แผนการจัดการเรียนรู้1

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชา คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั วิชา ค32102
ปกี ารศึกษา 2563
ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นที่ 2 เวลา 40 ช่ัวโมง
เวลา 2 ชวั่ โมง
ชอื่ หนว่ ยการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม

เร่อื ง ลาดับ

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวช้ีวัด

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 1.2 ม5/2 เข้าใจและนาความร้เู กี่ยวกับ ลาดับและอนุกรม ไปใช้

ตัวชวี้ ัด

ค 1.2 ม.5/2

2.จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
2.1 ดา้ นความรู้ (k) นกั เรียนสามารถ
1. บอกความหมายของลาดับได้
2. บอกได้วา่ ลาดับทก่ี าหนดให้เป็นลาดับจากัดหรือลาดับอนนั ต์ได้
3. เขียนลาดบั แบบแจงพจน์เมอ่ื กาหนดพจน์ทว่ั ไปให้ได้
4. เขยี นพจนท์ ัว่ ไปของลาดบั เม่อื กาหนดลาดบั แบบแจงพจน์ได้
2.2 ด้านทกั ษะกระบวนการ (P) นกั เรียนมีความสามารถ
1.2.1 ในการใหเ้ หตผุ ล
1.2.2 ในการส่อื สาร สื่อความหมายและการนาเสนอ
2.3 ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
1. มีวินัย
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มุ่งมั่นในการทางาน

3. สาระสาคัญ
ลาดบั คือฟังกช์ ันทม่ี ีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตวั แรก หรอื ลาดับคอื ฟังก์ชนั ทม่ี ีโดเมนเปน็ จานวนเตม็ บวก
ลาดบั จากัด คอื ฟังกช์ ันที่มีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก n ตัวแรก
ลาดับอนนั ต์ คอื ฟงั ก์ชันทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก
ในกรณีที่ไมร่ ะบสุ มาชกิ ในโดเมนให้ถอื วา่ เปน็ ลาดบั อนันต์

4. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน

 ความสามารถในการสื่อสารสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร์การเขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์ หาพจน์
ท่วั ไปของลาดับ

 ความสามารถในการคดิ รเิ รม่ิ สร้างสรรค์
ความสามารถในการแกป้ ัญหาและใหเ้ หตผุ ลในการหาลาดับ
ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวิต เช่ือมโยงความรู้ต่างๆทางคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่นได้และ
สรุปองคค์ วามรู้ได้
ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
5. สาระการเรียนรู้
1. ความหมายของลาดบั
2. การเขยี นลาดับในรูปแจงพจน์
3. การหาพจน์ท่ี n (an) หรอื พจน์ทว่ั ไปของลาดบั จากดั
บทนยิ าม

ลาดบั (Sequence) คือฟงั กช์ ันท่ีมโี ดเมนเป็นเซต {1,2,3, …, n}
หรอื มโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก

ลาดบั จากัด (finite sequence) คือฟังกช์ ันที่มโี ดเมนเป็นเซต {1,2,3, …, n}
ลาดบั อนันต์(infinite sequence) คอื ฟังกช์ นั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก

ใบงาน (Investigation)

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรยี นเติมคาตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละข้อต่อไปนใี้ ห้ถูกต้องสมบรู ณ์

รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2 รปู ท่ี 3 รปู ที่ 4

1. เติมจานวนลูกบาศก์ลงในตาราง

รปู ท่ี 1 2 34
จานวนลกู บาศก์

2. หาจานวนของลูกบาศก์รปู ท่ี 5, 6 และ 7

3. หาความสมั พันธ์ระหว่างลาดับของรูป กับจานวนลกู บาศกใ์ นแตล่ ะรปู และหาจานวนลูกบาศก์
ของรปู ท่ี n

จากใบงาน (Investigation) จะเห็นว่า ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งลาดบั ของรูปและจานวนลูกบาศก์ในแตล่ ะเป็น
ฟงั ก์ชนั ที่มี {1, 2, 3, 4} เป็นโดเมน และมี {1, 3, 6,10} เปน็ เรนจ์
เมื่อพจิ ารณาลาดบั ของรูปและจานวนลกู บาศกใ์ นกรณีทั่วไปจะได้ ดงั น้ี

ลาดบั ของรปู 1 2 3 4 … n

จานวนลกู บาศก์ 1 3 6 10 … n (n  1)

2

จากตาราง จะเห็นว่า ความสมั พนั ธ์ข้างตน้ เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

คือ {1, 2, 3, … , n, … } และมเี รนจเ์ ปน็ {1, 3, 6, 10, … , } เปน็ โดเมน และมี {1, 3, 6,10, n (n  1) . … }

2

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั f(x) = 2x มีโดเมนเปน็ เซตของจานวนจรงิ

และฟังก์ชนั g(x) = 2x มโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก เขยี นในรปู เซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ ดงั น้ี

g = {(1,2), (2,4), (3,6), … , (x,2x), … }

g = {(1, g(1)), (2, g(2)), (3,g(3)), … , (x, g(x)), …}

เนื่องจาก ฟังก์ชนั g(x) มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก จากบทนิยามของลาดบั จะไดว้ ่า

g(x) เปน็ ฟังก์ชนั ทเ่ี ปน็ ลาดบั จงึ นยิ มเขียน g(x) ดว้ ยสญั ลักษณ์ an เมอ่ื n ใชแ้ ทน x ซึ่งเป็นการบอกว่า n แทน
จานวนเตม็ บวก ดังน้ี

g = {(1, g(1)), (2, g(2)), (3,g(3)), … , (x, g(x)), …}

g = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), … , (n, an), …}
โดยทั่วไป การเขยี นลาดบั จะเขยี นเฉพาะสมาชิกของเรนจ์ เรยี งกันไป และใชต้ ัว a แทนสญั ลักษณ์ของลาดบั ดงั น้ี

a1, a2, a3, …, an เป็นลาดบั จากดั

a1, a2, a3, … เป็นลาดับอนนั ต์

เรยี ก a1 ว่าพจนท์ ี่ 1 ของลาดบั หรอื พจน์แรก

a2 วา่ พจน์ที่ 2 ของลาดับ

a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของลาดับ


an วา่ พจน์ที่ n ของลาดบั หรือพจนท์ ่วั ไปของลาดบั
ตวั อย่าง การเขยี นลาดบั

1) 5, 10, 15, 20, 25 เป็นลาดบั จากัดท่ีมี a1 = 5, a2 = 10, a3 = 15, a4 = 20 , a5 = 25
2) 3, 6, 9, 12, 15,… เปน็ ลาดบั อนนั ตท์ ่ีมี a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9 a4 = 12, a5 = 15, …
3) 4, 7, 10, 13, 16, … , 3n+1, … เปน็ ลาดับอนนั ต์ทีม่ ี a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13, a5 = 16, …

และ an = 3n+1
การเขยี นลาดับนอกจากจะเขียนแบบแจกแจงพจน์แลว้ ยังสามารถเขยี นเฉพาะพจน์ทั่วไปพรอ้ มทั้งระบุสมาชกิ ใน
โดเมน เช่น

ลาดับ 4, 8, 12, 16, 20 เขียนแทนดว้ ย an = 4n เมื่อ n {1, 2, 3, 4, 5}
ลาดับ 5, 7, 9, 11, 13, … 2n+3, … เขยี นแทนดว้ ย an = 2n+3 เมอื่ n {1, 2, 3, … }

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดบั an = 2n – 5
วิธที า จาก an = 2n – 5

จะได้ a1 = 2(1) – 5 = – 3
a2 = 2(2) – 5 = – 1
a3 = 2(3) – 5 = 1
a4 = 2(4) – 5 = 3
a5 = 2(5) – 5 = 5

ดงั น้นั หา้ พจน์แรกของลาดับ an = 2n – 5 คือ – 3, – 1, 1, 3, 5

ลองทาดู

จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดับ an = 4n – 3

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาห้าพจน์แรกของลาดับ an = 3n-1
วิธีทา จาก an = 3n-1
จะได้ a1 = 31-1 = 30 = 1

a2 = 32-1 = 31 = 3

a3 = 33-1 = 32 = 9

a4 = 34-1 = 33 = 27

a5 = 35-1 = 34 = 81

ดงั น้ัน ห้าพจนแ์ รกของลาดบั an = 3n-1 คือ 1, 3, 9, 27, 81

ลองทาดู

จงหาหา้ พจน์แรกของลาดับ an = 4n-2

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาหา้ พจน์แรกของลาดับ an = (-1)n(n+2)
วธิ ีทา จาก an = (-1)n(n+2)

จะได้ a1 = (-1)1(1+2) = –3
a2 = (-1)2(2+2) = 4
a3 = (-1)3(3+2) = –5
a4 = (-1)4(4+2) = 6
a5 = (-1)5(5+2) = –7

ดงั น้นั หา้ พจน์แรกของลาดับ an = (-1)n(n+2) คือ –3, 4, –5, 6, –7

ลองทาดู

จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดับ an = n(-1)n

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาพจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดับที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี
1) 2, 3, 6, 11, …
2) 50, 49, 47, 44, …
3) 64, 32, 16, 8, …
4) 1, 3, 9, 27, …

วิธที า 1) พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดับ
2 3 6 11
+1 +3 +5

จากความสัมพนั ธ์ จะเห็นวา่ พจนท์ อ่ี ย่ถู ดั ไปจะเพิ่ม 1, 3 และ 5 ตามลาดบั
จะได้ว่า พจน์ถดั ไปสองพจนข์ องลาดบั นจ้ี ะเพ่ิม 7 และ9 ตามลาดบั
ดงั นั้น พจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดบั นี้คือ 18 และ 27

วิธที า 2) พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดบั

50 49 47 44
–1 –2 –3

จากความสัมพันธ์ จะเหน็ วา่ พจน์ท่อี ยถู่ ัดไปจะลดลง 1, 2 และ 3 ตามลาดับ
จะไดว้ า่ พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดับนี้จะลดลง 4 และ5 ตามลาดบั
ดังนน้ั พจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดบั นค้ี ือ 40 และ 35

วธิ ีทา 3) พจิ ารณาความสัมพันธข์ องพจน์ในลาดบั

64 32 16 8

2 2 2
จากความสมั พนั ธ์ จะเห็นว่าพจน์ทอ่ี ยถู่ ดั ไปจะเป็นครง่ึ หนงึ่ ของพจน์ที่อยู่ก่อนหนา้
ดังน้ัน พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดบั นี้คอื 4 และ 2

วธิ ที า 4) พจิ ารณาความสัมพันธข์ องพจน์ในลาดับ

1 3 9 27

3 3 3
จากความสมั พนั ธ์ จะเห็นว่าพจนท์ อี่ ยู่ถดั ไปจะเปน็ สามเท่าของพจน์ทอี่ ยู่กอ่ นหนา้
ดงั น้ัน พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดบั นีค้ อื 81 และ 243

ลองทาดู

จงหาพจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดบั ที่กาหนดให้ต่อไปน้ี
1) 5, 10, 16, 23, …
2) 81, 27, 9, 3, …
3) 4, 1, –3, –8, …
4) 1, 4, 16, 64, …

6. จดุ เน้นส่กู ารพัฒนาคณุ ภาพผ้เู รียน ทกั ษะศตวรรษท่ี 21 (ใช้เฉพาะแกนหลกั 4Cs)
การคดิ อย่างมีวิจารณญาณ และทกั ษะในการแกป้ ัญหา (Critical Thinking and Problem Solving)
ทักษะดา้ นการสร้างสรรค์ และนวตั กรรม (Creativity and Innovation)
ทักษะด้านความรว่ มมือ การทางานเปน็ ทีม และภาวะผนู้ า (Collaboration, Teamwork and
Leadership)
ทักษะดา้ นการสื่อสารสนเทศ และร้เู ท่าทนั สอื่ (Communications, Information, and Media
Literacy)

ทักษะด้านชีวิตและอาชีพ
ความยืดหย่นุ และการปรับตัว
การรเิ รมิ่ สรา้ งสรรค์และการเปน็ ตวั ของตวั เอง
ทกั ษะสงั คม และสงั คมข้ามวฒั นธรรม
การเปน็ ผ้สู ร้างหรือผูผ้ ลติ และความรบั ผิดชอบเชอ่ื ถือได้
ภาวะผนู้ าและความรับผิดชอบ

คณุ ลักษณะสาหรับศตวรรษที่ 21
คุณลกั ษณะดา้ นการทางาน ได้แก่ การปรบั ตัว ความเปน็ ผู้นา
คณุ ลักษณะดา้ นการเรยี นรู้ ไดแ้ ก่ การชน้ี าตนเอง การตรวจสอบการเรยี นรู้ของตนเอง
คุณลกั ษณะดา้ นศีลธรรม ได้แก่ เคารพผ้อู ่นื ความซ่อื สัตย์ สานึกพลเมือง

7. ชน้ิ งานหรอื ภาระงาน (หลักฐาน/ร่องรอยแสดงความรู)้
ทาแบบฝึกหดั ที่ 3.1.1 ข้อ1 และ 2 ในหนงั สอื เรยี นรายวิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 ตาม
มาตรฐานการเรียนรแู้ ละตัวชว้ี ัดกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตร
แกนกลางการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551

8. กิจกรรมการเรียนรู้

ขน้ั นา : การใชค้ วามรู้เดิม (Prior Knowledge)

1. นกั เรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพือ่ ดูพ้นื ฐานความร้เู ดิมแล้วเกบ็ คะแนนไวเ้ พอื่ เปรียบเทยี บว่ามกี าร

พัฒนามากน้อยเพยี งใด จะทดสอบอีกครง้ั เมือ่ เรียนจบเนื้อหาในเรือ่ งลาดับ

2. ครูแจ้งจดุ ประสงค์การเรียนรใู้ หน้ กั เรยี นทราบวา่ เมื่อเรียนจบตามแผนการจัดการเรียนร้นู แี้ ลว้ นกั เรียนจะ

สามารถบอกความหมายของลาดับ ลาดับจากดั และลาดับอนันต์ได้ เขยี นลาดับในรูปแจงพจน์ และหาพจน์

ทั่วไปของลาดบั ได้

ข้ันสอน : รู้ (Knowing)

1. ใหน้ ักเรียนทากจิ กรรมใบงาน (Investigation) เป็นรายบคุ คล

2. ครูและนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยคาตอบ (Investigation)

3. ครถู ามคาถามนักเรยี น ดงั น้ี

 จากกจิ กรรม (Investigation) ลาดับที่ และจานวนลกู บาศก์เพ่ิมข้นึ หรือลดลงทีละเท่าใด

(แนวตอบ ลาดับทีเ่ พ่มิ ขึ้นทลี ะ 1 เสมอและจานวนลูกบาศกเ์ พิม่ ขน้ึ ทีละ 2, 3, 4, …)

 ถ้าต้องการ ทราบจานวน ลูกบาศก์ของลาดับท่ี 10 สามารถทาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ นา n = 10 ไปแทนคา่ ลงใน n(n  1) จะได้ 10(10  1)  55 ลกู บาศก์
2 2
4. ครอู ธบิ ายบทนิยามของลาดบั แลว้ ให้นักเรยี นพิจารณากราฟของฟังกช์ นั จากใบความรู้ แลว้ ครูถามคาถาม

นักเรยี น ดังน้ี

 กราฟของฟงั กช์ นั f(x) = 2x มีลกั ษณะเปน็ อยา่ งไร

(แนวตอบ กราฟของฟงั กช์ ัน f(x) = 2x มีลักษณะเป็นเสน้ ตรง ซงึ่ มโี ดเมนเป็นเซตของจานวนจริง)

 กราฟของฟังก์ชนั g(x) = 2x มลี ักษณะเป็นอยา่ งไร

(แนวตอบ กราฟของฟงั ก์ชนั g(x) = 2x มีลกั ษณะเป็นจดุ ท่ีเรยี งต่อกนั ในแนวเส้นตรง ซงึ่ มโี ดเมนเป็นเซตของ

จานวนเต็มบวก)

5. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกันสรุปวา่ ฟงั กช์ นั g(x) มโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก จากบทนิยามของลาดับ

จะไดว้ ่า g(x) เป็นฟังกช์ ันทีเ่ ป็นลาดับ จงึ นยิ มเขียน g(x) ด้วยสญั ลกั ษณ์ an เมื่อ n ใหแ้ ทน x ซึง่ เป็นการบอกวา่ n
แทนจานวนเต็มบวก

6. ครแู นะนาสญั ลักษณ์แทนสมาชกิ ของลาดบั ดงั น้ี

 ใช้ a แทนสัญลักษณข์ องลาดบั

 a1, a2, a3, …, an เปน็ ลาดบั จากัด

 a1, a2, a3, … เปน็ ลาดับอนันต์

ซึ่งจะเรียก a1 วา่ พจนท์ ี่ 1 ของลาดับ หรือพจนแ์ รก
a2 วา่ พจนท์ ่ี 2 ของลาดบั
a3 ว่าพจน์ท่ี 3 ของลาดบั
an วา่ พจน์ท่ี n ของลาดับ หรือพจน์ทวั่ ไปของลาดบั

7. ครูยกตวั อยา่ งเพิ่มเติมเก่ียวกบั การเขียนลาดบั พร้อมท้ังระบวุ ่าลาดบั ในแตล่ ะข้อเปน็ ลาดับจากัดหรอื
ลาดับอนนั ต์ ดงั น้ี

 -4, -8, -12, -16, -20 เป็นลาดบั จากดั ทมี่ ี a1 = -4, a2 = -8, a3 = -12, a4 = -16 , a5 = -20

 -2, -4, -6, -8, -10, … เป็นลาดบั อนันตท์ ่ีมี a1 = -2, a2 = -4, a3 = -6 a4 = -8, a5 = -10, …

 -4, -7, -10, -13, -16,… , -3n-1, … เปน็ ลาดบั อนนั ต์ท่มี ี a1 = -4, a2 = -7, a3 = -10, a4 = -13,
a5 = -16 และ an = -3n-1
8. ครูอธิบายว่า ลาดบั อนันต์มสี มาชิกไมม่ ีท่ีสิน้ สดุ เราจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วย … (จดุ สามจดุ )
9. ครูอธบิ ายเพิ่มเตมิ วา่ กรณีทกี่ าหนดลาดับพจนท์ ั่วไปหรือพจน์ที่ n ถ้าไม่ได้กาหนดสมาชิกโดเมนไว้ ใหถ้ ือ
ว่าลาดับน้นั เป็นลาดบั อนนั ต์
10. ครูกล่าวว่า การเขียนลาดับนอกจากจะเขยี นแบบแจกแจงพจนแ์ ลว้ ยังสามารถเขยี นเฉพาะพจน์ท่วั ไป
พรอ้ มทงั้ ระบุสมาชกิ ในโดเมน จากน้ันครยู กตวั อย่างเพ่ิมเติม ดงั น้ี

 ลาดบั -3, -6, -9 -12, -15 เขยี นแทนดว้ ย an = -3n เมื่อ n {1, 2, 3, 4, 5}

 ลาดบั 3, 5, 7, 9, 11, 13, … 2n+1, … เขียนแทนดว้ ย an = 2n+1 เมือ่ n {1, 2, 3, … }
11. ครูยกตัวอยา่ งในใบความรู้ พร้อมทั้งอธิบายการหาลาดับของ 5 พจน์แรก โดยการแทนค่าลงไปในพจน์ที่
n หรือพจนท์ วั่ ไป เมอ่ื แทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4, 5 โดยครูให้นักเรยี นแทนค่าในตัวอยา่ งท่ี 1 จากนนั้ ครูใหค้ วามรู้
เพม่ิ เติมว่า นักเรยี นสามารถหาค่า 5 พจน์แรกโดยใช้โปรแกรม Microsoft Excel ในการคานวณซึง่ จะมกี าร
กาหนดโดเมนต้งั แต่ 1ถงึ 5 คือ และกาหนดพจน์ทวั่ ไปคือ an = 2n – 5
12. ครใู ห้นกั เรียนแบ่งกล่มุ ๆ ละ 3-4 คนเพื่อฝกึ การใช้ โปรแกรม Microsoft Excel ในการคานวณหาค่า
5 พจนแ์ รกของพจนท์ ี่ n โดยครกู าหนดโจทย์กลุ่มละ 1 ขอ้ ทีไ่ ม่ซ้ากัน
13. ครูใหน้ กั เรยี นศึกษาตัวอย่างท่ี 3 ในใบความรู้จากนนั้ ครูอธิบายซ้าอีกคร้งั เพื่อให้นักเรียนเขา้ ใจมากยง่ิ ขนึ้
และสมุ่ ใหน้ กั เรียนออกมาแสดงวิธหี าคาตอบ ดงั นี้

 ให้นักเรียนหา 5 พจนแ์ รกของลาดบั an = 2n(n-1)
(แนวตอบ 5 พจน์แรกของลาดับ an = 2n(n-1) คอื 2, 4, 18, 128, 1250)

 ใหน้ กั เรยี นหา 5 พจน์แรกของลาดบั an = (-1)(n-1) (n – 3)
(แนวตอบ 5 พจนแ์ รกของลาดับ an = (-1)(n-1) (n – 3) คอื -2, 1, 0, -1, 2)

14. ใหน้ กั เรยี นจบั คู่ ทากจิ กรม “ลองทาดู” แล้วแลกเปลีย่ นความรู้กบั คู่ของตนเอง สนทนาซกั ถามจนเขา้ ใจ
รว่ มกัน จากน้นั ครูสุม่ นักเรียนออกมาแสดงวิธที า โดยครูและนกั เรยี นในชั้นเรยี นร่วมกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

15. ครูใหน้ ักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 4 ในใบความรู้จากนน้ั ครูให้นักเรียนพจิ ารณาความสัมพันธ์ว่าเปน็ แบบใด
โดยครตู ั้งคาถาม ดงั น้ี

 จากข้อ 1) จะเหน็ ว่าพจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดับคือ 18 และ 27 ให้ นกั เรยี นหาพจน์ถดั ไปสองพจน์
ของลาดบั น้ี

(แนวตอบ สองพจนถ์ ัดไปของลาดบั 2, 3, 6, 11, 18, 27, … คือ 38 และ 51)

 จากข้อ 2) จะเห็นว่าพจนถ์ ัดไปสองพจน์ของลาดบั คือ 40 และ 35 ให้ นกั เรียนหาพจน์ถัดไปสองพจน์
ของลาดับน้ี

(แนวตอบ สองพจน์ถัดไปของลาดบั 50, 49, 47, 44, 40, 35, … คอื 29 และ 22)

 จากข้อ 3) จะเหน็ ว่าพจนถ์ ัดไปสองพจน์ของลาดับคือ 4 และ 2 ให้ นกั เรยี นหาพจนถ์ ดั ไปสองพจนข์ อง
ลาดบั น้ี

(แนวตอบ สองพจนถ์ ัดไปของลาดับ 64, 32, 16, 8, 4, 2, … คอื 1 และ 1 )
2

 จากข้อ 4) จะเห็นว่าพจนถ์ ัดไปสองพจน์ของลาดบั คือ 81 และ 243 ให้ นกั เรียนหาพจน์ถัดไปสองพจน์

ของลาดับน้ี

(แนวตอบ สองพจนถ์ ัดไปของลาดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … คอื 729 และ 2187)

16. ใหน้ ักเรียนจบั คู่ ทากจิ กรม “ลองทาดู” แลว้ แลกเปลย่ี นความรู้กบั คู่ของตนเอง สนทนาซักถามจนเข้าใจ

ร่วมกัน จากน้นั ครสู มุ่ นักเรียนออกมาแสดงวธิ ีทา โดยครูและนกั เรียนในชนั้ เรยี นร่วมกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง

17. นกั เรียนทาเอกสารฝกึ หัดเพ่ิมเติม เปน็ การบ้าน เพ่ือเสริมทกั ษะและความแม่นยาในการเรียนรู้

ขน้ั สรปุ

ครถู ามนักเรยี นเพื่อสรุปความรูเ้ รือ่ งลาดับ ดงั นี้

 ลาดับ มีความหมายว่าอย่างไร
(แนวตอบ ลาดับ คือฟังก์ชนั ที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก หรอื สับเซตของจานวนเต็มบวก)

 สองพจน์ถดั ไปของลาดบั คือ 4,7, 10, 13, … คืออะไร
(แนวตอบ สองพจนถ์ ัดไป คือ 16 และ 19)

 สามพจนถ์ ดั ไปของลาดับคือ 7, 9, 13, 21, … คอื อะไร
(แนวตอบ สามพจนถ์ ดั ไป คือ 37, 69 และ 133)

 ห้าพจนแ์ รกของลาดบั an  n (n  1) คอื อะไร
2
(แนวตอบ ห้าพจน์แรกของลาดบั คือ -2, 1, 0, -1, 2)

9. ส่อื การเรยี นรู้
1. ใบความรู้
2. ใบงาน
3. แบบฝกึ เสรมิ ทักษะ
4. เอกสารฝึกหัดเพ่มิ เติม

5. หนังสอื เรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตวั ช้ีวดั กล่มุ
สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์(ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน
พุทธศักราช 2551

10. แหลง่ การเรียนรู้
1. ห้องห้องสมุดกลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
2. ห้องสมุดโรงเรียน
3. หอ้ งสมดุ ประชาชน

11. การวัดผลและการประเมนิ ผล
11.1 การประเมินตามจดุ ประสงค์/ตวั ชีว้ ดั

สง่ิ ท่ตี ้องการวดั วิธกี ารวดั เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมินผล
แบบฝกึ ทกั ษะ
ดา้ นความรู้ ทาแบบฝกึ ทักษะได้
อยา่ งน้อย 70% ข้นึ ไป
นกั เรียนสามารถ ตรวจแบบฝึกทกั ษะ

1. บอกความหมายของ

ลาดับได้

2. บอกได้ว่าลาดับท่ี

กาหนดใหเ้ ปน็ ลาดบั จากัด

หรือลาดบั อนนั ต์ได้

3. เขียนลาดบั แบบแจงพจน์

เมื่อกาหนดพจน์ทั่วไปให้ได้

4. เขยี นพจน์ทั่วไปของ

ลาดบั เมื่อกาหนดลาดับแบบ

แจงพจนไ์ ด้

ดา้ นทักษะกระบวนการ

นกั เรยี นสามารถใหเ้ หตุผล สงั เกตการให้เหตผุ ล แบบสงั เกตทักษะ ผา่ นเกณฑ์ประเมิน
กระบวนการทาง ตงั้ แตร่ ะดบั 2 ขึ้นไป
ประกอบการตัดสนิ ใจ ประกอบการตัดสนิ ใจ คณิตศาสตร์
ด้านการให้เหตผุ ล
ในการหาพจน์ทั่วไป ในการหาพจน์ท่วั ไป

ของลาดบั ของลาดับ

ด้านคุณลักษณะ

อนั พงึ ประสงค์ สงั เกตพฤตกิ รรม แบบสังเกต ผา่ นเกณฑป์ ระเมนิ

นกั เรยี น การมวี นิ ัย ใฝ่เรยี นรู้ คณุ ลักษณะ ตั้งแตร่ ะดบั 2 ขน้ึ ไป

1. มวี ินัย และ ความมุ่งม่นั อันพึงประสงค์ด้าน

2. ใฝ่เรียนรู้ ในการทางาน การมีวนิ ัย

3. มงุ่ มั่นในการทางาน ใฝเ่ รยี นรู้

และ ความมุ่งมน่ั

ในการทางาน

11.2 การประเมนิ สมรรถนะสาคญั คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ และทักษะศตวรรษที่ 21

ประเด็นการประเมิน วธิ ีวัด เคร่ืองมอื วดั เกณฑ์การให้คะแนน
การสงั เกต แบบประเมินการ ความถูกตอ้ งในการทา
การคิดอยา่ งมวี จิ ารณญาณ และ การตอบคาถาม สงั เกต กจิ กรรม 70% ข้นึ ไป
ทกั ษะในการแกป้ ัญหา (Critical
การสร้างสรรค์ชิน้ งาน ประเมินการสังเกต ความนา่ สนใจและถกู ต้อง
Thinking and Problem การปฏบิ ตั ิ สามารถนาไปเผยแพรแ่ ละ
Solving)

ทกั ษะดา้ นการสรา้ งสรรค์ และ
นวตั กรรม (Creativity and

Innovation)

ทกั ษะดา้ นความรว่ มมอื การ การสงั เกต แบบประเมนิ ใช้ประโยชน์ได้70% ข้ึนไป
ทางานเป็นทีม และภาวะผนู้ า การนาเสนอ การสังเกต ความถกู ตอ้ งในการทา
(Collaboration, Teamwork กระบวนการ แบบประเมนิ กิจกรรม 70% ข้ึนไป
ทางานกลมุ่ การปฏิบตั ิกจิ กรรม
and Leadership) การใช้สือ่ สารสนเทศ แบบประเมนิ การใช้ส่ือสารสนเทศและ
และเทคโนโลยี การใช้ส่ือ เทคโนโลยใี นการแกป้ ัญหา
ทกั ษะดา้ นการสอ่ื สารสนเทศ และตอบคาถามได้ถูกต้อง
และรูเ้ ทา่ ทนั สอ่ื 70% ข้นึ ไป
(Communications,

Information, and Media
Literacy)

12. ข้อเสนอแนะ

13. บันทึกหลังสอน
1. ผลการจดั การเรียนรู้
นักเรียนจานวน............................................................................................................ ........................คน
ผ่านจดุ ประสงค์การเรยี นรูโ้ ดยรวม......................คนคิดเปน็ ร้อยละ..........................................................

ไม่ผ่านจุดประสงค์การเรยี นร้โู ดยรวม..................คนคิดเปน็ ร้อยละ...........................................................
ไดแ้ ก่

1……………………………………………………………………………………………………………………………………
2…………………………………………………………………………………………………………………………………….
นกั เรยี นทม่ี ีความสามารถพเิ ศษ/นกั เรยี นเด็กพิเศษ ได้แก่
1…………………………………………………………………………………………………………….……………………
2……………………………………………………………………………………………………………………………………
นักเรียนที่ไม่ผ่านการประเมนิ จดุ ประสงคด์ ้านความรู้ (K) จานวน............................คน ไดแ้ ก่
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผ่านการประเมนิ จุดประสงค์ดา้ นทกั ษะ (P) จานวน..............................คน ไดแ้ ก่
..........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
นกั เรียนทไ่ี มผ่ ่านการประเมนิ จุดประสงค์ดา้ นเจตคติ (A) จานวน............................คน ได้แก่
..........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

2. ปัญหา/อปุ สรรค
............................................................................................................................. ........................................
......................................................................................... ............................................................................

3. แนวทางแกไ้ ข/ข้อเสนอแนะ (จากปัญหาอุปสรรค)
............................................................................................................................. ........................................
...................................................................................... ...............................................................................

ลงชอ่ื ....................................................ครูผู้สอน
( นางสมุ ิตรา สนิ ไชย)

ตาแหน่ง...................................................
…………./……………./…………

ความเหน็ ของหัวหนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู/้ หัวหน้ากิจกรรมพัฒนาผเู้ รียน
.................................................................................................................................................... ...............................
............................................................................................. .....................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................. .....................................................................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................. .....................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
..................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................. .....................................................................................
...................................................................................................................................................... .............................
............................................................................................. .....................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................
............................................................................................. .....................................................................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................. .....................................................................................

ลงชอื่ ...............................................หวั หน้ากล่มุ สาระฯ
(.......................................................)

…………./……………./…………

ความเห็นของหัวหน้าสถานศึกษาหรอื ผู้ท่ีได้รบั มอบหมาย
ได้ทาการตรวจแผนการจดั การเรยี นรขู้ อง นางสุมติ รา สินไชย แล้วมีความคดิ เหน็ ดงั นี้
1. เป็นแผนการจัดการเรยี นรู้ที่
 ดมี าก
 ดี
 พอใช้
 ควรปรบั ปรงุ
2. การจดั กิจรรมไดน้ ากระบวนการเรยี นรู้
 เน้นผูเ้ รียนเป็นสาคญั มาใชใ้ นการสอนไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
 ยงั ไมเ่ น้นผูเ้ รยี นเปน็ สาคัญ ควรปรับปรุงพฒั นาต่อไป
3. เปน็ แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี
 นาไปใช้ได้จรงิ
 ควรปรับปรงุ กอ่ นนาไปใช้
4. ข้อเสนอแนะอื่นๆ

.............................................................................................................................. .....................................................
............................................................................................................... ...................................................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................................................
.............................................................................................................................. .....................................................

ลงชอ่ื .............................................รองผอู้ านวยการโรงเรียนกลมุ่ บรหิ ารวชิ าการ
(นางอมั พร สงวนศกั ด์ิ)

…………./……………./…………

ความคิดเหน็
..................................................................................................... ..............................................................................
........................................................................................................... ................................................ ........................
............................................................................................................................. ......................................................
...................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ......................................................

ลงชอ่ื .............................................ผอู้ านวยการโรงเรียน
(นางยภุ า พรเศรษฐ์)
…………./……………./…………

ความร้กู ่อนหน้า : ลาดบั และอนกุ รม

เลขยกกาลงั

1. จงหาผลลพั ธ์

 1) 15 2 3
5
2) 4  - 2 3

 3) 6 1 - 1 3
2
4) 2 - 3 1  2 - 3 2  2 - 3 3  2 - 3 4

5) 1  24 

12 2 
 6)
3  1 1
3

13
2. พกิ ุลฝากเงิน 50,000 บาท กับสถาบันการเงินท่ีให้อัตราดอกเบย้ี 10 % ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบยี้

ทบตน้ แบบรายปี เม่ือเวลาผ่านไป 3 ปพี ิกลุ จะมเี งนิ รวมเท่าใด โดยทไี่ มม่ กี ารฝากเงินและถอนเงนิ

ในระหว่างนี้

3. นภากู้เงินจากปราณี โดยกาหนดชาระหนีท้ งั้ หมดในอีก 2 ปีขา้ งหน้าเปน็ เงนิ 17,640 บาท

ปราณกี าหนดอตั ราดอกเบ้ีย 5 % ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบยี้ แบบทบต้นทุกปี จงหาจานวนเงนิ

ทีน่ ภากจู้ ากปราณี
4. ปรางทิพย์ฝากเงนิ 70,000 บาท กบั สถาบันการเงนิ แห่งหน่ึงท่ีคดิ ดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทุกปี

เป็นเวลา4 ปี โดยทไ่ี ม่มีการฝากและถอนเงนิ ในระหวา่ งนี้ เมอ่ื ครบ 4 ปี พบว่าปรางทิพย์
มีเงนิ รวม 102,487 บาท จงหาอตั ราดอกเบ้ยี ท่สี ถาบนั การเงนิ กาหนดสาหรับเงินฝากน้ี

ฟังกช์ ัน

5. ให้ f(x)  4 3x จงหา

1) f(1)
2) f(4)
3) a เมื่อ f(a) = 108
4) b เมื่อ f(b) = 972

ใบความรู้
บทนิยาม

ลาดับ (Sequence) คอื ฟังก์ชันที่มีโดเมนเปน็ เซต {1,2,3, …, n}
หรือ มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

ลาดบั จากัด (finite sequence) คือฟังก์ชนั ที่มโี ดเมนเปน็ เซต {1,2,3, …, n}
ลาดบั อนันต์(infinite sequence) คือฟงั ก์ชนั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

ลองทาดู

ใบงาน (Investigation)

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรียนเตมิ คาตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปนีใ้ ห้ถูกต้องสมบูรณ์

รูปท่ี 1 รปู ที่ 2 รปู ที่ 3 รปู ที่ 4

1. เติมจานวนลกู บาศกล์ งในตาราง

รปู ท่ี 1 2 34
จานวนลูกบาศก์

2. หาจานวนของลกู บาศก์รปู ท่ี 5, 6 และ 7

3. หาความสัมพนั ธ์ระหวา่ งลาดับของรปู กบั จานวนลกู บาศก์ในแตล่ ะรูป และหาจานวนลูกบาศก์
ของรปู ท่ี n

จากใบงาน (Investigation) จะเห็นวา่ ความสมั พันธร์ ะหวา่ งลาดบั ของรปู และจานวนลกู บาศก์ในแตล่ ะเป็น
ฟงั กช์ นั ท่ีมี {1, 2, 3, 4} เปน็ โดเมน และมี {1, 3, 6,10} เป็นเรนจ์
เม่อื พิจารณาลาดับของรปู และจานวนลูกบาศกใ์ นกรณที ั่วไปจะได้ ดังนี้

ลาดบั ของรปู 1 2 3 4 … n
จานวนลูกบาศก์ 1 3 6 10 … n (n  1)

2

จากตาราง จะเห็นว่า ความสมั พันธ์ขา้ งตน้ เปน็ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก คอื {1, 2, 3,

… , n, … } และมเี รนจเ์ ป็น {1, 3, 6, 10, … , } เป็นโดเมน และมี {1, 3, 6,10, n (n  1) . … }

2

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชัน f(x) = 2x มีโดเมนเป็นเซตของจานวนจริง

และฟังกช์ ัน g(x) = 2x มโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก เขยี นในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชกิ ได้ ดงั นี้

g = {(1,2), (2,4), (3,6), … , (x,2x), … }

g = {(1, g(1)), (2, g(2)), (3,g(3)), … , (x, g(x)), …}

เน่ืองจาก ฟังก์ชนั g(x) มโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก จากบทนยิ ามของลาดบั จะไดว้ า่

g(x) เปน็ ฟังกช์ ันทเ่ี ปน็ ลาดับ จงึ นิยมเขยี น g(x) ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ an เมือ่ n ใชแ้ ทน x ซ่งึ เป็นการบอกวา่ n แทน
จานวนเตม็ บวก ดังนี้

g = {(1, g(1)), (2, g(2)), (3,g(3)), … , (x, g(x)), …}

g = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), … , (n, an), …}
โดยทว่ั ไป การเขียนลาดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกนั ไป และใชต้ ัว a แทนสญั ลักษณ์ของลาดับ ดงั น้ี

a1, a2, a3, …, an เป็นลาดับจากดั

a1, a2, a3, … เปน็ ลาดับอนันต์

เรยี ก a1 วา่ พจนท์ ่ี 1 ของลาดับ หรือพจน์แรก

a2 วา่ พจนท์ ี่ 2 ของลาดบั

a3 วา่ พจน์ท่ี 3 ของลาดับ


an วา่ พจนท์ ี่ n ของลาดบั หรือพจนท์ ่ัวไปของลาดับ
ตัวอยา่ ง การเขยี นลาดบั

1) 5, 10, 15, 20, 25 เปน็ ลาดับจากดั ท่ีมี a1 = 5, a2 = 10, a3 = 15, a4 = 20 , a5 = 25
2) 3, 6, 9, 12, 15,… เป็นลาดับอนนั ตท์ ี่มี a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9 a4 = 12, a5 = 15, …
3) 4, 7, 10, 13, 16, … , 3n+1, … เปน็ ลาดบั อนันต์ท่มี ี a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13, a5 = 16, …

และ an = 3n+1
การเขียนลาดบั นอกจากจะเขียนแบบแจกแจงพจนแ์ ลว้ ยงั สามารถเขียนเฉพาะพจนท์ ่วั ไปพรอ้ มทง้ั ระบุสมาชิกใน

โดเมน เชน่

ลาดับ 4, 8, 12, 16, 20 เขียนแทนด้วย an = 4n เมอ่ื n {1, 2, 3, 4, 5}
ลาดบั 5, 7, 9, 11, 13, … 2n+3, … เขยี นแทนด้วย an = 2n+3 เม่ือ n {1, 2, 3, … }

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดบั an = 2n – 5
วิธที า จาก an = 2n – 5

จะได้ a1 = 2(1) – 5 = – 3
a2 = 2(2) – 5 = – 1

a3 = 2(3) – 5 = 1
a4 = 2(4) – 5 = 3
a5 = 2(5) – 5 = 5
ดงั นน้ั หา้ พจน์แรกของลาดบั an = 2n – 5 คอื – 3, – 1, 1, 3, 5

ลองทาดู

จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดบั an = 4n – 3

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาห้าพจน์แรกของลาดบั an = 3n-1
วิธที า จาก an = 3n-1
จะได้ a1 = 31-1 = 30 = 1

a2 = 32-1 = 31 = 3

a3 = 33-1 = 32 = 9

a4 = 34-1 = 33 = 27

a5 = 35-1 = 34 = 81

ดังนนั้ หา้ พจน์แรกของลาดับ an = 3n-1 คอื 1, 3, 9, 27, 81

ลองทาดู

จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดบั an = 4n-2

ตวั อย่างที่ 3 จงหาหา้ พจน์แรกของลาดบั an = (-1)n(n+2)
วธิ ที า จาก an = (-1)n(n+2)

จะได้ a1 = (-1)1(1+2) = –3
a2 = (-1)2(2+2) = 4
a3 = (-1)3(3+2) = –5
a4 = (-1)4(4+2) = 6
a5 = (-1)5(5+2) = –7

ดังนั้น หา้ พจนแ์ รกของลาดับ an = (-1)n(n+2) คอื –3, 4, –5, 6, –7

ลองทาดู

จงหาห้าพจน์แรกของลาดบั an = n(-1)n

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาพจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดับทกี่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี
1) 2, 3, 6, 11, …
2) 50, 49, 47, 44, …
3) 64, 32, 16, 8, …
4) 1, 3, 9, 27, …

วิธีทา 1) พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดบั

2 3 6 11

+1 +3 +5

จากความสัมพนั ธ์ จะเหน็ ว่าพจนท์ ีอ่ ย่ถู ดั ไปจะเพ่ิม 1, 3 และ 5 ตามลาดบั
จะได้ว่า พจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดับน้ีจะเพิ่ม 7 และ9 ตามลาดับ
ดังน้ัน พจน์ถดั ไปสองพจนข์ องลาดับนี้คือ 18 และ 27

วิธีทา 2) พิจารณาความสัมพันธข์ องพจน์ในลาดับ

50 49 47 44
–1 –2 –3

จากความสัมพนั ธ์ จะเห็นวา่ พจนท์ อี่ ย่ถู ัดไปจะลดลง 1, 2 และ 3 ตามลาดบั
จะได้วา่ พจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดบั นี้จะลดลง 4 และ5 ตามลาดับ
ดังนน้ั พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดบั นค้ี ือ 40 และ 35

วธิ ีทา 3) พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดับ

64 32 16 8

2 2 2
จากความสัมพันธ์ จะเหน็ วา่ พจนท์ ่ีอยถู่ ัดไปจะเปน็ ครึ่งหนึ่งของพจน์ที่อยกู่ ่อนหนา้
ดังนัน้ พจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดบั น้ีคือ 4 และ 2

วธิ ีทา 4) พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดับ

1 3 9 27

3 3 3
จากความสมั พันธ์ จะเห็นวา่ พจน์ท่ีอยถู่ ดั ไปจะเป็นสามเท่าของพจน์ท่ีอยู่ก่อนหน้า
ดงั นั้น พจน์ถดั ไปสองพจนข์ องลาดับนี้คือ 81 และ 243

ลองทาดู

จงหาพจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดับทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ี
1) 5, 10, 16, 23, …
2) 81, 27, 9, 3, …
3) 4, 1, –3, –8, …
4) 1, 4, 16, 64, …

แบบฝึกทกั ษะ1

ระดบั พ้นื ฐาน

1. จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดับต่อไปนี้

1) an = 7n +2

2) an = 10 – 2n
3) an = 2 n + 4
4) an = -3n+1
5) an = 2n(-1)n - 1

6) an  (2)n
n

2. จงหาพจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดบั ที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1) 10, 20, 35, 55, …

2) 90, 70, 52, 36, …

3) 1, 5, 25, 125, …

4) 2000, 1000, 500, 250, …

ระดับกลาง

3. จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดับต่อไปนี้

1) an = n(n  1)
2

2) an = n(n - 1)
2n  1

 3) an = 2 n
3
n

 4) an = 1 n1 n
2 n2
-

5) an = (-1)n (n+1) (n+2)

6) an = (-1)n (n+3) (2n)

4. จงหาพจนถ์ ัดไปสองพจน์ของลาดับท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) a, a+b, a+2b, a+3b, …
2) a, a2 b2 , a3 b4, a4 b6, …

3) 1 x  y, 1 x  y 2 , 1 x  y3, 1 x  y4, …
2 4 8 16

4) x – 2y +3z, 2x – 3y +6z, 3x – 4y +9z, 4x – 5y +12z, …

ระดับทา้ ทาย
5. จงหาหกพจน์แรกของลาดับ

an =  n(n  1) เมอื่ n เป็นจานวนคบี่ วก
3n2  4n  1 เมอ่ื n เปน็ จานวนคบู่ วก

ใบงาน

คาชแ้ี จง ใหน้ กั เรยี นเติมคาตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบรู ณ์

ขอ้ ท่ี ฟงั กช์ ัน โดเมนของฟังกช์ นั เรนจ์ของฟงั ก์ชนั

1 f1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} {3, 4, 5} {1, 2, 3}

2 f2 = {(1, x), (2, y), (3, z)} {1, 2, 3} {x, y, z}

3 f3 = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), . . . , (8, 10)}

4 f4 = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), . . . }

5 f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), . . . }

6 f6 = {(2, 3), (4, 6), (8, 12)}

7 f7 = {(5, 7), (7, 9), (9, 11), . . ., (15,
17)}

8 f8 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }

สรปุ โดเมนของฟังกช์ ัน คือ ……………………………………………………………….…………………
……………………………………………………………………………………………………………………….………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………………………………..………….

เรนจข์ องฟงั ก์ชัน คือ ……………………………………………………..…………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….……………….

เฉลยใบงาน

ขอ้ ท่ี โดเมนของฟังกช์ นั เรนจข์ องฟงั ก์ชนั
3 {1, 2, 3, . . . , 8} {3, 4, 5, . . . , 10}
4 {1, 2, 3, . . . } {6, 7, 8, . . . }

5 {1, 2, 3, . . . } {a, b, c, . . .}
6 {2, 4, 8} {3, 6, 12}
7 {5, 7, 9, . . . , 15} {7, 9, 11, . . . , 17}
8 {1, 2, 3, . . . } {3, 4, 5, . . .}

สรุป โดเมนของฟงั กช์ นั คือ สมาชกิ ตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่อนั ดบั ในฟังก์ชัน
เรนจ์ของฟงั กช์ ัน คือ สมาชิกตวั หลังของคู่อันดบั ทุกคู่อันดับในฟงั ก์ชนั

ใบงาน
คาช้แี จง ให้นักเรยี นเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์

ขอ้ ที่ ฟังกช์ นั โดเมนของฟังกช์ นั ลาดบั
เป็น ไมเ่ ปน็
1 f1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} {1, 2, 3, 4} -
-
2 f2 = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), . . . } {2, 4, 6, . . . }

3 f3 = {(1, 5), (2, 7), (3, 12), (4, 17), (5, 22)}

4 f4 = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)}

5 f5 = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)}

6 f6 = {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)}

7 f7 = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)}

8 f8 = {( 1 , 1), ( 2 , 3), ( 3 , 3)}
234

9 f9 = {(x, y) | y = 3x + 1 , x I- }

10 f10 = {(a, b) | b = 2a + 2 , a I+}

สรปุ ลาดับ คือ ……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เฉลยใบงาน

ข้อท่ี โดเมนของฟังกช์ นั ลาดับจากัด ลาดับอนันต์
3 {1, 2, 3, 4, 5} -
4 {1, 2, 3, 4} -
5 {1, 2, 3, . . . , 7} -
6 {1, 2, 3, 4, . . .} -
7 {1, 2, 3, . . . , 10} -
8 {1, 2, 3, 4} -
9 {1, 2, 3, . . . } -
10 {1, 2, 3, . . . } -

สรปุ ลาดบั จากัด คอื ฟงั กช์ นั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก
ลาดับอนันต์ คอื ฟังกช์ นั ทม่ี ีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก

แบบฝึกทกั ษะ
จุดประสงค์การเรียนรู้ บอกความหมายของลาดับได้

คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาฟังกช์ นั แต่ละข้อตอ่ ไปนี้ว่าเป็นหรือไมเ่ ปน็ ลาดบั แลว้ เติมคาตอบ
ลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบรู ณ์

ขอ้ ที่ ฟงั ก์ชนั คาตอบ
1 f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . }
2 f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
3 f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}
4 f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)}
5 f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)}
6 f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)}
7 f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมื่อ x = 1, 2, 3 }
8 f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เม่อื x  I+ }
9 f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เม่อื a = 1, 2, 3, 4 }
10 f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ่ื x = 1, 2, 3, . . . }

คะแนนท่ีได้ = ………………………… ขยันเรยี นคณติ สกั นิด
ผ้ตู รวจ ………………………………….. ชีวติ จะก้าวไกล
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… จรงิ ไหม !

เฉลยแบบฝึกทักษะ

1. เปน็ ลาดับ 6. เป็นลาดับ
2. เปน็ ลาดบั 7. เปน็ ลาดบั
3. ไมเ่ ปน็ ลาดบั 8. เป็นลาดบั
4. เป็นลาดบั 9. เป็นลาดบั
5. ไม่เป็นลาดับ 10. เปน็ ลาดับ

แบบฝึกทกั ษะ

จุดประสงค์การเรียนรู้ บอกความหมายของลาดบั จากัดหรอื ลาดับอนนั ต์ได้
คาช้แี จง ให้นกั เรยี นพิจารณาลาดบั แต่ละขอ้ ต่อไปนี้ว่าเป็นลาดบั จากัดหรือลาดับอนันต์

แล้วเตมิ คาตอบลงในช่องว่างใหถ้ กู ต้องสมบรู ณ์

ข้อท่ี ลาดับทกี่ าหนดให้ คาตอบ
1 4, 7, 10, 13, 16, . . .
2 2, 5, 8, 11, 14
3 1, 4, 9, 16, 25, . . .
4 6, 10, 14, 18, 22, 26
5 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38
6 an = 8n เมอื่ n = 1, 2, 3, 4
7 an = 3n + 7 เมือ่ n  I+

8 an = 2n2 – 1 เมอ่ื n = 1, 2, 3
9 an = n3 เม่ือ n  I+
10 an = 2n – 10 เม่อื n = 1, 2, 3, . . .

คะแนนท่ีได้ = ………………………… ขยัน ใฝ่รู้ อดทน
ผู้ตรวจ ………………………………….. เปน็ สมบตั ิสว่ นหนึ่งของนกั คณติ ศาสตร์
วนั ท่ี ……. เดอื น ………….. พ.ศ. ……… แล้วคณุ ละมสี มบตั เิ ชน่ นห้ี รือยงั

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ

1. ลาดับอนนั ต์ 6. ลาดบั จากัด
2. ลาดับจากดั 7. ลาดบั อนนั ต์
3. ลาดบั อนนั ต์ 8. ลาดับจากัด
4. ลาดบั จากดั 9. ลาดบั อนนั ต์
5. ลาดับจากัด 10. ลาดับอนนั ต์

ใบความรู้

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
เขียนลาดบั ในรปู แจงพจน์ได้

สาระสาคัญ

การเขียนลาดับในรปู แจงพจน์ คือ การเขียนลาดบั เรียงจากพจน์ท่ี 1 พจนท์ ่ี 2 พจน์ท่ี 3
ไปเรอื่ ย ๆ แล้วคน่ั แต่ละพจน์ด้วยเครอ่ื งหมายจุลภาค เชน่ 3, 5, 7, . . .

สาระการเรียนรู้

การเขยี นลาดับในรูปแจงพจน์

พิจารณา f(n) = n + 3 เมอ่ื n  {1, 2, 3, 4}
ถ้า n = 1 จะได้ f(1) = 1 + 3 = 4
n = 2 จะได้ f(2) = 2 + 3 = 5
n = 3 จะได้ f(3) = 3 + 3 = 6
n = 4 จะได้ f(4) = 4 + 3 = 7

เมื่อนาคา่ เหล่าน้มี าเขียนเรียงกันจะได้ f(1), f(2), f(3), f(4) ซง่ึ เป็นอีกรูปแบบหน่งึ ของลาดับ
จะเห็นว่า โดเมน คอื {1, 2, 3, 4}
เรนจ์ คือ {4, 5, 6, 7}
เรียกลาดบั ข้างต้นนว้ี ่า ลาดับจากดั

และเรยี ก f(1) วา่ พจนท์ ่ี 1 ของลาดับ แทนดว้ ย a1
f(2) ว่าพจนท์ ี่ 2 ของลาดับ แทนด้วย a2
f(3) ว่าพจนท์ ่ี 3 ของลาดับ แทนดว้ ย a3
f(4) ว่าพจน์ท่ี 4 ของลาดับ แทนดว้ ย a4

แต่ f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6
f(4) = 7

ดังนั้น 4, 5, 6, 7 จงึ เรียกวา่ ลาดบั เช่นเดียวกัน
ซ่งึ การเรยี งลาดบั ในลกั ษณะน้ีเรยี กว่า การเขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์
และเรยี ก 4 ว่า พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั (a1)

5 วา่ พจนท์ ่ี 2 ของลาดบั (a2)
6 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั (a3)
7 วา่ พจนท์ ี่ 4 ของลาดบั (a4)

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนด f(n) = 2n – 1 เม่ือ n  {1, 2, 3, 4, 5}

จงเขยี นลาดับในรปู แจงพจน์

วิธีทา จาก f(n) = 2n – 1

f(1) = 2(1) – 1 = 1
f(2) = 2(2) – 1 = 3
f(3) = 2(3) – 1 = 5
f(4) = 2(4) – 1 = 7
f(5) = 2(5) – 1 = 9

 ลาดบั ในรูปแจงพจน์ คือ 1, 3, 5, 7, 9

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนด an = 10 – 2n เมื่อ n  {1, 2, 3, . . ., 9}

จงเขยี นลาดับในรูปแจงพจน์

วธิ ที า จาก an = 10 – 2n

a1 = 10 – 2(1) = 8

a2 = 10 – 2(2) = 6

...a3 = 10 – 2(3) =4
. .. .
..
a9 = 10 – 2(9) = -8

 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 8, 6, 4, . . . , -8

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เขยี นลาดับในรปู แจงพจน์ได้

คาช้ีแจง ใหน้ ักเรียนเขยี นลาดับในรูปแจงพจน์ โดยการเติมคาตอบลงในช่องว่างแตล่ ะข้อ
ตอ่ ไปนี้ใหส้ มบรู ณ์

1. an = 2n – 1 3. an = 1  2n
a1 = 2(1) – 1 = 1 1 - 3n
a2 = 2(2) – 1 = 3
a3 = …………………………….. a1 = ……………………………..
a4 = ……………………………..
a5 = …………………………….. a2 = ……………………………..

เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดบั คอื a3 = ……………………………..
…………………………………………..
a4 = ……………………………..
2. an = 2n2 – 2
a1 = 2(12) – 2 = ……………… เขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์ จะไดล้ าดบั คือ
a2 = ……………………………..
a3 = …………………………….. ……………………………………………
a4 = ……………………………..
4. an = 2n2
เขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์ จะไดล้ าดบั คือ a1 = ……………………………..
…………………………………………… a2 = ……………………………..
a... 3 = ……………………………..
a10 = ……………………………..

เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะไดล้ าดับ คือ

……………………………………………

คะแนนท่ีได้ = ………………………… ชวี ิตจะรุ่งโรจน์ ถ้าไม่โดด
ผู้ตรวจ ………………………………….. เรยี นคณิต
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ

1. an = 2n – 1 3. an = 1  2n
a1 = 2(1) – 1 = 1 1 - 3n
a2 = 2(2) – 1 = 3
a3 = 2(3) – 1 = 5 a =1 1  2(1)  - 3
a4 = 2(4) – 1 = 7 1 - 3(1) 2
a5 = 2(5) – 1 = 9
a2 = 1  2(2)  -1
เขยี นลาดับในรูปแจงพจน์ จะไดล้ าดับ คือ 1 - 3(2)
1, 3, 5, 7, 9
a =3 1  2(3)  - 7
2. an = 2n2 – 2 1 - 3(3) 8
a1 = 2(12) – 2 = 0
a2 = 2(22) – 2 = 6 a =4 1  2(4)  - 9
a3 = 2(32) – 2 = 16 1 - 3(4) 11
a4 = 2(42) – 2 = 30
เขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดบั คือ
เขียนลาดับในรปู แจงพจน์ จะได้ลาดบั คือ
0, 6, 16, 30 - 3 ,-1,- 7 ,- 9
2 8 11

4. an = 2n2

a1 = 2(12) = 2

a2 = 2(22) = 8

a3 = 2(32) = 18

.. .

.. .

.. .

a10 = 2(102) = 200

เขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์ จะไดล้ าดบั คือ
2, 8, 18, . . . , 200

ใบความรู้

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
หาพจน์ทว่ั ไปของลาดับที่กาหนดใหไ้ ด้

สาระสาคัญ an = 4n + 2

พจน์ทว่ั ไปของลาดับจากดั หรือพจน์ท่ี n เขียนแทนด้วย an เชน่
เมอื่ n = 1, 2, 3

สาระการเรยี นรู้

การหาพจนท์ ่ัวไปของลาดับจากดั

พจนท์ ว่ั ไปของลาดับจากัดหรือพจนท์ ่ี n เขยี นแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2
เมื่อ n = 1, 2, 3 ซึง่ ในการหาพจนท์ ่ัวไปของลาดับจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง
an กบั n แลว้ จงึ สรุปเปน็ กฎเกณฑ์ ดงั ตวั อย่างต่อไปน้ี

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาพจนท์ ่วั ไปของลาดับ 3, 5, 7, 9, 11
วธิ ีทา จากลาดบั จากดั 3, 5, 7, 9, 11

จะได้ a1 = 3 = (2  1) + 1
a2 = 5 = (2  2) + 1
a3 = 7 = (2  3) + 1
a4 = 9 = (2  4) + 1
a5 = 11 = (2  5) + 1

 พจน์ท่วั ไปของลาดับนค้ี ือ 2n + 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดบั 15, 18, 21, 24, 27, 30
วธิ ที า จากลาดบั จากัด 15, 18, 21, 24, 27, 30
จะได้ a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12
a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12
a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12
a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12
a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12
a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12

 พจน์ทว่ั ไปของลาดับจากัดนี้คือ 3n + 12 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6
แบบฝกึ ทักษะ

จุดประสงค์การเรียนรู้ หาพจน์ท่วั ไปของลาดบั ได้

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนเขียนลาดบั ทีก่ าหนดใหแ้ ต่ละข้อต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรูปพจน์ทั่วไปหรือ
พจนท์ ี่ n แล้วเตมิ คาตอบลงในชอ่ งว่างให้ถกู ต้องสมบรู ณ์

ข้อที่ ลาดับที่กาหนดให้ พจน์ทั่วไปหรือพจน์ท่ี n
1 4, 7, 10, 13, 16
2 2, 4, 8, 16, 32, 64
3 9, 13, 17, 21, . . .
4 9, 6, 0, -3, . . .
5 1 , 2 , 3 , 4 ,...

2345

6 2, 5, 8, 11, 14
7 5, 6, 7, 8, 9, 10

8 8, 9, 10, 11, 12, 13 การหาพจนท์ วั่ ไปหรือ
พจนท์ ี่ n (an) หาโดย
คะแนนที่ได้ = ………………………… การพจิ ารณาความสมั พนั ธ์
ผู้ตรวจ …………………………………..
วนั ที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… ระหวา่ ง an กบั n แล้ว
จงึ สรปุ เปน็ กฎเกณฑ์

นะ !

เฉลยแบบฝึกทักษะ

ขอ้ ที่ พจน์ทวั่ ไปหรือพจน์ที่ n

1 an = 3n + 1
2 an = 2n
3 an = 4n + 5
4 an = 12 – 3n

5 an = n
n 1

6 an = 3n – 1
7 an = n + 4
8 an = n + 7