คณิตศาสตร์เรื่อง เซตและเลขยกกำลัง

น.ส.ดวงกมล พึ่งเดช ม.6/5 เลขที่ 23

เลขเซยตกแกลำละัง

SET AND

EXPONENT

เซต

เป็นคำที่ไม่ให้ให้นิยาม (UNDEFINED TERM) เรามักใช้เซต
แทนสิ่งที่อยู่ร่วมกัน ซึ่งหมายถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่เราสามารถ
กำหนดสมาชิกได้ชัดเจน (WELL-DEFINED) หรือก็คือความ

หมายของเซตนั่นเอง

การเขียนเซต

1. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก (TABULAR FORM)
เป็นการเขียนเซตโดยบรรจุสมาชิกทั้งหมดของเซตลงในวงเล็บปีกกา และระหว่าง

สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,)

ตัวอย่าง
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}
เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

(หมายเหตุ: ถ้าเซตมีจำนวนสมาชิกมากมาย เราใช้ “…” แทนสมาชิกที่เหลือ)
2. เขียนสับเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในสับเซต (SET BUILDER FORM)

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกพร้อมทั้ง
บอกสมบัติหรือบอกเงื่อนไขการเป็นสมาชิก โดยใช้เครื่องหมาย “ | ” คั่นระหว่าง
ตัวแปร และเงื่อนไข ซึ่ง เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่

ตัวอย่าง
1. A = { X / X เป็นวันชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์ }
ตอบA = { จันทร์ , อังคาร , พุธ , พฤหัสบดี , ศุกร์ , เสาร์ , อาทิตย์}
2. B = { X / X เป็นเซตของจำนวนเต็ม }
ตอบB= { … , – 3 , – 2 , – 1, 0 , 1 , 2 , 3 , …}

เซตจำกัด
(FINITE SET)

คือ เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ทั้งหมดและมีจำนวนที่แน่นอน

ตัวอย่าง
1. A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก
2. B = {X | X เป็นจำนวนนักศึกษา คบ.5/3 หมู่ 1
เอกคณิตศาสตร์}

**หมายเหตุ เซตว่าง (EMPTY SET) ถือเป็นเซตจำกัด เขียนสัญลักษณ์
แทนเซตว่างได้ดังนี้ หรือ { }

เซตอนันต์
(INFINITE SET)

คือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้เพราะสมาชิกมีจำนวนมาก

ตัวอย่าง
1. A = {1, 2, 3, … }
2. B = {3 , 5 , 7 , … }

เซตว่าง
(EMPTY SET)

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้

ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่าง
1. A = {X | X เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < X < 2}
ตอบA = {Ø}
2. B = { X | X เป็นจำนวนเต็มบวก และ X + 1 = 0 }
ตอบB= {Ø}

เอกภพสัมพัทธ์
(RELATIVE UNIVERSE)

คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซต
ที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้
เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่
กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่าง
1. A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก
2. B = {X | X เป็นจำนวนนักศึกษา คบ.5/3 หมู่ 1
เอกคณิตศาสตร์}

**หมายเหตุ เซตว่าง (EMPTY SET) ถือเป็นเซตจำกัด เขียนสัญลักษณ์
แทนเซตว่างได้ดังนี้ หรือ { }

เซตอนันต์
(INFINITE SET)

คือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้เพราะสมาชิกมีจำนวนมาก

ตัวอย่าง
1. A = {1, 2, 3, … }
2. B = {3 , 5 , 7 , … }

เซตว่าง
(EMPTY SET)

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้

ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่าง
1. A = {X | X เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < X < 2}
ตอบA = {Ø}

2. B = { X | X เป็นจำนวนเต็มบวก และ X + 1 = 0 }
ตอบB= {Ø}

ยูเนียน
(UNION)

มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่

∪เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียน

แทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A B
ตัวอย่าง
A ={1,2,3}
B= {3,4,5}

∴ ∪A B = {1,2,3,4,5}

เราสามารถเขียนก
ารยูเนี่ยนลงในแผนภาพได้ดังนี้

อินเตอร์เซกชัน
(INTERSECTION)

มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

∩สมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A B

ตัวอย่าง
A ={1,2,3}

∴ ∩B = {3,4,5}
A B = {3}
เราสามารถ
เขียนการอินเตอร์เซกชันลงในแผนภาพได้ดังนี้

คอมพลีเมนต์
(COMPLEMENTS)
คอมพลีเมนต์ (CO
MPLEMENTS) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ใน

เอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบ
ด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถ
เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’

ตัวอย่าง
U = {1,2,3,4,5}

∴ A ={1,2,3}
A’ = {4,5}
เราสามารถเขียนการคอมพลีเมนต์ของเซตลงในแผนภาพได้ดังนี้

สับเซต
(SUBSET)

ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะ

⊂เขียนว่า เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B
ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B

⊄เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B
สมบัติของสับเซต
⊂1) A
A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
⊂2) A U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
⊂3) Ø A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂4) ถ้า A Ø แล้ว A = Ø
⊂ ⊂ ⊂5) ถ้า A B และ B C แล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6) A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2N สับเซต

สับเซตแท้

⊂นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B และ A ≠ B

ตัวอย่าง
กำหนดให้ A = { A , B , C } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่

Ø, {A} , {B} ,{C} , {A,B} , {A ,C} , {B,C}
มีจำนวนส
มาชิกทั้งสิ้น 7 สับเซต

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับเซตแท้ของเซตA

จะมีทั้งสิ้น 2N –1 สับเซต



เพาเวอร์เซต

(POWER SET)

คำว่า เพาเวอร์เซต
เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับ

เรื่องสับเซต

เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A)

P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

สมบัติของเพาเวอร์เซต


⊂ให้ A , B
เป็นเซตใดๆ
1) Ø P(A)
⊂2) A P(A)
3) P(A) ≠ Ø

⊂ ⊂4) P(A) P(B) ก็ต่อเมื่อ A B
5) ถ้า A มีสมาชิก N ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2N ตัว

แบบฝึกหัด

1.จงบอกจำนวนสมาชิกของแซตต่อไปนี้

1) A = { 1234 }
2) B = { 1 , 2 , 3 , 4 }
3) C = { a , b , c , de , f , gh , ijk }
4) D = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 10 และ 20 }
5) E = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกและน้อยกว่า 0 }

2.ให้ A = {a,b,c,d} จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ

∈1) { a } A
∉2) { b , c } A
3) ∅ ∉ A

3.เซตต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตจำกัด ข้อใดเป็นเซตอนันต์

4.จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้

1) { 1 }
2) { 1 , 2 }
3) { -1 , 0 , 1 }
4) { x , y }
5) { a , b , c }

∅6)

5.จงหาเพาเวอร์เซตของแต่ละเซตต่อไปนี้

1) { 5 }
2) { 0 , 1 }
3) { 2 , 3 ,4 }

∅4)

6.ให้ A = { x | x เป็นพยัญชนะในคำว่า " กรรมกร " }

B = { x | x เป็นพยัญชนะในคำว่า " มรรคา " }
C = { x | x เป็นพยัญชนะในคำว่า " มกราคม " }
D = { x | x เป็นพยัญชนะในคำว่า " รากไม้ " }

จงพิจารณาว่าเซตคู่ใดบ้างเท่ากัน

เลขยกกำลัง

การเขียนตัวเลขที่มีการคูณซ้ำหลาย ๆ ครั้งในรูปแบบย่อ ให้
สามารถอ่านได้เข้าใจได้ง่ายขึ้นและไม่สับสน จึงเขียนในรูปแบบ

ของ เลขยกกำลัง โดยมีส่วนประกอบทั้งหมด 2 ส่วน คือ ฐาน
ของเลขยกกำลัง และ เลขชี้กำลัง

ความหมายของ
เลขยกกำลัง



สมบัติของเลขยกกำลัง คือ ตัวช่วย สมบัติต่าง ๆ
ในการจัดรูปของเลขยกกำลังให้ ของเลขยกกำลัง
สามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้นและสั้นลง


โดยมีสมบัติ 7 ข้อ ในทั้งหมด 7 ข้อ
อาจจะมีเงื่อนไขพิเศษอื่น ๆ ที่

สามารถทำให้เกิดสมบัติอื่น ๆ เข้า
มาอีก แต่ในที่นี้เราขอยกตัวอย่าง
ทั้ง 7 ข้อมาเท่านั้น เพื่อให้ไม่เกิด

ความสับสน

สมบัติข้อที่ 1

จะช่วยให้เราสามารถประหยัดเวลาในการ
คำนวณได้มาก คือ เมื่อเราพบเลขยกกำลังที่
มีเลขชี้กำลังเท่ากับ 0 จะทำให้เลขยกกำลัง
ตัวนั้นมีค่าเท่ากับ 1 ได้ทันที

สมบัติข้อที่ 2

โดยปกติแล้วการเขียนเลขยกกำลังนิยม
เขียนให้เลขยกกำลังมีค่าเป็นบวกอยู่เสมอ
เพราะฉะนั้นสมบัตินี้จะช่วยให้เราสามารถ
เปลี่ยนเลขยกกำลังที่ติดลบให้มาเป็นบวก
ได้

สมบัติข้อที่ 3

“เลขฐานเหมือนกันคูณกัน เลขยกกำลัง
นำมาบวกกัน” สมบัติในข้อนี้จะช่วยให้เรา
สามารถยุบเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน
ให้สามารถเขียนเพียงตัวเดียวได้

สมบัติข้อที่ 4

“ฐานเหมือนกันหารกัน เลขยกกำลังนำ
มาลบกัน” สมบัติในข้อนี้จะช่วยให้เรา
สามารถยุบเลขยกกำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน
ให้สามารถเขียนเพียงตัวเดียวได้

สมบัติข้อที่ 5

สมบัติการกระจายเลขยกกำลัง เพื่อความ
สะดวกในการยุบเลขยกกำลังที่มีการซ้อน
กัน ซึ่งควรระวังวงเล็บดี ๆ เนื่องจากความ
หมายจะเปลี่ยนไปทันที ถ้าไม่ได้ใส่วงเล็บ

สมบัติข้อที่ 6

นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 คือ ใช้หลักการ
การกระจายเหมือนกัน ข้อควรระวังของ
สมบัตินี้คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณ
และการหารเท่านั้น โดยเลขยกกำลังจะไม่
สามารถกระจายได้ในการบวกและการลบ
เด็ดขาด

สมบัติข้อที่ 7

นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 และ 6 คือ ใช้หลัก
การการกระจายเหมือนกัน ข้อควรระวังของ
สมบัตินี้คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณและ
การหารเท่านั้น โดยเลขยกกำลังไม่สามารถ
กระจายได้ในการบวกและการลบเด็ดขาด

การบวก ลบ
เลขยกกำลัง

จะทำได้ก็ต่อเมื่อ เลขยกกำลังนั้นมีฐานเท่ากันและมีเลขชี้กำลังเท่า
กัน โดยการนำสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังนั้นมาบวกหรือลบกัน

ตัวอย่าง

ข้อสังเกต ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเท่ากัน แต่เลขชี้กำลังต่างกัน จะนำสัมประสิทธิ์
ของเลขยกกำลังมาบวกหรือลบกันไม่ได้ จะต้องใช้วิธีแยก
ตัวประกอบ

ตัวอย่าง

แบบฝึกหัด

1.จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กำลังเป็นบวก
เมื่อ A , B , C , X , Y , Z ≠ 0 และ M , N , P , Q
เป็นจำนวนเต็ม

2.จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กำลังเป็นบวก

3.จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย