เมทริกซ์ MATRIX

E - B O O K ส รุ ป เ นื้ อ ห า

เมทริกซ์

MATRIX

By น.ส.ธวัลรัตน์ เหมรัตน์
ม.4/3 เลขที่ 30

เมทริกซ์คืออะไร?

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวน เขียนเรียงกันเป็นรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวใน
แนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียน
เมทริกซ์ในวงเล็บ [ ] หรือ ( )

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว (ROW) เรียกแถวในแนวตั้ง
ของเมทริกซ์ว่า หลัก (COLUMN) และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนในเมทริกซ์
ว่า สมาชิกของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุ
ตำแหน่งให้ถูกต้อง

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 3 คือเลข 3
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5




เมทริกซ์ เป็นตัวเลขกลุ่มหนึ่งซึ่งนำมาเขียนเป็น m แถว n หลัก โดยเขียนไว้ในวงเล็บ
[ ] ในลักษณะดังรูป

∈โดยตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บแต่ละตัว คือ aij โดย i , j I+ เป็นสมาชิกของเมทริกซ์
เรากล่าวว่า เมทริกซ์มี m แถว n หลัก เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติหรือขนาด m x n

ชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์จัตุรัส (Square Matrix )


เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก จะเรียกว่า เมทริกซ์จัตุรัสที่มี n

แถว n หลัก ว่าเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n หรือเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (UpperTriangular Matrix )

เมตริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทุกตัว

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangular Matrix )

เมตริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทุกตัว

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)

เมทริกซ์สเกลาร์มิติ n x n ที่มีสมาชิกบนเส้นทแยง มุมหลักมีค่าเท่ากับ 1

เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix)

≠เมทริกซ์ทแยงมุมที่สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน ทุกตัว และ aij = 0

เมื่อ i j

30
03

เมทริกซ์ทแยงมุม (Diagonal Matrix)

เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็นจำนวนจริงใดๆและสมาชิก
นอกแนวทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix or Null Matrix)

เมทริกซ์ที่มีสมาขิกทุกตัวเป็นศูนย์

เมทริกซ์แถว (Row Matrix)

เมทริกซ์ที่มีสมาขิกเพียงแถวเดียว

123

เมทริกซ์หลัก (Column Matrix)

เมทริกซ์ที่มีสมาขิกเพียงหลักเดียว

4
5
6

เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix)

เมตริกซ์จัตุรัสที่มีสมบัติว่า aij = aji สำหรับทุกค่า i และ j นั่นคือ ถ้า A เป็น
เมทริกซ์สมมาตร จะได้ At = A

เมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew - Symmetric Matrix)

เมตริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกบนเส้นทแยง มุมหลักเป็นศูนย์ทุกตัว และเป็น
เมทริกซ์ที่มีสมบัติว่า aij = -aji สำหรับทุกค่า i และ j นั่นคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์
เสมือนสมมาตร จะได้ At = -A

เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (Orthogonal Matrix)

เมตริกซ์จัตุรัสที่มีสมบัติว่า AAt = I

การดำเนินการของเมทริกซ์

การบวก/ลบ

เ ม ท ริก ซ์
ก า ร คู ณ เ ม ท ริก ซ์

เมทริกซ์จะบวกลบกันได้เมื่อมีมิติ เมทริกซ์คู่หนึ่งจะคูณกันได้เมื่อ
เดียวกัน และจะบวกลบกันเฉพาะ จำนวนหลักของตัวตั้ง เท่ากัน
ตำแหน่งของตัวเอง จำนวนแถวของตัวคูณ
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเมทริกซ์ที่มี
จำนวนแถว=ตัวตั้ง และ
จำนวนหลัก=ตัวคูณ

Minor-Cofactor-Adjoint

ไมเนอร์ (MINOR)

det ที่ได้จากการตัดแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A

โคแฟกเตอร์ (COFACTOR)

มีค่าเท่ากับ -1 ยกกำลัง i+j คูณกับค่า ไมเนอร์ ของ
สมาชิก แถวที่ i และ หลักที่ j

แอดจอยท์ (ADJOINT)

เมทริกซ์ทรานสโพสของโคแฟกเตอร์ทุกตำแหน่งใน A

การหา det โดยใช้ Cofactor

การหา det โดยใช้ Cofactor เป็นวิธีการที่สามารถใช้ได้
กับเมทริกซ์จัตุรัสทุกขนาด

เช่น หา DET ของ 329 โดยใช้ COFACTOR
1 -5 7
-2 4 6

ขั้นที่ 1 เลือกหลักใดหลักหนึ่งหรือแถวใดแถวหนึ่งขึ้นมา ในที่นี้จะเลือกแถวที่ 3

ขั้นที่ 2 ค่า det จะได้จากการหาผลคูณของสมาชิกทุกตัวในแถวที่3

กับโคแฟกเตอร์ ณ ตำแหน่งนั้นๆ แล้วนำมาบวกกัน

เขียนได้ว่า det = a31 x C31(A) + a32 x C32(A) + a33 x C33(A)

แทนค่า det = (-2)x(-1)^3+1 x 29 + 4x(-1)^3+2 x 39 + 6x(-1)^3+3 x 32
-5 7 17 1 -5

คิดเลข det = (-2) x (14 + 45) - 4 x (21 - 9) + 6 x (-15 - 2)

.จะได้ det = -268
เมื่อ " เลือกแถว " แล้วลองเปลี่ยนไป " เลือกหลัก " ดูบ้าง เพื่อตรวจสอบ
ว่าจะได้ det เท่ากันหรือไม่

อินเวอร์สของเมทริกซ์


ถ้า A เป็นอินเวอร์สที่มีมิติ n x n ถ้ามีเมตริกซ์ B ซึ่งทำให้ AB = BA = In แล้วจะกล่าวได้ว่า B

เป็นอินเวอร์สของเมตริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A-1
นั่นคือ B = A-1 และ AA-1 =A-1A = In



การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2X2

ดีเทอร์มิแนนต์ (DETERMINANT)

ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส
จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ lAl

ดีเทอร์มิเเนนต์ของเมทริกซ์มิติ 2×2

ถ้า A = ab แล้ว det A = ad - bc
cd

ดีเทอร์มิเเนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3×3

gec hfa idb

det A = (aei + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb)

ให้จำไว้ว่า det = ลบ = ล่าง - บน

aei bfg cdh

Row Operation

ให้ A เป็นเมทริกซ์มีมิกติารmดำxเnนินเรก
าาเรรีตยกามกแรถะบววนการต่อไปนี้ว่าเป็น

1. สลับแถวที่ i กับแถวที่ j ( เขียนแทนด้วย Rij )

≠2. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c 0 ( เขียนแทนด้วย cRi )
3. เปลี่ยนแถวที่ i โดยนำค่าคงตัว c คูณกับแถวที่ j แล้วบวกกับแถวที่ i
( เขียนแทนด้วย Ri + cRj )
4. กระบวนการจะสิ้นสุดเมื่อเราได้เมทริกซ์ในรูปแบบ 100
010
001

ตัวอย่าง Row Operation แบบ Ri + cRj

100 -2R1 + R2 100
210 010
321 321

-3R1 + R3 100
010
021

-2R2 + R3 100
010
001

ตัวอย่าง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ Row Operation

x + 1z = 1
2x + y = 2
x-y+z=3

เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการ

x + 1z = 1 เป็น 1x + 0y + 1z = 1
และ 2x + y = 2 เป็น 2x + 1y + 0z = 2
และ x - y + z = 3 เป็น 1x - 1y + 1z = 3

จะได้
1x + 0y + 1z = 1
2x + 1y + 0z = 2
1x - 1y + 1z = 3

จะได้ว่า -R1 + R3 101 1
-R3 210 2
101 1 0 -1 0 2
210 2 101 1
1 -1 1 3 210 2
0 1 0 -2
-R3 + R2 101 1
200 4
-1/2 R2 0 1 0 -2
101 1
-R2 + R1 100 2
0 1 0 -2
R1 R2 0 0 1 -1
100 2
R2 R3 0 1 0 -2
100 2
ดังนั้น x = 2 , y = -2 , z = -1 0 0 1 -1
0 1 0 -2
100 2
0 1 0 -2
0 0 1 -1

กฎของคราเมอร์

จากระบบสมการ

a1x + b1z + c1z = k1
a2x + b2y + c2z = k2
a3x + b3y + c3z = k3

เราสามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ได้ดังนี้

a1 b1 c1 x k1
a2 b2 c2 y k2
a3 b3 c3 z k3

โดยจะได้ว่า

k1 b1 c1 a1 k1 c1 a1 b1 k1
k2 b2 c2 a2 k2 c2 a2 b2 k2
k3 b3 c3 a3 k3 c3 a3 b3 k3

x= , y= , z=

a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3

หลักการ
1. นำเมทริกซ์ค่าคงที่แทนลงในหลักที่ 1 , 2 , 3 เพื่อหา x , y , z ตามลำดับ
2. ตัวส่วน คือ det ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

THANK YOU