INTEGRAL

INTEGRAL
parsial

Nazla Laila Ramadhani Masna
Diana Fahrunnisa Vera Hamidah
Maydina Deriana

KATA PENGANTAR

Buku sebagai salah satu sumber pembelajaran mempunyai peranan yang
penting dalam meningkatkan sumber daya manusia khususnya peserta didik.
Dengan buku, peserta didik dapat mengikuti kegiatan belajar mengajar dengan baik
dan siswa mampu memahami materi dengan lebihmudah.

Untuk meningkatkan keterampilan siswa dalam berpikir kritis, kreatif, dan
sistematis dalam memecahkan masalah pengoprasian integral serta aplikasi dalam
kesehariannya, kami lengkapi buku ini dengan contoh soal dan Uji kompetensi.
Kami berharap buku ini dapat membimbing para siswa menerapkan berbagai
konsep untuk mengembangkan materi integral.

Sesuai kata orang bijak, tidak ada yang sempurna dalam hidup begitupun
dengan buku ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun dari
para pembaca untuk memperbaiki mutu buku berikutnya sangat kami harapkan.

Sibolga, Desember2020

Penulis

1

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .....................................................................................................................1
DAFTAR ISI..................................................................................................................................2
BAB I...........................................................................................................................................3

PENDAHULUAN ...................................................................................................................... 3
BAB II..........................................................................................................................................4

PEMBAHASAN ........................................................................................................................4
DEFINISI INTEGRAL PARSIAL ..............................................................................................4
RUMUS INTEGRALPARSIAL ................................................................................................6
Contoh Integral Parsial.......................................................................................................8

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................................10

2

BAB I
PENDAHULUAN

Integral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian fungsi, tetapi
tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. Integral parsial memiliki dua variabel
pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua
perkalian bilangan yang akan diintegralkan. Bilangan tersebut memiliki perkalian integral
khusus yang tidak dapat digunakan pada integral subtitusi.

Berikut ini adalah rumus dari integral parsial :

d.(uv) = u.dv +v.du
u.dv = d.(uv) –v.du
∫u.dv = ∫d.(uv) - ∫v.du = u.v - ∫v.du

Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan
(u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v).
Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral
parsial sehingga nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v)
dikurangi integral (v) dikali (du).

Integral parsial ditandai dengan adanya fungsi yang jika diturunkan terus akan bernilai nol
sehingga dalam hal ini hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan sedangkan yang lain
diturunkan. Integral parsial digunakan ketika integral suatu fungsi tidak dapat diselesaikan
dengan metode anti turunan sesuai defenisinya. Integral parsial umumnya digunakan pada
integral hasil kali dua fungsi yang secara umum berbentuk . Integral parsial ditandai dengan
pemisalan salah satu fungsinya dan , sehingga dihasilkan bentuk lain yang biasanya disimbolkan
dengan .Beberapa buku mungkin menggunakan simbol yang berbeda tetapi prinsipnya tetap
sama.Prinsipnya adalah menurunkan salah satu fungsi yang jika diturunkan terus akan bernilai
nol sedangkan fungsi lain diintegralkan.

Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan
(u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v).
Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral
parsial sehingga nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi
integral (v) dikali (du).

Integral parsial ditandai dengan adanya fungsi yang jika diturunkan terus akan bernilai
nol sehingga dalam hal ini hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan sedangkan yang lain
diturunkan. Integral parsial digunakan ketika integral suatu fungsi tidak dapat diselesaikan
dengan metode anti turunan sesuai defenisinya. Integral parsial umumnya digunakan pada
integral hasil kali dua fungsi yang secara umum berbentuk . Integral parsial ditandai dengan
pemisalan salah satu fungsinya dan , sehingga dihasilkan bentuk lain yang biasanya
disimbolkan dengan .Beberapa buku mungkin menggunakan simbol yang berbeda tetapi
prinsipnya tetap sama.Prinsipnya adalah menurunkan salah satu fungsi yang jika diturunkan
terus akan bernilai nol sedangkan fungsi lain diintegralkan.

3

BAB II
PEMBAHASAN

DEFINISI INTEGRAL PARSIAL

Integral merupakan konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika
bersama inversnya diferensial, integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah
dalam diferensial dimana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah
yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi, sehingga integral juga disebut dengan
antiderivatif atau anti turunan. Dalam Pengaplikasiannya sendiri integral banyak ditemukan
pada bidang-bidang lainnya, terutama ilmu fisika maupun teknik.

Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi
yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan).
Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan
dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial.

Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan
dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari
kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v). Bilangan fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan
yang sangat penting dalam integral parsial.

Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir
sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep penyederhanaan
integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral parsial menyederhanakan
fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk
membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial.

Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal integral tak tentu
maupun integral tentu pada umumnya yakni: menggunakan teorema dasar kalkulus, metode
substitusi, menggunakan integral parsial, dan beberapa soal integral khusus yang dikerjakan
menggunakan fungsi transenden (Varberg, Purcell, & Rigdon, 2010).

Untuk menentukan metode yang tepat dalam menyelesaikan soal kalkulus integral tentu
saja soal harus diidentifikasi terlebih dahulu (Saparwadi,2015).

Mengidentifikasi suatu masalah (soal) dan dapat memberikan contoh dan bukan contoh, serta
mengembangkan ide-ide sehingga terbangun pemahaman secara menyeluruh termasuk dalam
suatu kemampuan matematis, yakni pemahaman konsep (Depdiknas, 2006).

Ketika mahasiswa sudah memiliki kemampuan pemahaman konsep yang baik, maka
selanjutnya mereka sudah dapat menentukan prosedur atau metode yang mana yang paling
tepat digunakan dalam mengidentifikasi penyelesaian soal yang akan dikerjakan (Kesumawati,
2008).

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, mungkin saja dapat menggunakan substitusi
ganda (double subtitution), yang lebih dikenal sebagai integrasi parsial atau integral parsial.

4

Integral parsial adalah kaidah yang mengubah integral perkalian dua fungsi menjadi bentuk
lain, yang diharapkan lebih sederhana. Kaidah ini berasal dari kaidah darab pada kalkulus
diferensial. Kaidah darab (Bahasa Inggris: product rule), atau sering disebut hukum Leibniz,
adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) dua fungsi yang
terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:

(f g)’ = f’ g + f g’

atau dalam notasi Leibniz:

Integral parsial memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat
membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan. Bilangan tersebut
memiliki perkalian integral khusus yang tidak dapat digunakan pada integral subtitusi.

Ciri-Ciri Integral Parsial

Cara paling mudah untuk mengetahui ciri – ciri dari soal integral parsial adalah pemakaian
perkalian beda fungsi dalam soal integralnya. Antara lain ; perkalian suku banyak dengan suku
banyak, perkalian fungsi aljabar dengan fungsi trigonometri perkalian suku banyak dengan
bentuk akar, bahkan perkalian yang melibatkan basis logaritma natural .

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain
yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan.
Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah konsep
integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

\frac{dy}{dx}=V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)
dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx
Jika y diganti UV maka:

d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx

Karena diketahui bahwa U' (x) dx = dU dan V' (x) dx = dV, maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus ntegral parsial:

\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU

Perlu diperhatikan untuk memilih U dan dV yang tepat agar pengintegralan memberikan hasil.
(dV) harus dipilih yang dapat diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

5

RUMUS INTEGRAL PARSIAL

Integral parsial memiliki rumus umum seperti :

Dimana dalam rumus diatas kita harus memilih salah satu fungsi (u) pada soal dan
fungsi sisanya sebagai (dv). Saat mengerjakan integral parsial, kita perlu memilih fungsi (u)
yang tepat dengan syarat (u) diturunkan hasil turunannya akan lebih sederhana dari (u) sendiri.
Contoh-contohnya untuk turunan dibawah ini :
1. F(x) = ln x → F(x)’ = 1/x
2. F(x) = x2 → F(x)’ = 2x
3. F(x) = e2x → F(x)’ = 2.e2x

Turunan (u) diatas akan digunakan dalam rumus integral parsial ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du .
Dengan (u) sebagai F(x) dan (du) sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita
memilih fungsi (dv) dengan syarat (dv) diintegralkan sehingga membentuk (v). Contoh-
contohnya untuk integral dibawah ini :
1. ∫ 3x2 = (3/3).x3 → x3 +C
2. ∫ sin x = cos x + C

Setelah menemukan turunan (u) menjadi (du) dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan
siap dimasukan ke dalam rumus integral parsial. Sebagai contoh perhatikan soal contoh
dibawah ini:
1. ∫ x2.(x + 3)2 = ∫ x2 . (x2 + 6x +9)
Untuk (u) kita mengambil fungsi x2 dan (dv) adalah (x + 3)2 atau (x2 + 6x + 9) sehingga :
(u) = x2 → (du) = 2x
(dv) = (x+3)2 = (x2 + 6x + 9) → (v) = (1/3 x3 + 3x2 + 9x)

Setelah menemukan (u), (du), (dv), dan (v) soal siap untuk dimasukan ke dalam
rumus integral parsial menjadi:
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
∫ x2.(x+3)2 = (x2). (1/3 x3 + 3x2 + 9x) - ∫ (1/3 x3 + 3x2 + 9x). (2x)
∫ x2.(x+3)2 = (1/3 x5 + x4 + 9x3) - ∫ (2/3 x4 + 6x3 + 18x2)
∫ x2.(x+3)2 = (1/3 x5 + x4 + 9x3) – (10/3 x5 + 3/2 x4 + 6x3)
∫ x2.(x+3)2 = (- 9/3 x5 – 3/2 x4 +3x3)

Jadi integral parsial dari ∫ x2.(x+3)2 hasilnya (- 9/3 x5 – 3/2 x4 +3x3)

Berikut ini adalah penurunan rumus dari integral parsial :

d.(uv) = u.dv +v.du

u.dv = d.(uv) –v.du

∫u.dv = ∫d.(uv) - ∫v.du = u.v -∫v.du

Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan
(u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v).

6

Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral
parsial. Diperoleh nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v)
dikurangi integral (v) dikali (du).

Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir
sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep penyederhanaan
integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral parsial menyederhanakan
fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk
membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial.

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan

integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi

ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

Perhatikan uraian berikut.
Misalnya, ‫ݒ ∙ݑ =ݕ‬dengan ‫ݕ‬, ‫ݑ‬, dan ‫ݒ‬fungsi dari ‫ݔ‬, maka

݀‫ݕ‬
݀‫ݑ =ݔ‬Ԣή ‫ݒ‬+ ‫ݑ‬. ‫ݒ‬Ԣ

݀‫ݑ݀ ݕ‬ ݀‫ݒ‬
݀‫ݔ݀ =ݔ‬ή‫ ݒ‬+ ‫ݑ‬ή݀‫ݔ‬

݀‫ ݕ‬1
݀‫ݑ݀ݒ(ݔ݀ =ݔ‬+ ‫ݒ)݀ݑ‬

݀‫ݑ݀ݒ =ݕ‬+ ‫ݒ݀ݑ‬

݀‫ݑ݀ݒ =ݕ‬+ ‫ݒ݀ݑ‬
‫݀ݒ =ݕ‬+‫ݒ݀ݑ ݑ‬
‫݀ݒ =ݒݑ‬+‫ݒ݀ݑ ݑ‬
‫ݒݑ =ݒ݀ݑ‬− ‫ݑ݀ݒ‬
Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral parsial adalah

sebagai berikut.

‫ݒݑ =ݒ݀ݑ‬െ‫ݑ݀ ݒ‬

7

Contoh IntegralParsial
Tentukan,

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan integral
tersebut ke dalam
Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita untuk memilih pilihan
pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang

paling rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral.
Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

Untuk memeriksa hasil pengintegralan ini, kita dapat menurunkan hasil tersebut untuk
mendapatkan integran aslinya.

8

Catatan
Pada contoh 1 di atas kita tidak perlu menuliskan konstanta ketika menyelesaikan

Untuk mengilustrasikan hal ini, cobalah mengganti v = exdengan v = ex+ C1 kemudian terapkan
proses integral parsial untuk melihat bahwa kamu akan mendapatkan hasil yang sama.

Contoh Soal 2
Tentukan hasil dar i
Pembahasan 2:
Misalkan trigonometrinya adalah:

Nilai dan dan .
Sehingga:

Dengan segitiga diatas, nilai sec dan tan bisa diketahui. Sehingga:

9

Video pendukung yang dapat diakses untuk ateri integral parsial ini sebagai berikut
https://youtu.be/TvoOlw9BYZE

UJI KOMPETENSI INTEGRAL PARSIAL

1. Diketahui fungsi f(x) adalah fungsi genap, Jika
nilai 5∫−5(f(x)+3x2)dx=260 dan 4∫2f(x)dx=2 maka nilai 2∫0f(x) dx+5∫4f(x) dx=‫ڮ‬

2. Diketahui f(−x)=f(x)−3 dan x>0.
Jika 5∫1f(x) dx=2 dan 5∫3f(x) dx=−3 maka −1∫−3f(x) dx=‫ڮ‬

3. Diberikan fungsi ff dengan f(x+3)=f(x)f(x+3)=f(x) untuk tiap xx.
Jika 6∫−3f(x) dx=−6∫−36f(x) dx=−6, maka 9∫3f(x) dx=

4. Jika b∫af′(x) f(x)dx=10∫abf′(x) f(x)dx=10 dan f(a)=2+f(b)f(a)=2+f(b), nilai f(b)=

5. Jika 2∫1f(x) dx=√ 2 ∫12f(x) dx=2, maka nilai 4∫11√ x f(√ x ) dx∫141xf(x) dx adala...

CATATAN :

1. Pada soal nomor 1

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

• Berlaku f(−x)=f(x)f(−x)=f(x)
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu yy
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah a∫−af(x)dx=2a∫0f(x)dx

2. Pada soal nomor 2 Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang integral tentu;
b∫af(x) dx=−a∫bf(x) dx∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx
b∫af(−x)dx=−−b∫−af(x)dx∫abf(−x)dx=−∫−a−bf(x)dx

b∫af(x) dx+c∫bf(x) dx=c∫af(x) dx

3. Pada soal nomor 3

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
• b∫af(x) dx+c∫bf(x) dx=c∫af(x) dx∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx

10

• Jika ff periodik dengan periode pp,
maka b+p∫a+pf(x)dx=b∫af(x)dx∫a+pb+pf(x)dx=∫abf(x)dx
′′Suatu fungsi ff adalah periodik jika terdapat suatu bilangan pp sedemikian
sehingga f(x+p)=f(x)f(x+p)=f(x)′

4. Pada soal nomor 4
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan u=f(x)u=f(x), sehingga
beberapa persamaan yang kita peroleh, yaitu:
u=f(x)dudx=f′(x)du=f′(x) dx

5. Pada soal nomor 5
2∫1f(x) dx=√ 2 [F(x)]21=√ 2 F(2)−F(1)=√ 2 ∫12f(x) dx=2[F(x)]12=2F(2)−F(1)=2

11

DAFTAR PUSTAKA

http://camincamin.blogspot.com/2016/11/makalah-integral-
parsial.htmlhttp://faizprakoso.blogspot.com/2013/06/makalah-integral-
parsial.html
https://www.studiobelajar.com/integral-substitusi-parsial/
https://www.defantri.com/2017/09/matematika-dasar-integral-fungsi.html
https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-integral-parsial/
https://docplayer.info/79725797-Integral-parsial-dengan-teknik-turin-
mintarjo-smk-negeri-2-gedangsari-gunungkidul.html
https://www.google.com/search?q=uji+kompetensi+integral+parsial&oq=
uji+kom&aqs=chrome.0.69i59j69i57j0i433j0l5.3126j0j7&sourceid=chro
me&ie=UTF-8
https://www.academia.edu/40474973/MATERI_INTEGRAL_Untuk_SM
A_MA_Kelas_XII_Integral_Aljabar_Integral_Fungsi_Trigonometri_Inte
gral_Tak_Tentu_Integral_Tertentu

12

13