Lampiran 1: BAHAN AJAR FUNGSI INVERS A. PENDAHULUAN Identitas Modul Nama Penyusun : Sri Wahyuningsih, SPd. Institusi : SMA Negeri 1 Jogonalan Katen Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI (Sebelas) / Fase F Semester : I (Ganjil) Alokasi Waktu : 2 JP (2 x 45 menit) Judul Modul : Fungsi Invers Capaian Pembelajaran (CP) : Pada akhir fase F, peserta didik dapat memodelkan pinjaman dan investasi dengan bunga majemuk dan anuitas. Mereka dapat menyatakan data dalam bentuk matriks, dan menentukan fungsi invers, komposisi fungsi dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata. Mereka dapat menerapkan teorema tentang lingkaran, dan menentukan panjang busur dan luas juring lingkaran untuk menyelesaikan masalah. Mereka juga dapat melakukan proses penyelidikan statistika untuk data bivariat dan mengevaluasi berbagai laporan berbasis statistic Elemen : Aljabar dan Fungsi Tujuan Pembelajaran : 1. Setelah mengamati tayangan video, peserta didik dapat menjelaskan pengertian dan konsep fungsi invers dengan benar (C2) 2. Setelah melalui aktivitas diskusi permasalahan secara kelompok yang diisajikan dalam e-LKPD, peserta didik dapat dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi invers dengan benar (C3) 3. Setelah menyelesaikan masalah pada e-LKPD, peserta didik dapat menganalisis dan mengevaluasi penyelesaian permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan fungsi invers (C5)
IKTP (Indikator Ketercapaian Tujuan Pembelajaran) : 1. Peserta didik dapat menjelaskan pengertian dan konsep fungsi invers dengan benar. 2. Peserta didik dapat dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi invers dengan benar. 3. Peserta didik dapat menganalisis dan mengevaluasi penyelesaian permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan fungsi invers. Petunjuk Penggunaan : 1. Baca Bahan ajar dengan seksama, pahami benar materi dan informasi yang ada didalamnya. 2. Laksanakan semua tugas – tugas agar kompetensi berkembang dengn baik. 3. Kuasai pengertian – pengertian dalam uraian materi dan kerjakan tugas-tugasnya. 4. Mulailah mengerjakan soal yang dianggap mudah dan sederhana. 5. Cocokkan jawabannya dengan kelompok atau teman yang lain, diskusikan jika terdapat perbedaan. 6. Pendidik mendampingi peserta didik dalam belajar dan membantu peserta didik jika ada kesulitan. 7. Pendidik melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik. Peta Konsep
B. URAIAN MATERI Gambaran contoh kontekstual yang terkait dengan invers fungsi berikut Masih ingatkah Kalian waktu mengunjungi pusat perbelanjaan/mall dan sering memanfaatkan lift. Bagaimana cara kerja lift ini merupakan salah satu contoh dari penerapan fungsi invers dimana fungsi invers merupakan fungsi kebalikan dari fungsi lainnya. Proses perpindahan orang yang naik lift merupakan kebalikan dari proses perpindahan orang yang turun lift, begitu juga sebaliknya. untuk lebih memahami tentang apa itu fungsi invers, mari kita lihat penjelasan mengenai fungsi invers. Untuk lebih jelasnya marilah kita menyimak ilustrasi berikut. FUNGSI INVERS
Perhatikan permasalahan berikut !! 1. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, dimana x banyak potong kain yang terjual. a. Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh? b. Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual? c. Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas. Penyelesaian : a. Keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, untuk setiap x potong kain yang terjual. Penjualan 50 potong kain, maka x = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah f(x) = 500x + 1000 untuk x = 50 berarti f(50) = (500 × 50) + 1.000 = 25.000 + 1.000 = 26.000 Jadi, keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 potong kain sebesar Rp26.000,00 b. Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 100.000,00, maka banyaknya kain yang harus terjual adalah : f(x) = 500x + 1000 100.000 = 500x + 1000 500x = 100.000 – 1.000 500x = 99.000 x = 99.000 500 x = 198 Jadi, banyaknya kain yang harus terjual adalah 198 potong c. Jika A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, maka permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas digambarkan seperti berikut Permasalahan Orientasi Siswa Pada Masalah
Jika −1 adalah fungsi invers dari f, maka untuk setiap x ϵ dan setiap y ϵ sedemikian sehingga berlaku: y = f(x) x ϵ −1 (y) RANGKUMAN MATERI FUNGSI INVERS Definisi Invers Fungsi Jika fungsi memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut = {(, )| ∈ ∈ }, maka invers fungsi (dilambangkan −1 ) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan −1 = {(, )| ∈ ∈ } Jika f : {(a, b)} | a ∈ A dan b ϵ B},maka invers fungsi f adalah f -1 : {(b,a) | b ∈B dan a ϵ A)} Suatu fungsi f : A ∈ B mempunyai fungsi invers f –1 : B ∈ A, jika semua elemen himpunan A dan elemen himpunan B berkorespondensi satu – satu. a. Notasi fungsi invers adalah f 1 y x atau y 1 f 1 x b. Setiap fungsi memiliki invers, tetapi tidak setiap invers fungsi merupakan fungsi invers. c. Fungsi f : A B memiliki fungsi invers jika f merupakan fungsi bijektif Fungsi Invers a. Suatu fungsi : → dikatakan memiliki fungsi −1 : → jika dan hanya jika fungsi merupakan fungsi bijektif. b. Jika fungsi : → adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi adalah fungsi yang didefinisikan sebagai −1 : → dengan kata lain −1 dalah fungsi dari ke . adalah daerah asal fungsi dan adalah daerah hasil fungsi . Rumus Fungsi Invers a. Misalkan −1 adalah fungsi invers fungsi . Untuk setiap ∈ dan ∈ maka berlaku = () jika dan hanya jika −1 () = . −1 : →
b. Misalkan sebuah fungsi bjiektif dengan daerah adalah dan daerah hasil sedangkan () = merupakan fungsi identitas. Fungsi −1 merupakan fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika ( −1 )() = = () untuk setiap ∈ dan ( −1 )() = = () untuk setiap ∈ . c. Jika sebuah fungsi bijektif dan −1 merupakan fungsi invers , maka fungsi invers dari −1 adalah fungsi itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan ( −1 ) −1 = d. Jika dan fungsi bijektif, maka berlaku () −1 = ( −1 −1 ) Langkah-langkah Menentukan Fungsi Invers a. Ubah fungsi () ke dalam persamaan = () b. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh sebagai fungsi c. Ganti dengan −1 () d. Ganti variable dengan pada −1 () sehingga diperoleh −1 () sebagai fungsi invers dari = () Perhatikan diagram panah fungsi f: R → R dan −1 : R → R berikut Nilai fungsi f dinyatakan dengan f(x) = y dan nilai fungsi inversnya dinyatakan dengan −1 () = .