eLKPD Bahan Ajar Kelas XI

e LKPD Bahan Ajar Matematika

TRANSFORMASI
GEOMETRI

Matematika Wajib Kelas XI
Semester 1

Disusun Oleh :

Sri Wahyuningsih (NIM. 2007050018)

PROGRAM STUDI MAGISTER
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA

HALAMAN PENGESAHAN

eLKPD (TRANSFORMASI GEOMETRI)
MATA PELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

UNTUK KELAS XI SEMESTER I

Telah disahkan penggunannya untuk
Siswa

Mengetahui Klaten, …………………………….
Dosen Pembimbing Penulis,

Suparman, MSi Sri Wahyuningsih, S.Pd
NIM. 2007050018

DAFTAR ISI

Halaman Judul……………………………………………………………………………………… i
Halaman Pengesahan……………………………………………………………….……………….. ii
Daftar Isi …………………………………………………………………………………………….. iii
Glosarium

PENDAHULUAN

A. Kompetensi Dasar …………………………………………………………………….………. 1
B. Tujuan Pembelajaran (Indikator Hasil Belajar)………………………………………………. 1
C. Petunjuk Penggunaan Diktat ………………………………….……………………………… 2

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3
4
A. Pengertian Transformasi…………………………………………………………………….. 32
B. Jenis – Jenis Transformasi………………………………………………………………….
C. Evaluasi …………………………………………………………………………………….

EVALUASI 32
32
Tugas Mandiri Siswa …………………………………………………………………………… 35
Tugas Kelompok Siswa ………………………………………………………………………..
Uji Kompetensi Bab Vektor …………………………………………………………………...

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………….… 43

PENPEDNADHAUHLUULAUNAN

A. KOMPETENSI DASAR
KD 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
KD 2.1 Menunjukkan cermat, teliti, bertanggung jawab, tangguh, konsisten, dan jujur, serta
responsif dalam memecahkan masalah nyata sehari-hari.
KD 2.2 Mengembangkan rasa ingin tahu, motivasi internal, rasa percaya diri, dan sikap kritis
dalam menyelesaikan matematika dan masalah kontekstual.
KD 3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan
menggunakan matriks

KD 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri
(translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi)

B. TUJUAN PEMBELAJARAN (Indikator Hasil Belajar)
Setelah mempelajari modul ini diharapkan :
 Sikap
1. Siswa dapat menunjukkan sikap kerja sama
2. Siswa menghargai pendapat orang lain
3. Siswa menghargai perbedaan
4. Siswa dapat menunjukkan sikap saling membantu
5. Siswa selalu kritis dengan materi yang diajarkan.
6. Siswa tekun dalam mengerjakan setiap tugas.
7. Siswa dapat menyelesaikan tugas dengan teliti.
 Pengetahuan
1. Mengemukakan pemakaian matriks pada transformasi geometri.
2. Mengidentifikasi fakta pada sifat-sifat transformasi geometri dengan menggunakan
matriks

3. Membedakan antara translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi.
4. Mengemukakan definisi translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi..
5. Menganalisis transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks
6. Membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks
7. Menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

penggunaan matriks pada transformasi geometri

 Ketrampilan
1. Siswa terampil menentukan hasil transformasib dan komposisi transformasi dengan
menggunakan matriks
2. Siswa terampil menyelesaikan masalah sehari – hari dengan penggunaan matriks pada
transformasi geometri.

C. PETUNJUK PENGGUNAAN eLKPD
a. Penjelasan untuk siswa
1. Baca eLKPD dengan seksama, pahami benar materi dan informasi yang ada didalamnya.
2. Laksanakan semua tugas – tugas agar kompetensi berkembang dengn baik.
3. Kuasai pengertian – pengertian dalam uraian materi dan kerjakan tugas-tugasnya.
4. Mulailah mengerjakan soal yang dianggap mudah dan sederhana.
5. Cocokkan jawabannya dengan kelompok atau teman yang lain, diskusikan jika terdapat
perbedaan.
b. Peran Guru
1. Membantu siswa dalam membuat kelompok belajar yang heterogen (4 – 6 orang siswa)
2. Menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari
eLKPD ini.
3. Mendampingi siswa dalam belajar dan mengerjakan tugas-tugas di eLKPD.
4. Membantu siswa jika ada kesulitan.
5. Melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan siswa.
6. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan didiskusikan
sesuai rencana pembelajaran selanjutnya.

D. PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari eLKPD ini adalah :
1. Siswa memahami dan terampil pemakaian matriks pada transformasi geometri.
2. Siswa mampu mengidentifikasi fakta pada sifat-sifat transformasi geometri dengan
menggunakan matriks
3. Siswa mampu dan terampil Membedakan antara translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi.
4. Siswa mampu mengemukakan definisi translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi..
5. Siswa mampu menganalisis transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan
matriks
6. Siswa mampu membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan
menggunakan matriks
7. Siswa mampu menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
penggunaan matriks pada transformasi geometri

KEGIATAN PEMBELAJARAN
KEGIATAN PEMBELAJARAN

TRANSFORMASI GEOMETRI

TRANSFORMASI GEOMETRI

PETA KONSEP

AA. . PePnegnegretriatinanTrTarnasnfsofromrmasaisGi Geoemometertiri

Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan perubahan

letak maupun bentuk. Menurut Frank M. Eccles (1971: 12) transformasi pada bidang

adalah fungsi korespondensi satu-satu dari kumpulan titik pada bidang terhadap titik di

bidang itu sendiri. Berdasarkan definisi tersebut maka dapat dipahami bahwa bidang

tersebut merupakan daerah asal dan daerah hasil dalam fungsi.Transformasi geometri atau

secara bahasa berarti perubahan. Transformasi Geometri adalah perubahan kedudukan

suatu titik pada koordinat Cartesius sesuai dengan aturan tertentu. Transformasi bisa juga

dilakukan pada kumpulan titik yang membentuk bidang/bangun tertentu. Jika kalian punya

sebuah titik kemudian ditransformasikan oleh transformasi T maka akan

menghasilkan titik yang baru .

Secara matematis di tulis:

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu
bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan
(letak, bentuk, penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.
Ada empat macam tranformasi pada bidang ada empat macam, yaitu translasi (pergeseran),
refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian).
Translasi, refleksi dan rotasi disebut transformasi isometri, yaitu transformasi yang
menghasilkan bayangan bangun yang kongruen dengan bangun semula (yang tidak
mengakibatkan perubahan bentuk dan ukuran). Namun, dilatasi menghasilkan bayangan
(bangun hasil) yang berbeda dengan bangun semula, yaitu diperbesar atau diperkecil.

Transformasi isometri sendiri mempunyai dua jenis yaitu transformasi isometri langsung
serta transformasi isometri berhadapan.

Transformasi isometri langsung meliputi translasi dan rotasi, sementara untuk transformasi
isometri berhadapan termasuk refleksi.

Contohnya :
 Anda berjalan ke depan sejauh 5 meter
 Anda melihat bayangan anda pada cermin
 Bulan bergerak mengelilingi bumi
 Miniatur rumah yang dibuat oleh arsitek sebagai model dari rumah yang akan dibangun.

B.B.JeJniesn-jeisn-isjeTnrainssTforrmanassiformasi

a) Translasi (Pergeseran)

Menemukan konsep translasi (Pergeseran)
Coba kalian amati benda-benda yang bergerak di sekitar anda. Benda-benda

tersebut hanya berubah posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Sebagai contoh :
kendaraan yang bergerak di jalan raya, pesawat terbang yang melintas di udara, bahkan
diri kita sendiri yang bergerak kemana saja.
Saat ini yang akan membahas pergerakan objek tersebut dengan pendekatan koordinat.
Asumsikan bahwa pergerakan kea rah sumbu x positif adalah ke kanan, pergerakan ke
arah sumbu x negative adalah ke kiri, pergerakan kea rah sumbu y positif adalah ke atas,
dan pergerakan kea rah sumbu y negative adalaj ke bawah.

Berdasarkan konsep translasi di atas, maka pengertian adalah perpindahan titik-titik
pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Misalkan anda berjalan ke depan sejauh 5
meter, aktivitas ini merupakan bentuk gerak translasi. Memindahkan tanpa mengubah
ukuran dan tanpa memutar. Kata kuncinya transformasi ke arah yang sama dan ke jarak
yang sama.

Secara matematis dituliskan sebagai berikut:

Transformasi titik terhadap arah T dilambangkan dengan T =
Perhatikan gambar di bawah ini.

Suatu translasi T yang dintakan dengan komponen akan memetakan titik P(x,y) ke titik
yang dinotasikan dengan :

Contoh : dipetakan menjadi titik A’(4,3). Berapa T ?
1. Titik A(1, –2) ditranslasikan oleh

2. Tentukanlah bayangan persamaan lingkaran oleh translasi
Penyelesaian :

1. 1+a=4a=3
Sehingga, –2 + b = 3  b = 5

Jadi

2. Diketahui persamaan : ……… (1)
Karena translasi maka :

Persamaan (2) dan (3) disubstitusikan ke (1) sehingga :

Jadi, bayangan persamaannya adalah

Sifat-sifat Translasi :
Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran

b) Refleksi (Pencerminan)

Menemukan Konsep Refleksi / Pencerminan
Dalam kehidupan sehari-hari kita pasti sering bercermin. Ketika bercermin,

amatilah diri dan bayangannya. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati
pula jarak diri kita ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan
bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita akan menemukan beberapa
sifat pencerminan.

Sekarang, perhatikan lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu-y berikut ini.
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
o Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’.
o Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya

ke cermin, yaitu QA = Q’ A dan PB = P’ B.
o Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke

bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Dengan menggunakan sifat-sifat ini, kalian dapat menentukan bayangan sebuah titik yang
dicerminkan terhadap suatu garis atau terhadap suatu titik lain. Perhatikan gambar berikut!

Refleksi atau pencerminan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada
sebuah bentuk ke titik yang simetris dengan titik semula terhadap sumbu pencerminan
tersebut.

Dalam geometri bidang, sebagai cermin digunakan :
1) Sumbu x
2) Sumbu y
3) x = m
4) y = n
5) y = x
6) y = –x
7) Titik pusat O(0,0)

Penjelasan Refleksi
1) Refleksi terhadap sumbu x

y

x

Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik adalah maka

sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

 xy''  10 01 x 
y

Jadi  1 01 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.
0

Contoh :
1. Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu x adalah

Penyelesaian :
Pencerminan terhadap sumbu X
Maka

Nilai dan disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0 diperoleh :

Jadi bayangannya adalah

2) Refleksi terhadap sumbu y

y

x

Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik adalah maka

, sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

 xy''   1 0  x 
0 1 y

jadi  1 0  adalah matriks pencerminan terhadap sumbu y.
0 1

Contoh soal : oleh pencerminan terhadap sumbu Y.
Tentukan bayangan kurva
Penyelesaian :
Pencerminan terhadap sumbu Y
Maka :

dan disubstitusi ke
Diperoleh :

Jadi bayangannya adalah

Refleksi terhadap garis x = m

y

x

x=m

Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik adalah maka

.

Contoh soal :
Tentukan bayangan kurva y2 = x – 5 oleh pencerminan terhadap garis x = 3.
Penyelesaian :
Pencerminan terhadap garis x = 3
Maka :

dan disubstitusi ke
Diperoleh :

Jadi bayangannya adalah

3) Refleksi terhadap garis y = n

y

x=m y=n
x

Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan titik adalah maka
.
.

Contoh soal : oleh pencerminan terhadap garis
Tentukan bayangan kurva

Penyelesaian : maka :
Pencerminan terhadap garis

Pencerminan terhadap garis
maka :

disubstitusi ke x2 + y2 = 4

Jadi bayangannya:
x2 + y2 + 12y + 32 = 0

4) Refleksi terhadap garis y = x

y
y=x

x

Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan adalah maka =

, sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

 xy''  10 1  x 
0 y

jadi  0 1  adalah matriks pencerminan terhadap garis y = x.
1 0

Contoh soal :
Bayangan garis 2x – y + 5 = 0 yang dicerminkan tehadap garis y = x adalah….

Penyelesaian :

Matriks transformasi refleksi terhadap y = x adalah  0 1 
1 0

Sehingga dan

disubstitusi ke

diperoleh :

dikali
Jadi bayangannya adalah

5) Refleksi terhadap garis y = –x

y = –x y
P(x,y)

x

P(–y, –x)

Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan adalah maka =

, sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

 xy''   0 01 x 
1 y

Jadi  0 01 adalah matriks pencerminan terhadap garis
1

Tabel Pencerminan

Percerminan Pemetaan Matriks
Terhadap Transformasi

Sumbu x ¾
¾
Sumbu y ¾

Garis y = x

Garis y = -x

Titik (0,0)
Garis x = h
Garis y = k
Titik (h, k)

c) Rotasi

Menemukan Konsep Rotasi
Bulan merupakan satelit bumi. Bulan bergerak mengelilingi bumi kita. Bentuk

gerakan ini merupakan bentuk gerak rotasi pada kedupan sehari-hari. Rotasi yaitu
transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang melalui perputaran terhadap titik
pusat dana rah sudut tertentu. Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat perputaran,
besar sudut putar, dan arah sudut putar. Suatu perputaran atau rotasi pada bidang datar
mempunyai arah positif bila arah perputaran itu berlawanan arah dengan arah putar
jarum jam. Sedangkan arah negative terjadi bila arah perputaran itu searah dengan arah
jarum jam. Jauhnya rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan dan dinyatakan dalam
satuan derajat atau radian.

Sifat-sifat dari Rotasi :

 Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
 Bangun yang diputar mengalami perubahan posisi.

1. Rotasi dengan titik pusat O (0,0)

Pada gambar di bawah Titik adalah peta dari titik oleh rotasi terhadap

0 sebesar  radian. Misalkan koordinat cartesius titik ditulis dengan koordinat

kutub menjadi titik , maka terdapat hubungan :

dan

Titik diputar sebesar  radian terhadap titik pusat O(0,0)

menghasilkan sehingga :

……………………. (1)

…………………….(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :

Atau dapat ditulis dalam bentuk matriks :

Jadi, jika diputar dengan pusat O sebesar  radian akan menjadi titik
dengan :

Bentuk matriks adalah matriks rotasi dengan pusat O sebesar
 radian.

Contoh soal :
Tentukanlah bayangan ABC dengan titik sudut A(0,2), B(4,1), dan C(3,6) jika diputar
dengan pusat O sebesar –½  radian !

Penyelesaian : Misalkan bayangan
Titik-titik sudut ABC dapat dibentuk dalam matriks

ABC yang terbentuk oleh rorasi sebesar dengan sudut pusat O, yaitu

dinyatakan dalam bentuk matriks :

maka :

=
Jadi, bayangan ABC adalah A’B’C’ dengan A’(2,0), B’(1,–4) dan C’(6, –3)

2. Rotasi dengan titik pusat A(a,b)

Dengan cara yang sama, Jika titik pada gambar diputar dengan pusat A(a,b)
sebesar  radian maka akan menjadi titik dengan :

Dalam hal ini P ditranslasi oleh , kemudian menjadi , lalu dirotasi
sehingga dihasilkan
oleh , , dan ditranslasi lagi oleh

Contoh soal :
Tentukanlah persamaan bayangan garis 2x – y + 8 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal
koordinat dengan sudut putaran 90.
Penyelesaian :
Matriks rotasi dengan pusat atau pangkal koordinasi 90, ditulis :

Maka :

Sehingga diperoleh :

Substitusikan x dan y ke persamaan garis
2x – y + 8 = 0


 atau
Jadi, bayangannya adalah x + 2y + 8 = 0

Tabel Rotasi

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi dengan Ax, y R0,  A'x', y'  xy''   cos  sin   x 
pusat (0,0) dan sin  cos y
sudut putar α dengan x'  x cos  y sin 
y' x sin   y cos

Rotasi dengan Ax, y RP,  A'x', y'
pusat P(a,b) dan dengan x'a  x  acos  y  bsin 
sudut putar α
y'b  x  asin   y  bcos

 bernilai positif : berlawanan dengan arah jarum jam
 bernilai negatif : searah dengan arah jarum jam

d) Dilatasi (Perubahan Skala)

Menemukan Konsep Refleksi / Pencerminan
Kita pernah melihat maket atau miniature sebuah rumah di televise, koran atau saat

pameran. Maket atau miniature sebuah rumah atau gedung merupakan model dari rumah
atau gedung sebenarnya, tetapi dibuat dalam ukuran lebih kecil. Jadi, dari bentuk
miniature rumah atau gedung tersebut akan dilakukan dilatasi diperkecil dari ukuran
sebenarnya atau sebaliknya. Suatu transformasi yang mengkalikan koordinat suatu titik
dengan pusat dan skala (faktor pengali) tertentu disebut Dilatasi (Perkalian). Dengan kata
lain suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun. Suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat
dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).

Dilatasi yang berpusat di titik koordinat O(0,0) dengan faktor dilatasi k dilambangkan
D[O,k],

Sebagai contoh lihat ilustrasi gambar yang berpusat di titik O(0,0) dengan berbagai
skala k. Sedangkan dilatasi yang berpusat di sembarang titik

dengan faktor dilatasi k dilambangkan D[P, k] atau [(a,b), k].

Ilustrasi dilatasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan berbagai faktor skala k.
Berdasarkan nilai dari faktor dilatasi k, bangun hasil (bayangan) yang diperoleh dapat

ditetapkan sebagai berikut :
 Jika k > 1, maka bangun hasil terletak sepihak dari pusat dilatasi dengan bangun mula-

mula dan diperbesar.
 Jika 0 < k < 1 maka bangun hasil terletak sepihak dari pusat dilatasi dengan bangun

mula-mula dan diperkecil.
 Jika –1 < k < 0 maka bangun hasil terletak berlainan pihak dari pusat dilatasi dengan

bangun mula-mula dan diperkecil.
 Jika k < –1 maka bangun hasil terletak berlainan pihak dari pusat dilatasi dengan

bangun mula-mula dan diperbesar.

Sifat-sifat Dilatasi

Dengan mengamati gambar di atas, pada dilatasi D[O,k] diperoleh sifat – sifat :
 Bangun bayangan sebangun dengan bangun mula – mula.
 Keliling bangun bayangannya = k x keliling bangun mula-mula.
 Luas bangun bayangannya = k2 x luas bangun mula-mula.

1. Dilatasi dengan Pusat O (0,0)

Y
P’(x’,y’)

P(x,y)

OQ X
Q’

Pada gambar titik didilatasikan terhadap titikpusat O dengan faktor dilatasi k,

menghasilkan titik sehingga :

atau

atau

Jadi, dilatasi [O,k] memetakan titik ke atau

Bentuk matriks transformasi dari D[O,k} diperoleh :
atau

Contoh soal :
 Tentukan bayangan titik (2,–3) oleh dilatasi berpusat di O dengan faktor skala 3
 Tentukanlah bayangan dari ABC yang dibentuk oleh titik – titik sudut A(–1,4),

B(–3,–1), dan C(2,3) bila didilatsikan oleh pusat dilatasi O(0,0) dengan faktor dilatasi
2.
Penyelesaian :
 Dilatasi berpusat di O dengan faktor skala 3 terhadap titik (2,–3)

 Bayangan dari ABC yang dibentuk oleh titik – titik sudut A(–1,4), B(–3,–1), dan
C(2,3) bila didilatsikan oleh pusat dilatasi O(0,0) dengan faktor dilatasi 2.
Misalkan bayangan titik–titik A, B, dan C berturut-turut adalah
, maka :

Titik A’,B’, dan C’ juga dapat ditentukan dengan menggunakan matiks transformasi :

Jadi bayangan ABC adalah A’B’C’ dengan
,

2. Dilatasi Terhadap Pusat [a,b]

Y P(x’,y’)

P(x,y) S
A(a,b) R

O A’ Q Q’ X

Pada gambar diperoleh hubungan, jika titik didilatasikan oleh D[(a,b),k] akan
diperoleh bayangan




Bentuk matriks transformasi dari D[(a,b),k] diperoleh dengan cara sebagai berikut :

Jadi, matriks transformasi dilatasi dengan pusat (a,b) dan faktor dilatasi k adalah :

Sehingga, didapatkan persamaan matriks :

Contoh soal :
Dilatasi berpusat di (2,3) dengan faktor skala 4 terhadap titik (–3,4)
Penyelesaian :

Tabel Dilatasi

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi dengan Ax, y 0,k A'kx, ky  xy''   k 0  x 
0 k y
pusat (0,0) dan
faktor dilatasi k

Dilatasi dengan Ax, y P,k A'x', y'  xy''   k 0  x  a    a 
pusat P(a,b) dan dengan x'a  kx  a 0 k y  b b
faktor dilatasi k
y'b  ky  b

CC. E. EVVAALLUUAASISI

 TUGAS MANDIRI SISWA

Kerjakan soal di bawah ini dengan benar !
1. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = –x dilanjutkan

refleksi terhadap garis y = x ?
2. Titik A(1,0), B(4,0) dan C(3,2) yang merupakan titik sudut segitiga ABC ditransformasikan

dengan 3 2 . Luas segitiga hasil transformasi yaitu … satuan
1 2

3. Titik H(3,–2) dirotasikan sebesar 150◦ terhadap titik (–1,–3). Hasilnya dirotasikan lagi

sebesar 120◦ terhadap titik pusat (–1,–3). Berapa Hasil akhir rotasi titik H ?

4. Kurva y = 3x – 9x2 dirotasi dengan R[0,90◦] kemudian didilatasi dengan [0,3]. Berapa Hasil

transformasi kurva tersebut ?

5. Tentukan bayangan dari titik A(3,6) oleh dilatasi dengan :

a. Pusat di O(0,0) faktor skala 4

b. Pusat di A(2, –1) faktor skala 3

Pjepnyelesaian :

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

 TUGAS KELOMPOK SISWA

Kerjakan soal di bawah ini dengan benar !

1. Bayangan kurva y = x2 + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan

dilatasi pusat O(0,0) dan faktor skala 3 adalah ... .

2. Persamaan bayangan lingkaran bila dicerminkan terhadap garis x= 2

dilanjutkan dengan translasi adalah … .

3. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = –x dan dilanjutkan
refleksi terhadap garis y = x adalah … .

4. Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan dengan , dilanjutkan dilatasi dengan pusat O

dan faktor 2. Berapa hasil transformasinya ?

5. Bayangan garis 2x – y – 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi pusat O

sejauh 90 adalah … .

Penyelesaian :

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

SOAL UJIAN AKHIR SEMESSOTEARLGUAJNIJAILNBAAKBHTIRRANSFORMASI GEOMETRI
BAB TRANSFORMASI GEOMETRI

A. Pilihlah Jawaban yang tepat dan benar pada soal-soal berikut !

1. Bayangan garis 2x – 3y – 7 = 0 oleh rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar 90◦ berlawanan arah

putar jarum jam dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah ... .

A. 2x – 3y + 7 = 0 D. 3x – 2y – 7 = 0

B. 2x + 3y – 7 = 0 E. 3x – 2y + 7 = 0

C. 2x + 3y + 7 = 0

2. Bayangan titik A(x,y) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks  2 01
1

dilanjutkan dengan pencerminan terhada sumbu x adalah A’(4,3). Maka nilai koordinat titik

A adalah ... . C. (2 , –3) E. (–3 , –10)
D. (–2 ,–3)
A. (–3 , 2)
B. (–2 , 3)

3. Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan dengan matriks  3  , dilanjutkan dilatasi dengan
4

pusat O dan faktor 2. Hasil transformasinya adalah ... .

A. 3x + 2y = 14 C. 3x + y = 14 E. x + 3y = 14

B. 3x + 2y = 7 D. 3x + y = 7

4. Diketahui M adalah pencerminan terhadap garis y = –x dan T adalah transformasi yang

nyatakan oleh matriks  2 31 . Koordinat bayangan titik A(2, –8) jika ditransformasikan
0

oleh M dan dilanjutkan oeh T adalah ... .

A. (–10, 2) C. (10, 2) E. (2 , 10)

B. (–2, –10) D. (–10, –2)

5. Bayangan kurva y = x2 + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan

dilatasi pusat O(0,0) dan faktor skala 3 adalah ... . D. 3x2 + 9x + y + 27 = 0
A. x2 – 9x – 3y + 27 = 0 E. 3x2 + 9x + 27 = 0

B. x2 + 9x + 3y + 27 = 0
C. 3x2 + 9x – y + 27 = 0

6. Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu y, kemudian dilanjutkan dengan transformasi

sesuai matriks  2 1  menghasilkan titik (1, –8). Maka nilai a + b adalah ... .
1 2

A. –3 C. –1 E. 2

B. –2 D. 1

7. Bayangan garis 2x – y – 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks  2 34 
1

yaitu ... . C. 9x + 8y = 7 E. 9x – 8y = –25
A. 9x – 8y = 25

B. 9x – 8y = 7 D. 9x + 8y = 25

8. Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi matriks  2 32 dilanjutkan dengan matriks
1

13 2  adalah ... .
4

A. 13x – 15y + 4 = 0 C. –5x + 4y – 2 = 0 E. 13x – 4y + 2 = 0

B. 13 x – 15y – 4 = 0 D. –5x + 4y + 2 = 0

9. Diketahui translasi T memetakan titik Q (–4,2) ke titik Q’(–1,6). Translasi T akan

memetakan titik R(3, –2) ke titik … .

A. R’(0,4) C. R’(0, –6) E. R’(6,2)

B. R’(0,2) D. R’(6, –6)

10. Bayangan garis 2x – 3y – 7 = 0, oleh rotasi dengan pusat O (0,0) sebesar 90◦ berlawanan arah

putar jarum jam dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah … .

A. 2x – 3y + 7 = 0 C. 2x + 3y + 7 = 0 E. 3x- 2y + 7 = 0
B. 2x + 3y – 7 = 0 D. 3x- 2y – 7 = 0

11. Bayangan garis x – 2y = 5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi 3 5
1 2

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X adalah … .

A. 11x + 4y = 5 C. 4x + 11y = 5 E. 3x + 11y = 5

B. 4x + 2y = 5 D. 3x + 5y = 5

12. Lingkaran L : x2 + y2 = 9 dirotasikan sebesar 90◦ terhadap titik P(2, –1). Persamaan lingkaran

hasil rotasi tersebut adalah … .

A. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 9 D. (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9

B. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9 E. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9

C. (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9

2 1
13. Bayangan titik A(x,y) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 
0 

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x adalah A’(4,3). Koordinat titik A

adalah… .

A. (–3,2) C. (2,–3) E. (–3,–10)

B. (–2,3) D. (–2,3)

14. Titik C(–4,–2) didilatasikan dengan faktor skala ⅓ dilanjutkan dilatasi dengan faktor sakala –

2 terhadap titik pusat (–1,1). Hasil dilatasi titik C adalah … .

A. C”(3,1) C. C”(1,–3) E. C” (–1,3)

B. C”(3,–1) D. C”(1,3)

 2 5
15. Titik D ditransformasikan terhadap matriks 1 3 dilanjutkan transformasi terhadap

0 1 menghasilkan titik D” (–4,–13). Koordinat titik D adalah … .
matriks 1 4

A. (–2, –1) C. (–1,–1) E. (1,–1)

B. (–2, 1) D. (–1, 1)

SOAL CRITICAL THINKING DAN DISCOVERY LEARNING

Nama : ……………………….

No. Absen : ……………………….

Kelas : ……………………….

Hari / Tanggal : ……………………….

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan singkat dan benar !

1. Parabola digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu –x dan

digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu –x di

. Tentukan nilai ?

2. Parabola dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian digeser . Berapa

ordinat titik potong hasil transformasi dengan sumbu Y ?

3. Transformasi T merupakan komposisi pencerminan terhadap garis y = 5x dilanjutkan

pencerminan terhadap garis . Bagaimana matriks penyajian T tersebut ?

4. Oleh suatu pemetaan A(x, y)  A’(x’, y’) hubungan x dan y dengan x’ dan y’ ditentukan

oleh persammaan matriks , bayangan dari titik (–5, 3) dan (2, –4) oleh

transformasi itu masing-masing adalah (1, –3) dan (–6, –10). Bayangan titik A(3, –6) oleh
transformasi berapa ?
5. Suatu gambar dalam bidang XY diputar 45 searah jarum jam kemudian dicerminkan
terhadap sumbu X. Berapa nilai matriks yang menyatakan hasil kedua transformasi tersebut ?
6. Sebuah mesin fotokopi dapat membuat salinan gambar / tulisan dengan ukuran berbeda.
Suatu gambar persegi panjang difotocopi dengan setelan tertentu. Jika setelan tersebut dapat

disamakan dengan proses transformasi terhadap matriks , kemudian didilatasi dengan

titik pusat (0,0) dan faktor skala 3. Tentukan luas gambar persegi panjang tersebut ?
7. Sebuah kamera memproses gambar dengan mentranformasikan gambar tersebut terhadap

matriks . Selanjutnya, gambar tersebut ditranformasi lagi terhadap matriks .

Jika kamera tersebut mengambil gambar suatu benda dengan luas 32 cm2. Tentukan luas
benda hasil potretan tersebut ?
8. Perhatikan gambar garis alphabet berikut :

Tentukan bayangan huruf E setelah didilatasi dengan pusat I dan faktor skala – ½ ?

Penyelesaian :

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…..……………………………………………………………………………………..

…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..
…..……………………………………………………………………………………..

DAFTAR PUSTAKA

Alders, C.J. 1968. Ilmu Aljabar I. Jakarta : Noor Dhoff Kolf N.V.

Indarsih, Kartini, Suprapto, dan Untung Setiyadi. 2008. Matematika Kontekstual Plus 3 untuk
Kelas XII SMA / MA Program IPA. Klaten : Intan Pariwara

Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi, 2005. Matematika Kelas XII untuk SMA / MA
Program IPA. Klaten : Intan Pariwara

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2016. Peraturan Menteri
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 24 Tahun 2016 tentang
Standar Proses Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta : Kementerian Pendidikan
dan Kebudayaan Republik Indonesia.

Setiawan, Winarno, M. Danuri, dan Puji Iryanti. 2005. Matematika Kelas XII untuk SMA / MA
Program IPA. Yogyakarta : Citra Aji Parama.

Supatmono, Catur, dan Sriyanto, 2011. Matematika Kontekstual Kelas XII untuk SMA / MA
Program IPA. Klaten : Intan Pariwara

Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Hari Subagyo . 2016. Matematika SMA/MA Kelas XII
Program Ilmu pengetahuan Alam. Jakarta : Bumi Aksara

GLOSARIUM

Dilatasi : adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu

bangun geometri (pembesaran/pengecilan/pengalian), tetapi tidak

mengubah bentuk bangunan tersebut.

Komposisi transformasi : gabungan dari beberapa transformasi

Matriks : sekumpulan bilangan yang pengaturannya disusun berdasarkan

baris dan kolom

Refleksi : adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang

dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang

akan dipindahkan.

Rotasi : adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang

dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang

akan dipindahkan.

Rotasi : adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke

titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu.

Sumbu simetri : adalah sebuah sumbu yang membagi parabola menjadi dua bagian

yang simetris.

Sumbu (axis) : adalah suatu garis tetap terhadap mana setiap letak dari setiap titik

dapat diukur dengan jarak sepanjang garis tersebut.

Skalar : adalah kuantitas yang dapat dijelaskan dengan suatu angka (entah

itu tanpa dimensi, atau dalam suatu kuantitas fisika)

Sistem Koordinat Kartesius : digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan

menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)

dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Tranformasi : Pemindahan suatu titik atau bangun pada bidang.

Transformasi geometri : adalah bagian dari geometri yang membicarakan perubahan, baik

perubahan letak maupun bentuk penyajiannya didasarkan dengan

gambar dan matriks.

Transformasi isometri : adalah transformasi dimana bayangan bangun kongruen dengan

bangun semula

Translasi : adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang

menurut jarak dan arah tertentu.