüksekliklerini
larda da adına rastlanamaz hesaplamak ve gemilerin
ancak hakkındaki bilgiler kıyıya olan uzaklıklarını
Herodot, Diogenes Laerti- hesaplamak için geomet-
os, Aristoteles, Teophras- riyi kullanmıştır. Bulduğu
tos gibi antik yazarlardan bazı geometri teoremleri
edinilir. şunlardır:
Thales’den, önce Yunanlı-
lar doğayı ve dünyanın temel maddesini; mitoloji, -Çap çemberi iki eşit parçaya böler.
Tanrılar ve kahramanlarla açıklıyorlardı. Yeryü- -Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine
zündeki doğa olayları, tanrılarla bağdaştırılıyor- eşittir.
du. Thales hem suyu ana madde olarak düşünme- -Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ters
si hem de doğayı olguları birleştirerek açıklamaya açılar birbirine eşittir.
çalışması bakımından önemli olmuştur. Doğa -Köşesi çember üzerinde olan ve çapı gören açı,
olaylarının nedenlerini insan biçimli Tanrılardan dik açıdır.
çok doğanın içinde aramıştır. Mitolojik açıklama- -Tabanı ve buna komşu iki açısı verilen üçgen
lar ile ussal açıklamalar arasında bir köprü kur- çizilebilir.
muştur. Herodot’a göre Thales, MÖ 28 Mayıs 585
güneş tutulmasını öngördü.
Işıl Doğa Akkaya

Thales’e sormuşlar: En zor şey nedir? Kendini tanımak demiş. En kolay
şey nedir? Başkasına öğüt vermek demiş. Az görülen bir şey nedir?
Zorba bir hükümdarın yaşlanmışı. Mutsuzluğa kolayca katlanmanın
çaresi? Daha mutsuz düşmanların hallerine bakmak, başkalarında
görüp ayıpladığımız şeyleri yapmamak. Güzellik nereden gelir? Yüzden
değil, iyi davranışlardan gelir demiş.

Miletli Thales

28 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Milet Okulu: Bu dönemin ilk büyük düşünürleri Thales, Anaksimendros, ve Anaksimenes; Milet
kentinde yaşamışlardı. Milet’li düşünürler daha çok dopa üzerine akıl yürütmüşleri fiziksel dünyanın
görünüşünün arkasında var olduğu varsayılan “ana ilke“yi araştırmışlardı.
Elea Okulu: Elea düşünürlerinin de temel sorunu “evrenin dayanağı“idi. Onlar çok tanrılı inançla-
rın aksine “bircilik“ doğrultusunda çözümlemelere girişmişlerdir.
Abdera Okulu: Abderalı Filozoflar’ın atomcu öğretisi Epikuros ve Lukretius aracılığıyla Gassendi ve
Bacon’a kadar ulaşmış, böylelikle de modern doğa bilimlerinin doğuşuna büyük katkıda bulunmuştur.
Sofistler: Sofistler, özellikle belli yaşam sorunları ile durumları karşısında takındıkları tutumlar ya
da gösterdikleri yaklaşımlarla yalnızca ilkçap felsefesine değil, bütün bir felsefe tarihine damgalarını
vurmuşlardır.

2021 | Sihir Dergisi 29

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

30 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Pierre Corneille bu eserinde, Miletli Aspasia ile Sokrates ve çevresinde ki

diğer filozofları bu eserinde tasvir etmiştir.

Ortada, mavi elbiseyle tavsvir edilmiş Aspasia; güzelliği kadar zihniyle

de ünlü bir kişilikti. Kırmızı ile tasvir edilen Sokrates(sf.27) ile düzenli

görüşmeler yapardı ve çok sayıda öğrenciyi hitabet sanatı konusunda

eğitmişti.

"Beşinci yüzyıl Atina'sının entelektüel tarihinde önemli bir figür olan

Miletli Aspasia, şüphesiz o dönemin en önemli kadınıdır."

M. HENRY

2021 | Sihir Dergisi 31

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

M Matematik Tarihiatematik; bir yönüyle resim ve
müzik gibi bir sanat, bir yönüyle bir
dil ve başka bir yönüyle de tabiatı
anlamaya yönelik yöntemlerdir. Matematiğin sorusudur. Her iki soru da doğru olarak
çözülmüştür. Bu iki soru Mısır matematiğinin
zirvesi olarak kabul edilmektedir.

yazılı belgelere dayalı 4500 yıllık bir tarihi vardır.
Bu zaman dilimi içinde, matematiğin gelişimi 5
döneme ayrılır:

İLK DÖNEM: Mezopotamya – Mısır Tarihi

(M.Ö 2000 – M.Ö. 500)

İKİNCİ DÖNEM: Grekler (eski yunanlılar)

(M.Ö 500 – M.S 500)

ÜÇÜNCÜ DÖNEM: Hint (pers) – İslam

(M.S 500 – 1700) Moskova Papirüsü’nden Problem 14’ün görüntüsü.
DÖRDÜNCÜ DÖNEM: Klasik Matematik Dönemi Problem, kesik piramidin boyutlarını gösteren bir çizim

(1700 – 1900) içerir.
BEŞİNCİ DÖNEM: Modern Matematik Dönemi
Mısır sayı sistemi, on tabanına göredir ve
(1900 –günümüz) rakam sistemlerinin yazımı ve kullanımı Romen
rakamlarının yazım ve kullanımı gibidir. Bu
Mısır-Mezopotamya Tarihi rakamlarla hesap yapmanın çok zor olduğu
Romen rakamlarıyla hesap yapmayı deneyen
Mısır Matematiği herkesin kolayca göreceği gibi açıktır. Mısır
Eski Mısır matematiği ile ilgili bilgiler matematiğinin yeterince gelişmemesinin bir
yok denecek kadar azdır. Bunun temel iki nedeni bu olabilir.
nedeni vardır. Birincisi, eski Mısırlıların Mezopotamya Matematiği
yazıyı papirüslere yazmaları; ikinci nedeni ise Mezopotamya’da yaşamış medeniyetler,
İskenderiye kütüphanelerin geçirdikleri 3 büyük Mısırdan kalandan bin kat daha fazla yazılı belge
yangın sonucunda, yazılı belgelerin yok olmuş kalmıştır. Bunun nedeni, Mezopotamyalıların
olmasıdır. yazı aracı olarak kil tabletleri kullanmalarıdır.
Günümüze, o çağlarda Mısır’daki matematikle Pişirilen ya da güneşte iyice kurutulan bir kil
ilgili, istisnai şartlar altında saklandığı anlaşılan, tabletin ömrü sonsuz denecek kadar uzundur.
iki papirüs gelmiştir. Yapılan kazılarda yarım milyondan fazla tablet
Bu papirüslerden ilki, Ahmes (Rhind) papirüsü bulunmuştur. Bu tabletlerin önemli bir kısmı
olarak bilinen, 6 metre uzunluğunda ve 35 cm İstanbul arkeoloji müzesindedir. Diğerleri de
kadar genişliğinde olan bir papirüstür. M.Ö. dünyanın çeşitli – Berlin, Moskova, British,
1850 li yıllarda yazılmış olan bu papirüs aslında Louvre, Yel, Colombia ve Pensilvanya gibi
matematik öğretmek gayesiyle yazılmış bir müzelerindedir. Bu tabletlerin, şimdiye kadar
kitaptır. Giriş kısmında, kesirli sayılarla işlemleri incelenmiş olanlarının içinde, beş yüz kadarında
öğretmek gayesiyle verilen bir kaç alıştırmadan matematiğe rastlanmıştır. Bu bölgede yaşamış
sonra, çözümleriyle 87 soru verilmektedir. medeniyetlerin matematiği hakkında bilgimiz
Bu sorular, paylaşım hesabı, faiz hesabı veya bu tabletlerden gelmektedir. Tabletlerden
bazı geometrik şekillerin alanını bulmak gibi, anlaşılacağı üzere, Mezopotamya’da matematik,
insanların günlük hayatta karşılaşabileceği türden Mısır matematiğinden daha ileridir; Mısırlıların
sorulardır. bildikleri matematiği bildikleri gibi, ikinci
Moskova papirüsü diye bilinen ve şimdi dereceden bazı polinomların köklerini bulmasını,
Moskova müzesinde olan ikinci papirüs de M.Ö. iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir
1600 lerde yazılmış bir kitapçıktır. Bu papirüs 25 sistemi çözmesini, daha sonra Pisagor teoremi
soru içermektedir. Bu sorular, ikisi hariç, Ahmes olarak adlandırılacak olan teoremi de biliyorlardı.
papirüsündeki sorular türündendir. Farklı iki
soruya gelince, onlardan biri, bir düzlemle kesilen
küre parçasının hacmi ve yüzeyinin alanının
hesaplanmasıdır. Diğeri ise, yine bir düzlemle
kesilen bir piramidin hacminin bulunması

32 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

MÖ 1800 tarihli Plimpton 322 Babil matematik tableti. Antik Yunan Tarihi

Mezopotamyalıların sayı sistemi, neden Antik yunan matematiği, M.Ö.700-M.S.400
seçtiklerine dair kesin bir bilgi bulunmamasına periyodunda Doğu Akdenizde yaşayan Yunanlı-
rağmen, 60 tabanlı bir sayı sistemidir. Bu konuda lar tarafından yapılan matematiktir. Proclus’tan
ileri sürülen belli başlı üç görüş ya da varsayım kalma özete göre Yunan matematiği Thales’le
şunlardır: başlar. Yedi Bilgeden biri olarak ün salan Thales’in
bir süre Mısır’da dolaştığı ve oradan geometriyi
1) 60 sayısının 2,3,4,5,6,10,12,20,30 gibi çok sayıda ülkesine getirdiği bu özette belirtilmektedir. Bu-
bölenleri olması onu günlük hayatta çok kullanışlı kılıyordu; nun dışında Thales’in ispatladığı bazı geometrik
bu nedenle 60 tabanlı bir sayı sistemi seçmişlerdir. önermeleri de bu yazıda görebiliyoruz.
Bu özette adı geçen ikinci kişi de Pisagor’dur.
2) 60 tabanlı sayı sisteminin seçiminden önce, o bölgede O’nun da Mısır ve Babil’i gezdiği, oralarda edindi-
10 ve 12 tabanlı sayı sistemlerini kullanan medeniyetler ği bilgileri ülkesine getirdiğinden bahsediliyor.
olmuştur. Daha sonra gelen bir medeniyet, daha önceki ölçü Bu dönemde matematikte birçok gelişim kay-
birimleriyle uyum sağlamak için, 10 ile 12 nin en küçük dedilmiş, bugün sahip olduğumuz matematik
ortak katı olan 60 ‘ı taban olarak almışlardır. yapısının temelleri büyük oranda bu dönemde
atılmıştır. “Matematik” sözcüğü de ilk olarak bu
3) 60 tabanlı sayı sisteminin seçimi, bir eldeki, baş parmak dönemde, Pisagor ve onu takip edenler tarafın-
hariç, dört parmakta bulunan üç eklem yerini o zamanın dan, yunanca bir kelime olan ve “eğitimle alakalı”
insanları sayı saymak için kullanıyorlardı; 4 parmakta 12 gibi bir anlama sahip olan “Mathema” sözcüğün-
eklem yeri olduğu ve bir elde de beş parmak olduğu için den türetilerek kullanılmıştır.
bu iki sayının çarpımı olan 60 ‘ ı sayı sistemlerinin tabanı Ayrıca bu dönemde ilk defa matematikte “ispat”
olarak almışlardır. kavramı ortaya çıkmıştır. Daha önceki dönem-
lerde matematik sadece günlük ihtiyaçlara cevap
Bu konuda görüşler bunlardır. Eğer bir gün 60 vermek için bir araç olarak kullanılıyor, günlük
sayısının niçin seçildiğini izah eden bir tablet yaşantıda karşılaşılan problemler matematikle
bulunursa o zaman gerçek anlaşılacaktır. Bu iki çözülmeye çalışılıyordu. Antik Yunanda da böyle
dönemin matematiğini toptan değerlendirecek başlayan matematik, zamanla günlük yaşantının
olursak temel özellikleri şunlardır: dışına çıktı, (irrasyonel sayılar gibi, irrasyonel
sayı kavramı daha önce de bilinmesine rağmen
a) Bu dönem matematiğinde teorem, formül ve ispat yoktur. bu sayılarla ilgili ispatlar ilk defa bu dönemde
Bulgular emprik veya deneysel; işlemler sayısaldır. Bunun yapılmıştır.) bundan dolayı yeni matematiksel
böyle olması kaçınılmazdır zira o dönemde matematik, bilgiler günlük yaşantıda görülerek deney yoluyla
simgesel olarak değil, sözel olarak ifade edilmekte. Sözel ve doğrulanamadığı için ispat dediğimiz kavram
sayısal matematikte ( geometrik çizimler hariç) formel ispat ortaya çıkmıştır. Teorem, postulat, aksiyom gibi
vermek olanaksız olmasa da, kolay değildir. matematiksel terim ve kavramlar da bu dönemde
kullanılmaya başlanmıştır.
b) Bu dönemin matematiği zanaat düzeyinde bir
matematiktir; matematik “matematik için matematik “ Öklid’e ait Elemanlar’ın hayatta kalan en eski par-
anlayışıyla değil, günlük hayatın ihtiyaçları için, yani “halk çalarından biri, Oxyrhynchus’da bulundu ve yakla-
için matematik “ anlayışıyla yapılmaktadır. Matematiğin şık MS 100 yılına tarihlendi. Şema, Kitap II, Önerme
kullanım alanları ise, zaman-takvim belirlemek, muhasebe 5’in bir parçasıdır.
işleri ve günlük hayatın, inşaat, miras dağıtımı gibi diğer
işleridir. Bu da matematiğin öğretilmesine ve dolayısıyla
gelişmesine neden olan ikinci bir temel ihtiyaç ve etmendir.

Bu dönem matematiği, bu bölge ülkelerinin kül-
türel varlıklarının, Pers istilası sonucu ile bulma-
sıyla son bulur.

2021 | Sihir Dergisi 33

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Antik Yunanda kullanılan ilk sayı sitemi, onluk dönemde sıklıkla karşılaşılan problemlerdi ve
sitemde olup daha önce Mısırlıların kullandık- Antik Yunan Döneminden önce de üzerinde çok
larından yöntem olarak pek farklı değildi. Belirli çalışılmıştı.
sayıların sembolleri vardı ve tüm sayılar bu sem-
bollerle ifade ediliyordu.
Fakat bu sistemde, Mısır’da kullanılandan farklı
olarak, büyük sayılar, küçüklerin yan yana yazıl-
masıyla değil, küçüklerin birlikte kullanılmasıyla
oluşturulan yeni sembollerle ifade ediliyordu. Ve
bu yeni semboller tek türlü değil, yöresel olarak
değişiyordu.

Onluk Sistem içi tasarlanmış, Antik mısır sayı sistemi.

Bu sistemden sonra, ikinci olarak Antik Yunan
döneminde alfabetik sayı sistemi kullanılmıştır.

Antik Yunan sayı sisteminde ki ilk 10 sayının günümüz Pisagor büstü (Musei Capitolini, Roma)
sayı sisteminde karşılıkları.

Bu sistemde sayıların sembolleri alfabenin harf- Hint, Arap ve Pers Matematiği
leriydi. Bu alfabedeki harfler kullanılarak sayılar
sembolize edilmiştir. Önceki sistemde olduğu gibi Hint Matematiği
bu sistemde de daha büyük sayılar, küçüklerin Hint matematiği, Hindistan yarımadasında
beraber kullanımıyla oluşturulan yeni simgelerle M.Ö.1200’den başlayıp, 18. yüzyılın sonlarına
gösteriliyordu. kadar icra edilen matematik uğraşını kapsamak-
Thales’in Babil ve Mısır’dan matematik bilgile- tadır. Bu coğrafyada yaşayan toplum İndus Vadisi
rini Yunanistan’a taşımasıyla (M.Ö.575) gerçek Medeniyetini oluşturmuştur. Bu bölgedeki Harap-
Antik Yunan matematiğinin başladığını belirt- pa ve Mohenjo-daro bölgesinde yapılan kazılar
mişti. Babil ve Mısır matematikleri büyük oranda sayesinde bu bölgede tarih öncesinde insanların
günlük geometrik problemlerin çözülmesi uğra- pratik matematiği günlük yaşantılarında kullanı-
şına dayanıyordu, Thales bu bilgileri getirdikten yorlardı. Bu insanların bir çeşit ağırlık ve uzunluk
sonra Antik Yunan’da geometri çok çalışıldı ve ölçüsü standardı geliştirmişlerine sebep olmuştur.
büyük bir atılım gerçekleştirdi. Bundan dolayı Ağırlık ölçüleri olarak 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100,
Antik Yunan matematiği büyük oranda geometri 200, 500, 1/2, 1/10, 1/20 birim ağırlığında geo-
üzerineydi. metrik şekillerde ağırlıklar oluştumuşlardır, ki bu-
Antik Yunan geometrisinin gelişmesini etkileyen radaki ağırlık birimi 28 gramdır (yaklaşık olarak
en önemli üç problem; daireyi kareleme, kareyi 1 ons). Ayrıca kazılarda her birimi 3, 4 cm olan
katlama ve açıyı üçe bölmeydi. Daireyi kareleme 10 birimlik bir cetvel bulunmuştur. Bu dönemde
problemi; bir daireyle aynı alana sahip bir kare insanların ürettiği tuğlaların ebatlarının da 4:2:1
inşa etme problemi, kareyi katlama problemi; bir sayıları ile orantılı olduğu öğrenilmiştir. Bu ve
karenin alanının iki katı alana sahip olan bir kare benzer birçok bulgu bu medeniyetin matematik
inşa etme problemi ve açıyı üçe bölme problemi kullandığını açıkça belirtir.
de bir açının üçte birini hesaplama problemiy-
di. Bu problemlerin üçü de günlük yaşantıda o Sihir Dergisi | 2021
34

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Arap ve Pers Matematiği Dr. Sally P. Ragep, matematik bilimleri ve felsefe
Arap Matematiği, özellikle 9. ve 10. yüzyıllarda, alanındaki “on binlerce” Arapça el yazmasının
Yunan matematiği (Öklid, Arşimet, Apollonius) hala okunmadığını, “bireysel önyargıları yansıtan
ve Hint matematiği (Aryabhata, Brahmagupta) ve nispeten az sayıda metin ve bilim adamı ile
üzerine inşa edilmiştir. Ondalık basamak-değer sınırlı bir odaklanma” olduğunu tahmin ediyor.
sisteminin ondalık kesirleri içerecek şekilde tam
olarak geliştirilmesi, ilk sistematik cebir çalışması Klasik Matematik Dönemi
(Hârizmî tarafından yazılan Cebir ve Denklem
Hesabı Üzerine Özet Kitap adlı eser ve geometri Bu dönemde birçok önemli eser yazılmış, kal-
ile trigonometride önemli ilerlemeler kaydedil- külüs bulunmuş, Euler, Laplace, Langrange gibi
miştir.) isimler matematiğe onlarca teorem kazandırmış-
tır.
Euler, matematiği diğer alanlara taşıyarak 30
binden fazla sayfa çalışma yayınlamıştır. Euler ile
matematikte analiz yeni bir dal haline gelmiştir.
Laplace’ ın çalışmalarından günümüzde en çok
mühendislik dalları yararlanmaktadır. Olasılık
teorisi hakkında ilk önemli eseri yazan yine Lap-
lace’tır.

El-Harezmi Jakob Emanuel Handmann’ın çizimiyle

Arap eserleri, aynı zamanda matematiğin 10. Dönemin önemLlieoçnahlıaşrmdaEluarleırn.dan birisi de
yüzyıldan 12. yüzyıla kadar Avrupa’ya aktarılma- türevden bağımsız entegral kavramı açıklanmış
sında önemli bir rol oynadı. ve Cauchy tarafından türevin limit ile olan ilişkisi
bulunmuştur. Yani türev entegralin tersi olmaktan
Ebû Ca’fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî’nin Cebir çıkmıştır.
ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap adlı eserinden bir Daha sonraları Riemann, Weierstrass, Cauchy
gibi isimler kompleks fonksiyonlar teorisini oluş-
sayfa turmuşlardır. Dirichlet bugün kullanılan fonk-
siyon tanımını yapmıştır. Sonucunda ise fourier
2021 | Sihir Dergisi serileri ile ilgili yarım kalan çalışmalara devam
edilmiştir. Yine bu dönemde grup – halka – ide-
aller teorisi, matris cebiri, vektör uzayları gibi
teoremler bulunup geliştirilmiştir.
Bu dönemin matematiğin bakış açısının değiş-
mesinde önemli bir yeri bulunmaktadır. Matema-
tik önceki dönemlerde hesaplamalar için kullanı-
lırken bu dönemle birlikte hesaplamalardan daha
çok kavramlar ile ön plana çıkmaya başlamıştır.
Böylece yeni bir döneme geçilmiştir.

35

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Modern Matematik Dönemi Kenneth Appel dört renk teorisini kanıtlamak
için bir bilgisayar kullandı. Andrew Wiles, baş-
19. yüzyılda Öklidsel olmayan geometrinin iki kalarının çalışmalarını geliştirerek 1995 yılında
biçiminin gelişimi gözlendi ve Öklid geomet- Fermat’ın Son Teoremini ispat etti. Paul Cohen ve
risinin paralellik postülatı artık geçerli değildi. Kurt Gödel süreklilik hipotezinin küme teorisinin
Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafın- standart aksiyomlarından bağımsız olduğunu
dan Eliptik geometri geliştirildi.Riemann ayrıca ispatladı. 1998 yılında Thomas Callister Hales ve
Riemannian geometrisini de geliştirdi. Ayrıca ilk Kepler varsayımını ispatladı.
defa, matematiğin sınırları keşfedildi. bir Norveçli Bilgisayarların sürekli olarak gelişmesi, ilk
Niels Henrik Abel ve bir Fransız Évariste Galois olarak mekanik analog makineler ve daha sonra
dördüncü dereceden daha büyük polinom denk- dijital elektronik makineler, seri üretimi, dağıtımı
lemlerin çözümü için hiçbir genel cebirsel yöntem ve iletişimi kolaylaştırmak için endüstrinin gittik-
olmadığını kanıtladı. çe daha büyük miktarda veri ile başa çıkmasına
olanak verdi ve bunun ile başa çıkmak için yeni
Bernhard Riemann matematik alanları geliştirildi.
Önceki yüzyıllarda matematiksel odağın çoğu
19. yüzyılda soyut cebirin büyük bir bölümü- kalkülüs ve sürekli fonksiyonların üzerindeydi
nün başlangıcı görüldü. Almanya’dan Hermann ancak bilgisayar ve iletişim ağlarının yükselişi
Grassmann Vektör Uzaylarının ilk versiyonunu ayrık kavramların öneminin artmasına ve gra-
sundu ve İrlanda’dan William Rowan Hamilton fik teorisi de dahil olmak üzere kombinatoriğin
non-komutatif cebiri geliştirdi. İngiliz matema- genişlemesine yol açtı. Bilgisayarların hızı ve veri
tikçi George Boole sayıları sadece 0 ve 1 olan ve işleme yetenekleri kalem ve kağıt hesaplamaları
günümüzde Boolean cebiri olarak adlandırılan ile çok zaman alıcı olan matematik problemleri ile
bir cebir tasarladı. başa çıkılmasını sağladı.
20. yüzyılda matematik önemli bir meslek haline 20. yüzyıl ma-
geldi. Her yıl, binlerce yeni matematik doktorası tematiğinin en
verildi ve hem öğretim hem de sanayide istihdam önemli isimlerin-
mevcuttu. den biri Srinivasa
Uluslararası Matematikçiler Kongresinde yapı- Aiyangar Ramanu-
lan 1900 tarihli bir konuşmada David Hilbert 23 jan’ydı. O, yüksek
adet çözülmemiş matematik problemi listesi or- derecede kompozit
taya koydu. Günümüzde bunların 10 ‘u çözüldü, sayıların özellik-
7 ‘si kısmen çözüldü ve 2 ‘si hala açık. Geri kalan leri, üleşim işlevi
4 tanesi, çözüldü ya da çözülmedi olarak ifade onun asimptotik-
etmek için çok genel formüle edildi. leri ve mock teta
20. yüzyıl 1976 yılında Wolfgang Haken ve fonksiyonları dahil
olmak üzere 3000
‘in üzerinde teoriyi Srinivasa Aiyangar Ramanujan
varsayan veya ispatlayan Hint bir otodidaktay-
dı. Ayrıca gama fonksiyonları, modüler formlar,
ıraksak diziler, hipergeometrik diziler ve asal sa-
yılar teorisi alanlarında önemli araştırmalar yaptı.
2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü Ödül-
lü Yedi Milenyum Problemini duyurdu ve 2003
yılında the Poincaré varsayımı Grigori Perelman
(bu noktada bir ödül almayı reddetti) tarafından
çözüldü.

Perihan Akdoğan

36 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Emile Borel ve Ölçüm Teorisi

7Emile Borel kavramları üzerine yoğunlaştırdı.
Ocak 1871’de Aveyron yakınlarındaki
Saint-Affrique’te doğan Felix Edouard Ölçüm Teorisi
Justin Emile Borel Fransız bir matematikçi
ve politikacıydı. Bir matematikçi olarak ölçü Peki, ölçüm nedir? Diyelim ki X bir küme
teorisi ve olasılık alanlarında kurucu çalışmaları ve Σ de onun alt kümeleri olsun. Σ’nin içinde
ile tanınıyordu. genişletilmiş gerçek sayı doğrusuna bulunan bir μ
Babası kasaba papazıydı. Üstün zekâsını fonksiyonu;
kısa sürede kanıtlayınca ailesi onu komşu 1) Negatif değil ise: Σ’nin içindeki her E için,
kent Montauban’daki Louis-le-Grand lisesine μ(E) ≥ 0.
gönderdi. Paris’te üniversite sınavlarına 2) Boş kümesi yok ise: μ(Ø)=0
hazırlanırken arkadaş olduğu oğlu aracılığıyla 3)Sayılabilir E∞klenebilirlik ise: ∑ ‘deki çiftli ayrık
tanıştığı ünlü matematikçi Darboux’nun etkisi
altında kalarak matematikçi olmaya karar verdi. k k=1
1889’da birincilikle kazandığı Ecole Normale
Suptrieure’deki ilk yılında iki çalışması kümelerin {E } tüm sayılabilir koleksiyonları için,
yayımlandı. 1893’te birincilikle mezun olunca Eğer E kümelerinden en az birinin sonlu bir
Lille Üniversitesi’nde ders vermesi için yapılan ölçüsü varsa μ(Ø)=0 zorunluluğu otomatik olarak
teklifleri kabul etti. 1896’da Ecole Normale’e karşılanır. Çünkü, sayılabilir eklenebilirliği
dönen Borel’in ilgisi, kuramsal matematiğin soyut kullanarak
yapısından uygulamalarına, sosyal konulara ve eşitliğini bulabiliriz. Bu sebeple μ(Ø)=0
politikaya kadar uzanan geniş bir düşünce alanını özelliklerini karşılarsa ölçü olarak tanımlanabilir
kapsıyordu. 1924-1936 yılları arasında, doğduğu
kasabanın belediye başkanlığı ve bakanlık da Yunus Bora Bayraktar
dahil olmak üzere çeşitli politik görevlerde
bulundu. 1940’da Sorbonne’a döndü ve ölünceye
kadar elli kadar kitap ve makale daha yayımladı.
Borel’in matematiğe en önemli katkıları analiz
ve olasılık alanlarında olmuştur, ilgilendiği
problemleri 19.yy matematikçilerine özgü
bir çalışma yöntemiyle ele almış, gereksiz
genellemelerden, formalizmden ve sezgicilikten
kaçınmıştır, ilk incelemelerinden başlayarak
ilgisini, Cantor’un kümelere ilişkin çalışmaları,
ölçüm kuramı, ıraksak diziler ve sayılabilirlik

“Sınırlı olduğumuz küçük köşeden Ferrier ve Borel
(bakış açısından) görebildiğimiz
kadarıyla, tüm evren için geçerli 37
sonuçlar çıkarmak gerçekten
aceleci görünebilir.Belki de bizim

gözlemleyebildiğimiz evren aslında
sadece bir su damlası kadardır.
Bu su damlasının sakinleri;

Samanyolu’na göre oldukça küçük,
su damlasının yanında maddenin
özelliklerinin tamamen farklı olduğu
bir demir parçası veya canlı bir doku
olabileceğini hayal edemezlerdi.”

Emile Borel

2021 | Sihir Dergisi

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Matematikte Saat Sistemi ve Astronomiir gün neden 24 saat, bir saat neden 60

dakika, bir dakika

Bneden 60 saniye?
ölçmek için kullanılmaktadır.
Yunanlı gökbilimci
Eratosthenes’in, devamında
Hepsinin cevabı Sümerlerde. Hipparchus’un, enlem ve
Normalde onluk sayma boylam üzerine yaptıkları öncül
sistemini kullanırız ancak çalışmalarla da günümüzün
mesele zaman olunca dakika ve alt birimlerine eriştik.
işler değişir. Öncelikle bir Almagest adlı eserinde (MS 150
günün 24 saat olmasının dolaylarında) Claudius Ptolemy,
sebebi o zamanlar saatin Hipparchus’un çalışmasını 360
bir çubuğu toprağa saplayıp derecelik enlem ve boylamın
gölgesinin konumuna her birini daha küçük parçalara
bakılarak ölçülmesinden böldü. Her derece 60 parçaya
kaynaklanır. Çubuğun etrafı bölündü, her biri yine 60 küçük
12 eş parçaya ayrılarak parçaya bölündü. İlk bölüm,
oluşturulan Güneş saatleri partes minutae primae veya ilk
bu şekilde gündüzleri dakika, basitçe “dakika” olarak
12 saatten hangi saat ikinci bölümde, partes minutae
olduğunun anlaşılmasını secundae veya “ikinci dakika”,
sağlamıştır. Geceleri ise kısaca saniye olarak bilinir
başka bir fikre ihtiyaç vardı. 12 tane Eratosthenes hale geldi. Ancak dakikalar ve saniyeler

yıldız kümesi ile belirlediler her biri bir saati Almagest’ten sonra da uzun bir süre kullanılmadı.
temsil ediyordu. 16. yüzyılın sonlarına doğru dakikaları
Sümerler zamanında 60’lık sayma sistemi gösteren ilk mekanik saatler görünene kadar,
kullanıyorlardı. 60 sayısının neden seçildiği halk için dakikaları dikkate almak pratik
bilinmemekle birlikte, kesirleri ifade etmek için değildi. Zamanı tanımlayan ve koruyan tüm bu
bu sayı özellikle uygundur. Çünkü 60, ilk altı kadim medeniyetler sayesinde, modern toplum
sayma sayısının yanı sıra 10, 12, 15, 20 ve 30 yaşantısını hala 24 saatlik bir güne, 60 dakikalık
ile bölünebilen en küçük sayıdır. Artık genel bir saate ve 60 saniyelik bir dakikaya göre
hesaplama için kullanılmasa da altmışlık sistem ayarlıyor.
hala açıları, coğrafi koordinatları ve zamanı

Eyüp Efe Özçelilk

38 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

T Cahit Arfürk matematikçi ve bilim insanı olan geometri kavramı üzerine bir makale sunmuştur.
Cahit Arf 11 Ekim 1910’da Selanikte Cahit Arf, 1997 yılının Aralık ayında ağır bir kalp
doğmuştur. 5.
hastalığı nedeni ile ölmüştür.
sınıftayken tanıştığı bir Cahit Arf, cebir konusundaki
öğretmen matematiğe ilgi çalışmalarıyla dünyaca
duymasını sağlamıştır. ün kazanmıştır. Sentetik
İlk eğitimini İzmir’de geometri problemlerinin
tamamladıktan sonra cetvel ve pergel yardımıyla
yükseköğretim için çözülebilirliği konusunda yani
bakanlıktan burs alıp Paris’e koordinat kullanmadan veya
gitmiş ve Ecole Normale minimal formül ile yapılan
Superieure’dan mezun geometri çeşidini hakkında
olmuştur. çalışmalar yapmıştır.
Türkiye’ye döndüğünde Cisimlerin
Galatasaray Lisesinde kuadratik formlarının
matematik öğretmenliği yaptı. sınıflandırılmasında ortaya
1933’te doçent adayı olarak çıkan değişmezlere ilişkin
İstanbul Üniversitesi Fen Arf değişmezi, yani Cahit
Bölümünde çalıştı. 1937’de Arf ’ın matematik alanında
Göttigene gittiğinde, Göttigen yaptığı dünyaca kabul
Üniversitesinde doktorasını görmüş matematiksel
yapmış ve Helmut Hasse ve Cahit Arf değerdir, cisimlerin kuadratik

Jouse Cruz de Munoz ile çalışmıştır. İstanbul formlarının sınıflandırılması üzerine yaptığı
Üniversitesine döndü ve TÜBİTAK çalışmalarına çalışmada bulduğu formüldür ve Arf halkaları,
katılana kadar orada çalıştı. 1963’e kadar konseyin düzlemdeki bir eğrinin kollarında bulunan
kurucu müdürü olarak çalıştıktan sonra, Robert noktaların çok katlılıklarının aritmetikle
Koleji’inde Fen Bölümüne katıldı. Arf, 1964- hesaplanması ile alakalı gibi literatürde adıyla
1966 dönemini Princeton, New Jersey’deki İleri anılan çalışmaları vardır. Bunların yanı sıra
Çalışma Enstitüsü’nde çalışarak geçirdi. Daha “Hasse-Arf Teoremi”* adı ile anılan teoremi
sonra bir yıllığına Berkeley’deki California matematik bilimine kazandırmıştır.
Üniversitesini ziyaret etti.
Türkiye’ye son gelişinden sonra, Orta Doğu
Teknik Üniversitesi’nin Fen Bölümü’ne katıldı ve Işıl Doğa Akkaya

emekliliğine kadar (1980) orada çalışmalarına *Matematikte, özellikle yerel sınıf alan
devam etti. Emekliye ayrıldıktan sonra
TÜBİTAK’ın kurulmasında çok emeği geçti ve teorisinde, Hasse-Arf teoremi, sonlu bir Galois
TÜBİTAK’a bağlı Gebze Araştırma Merkezinde uzantısının Galois grubunun üst numaralandırma
görev aldı. 1983-1989 yılları arasında Türk filtrasyonunun sıçramalarıyla ilgili bir sonuçtur.
Matematik Derneğinin başkanlığını yaptı.
Arf, İnönü Armağanı’nı ve TÜBİTAK Bilim
Ödülü’nü kazandı. Bu ödülü alırken yaptığı
konuşmada ‘Bilim insanının amacı anlamaktır’
hemen ardından ‘ama büyük harflerle anlamaktır’
sözüyle kendine göre bilim insanını açıklamıştır.
Onuruna yapılan cebir ve sayılar teorisi üzerine
uluslararası bir sempozyum, 1990’da 3-7 Eylül
tarihleri arasında Silivri’de gerçekleştirilmiştir.
Halkalar ve geometri üzerine ilk konferanslar da Cahit Arf, Türkiye Cumhuriyet Merkez

1984’te İstanbul’da yapılmıştır. Arf, matematikte Bankası’nın 10 liralık banknotunda portresi yer

almaktadır.

2021 | Sihir Dergisi 39

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

40 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Belleğin Azmi (Eriyen Saatler), Salvador Dalí'nin en tanınan
eseridir. Saatlerin yavaşça eriyişini anlatır.

Resimde 3 adet eriyen saat görülür, bu esere yapılan
yorumların genelinde Dali'nin "zaman insanların sandığından

daha dirençsizdir"i anlatmak istediği söylenir.
Arkadaki kayalıkların gerçekliği ve denizin uçsuzluğu
karşısında öndeki eriyen saatler adeta zamanın oldukça soyut
ve göreceli bir kavram olduğunu vurguluyor. "Zaman kesinliğe
sahip olmayan, bize anlamlı gelen şekilde sınırlandırdığımız
ve sadece ölçmeye çalıştığımız tanımsız bir niceliktir."

dercesine.

2021 | Sihir Dergisi 41

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

π Sayısının Tarihsel Gelişimii(π) Yunan alfabesinin 16. harfi ve Yunan-M.S 1540-1603 9. basa-
mağa kadar
ca “çevre (περίμετρον)” sözcüğünün ilk
doğru
Pharfidir.
François Viète

Matematik dünyasında ve fen bilimlerinde Adriaan van Roomen M.S 1561-1615 17. basa-
önemli bir yere sahip olan π sayısının şu anki mağa kadar
değerini hesaplamak için günümüze kadar pek doğru
çok bilim insanı yıllarını adamıştır. Nitekim π
sayısının geçmişinin Eski Mısır ve Mezopotam- Ludolph van Ceulen M.S 1600 35. basa-
ya’ya dayandığı belirtilmektedir. Buna göre Eski mağa kadar
Mısır ve Mezopotamya’da π sayısı 25/8=3.125 ve
=3.162 değerlerine sahiptir. Ancak π ’nin ilk ger- doğru
çek değerini Siracusa’lı Archimedes’in kullandığı Avrupa Rönesans’ı ile birlikte matematiğe olan
belirtilmektedir. bakış açısı da formal olarak şekillenmeye başla-
Archimedes, önce düzgün altıgenden bağlayarak mıştır. Bu durum π için matematiksel formüller
bir çembere hem içinden hem de dışından n-ke- ortaya atılmasına neden olmuştur. Bu formüller-
den ilki John Wallis (1616-1703) tarafından 1665
yılında şu şekilde verilmiştir:

narlı çokgenler çizerek ve her defasında kenar
sayısını iki katına çıkararak (12-gen, 24-gen, 48-
gen, 96-gen) π ’nin değerini bulma yoluna gitmiş-
tir. Buradaki mantık; içte yer alan çokgenin çev-
resinin çemberinkinden küçük, dıştaki çokgenin Öte yandan π ’nin hesaplanmasında çok çeşitli
çevresinin ise çemberinkinden büyük olması ve seriler de kullanılmıştır. İlk kez James Gregory
çokgenlerin çembersel bir şekle yaklaştırılmasıdır. (1638-1675) tarafından keşfedilen
Bu işlemler sonucunda Archimedes π sayısının serisidir.

değerini 223/71< π < 22/7 olarak bulmuştur.
Dikkat edilirse; bu iki sınır değerin ortalama-
sı alındığında π ’nin gerçek değeri ile arasında
yaklaşık 0,0002 kadar bir hata farkını içeren Serilerin kullanılmasının ardından, 18. yüz-
3,1418 değeri bulunur. Archimedes’ten sonra da yıldan itibaren π sayısı için hesaplamalar hızla
Liu Hui, Tsu Ch’ung Chi, Aryabhata, El-Harezmî, devam etmiştir.
El-Kaşi, Frangois Viète, Adrianen van Roomen π ’nin 1 trilyonu aşkın basamağa kadar ince-
ve Ludolph van Ceulen gibi pek çok matematikçi lenmesinin altında, insanların başlangıçta π ’nin
çemberin içine ve dışına çokgenler çizip zamanla rasyonel bir sayı olduğunu ve bunu ispatlama
çokgenlerin kenar sayılarını arttırarak ve böylece istekleri yatmaktadır. Yani π ’nin bir yerden sonra
çokgeni çembere dönüştürmeye çalışarak π sayısı- basamaklarının, önceki değerlerini tekrar etmesi
nı hesaplamaya çabalamışlardır. ve bu sayede π ’nin rasyonel olduğunun anlaşıl-
Bu bilgiler doğrultusunda çeşitli matematikçi- ması amaçlanmıştır. Ancak İsviçreli matematikçi
lerin π için ulaştıkları değerler ve bunlara ilişkin Lambert π ’nin irrasyonel olduğunu diğer bir
kronolojik bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur. ifade ile çemberin çevresi ile çapının bir ortak
ölçüsü olmadığını kanıtlamıştır.
Archimedes Yöntemini Kullanan Matematikçilerin π Bundan yaklaşık 120 yıl sonra Ferdinand von
Lindemann, π ’nin aşkın (transandantal) bir sayı
İçin Ulaştığı Değerler olduğunu (yani π ’nin, katsayıları tam sayı olan
herhangi bir polinomsal denklemin cebirsel çözü-
Kişi Zaman Ulaşılan münün olmadığını) kanıtlamıştır. Lindemann’ın
Batlamyus M.S 150 Değer bu sonucu, gerçekte “dairenin kareselleştirilme-
3,1416 sinin” olanaksız olduğunu göstermiştir. Başka bir
deyişle π ’nin aşkınlığı, verilen bir dairenin ala-
Tsu Chung Chi M.S 430-501 3,1415926
Aryabhata M.S 510 3,1416
El-Harizmi M.S. 800 3,1416

Gıyaseddin cemşid MS .1420 16. basa- nına eşit alana sahip bir karenin cetvel ve pergel
El-Kaşi mağa kadar yardımıyla çizilemeyeceği anlamına gelmektedir.
doğru
Yunus Bora Bayraktar

42 Sihir Dergisi | 2021

π 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230
7816406286 2089986280348253421170679821480865132823066470938446095
50582231725359408128481 11745028410270193852110555964462294895493038
1964428810975665933446128475648233 786783165271201909145648566923460348610
454326648213393607260249141273724587006 6063155881748815209209628292540917
15364367892590360011330530548820466521384146 951941511609433057270365759591
953092186117381932611793105118548074462379962749 5673518857527248912279381830
11949129833673362440656643086021394946395224737190 70217986094370277053921
7176293176752384674818467669405132000568127145263560827 78577134275778960917
3637178721468440901224953430146549585371050792279689258923 542019956112129
021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049 95105973173
2816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010 003137
838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882 35
378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720
1 0654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497
21775 2834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374
64939319 25506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295
5596198946767 837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313
677028989152104752 1620569660240580381501935112533824300355876402474964732
63914199272604269922796 78235478163600934172164121992458631503028618297455
5706749838505494588586926995 69092721079750930295532116534498720275596023
6480665499119881834797753566369807 4265425278625518184175746728909777727938
00081647060016145249192173217214772350 14144197356854816136115735255213347574
1849468438523323907394143334547762416862 518983569485562099219222184272550
254256887671790494601653466804988627232791786 0857843838279679766814541009
53883786360950680064225125205117392984896084128488 6269456042419652850222
10661186306744278622039194945047123713786960956364371917 287467764657573962
413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352 595709825822
620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496 252451
749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498 93
0161753928468138268v683868942774155991855925245953959431049972524680845987
273 644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715
691435997 700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506
016842739452267 4676788952521385225499546667278239864565961163548862305774
56498035593634568174 32411251507606947945109659609402522887971089314566913
6867228748940560101503308 617928680920874760917824938589009714909675985261
365549781893129784821682998948 72265880485756401427047755513237964145152374
6234364542858444795265867821051141 35473573952311342716610213596953623144295
2484937187110145765403590279934403742 007310578539062198387447808478489683
321445713868751943506430218453191048481005 370614680674919278191197939952061
419663428754440643745123718192179998391015919 561814675142691239748940907186
494231961567945208095146550225231603881930142093 76213785595663893778708303
9069792077346722182562599661501421503068038447734549 20260541466592520149
7442850732518666002132434088190710486331734649651453905796 268561005508106
658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759 51567715770
0420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867 32157919
8414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274 8583
22287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711136
9908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283
31 635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549853
7 180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391
193259 74636673058360414281388303203824903758985243744170291327656180937734
4403070746 9211201913020330380197621101100449293215160842444859637665228...

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Tarihte Müzik Ve Matematik İlişkisiüzik, sanat ve bilimin kesiştiği bir

alandır ve bu alanda matematik büyük

Mbir öneme sahiptir. Tarih boyunca pek

çok matematikçi müzik ve müzik teorisindeki
problemler üzerine çalışmalar yapmışlardır.

Antik Yunan’da Müzik ve
Matematik

Antik çağlarda matematikçilerin çoğunluğu
aynı zamanda müzik teorisyeniydi. Pisagor,
Platon ve Aristo matematik ve müzik
konularında araştırma yapmanın yanında
müziği matematiğin bir parçası olarak
görüyorlardı. Antik Yunan’da matematik bir
sanat dalı olarak değerlendiriliyordu ve yapılan
tüm bilimsel çalışmalarda müzik üzerine bir
bölüm bulunuyordu. Bu çalışmaların genellikle
sayı teorisi, müzik, geometri ve astronomi
olmak üzere dört bölümü bulunurdu. İlerleyen
zamanlarda “Quadrivium” (dört yol) adını alan
bu eğitim Batı Avrupa’da Rönesans’ın başlangıcına
kadar sürdü.

Pisagor, ilk matematik okulunun kurucusu
olmasının yanı sıra bir müzik okulunun
da kurucusuydu ve bir müzik teorisyeni ve
besteciydi. Müzikal aralıklar ve sayısal oranların
temel uyumunu keşfetmiştir. Bir demirci
dükkanının önünden geçerken çekiçlerin bir
örse vurulmasıyla çıkan sesler dikkatini çeker
Pisagor’un ve iki farklı çekiç tarafından çıkarılan
seslerin müzikal aralığının çekiçlerinin nispi
ağırlıklarına bağlı olduğunu Özellikle klasik
Batı müziğinde oktav, beşli ve dörtlü olarak
tanımlanan uyumlu aralıkların ağırlık olarak
sırasıyla 2/1, 3/2 ve 4/3 sayısal kesirlerine karşılık
geldiğini fark eder. Pisagor’un bu keşfi sonraki
armoni teorilerinin temelini oluşturur.

Rönesans ve Sonrasında Müzik ve
Matematik

Rönesans Dönemi’nde müzik, matematiğin
bir alanı olmaktan çıktı. Teorik müzik bağımsız
bir alan haline geldi, yine de matematik ile
ilişkisi devam etti. Müzik teorisinin gelişmesine
matematik katkıda bulundu.

Modern bilimin kurucularından biri olan
Newton’ın kolej günlerinden kalan bir defter, eski
Yunan geleneğinde müzikal aralıkların bölünmesi
teorisi ve hesaplamalarını içeriyordu.

Raphael'in Atina Okulu Tablosundan Pisagor'un
kırpılmış tasviri

44 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Leibniz, müziğin matematik hesaplarından edinen çalışmalar da yapılmıştır. Müziğin
oluştuğunu ve zihnin gizli bir aritmetik matematikle ilişkisi üzerine araştırmalar
alıştırması olduğunu düşünüyordu. yapılmaya devam edilmektedir. Bu araştırmaların
Kepler’in 1616 yılında basılan kitabı “Dünya hem matematik alanına hem de müzik alanına
Armonisi” Pisagor geleneğinde yazılmış müzik büyük katkılar sağlayacağı öngörülmektedir.
teorisine ve müzik-matematik ilişkisine dair bir
bölüm vardır. Nehir Karaarslan
Descartes’in ilk kitabı 1618’de yazdığı müziği
konu alan “Compendium Musicae”dir. Marin Mersenne'in bir tablosu
Sayı teorisyeni ve akustiğin babası olarak
adlandırılan Marin Mersenne 1627’de yazdığı 45
“Traité de l'harmonie Universelle” (Uluslararası
armoni incelemesi) adlı incelemede müziğin
matematiğin bir parçası olduğunu, kendi
ilkelerine dayanan bir bilim olduğunu ve müziğin
aritmetik, geometri ve fiziğe bağlı olduğunu
belirtmiştir.
Müzik üzerine araştırmalar yapmış
matematikçiler gibi, matematik üzerine araştırma
yapmış müzisyenler de vardı. Örneğin besteci ve
teorisyen Jean-Philippe Rameau; duyguları ifade
etmeyi amaçlayan müzik ve belirgin kuralları olan
matematiksel bir bilim olan müziği sentezlemiştir.
Besteci, ünlü ve önemli eseri “Traité de
l’harmonie réduite à ses principes naturels”de
armoninin doğal ilkeleri üzerine analizler
yapmıştır. Bu incelemelerde müziğin, belirli
kuralları olması gereken bir bilim olduğunu ve
bu kurallara açık, belirgin bir şekilde uyulması
gerektiğini ve bu yöntemin de matematiğin
yardımı olmadan mümkün olamayacağını
belirtmiştir. Rameau'dan iki yüz yıl sonra besteci
Olivier Messiaen matematik ve müzik arasındaki
ilişki ile ilgili olarak benzer açıklamalar yapmıştır.

Yirminci Yüzyılda Müzik ve
Matematik

Yirminci yüzyılda müzikte cebirsel yöntemlerin
kullanımı yaygınlaşmıştır. Bu dönemde Birleşik
Devletler'de Milton Babbitt, Avrupa'da Iannis
Xenakis ve Doğu Avrupa'da Anatol Vieru
müzikteki çeşitli teorik problemlerin cebirsel
karakterini keşfetmiştir.
Müzik teorisi, matematikle doğrudan
ilişkilidir. Seslerin aralıkları, ritim, tempo ve
başka diğer müzikal kavramları ifade ederken
sayılar kullanılır. Birçok matematikçi, müzikle
ilgilenmiştir ve birçok önemli araştırma
yapmıştır. Müzik ve matematik, tarih boyunca
birbirinden beslenmiştir. Bunun yanında
matematik eğitiminde müziğin etkisini konu

2021 | Sihir Dergisi

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Matematik Keşif Midir Yoksa İcat Mı?nsanlar olmasaydı matematik olur muydu? insanların yarattığı kurallara dayanıyor.

Eski zamanlardan beri, insanlık, matematiğin Matematik sadece icat edilmiş mantıksal bir

İkeşfedildiği ya da icat olunduğu konusunu alıştırma, insanın şuurlu düşüncesi dışında var
çok tartıştı. olmayan, beyin tarafından sezilen desenlere
Bizi çevreleyen evreni anlamaya yardımcı olması dayalı soyut ilişkilerin bir dilidir; bu desenleri
için matematiksel kavramları biz mi oluşturduk kullanarak kaostan, yararlı ama yapay bir düzenin
veya matematik, biz bulsak da bulmasak da icadı için.
gerçekleriyle var olan evrenin kendi ana dili Bu fikrin taraftarlarından biri Leopold
midir? Kronecker idi,19. yüzyılda yaşamış Alman
Sayılar, çokgenler ve denklemler hakikaten matematik profesörü.
gerçekler mi veya sadece bazı teorik amaçların Düşüncesi meşhur ifadesinde özetlenmişti:
eterik gösterimleri mi?
Matematiğin bağımsız gerçekliğinin bazı eski
savunucuları var: 5. Yüzyıl Yunan Pisagorcuları “Tanrı doğal sayıları yarattı, gerisi hep
sayıların hem yaşayan varlıklar, hem de evrensel insanın çabası.”
prensipler olduklarına inandılar.
Leopold Kronecker

Bir sayısına “birim” dediler, diğer tüm sayıların Matematikçi David Hilbert’in hayatı süresince
üreticisi ve tüm yaratılışın kaynağı. Sayılar
doğada aktif etmenlerdi. Platon matematiksel matematiği mantıksal bir yapı olarak kurma
kavramların somut ve evrenin kendisi kadar gayreti vardı. Hilbert matematiğin tümünü
gerçek olduğunu savundu, onlar hakkındaki aksiyomlarla tanımlamaya çalıştı, Öklid’in
bilgimize bakmaksızın. Geometrinin babası geometriyle yaptığı gibi ve benzerleri matematiği
Öklid, doğanın kendisinin matematiksel derin bir felsefik oyun olarak gördüler fakat yine
kuralların fiziksel manifestosu olduğuna inanırdı. de bir oyun.
Diğerleri, sayıların fiziksel olarak var ya da Öklidyen olmayan geometrinin babalarından
yok olsa da matematiksel ifadelerin kesinlikle biri olan Henri Poincaré, Öklidyen olmayan
olamayacağını savundular. Doğruluk değerleri geometrinin varlığına inandı.

Pisagorcuların Yükselen Güneşe Karşı İlahisi(Hymn Of The Pythagoreans To The Rısıng Sun)

46 Sihir Dergisi | 2021

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Hiperbolik ve eliptik eğriliklere sahip düz yaprakları dizilimlerinden ananasın yapısına,
olmayan yüzeylerle uğraşırken uzun süredir hatta akciğerdeki bronşların dallanmasına. Yine
düz yüzeyler için geçerli geometri kabul 1850’de Bernhard Riemann’ın
edilen Öklid geometrisinin evrensel bir gerçek Öklidyen dışı çalışması var: Bir asır sonra
olmadığını, sadece kuralların belli bir kümesinin Einstein bunu genel izafiyet teorisi modelinde
kullanımının sonucu olduğunu ispatladı. kullandı. İşte daha büyük bir atılım: Matematiksel
Fakat 1960’ta Nobel Fizik ödülünü alan Eugene düğüm teorisi, ilk olarak 1771 yılında konum
Wigner “matematiğin akıl almaz geçerliliği” geometrisini açıklamak için geliştirildi ve 20.
deyimiyle matematiğin gerçek ve insanlar asrın sonunda DNA’nın kendisini kopyalama
tarafından keşfedildiği fikrini güçlü şekilde ortaya sürecinde nasıl açıldığını tarif için kullanıldı. Bu
koymuştur. Wigner yoktan oluşturulan birçok teori sicim teorisinin temelaçıklamalarında da
soyut matematiksel teorilerin, çoğu zaman bir kullanılabilir.
fiziksel gerçekliğe işaret etmemesine rağmen, Tüm insanlık tarihinin en etkili bazı
evrenin öteden beri nasıl işlediğini açıklamak için matematikçileri ve bilim insanları da konuya,
gerekli yapılar olduğunun, on yıllar hatta asırlar genellikle şaşırtıcı şekillerde, dâhil olmuşlardır.
sonra ispatlandığına işaret etmiştir. Yani, matematik bir icat mı yoksa keşif mi?
Örneğin, İngiliz matematikçi Gottfried Yapay kurgu mu, yoksa evrensel gerçek mi?
Hardy’nin sayılar teorisi. Çalışmaları, hiçbirinin İnsan yapısı mı veya doğal, muhtemelen ilahi,
gerçek dünyada herhangi bir olayı açıklamaya yaratılış mı?
yaramayacağı söylenmesine karşın, kriptografinin Bu sorular öylesine derin ki çoğu zaman
doğuşunu sağlamıştır. Diğer bir tamamen teorik tartışma doğası gereği tinsel oluyor. Cevap
çalışması ise genetikte Hardy-Weinberg yasası bakılan özel konsepte göre değişebilir fakat
olarak tanınır ve Nobel ödülü kazanmıştır. karmakarışık bir Budist hikâyesi gibi görünebilir.
Fibonacci meşhur dizisini, idealize edilmiş Eğer bir ormanda belli sayıda ağaç var fakat
tavşan popülasyonunun büyümesini onları sayacak kimse yoksa,
gözlemlerken rastgele bulmuştur. İnsanlık bu sayı var mıdır?
daha sonra doğada her yerde dizinin izlerine
rastlamıştır, ayçiçeği tohumları ve çiçek taç Kadir Arslan Böğürcü

2021 | Sihir Dergisi Fedor Andreevıch Bronnıkov

47

Nişantaşı Anadolu Lisesi | Sihir Dergisi

Elealı Zenon

ZZenon Kimdir? Aşil A'dan B'ye gitmek için önce yolun yarısına
enon M.Ö. 5. Yüzyılda yaşamış Eski Yu- gitmeli. Yolun yarısına gittikten sonra kalan yolun
nanlı bir filozoftur. Zenon’un günümüze yarısına gitmeli. Daha sonra kalan yolun yarı-
bir eseri kalmamıştır. Hakkında bilinen- sına... Bu böylece sonsuza değin sürer. Diyelim
ler Eflatun’un Parmenides adlı ve Aristo’nun Fizik A ile B arası mesafe 1 metre. Aşil önce ½ metre
adlı eserinde yazılmış olanlarla sınırlı. Zenon gitmeli. Gittiğini varsayalım. Geriye ½ metre ka-
Parmenides’in öğrencisidir. Parmenides şu dü- lır. Şimdi Aşil kalan ½ metrenin yarısına gitmeli,
şünceyi savunuyordu: Gerçek tektir ve değişmez. yani ¼ metre daha gitmeli. Geriye ¼ metre daha
Çokluk, değişim ve hareket aslında yokturlar ve kalır. Aşil bu ¼ metrenin yarısına gitmeli , yani
duyularımızın bizi kandırmasından kaynaklanır- 1/8 metre daha gitmeli. Daha sonra 1/16 metre
lar. Zenon hocasının felsefesiyle dalga geçenleri daha gitmeli...
susturmak için 4 parodoks geliştirir ve sadece on-
ların değil 2500 yıl sonra dünyaya gelecek bizlerin Hareket Yoktur
de kafasını karıştırmayı başarır.
Zenon Aşil'in kaplumbağayı yakalayamayacağını
Aşil ile Kaplumbağa söylemekle kalmıyor hareket dahi edemeyeceği-
ni de söylüyor. Zenon'un üçüncü paradoksuna
Aşil çok hızlı koşan bir yarı tanrıdır ve kap- göre; hareket yoktur, hiçbir şey hareket edemez.
lumbağa Aşil ‘den çok daha yavaştır . İkisini Mesela bir oku ele alalım ve elimizden geldiği
yarıştırdığımızda kaplumbağa daha yavaş olduğu kadar hızlı fırlatalım. Şimdi bir an hayal edin
için daha önden başlamalıdır. Şimdi asıl proble- zaman durmuş ok da havada hareketsiz duru-
me gelelim sizce hangisi kazanır? Zenon, Aşil'in yor ve ne zaman durdurursanız durdurun hep
kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunu- hareketsiz gözükecek. Hareketsiz parçalardan
yor. Aşil'in kaplumbağayı geçmesi için en ilk ona hareket elde edilebilir mi? Oka bakarsanız her
yetişmesi lazım ve Aşil yetiştiğinde kaplumbağa an hareketsiz o zaman nasıl yer değiştirmekte?
biraz daha ilerlemiş olacaktır. Şimdi Aşil, kaplum- Sinemalar da öyle değil midir? Hareketsiz anlar-
bağanın bulunduğu yeni noktaya yetişmeli ama dan bir hareket oluşturulur . Zenon'a göre cisim-
yetişince kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olacak ler bize hareket edermiş gibi görünmektedir oysa
ve bu döngü bu şekilde devam edecektir çünkü her an durmaktadır.
kaplumbağa durmamaktadır. Yaşamda böyle
olmaz dememeli çünkü Zenon da Parmenides de ...
gerçekte böyle olmayacağını biliyorlar. Şimdi bu
paradoksu biraz basitleştirelim. Aşil, yarışa kap- AB
lumbağanın 100 metre gerisinden başlasın. Aşil
saniyede 100 Metre koşsun. Kaplumbağa da sani- Dördüncü Paradoks
yede10 metre koşsun. Varsayalım ki öyle...Aşil’in Önceki paradokslara çoğu bilim adamının
yarışa başladığı noktaya A0 adını verelim. Aşil cevabı bir yerden sonra
bir saniye sonra kaplumbağanın bulunduğu ilk o kadar küçük parçalar
noktaya, A1 noktasına erişecektir. Bu bir saniyede elde ederiz ki bu parça A
kaplumbağa 10 Metre yol alacaktır ve A2 noktası- daha bölünemez olmuş-
na varacaktır. Aşil A2 noktasına 1/10 saniye sonra tur ve bu parçalara uzay
varacaktır. Bu 1/10 saniyede kaplumbağa 1 metre birim denmiştir. Madem B
gitmiş olacaktır. Aşil bu 1 metreyi, 1/100 saniyede öyle yandaki şekle bir
koşacaktır... bakalım.
Her kare bir uzay birimini simgelesin yani bölü-
A0 A1 A2 A3 A4 nemeyen en küçük parça. A bir sağa ve B bir sola
kaydırılırsa arada karşılaşabilecekleri bir yer var
İkiye Bölünme mıdır? Hayır, hiç karşılaşmadılar! Çünkü o kadar
küçükler ki arada karşılaşabilecekleri bir yer yok.
Diyelim Aşil A noktasında ve B noktasına gide- Kulağa garip geliyor ama bir o kadar da mantıklı.
cek .
48 Eyüp Efe Özçelik

Sihir Dergisi | 2021

Raphael'in Atina Okulu freskinden
Elealı Zenon'nun Kırpılmış Tasviri

49

Kaynakça

Matematik ve Sayıla- Herscovici Şerifenur Pekin
rın Felsefesi (sf. 4) Leonardo Fibonacci- www.
turkcebilgi.com Emile Borel ve Ölçüm
Russel,B "Intro. to Matematical Fibonacci Dizisi- tr.wikipedia.org Teorisi (sf. 35)
Philosophy",London
YILDIRIM,C. " Matematiksel Sonsuzluk (sf. 18) Emile Borel kimdir? Hayatı ve
Düşünme" eserleri- www.kimdirhayatieserleri.
Hersh, “Intro. Imre Lakatos" Matematik ve Sonsuz- Prof. Dr. com
Mathematical Intelligencer,1 Ali Nesin Measure (mathematics)-
(1978),148 Sonsuzluk Türleri- Doç. Dr. Haluk en.wikipedia.org
Berkmen
Söndürülen Işık: Hy- Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematikte Saat Sis-
patia (sf. 7) Matematik Fikri- Tony Crilly temi ve Astronomi (sf.
36)
Hypatia- tr.wikipedia.org Paradokslar (sf. 19)
Söndürülen Işık: İskenderiyeli Bir Gün Neden 24 Saat, Bir
Hypatia- www.bilim.org 10 Tane Matematik Paradoksu- Saat Neden 60 Dakika?- www.
İskenderiyeli Hypatia- Aysin akifaltundal.net matematiksel.org
Nalan Yetmen Paradoks- tr.wikipedia.org
Antik Dünyanın Son Bilim İnsanı Cahit Arf (sf. 37)
İskenderiyeli Hypatia Kimdir?- Rastgelelik (sf. 22)
www.antiktarih.com Cahit Arf- tr.wikipedia.org
Hypatia Kimdir? Hayatı ve Matematik ve Sanat- Prof. Dr. Ali Cahit Arf- en.wikipedia.org
Çalışmaları- www.leblebitozu.com Nesin
8 Mart 415: İskenderiyeli Hypatia Olasılık, Rastgelelik ve Matematik π Sayısının Tarihsel
öldürüldü- www.catlakzemin.com Felsefesi - Prof. Dr. Ali Nesin Gelişimi (sf. 40)
Olasılık Kuramında Veni, Vidi,
Atatürk ve Matematik Vici- Doç. Dr. Adil Korkmaz İrrasyonel Sayıların Öğretimi
(sf. 8) İçin Görsel Model Önerisi: e ve
Blaise Pascal (sf. 24) π Sayıları- Yrd. Doç. Dr. Tuğba
Atatürk ve Matematik- Mehtap Horzum
Yılmaz Blaise Pascal kimdir?- yeniakit. Matematik, Matematik Tarihi, Pi
Atatürk ve Matematik- Dr. Tuna com.tr Sayısı Ve Sonsuzluk- Prof. Dr. Fikri
Yılmaz Pascal üçgeni- tr.wikipedia.org Akdeniz
Gizemli bir Üçgen (Pascal Gerçekten Bilmeniz Gereken 50
Matematiğin Prensi: Üçgeni)- Timur Karaçay Matematik Fikri- Tony Crilly
Gauss (sf.12)
Altın Oran (sf. 25) Tarihte Müzik ve Ma-
The Giant Book of Scientists: The tematik İlişkisi(sf. 42 )
100 Greatest Minds of All Time- Altın Oran Nedir?- www.aoder.
Simmons, J. org.tr Zeynep Ebru AYATA, Tarihten
Carl Friedrich Gauss: A Günümüze Müzik ve Matematik
Biography- Hall T. Miletos’lu Thales (sf. İlişkisi
Carl Friedrich Gauss- 26) Uzay BORA, Bilim ve Sanatın
tr.wikipedia.org Kesiştiği Temel Bir Nokta:
Thales, Thales Hayatı, Thales Matematik ve Müzik İlişkisi
Hiçliğe Dair (sf. 14) Kimdir?- www.gelisenbeyin.net
Thales of Miletus- en.wikipedia. Matematik Keşif
“Sıfır” Rakamının Sancılı org Midir Yoksa İcat Mı?
Doğumu- Erol KÖKTÜRK (sf. 44)
Alan Woods- Aklın İsyanı Matematik Tarihi (sf.
Tony Crilly- Gerçekten Bilmeniz 30) Matematik keşif mi icat mı? - Jeff
Gereken 50 Matematik Fikri Dekofsky(TED-Ed)
Matematik Tarihi- www. Matematik: Keşif mi, İcat mı?-
Leonardo Fibonacci matematikatolyesi.com Çağrı Mert Bakırcı(Evrim Ağacı)
(sf. 16) Antik Yunan Matematiği-
Süleyman Öğrekçi Elealı Zenon (sf. 46)
Matematik Masalları – Armand Antik Hint Matematiği-Süleyman
Öğrekçi Zenon'un Paradoksları- Ali Nesin
İslam Dünyasında Matematik-
www.matematiksel.org
Modern Matematik Tarihi-