พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา

พาราโบไลฮาเพอร์โบลา

นางสาวพรรัมภา ศิริประทุม เลขท่ี 21 ม.4/12

พาราโบลา

บทนิยาม
พาราโบลาคือเซตของจุดทกุ จดุ บนระนาบ ซึงอยู่หา่ งจากเส้นตรงที เส้น
หนึงบนระนาบและจุดคงทีจดุ หนึงบนระนาบนอกเส้นตรงคงทีนัน เปน
ระยะทางเท่ากับเสมอ

- จดุ คงที เรียกว่า โฟกสั (focus) ของพาราโบลา
- เสน้ ตรงทคี งที คอื เส้นบงั คับ หรอื เส้นไดเรกตรกิ ซ์ (Directrix)
- เสน้ ตรงทลี ากผ่านจดุ โฟกสั และตังฉากกับไดเรกตริกซ์คือแกน
ของพาราโบลา หรอื แกนสมมาตร(axisof symmetry)
- จุดทแี กนพาราโบลาตัดเส้นโค้งของพาราโบลาคอื
จุดยอด (vertex) ของพาราโบลา
- ส่วนของเส้นตรงทลี ากผ่านจดุ โฟกสั และตงั ฉากกับแกนของ
พาราโบลา โดยจดุ ปลายทังสองอยู่บนโค้ง ของพาราโบลาเรียกวา่
ลาตสั เรกตัม (Latus Recrum) รปู แบบสมการ มี 2 รปู แบบใหญ่ๆ คือ

1. สมการ y = ax 2 + bx + c
2. สมการ y = a(x –h)2 + k

สมการพาราโบลาที่มีจดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จดุ (0, 0)

เมือแกน x เปนแกนสมมาตร
สมการพาราโบลาทีมจี ุดศนู ย์กลางอยู่ทจี ุด (0, 0) เมือแกน x
เปนแกนสมมาตร
ความสมั พันธ์ของกราฟ คือ
เปนพาราโบลาทีมีแกนในแนวนอน แกน x หรอื เสน้ ตรง y = 0

- จุดยอดอยู่ที (0, 0)
- จุดโฟกสั อยู่ที F(c, 0)
- สมการไดเรกตริกซ์ คอื x = -c
- เลตสั เรกตัม ยาว = |4c| หน่วย

สมการรปู แบบมาตรฐานเปน y²= 4cx

c > 0 โค้งเปดไปทางขวา
c < 0 โคง้ เปดไปทางซ้าย

เมอื แกน y เปนแกนสมมาตร
สมการพาราโบลาทีมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ทจี ุด (0, 0) เมือแกน y
เปนแกนสมมาตร
ความสมั พนั ธ์ของกราฟ คอื
เปนพาราโบลาทมี แี กนในแนวตัง แกน y หรอื เสน้ ตรง x = 0

- จุดยอดอยทู่ ี (0, 0)
- จดุ โฟกสั อยู่ที F(0, c)
- สมการไดเรกตรกิ ซ์ คอื y = -c
- เลตสั เรกตมั ยาว = |4c| หน่วย

สมการรูปแบบมาตรฐานเปน x²= 4cy

c > 0 โค้งเปดไปทางบน
c < 0 โค้งเปดไปทางลา่ ง

สมการพาราโบลาที่มจี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุด (h, k)

เมือแกนสมมาตรขนานกับแกน x
สมการพาราโบลาทมี ีจดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ีจดุ (h, k)
เมือแกนสมมาตรขนานกบั แกน y
ความสมั พันธข์ องกราฟ คือ
เปนพาราโบลาทมี ีแกนในแนวนอน แกนสมมาตรอยู่บนเส้นตรง y = k

- จุดยอดอยู่ที V(h, k)
- จุดโฟกสั อยู่ที F(h+c, k)
- สมการไดเรกตรกิ ซ์ คอื x = h - c
- เลตสั เรกตัม ยาว = |4c| หน่วย

สมการรูปแบบมาตรฐานเปน (y-k)²= 4c(x-h)

c > 0 โคง้ เปดไปทางขวา
c < 0 โคง้ เปดไปทางซา้ ย

เมือแกนสมมาตรขนานกบั แกน y
สมการพาราโบลาทมี จี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จี ุด (h, k)
เมือแกนสมมาตรขนานกบั แกน x
ความสมั พันธข์ องกราฟ คือ
เปนพาราโบลาทีมีแกนในแนวตงั แกนสมมาตรอย่บู นเส้นตรง x = h

- จดุ ยอดอยู่ที V(h, k)
- จดุ โฟกัสอยู่ที F(h, k+c)
- สมการไดเรกตรกิ ซ์ คือ y = k - c
- เลตสั เรกตมั ยาว = |4c| หน่วย

สมการรูปแบบมาตรฐานเปน (x-h)²= 4c(y-k)

c > 0 โค้งเปดไปทางบน
c < 0 โค้งเปดไปทางล่าง

โจทย์

1. จงหาจดุ ยอด จดุ โฟกสั สมการไดเรกตรกิ ซ์และเขยี นกราฟพาลาโบลาจาก
สมการ y²+ 12x = 0
วิธที ํา y²+ 12x = 0
y²= -12x
y²= 4(-3)x

จะได้ c = -3

เปนพาราโบลาเปดทางซา้ ย
จดุ ยอด คอื (0, 0)
จุดโฟกัส คอื (-3, 0)
สมการไดเรกตรกิ ซ์ คือ x = -(-3) = 3

2. จงหาจุดยอด จุดโฟกสั สมการไดเรกตรกิ ซ์และเขยี นกราฟพาลาโบลาจาก
สมการ x²= 4y

วธิ ีทาํ x²= 4y
x²= 4(1)y

จะได้ c = 1
เปนพาราโบลาหงาย
จุดยอด คือ (0, 0)
จดุ โฟกสั คอื (0, 1)
สมการไดเรกตรกิ ซ์ คือ y = -1

3. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์และเขียนกราฟพาลาโบลาจาก
สมการ y²– 4y – 4x + 16 = 0
วิธีทาํ y²– 4y – 4x + 16 = 0
y²– 4y = 4x – 16
y²– 4y + 4 = 4x – 16 + 4
(y – 2)²= 4(x – 3)
(y – 2)²= 4(1)(x – 3)
จะได้ c = 1
เปนพาราโบลาเปดทางขวา
จดุ ยอด คือ (3, 2)
จุดโฟกสั คอื (3+1, 2) = (4, 2)
สมการไดเรกตริกซ์ คือ x = 3 – 1 = 2

4.จงหาจุดยอด จดุ โฟกัส สมการไดเรกตรกิ ซ์และเขยี นกราฟพาลาโบลาจาก
สมการ x²+ 4x – 8y + 12 = 0
วธิ ที ํา x²+ 4x – 8y + 12 = 0
x²+ 4x = 8y – 12
x²+ 4y + 4 = 8y – 12 + 4
x + 2)²= 8(y – 1)
(x + 2)²= 4(2)(y – 1)
จะได้ c = 2
เปนพาราโบลาเปดทางบน (หงาย)
จดุ ยอด คือ (-2, 1)
จดุ โฟกัส คือ (-2, 1+2) = (-2, 3)
สมการไดเรกตรกิ ซ์ คอื x = 1 – 2 = -1

5. จงหาจดุ ยอด โฟกัส สมการไดเรกตรกิ ซ์ และเขียนกราฟของ
สมการ x²= 4y

วธิ ที ํา รปู แบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคอื x²=4cy
จากโจทย์ก าหนดใหส้ มการคือ x²= 4y จดั ให้อยใู่ นรูปมาตรฐาน
จะได้ x²= 4 (1)y
พิจารณาจากสมการ จะได้ c = 1

ดังนันจุดยอดคอื (0, 0) จดุ โฟกัสคอื (0, 1) สมการไดเรกตริกซ์คอื y = -1
เขียนกราฟไดด้ งั นี

ไฮเพอรโ์ บลา

บทนิยาม
ไฮเพอรโ์ บลา คือเซตของจุดบนระนาบซงึ ผลต่างของระยะทางจากจดุ นีไป
ยังจุดคงที สองจดุ บนระนาบจะมคี า่ คงตวั เสมอ โดยค่าคงตัวนีมีค่านอ้ ย
กว่า ระยะทางจากจดุ คงทีทังสอง

ส่วนประกอบตา่ ง ๆ ของไฮเพอรโ์ บลา
1. เรียกจุด O ว่า จดุ ศูนยก์ลาง
2. เรยี กจุดV' (a,0)และV (a,0) ว่า จดุ ยอด
3. เรียกจดุ F¹ (-c,0) แล F² (c,0) วา่ จุดโฟกสั (Focus)
4. เรยี กVV' วา่ แกนตามขวาง
5. เรยี ก BB' ว่า แกนสังยุค
6. เรยี ก L¹ และ L² วา่ เส้นกาํ กับ

_7. เรียก PQ และ MN ว่าลาตัสเรกตัม มคี วามยาวเทา่ กบั 2b²
a

ไฮเพอร์โบลาทมี่ ี จุดศูนยก์ ลางอยู่ทจี่ ดุ (0,0)

ไฮเพอรโ์ บลาทีมีแกน x เปนแกนสมมาตร
มีสมการ ดังนี

ไฮเพอร์โบลาทีมแี กน y เปนแกนสมมาตร
มีสมการ ดังนี

ไฮเปอร์โบลาทม่ี จี ดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่จี ดุ (h,k)

ไฮเพอรโ์ บลาทมี ีแกนสมมาตรขนานแกน x
จะมรี ูปสมการ

ไฮเพอร์โบลาทีมีแกนสมมาตรขนานแกน y
จะมรี ูปสมการ

ไฮเพอร์โบลาทีมี จดุ ศนู ยก์ ลางอยูท่ จี ดุ (0,0)
ไฮเปอร์โบลาทีมีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ทีจดุ (h,k)

โจทย์

1.

วิธที ํา

เขยี นกราฟไดด้ งั นี

2.

วิธที ํา

เขยี นกราฟไดด้ งั นี

3.

วิธีทํา

เขียนกราฟไดด้ งั นี

4.

วธิ ที ํา

เขียนกราฟได้ดงั นี

5. จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จดุ โฟกสั จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกน
สังยุค ความยาวเสน้ ลาตัสเรกตมั และสมการเสน้ กํากบั ของไฮเพอรโ์ บลาต่อไปนี
พรอ้ มทงั วาดกราฟ

วธิ ีทาํ
นําไปเทยี บกบั สมการมาตรฐานของไฮเพอรโ์ บลา
จะไดค้ ่า a=4, b=3
ใชส้ ูตรพีธากอรสั เพือหาค่า c ได้ดังนี

c²= a² + b²
c² = 4² + 3²
c²= 25
c=5

เขยี นกราฟไดด้ งั นี จดุ ศนู ย์กลางคือ (0,0)
จดุ โฟกัส คอื (±5,0)
จดุ ยอด คอื (±4,0)
ความยาวของแกนตามขวาง 2a = 8
ความยาวแกนสังยุค 2b = 3

ความยาวเสน้ เลตัสเรกตมั

สมการเสน้ กาํ กับ

บรรณานกุ รม

http://www.thaischool.in.th
http://nfile.snru.ac.th
https://pumsaranya.wordpress.com/