MATEMATIKA WAJIB XI SEMESTER 1

MODUL Bahan Ajar Matematika

TRANSFORMASI
GEOMETRI

Matematika Wajib Kelas XI Semester 1
Disusun Oleh :

Sri Wahyuningsih , S.Pd

NIP. 19780308 201410 2 001

SMA NEGERI 1 JOGONALAN KABUPATEN KLATEN
TAHUN 2021

HALAMAN PENGESAHAN

Telah disahkan penggunannya untuk Siswa

Mengetahui Klaten, Juli 2021
Kepala SMA Negeri 1 Jogonalan Penulis,

Arif Mahmudi, S.Pd, M.Pd. Sri Wahyuningsih, S.Pd
NIP. 19750515 200212 1 008 NIP. 19780308 201410 2 001

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Judul……………………………………………………………………… i

Halaman Pengesahan……………………………………….…….……………….. ii

Daftar Isi …………………………………………….…………………………….. iii

Glosarium…………………………………………………………………………..… 34

PENDAHULUAN 4
A. Kompetensi Dasar ……………………………….………………….………. 4
B. Tujuan Pembelajaran (Indikator Hasil Belajar)…………………………..…. 5
C. Petunjuk Penggunaan Modul ………………………………….……….……
7
KEGIATAN PEMBELAJARAN 7
A. Pengertian Transformasi………..………………………………………….. 7
B. Jenis – Jenis Transformasi………………………………..…………………. 11
18
1. Translasi ……………………………………………………………….. 23
2. Refleksi………………………………………………………………… 27
3. Rotasi …………………………………………………………………..
4. Dilatasi…………………………………………………………………. 27
C. Evaluasi …………………………………………….………………………. 27
EVALUASI 28
Tugas Mandiri Siswa ……………………………………………………………
Tugas Kelompok Siswa …………………………………………………….….. 33
Uji Kompetensi ………….………………………………………………………

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………

PENDAHULUAN

A. KOMPETENSI DASAR
KD 1.1 Menghidupkan dan mengamalkan ajaran agama yang diyakininya.
KD 2.1 Menanamkan kehati-hatian, teliti, bertanggung jawab, tangguh, konsisten,
dan jujur, serta tanggap dalam menyelesaikan masalah nyata sehari-hari.
KD 2.2 Mengembangkan rasa ingin tahu, motivasi internal, kepercayaan diri, dan
sikap kritis dalam menyelesaikan masalah matematika dan kontekstual.
KD 3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi
transformasi menggunakan matriks
KD 4.5 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi
geometris (translasi, refleksi, dilasi, dan rotasi)

B. TUJUAN PEMBELAJARAN (Indikator Hasil Belajar)
Setelah mempelajari modul ini diharapkan :
• Sikap
1. Siswa dapat menunjukkan sikap kerja sama
2. Siswa menghargai pendapat orang lain
3. Siswa menghargai perbedaan
4. Siswa dapat menunjukkan sikap saling membantu
5. Siswa selalu kritis dengan materi yang diajarkan.
6. Siswa tekun dalam mengerjakan setiap tugas.
7. Siswa dapat menyelesaikan tugas dengan teliti.

• Pengetahuan
1. Sarankan penggunaan matriks dalam transformasi geometris.
2. Mengidentifikasi fakta tentang sifat-sifat transformasi geometris
menggunakan matriks
3. Bedakan terjemahan, refleksi, dilasi dan rotasi.
4. Sarankan definisi terjemahan, refleksi, dilasi dan rotasi.
5. Menganalisis komposisi transformasi dan transformasi menggunakan
matriks

6. Membandingkan komposisi transformasi dan transformasi menggunakan
matriks

7. Gunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
penggunaan matriks dalam transformasi geometris

• Ketrampilan
1. Peserta didik terampil menentukan hasil transformasi dan komposisi
transformasi menggunakan matriks
2. Peserta terampil memecahkan masalah sehari-hari dengan menggunakan
matriks dalam transformasi geometri.

D. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
a. Penjelasan untuk siswa
1. Baca Modul dengan seksama, pahami benar materi dan informasi yang ada
didalamnya.
2. Laksanakan semua tugas – tugas agar kompetensi berkembang dengn baik.
3. Kuasai pengertian – pengertian dalam uraian materi dan kerjakan tugas-
tugasnya.
4. Mulailah mengerjakan soal yang dianggap mudah dan sederhana.
5. Cocokkan jawabannya dengan kelompok atau teman yang lain, diskusikan
jika terdapat perbedaan.
b. Peran Guru
1. Membantu siswa dalam membuat kelompok belajar yang heterogen (4 – 6
orang siswa)
2. Menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah
mempelajari Modul ini.
3. Mendampingi siswa dalam belajar dan mebgerjakan tugas-tugas di Modul.
4. Membantu siswa jika ada kesulitan.
5. Melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan siswa.
6. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan
didiskusikan sesuai rencana pembelajaran selanjutnya.

E. PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari Modul ini adalah :
1. Peserta didik memahami dan terampil pemakaian matriks pada transformasi
geometri.
2. Peserta didik mampu mengidentifikasi fakta sifat-sifat transformasi geometri
dengan menggunakan matriks
3. Peserta didik akan membedakan terjemahan, refleksi, dilasi dan rotasi.
4. Peserta didik mampu memberikan definisi terjemahan, refleksi, dilasi dan
rotasi.
5. Peserta didik Mampu menganalisis komposisi transformasi dan transformasi
menggunakan matriks
6. Peserta didik mampu membandingkan komposisi transformasi dan transformasi
menggunakan matriks
7. Peserta didik mampu menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan penggunaan matriks dalam transformasi geometri

KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
TRANSFORMASI GEOMETRI

PETA KONSEP
A. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri atau secara bahasa berarti perubahan. Transformasi
geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan perubahan letak maupun
bentuk. Menurut Frank M. Eccles (1971: 12) transformasi pada bidang adalah
fungsi korespondensi satu-satu dari kumpulan titik pada bidang terhadap titik di
bidang itu sendiri. Berdasarkan definisi tersebut maka dapat dipahami bahwa
bidang tersebut merupakan daerah asal dan daerah hasil dalam fungsi. Transformasi
Geometri adalah perubahan kedudukan suatu titik pada koordinat Cartesius sesuai
dengan aturan tertentu. Transformasi bisa juga dilakukan pada kumpulan titik yang
membentuk bidang/bangun tertentu. Jika kalian punya sebuah titik ( , )
kemudian ditransformasikan oleh transformasi T maka akan menghasilkan titik
yang baru ′( ′, ′).

Secara matematis di tulis:

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun
pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang
membahas tentang perubahan (letak, bentuk, penyajian) yang didasarkan dengan
gambar dan matriks.
Ada empat macam tranformasi pada bidang ada empat macam, yaitu translasi
(pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian).
Translasi, refleksi dan rotasi disebut transformasi isometri, yaitu transformasi
yang menghasilkan bayangan bangun yang kongruen dengan bangun semula (yang
tidak mengakibatkan perubahan bentuk dan ukuran). Namun, dilatasi menghasilkan
bayangan (bangun hasil) yang berbeda dengan bangun semula, yaitu diperbesar
atau diperkecil.
Transformasi isometri sendiri mempunyai dua jenis yaitu transformasi isometri
langsung serta transformasi isometri berhadapan.
Transformasi isometri langsung meliputi translasi dan rotasi, sementara untuk
transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.
Contohnya :
• Anda berjalan ke depan sejauh 5 meter
• Anda melihat bayangan anda pada cermin
• Bulan bergerak mengelilingi bumi
• Miniatur rumah yang dibuat oleh arsitek sebagai model dari rumah yang akan

dibangun.

B. Jenis-jenis Transformasi
a) Translasi (Pergeseran)
Menciptkan pemikiran tentang translasi (Pergeseran)
Perhatikan barang yang bergeser di tempat anda. Objek berubah tempat tidal
menggeser bangun dan skala. Misal : motor yang bergerak, anda berjalan ke
depan sejauh 5 meter, helikopter yang terbang, dan lain-lain.

Materi ini membicarakan pergeseran benda dengan perhitungan system
koordinat. Perkirakan pergeseran kanan adalah arah sumbu x positif,
pergerakan kiri adalah arah sumbu x negative, pergerakan atas yaitu arah
sumbu y positif, dan pergerakan bawah yaitu arah sumbu y negative.

Berdasarkan konsep translasi di atas, maka pengertiannya yaitu
berpindahnya beberapa poin pada bangun dengan jangka dan tujuan tertentu.
Misalkan anda berjalan ke depan sejauh 5 meter, aktivitas ini merupakan
bentuk gerak translasi. Berpindah tanpa merubah ukuran dan tanpa
memutarnya. Konsep/gagasan dari transformasi adalah menuju arah yang sama
dan menuju jarak yang sama.

Berdasarkan perhitungan matematika dapat di tulis:

Transformasi titik terhadap arah T dilambangkan dengan T = ( )
Perhatikan gambar di bawah ini.

Suatu translasi T yang dinyatakan dengan komponen ( ) akan

menggambarkan titik P(x,y) ke titik ′( + , + ) yang dinotasikan dengan

= ( ) : ( , ) → ′( + , + )

Contoh :
1. Titik A(1, –2) ditranslasikan oleh = ( ) digambarkan menjadi titik

A’(4,3). Tentukanlah T.
2. Tentukanlah bayangan persamaan lingkaran 2 + 2 = 16 oleh translasi

= (−21)

Penyelesaian :

1. = ( ) : (1, −2) → ′(1 + , −2 + ) = ′(4,3)

Sehingga, 1+a=4

a=4–1=3

–2 + b = 3  b = 5

maka = (35)
2. Diketahui persamaan : 2 + 2 = 16 ……… (1)

Karena translasi = (−21) maka :
′ = − 1 = ′ + 1 … . . (2)

′ = + 2 = ′ − 2 … . . (3)

Persamaan (2) dan (3) disubstitusikan ke (1) sehingga :
2 + 2 = 16
 ( ′ + 1)2 + ( ′ − 2)2 = 16

Jadi, bayangan persamaannya yaitu ( + 1)2 + ( − 2)2 = 16

Translasi Bersifat :
Benda yang dipindah (translasi) tidak berubah bentuk dan
ukuran

b) Refleksi (Pencerminan)

Menemukan Konsep Refleksi / Pencerminan
Setiap hari anda sering di depan kaca cermin. Pada saat itu, perhatikan

posisi badan dan bayangannya. Apa mempunyai kerangka dan tingkatan yang
simetris ? Amati pula jarak diri kita ke cermin. Samakah dengan jarak
bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-
pertanyaan tersebut, kita akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Perhatikan obyek Q yang direfleksikan terhadap sumbu-y :
Dengan memperhatikan illustrasi di atas, maka bisa dikatakan :
o Obyek Q dengan refleksi adalah kongruen, yaitu obyek Q’.
o Pada setiap poin, jarak obyek Q ke bayangan serupa dengan jarak setiap

poin bayangannya ke kaca, yaitu QA = Q’ A dan PB = P’ B.
o Sudutnya berupa sudut siku-siku, pada sudut yang dibentuk oleh kaca

dengan garis yang menyatukan setiap titik ke bayangannya.
Uraian sifat di atas adalah sifat-sifat dari refleksi.
Berdasarkan sifat-sifat tersebut, dapat ditentukan refleksi sebuah titik yang
direfleksikan terhadap suatu garis atau terhadap suatu titik lain. Lihat illustrasi
di bawah ini !

Perpindahan setiap poin pada obyek bidang ke obyek yang sama dengan
poin awal terhadap sumbu bayangan disebut refleksi atau pencerminan.

Pada geometri bidang, pencerminan yang sering digunakan yaitu terhadap
Sumbu x, Sumbu y, garis x = m, garis y = n, y = x, y = –x dan titik pusat
O(0,0).
Penjelasan Refleksi
1) Refleksi terhadap sumbu x
y

( , ) x
′( , − )

Dengan mengamati gambar di atas, maka bayangan titik ( , ) adalah

’( ’, ’) dimana ’( ’, ’) = ’( , − ), jika ditulis dalam bentuk matriks

adalah :

’ =

’ = −

 xy'' =  1 −01 x 
0 y

Jadi  1 −01 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.
0

Contoh :
1. Tentukan pencerminan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh pencerminan terhadap

sumbu x adalah

Penyelesaian :
Pencerminan terhadap sumbu X
Maka ′ = → = ′

′ = − → = − ′
Nilai = ′ serta = − ′ dimasukkan ke 3x – 2y + 5 = 0 didapatkan :

3 ′– 2(− ′) + 5 = 0
3 ′ + 2 ′ + 5 = 0

Jadi bayangannya adalah 3 + 2 + 5 = 0

2) Pencerminan terhadap sumbu y ′( , )
y

(− , )

x

Dengan mengamati gambar di atas, bahwa bayangan titik ( , ) adalah
’( ’, ’) maka ’( ’, ’) = ’(− , ), jika ditulis dalam illustrasi matriks
adalah sebagai berikut :
’ = −
’ =

 xy'' =  −1 0  x 
0 1 y

maka  −1 0  adalah matriks refleksi terhadap sumbu y.
0 1

Contoh soal :
Tentukan bayangan kurva = – oleh pencerminan terhadap sumbu

Y.

Penyelesaian :

Pencerminan terhadap sumbu Y

Maka : ’ = − → = − ’

’ = → = ’

= − ’ dan = ’ disubstitusi ke = –
Diperoleh : ’ = (− ’) – (− ’)

’ = (− ’) + ′

Hasil bayangannya didapatkan = +

3) Refleksi terhadap garis x = m
y

( , ) ’(2 − , )
x

x=m

Dari gambar di atas, bahwa bayangan titik ( , ) adalah ’( ’, ’) maka

′( ’, ’) = ’(2 − , ).

Contoh soal :
Berapa nilai refleksi kurva y2 = x – 5 oleh refleksi terhadap garis x = 3.

Penyelesaian :

Refleksi terhadap garis x = 3

Bahwa : ’ = − → = ( . ) − ’

= – ’

’ = → = ’

= – ’ dan = ’ disubstitusi ke = −

Diperoleh : ( ′) = ( – ’) –

( ′) = – ’

Hasil bayangannya didapatkan = –

4) Refleksi terhadap garis y = n
y

( , )

x=m y=n
′( , 2 − )
x

Dengan memperhatikan gambar di atas, maka refleksi titik ( , ) adalah
’( ’, ’) maka ’( ’, ’) = ’( , 2 − ).

Contoh soal :
Tentukan bayangan kurva + = oleh refleksi terhadap garis = .
Penyelesaian :
Refleksi terhadap garis = − maka :

’ =
’ = −
Pencerminan terhadap garis = −

maka : ’ = ® = ’

’ = −

’ = (− ) −

′ = − − ® = − ′ −

disubstitusi ke x2 + y2 = 4

( ′) + (− ′ − ) =

( ′) + ((− ′) + ’ + ) − =

Hasil bayangannya didapatkan : x2 + y2 + 12y + 32 = 0

5) Refleksi terhadap garis y = x y=x
y
′( , )

( , )

x

Dengan mengamati gambar tersebut di atas, maka bayangan ( , ) adalah
′( ′, ′) maka ′( ′, ′) = ′( , ), pada illustrasi matriksnya adalah:
′ =

′ =

 xy'' =  0 1  x 
1 0 y

Maka  0 1  adalah matriks refleksi terhadap garis y = x.
1 0

Contoh soal :
Berapa nilai refleksi garis 2x – y + 5 = 0 yang direflleksikan tehadap garis y
=x
Penyelesaian :

Bentuk matriksnya adalah  0 1 
1 0

Maka nilai ′ = dan ′ =

disubstitusi ke − + =

diperoleh : ′ − ′ + =

− ′ + ′ + =

− ′ + ′ + =

dikali (− ) → ′ − ′ − =

Bayangannya didapatkan − − =

6) Refleksi terhadap garis y = –x

y = –x y
P(x,y)

x

P(–y, –x)

Dengan mengamati obyek di atas, pada refleksi ( , ) yaitu ′( ′, ′)

sehingga ′( ′, ′) = ′(− , − ), jika ditulis dalam bentuk matiks yaitu :
′ = −
′ = −

 xy'' =  0 −01 x 
−1 y

Maka  0 −01 adalah matriks refleksi terhadap garis = −
−1

Tabel Pencerminan

Percerminan Pemetaan Matriks
Terhadap Transformasi

Sumbu x ¾
¾
Sumbu y ¾

Garis y = x

Garis y = -x ( , ) → ′(2 − , )
( , ) → ′( , 2 − )
Titik (0,0)
Garis x = m
Garis y = n

Titik (m,n) . ( , ) = ’(2 − , 2 − )

c) Rotasi
Bulan bergerak mengikuti Bumi. Bentuk gerak ini merupakan bentuk

gerak perputaran. Rotasi yaitu pergerakan setiap poin yang berbentuk melalui
rotasi ke poin pusat dan arah sudut tertentu melalui rotasi ke titik pusat dan
arah sudut tertentu melalui rotasi ke titik pusat dan arah sudut tertentu. Pusat
putaran merupakan penentu putaran, sudut putaran, dan arah sudut putaran
merupakan pusat putaran. Rotasi memiliki arah positif jika putarannya
berlawanan arah jarum jam. Sedangkan arah negatif terjadi jika arah
putarannya searah jarum jam. Laju rotasi dinyatakan dalam pecahan dan
dinyatakan dalam satuan derajat atau radian.

Pusat putaran merupakan penentu putaran, sudut putaran, dan arah sudut
putaran.
Beberapa sifat dari rotasi :
• Bangun tidak berubah bentuk dan ukurannya jika diputar.
• Bangun akan berubah posisi jika diputar.
1. Rotasi dengan titik pusat O (0,0)

Pada gambar di bawah, Titik ′( ′, ′) adalah peta titik dengan rotasi

terhadap 0 kali  radian. Misalkan koordinat kartesius suatu titik ( , )

jika ditulis dalam koordinat polar menjadi titik ( , ), maka interaksinya :

= dan =

Titik ( , ) = ( , ) yang diputar  radian dengan pusat O (0,0)
didapatkan ′( ′, ′) = ′( ,  + ) sehingga :

′ = cos( + )

= (cos . − . )

= cos . − . 

′ = . cos − . sin ……………………. (1)
′ = sin( + )

= (sin . + . )

= sin . + . 

′ = . sin + . cos …………………….(2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :
′ = . cos − . sin
′ = . sin + . cos

Atau dapat ditulis dalam bentuk matriks :

( ′′) = ( − )
( )

Jadi, jika ( , ) dirotasi dengan pusat O sebesar  radian maka ′( ′, ′)

dengan :

( ′′) = ( − )
( )

Bentuk matriks = = ( − ) adalah matriks rotasi yang

berpusat O sebesar  radian.

Contoh soal :
Jika diketahui segitiga dimana A(0,2), B(4,1), dan C(3,6) jika dirotasi
dengan pusat O sebesar –½  radian.
Tentukanlah bayangan ABC !

Penyelesaian :

Titik-titik sudut ABC dapat dibentuk dalam matriks (02 4 63). Misalkan
1

bayangan ABC yang terbentuk oleh rorasi sebesar − 1 dengan sudut

2

pusat O, yaitu ′ ( ′1, ′1), ′( ′2, ′ ), ′( ′3 , ′3) dinyatakan dalam
2

bentuk matriks : ( ′′11 ′2 ′′33) maka :
′2

11 )
(− ) − (− 2 )
( ′′11 ′ ′3 ( (− 2 ) 1 (20 4 36)
2 ′3 ) = 1 1
′2
2 (− 2 )

= (−01 01) (02 4 36) = (20 1 −63)
1 −4

Jadi, bayangan gambarnya adalah A’(2,0), B’(1,–4) dan C’(6, –3)

2. Rotasi dengan titik tengah A(a,b)

Pada titik ( , ) bayangan dirotasi dengan pusat A(a, b) sebesar  radian

maka titik ′( ′, ′) menjadi :

( ′′) = ( − ) ( − ) + ( )
−

Dalam hal ini P ditranslasi oleh (−− ), kemudian menjadi ( − , − ),

lalu dirotasi oleh , ( − ) − dan ditranslasi lagi oleh ( )
( − ),

sehingga dihasilkan ′( ′, ′)

Contoh soal :
Tentukanlah persamaan bayangannya, jika garis 2x – y + 8 = 0 setelah

diputar dengan sudut putaran 90. !

Penyelesaian :

Matriks rotasi dengan pusat atau pangkal koordinasi 90, ditulis :
=90° = ( 9900°° − 9 900°°) = (10 −01)

Maka :

( ′′) = (01 −01) = (− )
( )

Sehingga diperoleh :
′ = −  = − ′

′ =  = ′

Masukkan x dan y ke dalam persamaan garis tersebut :
2x – y + 8 = 0

2 ′ − (− ′) + 8 = 0

2 ′ + ′ + 8 = 0 atau ′ + 2 ′ + 8 = 0

Jadi, bayangannya adalah x + 2y + 8 = 0

Tabel Perputaran

Rotasi Rumus Matriks

Perputaran A(x, y) ⎯R⎯(0⎯, )® A'(x', y')  xy'' =  cos − sin   x 
pusat (0,0) sin  cos y
dan sudut dengan x' = x cos − y sin 
putar α y' = x sin  + y cos

Perputaran A(x, y) ⎯R⎯(P⎯, )® A'(x', y')
dengan pusat dengan x'−a = (x − a)cos − (y − b)sin 
P(a,b) dan
sudut putar α y'−b = (x − a)sin  + (y − b)cos

d) Dilatasi (Perubahan Skala)
Pada saat melihat maket atau miniatur rumah di televisi, surat kabar,

atau di pameran. Maket atau miniatur rumah atau bangunan merupakan
model rumah atau bangunan yang sebenarnya, namun dibuat dalam ukuran
yang lebih kecil. Jadi dari bentuk miniatur rumah atau bangunannya, dilatasi
akan diperkecil dari ukuran sebenarnya atau sebaliknya. Transformasi yang
mengalikan koordinat suatu titik dengan pusat dan skala tertentu (pengali)
disebut Dilasi (Perkalian).

Dilasi berpusat pada titik koordinat O (0,0) dengan faktor dilasi k
dilambangkan dengan D [O, k],

Sebagai contoh, lihat ilustrasi bayangan yang berpusat pada titik O (0,0)
dengan berbagai skala k. Sementara itu, pelebaran terpusat di titik ( , )
dengan faktor dilatasi k dilambangkan dengan D [P, k] atau [(a, b), k].

Ilustrasi dilatasi berpusat pada titik O (0,0) dengan berbagai faktor skala k.
Berdasarkan nilai faktor dilasi k, maka bentuk bayangan yang dihasilkan dapat
ditentukan sebagai berikut :
• Jika k > 1, maka bentuk yang dihasilkan terletak satu sisi dari pusat dilatasi

dengan bentuk aslinya dan diperbesar.
• Jika 0 < k < 1 maka bentuk yang dihasilkan terletak satu sisi dari pusat

dilatasi dengan bentuk aslinya dan diminimalkan.
• Jika –1 < k <0 maka bentuk yang dihasilkan terletak di sisi berlawanan dari

pusat dilatasi dengan bentuk awal dan diminimalkan.
• Jika k < –1 maka bentuk yang dihasilkan terletak di sisi berlawanan dari

pusat dilatasi dengan bentuk aslinya dan diperbesar.

Dengan mengamati gambar di atas, dilatasi D [O, k] menghasilkan sifat-sifat
berikut :
• Bangun bayangan yang kongruen dengan bangun awal.
• Keliling bayangan = k x keliling bentuk aslinya.
• Luas bayangan = k2 x luas bentuk aslinya.

1. Dilatasi dengan Pusat O (0,0)
Y
P’(x’,y’)

P(x,y)

OQ X
Q’

Perhatikan illustrasi di atas, titik ( , ) didilatasikan terhadap titikpusat O
dengan faktor dilatasi k, menghasilkan titik ( ′, ′) sehingga :
′ = . atau ′ = .
′ ′ = . atau ′ = .
Jadi, dilatasi [O,k] memetakan titik ( , ) ke ′( , ) atau

[ , ]: ( , ) → ′( , )

Bentuk matriks transformasi dari D[O,k} diperoleh :

( ′′) = ( ) + . ( − ) = ( ) atau ( ′′) = ( ) ( ) =
−

( )

Contoh soal :
• Tentukan bayangan titik (2, –3) dengan dilatasi yang berpusat pada O

dengan faktor skala 3
• Tentukan bayangan segitiga ABC yang dibentuk oleh simpul A (–1,4), B

(–3, –1), dan C (2,3) bila ditunjukkan oleh pusat dilatasi O (0,0) dengan
faktor dilatasi 2.
Penyelesaian :
• Dilatasi berpusat di O dengan faktor skala 3 terhadap titik (2,–3)
( ′′) = (00) + 3. (−23−−00) = (−69)

• Bayangan dari ABC yang dibentuk oleh titik – titik sudut A(–1,4), B
(–3,–1), dan C(2,3) bila didilatsikan oleh pusat dilatasi O(0,0) dengan
faktor dilatasi 2.
Misalkan bayangan titik–titik A, B, dan C berturut-turut adalah

′( 1, 1), ′( 2, 2), ′ ( 3, 3), maka :
[ , 2]: [−1,4] → ′(2 (−1), 2 4) = ′(−2,8)

[ , 2]: [−3, −1] → ′(2 (−3), 2 (−1)) = ′(−6, −2)

[ , 2]: [2,3] → ′(2 2,2 3) = ′(4,6)

Titik A’,B’, dan C’ juga dapat ditentukan dengan menggunakan matiks

transformasi :

( 11 2 33) = (02 20) (−41 −3 32) = (−82 −6 46)
2 −1 −2

Jadi bayangan ABC adalah A’B’C’ dengan

′(−2,8), ′(−6, −2), ′(4,6)

2. Dilatasi Terhadap Pusat [a,b]
Y P(x’,y’)

P(x,y) S
A(a,b) R

O A’ Q Q’ X

Pada gambar diperoleh hubungan, jika titik ( , ) didilatasikan oleh
D[(a,b),k] akan diperoleh bayangan ′( ′, ′)
• = ′ = − ; = −

= ′ ′ = . ′ = ( − )
′ = ′ + ′ ′
′ = + ( − )

• ′ = . = ( − )
′ ′ = ′ + ′
′ = + ( − )

[( , ), ] ∶ ( , ) → ′( + ( − ), + ( − ))

Bentuk matriks transformasi dari D[(a,b),k] diperoleh dengan cara sebagai

berikut :
′ = + ( − ) ′ − = ( − ) = ( − ) + 0( − )
′ = + ( − ) ′ − = ( − ) = 0( − ) + ( − )

Jadi, matriks transformasi dilatasi dengan pusat (a,b) dan faktor dilatasi k

adalah :

( ′′ − ) = ( 0 0 )
−

Sehingga, didapatkan persamaan matriks :

( ′′) = ( 0 0 ) − + ( )
( − )

Contoh soal :
Dilatasi berpusat di (2,3) dengan faktor skala 4 terhadap titik (–3,4)

Penyelesaian :

( ′′) = ( 0 0 ) − + ( )
( − )

( ′′) = (40 40) (−43−−32) + (32)

= 4 (−15) + (32) = (−420) + (23) = (−718)

Tabel Dilatasi

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi A(x, y) ⎯⎯0⎯,k® A'(kx, ky)  xy'' =  k 0  x 
0 k y
dengan

pusat (0,0)

dan faktor

dilatasi k

Dilatasi A(x, y) ⎯⎯P⎯,k® A'(x', y')  xy'' =  k 0  x − a  +  a 
dengan dengan x'−a = k(x − a) 0 k y − b b
pusat P(a,b)
y'−b = k(y − b)

dan faktor

dilatasi k

C. EVALUASI
 TUGAS MANDIRI SISWA

Kerjakan soal di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan persamaan bayangan garis y = 2x - 3 karena pemantulan pada garis y =

–x diikuti pemantulan pada garis y = x ?
2. Titik A (1,0), B (4,0) dan C (3,2) yang merupakan simpul segitiga ABC diubah

oleh. Luas segitiga yang ditransformasikan adalah… unit
3. Titik H (3, –2) diputar 150◦ terhadap titik (–1, –3). Hasilnya diputar lagi sebesar

120◦ terhadap titik tengah (–1, –3). Berapakah hasil akhir dari rotasi titik H?
4. Kurva y = 3x - 9x2 diputar dengan R [0,90◦] kemudian dilebarkan dengan [0,3].

Apa hasil dari transformasi kurva tersebut?
5. Cari bayangan dari titik A (3,6) dengan melakukan dilatasi dengan:

a. Pada faktor skala 4 dan pusat O (0,0)
b. Pada faktor skala 3 dan titik A (2, –1)
 TUGAS KELOMPOK SISWA
Jawablah pertanyaaan di bawah ini dengan singkat dan benar !
1. Bayangan kurva y = x2 + 3x + 3 bila dipantulkan pada sumbu X diikuti dilatasi

pusat O (0,0) dan faktor skala 3 adalah ....
2. Persamaan bayangan lingkaran bila direfleksikan pada garis x = 2 diikuti

translasi adalah….
3. Persamaan bayangan garis y = 2x - 3 karena pantulan pada garis y = –x dan

diikuti pantulan pada garis y = x adalah….
4. Garis 3x + 2y = 6 diterjemahkan dengan, diikuti dilatasi dengan pusat O dan

faktor 2. Berapakah hasil transformasi?
5. Bayangan garis 2x - y - 6 = 0 jika dipantulkan pada sumbu X diikuti dengan

rotasi dari pusat O sejauh 90 adalah….

SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL BAB TRANSFORMASI
GEOMETRI

A. Pilihlah Jawaban yang tepat pada soal-soal berikut !

1. Bayangan garis 2x – 3y – 7 = 0 oleh rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar 90◦

berlawanan arah putar jarum jam dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = x

adalah ... . D. 3x – 2y – 7 = 0
A. 2x – 3y + 7 = 0 E. 3x – 2y + 7 = 0
B. 2x + 3y – 7 = 0

C. 2x + 3y + 7 = 0

2. Bayangan titik A(x,y) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks  2 −01
1

dilanjutkan dengan pencerminan terhada sumbu x adalah A’(4,3). Maka nilai

koordinat titik A adalah ... .

A. (–3 , 2) C. (2 , –3) E. (–3 , –10)

B. (–2 , 3) D. (–2 ,–3)

3. Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan dengan matriks  3  , dilanjutkan dilatasi
−4

dengan pusat O dan faktor 2. Hasil transformasinya adalah ... .

A. 3x + 2y = 14 C. 3x + y = 14 E. x + 3y = 14

B. 3x + 2y = 7 D. 3x + y = 7

4. Diketahui M adalah pencerminan terhadap garis y = –x dan T adalah transformasi

yang nyatakan oleh matriks  2 −31 . Koordinat bayangan titik A(2, –8) jika
0

ditransformasikan oleh M dan dilanjutkan oeh T adalah ... .

A. (–10, 2) C. (10, 2) E. (2 , 10)

B. (–2, –10) D. (–10, –2)

5. Bayangan kurva y = x2 + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan

dengan dilatasi pusat O(0,0) dan faktor skala 3 adalah ... .

A. x2 – 9x – 3y + 27 = 0 D. 3x2 + 9x + y + 27 = 0

B. x2 + 9x + 3y + 27 = 0 E. 3x2 + 9x + 27 = 0
C. 3x2 + 9x – y + 27 = 0

6. Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu y, kemudian dilanjutkan dengan

transformasi sesuai matriks  −2 1  menghasilkan titik (1, –8). Maka nilai a + b
1 2

adalah ... . C. –1 E. 2
A. –3 D. 1
B. –2

7. Bayangan garis 2x – y – 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

 2 34 yaitu ... .
1

A. 9x – 8y = 25 D. 9x + 8y = 25
E. 9x – 8y = –25
B. 9x – 8y = 7

C. 9x + 8y = 7

8. Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi matriks  2 3  dilanjutkan dengan
1 2

matriks 13 24 adalah ... . D. –5x + 4y + 2 = 0
E. 13x – 4y + 2 = 0
A. 13x – 15y + 4 = 0
B. 13 x – 15y – 4 = 0
C. –5x + 4y – 2 = 0

9. Diketahui translasi T memetakan titik Q (–4,2) ke titik Q’(–1,6). Translasi T akan

memetakan titik R(3, –2) ke titik … .

A. R’(0,4) C. R’(0, –6) E. R’(6,2)

B. R’(0,2) D. R’(6, –6)

10. Bayangan garis 2x – 3y – 7 = 0, oleh rotasi dengan pusat O (0,0) sebesar 90◦

berlawanan arah putar jarum jam dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = x

adalah … .

A. 2x – 3y + 7 = 0 C. 2x + 3y + 7 = 0 E. 3x- 2y + 7 = 0

B. 2x + 3y – 7 = 0 D. 3x- 2y – 7 = 0

11. Bayangan garis x – 2y = 5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi 3 5
1 2

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X adalah … .

A. 11x + 4y = 5 C. 4x + 11y = 5 E. 3x + 11y = 5

B. 4x + 2y = 5 D. 3x + 5y = 5

12. Lingkaran L : x2 + y2 = 9 dirotasikan sebesar 90◦ terhadap titik P(2, –1). Persamaan
lingkaran hasil rotasi tersebut adalah … .

A. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 9 D. (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9
B. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9 E. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9
C. (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9

2 −1
13. Bayangan titik A(x,y) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 
0 

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x adalah A’(4,3). Koordinat titik A

adalah… .

A. (–3,2) C. (2,–3) E. (–3,–10)
B. (–2,3) D. (–2,3)

14. Titik C(–4,–2) didilatasikan dengan faktor skala ⅓ dilanjutkan dilatasi dengan faktor

sakala –2 terhadap titik pusat (–1,1). Hasil dilatasi titik C adalah … .

A. C”(3,1) C. C”(1,–3) E. C” (–1,3)

B. C”(3,–1) D. C”(1,3)

 2 5
15. Titik D ditransformasikan terhadap matriks −1 3 dilanjutkan transformasi

0 1 menghasilkan titik D” (–4,–13). Koordinat titik D adalah
terhadap matriks −1 4
….
A. (–2, –1) C. (–1,–1) E. (1,–1)
B. (–2, 1) D. (–1, 1)

SOAL REMIDIAL (PENGAYAAN)

1. Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks (−23) dan dilanjutkan dengan
(−11). Tentukan bayangannya !

2. Persamaan bayangan kurvaa 3x + 2y – 12 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian

dengan matriks (−01 01) dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah ….
3. Tentukan Persamaan garis x – 2y + 4 = 0oleh refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan

rotasi [0, 1 ] !
4

4. Bayangan kurva = 2 − 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan

dilatasi pusat O dan faktor skala adalah … .

5. Bayangan garis 3x + 4y = 6 oleh transformasi berturut – turut pencerminan terhadap

sumbu X, dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 90 adalah … .

Penyelesaian :

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

SOAL CRITICAL THINKING DAN DISCOVERY

LEARNING

Nama : ……………………….

No. Absen : ……………………….

Kelas : ……………………….

Hari / Tanggal : ……………………….

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan singkat dan benar !
1. Parabola = 2 − 6 + 8 bergeser ke kanan 2 satuan sepanjang sumbu –x dan

bergerak ke bawah 3 satuan. Jika hasil parabola dari pergeseran ini memotong
sumbu -x ke dalam 1 2. Tentukan nilai 1 + 2 ?
2. Parabola = 2 − 4 dicerminkan tentang sumbu X, lalu bergeser [−31]. Berapa
ordinat dari titik potong yang ditransformasikan pada sumbu Y?
3. Transformasi T adalah susunan pantulan garis y = 5x diikuti pencerminan garis =
− . Bagaimana matriks representasi T?

5

4. Dengan pemetaan A(x, y) → A’(x’, y’) hubungan x dan y dengan x' dan y
'ditentukan oleh persamaan matriks ( ′′) = ( ) ( ), bayangan titik (–5, 3 ) dan
(2, - 4) oleh transformasi adalah (1, –3) dan (–6, –10), masing-masing. Bayangan
titik A (3, –6) dengan transformasi berapa?

5. Sebuah gambar dalam bidang XY diputar 45 searah jarum jam kemudian

dicerminkan di sekitar sumbu X. Berapakah nilai matriks yang merepresentasikan

hasil dari kedua transformasi tersebut?

6. Mesin fotokopi dapat membuat salinan gambar / tulisan dengan ukuran berbeda.

Gambar persegi panjang difotokopi dengan pengaturan tertentu. Jika setting tersebut
dianalogikan dengan proses transformasi matriks (24 31), maka dilakukan dilatasi
dengan titik pusat (0,0) dan faktor skala 3. Berapakah luas bayangan persegi panjang
tersebut?

15

7. Kamera memproses gambar dengan mengubah gambar menjadi matriks (41 8 ).
2
2

Selanjutnya gambar tersebut diubah lagi menjadi matriks (84 11). Jika kamera

mengambil gambar sebuah objek dengan luas 32 cm2. Berapa luas objek yang

ditangkap?

8. Perhatikan barisan huruf berikut :

Berapakah bayangan huruf E setelah dilatasi dengan pusat I dan faktor skala - ½?

Penyelesaian :
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA

Alders, C.J. 1968. Ilmu Aljabar I. Jakarta : Noor Dhoff Kolf N.V.

Indarsih, Kartini, Suprapto, dan Untung Setiyadi. 2008. Matematika Kontekstual Plus 3
untuk Kelas XII SMA / MA Program IPA. Klaten : Intan Pariwara

Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi, 2005. Matematika Kelas XII untuk
SMA / MA Program IPA. Klaten : Intan Pariwara

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2016. Peraturan Menteri
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 24 Tahun 2016
tentang Standar Proses Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta :
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia.

Setiawan, Winarno, M. Danuri, dan Puji Iryanti. 2005. Matematika Kelas XII untuk
SMA / MA Program IPA. Yogyakarta : Citra Aji Parama.

Supatmono, Catur, dan Sriyanto, 2011. Matematika Kontekstual Kelas XII untuk SMA /
MA Program IPA. Klaten : Intan Pariwara

Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Hari Subagyo . 2016. Matematika SMA/MA Kelas
XII Program Ilmu pengetahuan Alam. Jakarta : Bumi Aksara

GLOSARIUM

Dilatasi : merupakan transformasi yang mengubah ukuran atau skala

suatu bentuk geometris (pembesaran / pengurangan /

perkalian), tetapi tidak mengubah bentuk bangunan.

Komposisi transformasi: kombinasi dari beberapa transformasi

Matriks : sekumpulan angka yang disusun oleh baris dan kolom

Refleksi : merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada

bidang menggunakan properti bayangan cermin dari titik

yang akan dipindahkan.

Rotasi : adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang

ke titik lainnya dengan memutarnya di tengah titik tertentu.

Sumbu simetris : merupakan sumbu yang membagi parabola menjadi dua

bagian simetris.

Sumbu (sumbu) : adalah garis tetap di mana setiap lokasi setiap titik dapat

diukur dengan jarak di sepanjang garis.

Skalar : adalah besaran yang dapat dideskripsikan dengan bilangan

(baik tak berdimensi, maupun dalam besaran fisik)

Sistem koordinat kartesius : digunakan untuk menentukan setiap titik dalam sebuah

bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut

koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik

tersebut.

Tranformasi : suatu titik atau bangun yang berpindah pada bidang.

Transformasi geometri: merupakan bagian dari geometri yang membahas tentang

perubahan, baik perubahan lokasi maupun bentuk penyajian

berdasarkan gambar dan matriks.

Transformasi isometri : adalah transformasi dimana bayangan bangun kongruen

dengan bangun semula

Translasi : merupakan transformasi yang menggerakkan setiap titik pada

bidang menurut jarak dan arah tertentu.