BAB I Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, siswa dapat: 1. Menjelaskan pengertian fungsi. 2. Menentukan domain, kodomain, dan range dari suatu fungsi. 3. Menjelaskan syarat dan aturan komposisifungsi. 4. Membuat komposisi fungsi yang terdiri atasdua atau lebih fungsi. 5. Menggunakan konsep komposisi fungsiuntuk menyelesaikan masalah. 6. Menyelidiki sifat komutatif dan sifat asosiatifpada komposisi fungsi. 7. Menjelaskan syarat dan aturan pembuatan fungsi invers. 8. Menggunakan konsep fungsi invers untukmenyelesaikan masalah A. Definisi Relasi Dalam kehidupan sehari-hari, sering mendengar kata “Relasi”. Relasi memiliki arti hubungan. Dalam matematika, Relasi diartikan sebagai hubungan antara dua himpunan. Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari A ke B adalah aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Contoh himpunan A dan B mengenai mata uang negara. Dapat dilihat relasi atau hubungan antara himpunan A dan B. Dimana himpunan A terdiri atas nama-nama mata uang dan anggota B terdiri atas nama-nama negara.Jika dicermati akan ditemukan relasi antara anggota himpunan A dan B sebagai berikut : 1. Rupiah merupakan mata uang negara Indonesia 2. Rupee merupakan mata uang negara India 3. Baht merupakan mata uang negara Thailand 4. Ringgit merupakan mata uang negara Malaysia Untuk menyatakan relasi antara 2 himpunan dapat digunakan 3 cara yaitu : 1. Diagram Panah Perhatikan diagram panah berikut : Rupiah Indonesia, berarti rupiah merupakan mata uang Indonesia. Rupee India Baht Thailand Ringgit Malaysia
Pada diagram panah, relasi antara dua anggota himpunan dari dua himpunan yang berbeda dinyatakan dengan anak panah. Mata Uang Negara A B 2. Diagram Cartesius/Grafik Anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap anggota A yang berelasi dengan aggota B dinyatakan dengan tanda noktah () 3. Pasangan Berurutan Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan seperti berikut : a. Rupiah, Indonesia b. Baht, Rupiah c. Rupee, India d. Ringgit, Malaysia Relasi antara dua himpunan adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Himpunan semua unsur pertama disebut Daerah asal (domain) = {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit} Himpunan semua unsur kedua disebut Daerah hasil (kodomain) = {Indonesia, India, Thailand, Malaysia) 4. Daerah Asal, Daerah Kawan dan Daerah Hasil suatu Relasi Daerah asal (domain) adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan. Daerah kawan (kodomain) adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan. Daerah hasil (range) adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefiniskan. Rupiah Rupee Bath Ringgit Indonesia India Thailand Malaysia
Misalkan A dan B dua himpunan. Relasi dari A dan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke setiap anggota himpunan B disebut hasil kali kartesius A dan B, dapat ditulis A B x, y| xA, yB. B. Sifat-sifat Relasi a. Reflektif Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P . Relasi R dikatakan bersifat reflektif jika untuk setiap p P berlaku p, pR. Contoh : Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri. Diberikan himpunan C = {2, 4, 5} Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) | a + b < 9, dengan a, b C}, maka diperoleh S = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)}. Relasi R tersebut tidak bersifat reflektif sebab ada anggota himpunan C yaitu 5 tidak berelasi dengan dirinya sendiri atau (5,5) R b. Simetris Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P . Relasi R dikatakan bersifat simetris jika untuk setiap x, y R berlaku y, x R . Contoh : Diberikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)} Relasi R bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) R, berlaku (y,x) R. Diberikan himpuan A = {2,4,5} Didefinisikan relasi R pada himpunan A dengan R = {(x,y) | x kelipatan y, dengan x, y A} maka diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) anggota R tetapi (2,4) R c. Transitif Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P . Relasi R dikatakan bersifat transitif jika untuk setiap x, yR dan y,zR berlaku x,zR . Contoh : Diberikan himpunan P = {1,2,3}
Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) R dan (y,z) R maka berlaku (x,z) R Diberikan himpunan C = {1,2,3} Didefinisikan relasi R dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tidak memenuhi sifat transitif, sebab terdapat (1,1) R dan (1,2) R, tetapi (2,1) R d. Antisimetris Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P . Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap x, yR dan y,xR berlaku x y . Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5} Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) | a kelipatan b, a, b C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)} reasi R tersebut bersifat antisimetris Diberikan S = {1,2,3} Didefinisikan relasi R pada himpunan S dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab terdapat (1,2) R dan (2,1) R, tetapi 1 2. C. Fungsi (PEMETAAN) 1. Definisi Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B . Ditulis: f: x →y, dibaca fungsi f memetakan x ke y, sedemikian sehingga y = f(x) “Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B” Fungsi f : A B dapat dinyatakan dalam bentuk berikut : a. Diagram Panah Fungsi yang dinyatakan dalam diagram panah sering disebut sebagai pemetaan (mapping). Pada diagram panah di bawah ini dapat dituliskan formula dari fungsi f, yaitu : y = f(x) Bentuk y = f(x) dikenal sebagai rumus fungsi A B f(x) Range(Rf) Domain (Df) Kodomain(Kf x
Contoh : 1) Perhatikan fungsi f : A B di bawah ini : A setengah dari B 2) Perhatikan fungsi f : A B di bawah ini : Tentukan : domain, kodomain dan range dari f Rumus untuk fungsi f A B Jawab : Domain dari f : DfA = {1,2,3) Kodomain dari f : B = {1,2,3,4,5,6} Range dari f : Rf = {2,4,6} Rumus untuk f(x) = f(x) = 2x b. Himpunan Pasangan Terurut Fungsi sebagai himpunan pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y adalah himpunan (x,y) dengan x Df paling banyak muncul satu kali dalam setiap pemetaan dan setiap x harus mempunyai pasangan di daerah kodomainnya. Contoh : 1) Misalkan A = {0,1,2,3} dan B = {6,7,8,9}. Manakah yang merupakan fungsi f : A B dari setiap himpunan pasangan terurut berikut : a) {(0,6), (1,7), (2,8), (3,9)} d). {(0,6), (0,7), (1,8), (2,6), (3,9)} b) {(0,7), (1,7), (2,9), (3,9)} e). {(1,6), (2,7), (3,8)} c) {(0,8), (1,8), (2,8), (3,8)} f). {(0,9), (1,7), (1,8), (2,7), (2,9)} Jawab : 1) A = {0,1,2,3} dan B = {6,7,8,9}. Yang merupakan fungsi f : A B 3 5 6 8 3 6 10 12 16 3 1 2 3 3 1 2 3 4 5 6
a, b, dan c merupakan fungsi karena untuk setiap anggota A = {0,1,2,3} mempunyai pasangan di himpunan B dan setiap elemen dari A hanya muncul satu kali dalam setiap pemetaan. d bukan fungsi karena 0 muncul dua kali dalam pemetaan f : A B e bukan fungsi karena 0 tidak muncul dalam pemetaan f : A B f bukan fungsi karena 1 dan 2 muncul dua kali dan 3 tidak muncul dalam pemetaan f : A B c. Grafik fungsi Fungsi yang dinyatakan dalam bentuk grafik sering disebut grafik fungsi. Grafik dari fungsi f(x) pada koordinat Cartesius terbentuk atas titik – titik (x,y) yang beraturan sedemikian sehingga x Df dan y = f(x) Rf. Grafik y = f(x) merupakan fungsi jika dibuat garis sejajar sumbu Y hanya memotong kurva y = f(x) pada satu titik saja. Contoh gambar grafik fungsi : y y 0 x 0 x y 0 x 2. Beberapa Fungsi Khusus Dalam matematika sering dijumpai berbagai macam fungsi, diantaranya mempunyai ciri – ciri yang khusus / khas. Fungsi yang mempunyai ciri khusus disebut fungsi khusus. Berikut ini akan dibahas beberapa fungsi khusus tersebut. Macam-macamnya disajikan di bawah ini : a. Fungsi Konstan Adalah fungsi yang pengaitannya berupa fungsi dan nilainya hanya satu atau daerah nilai terdiri dari satu elemen. Suatu fungsi f : A B disebut fungsi konstan, apabila setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama. Hal ini berarti f : A B adalah fungsi konstan, apabila daerah hasil (range) dari f hanya satu elemen. Formula fungsi konstan ditentukan oleh f(x) = k dengan x R dan k merupakan sebuah konstanta atau nilai tetapan. Agar lebih jelas, perhatikan contoh fungsi konstan berikut.
Contoh : A B y f(x)= p | | | 0 | | | x f(x) = p merupakan fungsi konstan b. Fungsi Identitas Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. agar lebih memahami tentang fungsi identitas, perhatikan contoh soal berikut ini : Fungsi yang pengkaitan tersebut berasal dari himpunan A ke himpunan B sendiri, sehingga setiap x A diratakan ke x sendiri y y = x A B x Contoh soal : Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3) Gambarlah grafiknya Jawab : f(x) = x f(–2) = –2 f(0) = 0 f(1) = 1 f(3) = 3 c. Fungsi Linier (Fungsi polinom berderajat satu) Adalah fungsi dengan aturan y = f(x) = ax + b, a, b R, a 0 a b c d 3 P a b c d 3 a b c d 3
Grafiknya berupa garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y. grafik fungsi linear memotong sumbu X di titik ,0 a b dan memotong sumbu Y di titik (0,b). Gradien garis lurus adalah m = tan , dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh garis lurus terhadap sumbu X positif. Contoh : 1) Fungsi linier f(x) = ax + b, peta x = –1 adalah 3 dan peta x = 3 adalah 1. Tentukan aturan fungsi tersebut. 2) Suatu fungsi linear ditentukan oleh f(x) = ax + b dengan f(0) = –7 dan f(3) = 2 Tentukan nilai a dan b serta formula f(x) dan lukiskan grafik fungsi f pada bidang cartesius untuk domain : Df = {x | x R} 3) Tentukan domain dan range dari fungsi : f(x) = x + 2 Jawab : 1) f(x) = ax + b→ 3a+b=1 −a+b = 3 } b = 5 2 a = − 1 2 Jadi () = − 1 2 x + 5 2 2) f(x) = ax + b Untuk f(0) = –7 a. 0+ b = –7 b = –7 Untuk f(3)= 2 3a + b = 2 3a – 7 = 2 3a = 2 + 7 = 9 a = 3 Jadi formula untuk f(x) adalah f(x) = 3x – 7 Gambar grafik Titik potong terhadap sumbu X = ,0 3 7 & Titik potong terhadap sumbu Y= (0,–7) Y ,0 3 7 0 x –7
3) Domain dan range dari fungsi : f(x) = x + 2 Untuk memudahkan menentukan domain dan range dari fungsi f(x) = x + 2, sketsalah grafiknya, maka akan diperoleh : Domain dari fungsi f(x) = x + 2 merupakan nilai x pada grafik (bilangan real) atau dinotasikan : Df : {x | x ϵ R} Range dari fungsi f(x) = x + 2 merupakan semua nilai y pada grafik (bilangan real) atau dinotasikan : Rf : {y | y ϵ R} y Range - 2 | 0 x –2 Domain d. Fungsi Kuadrat (Fungsi Polinom Berderajat Dua) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 +bx+c, dengan a 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola Contoh : Fungsi f(x) = x2 + 2x – 3, dengan domain {x | –4 x 2}, grafiknhya sebagai berikut : Domain {x | –4 x 2} Nilai minimum = –4 dan Nilai maksimum = 5 Range f = {y | –4 y 5} Pembuat nol fungsi f adalah x = –3 dan x = 1 Koordinat titik balik adalah (–1, –4) e. Fungsi Tangga (Bertingkat) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval – interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini : Diketahui fungsi : f(x) = , jika x 4 , jika 2 x 4 , j ika 1 x 2 , jika x 1 3 2 0 1
Jawab : o f(–2) = –1 o f(0) = 0 o f(3) = 2 o f(5) = 3 Contoh : Kita mempunyai daftar harga pengiriman surat : - Jika berat surat 0 x 200 gram, ongkos pengiriman Rp. 2.000,00 - Jika berat surat 200 x 400 gram, ongkos pengiriman Rp. 4.000,00 - Jika berat surat 400 x 600 gram, ongkos pengiriman Rp. 8.000,00 Grafiknya sebagai berikut : Rp. 8.000 - Rp. 6.000 - Rp. 4.000 - Rp. 2.000 - 0 200 00 600 f. Fungsi Modulus atau Fungsi Mutlak y Didefinisikan : |x| = { −x, x < 0 x, x ≥ 0 y = | x | Contoh grafik fungsi f(x) = | x | | | | | –2 –1 0 1 2 x Suatu fungsi f yang didefiniskan dengan f(x) = |x|, yang memasangkan setiap bilangan real dengan nilai mutlaknya, disebut dengan fungsi modulus.
3. Domain dan Range Suatu Fungsi Penentuan domain dan range suatu fungsi yang rumusnya diketahui bergantung pada pendefinisian rumus itu dalam kondisi yang terdefinisi. Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut ini : a. Carilah domain dari fungsi yang didefinisikan pada setiap persamaan berikut : o y 2x 6 o 6t 7 2 t 1 s b. Tentukan range dari fungsi x 3 x 2 y f(x) Jawab : a. Domain dari fungsi berikut : o y 2x 6 akan terdefinisi apabila 2x + 6 0, maka : 2x + 6 0 2x –6 x –3 Jadi domain dari y 2x 6 adalah interval [–3, ) atau dapat pula ditulis –3 ≤ x ≤ , x R o Bentuk 6t 7 2 t 1 s akan terdefinisi apabila penyebut 0. Hal ini berarti : t 2 – 6t – 7 0 (t – 7) (t + 1) 0 t – 7 0 da t + 1 0 t 7 dan t –1 Jadi domain dari s = 6t 7 2 t 1 adalah t 7 dan t –1, t R b. Range dari fungsi x 3 x 2 y f(x) Range dari fungsi adalah semua output y. hal ini berarti harus mengubah x dalam y x 3 x 2 y xy – 3y = x + 2 xy – x = 3y + 2 x(y – 1) = 3y + 2 y 1 3y 2 x
Bentuk y 1 3y 2 akan terdefinisi apabila penyebut tidak nol, yaitu y 1. Jadi, range dari fungsi x 3 x 2 f(x) adalah Rf = {y | y 1, y R} 4. Sifat – sifat Fungsi a. Fungsi injektif (Satu – satu) Jika fungsi f : A B, setiap b B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka disebut fungsi satu-satu (injektif). Hal ini berarti, jika dua anggota yang berbeda di A tidak boleh mempunyai pasangan / peta yang sama di B. Secara sistematis dapat didefinisikan sebagai berikut : Fungsi f : A B disebut fungsi injektif atau fungsi satu – satu apabila f(a1) = f(a2), maka a1 = a2 atau ekuivalen dengan apabila a1 a2, maka f(a1) f(a2), untuk sembarang a1 dan a2 A. Contoh : (a) (b) A B A B (a) Merupakan fungsi injektif, karena f(a) = f(b) tepat satu – satu (b) Bukan fungsi injektif karena melanggar aturan fungsi injektif, tidak tepat satu – satu. b. Fungsi Surjektif Fungsi f : A B disebut “fungsi into” atau “fungsi ke dalam B”, apabila range dari f(Rf) merupakan himpunan bagian dari kodomain f(Kf), ditulis : Rf Kf. Jika Rf = Kf, yaitu setiap anggota di B mempunyai pasangan / kawan (prapeta) anggota di A (daerah asal / domain fungsi f), maka f : A B disebut “fungsi onto” atau “fungsi surjektif” atau “fungsi kepada B”. Jadi Pada fungsi f : A B, setiap b B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi onto (surjektif) a b c 3 p q r 3 a b c 3 p q r 3
Contoh : A B A B B harus mempunyai pasangan di A. c. Fungsi Bijektif (Korespondensi satu – satu) Suatu fungsi yang bersifat injuktif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. Suatu fungsi f : A B adalah fungsi yang bijektif atau “A” dan “B” dalam korespondensi satu – satu. Hal ini berarti n(A) = n(B). Secara matematis, pendefisian di atas dapat ditulis sebagai berikut : Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi sujektif dan sekaligus fungsi injektif. A B A B Bukan fungsi bijektif Fungsi Bijektif A B Bukan fungsi bijektif Contoh Soal : 1. Diketahui fungsi f : x f(x) dengan rumus f(x) = px – q. Jika f(1) = –3 dan f(4) = 3. Tentukanlah nilai p dan q kemudian tuliskanlah rumus fungsinya Jawab : Diketahui f(x) = px – q f(1) = –3 f(4) = 3 Soal = nilai p, q dan rumus fungsinya ? a b c d 3 p q r 3 a b c 3 p q r 3 a b c d 3 p q r 3 a b c 3 p q r 3 1 2 3 3 p q r s 3
Jika f(1) = –3, maka f(x) = px – q –3 = p – q................................................. (1) Jika f(4) = 3, maka f(x) = px – q 3 = 4p – q ................................................ (2) Dengan metode eliminasi pada persamaan (1) dan (2) diperoleh : –3 = p – q 3 = 4p – q – –6 = p – 4p –6 = –p p = 6 Substitusi nilai p = 2 kepersamaan –3 = p – q Sehingga diperoleh : –3 = 2 – q –3 = 2 – q q = 2 + 3 = 5 Jadi diperoleh nilai p = 2 dan q = 5 Maka rumus fungsi f(x) = px – q menjadi f(x) = 2x – 5 2. Apakah himpunan pasangan berurutan berikut merupakan suatu fungsi : a. {(1,2), (2,3), (3,4)} b. {(2, –1), (3,5), (1,2), (2,3)} Jawab : a. {(1,2), (2,3), (3,4)} adalah suatu fungsi sebab tidak ada pasangan berurut yang unsur pertamanya sama. b. {(2,–1), (3,5), (1,2), (2,3)} bukan fungsi sebab dua pasangan terurut yang unsur pertamanya sama yaitu (2,–1) dan (2,3). Dalam hal ini unsur pertamanya adalah 2. D. Fungsi Rasional Bentuk q(x) p(x) f(x) , q(x) 0, merupakan fungsi rasional. 1. Konsep Fungsi Rasional Bentuk persamaan yang mengandung pembilang dan penyebutnya merupakan fungsi polinom maka bentuk tersebut merupakan fungsi rasional. Secara umum, fungsi rasional dapat didefinisikan sebagai berikut : Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional q(x) p(x) , dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom dan q(x) 0. Atau secara matematis dapat ditulis : q(x) p(x) f(x) , q(x) 0.
Contoh soal : Tentukan daerah asal (Domain) dari fungsi : x 1 3 f(x) Jawab : Agar fungsi x 1 3 f(x) terdefinisi, maka penyebut tidak boleh bernilai 0, sehingga x + 1 0 x –1 Jadi domain f adalah Df = {x |x –1, x R} 2. Operasi Aljabar pada Fungsi Rasional Contoh soal : Sederhanakanlah bentuk – bentuk aljabar berikut ini : 2x 1 6 x 2 3 x 2 2x 2 x x x 2 7x 3 2 x x : 4x 3 2 x x 2 Jawab : 2x 1 6 x 2 3 = (x 2)(2x 1) 15 (x 2)(2x 1) 6x 3 6x 12 (x 2)(2x 1) 6(x 2) (x 2)(2x 1) 3(2x 1) 2 (x 2) x(x 2) x x 2 x 2 2x 2 x x x 2 7x 3 2 x x : 4x 3 2 x x 2 = x(x 1)(x 3) x 2(2x 1)(x 3) x (2x 1)(x 3) x (x 1)(x 3) x 2 x 7x 3 2 2x x 4x 3 2 x x 2 = x(x 1) x 2(2x 1) 3. Menggambar Grafik dan Menentukan Domain Serta Range dari Fungsi Rasional Adapun bentuk – bentuk fungsi rasional antara lain sebagai berikut :
a) px q ax b f(x) , dengan a, b,p dan q adalah bilangan – bilangan tetap serta p 0. b) qx r 2 px bx c 2 ax f(x) , a 0, dan p 0. c) px q bx c 2 ax f(x) , a 0, dan p 0 Cara menggambar Grafik dari ketiga bentuk fungsi rasional di atas : a) Menggambar Grafik Fungsi px q ax b f(x) Grafiknya disebut hiperbola arthogonal / hiperbola tegak / hiperbola sama sisi. Langkahlangkahnya sebagai berikut : Tentukan titik potong dengan sumbu x, yang diperoleh jika y = 0 0 px q ax b ax + b = 0 a b x Tentukan titik potong dengan sumbu y, yang diperoleh jika x = 0 y p(0) q a(0) b q b y Tentukan asimtot tegak.Asimtot tegak diproleh jika y = (penyebutnya = 0) Tentukan asimtot mendatar. Asimtot mendatar diperoleh jika x = p a koefisien y koefisien x y Asimtot adalah garis yang didekati suatu fungsi dijauh tak hingga. Plotkan titik- titik koordinat x dan y pada bidang Cartesius. Contoh soal : Sketsalah grafik x 1 x 3 f(x) . Tentukan domain dan rangenya ? Jawab : Langkah – langkah membuat sketsa grafik : Titik potong dengan sumbu x, yang diperoleh jika y = 0 0 px q ax b ax + b = 0
x + 3 = 0 x = –3 Tentukan titik potong dengan sumbu y, yang diperoleh jika x = 0 q b y 3 0 1 0 3 Jadi ttik potong dengan sumbu y di (0, –3) Tentukan asimtot tegak.Asimtot tegak diproleh jika y = (penyebutnya = 0) x – 1 = 0 x = 1 Jadi asimtot tegak adalah x = 1 Tentukan asimtot mendatar. Asimtot mendatar diperoleh jika x = p a koefisien y koefisien x y = 1 1 1 Jadi asimtot mendatar adalah garis y = 1 Plotkan titik- titik koordinat x dan y pada bidang Cartesius. Tampak bahwa fungsi f dapat didefinisikan pada semua nilai x,kecuali di x = 1, sehingga domainnya adalah Df = {x ϵ R | x 1} Range atau daerah hasilnya pada semua bilangan real, atau ditulis : Rf = {y ϵ R} Garis dengan Hiperbola Orthogonal Misalkan persamaan garis y = mx + n dan persamaan hiperbola px q ax b y berpotongan, maka berlaku : px q ax b mx n mqx npx nq ax b 2 mpx (mq np a)x (nq b) 0 2 mpx Dari persamaan kuadrat terakhir di atas, didapat : o D > 0, garis memotong hiperbola di dua titik yang berlainan. o D = 0, garis memotong hiperbola di dua titik yang sama atau garis menyinggung hiperbola. o D < 0, garis tidak memotong hiperbola. o D 0, garis memotong hiperbola.
b) Menggambar Grafik Fungsi qx r 2 px bx c 2 ax f(x) Langkah – langkahnya : Tentukan titik potong dengan sumbu x syaratnya y = 0 Tentukan titik potong dengan sumbu y syaratnya x = 0, maka berlaku r c y Tentukan asimtot tegak, yaitu y = (penyebutnya = 0) Tentukan asimtot mendatar, yaitu jika x = , maka berlaku p a 2 koefisien y 2 koefisien x y Tentukan titik potongnya dengan asimtot mendatar, maka berlaku : qx r 2 px bx c 2 ax y dan p a y dipotongkan. Sehingga kemungkinan hasil yang didapat mungkin berpotongan atau mungkin tidak. Tentukanlah harga maksimum dan minimum (harga ekstrem / titik ekstrem). Harga ekstrem = ordinat = y Titik ekstrem = (x,y) Sehingga berlaku : qx r 2 px bx c 2 ax y dan y = k dipotongkan sehingga terdapat persamaan kuadrat : bx c 0 2 ax Syarat harga ekstrem terjadi jika : D=0, sehingga terdapat persamaan kuadrat dalam k dengan harga ekstrem k1 dan k2 D > 0 Plotkan titik – titik koordinat x dan y untuk f(x) sehingga akan terbentuk grafiknya. Contoh Soal : Sketsalah grafik x 2 2 x 7x 4 2 2x f(x) y . Dan tentukanlah domain dan rangenya ! Jawab : Titik potong dengan sumbu x syaratnya y = 0 7x 4 2 2x = 0 (2x – 1) (x + 4) = 0 2 1 x dan x = –4
Jadi titik potong dengan sumbu x di ,0 2 1 dan (–4, 0) Titik potong dengan sumbu y syaratnya x = 0, maka berlaku r c y 2 2 4 0 2 2 (0) 7(0) 4 2 2(0) x 2 2 x 7x 4 2 2x f(x) y Jadi titik potong dengan sumbu y di (0,2) Asimtot tegak, yaitu y = (penyebutnya = 0) x 2 2 x = 0 (x – 1) (x + 2) = 0 x = 1 dan x = –2 Jadi asimtot tegak adalah x = 1 dan x = –2 Asimtot mendatar, yaitu jika x = , maka berlaku 2 1 2 2 koefisien y 2 koefisien x y Plotkan titik–titik koordinat x dan y yang memenuhi fungsi x 2 2 x 7x 4 2 2x f(x) y pada bidang cartesius. Tabel Nilai fungsi x 2 2 x 7x 4 2 2x f(x) y adalah : x –6 –3 –1 1,5 2 3 x 2 2 x 7x 4 2 2x f(x) y 0,93 –1,75 4,50 6,29 4,50 3,50 Setelah membuat grafik, domain dan rangenya bisa ditentukan : Fungsi f dapat didefinisikan pada semua nilai x,kecuali di x = 0 dan x = –2, sehingga domainnya adalah Df = {x ϵ R| x 0, –2} Rangenya pada semua bilangan real atau Rf = {y ϵ R} c) Menggambar Grafik px q bx c 2 ax f(x) Grafik dari px q bx c 2 ax f(x) disebut hiperbola miring. Cara menggambarnya hamper sama dengan cara menggambar grafik px q ax bx f(x) dan qx r 2 px bx c 2 ax f(x) .
Bedanya asimtot mendatar diganti dengan asimtot miring. Asimtot miring dapat diperoleh dari hasil bagi antar pembilang dan penyebut. Untuk menentukan persamaan asimtot miring maka berlaku persamaan : d(x) r(x) q(x) d(x) p(x) f(x) Dengan q(x) adalah persamaan asimtot miring. Contoh Soal = Sketsalah grafik 1 x 2 2x f(x) y . Dan tentukan domain dan rangenya ! Jawab : Grafik fungsi 1 x 2 2x f(x) y tidak memiliki asimtot mendatar dan asimtot tegak, maka persamaannya diubah ke bentuk : d(x) r(x) q(x) d(x) p(x) f(x) Sehingga menjadi : 1 x 2 ( 2x 2) 1 x 2 2x f(x) y q(x) 2x 2 merupakan persamaan asimtot miring. E. Operasi Aritmetika Fungsi a. Penjumlahan Jika f dan g merupakan dua fungsi yang terdefinisi pada domain Df dan Dg, maka : jumlah fungsi f dan g, ditulis f + g didefinisikan dengan : (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan domain Df+g = Df Dg. b. Pengurangan Selisih fungsi f dan g, ditulis f – g didefinisikan dengan : (f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan domain Df–g = Df Dg. c. Perkalian (f.g)(x) f(x).g(x) d. Pembagian ,g(x) 0 g(x) f(x) (x) g f
Contoh soal : 1. Diketahui f(x) x 1 dan 1 2 g(x) x . Tentukan penjumlahan, pengurangan,perkalian dan pembagian ! Jawab : a. Penjumlahan (f g)(x) f(x) g(x) = (x + 1) + 1) 2 (x = x2 + x + (1 + 1) = x2 + x + 2 b. Pengurangan (f g)(x) f(x) g(x) = (x + 1) – 1) 2 (x = x – x 2 + 1 – 1 = x – x 2 = – x 2 + x c. Perkalian ( f .g)(x) f (x).g(x) = (x + 1) . 1) 2 (x = x(x2 + 1) + 1(x2 + 1) = x3 + x + x2 + 1 d. Pembagian x 1 1 x 1 x 1 x 1 1 2 x x 1 g(x) f(x) (x) g f 2. Diketahui f(x) =x2 – 1 dan g(x) x dengan Df = {x | x R} dan Dg = {x | x 0, x R}. Maka tentukan : {x | x 0, x R} g f , dengan domain D x 1 2 x g(x) f(x) (x) g f tidak terdefinis i 0 1 2 0 (0) g f 7,5 2 15 4 1 2 4 (4) g f F. Komposisi Fungsi 1. Konsep Komposisi Fungsi Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” (komposisi / bundaran). Fungsi baru yang dapat dibentuk dari f(x) dan g(x) adalah : (gof) (x) artinya f dimasukkan ke g (fog) (x) artinya g dimasukkan ke f
Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dan fungsi g memetakan himpunan B dan fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C. untuk x ϵ A petanya adalah y = f(x) di B, yang meruapakan domain dari fungsi g. Oleh karena itu, didapatkan peta dari f(x) oleh fungsi g yaitu g(y) = g(f(x)), sehingga diperoleh fungsi yang memetakan setaip x anggota A dengan tepat satu g(f(x)) anggota C. Fungsi yang demikian disebut komposisi fungsi dari f dan g. Komposisi fungsi dari f dan g dinotasikan dengan g f (dibaca : g bundaran f). Secara singkat, jika f : A B dan g : B C maka diperoleh definisi komposisi fungsi g f : A C yang menyatakan : g f(x) fg(x) Bahwa komposisi fungsi g f adalah operasi berurutan yang mengerjakan f terlebih dahulu baru dilanjutkan oleh g . Berdasarkan uraian di atas, suatu operasi berurutan yang mengerjakan g terlebih dulu, baru dilanjutkan oleh f merupakan komposisi fungsi f g , dinyatakan dengan : f g(x) f(g(x))
Contoh soal : 1) Diketahui f(x) x 4 dan 3x 7 2 g(x) x . Tentukan fungsi komposisi g fx 2) Diketahui : f : R R dan g : R R . g(x) 3x 2, dan g fx 4x 3 Tentukan nilai f(x) ! 3) Diketahui : f : R R dengan f(x) = 4x – 1 dan fungsi g : R R dengan g(x) = x2 + 2. Tentukan : a. g f(x) b. g g(x) c. g f(2) d. g g(2) 4) Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(0,1), (2,4), (3,–1), (4,5)} g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukan : a. (f g) b. (g f) c. (f g)(1) d. (f g)(6) e. (g f)(4) f. (g f)(2) 5) Diketahui fungsi f : R R dan fungsi g : R R ditentukan dengan rumus f(x) = x – 1 dan g(x) = x a. Tentukanlah (f g)(x) dan (g f)(x) ! b. Carilah daerah asal fungsi (f g)(x) dan wilayah hasil fungsi (f g)(x) c. Carilah daerah asal fungsi (g f)(x) dan wilayah hasil fungsi (g f)(x)
Jawab : 1) Diketahui f(x) x 4 3x 7 2 g(x) x . g fx gfx = g(x 4) =(x – 4)2 – 3(x – 4) + 7 = x2 – 8x + 16 – 3x + 12 + 7 = x2 – 11x + 35 2) Diketahui g(x) 3x 2 g fx 4x 3 Soal : f(x) Jawab : g fx 4x 3 g(f(x)) 4x 3 3f(x) 2 4x 3 3f(x) 4x 3 2 3 4x 5 f(x) 3) Diketahui f(x) = 4x – 1 g(x) = x2 + 4 a. g f(x) = g(f(x)) = g(4x – 1)2 + 2 = 16x2 – 8x + 3 Jadi, g f(x) = 16x2 – 8x + 3 b. g g(x) = g(g(x)) = g(x2 + 2) = (x2 + 2)2 + 2 = x4 + 4x2 + 6 Jadi, g g(x) = x4 + 4x2 + 6 c. Jika g f(x) = 16x2 – 8x + 3, maka g f(2) = 16(2)2 – 8(2) + 3 = 51 d. Jika g g(x) = x4 + 4x2 + 6, maka g g(2) =(2)4 + 4(2)2 + 6 = 38 4) Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(0,1), (2,4), (3,–1), (4,5)} g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukan : a. (f g) = {(2,1), (1,4), (5, –1),(4,5)} b. (g f) = {(0,2), (4,3)} c. (f g)(1) = 4
d. (f g)(6) tidak terdefinisi, sebab 6 f g D e. (g f)(4) = 3 f. (g f)(2) tidak terdefinisi, sebab 2 g f D g f Dg Wg Df Wf (f g) f g Df Wf Dg Wg (g f) Dari contoh dapat dirangkum beberapa hal berikut : a. Df = {0,2,3,4}, b. Wf = {–1,1,4,5}, c. Dg = {1,2,5,6}, dan d. Wg = {0,2,3,7} Untuk fungsi komposisi (f g) a. Wg Df = {0,2,3} 2 1 5 6 4 4 0 2 7 3 1 4 –1 5 0 2 3 4 6 2 1 4 –1 5 2 3 7 0
b. Dg {1,2,5} f g D c. f {-1,1,4} W f g W Untuk fungsi komposisi (g f) a. Wf Dg = {1,5} b. f {0,4} D g f D c. Wg {2,3} g f W 5) Diketahui : Fungsi f(x) = x – 1 Daerah asal Df = {x | x R} atau Df = {–,} Wilayah hasil Wf ={y | y R} atau Wf = {–,} Fungsi g(x) = x Daerah asal Dg = {x | x 0, x R} atau Dg = {0,} Wilayah hasil Wg ={y | y 0, y R} atau Wg = {0,} a. Fungsi komposisi (f g)(x) f g(x) f(g(x)) f( x ) x 1 Jadi fungsi komposisi (f g)(x) x 1 Fungsi komposisi g f(x); g f(x) g(f(x)) g(x - 1) x - 1 Jadi fungsi komposisi (g f)(x) x 1 b. Daerah asal fungsi (f g)(x) adalah 0, f g D Wilayah hasil fungsi (f g)(x) adalah - 1, f g W Perhatikan bahwa g D f g D dan f W f g W Daerah asal fungsi (g f)(x) adalah 1, g f D Wilayah hasil fungsi (g f)(x) adalah 0, g f W Perhatikan bahwa f D g f D dan g W g f W
2. Menentukan Fungsi Awal, Jika Diketahui Fungsi Komposisinya Dua contoh berikut, akan membahas mengenai bagaimana cara menyelesaikan soal yang fungsi komposisinya diketahui dan salah satu fungsi awalnya tidak diketahui (ditanya). Berikut ini merupakan contoh soalnya : Contoh soal : a. Jika diketahui (f g)(x) 6x 3 dan f(x) = 2x – 3. Tentukanlah nilai g(x) ! b. Jika diketahui (f g)(x) 2x 6 dan g(x) = x + 1. Tentukanlah nilai f(x) ! Jawab : a. Diketahui (f g)(x) 6x 3 f(x) = 2x – 3 f(g(x)) = 6x + 3 2g(x) – 3 = 6x + 3 2g(x) = 6x + 6 g(x) = 3x + 3 Jadi g(x) = 3x + 3 b. Diketahui (f g)(x) 2x 6 g(x) = x + 1 f(g(x)) = 2x + 6 f(x + 1) = 2x + 2 + 6 f(x + 1) = 2(x + 1) + 4 f(x) = 2x + 4 Jadi f(x) = 2x + 4 3. Komposisi dari Tiga Fungsi Untuk menyelesaikan fungsi komposisi yang melibatkan tiga fungsi, dapat dilakukan secara bertahap. Misalkan fungsi f : A B, fungsi g : B C, dan fungsi h : C D, maka terdapat komposisi dari tiga fungsi yaitu h g f: A D f : A B atau f : x y atau y = f(x) g : B C atau g : y z atau z = g(y) = g[f(x)] h : C D atau h : z w atau w = h(z) = h{g[f(x)]}
f g h m n m(x) = g f(x) n(x) = h g f(x) Hal ini berarti : h g f(x) = h{g[f(x)]} Contoh Soal : 1) Diberikan fungsi – fungsi : f(x) = x + 1, g(x) = 3x dan h(x) = x2 . Tentukanlah : f g h(x) f g h(x) Apakah f g h(x) =f g h(x) ? 2) Diketahui : f(x) = x2 , g(x) = x – 1 dan h(x) = 3x. Tentukan (f (g h))(x) ! Jawab : 2 g h (x) g h(x) g x 2 ) 3x 2 g h (x) 3(x f g h(x) = 2 f g h (x) f 3x f g h(x) = 1 2 3x f g(x) f[g(x)] f(3x) f g(x) 3x 1 f g h(x) f ghx = ) 1 2 ) 3(x 2 f g (x f g h(x) = 1 2 3x Ternyata f g h(x) =f g h(x) Berdasarkan hasil di atas, ternyata operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut : Sifat asosiatif dari komposisi tiga fungsi : x y z w x
Misalkan f : A B, g : B C, dan h : C D, maka : a. g h f g h f b. h g f h g fsering ditulis sebagaih g f: A D 2) Diketahui : f(x) = x2 , g(x) = x – 1 dan h(x) = 3x. Untuk menyelesaikan soal tersebut, dapat dilakukan dengan bertahap : (g h)(x) g(h(x)) = g(3x) = 3x – 1 (g h)(x) 3x 1 (f (g h))(x) f(g(h(x))) = f(3x – 1) = (3x – 1)2 = 9x2 – 6x + 1 6x 1 2 (f (gh))(x)9x 4. Sifat – sifat Komposisi a. Tidak komutatif g fx f gx Contoh soal : 1) Jika f(x) 2x 1 dan 3 2 g(x) x 4x 2 2 4x 1 3 4x 2 3 4x 2 g f x g(f(x)) (2x 1) 5 2 6 1 2x 2 3) 1 2x 2 3) 2(x 2 f g x f(g(x)) f(x Jadi g fx f gx Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif yaitu jika f : A B dan g : B C maka f g g f b. Bersifat asosiatif (h g f(x) h g f(x) f g h(x) f g hx f g hx c. Sifat Identitas f Ix I fx fx , dengan I(x) x Contoh soal =
Jika 1 2 f(x) x . Tentukan I fx dan f Ix Jawab : 1 2 1 x 2 I f x I f(x) I x 1 2 f I x f I x f x x G. Fungsi Invers 1. Pengertian Fungsi Invers Jika f : {(a, b)} | a A dan b ϵ B},maka invers fungsi f adalah : {(b,a)| b B 1 f dan a ϵ A)} Suatu fungsi f :A B mempunyai fungsi invers f–1 : B A, jika semua elemen himpunan A dan elemen himpunan B berkorespondensi satu – satu. a. Notasi fungsi invers adalah y x 1 f atau x 1 f 1 y b. Setiap fungsi memiliki invers, tetapi tidak setiap invers fungsi merupakan fungsi invers. c. Fungsi f : A B memiliki fungsi invers jika f merupakan fungsi bijektif 2. Langkah – langkah menentukan invers y = f(x) 1) Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x = g(y) , sehingga y gy 1 f 2) Mengganti y dengan x, sehingga x gx 1 f Tabel nilai fungsi dari f(x) dan x 1 f X –2 –1 0 1 2 x 4 2 0 –2 –4 Y 4 2 0 –2 –4 y –2 –1 0 1 2 Domain dari fungsi invers merupakan range dari fungsi asalnya f(x) . Sebaliknya range dari fungsi invers f merupakan domain dari fungsi asalnya f(x) . Fungsi invers suatu fungsi komposisi ditentukan menggunakan kesamaan : a. (x) 1 g 1 (x) f 1 g f b. (x) 1 f 1 (x) g 1 f g
Contoh soal : 1) Diketahui f : R R dirumuskan dengan f(x) 3x 2 . Tentukan fungsi invers dari f . Dan nilai (x) 1 f 2) Diketahui g(x) x 3 . Tentukan (x) 1 g 3) Diketahui f(x) 3x 4 . Tentukan (x) 1 f 4) Diketahui f(x) = 32x. Jika f –1 (x) adalah invers dari f(x). Tentukan f –1 (x) 5) Diketahui 2 7 , x 2x 7 x 4 g(x) . Tentukan invers fungsi g(x) atau (x) 1 g ! Jawab : 1) Jika y sama dengan fungsi f(x) maka invers dari y adalah x, sehingga : y f(x) y 3x 2 3x = y + 2 3 y 2 x 3 y 2 y 1 f 3 x 2 (x) 1 f Untuk fungsi dengan bentuk seperti soal di atas, selain dengan cara yang digunakan tersebut, dapat juga dipakai rumus jadi seperti ini :
2) g(x) x 3 Jika g(x) ax b maka x b a 1 (x) 1 g (x) 1 g = x – 3 3) Diketahui f(x) 3x 4 Berikutnya agar akarnya hilang, ruas kanan dikuadratkan, demikian juga ruas kiri harus dikuadratkan, setelah itu baru bisa dilanjutkan : f(x) 3x 4 y 3x 4 y 2 = 3x + 4 3x = y2 – 4 4 2 y 3 1 x 4 2 y 3 1 x 1 f = 4 2 x 3 1 x 1 f Atau y 3x 4 maka 4 2 x 3 1 x 1 f 4) Diketahui f(x) = 32x. Jika f –1 (x) adalah invers dari f(x). Maka f –1 (x) : Fungsi eksponen, inversnya nanti berupa fungsi logaritma. Ingat dulu bahwa log b log a bisa diubah menjadi loga b dan b loga diubah menjadi b log a. Ganti f(x) jadi y terlebih dahulu f(x) = 32x y = 32x log y = log 3 2x log y = 2x log 3
2 1 logx 3 (x) 1 f 2 1 logy 3 x logy 3 2 1 x logy 3 2x log3 logy 2x 5) 2x 7 x 4 g(x) Jika cx a dx b x 1 g cx d ax b g(x) Karena 2 7 , x 2x 7 x 4 g(x) , maka 1 1 x 2x 1 7x 4 x 1 g Jadi 2 1 , x 1 2x 7x 4 2x 1 7x 4 x 1 g RUMUS : cx a dx b (x) 1 maka f cx d ax b f(x) a x b (x) 1 f(x) ax b makaf 3. Grafik Fungsi Invers Fungsi dan fungsi inversnya dapat disajikan dalam bentuk grafik. Grafik fungsi bijektif pada himpunan bilangan real (R) adalah sebuah kurva yang dibangun oleh himpunan titik – titik {(x,y = f(x))}. Sedangkan fungsi inversnya (x) 1 f ditentukan oleh himpunan titik – titik {(y = f(x), x)}
ConCoContoh soal : 1). Diketahui fungsi f(x) 2x 6 . Carilah (x) 1 f dan tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers. Jawab : 1). Fungsi f(x) 2x 6 . Jika y = f(x) y = 2x + 6 2x = y – 6 y 3 2 1 x y 3. 2 1 (y) 1 f Jadi x 3. 2 1 (x) 1 f Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau ditulis Df = {x|x ϵ R}. Karena domain dari (x) 1 f merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua bilangan anggota himpunan bilangan real. Jika digambarkan di bawah ini : y f(x) =2x + 6 6 -
y=f(x) x 3 2 1 (x) 1 f –3 0 6 –3 H. Invers Fungsi Komposisi Misalnya f dan g merupakan fungsi – fungsi komposisi, dengan komposisi fungsi – fungsi sebagai berikut : (f g)(x) f(g(x)) dan (g f)(x)) Invers dari fungsi komposisi f dan g yang ditulis : 1 f g 1 u 1 g f 1 v )(x) 1 f 1 (x) (g 1 (f g) dan )(x) 1 g 1 (x) (f 1 (g f) Contoh soal : 1. Diberikan fungsi f dan g yaitu f(x) 5x 8 dan g(x) = x – 5. Tentukan : a. 1 f g b. 1 g f c. Apakah (0) 1 (0) f g 1 g f Jawab : Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi. a. f gx f(g(x)) f(x 5) 5(x 5) 8 5x 17 (x) 1 (f g) dapat ditentukan sebagai berikut : Misalkan (f g)(x) y y (f g)(x) y = 5x – 17 5 y 17 (y) 1 (f g) 5 y 17 x 5 x 17 (x) 1 (f g) Jadi fungsi invers dari (f g)(x) adalah 5 x 17 (x) 1 (f g)
b. g fx g(f(x)) g(5x 8) (5x 8) 5 5x 3 (x) 1 (g f) dapat ditentukan sebagai berikut : Misalkan (g f)(x) y y (g f)(x) y = 5x + 3 5 y 3 (y) 1 (g f) 5 y 3 x 5 x 3 (x) 1 (g f) Jadi fungsi invers dari (g f)(x) adalah 5 x 3 (x) 1 (g f) c. Dari jawaban tersebut diperoleh : 5 3 5 0 3 (0) 1 (g f) 5 17 5 0 17 (0) 1 (f g) Jadi (0) 1 (g f) (0) 1 (f g) I. Penerapan Fungsi Invers dalam Kasus Kehidupan Sehari – hari Berikut akan dipelajari balikan dari fungsi yang disebut fungsi invers. Dengan memahami beberapa masalah berikut ini : Contoh Soal : 1. Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besar dana yang diperoleh bergantung pada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 50.000x + 20.0000, dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan. a. Tentukanlah invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola tersebut. b. Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp. 55.570.000,00. Berapa penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut ? 2. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1000, dalam ribuan rupiah x adalah banyak potong kain yang terjual. a. Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh ? b. Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp. 100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual ? 3. Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia (MYR), yaitu 1 USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk setiap
transaksi penukaran. Kemudian salah satu bank di Malaysia menawarkan harga tukar ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR), yaitu 1 MYR = Rp. 3.169,54 dengan biaya penukaran sebesar 3 MYR untuk setiap transaksi penukaran. Seorang turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian melanjutkannyake Indonesia dengan membawa uang sebesar 2.000 USD. Berapa IDR akan diterima turis tersebut jika pertama dia menukarkan semua uangnya ke mata uang Ringgit Malaysia di Amerika dan kemudian menukarkannya ke Rupiah Indonesia di Malaysia ? Jawab : 1. Diketahui fungsi pendapatan klub sepak bola adalah f(x) = 50.000x + 20.000 a. Invers pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola untuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dilakukan sebagai berikut : f(x) = y = 50.000x + 20.000 y = 50.000x + 20.000 50.000x = y – 20.000 Karena x = f –1 (y) = 50.000 y 20.000 Jadi fungsi invers dari f(x) = 50.000x + 20.000 = 50.000 y 20.000 b. Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp. 55.570.000,00 maka banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalah = 1.111 50.000 55.570.000 20.000 Jadi, penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut sebanyak 1.111 orang. 2. Keuntungan yang diperoleh f(x) = 500x + 1000, untuk setiap x potong kain yang terjual. a. Penjualan 50 potong kain, berarti x = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah : f(x) = 500x + 1000 Untuk x = 50 berarti f(50) = (500 x 50) + 1.000 = 3.600 Jadi keuntungan kain yang diperoleh (dalam ribuan rupiah) dalam penjualan 50 potong kain sebesar Rp. 3.600.000,00 b. Agar keuntungan yang diperoleh Rp. 100.000,00 maka banyaknya potong kain yang harus terjual adalah : f(x) = 500x + 1.000 100.000 = 500x + 1.000 500x = 100.000 – 1.000 500x = 99.000 x = 198 500 99.000 Jadi banyak potong kain yang harus terjual adalah 198 potong. 3. Masalah tersebut dapat diselesaikan dua tahap penukaran : Langkah 1 :
Uang sebesar 2.000 USD akan ditukar ke Ringgit Malaysia di Amerika dengan biaya penukaran sebesar 2 USD, maka jumlah uang yang diterima turis tersebut adalah : (2.000 – 2) x 3,28 MYR = 1.998 x 3,28 MYR = 6.553,44 MYR Langkah 2 : Uang sebesar 6.553,44 MYR akan ditukar ke mata uang Rupiah Indonesia, dan perlu diingat bahwa biaya penukaran sebesar 3 MYR. Uang yang diterima turis tersebut adalah: (6.553,44 – 3) x 3.169,54 = 6.550,44 x 3.169,54 = 20.761.881,60 IDR Turis tersebut menerima uang rupiah Indonesia sebesar = 20.761.881,60 IDR Perhitungan kedua transaksi di atas dapat dibuat model matematikanya ke dalam dua fungsi sebagai berikut : Misalkan : t = jumlah uang dalam USD x = jumlah uang dalam MYR y = jumlah uang dalam IDR Transaksi penukaran pertama dapat dituliskan dengan : x = 3,28(t – 2) x = 3,28t – 6,56 karena x merupakan sebuah fungsi t, maka dapat ditulis : x(t) = 3,28t – 6,56 ………………………………………………………………….. (1) Untuk transaksi penukaran kedua dapat ditulis sebagai berikut : y = 3.169,54 (x – 3) y = 3.169,54x – 9.508,62 ………………………………………………………….. (2) Dengan mensubstitusika persamaan 1 ke persamaan 2 diperoleh : y(x) = y(x(t)), missal f(t) = y(x(t)), maka f(t) = y(x(t)) = 3.169,54 (3,28t – 6,56) – 9.508,62 = 10.396,09t – 20792,18 – 9.508,62 f(t) = 10.396,09t – 30.300,80 Fungsi f(t) = y(x(t)) ini merupakan fungsi komposisi x dan y dalamt yang dilambangkan dengan (y x)(t) dan didefinisikan dengan (y x)(t) y(x(t)) Maka fungsi komposisi x dan y pada masalah di atas adalah : (y x)(t) =10.396,09t – 30.300,80 ……………………………………………….. (3)
Dengan menggunakan fungsi komposisi (y x)(t) seperti pada persamaan 3, maka dapat kita hitung jumlah uang turis tersebut dalam mata uang rupiah Indonesia untuk t = 2.000 USD seperti berikut : (y x)(t) = 10.396,09t – 30.300,80 = 10.396,09 x (2.000) – 30.300,80 = 20.792.180 – 30.300,80 = 20.761.879,20 Jumlah uang turis tersebut dalam rupiah adalah = 20.761.879,20 TUGAS MANDIRI SISWA 1. Untuk mengubah satuan suhu dari derajat Celcius ke derajat Fahrenheit, menggunakan rumus x 32 5 9 f(x) . Jika akan mengubah dari derajat Fahrenheit ke derajat Celcius, menggunakan rumus (x) .... 1 f 2. Ditentukan g(f(x)) f(g(x)). Jika f(x) 2x p dan g(x) 3x 120 . Tentukan nilai p ? 3. Tentukan domain, kodomain dan range dari pemetaan gambar di bawah ini : A B f 4. Jika 8x 3 2 (f g)(x) 4x dan g(x) 2x 4 . Tentukan nilai (x) 1 f ! 5. Diketahui x 1 x f(x) untuk setiap bilangan real x 0. Jika g : R R adalah suatu fungsi sehingga (g f)(x) g(f(x)) 2x 1 . Tentukan fungsi invers (x) 1 g ! 6. Diketahui x 2 x f(x) untuk x 2. Jika f pada R, tentukan : a. Rumus fungsi (x) 1 f b. Daerah asal fungsi f c. Daerah asal fungsi invers 1 f a ● e ● i ● o ● ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
TUGAS KELOMPOK SISWA 1. Tentukan daerah asal (domain) dari fungsi 2x 8 2 x x ! 2. Harga sebuah produk p yang terjual sebanyak x memenuhi persamaan x 100, 0 x 400 4 1 p . Misalkan c adalah biaya membuat x buah produk tersebut yang memenuhi persamaan 600 25 x c . Jika semua produk terjual, Berapa biaya c sebagai fungsi dari harga p ? 3. Invers dari fungsi 5 8 , x 5x 8 3x 2 f(x) . Tentukan (x) 1 f ! 4. Diketahui f : R R dan g : R R dengan f(x) 2x 5 dan 3 2 , x 3x 2 1 g(x) . Tentukan nilai dari (g f)(1) ! 5. Diketahui fungsi f(x) 6x 3, g(x) 5x 4 dan (f g)(a) 81 . Tentukan nilai a ! SOAL UJI KOMPETENSI BAB I (Fungsi) A. Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Daerah asal fungsi f(x) = 2+x x+3 adalah ... . a. {x |x R} b. {x | x R, x ≠ –2} c. {x | x R, x ≠ –3} d. {x | x R, x ≠ 3} e. {x | x R, x ≠ 2} 2. Dari diagram di samping hubungan yang mungkin dari himpunan A ke B adalah .... a. kurang dari A B b. dua kali dari c. setengah dari d. lebih besar dari e. lebih kecil dari 3. Dari soal no 2, himpunan pasangan berurutan adalah ... . a. {(1,2) ;(1,4) ; (2,2) ; (2,4)} b. {(1,2) ;(2,4) ; (3,6)} 1 ● 2 ● 3 ● ● 2 ● 4 ● 6 ● 8
c. {(1,2) ;(2,4) ; (3,8)} d. {(1,2) ;(2,3) ; (3,4)} e. {(1,4) ; (2,6) ; (3,8) 4. Perhatikan diagram di bawah ini : Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah .... a. faktor dari A B b. lebih dari c. kurang dari d. setengah dari e. lebih kecil dari 5. Diketahui fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai berikut : f(x) = { x 2 − x, untuk x < −2 x − 5, untuk − 2 ≤ x ≤ 2 1 − 8x, untuk x ≥ 2 Jika domain f(x) adalah Df{–3, –2, –1, 0, 1, 2} maka range f(x) adalah ... . a. {–8, –7, –6, –5, –4, –3} b. {–17, –7, –6, –5, –4, 12} c. {–5, –4, –3, –2, –1, 0} d. {4, 5, 6, 7, 12, 16} e. {3, 4, 5, 6, 7,8} 6. Daerah asal fungsi 2x 8 2 f(x) x adalah … . a. 4 x 2 b. 2 x 4 c. x 2 atau x 4 d. x 4 atau x 2 e. x 4 atau x 2 7. Diketahui ( ) 1 2 f x x dan g(x) 2x 3 , maka ( f g)(x) adalah ... . a. 4 12 10 2 x x b. 4 12 10 2 x x c. 4 12 10 2 x x d. 4 12 10 2 x x 8. Diketahui fungsi f (x) 3x 1 dan ( ) 2 3 2 g x x . Nilai komposisi fungsi (g f )(1) …. . a. 7 b. 9 c. 11 d. 14 e. 17 9. Diberikan dua fungsi f (x) 2x 3 dan ( ) 2 3 2 g x x x . Jika f g(a) 33 . Nilai dari 5a … a. 3 b. 4 c. 5 d. 10 e. 15 10. Jika 3 4 2 1 ( ) x x f x dan ( ) 5 1 2 g x x , maka nilai dari f g(x) adalah … . a. 15 5 10 2 2 x x b. 15 7 10 1 2 2 x x c. 15 4 10 3 2 2 x x d. 15 4 10 1 2 2 x x e. 10 1 15 7 2 2 x x 1 ● 2 ● 4 ● ● 2 ● 3 ● 4
11. Diketahui f (x) 3x 4 dan g(x) 2x p . Apabila f g g f , maka nilai p adalah… a. 4 b. 2 c. 1 d. –2 e. –4 12. Jika 1 1 ( ) x f x dan g(x) x 2 , maka g f x 1 adalah … . a. 1 2 x x b. 2 1 x x c. x 1x 2 d. 2 3 x x e. 2 3 x x 13. Jika f (x) x 1 dan ( ) 1 2 g x x , maka nilai g f x adalah … . a. x b. x – 1 c. x + 1 d. 2x – 1 e. x 2 + 1 14. Jika g(x) (x 1) dan 3 1 2 f g x x x , maka nilai f (x) .... a. 5 5 2 x x b. 1 2 x x c. 4 3 2 x x d. 6 1` 2 x x e. 3 1 2 x x 15. Fungsi f : R R dan g : R R dirumuskan dengan 1 2 1 f (x) x dan g(x) 2x 4 ,maka nilai 10 .... 1 g f a. 4 b. 8 c. 9 d. 12 e. 16 16. Jika ditentukan 4 4 1 ( ) x x f x dengan x ϵ R dan x 4, maka ( ) .... 1 f x a. 4 1 1 x x b. 4 1 4 x x c. 1 4 1 x x d. 4 4 1 x x e. 4 4 1 x x 17. Jika fungsi f : R R ditentukan oleh f (x) 4x 2 dan g : R R memenuhi f gx 12x 2 , maka g(x) adalah … . a. 2x – 3 b. 6x – 1 c. 2x – 1 d. 3x – 1 e. 3x – 1 18. Bila f (x) 4x 2 dan x x g x 2 3 5 ( ) , maka nilai dari 10 1 g f adalah … . a. 58 19 b. 59 20 c. 59 25 d. 58 27 e. 68 29
19. Diketahui fungsi f (x) x 6 dan g(x) x 5x 2 . Nilai a yang memenuhi f ga 0 adalah … . a. 2 b. 3 c. –2 atau –3 d. 2 atau 3 e. 1 atau 6 20. Diketahui suatu fungsi f (x) 2x 1 dan 1 2 4 1 2 f g x x x . Nilai g(2) adalah … . a. –5 b. –4 c. –1 d. 1 e. 5 B. Jawablah dengan singkat dan benar ! 1. Diketahui fungsi f(x) = x + 5, 0 ≤ x ≤ 4 Tentukan : a. Domainnya b. Kodomainnya c. Range 2. Diketahui 2 f (x) x , g(x) 4x dan h(x) x 3 . Buktikan bahwa f g h f g h 3. Fungsi f ditentukan oleh , 3 3 2 1 ( ) x x x f x . Jika 1 f invers dari f , maka tentukan nilai 1 1 f x ! 4. Tentukan rumus f x 1 , daerah asal fungsi f (x) dan daerah asal fungsi f x 1 untuk fungsi berikut : a. 5 2 3 ( ) x x f x b. f (x) x 4 5. Jika fungsi g : R R ditentukan oleh ( ) 4 5 2 g x x x dan fungsi f : R R sehingga ( )( ) 2 8 3 2 f g x x x , maka tentukan nilai f (x) !
Soal Refleksi Fungsi A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d dan e di depan jawaban yang paling tepat ! 1. Perhatikan diagram berikut : 1). A f B 2). A f B 3). A f B 4). A f B Diagram yang menggambarkan suatu fungsi adalah …. a. 1) saja b. 2) saja c. 3) saja d. 1) dan 3)
e. 2) dan 4) 2. Grafik berikut ini yang merupakan fungsi adalah … . a. Y f(x) 0 x b. Y X Y c. f(x) 0 X d. Y 0 X e.
3. Diketahui fungsi f : x x3 + 1 dengan daerah asal {x | 1 x 4, x bilangan bulat}. Daerah hasil fungsi f adalah … . a. {0, –9, –26, –64} b. {0, –7, –26, –64} c. {0, –7, –26, –63} d. {2, 9, 10, 49} e. {2, 9, 10, 50} 4. Daerah asal fungsi f(x) = 16 2 x adalah … . a. {x | –4 x 4, x R} b. {x | –4 x < 4, x R} c. {x | 0 x 4, x R} d. {x | x –4 atau x 4, x R} e. {x |x 0 atau x 4, x R} 5. Perhatikan gambar grafik fungsi dengan daerah asal = {x | x R} dan daerah kawan = {y | y R}. Diantara grafik yang menunjukkan grafik fungsi injektif adalah … . a. Y f(x) 0 X b. Y f(x) 0 X c. Y f(x)
0 X d. Y f(x) 0 X Y e. 0 X 6. Diantara grafik yang menunjukkan grafik fungsi surjektif adalah … . a. Y f(x) 0 X b. Y f(x) 0 X
c. Y f(x) 0 X d. Y f(x) 0 X Y e. 0 X 7. Diketahui 6 5 , x 6x 5 9x 4 f(x) dan fungsi invers dari f(x) adalah f–1 (x). Nilai dari f–1 (–2) adalah … . a. 3 14 b. 14 17
c. 21 6 d. 14 17 e. 3 14 8. Jika f(x) = 3x + 1 dan (f g)(x) 7x 2 , maka nilai g(4) adalah … . a. 9 b. 12 c. 16 d. 20 e. 25 9. Jika diketahui 10x 11 2 (f g)(x) 4x dan g(x) = 2x + 3, maka nilai f(x) adalah … . a. x 2 – x + 5 b. x 2 – x – 5 c. x 2 + x – 5 d. x 2 + x + 5 e. x 2 – x + 4 10. Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f(x) =3x – 2 dan g(x) = x + 5, maka rumus untuk fungsi (x) 1 (g f) adalah … . a. 3x + 1 b. 3x – 1 c. x 1 3 1 d. x 1 3 1 e. x 1 3 1