BAB II Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama dari suatu titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Jarak yang sama itu disebut jari-jari. Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan salah satu titik pada lingkaran juga disebut jarijari. Daerah yang dibatasi oleh lingkaran disebut daerah lingkaran. Unsur-unsur Lingkaran: 1. Titik Pusat Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. 2. Jari-Jari (r) Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Garis AO, garis OB, dan OD merupakan jari-jari lingkaran. 3. Diameter (d) Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB merupakan diameter lingkaran. 4. Busur Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. 5. Tali Busur Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat. 6. Tembereng Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. 7. Juring Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. 8. Apotema Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.
A. Lingkaran dan busur lingkaran Bagian dari lingkaran disebut busur lingkaran. Gambar busur lingkaran Busur yang lebih kecil disebut busur minor (pada gambar berwarna biru) dan bagian yang lebih besar disebut busur mayor (berwarna merah). Jika hanya disebutkan kata busur, maka yang dimaksud adalah busur minor. Besarnya BC ditentukan oleh besarnya ∠BAC = α (Titik A adalah pusat lingkaran). Sudut α disebut sudut pusat yang menghadap pada BC. Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada pusat lingkaran dan kakikaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran. Sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran - Sudut α disebut sudut pusat yang menghadap pada BC. - Sudut θ disebut sudut keliling yang menghadap pada BC. Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya berupa tali busur. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Sifat-sifat sudut pada lingkaran: 1. Sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama, besarnya sama. 2. Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama. 3. Sudut keliling yang menghadap pada diameter lingkaran, adalah sudut siku-siku. Sudut keliling lingkaran itu sudut yang titik sudutnya di pinggiran lingkaran itu? Sedangkan sudut keliling titik sudutnya yang berada di pusat lingkaran. Bener ga?" mungkin ini jawaban di antara Anda.
Dari sini Anda tidak salah. Minimal Anda dapat memvisualisasikan apa itu sudut keliling dan sudut pusat suatu lingkaran. Definisi yang saya berikan berikut bisa jadi sebagai referensi lain buat Anda dalam memahami sudut keliling dan sudut pusat lingkaran. Definisi 1. Sudut Keliling dan Sudut Pusat Misalkan diberikan lingkaran L dengan pusat ⊙O⊙. Sudut ∠ABC dikatakan sudut keliling lingkaran ⊙O⊙ jika dan hanya jika ruas garis AB dan ruas garis BC adalah tali busur. Sudut ∠AOC dikatakan sudut pusat dari lingkaran ⊙O⊙ jika dan hanya jika ruas garis AB dan ruas garis BC adalah jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar dibawah! Sudut keliling pada gambar di atas adalah sudut ∠BAC dan sudut pusat adalah sudut ∠BOC. Pada gambar di atas terlihat jelas, interpretasi Anda persis dengan gambar. Anda tentunya masih ingat bahwa besar busur BCdidefinisikan dengan sama dengan besar sudut pusat yang menghadapinya yaitu ∠BOC Selanjutnya pertanyaan yang muncul dalam benak Anda tentang sudut keliling dan sudut pusat lingkaran bisa jadi seperti ini "Adakah hubungan antara besar sudut keliling dengan sudut pusat lingkaran?". Teorema 2. Sudut Keliling Ukuran sudut keliling sama dengan setengah ukuran busur yang dihadapinya. Bukti. Untuk membuktikan teorema ini akan ditinjau tiga kasus. Kasus pertama seperti pada gambar di bawah ini. Sudut keliling ∠ABC menghadap busur ACdengan salah satu kaki sudut BC merupakan diamater lingkaran Pertama perhatikan segitiga △AOB. Karena AO=BO (jari-jari lingkaran) maka segitiga △AOB segitiga sama kaki dengan alas AB
Akibatnya m∠BAO=m∠ABO=θ Di sisi lain sudut ∠AOC adalah sudut eksterior segitiga △AOB sehingga m∠AOC =m ∠BAO+m∠ABO = 2θ Berdasarkan definisi besar busur, diketahui bahwa mACˆ=m∠AOC=2θ. Oleh karena itu, besar sudut keliling m∠ABO=θadalah setengah dari besar busur mACˆ=2θ yang dihadapi sudut keliling ∠ABC Kasus kedua seperti pada gambar di bawah ini Perhatikan bahwa definisi penjumlahan sudut menunjukkan bahwa m∠ABC = m∠ABD + m∠DBC. Kasus pertama memberikan informasi bahwa m∠ABD = 12mAD dan m∠DBC = 12mDCˆ. Oleh karena itu m∠ABC=12(mADˆ+mDCˆ)=12mADCˆ Kasus ketiga seperti pada gambar di bawah ini Perhatikan bahwa definisi pengurangan sudut menunjukkan bahwa m∠ABC = m∠ABD+m∠DBC. Kasus pertama memberikan informasi bahwa m∠ABD = 12mAD dan m∠DBC=12mDC. Oleh karena itu m∠ABC=12(mADˆ−mDCˆ)=12mAC Akibat langsung dari teorema 2 melihatkan hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat pada suatu lingkaran. Akibat 3. Besar sudut keliling sama dengan setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
Bukti. Teorema 2 mengatakan bahwa sudut keliling mempunyai besar sama dengan setengah besar busur yang dihadapinya. Berdasarkan definisi besar busur yaitu sama dengan besar sudut pusat yang menghadpinya. Jadi sudut keliling mempunyai besar sudut setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Teorema 2 juga dapat diaplikasikan dalam membuktikan sifat pada sudut keliling yang terbentuk pada poligon tali busur. Akibat berikut terjadi pada segiempat talibusur suatu lingkaran Akibat 4. Sudut berhadapan pada suatu segiempat tali busur merupakan pasangan suplemen. Bukti. Misalkan diberikan segiempat tali busur ◊ABCD seperti gambar dibawah. Berdasarkan teorema 2 diperoleh besar sudut keliling m∠BAC=12mBDC dan sudut keliling yang berhadapan m∠BDC = 12mBAC Karena BDC dan BAC membentuk keliling lingkaran sehingga mBDCˆ+mBACˆ=360 Jadi m∠BAC+m∠BDC=1/2(mBDCˆ+mBACˆ)= =1/2⋅360=180. Oleh karena itu ∠BAC dan ∠BDC saling suplemen. Selanjutnya latihan berikut merupakan akibat yang lain dari teorema 2 di atas Jadi Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sebagai berikut : Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling Sudut Keliling = ½ x Sudut Pusat B. Lingkaran dan garis lingkaran Dalam buku Matematika kelas 11 SMA Kurikulum Merdeka, dijelaskan bahwa: 1. Garis singgung berpotongan dengan lingkaran di satu titik. 2. Titik potong lingkaran dengan garis singgung disebut titik singgung. 3. Garis singgung dan jari-jari lingkaran di titik singgung berpotongan tegak lurus. 4. Dari satu titik di luar lingkaran, dapat dibentuk dua garis singgung yang sama panjang.
C. Lingkaran dan tali busur Dalam matematika, ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut tali busur. Pada segiempat tali busur berlaku: 1. Sudut-sudut yang berhadapan saling berpelurus. 2. Hasil kali diagonal sama besarnya dengan jumlah dari hasil kali sisi yang berhadapan.