ติว สอวน คณิต ค่าย 1 ปี 64(พาราโบล่า)อ.พิทักษ์

เอกสาร ตวิ สอวน คณิตศาสตร์ เร่ือง พาราโบลา 1

1. สมการพาราโบลา คือ สมการที่เขียนในรปู y = ax2 + bx + c เมอ่ื x , y เปนตวั แปร a , b , c

เปน คา คงตวั และ a ≠ 0 เม่ือเขยี นกราฟของสมการพาราโบลาจะไดก ราฟรูปโคง

2

2. พาราโบลาซึง่ มีสมการเปน y = ax2 เม่อื a ≠ 0 y

y x
ax2
ax2
x

a>0 a<0

แบง เปน 2 กรณี คือ a > 0 และ a < 0 สรุปลกั ษณะของกราฟไดด ังน้ี

ลกั ษณะ ประเภท a>0 a<0

1. ลักษณะของกราฟ กราฟหงาย กราฟควาํ่
2. แกนสมมาตร แกน Y แกน Y
3. พกิ ดั ของจดุ สงู สดุ หรอื จดุ ต่าํ สดุ จุดสงู สดุ มพี กิ ดั (0 , 0)
4. ผลของ a จุดตํา่ สุดมพี กิ ดั (0 , 0) a นอ ย กราฟกวาง
a นอย กราฟกวาง a มาก กราฟแคบ
a มาก กราฟแคบ

3

3. พาราโบลาซ่ึงมีสมการเปน y = ax2 + k เมอื่ a ≠ 0

y y
ax2 + k1
x ax2 + k1 x
ax2
ax2
ax2+k2 ax2 + k2
a<0
a>0

กาํ หนดให k1 เปนจาํ นวนบวก k2 เปนจาํ นวนลบ สรุปลักษณะของกราฟได ดังน้ี

ลักษณะ ประเภท a>0 a<0

1. พิกดั ของจดุ สูงสุด หรือจดุ ตํา่ สุด จดุ ตาํ่ สุดมีพกิ ดั (0 , k) จดุ สูงสดุ มพี ิกดั (0 , k)
2. ผลของ k k เปนบวก กราฟเลอ่ื นขึน้ k เปนบวก กราฟเล่ือนขึ้น
k เปน ลบ กราฟเลือ่ นลง k เปน ลบ กราฟเลื่อนลง

4

5

4. พาราโบลาซ่ึงมสี มการเปน y = a(x - h)2 เม่อื a ≠ 0 Y

แบงเปน 2 กรณี คอื a > 0 และ a < 0 กราฟมีลกั ษณะดังรปู

Y

y = a(x – h1)2 y = a(x – h2)2 y = ax2

y = a(x – h2)2 y = ax2 X X

a>0 y = a(x – h1)2
a<0

กาํ หนดให h1 เปนจํานวนบวก h2 เปน จํานวนลบ สรุปลักษณะของกราฟไดด ังน้ี

ลกั ษณะ ประเภท a>0 a<0

1. ลักษณะของกราฟ กราฟหงาย กราฟควํา่
2. แกนสมมาตร x=h x=h
3. พกิ ัดของจดุ สงู สดุ หรือจดุ ต่ําสดุ จุดสงู สดุ มีพกิ ดั (h , 0)
4. ผลของ h จดุ ตา่ํ สดุ มพี กิ ดั (h , 0) h เปนบวก กราฟเล่ือนขวา
h เปน บวก กราฟเล่ือนขวา h เปน ลบ กราฟเลอ่ื นซาย
h เปนลบ กราฟเลื่อนซา ย

6

7

5. พาราโบลาซ่งึ มสี มการเปน y = a(x - h)2 + k เม่ือ a ≠ 0 y = a(x – h)2 + k1
X
แบง เปน 2 กรณี คอื a > 0 และ a < 0 กราฟมลี ักษณะดงั รปู
Y y = a(x – h)2
y = a(x – h)2 + k1
y = a(x – h)2 + k2
y = a(x –Xh)2
y = a(x – h)2 + k2

a>0

กาํ หนดให k1 เปน จํานวนบวก k2 เปน จาํ นวนลบ สรุปลักษณะของกราฟ ไดดังนี้

ลกั ษณะ ประเภท a>0 a<0

1. ลกั ษณะของกราฟ กราฟหงาย กราฟควํ่า
2. แกนสมมาตร x=h x=h
3. พกิ ัดของจดุ สูงสุด หรอื จดุ ตํา่ สุด จดุ สงู สดุ มพี ิกดั (h , k)
4. ผลของ h จดุ ตา่ํ สุดมีพกิ ดั (h , k) h เปน บวก กราฟเลื่อนขวา
h เปนบวก กราฟเลอื่ นขวา h เปนลบ กราฟเลอ่ื นซาย
5. ผลของ k h เปน ลบ กราฟเล่อื นซาย k เปนบวก กราฟเลอ่ื นขน้ึ
k เปนบวก กราฟเลอื่ นขนึ้ k เปน ลบ กราฟเลอ่ื นลง
k เปนลบ กราฟเล่อื นลง

8

9

10

11

ตอนท่ี 1 ความรู้เบือ้ งต้นเกยี่ วกบั เรขาคณติ วเิ คราะห์

1.1 ระยะห่างระหว่างจุด 2 จุดใดๆ (x2 , y2)
•
d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 (x1 , y1) d
•

1. จงหาระยะห่างระหวา่ งจุด 2 จุดต่อไปน้ี 2. P1 (3 , 7) , P2 (6 , 7)
1. P1 (2 , 4 ) , P2 (2 , –5)

12 12
3. P1 (4 , –1) , P2 (7 , –3) 4. P1 (4 , 5) , P2 (1 , 1)

12 1
ตอบ 1) 9 2) 3 3) 13 4) 5

2. ถา้ ระยะห่างระหวา่ งจุด (2 , 3) และ ( k , 0 ) เป็น 5 หน่วย จงหาค่า k 12
วธิ ีทาํ
( 6,–2 )

3. จุด (–4 , 3) อยหู่ ่างจากแกน y เป็นระยะก่ีหน่วย (4)
วธิ ีทาํ

13

1.2 จุดกงึ่ กลางระหว่างจุด 2 จุดใด ๆ •(x2 , y2)

(x1 , y1) • (x , y) = (x1+2x2 , y1+2 y2 )
•

ุกก ร ุ ค นี
1) (3, 6) กั (5, 12)
2) (4, 7) กั (−8, 1)

7. จุด M เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนของเสน้ ตรง PQ จงหาพิกดั ของจุด P ถา้ (–1 , 0)
(1) M มีพกิ ดั เป็น (1 , 2) และ Q มีพิกดั เป็น (3 , 4) (–5 , 16)
(2) M มีพกิ ดั เป็น (5 , 6) และ Q มีพกิ ดั เป็น (15 ,–4)

วธิ ีทาํ

ขอ้ สอบรอบคดั เลือกเข้าค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ สอวน. ปี 2562
15. ให้ A และ B เป็นจุดบนพาราโบลา y  4x2  7x 1 ที่มีจุด 0,0 เป็นจุดก่ึงกลางระหว่างสองจุด

นี้ จงหาระยะห่างระหวา่ งจดุ A และจุด B

3