เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เซต

เอกสารประกอบการเรยี น

เซตเรอ่ื ง... รายวิชาคณติ ศาสตร 7
(ค 31101)

ชอ งทางการตดิ ตอ

THIS WEEK 2X1$ ครผู สู อน
นางสาวกนกพร รตั นะอุดม

นางสาว...........................นามสกุล........................
ชัน้ ม. 4/................ เลขท.่ี ..............

เซต

ความหมายของเซต

ในวชิ าคณติ ศาสตร์ ใชค้ ำว่า เซต ในการกล่าวถงึ กลุ่มของสงิ่ ต่าง ๆ

และเมอ่ื กล่าวถงึ กลุ่มใดแล้ว สามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอย่ใู นกลมุ่ และส่ิงใดไม่อยใู่ นกลุ่ม

เรียก สง่ิ ที่อยู่ในเซต วา่ สมาชิก

เช่น ให้ A แทน เซตของพยญั ชนะภาษาไทย

จะได้ ก เป็นสมาชกิ ของ A หรอื ก อยใู่ น A หรอื ก ∈ A

? ไมเ่ ปน็ สมาชิกของ A หรือ ? ไมอ่ ย่ใู น A หรอื ? ∉ A

พ A หรอื พ A หรอื พ A

m A หรือ m A หรอื m A

ไ A หรอื ไ A หรือ ไ A

เซต ช่วยในการกล่าวถงึ กลุ่มของสิ่งท่ีสนใจทำได้สะดวก รวมถึงสามารถดำเนนิ การไดอ้ ย่างเป็นระเบียบชัดเจน
ซง่ึ ในการศกึ ษาวชิ าคณิตศาสตร์ต่อจากนี้ไป จะอาศัยความร้เู ร่อื งเซตเป็นพน้ื ฐานในการเรยี นร้เู สมอ

การเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิก
ใหเ้ ขียนสมาชกิ ทีละตัวภายในวงเลบ็ ปกี กาและค่ันระหว่างสมาชิกแต่ละตวั ดว้ ยจลุ ภาค
เชน่ ให้ B แทนเซตของช่อื วันในแต่ละสปั ดาห์เปน็ ภาษาไทย
จะได้ B = { อาทติ ย,์ จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ }
เชน่ ให้ C แทนเซตของจำนวนนบั ทไ่ี ม่เกิน 10

จะได้ C =

การแจกแจงสมาชิกภายในเซตนั้น จะไม่คำนึงถึงลำดับก่อนหลัง สิ่งเดียวที่เราต้องคำนึงก็คือ สมาชิกตัวนั้น
อยใู่ นเซตหรอื ไม่ (หรือมอี ะไรบ้างท่ีอยูใ่ นเซตน้ัน) การสลบั ทีส่ มาชิกในเซตจึงไมท่ ำให้เกิดการเปล่ียนแปลงใด ๆ
เชน่ {1, 2, 3} เท่ากบั {3, 2, 1} และเท่ากบั {2, 1, 3}
ในการแจกแจงสมาชิก หากพบสมาชิกตัวทีป่ รากฏซ้ำจะนับเป็นสมาชิกตัวเดียวกัน ซึ่งโดยหลักไม่ควรเขยี นซำ้
เช่น {1, 2, 3} เท่ากบั {1, 2, 3, 3, 3} และเทา่ กบั {1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1}
เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมอื่ มจี ำนวนสมาชิกเทา่ กันและสมาชิกแต่ละตัวของเซตหน่ึงต้องอยู่ในอีกเซตหน่ึงด้วย
หรอื เซตสองเซตจะเท่ากันได้ กเ็ มอื่ สองเซตนน้ั เป็นเซตเดียวกัน
หากเซตมีสมาชิกเป็นจำนวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด 3 จุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ
ไมต่ ้องแสดงใหเ้ ห็นครบทุกตวั
เชน่ ให้ D แทนเซตของจำนวนนบั ทไี่ ม่เกนิ 100
จะได้ D = { 1, 2, 3, ... , 100 }
เช่น ให้ E แทนเซตของจำนวนนบั ที่ไมเ่ กิน 999

จะได้ E =

เชน่ ให้ F แทนเซตของจำนวนนับ

จะได้ F =

2 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รตั นะอุดม (ครเู ก)๋

แบบฝกึ หัดที่ 1
จงเติมเคร่ืองหมาย ∈ หรอื ∉ ลงในชอ่ งว่างใหถ้ กู ตอ้ ง

1. 3 { 123 }

2. 3 { 1, 2, 3 }

3. 33 { 1, 2, 3 }

4. 33 { 1, 3, 5, ... , 99 }

5. 33 { 50, 49, 48, ... }

6. {3} { 1, 2, 3 }

7. {3} { {1, 2, 3} }

8. {3} { {1}, {2}, {3} }

9. 0 { 1, 2, 3, ... }

10. 0 { -1, -2, -3, ... }

แบบฝึกหัดที่ 2
จงเขียนเซตทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของสระในภาษาอังกฤษ

2. เซตของเลขโดด

3. เซตของจำนวนนบั ทีน่ ้อยกว่า 5

4. เซตของจำนวนเต็มที่นอ้ ยกว่า 5

5. เซตของจำนวนเตม็ ลบทม่ี ากกวา่ -5

6. เซตของจำนวนนบั ทห่ี ารดว้ ย 5 ลงตัว

7. เซตของจำนวนเต็มบวก

8. เซตของจำนวนเต็มลบ

9. เซตของจำนวนเตม็ คู่

10. เซตของจำนวนเต็มคี่

ครูกนกพร รตั นะอดุ ม (ครเู ก๋) คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 3

การเขยี นแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก
เป็นการเขยี นเซตในรูป { ตัวแปรแทนสมาชิก | เงอื่ นไขหรือลักษณะของตวั แปรน้ัน ๆ }
และอา่ นไดว้ ่า “เซตของ (ตวั แปร) โดยที่ (เงอื่ นไขหรอื ลักษณะ)”
เชน่ ให้ A แทน เซตของพยญั ชนะภาษาไทย
จะได้ A = { x | x เป็นพยัญชนะภาษาไทย }
เชน่ ให้ B แทนเซตของช่อื วันในแต่ละสัปดาห์เปน็ ภาษาไทย

จะได้ B = { x | x }
เช่น ให้ C แทนเซตของจำนวนนบั ทไ่ี ม่เกิน 10

จะได้ C = { x | }
เช่น ให้ D แทนเซตของจำนวนนับทไ่ี ม่เกนิ 100

จะได้ D = { x | }

เชน่ ให้ E แทนเซตของจำนวนนบั ทไ่ี มเ่ กิน 999

จะได้ E = { y | }
เช่น ให้ F แทนเซตของจำนวนนับ

จะได้ F = { }

นอกจากนี้ เพือ่ ความสะดวก เรานยิ มใชส้ ัญลักษณ์แทนเซตที่พบบ่อย ดงั นี้
ℕ แทน เซตของจำนวนนับ = { 1, 2, 3, ... }
ℤ แทน เซตของจำนวนเตม็ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
ℤ+ แทน เซตของจำนวนเตม็ บวก = { 1, 2, 3, ... }

ℤ− แทน เซตของจำนวนเต็มลบ = { }

ℚ แทน เซตของจำนวนตรรกยะ (จำนวนจริงท่ีเขยี นในรปู เศษส่วนของจำนวนเต็มได้)

ℚ+ แทน

ℚ− แทน

ℚ′ แทน เซตของจำนวนอตรรกยะ (จำนวนจริงทีเ่ ขยี นในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มไมไ่ ด้)
ℝ แทน เซตของจำนวนจริง

ℝ+ แทน

ℝ− แทน

จะทำใหก้ ารเขยี นเซตแบบบอกเง่อื นไขของสมาชิกทำได้สะดวกย่งิ ข้นึ เช่น }
เชน่ ให้ C แทนเซตของจำนวนนบั ทไ่ี มเ่ กนิ 10 }
จะได้ C = { x ∈ ℕ | x ≤ 10}
เช่น ให้ D แทนเซตของจำนวนนบั ที่ไมเ่ กนิ 100

จะได้ D = { x ∈ |
เช่น ให้ E แทนเซตของจำนวนนบั ท่ีไมเ่ กนิ 999

จะได้ E = {

4 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครูเก๋)

แบบฝึกหัดท่ี 3 }
จงเขียนเซตท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก }
}
1. { x ∈ ℕ | x < 5 } = }
}
2. { x ∈ ℕ | 5 < x < 9 } = }
}
3. { x ∈ ℕ | 5 ≤ x ≤ 9 } = }
}
4. { x ∈ ℕ | 5 < x ≤ 9 } = }

5. { x ∈ ℕ | 5 ≤ x < 9 } =

6. { x ∈ ℤ | x < 3 } =

7. { x ∈ ℤ | x > 3 } =

8. { x ∈ ℤ | x < -3 } =

9. { x ∈ ℤ | x > -3 } =

10. { x ∈ ℤ | -5 < x < 5 } =

11. { x ∈ ℤ+ | -5 < x < 5 } =

12. { x ∈ ℤ− | -5 < x < 5 } =

แบบฝกึ หัดที่ 4
จงเขียนเซตทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปน้ีแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

1. { 1, 2, 3, 4, 5 } ={x∈ |

2. { 2, 4, 6, 8, 10 } ={x∈ |

3. { 1, 2, 3, 4, 5, ... , 99 } = { x ∈ |

4. { 6, 7, 8, 9, 10, ... } ={x∈ |

5. { 10, 9, 8, 7, 6, ... } ={x∈ |

6. { -5, -6, -7, -8, -9, ... } = { y ∈ |

7. { -13, -12, -11, ... } ={y∈ |

8. { ... , -4, -2, 0, 2, 4, ... } = { |

9. { 7, 14, 21, 28, ... } = {

10. { ... , -5, -3, -1 } ={

ครกู นกพร รัตนะอุดม (ครูเก๋) คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 5

เอกภพสัมพัทธ์
ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ (ในแต่ละโจทย์ปัญหา) เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย ใช้สื่อความหมายว่า
“สมาชิกทกุ ตัวของเซตทกุ ๆ เซต (ในโจทย์ขอ้ น้ัน) จะต้องอยูภ่ ายใน และเป็นท่ีตกลงกันว่าจะไม่สนใจสิ่งอื่น
ทีไ่ ม่ได้อยใู่ น
เช่น ให้ = { 1, 2, 3, ... , 10}

ให้ G = { x | x < 5 } จะเขยี น G แบบแจกแจงสมาชกิ ได้วา่ { 1, 2, 3, 4 }

ให้ H = { x | x ≥ 8 } จะเขยี น H แบบแจกแจงสมาชิกได้ว่า
แตถ่ ้าโจทย์ปัญหาไมไ่ ดร้ ะบุเอกภพสมั พัทธก์ ำกับไว้ ในระดับช้นั น้ีให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คอื เซตของจำนวนจรงิ

แบบฝึกหดั ที่ 5

จงเติมเครอ่ื งหมาย ∈ หรือ ∉ ลงในชอ่ งวา่ งให้ถูกตอ้ ง

1. 0 ℕ

2. 0 ℤ

3. 0 ℤ+

4. 0 ℤ−

5. 0 ℚ

6. 0 ℚ+

7. 0 ℚ−

8. 0 ℝ

9. 0 ℝ+

10. 0 ℝ−

11. 5 {x∈ℕ|1≤x≤9}

12. 5 {x∈ℤ |1≤x≤9}

13. 5 {x∈ℚ|1≤x≤9}

14. 5 {x|1≤x≤9}

15. -5 {x∈ℕ|1≤x≤9}

16. -5 {x∈ℤ |1≤x≤9}

17. -5 {x∈ℚ|1≤x≤9}

18. -5 {x|1≤x≤9}

19. 5.5 {x∈ℕ|1≤x≤9}

20. 5.5 {x∈ℤ |1≤x≤9}

21. 5.5 {x∈ℚ|1≤x≤9}

22. 5.5 {x|1≤x≤9}

23. π {x∈ℕ|1≤x≤9}

24. π {x∈ℤ |1≤x≤9}

25. π {x∈ℚ|1≤x≤9}

26. π {x|1≤x≤9}

6 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รตั นะอุดม (ครูเก)๋

แบบฝกึ หดั ท่ี 6
จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนีว้ ่าเปน็ จรงิ หรือเท็จ

1. 3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. 3 ∈ {2, 4, 6}
3. 50 ∉ {10, 20, 30, ... , 100}
4. 50 ∉ {1, 3, 5, ... , 99}
5. 3 ∈ { x ∈ ℤ | 1  x  3 }
6. 3 ∈ { x ∈ ℤ | 1  x ≤ 3 }
7. 2.5 ∈ { x ∈ ℤ | 1  x  3 }
8. 2.5 ∈ { x | 1  x  3 }
9. 3 ∈ { x ∈ ℤ | x  -5 }
10. -3 ∈ { x ∈ ℤ | x  -5 }
11. 1.414 ∈ { x ∈ ℤ | 1  x  2 }
12. 1.414 ∈ { x ∈ ℚ | 1  x  2 }
13. 1.414 ∈ { x ∈ ℚ′ | 1  x  2 }
14. 1.414 ∈ { x | 1  x  2 }
15. √2 ∈ { x ∈ ℤ | 1  x  2 }
16. √2 ∈ { x ∈ ℚ | 1  x  2 }
17. √2 ∈ { x ∈ ℚ′ | 1  x  2 }
18. √2 ∈ { x | 1  x  2 }
19. √9 ∈ { x ∈ ℤ | 1  x  5 }
20. √9 ∈ { x ∈ ℚ | 1  x  5 }
21. √9 ∈ { x ∈ ℚ′ | 1  x  5 }
22. √9 ∈ { x | 1  x  5 }
23. -3 ∈ { x | x เป็นคำตอบของสมการ x2 = 9 }

24. -3 ∈ { x ∈ ℕ | x เป็นคำตอบของสมการ x2 = 9 }

25. 3 ∈ { x | x = 2n เมอ่ื n ∈ ℤ }

26. 3 ∈ { x ∈ ℕ | x = 2n เม่อื n ∈ ℤ }

ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก๋) คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 7

จำนวนสมาชกิ
เซตทมี่ จี ำนวนสมาชกิ เปน็ จำนวนนบั หรอื ศูนย์ เรียกว่า เซตจำกดั และใช้ n(X) แทน “จำนวนสมาชกิ ของ X”

เช่น จากตัวอย่างทผี่ า่ นมา จะได้ n(A) = 44, n(B) = 7, n(C) = , n(D) = และ n(E) =
เซตทเี่ ล็กท่สี ุดทีเ่ ป็นไปได้ คือ เซตทีไ่ ม่มีสมาชิกใด ๆ อยูเ่ ลย เรยี กว่า เซตว่าง เขียนแทนดว้ ย { } หรือ ∅
เซตวา่ งถอื เปน็ เซตจำกัดเช่นกนั เพราะสามารถหาจำนวนสมาชิกได้ คอื n(∅) = 0
ส่วนเซตที่จำนวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ (มีจำนวนมากจนนับไม่ถ้วน เขียนแจกแจงสมาชิกได้ไม่สิ้นสุด)
จัดเปน็ เซตอนันต์ เช่น จากตัวอย่างทีผ่ า่ นมา F เป็นเซตอนนั ต์

แบบฝกึ หดั ที่ 7

จงระบวุ ่าเซตตอ่ ไปน้ีเปน็ เซตอนันตห์ รือเซตจำกัด ถ้าเปน็ เซตจำกดั ใหร้ ะบจุ ำนวนสมาชกิ ด้วย

1. { 1, 3, 5, 7, 9 } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกดั ทีม่ สี มาชิก ตวั

2. { 2, 4, 6, ... , 50 } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกดั ท่มี ีสมาชกิ ตวั

3. { 1, 2, 3, 4, ... } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกดั ที่มสี มาชิก ตวั

4. ∅ เป็น  เซตอนนั ต์  เซตจำกดั ทม่ี ีสมาชกิ ตวั

5. { ∅ } เปน็  เซตอนนั ต์  เซตจำกดั ทม่ี ีสมาชกิ ตวั

6. { x | x เปน็ เดือนทมี่ ี 30 วัน } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกดั ที่มสี มาชกิ ตวั

7. { x ∈ ℕ | x  100 } เป็น  เซตอนนั ต์  เซตจำกดั ที่มีสมาชกิ ตวั

8. { x ∈ ℤ | x  100 } เปน็  เซตอนนั ต์  เซตจำกดั ทีม่ ีสมาชิก ตวั

9. { x ∈ ℤ | 1  x  2 } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกัดที่มสี มาชกิ ตวั

10. { x ∈ ℝ | 1  x  2 } เปน็  เซตอนันต์  เซตจำกดั ทม่ี ีสมาชกิ ตวั

11. { x ∈ ℕ | x2 = 4 } เปน็  เซตอนนั ต์  เซตจำกัดท่ีมสี มาชิก ตวั

12. { x ∈ ℤ | x2 = 4 } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกดั ที่มีสมาชิก ตวั

13. { x ∈ ℤ− | x2 = 4 } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกัดทม่ี ีสมาชกิ ตวั

14. { x ∈ ℤ+ | x + 6 = 0 } เปน็  เซตอนนั ต์  เซตจำกดั ที่มสี มาชกิ ตวั

15. { x ∈ ℤ− | x < 4 } เป็น  เซตอนันต์  เซตจำกัดทม่ี ีสมาชิก ตวั

8 เซต - คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) ครกู นกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก)๋

แบบฝกึ หัดท่ี 8
จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้
1. A = { 1, 2, 3 }

B = { 2, 1, 3 }

n(A) = n(B) = ดังนน้ั A B
B
2. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B
B = { x ∈ ℤ+ | x < 6 } B
B
n(A) = n(B) = ดงั นัน้ A B
B
3. A = { 2, 4, 8 } B
B = { a, b, c }

n(A) = n(B) = ดงั นั้น A

4. A = { 23 }
B = { 2, 3 }

n(A) = n(B) = ดงั นั้น A

5. A = { 1, 2, 3, ... , 10 }
B = { 11, 12, 13, ... , 20 }

n(A) = n(B) = ดังนัน้ A

6. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { {1}, {2}, {3}, {4}, {5} }

n(A) = n(B) = ดงั นั้น A

7. A = { {1, 2}, {3, 4, 5} }
B = { {2, 1}, {4, 5, 4, 3, 5}, {1, 2} }

n(A) = n(B) = ดังนน้ั A

8. A = { x | x เปน็ สระของคำวา่ beetroot }
B = { x | x เปน็ สระของคำว่า reboot }

n(A) = n(B) = ดงั นน้ั A

ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก)๋ คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 9

Thinking Time

แบบทดสอบ คร้งั ท่ี 1
1. จงเขยี นเซต { x ∈ ℤ | x2 = 81 } แบบแจกแจงสมาชิก

2. จงเขยี นเซตของจำนวนเฉพาะบวกทีม่ คี า่ น้อยกว่า 20

3. จงเขยี นเซต { 3, 6, 9, 12, 15, 18 } แบบบอกเงือ่ นไขของสมาชกิ

4. จงเขียนเซต { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, ... } แบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชกิ

5. เซต { {2, 4, 6, 8, 10, ... } } มจี ำนวนสมาชิกเท่าใด

6. เซต { x ∈ ℤ | x2 < 10 } มีจำนวนสมาชิกเทา่ ใด

ใชข้ อ้ ความตอ่ ไปนี้ตอบคำถามข้อ 7 – 8
“กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, {4}, {5, 6, 7, ...} }”

7. เซต A เป็นเซตอนนั ต์หรอื เซตจำกดั ถ้าเป็นเซตจำกดั ใหร้ ะบุจำนวนสมาชกิ ด้วย

8. ข้อใดสรุปไดถ้ ูกต้อง ข) 4 ∈ A ค) {4} ∈ A ง) {{4}} ∈ A
ก) ∅ ∈ A

9. ให้ A = { x | x เปน็ พยญั ชนะในคำว่า “กรรมกร” }
B = { x | x เปน็ พยัญชนะในคำวา่ “มรรคา” }
C = { x | x เปน็ พยญั ชนะในคำวา่ “มกราคม” }
D = { x | x เปน็ พยัญชนะในคำวา่ “รากไม้” }

มีเซตคู่ใดบ้างท่เี ท่ากนั

10. ให้ A = { a, {a}, b, {a, b}, {{b}, a} } ขอ้ ใดสรุปได้ถกู ตอ้ ง

ก) {a, {a}} ∈ A ข) {a, {b}} ∈ A ค) {b, {a}} ∈ A ง) {a, b} ∉ A

10 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครกู นกพร รตั นะอุดม (ครเู ก๋)

สบั เซต
สบั เซต หรอื เซตย่อย คือเซตที่เลก็ กว่าหรอื เท่ากันกับเซตที่กำหนดให้
สญั ลกั ษณท์ ่ีใช้แทนประโยค “X เปน็ สบั เซตของ Y” คอื X  Y
จะเกิดขนึ้ ได้ กต็ ่อเมื่อ สมาชกิ ทุกตวั ของเซต X เป็นสมาชกิ ของเซต Y หรอื เม่ือ X เป็นเซตวา่ งก็ได้
เช่น เรากลา่ วว่า { 1, 2 } เป็นสับเซตของ { 0, 1, 2 } เน่ืองจากทัง้ 1 และ 2 เปน็ สมาชกิ ของ { 0, 1, 2 }

หรอื เขียนไดว้ ่า { 1, 2 }  { 0, 1, 2 }
สญั ลักษณท์ ใ่ี ช้แทนประโยค “X ไมเ่ ป็นสบั เซตของ Y” คอื X  Y
จะเกิดขน้ึ ได้ กต็ ่อเม่ือ มสี มาชิกบางตวั ของเซต X ที่ไม่เปน็ สมาชิกของเซต Y
เชน่ เรากล่าววา่ { 1, 3 } ไม่เป็นสบั เซตของ { 0, 1, 2 } เน่อื งจาก 3 ไม่ไดเ้ ป็นสมาชกิ ของ { 0, 1, 2 }

หรือเขียนไดว้ ่า { 1, 3 }  { 0, 1, 2 }
หรือ ถ้าให้ A = { 0, 1, 2 }, B = { 1, 2 } และ C = { 1, 3 }

จะเขียนไดว้ า่ B A C A
ความรู้เพ่ิมเติม
* เซตวา่ งเป็นสบั เซตของเซตทกุ เซต เชน่ ถา้ A แทนเซตใด ๆ จะได้
* เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของตวั เอง เช่น ถา้ A แทนเซตใด ๆ จะได้
* จำนวนสบั เซตทงั้ หมดของเซตจำกัดใด ๆ

จำนวนสมาชกิ ของ A 01234n

จำนวนสับเซตทั้งหมดของ A 1 2 4

กล่าวคือ เซตทม่ี ีสมาชกิ n ตัว จะมสี ับเซตท้งั ส้นิ แบบ

* สบั เซตแท้

A เป็นสับเซตแทข้ อง B ก็ตอ่ เมือ่ A เป็นสบั เซตของ B แต่ A ไมเ่ ท่ากับ B

เชน่ สับเซตแทข้ อง { 3, 4 } ได้แก่ ∅, { 3 } และ { 4 }

สับเซตแท้ของ { 1, {2} } ไดแ้ ก่

แบบฝึกหัดท่ี 9
จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1. จงหาจำนวนสับเซตทงั้ หมดของเซตต่อไปนี้ และระบุสบั เซตทกุ ตัว

1) { 2 } มีสับเซต ตวั ไดแ้ ก่

2) { a, b } มีสับเซต ตวั ได้แก่

3) { 4, {4} } มสี บั เซต ตวั ได้แก่

4) { 1, 2, 3 } มสี บั เซต ตวั ไดแ้ ก่

5) ∅ มสี บั เซต ตวั ได้แก่
6) { ∅ } มสี ับเซต ตวั ไดแ้ ก่
7) { {-1, 0}, 1 } มีสบั เซต ตวั ไดแ้ ก่
8) { {a}, {b, c} } มสี ับเซต ตวั ได้แก่

ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก)๋ คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 11

2. ให้ A = { 3, 4, 6 } จงเติมเคร่ืองหมาย  หรอื  ลงในชอ่ งว่างใหถ้ ูกตอ้ ง

{3} A {4} A

{ 2, 3 } A { 2, 5 } A

{ 3, 4 } A { {3} } A

3A { {3, 4} } A

{} A { 3, 4, 6 } A

3. ให้ A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 3, 4 }

C = { 3, 4 } D = { 1, 3, 5 }

จงเตมิ เคร่ืองหมาย  หรือ  ลงในช่องว่างให้ถกู ต้อง

BA C A
A
DA A B
B
AB C
∅
DB B

∅A A

4. ให้ A = { 2, {2}, 3 } จงเติมเครื่องหมาย  หรือ  ลงในช่องวา่ งใหถ้ กู ตอ้ ง

2A 3A

{2} A {3} A

{ {2} } A { {3} } A

{ 2, {2} } A { {2}, 3 } A

{ 2, 3 } A { 2, 3, {3} } A

5. ให้ B = { 1, {2}, {1, 2, 3}, {1, 2}, {{1, 2}, 1} } จงเติมเครือ่ งหมาย  หรือ  ลงในช่องวา่ งให้ถกู ตอ้ ง

{1} B {2} B

{ {1} } B { {2} } B

{ 1, 2 } B { {1, 2} } B

{ 1, {2} } B { {1}, 2 } B

{ {1, 2, 3} } B { {1, {1, 2}} } B

6. กำหนดให้ A = { 1, 2, 3 } จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้
1) จำนวนสมาชกิ ของ A
2) จำนวนสบั เซตทั้งหมดของ A
3) จำนวนสับเซตแทท้ งั้ หมดของ A
4) จำนวนสับเซตของ A ทม่ี ี 1 เปน็ สมาชิก
5) จำนวนสบั เซตของ A ทไี่ มม่ ี 1 เป็นสมาชิก

12 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครกู นกพร รตั นะอดุ ม (ครเู ก๋)

Thinking Time

แบบทดสอบ คร้ังที่ 2
1. กำหนดให้ A = { a, b, c, {d} } จงระบวุ ่าขอ้ ความต่อไปนีเ้ ปน็ จริงหรือเท็จ

1) a ∈ A
2) { a } ∈ A
3) d ∈ A
4) { d } ∈ A
5) a  A
6) { a }  A
7) d  A
8) { d }  A
9) { a, b } ∈ A
10) { a, b }  A

2. กำหนดให้ A เป็นเซตจำกดั ใด ๆ จงระบุวา่ ข้อความต่อไปน้ีเปน็ จรงิ หรือเท็จ
1) 2 ∈ { 2 }
2) { 2 } ∈ { 2 }
3) 2  { 2 }
4) { 2 }  { 2 }
5) ∅ ∈ ∅
6) ∅  ∅
7) A ∈ A
8) A  A
9) ∅  { ∅ }
10) { ∅ }  { ∅ }

3. กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, 4 } จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้
1) จำนวนสับเซตทง้ั หมดของ A

2) จำนวนสับเซตแทท้ ง้ั หมดของ A

3) จำนวนสับเซตท้งั หมดของ A ทมี่ ี 1 เปน็ สมาชกิ

4) จำนวนสบั เซตท้ังหมดของ A ทไ่ี มม่ ี 1 เป็นสมาชกิ

ครกู นกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก๋) คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 13

แผนภาพเวนน์
การแสดงเซตด้วยแผนภาพเวนน์จะช่วยใหเ้ ห็นลักษณะความเกี่ยวข้องกันของสมาชิกระหว่างเซตได้ชดั เจนขึ้น
จึงเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวกับเรื่องเซต ในการเขียนแผนภาพดังกล่าว เรานิยมแทน
เอกภพสัมพัทธ์ ด้วยกรอบสี่เหลี่ยม ภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซตตา่ ง ๆ
สำหรบั เซตสองเซตใด ๆ จะสามารถเขียนแผนภาพเวนน์ได้ 5 ลักษณะ ดงั นี้

A, B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A, B มสี มาชกิ บางตัวร่วมกัน A, B เปน็ เซตเดยี วกัน



A BA BA B

A เปน็ สบั เซตของ B B เปน็ สบั เซตของ A



A B
B A

ตวั อย่างการเขียนแผนภาพเวนน์แสดงเซตสองเซต
1) ให้ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
1 3 2
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } 9 5 B
B = { 2, 3, 5, 7 } A 7
เขยี นเปน็ แผนภาพเวนน์ไดด้ ังนี้
468
2) ให้ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 3, 5 }

เขียนเปน็ แผนภาพเวนนไ์ ดด้ ังน้ี

3) ให้ = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
A เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
B เป็นเซตของจำนวนคู่บวก

เขยี นเป็นแผนภาพเวนน์ไดด้ ังนี้

14 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครกู นกพร รตั นะอุดม (ครูเก)๋
สำหรบั เซตสามเซตใด ๆ เรานยิ มเขียนแผนภาพเวนนใ์ นลกั ษณะดงั นี้



AB
C

ตัวอยา่ งการเขียนแผนภาพเวนนแ์ สดงเซตสามเซต 3
1) ให้ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 15
A 97 2B
A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B = { 2, 3, 5, 7 } 48 6 C
C = { 6, 7, 9 }
เขียนเปน็ แผนภาพเวนนไ์ ด้ดงั นี้

2) ให้ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 3, 5 }
C = { 2, 3, 9 }

เขียนเปน็ แผนภาพเวนน์ไดด้ งั น้ี

3) ให้ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A เป็นเซตของจำนวนทีน่ ้อยกว่า 5
B เป็นเซตของจำนวนคี่
C เปน็ เซตของจำนวนเฉพาะ

เขยี นเป็นแผนภาพเวนน์ไดด้ ังน้ี

ในกรณีทีต่ อ้ งการให้แผนภาพเวนน์ไมม่ ชี อ่ งว่าง จะตอ้ งปรบั ลกั ษณะการเขยี นแผนภาพให้สอดคล้องดว้ ย เช่น

A  B และ B  C A  C และ B  C A  C และ B  C
โดยท่ี A ≠ B ≠ C A, B มีสมาชกิ บางตัวร่วมกัน A, B ไม่มีสมาชกิ รว่ มกัน



ครกู นกพร รัตนะอดุ ม (ครูเก๋) คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 15

แบบฝึกหดั ท่ี 10
จงตอบคำถามต่อไปนี้
1. จงเขียนแผนภาพเวนน์แสดงเซตตอ่ ไปน้ี

1) ให้ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 5, 6 }

2) ให้ = { 1, 2, 3, ... , 12 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 4, 5, 6, 7 }
C = { 3, 5, 7, 8 }

3) ให้ เป็นเซตของจำนวนนับท่ีไม่เกิน 10
A = { 1, 2, 3, ... , 7 }
B = { 2, 4, 6 }
C = { 1, 3, 5 }

2. จากแผนภาพเวนนท์ ก่ี ำหนดให้ จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1) จงเขยี นเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

a d b A=
e B=
AB =
cf

2) จำนวนสมาชกิ ทอ่ี ยู่ท้ังในเซต A และ B =

3) จำนวนสมาชกิ ท่ีไม่อยูใ่ นเซต A และ B =

3. จากแผนภาพเวนน์ทีก่ ำหนดให้ จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้

1) จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

A p r B A=
u s B=
C=
qt C 2) จำนวนสมาชกิ ที่อยทู่ ้ังในเซต A และ B =

3) จำนวนสมาชิกทีอ่ ยู่ทั้งในเซต A และ C =

16 เซต - คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รตั นะอดุ ม (ครเู ก๋)

การดำเนินการระหว่างเซต
ในพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์ เราได้รู้จักการดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนอยู่หลายลักษณะ เช่น การบวก,
การลบ, การคูณ, การหาร เป็นต้น ซึ่งล้วนแล้วแต่เป็นวิธีการทำให้เกิดจำนวนใหม่ขึ้นจากจำนวนที่มีอยู่เดิม
การดำเนนิ การระหวา่ งเซตกเ็ ป็นการทำใหเ้ กดิ เซตใหม่ข้ึนจากเซตท่มี ีอยเู่ ดิมเช่นกัน ซึง่ โดยท่วั ไปมีอยู่ 4 แบบ คือ
ยเู นียน

A ยเู นียน B (เขยี นแทนดว้ ย A  B) คอื เซตของสมาชกิ สมาชิกทัง้ หมดของ A กับ B
กล่าวคอื A  B = { x | x ∈ A หรอื x ∈ B }



AB

อินเตอรเ์ ซกชนั
A อินเตอร์เซก B (เขียนแทนดว้ ย A  B) คอื เซตของสมาชิกตวั ที่ปรากฏซ้ำกนั ใน A และ B
กล่าวคอื A  B = { x | x ∈ A และ x ∈ B }



A B

เช่น ให้ A = { 1, 2, 3 }
B = { 2, 3, 4 }
C = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
D = { 2, 4, 6, 8 }

จะได้ A  B = { 1, 2, 3, 4 }

AC=

AD=

BC=

BD=

CD=
จะได้ A  B = { 2, 3 }

AC=

AD=

BC=

BD=

CD=

ครูกนกพร รัตนะอุดม (ครูเก๋) คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 17

คอมพลีเมนต์
A คอมพลเี มนต์ (เขียนแทนด้วย A′) คือ เซตของสมาชิกทเ่ี หลือใน ทไี่ มไ่ ดอ้ ยูใ่ น A
กลา่ วคือ A′ = { x ∈ | x ∉ A }



A B

เช่น ให้ = { 1, 2, 3, ... , 10 }
A = { 1, 2, 3 }
B = { 2, 3, 4 }
C = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
D = { 2, 4, 6, 8 }

จะได้ A′ = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B′ =

C′ =

D′ =

ผลต่าง
A ลบด้วย B (เขียนแทนด้วย A – B) คอื เซตของสมาชกิ ทอ่ี ยูใ่ น A แตไ่ มอ่ ยูใ่ น B
กลา่ วคือ A – B = { x | x ∈ A แต่ x ∉ B }



A B

เชน่ ให้ A = { 1, 2, 3 }
B = { 2, 3, 4 }
C = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

จะได้ A – B = { 1 }

B–A=

A–C=

C–A=

B–C=

C–B=

18 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครูเก)๋

แบบฝกึ หัดท่ี 11
จงแรเงาลงบนแผนภาพเวนนเ์ พอ่ื แทนเซตทก่ี ำหนดให้ในแตล่ ะขอ้

1. A  B 2. A  B



A B A B
3. A′ 4. B′


A B A B
5. A – B 6. B – A


A B A B
7. A  B′ 8. B  A′


A B A B
9. (A  B)′ 10. A′  B′


AB AB

ครกู นกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก๋) คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 19

11. (A  B)′ 12. A′  B′



A B AB
13. A  B
14. (A  B)  C
A A
B B
15. B  C C C
A
16. A  (B  C)
17. A  B A
A B B
C C
19. B  C
A 18. (A  B)  C
A
B B
C C

20. A  (B  C)
A
B B
C C

20 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รตั นะอดุ ม (ครูเก๋)

21. A  (B  C) 22. (A  B)  (A  C)



AB AB
C C

23. A  (B  C) 24. (A  B)  (A  C)
A
B
C
AB
C

25. A – B 26. A – C
A A
B B
C C

27. (A – B)  (A – C) 28. (A – B)  (A – C)



AB AB
C C

29. A – (B  C) 30. A – (B  C)
A A
B B
C C

ครกู นกพร รตั นะอุดม (ครูเก)๋ คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 21

31. A – C 32. B – C



AB AB
C C

33. (A – C)  (B – C) 34. (A – C)  (B – C)



AB AB
C C

35. (A  B) – C 36. (A  B) – C
A A
B B
C C

37. A  B 38. A  B



A A
B B

39. A – B 40. B – A



A A
B B

22 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รตั นะอุดม (ครูเก)๋

สมบัตกิ ารดำเนินการระหวา่ งเซต
จากแบบฝกึ หดั ท่ี 8 เราสามารถสรุปเซตท่เี ท่ากนั ได้ ดงั นี้

(ขอ้ 5 และ ข้อ 7) A–B=

(ขอ้ 9 และ ข้อ 10) (A  B)′ =

(ขอ้ 11 และ ข้อ 12) (A  B)′ =

(ขอ้ 14 และ ข้อ 16) (A  B)  C = (สมบตั กิ ารเปล่ียนกลมุ่ )
(สมบตั กิ ารเปลีย่ นกลุม่ )
(ขอ้ 18 และ ข้อ 20) (A  B)  C = (สมบตั กิ ารแจกแจง)
(สมบตั ิการแจกแจง)
(ขอ้ 21 และ ข้อ 22) A  (B  C) =

(ข้อ 23 และ ข้อ 24) A  (B  C) =

(ขอ้ 27 และ ข้อ 29) A – (B  C) =

(ข้อ 28 และ ข้อ 30) A – (B  C) =

(ขอ้ 33 และ ข้อ 35) (A  B) – C =

(ข้อ 34 และ ข้อ 36) (A  B) – C =

(ข้อ 37) ถา้ A  B A  B =

(ข้อ 38) ถา้ A  B A  B =

(ข้อ 39) ถ้า A  B A – B =

ใหน้ ักเรียนเติม A, A′, หรอื ∅ ลงในช่องว่างท่ีกำหนดให้

AA= A∅ =

A  = AB =B

AA= A∅ =

A  = AB =B

(A′)′ = A  A′ =

A  A′ = ∅′ =

′ = A – A =

A – A′ = A′ – A =

A–∅ = ∅–A=

A – = – A =

ครูกนกพร รัตนะอุดม (ครูเก)๋ คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 23

แบบฝกึ หดั ที่ 12
จากขอ้ มูลท่กี ำหนดให้ จงเขยี นเซตต่อไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชิก
ให้ = { 1, 2, 3, ... , 9 }

A เป็นเซตของจำนวนคี่
B เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ
C เปน็ เซตของจำนวนท่มี ากกว่า 6

1. B  C =

2. A  B =

3. A  (B  C) =

4. A  (B  C) =

5. (A  C)′ =

6. (B  C)′ =

7. A′  B′ =

8. A – C =

9. C – A =

10. C  A′ =

แบบฝึกหดั ที่ 13
จากข้อมลู ทก่ี ำหนดให้ จงเขียนเซตต่อไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชิก

A B
C2
5 78 1 49

36

1. A  B =
2. A  C =
3. B  C =
4. A  B =
5. A  C =
6. B  C =
7. A – C =
8. C – A =
9. A′ =
10. (A  C)′ =

2T4hinkinเซgตT-iคmณeิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รัตนะอุดม (ครเู ก)๋

แบบทดสอบ คร้ังที่ 3 2) (A – B) – (A – C)
1. จงเขียนแผนภาพแสดงเซตตอ่ ไปน้ี

1) (A – B)  (B – A)



3) B – (A  C) 4) (A  B) – C′



2. ให้ = { 1, 2, 3, ... , 13 }
A = { 3, 4, 5, 8, 9 }
B = { 5, 6, 7, 9, 10, 11 }
C = { 8, 9, 10, 11, 12, 13 }

แลว้ จงเขยี นเซตตอ่ ไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชกิ

1) A  B =

2) C′ =

3) (A  B) – C′ =

3. ให้ A และ B เป็นเซตจำกัด
ซง่ึ A  B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
A – B = { 0, 1, 3 }
B – A = { 2, 4, 6 }
แลว้ จงเขยี นเซตตอ่ ไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ

1) A  B =

2) A =

3) B =

ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก๋) คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 25

การแกป้ ญั หาโดยใชเ้ ซต
โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกบั จำนวนสมาชิกในแตล่ ะส่วนของเซต นิยมใช้แผนภาพเวนนช์ ่วยในการคำนวณ เพราะจะ
ทำใหม้ องเห็นลกั ษณะได้ชดั เจน

ตัวอย่าง

ให้ A = { 1, 2, 3 } 12 3 4
B = { 3, 4 }

A – B = { 1, 2 } A B
จะเห็นได้ว่า n(A – B) ไมเ่ ท่ากบั n(A) – n(B)

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนสมาชิกของ A - B มักจะไม่เท่ากับจำนวนสมาชิกของ A ลบด้วยจำนวนสมาชิกของ B

แต่จะต้องทราบจำนวนสมาชิกส่วนที่ซ้ำกันของสองเซตนี้ จึงนำไปคำนวณจาก n(A – B) = n(A) – n(A  B)

หากเราใช้แผนภาพเวนนช์ ว่ ยในการคำนวณ ก็จะทำให้เห็นทีม่ าของคำกล่าวนีไ้ ด้อย่างชัดเจนยิ่งข้ึน

n(A – B) n(A) n(A  B)

=–

แบบฝกึ หดั ท่ี 14
จงตอบคำถามต่อไปน้ี
1. ให้ n(A) = 20, n(B) = 30, n(A  B) = 5 แล้ว จงหาค่าของ

1) n(A – B)

2) n(B – A)

3) n(A  B)

2. ให้ n(A – B) = 20, n(B – A) = 30, n(A  B) = 100 แลว้ จงหาคา่ ของ
1) n(A  B)

2) n(A)

3) n(B)

26 เซต - คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รัตนะอุดม (ครเู ก๋)

ตวั อยา่ ง

ให้ A = { 1, 2, 3 } 12 3 4
B = { 3, 4 }

A  B = { 1, 2, 3, 4 } A B
จะเห็นได้ว่า n(A  B) ไมเ่ ท่ากบั n(A) + n(B)

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนสมาชิกของ A  B มักจะไม่เท่ากับจำนวนสมาชิกของ A บวกด้วยจำนวนสมาชิกของ B

แต่จะต้องทราบจำนวนสมาชิกส่วนที่ซ้ำกันของสองเซตนี้ ซึ่งจะได้ว่า n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

หากเราใช้แผนภาพเวนนช์ ว่ ยในการคำนวณ ก็จะทำให้เห็นทีม่ าของคำกลา่ วน้ีได้อย่างชัดเจนยงิ่ ขน้ึ

n(A  B) n(A) n(B) n(A  B)

=+–

แบบฝกึ หัดท่ี 15
จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้
1. ให้ n(A) = 20, n(B) = 30, n(A  B) = 42 แล้ว จงหาค่าของ

1) n(A  B)

2) n(A – B)

3) n(B – A)

2. ให้ n( ) = 100, n(A) = 30, n(B) = 40, n(A  B) = 5 แล้ว จงหาคา่ ของ
1) n(A  B)

2) n(A  B)′

3) n(A – B)

4) n(B – A)

ครกู นกพร รตั นะอดุ ม (ครเู ก)๋ คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 27

จงพิจารณาปญั หาตอ่ ไปนี้
นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมี 30 คน
พบวา่ มนี ักเรียน 18 คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์

มีนักเรียน 15 คน ชอบวชิ าภาษาไทย
มนี กั เรยี น 3 คนไม่ชอบทง้ั สองวชิ า
จงหาวา่ มนี กั เรียนทีช่ อบท้ังสองวชิ ากคี่ น
วิธที ำ ให้ แทนเซตของนกั เรยี นหอ้ งน้ี

A แทนเซตของนักเรียนห้องนท้ี ชี่ อบวชิ าคณติ ศาสตร์
B แทนเซตของนกั เรียนห้องนี้ทชี่ อบวิชาภาษาไทย

จะได้ n( ) = 30

n( ) = 18

n( ) = 15

n( ) = 3

และต้องการทราบค่าของ n( )

แบบฝึกหัดท่ี 16
จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้
1. จากการสอบถามพ่อบา้ นจำนวนหนึ่ง

พบวา่ มีผทู้ ่ดี ื่มชาหรอื กาแฟเป็นประจำจำนวน 120 คน
มีผทู้ ช่ี อบด่มื ชา 60 คน ชอบด่ืมกาแฟ 70 คน

จงหาจำนวนพ่อบ้านท่ชี อบด่ืมทั้งชาและกาแฟ
วธิ ที ำ ให้ แทนเซตของพอ่ บ้านกลมุ่ น้ี

A แทนเซตของพอ่ บา้ นกลุ่มนท้ี ่ีชอบดม่ื ชา

B แทนเซตของ

จะได้ n( ) = 120

n( ) = 60

n( ) = 70

และต้องการทราบค่าของ n( )

28 เซต - คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) ครกู นกพร รตั นะอดุ ม (ครเู ก๋)

2. นกั เรียนชนั้ ม.4 ของโรงเรยี นแหง่ หนึ่งมี 120 คน 80 คนเล่นกีตาร์ 35 คนเล่นเปยี โน

13 คนเล่นเปน็ ทั้งสองชนดิ จงหาว่า มนี กั เรยี นช้นั ม.4 นเ้ี ลน่ กีตารห์ รือเปยี โนกค่ี น

วธิ ีทำ ให้ แทนเซตของ

A แทนเซตของ

B แทนเซตของ

จะได้ n( ) = 120

n( ) = 80

n( ) = 35

n( ) = 13

และตอ้ งการทราบค่าของ n( )

3. ผลการสอบของนักเรยี นห้องหนง่ึ ซึง่ มีจำนวน 70 คน พบวา่ มนี กั เรียนสอบคณิตศาสตรไ์ ด้ 30 คน

มนี กั เรียนสอบภาษาไทยได้ 35 คน และมีนกั เรียนที่สอบไดท้ ั้งสองวชิ า 10 คน จงหา

1) จำนวนนักเรียนท่ีสอบคณิตศาสตร์ได้ แต่สอบภาษาไทยตก

2) จำนวนนกั เรียนที่สอบตกทัง้ สองวชิ า

วธิ ีทำ ให้ แทนเซตของ

A แทนเซตของ

B แทนเซตของ

จะได้ n( ) = 70

n( ) = 30

n( ) = 35

n( ) = 10

และต้องการทราบคา่ ของ n( ) และ n( )

ครกู นกพร รัตนะอุดม (ครูเก๋) คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 29

4. นกั เรียนชายกล่มุ หนึ่งจำนวน 80 คน 54 คนชอบเล่นฟตุ บอล และ 45 คนชอบเลน่ เทนนสิ
มีนักเรียนชายทีช่ อบกฬี าท้ังสองอย่างก่ีคน ถ้าไม่มีนกั เรียนชายคนใดไม่เล่นกฬี าท้งั สองชนดิ นเ้ี ลย

วธิ ีทำ ให้ แทนเซตของ
A แทนเซตของ
B แทนเซตของ

5. นักเรียนชนั้ ม.4 ในโรงเรียนแหง่ หนง่ึ จำนวน 400 คน ในจำนวนนเี้ ลอื กเรยี นคณิตศาสตร์ 250 คน
เลอื กเรยี นศิลปะ 200 คน เลอื กเรียนทั้งคณิตศาสตร์และศลิ ปะ 130 คน จงหา
1) จำนวนนักเรียนท่เี รยี นคณิตศาสตร์อย่างเดยี ว
2) จำนวนนักเรียนทีเ่ รียนศลิ ปะอยา่ งเดยี ว
3) จำนวนนกั เรียนที่ไมเ่ ลือกเรียนทั้งสองวชิ า

วธิ ที ำ ให้ แทนเซตของ
A แทนเซตของ
B แทนเซตของ

30 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รตั นะอดุ ม (ครูเก)๋

สูตรต่อไปนี้ช่วยในการหาจำนวนสมาชิก สำหรับการหาจำนวนสมาชิกของเซตที่ยูเนียนกัน 3 เซตโดยเฉพาะ

จะเหมาะสมอยา่ งย่ิงกับสถานการณท์ ีท่ ราบขอ้ มูลตรงตามทป่ี รากฏในสูตรพอดี

n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

ซง่ึ สามารถแสดงท่มี าของสูตรดว้ ยแผนภาพเวนน์ ดงั นี้

n(A  B  C) = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7)

n(A) = (1) + (2) + (4) + (5)

1 2 3 B n(B) = (2) + (3) + (5) + (6)
5
A 4 6 n(C) = (4) + (5) + (6) + (7)

n(A  B) = (2) + (5)

7C n(A  C) = (4) + (5)
n(B  C) = (5) + (6)

n(A  B  C) = (5)

แบบฝกึ หดั ท่ี 17

จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้

1. ให้ n(A)=15, n(B)=20, n(C)=25, n(A  B)=6, n(A  C)=7, n(B  C)=8, n(A  B  C) = 5

แลว้ จงหาคา่ ของ n(A  B  C)

2. ให้ n(A)=40, n(B)=40, n(C)=50, n(A  B)=20, n(A  C)=15, n(B  C)=25, n(A  B  C)=80
แลว้ จงหาคา่ ของ n(A  B  C)

3. ให้ n(A)=30, n(B)=20, n(C)=30, n(A  B)=10, n(A  C)=20, n(A  B  C)=7, n(A  B  C)=42
แล้ว จงหาคา่ ของ n(B  C)

ครกู นกพร รตั นะอุดม (ครเู ก)๋ คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 31

จงพิจารณาปญั หาต่อไปนี้

ในการสอบของนกั เรยี นชนั้ หน่ึง

พบวา่ มผี สู้ อบผ่านวชิ าคณติ ศาสตร์ 37 คน

มผี สู้ อบผา่ นวิชาสังคมศกึ ษา 48 คน

มผี ู้สอบผ่านวชิ าภาษาไทย 45 คน

มีผสู้ อบผา่ นท้ังวชิ าคณติ ศาสตร์และสังคมศกึ ษา 15 คน

มีผสู้ อบผา่ นทงั้ วิชาสังคมศกึ ษาและภาษาไทย 13 คน

มีผ้สู อบผ่านท้งั วชิ าคณติ ศาสตร์และภาษาไทย 7 คน

และมีผู้สอบผา่ นทั้งสามวชิ าเพยี ง 5 คน

จงหาจำนวนนกั เรยี นทง้ั หมดในชั้นน้ี ถา้ ไมม่ ีนักเรียนคนใดสอบไมผ่ ่านทงั้ สามวชิ านี้

วธิ ที ำ ให้ แทนเซตของ

A แทนเซตของ

B แทนเซตของ

C แทนเซตของ

จะได้ n( ) = 37

n( ) = 48

n( ) = 45

n( ) = 15

n( ) = 13

n( ) = 7

n( ) = 5

และตอ้ งการทราบค่าของ n( )

32 เซต - คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) ครกู นกพร รตั นะอดุ ม (ครเู ก)๋

แบบฝกึ หัดที่ 18
จากการสำรวจครอบครวั ทงั้ หมด 100 ครอบครวั
พบวา่ 62 ครอบครัวเลีย้ งหมู

54 ครอบครวั เลีย้ งไก่
60 ครอบครัวเลี้ยงเปด็
29 ครอบครวั เลี้ยงหมแู ละเปด็
39 ครอบครัวเลย้ี งเป็ดและไก่
27 ครอบครวั เลย้ี งหมูและไก่
15 ครอบครัวเล้ียงท้งั สามชนดิ
จงหา 1) ครอบครัวทไี่ ม่เลี้ยงสัตวช์ นดิ ใดเลย
2) ครอบครวั ท่ีเลีย้ งสัตว์ชนิดเดยี ว
วิธีทำ ให้ แทนเซตของ

A แทนเซตของ

B แทนเซตของ

C แทนเซตของ

ครกู นกพร รตั นะอุดม (ครเู ก)๋ คณติ ศาสตร์ 7 (ค31101) - เซต 33

Thinking Time

แบบทดสอบ ครัง้ ท่ี 4

1. กำหนดให้ n(A – B) = 5, n(B – A) = 8, n(A  B) = 30 จงหา

1) n(A  B)

2) n(A)

3) n(B)

2. กำหนดให้ , A , B และ A  B มีจำนวนสมาชกิ 100, 40, 25 และ 6 ตามลำดบั จงหา
1) n(A – B)

2) n(B – A)

3) n(A  B)

4) n(A  B)′

3. นักเรยี นช้นั ม.4 แห่งหน่งึ จำนวน 92 คน ไดร้ บั รางวลั เรยี นดี 16 คน ไดร้ บั รางวลั มารยาทดี 12 คน
ในจำนวนนไี้ ดร้ ับทงั้ สองรางวลั 7 คน จงหา
1) จำนวนนักเรยี นที่ไดร้ บั รางวลั เรียนดอี ย่างเดียว

2) จำนวนนักเรยี นท้ังหมดทีไ่ ด้รับรางวลั

3) จำนวนนกั เรยี นที่ไม่ไดร้ บั รางวัล

34 เซต - คณิตศาสตร์ 7 (ค31101) ครูกนกพร รัตนะอดุ ม (ครเู ก๋)

4. ให้ n( ) = 100, n(A) = 29, n(B) = 23, n(C) = 18, n(A  B) = 15, n(A  C) = 10, n(B  C) = 9
และ n(A  B  C) = 6 แล้ว จงหา
1) n(A  B  C)

2) n(A  B  C)′

3) n(A  B  C′)

5. หม่บู า้ นแห่งหนึง่ มีประชากร 200 คน
พบวา่ 120 คน ชอบเล่นฟุตบอล
105 คน ชอบเล่นบาสเกตบอล
86 คน ชอบเลน่ แบดมินตัน
93 คน ชอบเลน่ ฟตุ บอลและบาสเกตบอล
71 คน ชอบเลน่ บาสเกตบอลและแบดมินตนั
64 คน ชอบเลน่ ฟุตบอลและแบดมินตัน
60 คน ชอบเล่นกฬี าท้ังสามชนิด
จงหา
1) จำนวนคนทชี่ อบเล่นฟตุ บอลเพยี งอย่างเดยี ว
2) จำนวนคนที่ไม่ชอบเล่นกีฬาชนิดใดเลยในสามชนดิ นี้
3) จำนวนคนท่ชี อบเล่นฟตุ บอลและบาสเกตบอลแตไ่ มช่ อบเลน่ แบดมินตนั