Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 1 Lampiran 1: BAHAN AJAR KOMPOSISI FUNGSI Capaian Pembelajaran (CP) : Pada akhir fase F, peserta didik dapat memodelkan pinjaman dan investasi dengan bunga majemuk dan anuitas. Mereka dapat menyatakan data dalam bentuk matriks, dan menentukan fungsi invers, komposisi fungsi dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata. Mereka dapat menerapkan teorema tentang lingkaran, dan menentukan panjang busur dan luas juring lingkaran untuk menyelesaikan masalah. Mereka juga dapat melakukan proses penyelidikan statistika untuk data bivariat dan mengevaluasi berbagai laporan berbasis statistic. Elemen : Aljabar dan Fungsi Tujuan Pembelajaran : 1. Menjelaskan syarat dan aturan komposisi fungsi. 2. Membuat komposisi fungsi yang terdiri atas dua atau lebih fungsi. 3. Menyelidiki sifat komutatif dan asosiatif pada komposisi fungsi. 4. Menerapkan konsep komposisi fungsi untuk menyederhanakan ekspresi 5. Menganalisis sifat-sifat komposisi fungsi 6. Menerapkan sifat-sifat komposisi fungsi untuk menyatakan fungsi komposisi dari komposisi dua fungsi atau lebih 7. Memodelkan masalah yang terkait dengan fungsi komposisi 8. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan fungsi komposisi dalam kehidupan sehari-hari IKTP (Indikator Ketercapaian Tujuan Pembelajaran) : 1. Siswa mampu menjelaskan syarat dan aturan komposisi fungsi dengan benar. 2. Siswa mampu membuat komposisi fungsi yang terdiri atas dua atau lebih fungsi dengan baik. 3. Siswa mampu menyelidiki sifat komutatif dan asosiatif pada komposisi fungsi dengan benar dan tepat. 4. Siswa mampu menerapkan konsep komposisi fungsi untuk menyederhanakan ekspresi dengan benar 5. Siswa mampu menganalisis sifat-sifat komposisi fungsi secara optimal 6. Siswa dapat menerapkan sifat-sifat komposisi fungsi untuk menyatakan fungsi komposisi dari komposisi dua fungsi atau lebih dalam kehidupan sehari-hari. 7. Siswa dapat memodelkan masalah yang terkait dengan fungsi komposisi sesuai dengan permasalahan yang dihadapi
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 2 8. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan fungsi komposisi dalam kehidupan sehari-hari dengan baik dan benar. Petunjuk Penggunaan : 1. Baca Bahan ajar dengan seksama, pahami benar materi dan informasi yang ada didalamnya. 2. Laksanakan semua tugas – tugas agar kompetensi berkembang dengn baik. 3. Kuasai pengertian – pengertian dalam uraian materi dan kerjakan tugas-tugasnya. 4. Mulailah mengerjakan soal yang dianggap mudah dan sederhana. 5. Cocokkan jawabannya dengan kelompok atau teman yang lain, diskusikan jika terdapat perbedaan. 6. Guru mendampingi siswa dalam belajar dan membantu siswa jika ada kesulitan. 7. Guru melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan siswa. Peta Konsep
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 3 Kita seringkali mendengar dan membaca kata “komposisi” yang berarti susunan atau gabungan beberapa hal. Lihatlah gambar lukisan di atas terdiri dari komposisi warna pada sebuah lukisannya, komposisi bahan baku dalam pembuatan makanan, komposisi bahan dalam memproduksi suatu barang pada bidang industri. Komposisi – komposisi tersebut dibuat sedemikian sehingga dapat menghasilkan sesuatu yang memuaskan. Bagaimana membuat komposisi warna agar menghasilkan lukisan yang indah? Bagaimana membuat komposisi bahan makanan agar menghasilkan makanan yang lezat dan nikmat? Bagaimana membuat komposisi bahan baku yang tepat dalam industri sepatu agar menghasilkansepatu yang kuat dan tahan lama? Contoh komposisi – komposisi tersebut diatas masih ada kaitan dengan komposisi yang akan kita bahas. Lalu, komposisi seperti apa yang akan kita pelajari? Pada bab ini, kita akan membahas mengenai komposisi fungsi. Cobalah mengingat kembalimengenai konsep fungsi sebelum masuk bab ini. Jika fungsi telah kalian pelajari dengan baik maka masalah – masalah mengenai komposisi fungsi akan dapat kalian selesaikan dengan baik pula. Komposisi fungsi melibatkan lebih dari satu fungsi. Suatu fungsi jika di komposisikan dengan fungsi lain akan terbentuk suatu fungsi baru. Lalu, apa manfaat dari komposisi fungsi? Dapatkah kita menerapkannya dalam kehidupan sehari – hari? Ternyata, penggunaan komposisi fungsi sering kita lihat dalam berbagai bidang. Coba kalian sebutkan! Komposisi fungsi tidak rumit, terutama jika kalian sangat memahami fungsi kemudian perhatikan fungsi apa yang berada di depan (susunan penulisannya). Pada bab ini, kalian juga akan mempelajari fungsi invers yang juga berkaitan dengan fungsi.
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 4 A. Pengertian Komposisi Fungsi Untuk memahami operasi komposisi pada fungsi, perhatikan gambar dibawah ini : Berdasarkan gambar diatas dapat dikemukakan beberapa hal berikut : 1. = daerah asal fungsi , = daerah hasil fungsi , = daerah asal fungsi , = daerahhasil fungsi , ∘ = daerah asal komposisi fungsi ∘ , ∘ = daerah hasil komposisi fungsi ∘ 2. Fungsi memetakan himpuanan ke himpunana , ditulis : → . Setiap unsur ∈ dipetakan ke ∈ dengan fungsi = ( ). Perhatikan gambar (a) 3. Fungsi memetakan himpuanan ke himpunana , ditulis : → . Setiap unsur ∈ dipetakan ke ∈ dengan fungsi = ( ). Perhatikan gambar (b) 4. Fungsi ℎ memetakan himpuanan ke himpunana melalui himpunan , ditulis ℎ: → .Setiap unsur ∈ ℎ dipetakan ke ∈ ℎ dengan fungsi = ℎ( ). Perhatikan gambar (c) Berdasarkan beberapa hal diatas diperoleh definisi berikut : B C KOMPOSISI FUNGSI
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 5 B. Konsep Komposisi Fungsi Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” (komposisi / bundaran). Fungsi baru yang dapat dibentuk dari f(x) dan g(x) adalah : (gof) (x) artinya f dimasukkan ke g (fog) (x) artinya g dimasukkan ke f Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dan fungsi g memetakan himpunan B dan fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C. untuk x ϵ A petanya adalah y = f(x) di B, yang meruapakan domain dari fungsi g. Oleh karena itu, didapatkan peta dari f(x) oleh fungsi g yaitu g(y) = g(f(x)), sehingga diperoleh fungsi yang memetakan setaip x anggota A dengan tepat satu g(f(x)) anggota C. Fungsi yang demikian disebut komposisi fungsi dari f dan g. Komposisi fungsi dari f dan g dinotasikan dengan g f (dibaca : g bundaran f). Secara singkat, jika f : A B dan g : B C maka diperoleh definisi komposisi fungsi g f : A C yang menyatakan : g f(x) fg(x) Bahwa komposisi fungsi g f adalah operasi berurutan yang mengerjakan f terlebih dahulu baru dilanjutkan oleh g .
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 6 Berdasarkan uraian di atas, suatu operasi berurutan yang mengerjakan g terlebih dulu, baru dilanjutkan oleh f merupakan komposisi fungsi f g , dinyatakan dengan : f g(x) f(g(x)) Contoh soal : 1) Diketahui f(x) x 4 dan 3x 7 2 g(x) x . Tentukan fungsi komposisi g fx 2) Diketahui : f : R R dan g : R R . g(x) 3x 2, dan g fx 4x 3 Tentukan nilai f(x) ! 3) Diketahui : f : R R dengan f(x) = 4x – 1 dan fungsi g : R R dengan g(x) = x2 + 2. Tentukan: a. g f(x) b. g g(x) c. g f(2) d. g g(2) 4) Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(0,1), (2,4), (3,–1), (4,5)} g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukan :
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 7 a. (f g) b. (g f) c. (f g)(1) d. (g f)(4) e. (g f)(2) Jawab : 1) Diketahui f(x) x 4 3x 7 2 g(x) x . g fx gfx = g(x 4) =(x – 4)2 – 3(x – 4) + 7 = x2 – 8x + 16 – 3x + 12 + 7 = x2 – 11x + 35 2) Diketahui g(x) 3x 2 g fx 4x 3 Soal : f(x) Jawab : g fx 4x 3 g(f(x)) 4x 3 3f(x) 2 4x 3 3f(x) 4x 3 2 3 4x 5 f(x) 3) Diketahui f(x) = 4x – 1 g(x) = x2 + 4 a. g f(x) = g(f(x)) = g(4x – 1)2 + 2 = 16x2 – 8x + 3 Jadi, g f(x) = 16x2 – 8x + 3 b. g g(x) = g(g(x)) = g(x2 + 2) = (x2 + 2)2 + 2 = x4 + 4x2 + 6 Jadi, g g(x) = x4 + 4x2 + 6 c. Jika g f(x) = 16x2 – 8x + 3, maka g f(2) = 16(2)2 – 8(2) + 3 = 51 d. Jika g g(x) = x4 + 4x2 + 6, maka g g(2) =(2)4 + 4(2)2 + 6 = 38 4) Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(0,1), (2,4), (3,–1), (4,5)}
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 8 g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukan : a. (f g) = {(2,1), (1,4), (5, –1),(4,5)} b. (g f) = {(0,2), (4,3)} c. (f g)(1) = 4 d. (g f)(4) = 3 e. (g f)(2) tidak terdefinisi, sebab 2 g f D C. Menentukan Fungsi Awal, Jika Diketahui Fungsi Komposisinya Setelah dapat menentukan komposisi fungsi ∘ atau ∘ jika fungsi dan diketahui, bagaimana jika yang terjadi adalah sebaliknya? Jika fungsi yang diketahui adalah komposisi fungsi dan salah satu fungsi yang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara menentukan fungsi lainnya? Untuk menyelesaikan permasalahan yang seperti itu, dapat dilihat contoh dibawah ini. Dua contoh berikut, akan membahas mengenai bagaimana cara menyelesaikan soal yang fungsi komposisinya diketahui dan salah satu fungsi awalnya tidak diketahui (ditanya). Berikut ini merupakan contoh soalnya : Contoh soal : 1. Jika diketahui (f g)(x) 6x 3 dan f(x) = 2x – 3. Tentukanlah nilai g(x) ! 2. Jika diketahui (f g)(x) 2x 6 dan g(x) = x + 1. Tentukanlah nilai f(x) ! Jawab : 1. Diketahui (f g)(x) 6x 3 f(x) = 2x – 3 f(g(x)) = 6x + 3 2g(x) – 3 = 6x + 3 2g(x) = 6x + 6 g(x) = 3x + 3 Jadi g(x) = 3x + 3 2. Diketahui (f g)(x) 2x 6 g(x) = x + 1 f(g(x)) = 2x + 6 f(x + 1) = 2x + 2 + 6 f(x + 1) = 2(x + 1) + 4 f(x) = 2x + 4 Jadi f(x) = 2x + 4
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 9 D. Sifat – sifat komposisi fungsi Seperti pada umunya operasi aljabar, baik operasi aljabar pada bilangan maupun operasi aljabar pada fungsi, operasi komposisi pada fungsi juga mempunyai sifat – sifat tertentu. Sifat – sifat operasi komposisi pada fungsi dapat dipahami melalui pengerjaan Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD). Soal Latihan . Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Komposisi Fungsi, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing. 1. Diketahui fungsi : → dengan () = 2 − 4 + 2 dan fungsi : → dengan () = 3 − 7. Tentukanlah: a. ( ∘ )() b. ( ∘ )() c. ( ∘ )(10) d. ( ∘ )(−5) 2. Diketahui fungsi dan dirumuskan sebagai ( ) = 3 2 + 4 − 1 dan ( ∘ )( ) = 9 2 −18 + 4. Tentukan rumus dari fungsi . 3. Diketahuifungsi : → dengan ( )= ²+2 −3danfungsi : → dengan ( )=3 −1).Tentukanrumusfungsi ( )+ ( ) E. Komposisi dari Tiga Fungsi Untuk menyelesaikan fungsi komposisi yang melibatkan tiga fungsi, dapat dilakukan secara bertahap. Misalkan fungsi f : A B, fungsi g : B C, dan fungsi h : C D, maka terdapat komposisi dari tiga fungsi yaitu h g f: A D f : A B atau f : x y atau y = f(x) g : B C atau g : y z atau z = g(y) = g[f(x)] h : C D atau h : z w atau w = h(z) = h{g[f(x)]} x y z w x
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 10 f g h m n m(x) = g f(x) n(x) = h g f(x) Hal ini berarti : h g f(x) = h{g[f(x)]} Contoh Soal : 1) Diberikan fungsi – fungsi : f(x) = x + 1, g(x) = 3x dan h(x) = x2 . Tentukanlah : f g h(x) f g h(x) Apakah f g h(x) =f g h(x) ? 2) Diketahui : f(x) = x2 , g(x) = x – 1 dan h(x) = 3x. Tentukan (f (g h))(x) ! Jawab : 2 g h (x) g h(x) g x 2 ) 3x 2 g h (x) 3(x f g h(x) = 2 f g h (x) f 3x f g h(x) = 1 2 3x f g(x) f[g(x)] f(3x) f g(x) 3x 1 f g h(x) f ghx = ) 1 2 ) 3(x 2 f g (x f g h(x) = 1 2 3x Ternyata f g h(x) =f g h(x) Berdasarkan hasil di atas, ternyata operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut : Sifat asosiatif dari komposisi tiga fungsi : Misalkan f : A B, g : B C, dan h : C D, maka : g h f g h f
Matematika Fase F Semester 1 Sri Wahyuningsih, S.Pd 11 h g f h g f sering ditulis sebagai h g f: A D