บทที่2 เรื่อง จำนวนจริง - นักเรียน

07/02/64

คำนำ

หนงั สือนวตั กรรมเสรมิ ควำมร้ทู ำงคณติ ศำสตร์ บทที่ 2 เร่ือง ควำมรเู้ บ้อื งต้นเกี่ยวกบั จำนวนจริง
สำหรบั นกั เรียนช้นั มัธยมศกึ ษำปีที่ 2 ภำคเรยี นท่ี 1 ด้วยวิธีกำรเรยี นรู้แบบ Active Learning เพ่อื ม่งุ
หวังท่ีจะพฒั นำกำรเรียนรู้ สำระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต มำตรฐำน ค 1.1 ม.2/2 เข้ำใจจำนวนจริง
และควำมสัมพนั ธ์ของจำนวนจรงิ และใชส้ มบัตขิ องจำนวนจริงในกำรแก้ปัญหำทำงคณิตศำสตรแ์ ละปญั หำใน
ชวี ติ จริงพรอ้ มทั้งตระหนักถงึ ควำมสมเหตุสมผลของคำตอบ เมื่อนักเรยี นศึกษำค้นควำ้ ทำควำมเขำ้ ใจและฝกึ
ปฏิบตั ติ ำมกจิ กรรมหนงั สือนวตั กรรมเสริมควำมรทู้ ำงคณติ ศำสตร์ จะช่วยแก้ปัญหำผลสัมฤทธทิ์ ำงกำรเรยี น
ใหแ้ ก่นกั เรียน อย่ำงมี ประสิทธภิ ำพเกดิ ประสิทธผิ ลทดี่ ี

ขอขอบคณุ คณะผเู้ ชยี่ วชำญและผู้มสี ่วนเก่ียวขอ้ งทุกทำ่ นท่ไี ด้ใหค้ ำปรึกษำและช้ีแนะแนวทำง ตลอดจน
ตรวจสอบเอกสำรและใหค้ ำแนะนำในกำรจดั ทำเอกสำร

ขำ้ พเจ้ำหวังเป็นอย่ำงย่งิ ว่ำหนงั สอื นวัตกรรมเสรมิ ควำมรู้ทำงคณิตศำสตร์ บทที่ 2 เร่อื ง ควำมรู้
เบือ้ งตน้ เกย่ี วกบั จำนวนจรงิ ชุดน้ี จะเปน็ ประโยชนต์ ่อกำรพฒั นำคณุ ภำพผูเ้ รียน ในกลุม่ สำระกำรเรยี นรู้
คณิตศำสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษำปีท่ี 2 และชว่ ยใหน้ กั เรยี นมีควำมรักและเห็นคุณคำ่ ควำมสำคญั ของวชิ ำ
คณิตศำสตรม์ ำกยิง่ ขนึ้

ปรำลิสำ ออกแมน

07/02/64

สำรบัญ

เรื่อง หนำ้

คำนำ ก
สำรบัญ ข
สำระกำรเรียนรู้ 1
ตวั ชวี้ ัด 1
แผนผงั กำรวดั และประเมนิ ผล 1
แบบบนั ทึกคะแนน 2
สง่ิ ทคี่ วรจดจำ 3
จำนวนตรรกยะ 6
กจิ กรรมที่ 1 7
ทศนิยม 8
แบบฝกึ หัดที่ 1 9
จำนวนอตรรกยะ 10
แบบฝึกหดั ที่ 2 10
รำกท่ีสอง 11
แบบฝกึ หีดท่ี 3 12
แบบฝกึ หดั ท่ี 4 14
แบบฝึกหัดท่ี 5 15
แบบฝึกหัดท่ี 6 16
แบบฝกึ หัดท่ี 7 17
แบบฝึกหดั ท่ี 8 19
แบบฝึกหดั ท่ี 9 22
แบบฝกึ หดั ท่ี 10 23
แบบฝึกหัดท่ี 11 24
แบบฝกึ หัดท่ี 12 25
แบบฝกึ หัดท่ี 12 25
รำกที่สำม 28
แบบฝกึ หดั ท่ี 14 30
แบบฝกึ หดั ที่ 15 31
แบบฝกึ หดั ที่ 16 ข้อสอบ O - Net 32

บทที่ 2 เร่ือง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

สาระการเรยี นรู้

1. จำนวนตรรกยะ 4. รำกท่สี องและรำกท่สี ำมของจำนวนตรรกยะ
2. จำนวนอตรรกยะ 5. กำรนำควำมรู้เก่ียวกับจำนวนจริงไปใช้
3. จำนวนจรงิ 6. ขอ้ สอบ O-Net

ตวั ชี้วดั

เข้ำใจจำนวนจริงและควำมสัมพันธ์ของจำนวนจรงิ และใช้สมบัตขิ องจำนวนจรงิ
ในกำรแกป้ ัญหำคณติ ศำสตรแ์ ละปัญหำในชีวิตจริง

จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

นักเรียนสำมำรถ
1. จำแนกจำนวนจริงได้วำ่ จำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนใดเปน็ จำนวนอตรรกยะ
2. เขยี นทศนยิ มซำให้อยใู่ นรูปเศษสว่ น
3. เปรยี บเทียบจำนวนจรงิ
4. หำรำกที่สองและหำรำกที่สำมของจำนวนตรรกยะ
5. แกป้ ญั หำโดยสมบตั จิ ำนวนจริง

แผนผงั การวดั และประเมนิ ผล บทท่ี 2

คะแนนบทที่ 2 เรื่อง ความรเู้ บ้ืองต้นเกยี่ วกับจานวนจริง จะแบ่งออกเปน็ 3 ส่วน ดังแผนผงั ต่อไปน้ี

คะแนนเต็มบทท่ี 1 ทัง้ หมด 200 คะแนน

คะแนนแบบฝกึ หดั คะแนนแสตมปด์ าว คะแนนความสวยงาม
132 คะแนน 48 คะแนน 20 คะแนน

คะแนนแบบฝกึ หดั คอื คะแนนการทางานท่เี รียบรอ้ ยเปน็ ระเบียบ แสดงวธิ ที าถกู ต้องทกุ ข้อ
และเป็นไปตามหลกั การทางคณิตศาสตร์

คะแนนแสตมป์ดาว คือ คะแนนการส่งงานตรงตอ่ เวลาตามที่ครูกาหนด 5 คะแนนตอ่ 1 ดวง
คะแนนความสวยงาน คือ คะแนนท่ีนกั เรยี นตกแตง่ เล่มแบบฝึกหดั ดว้ ยการระบายสอี ย่างสวยงาม

07/02/64 สะพาน…ไม่มคี วามหมาย ถ้าไมม่ ีคนขา้ ม เป้าหมาย…จะไรค้ า่ ถ้าไม่ลงมอื กระทา สู้สคู้ ะ!!

หนังสือนวัตกรรมเสรมิ ความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 2 1

บทที่ 2 เรอื่ ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบบนั ทกึ คะแนน บทท่ี 2 เรื่อง จานวนจรงิ

กจิ กรรมที่ 1 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. คะแนนเต็ม 5 คะแนน
แบบฝึกหดั ที่ 1 …………ล…าย…เซ…็น…ต์ค…รู …………. ได้ …………….…..…….คะแนน
แบบฝกึ หดั ที่ 2 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู ………….
แบบฝึกหัดที่ 3 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. คะแนนเต็ม 10 คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 4 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. ได้ …………….…..…….คะแนน
แบบฝึกหดั ท่ี 5 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู ………….
แบบฝึกหัดที่ 6 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. คะแนนเต็ม 5 คะแนน
แบบฝึกหัดที่ 7 …………ล…าย…เซ…น็ …ตค์ …รู …………. ได้ …………….…..…….คะแนน
แบบฝกึ หดั ท่ี 8 …………ล…าย…เซ…็น…ต์ค…รู …………. คะแนนเต็ม 10 คะแนน
แบบฝกึ หัดท่ี 9 …………ล…าย…เซ…็น…ต์ค…รู …………. ได้ …………….…..…….คะแนน
แบบฝกึ หัดที่ 10 …………ล…าย…เซ…็น…ต์ค…รู ………….
แบบฝึกหดั ท่ี 11 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. คะแนนเตม็ 5 คะแนน
แบบฝึกหัดท่ี 12 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. ได้ …………….…..…….คะแนน
แบบฝกึ หดั ท่ี 13 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู ………….
แบบฝึกหัดที่ 14 …………ล…าย…เซ…็น…ต์ค…รู …………. คะแนนเตม็ 5 คะแนน
แบบฝึกหัดท่ี 15 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู …………. ได้ …………….…..…….คะแนน
แบบฝกึ หัดท่ี 16 …………ล…าย…เซ…น็ …ต์ค…รู ………….
คะแนนเต็ม 5 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเต็ม 10 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน
คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเต็ม 5 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน
คะแนนเต็ม 10 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเตม็ 10 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเต็ม 10 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน
คะแนนเต็ม 10 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเตม็ 10 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

คะแนนเต็ม 12 คะแนน
ได้ …………….…..…….คะแนน

รวมคะแนนเตม็ บทท่ี 2 ทง้ั หมด 200 คะแนน

คะแนนแบบฝกึ หดั คะแนนแสตมปด์ าว คะแนนความสวยงาม
132 คะแนน 48 คะแนน 20 คะแนน

ได้ ……………..คะแนน ได้ ………………..คะแนน ได้ …………..คะแนน

รวมทัง้ หมด……………………………………………………………………………………คะแนน 2

หนังสอื นวตั กรรมเสรมิ ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 2

บทท่ี 2 เรื่อง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ส่ิงที่ควรจดจา

ให้นกั เรียนท่ีน่ารักอา่ นทุกวนั นะคะ่ ตำรำงรำกที่สอง
เลขยกกำลังสอง

12 = ……………. 162 = …………….

22 = ……………. 172 = …………….
32 = ……………. 182 = …………….
42 = ……………. 192 = …..……….
52 = ……………. 202 = ………..….
62 = ……………. 212 = …………….
72 = ……………. 222 = ………..….
82 = ……………. 232 = …………….
92 = ……………. 242 = …………….
102 = ……………. 252 = …………….
112 = ……………. 262 = …………….
122 = ……………. 272 = ……………
132 = ……………. 282 = …………….

142 = ……………. 292 = …….………
152 = ……………. 302 = …….……….

เลขยกกำลงั สำม ตำรำงตัวอย่ำงแสดงค่ำควำมสมั พันธ์ -++ กำรคูณจำนวนเต็ม -+-
ทฤษฎีบทพที ำโกรัส ท่คี วรจำ +-+
13 = 1 X =
23 = 8 ด้าน a ดา้ น b ด้าน c X =
33 = 27 345 X =
43 = 64 5 12 13
53 = 125 6 8 10 “ทอ้ แทข้ อใหส้ ู้ทน อบั จนขอให้แกไ้ ข
63 = 216 7 24 25 ไม่ไหวขอใหห้ ยดุ พัก ใครไมร่ กั ขอให้เรารกั ตวั เราเอง”
73 = 343 8 15 17
83 = 512 9 40 41
93 = 729 10 24 26
103 = 1,000 11 60 61
12 16 20

หนงั สือนวัตกรรมเสริมความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2 3

บทท่ี 2 เร่ือง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ส่ิงที่ควรจดจา

ใหน้ กั เรียนทีน่ ่ารักอ่านทุกวันนะคะ่

❑ รูปสำมเหลีย่ มมุมฉำก คือ สำมเหลีย่ มทม่ี มี มุ หนงึ่ กำง 90o a c
❑ สัญลักษณ์มุมฉำก คือ

❑ กำรเรยี กชอ่ื ด้ำนตำมทฤษฎีบทพที ำโกรัส (a , b , c) b

ด้ำนประกอบมุมฉำกทีส่ นั ทส่ี ดุ คือ ด้ำน a

ดำ้ นประกอบมุมฉำกที่เหลอื คอื ด้ำน b

ด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก คอื ด้ำน c และจะเป็นด้ำนทีย่ ำวท่สี ุด

❑ สตู รทฤษฎีบทพีทำโกรัส
ดำ้ นตรงข้ำมมมุ ฉำก2 = ดำ้ นประกอบมุมฉำก2 + ดำ้ นประกอบมุมฉำก2

หำด้ำนตรงข้ำมมมุ ฉำก c2 = a2 + b2 สูตรหลัก

❑ หลกั กำรแก้สมกำรแบบอย่ำเยอะ สันๆ เข้ำใจง่ำย ดังนี……

✓ กำรบวก จะตรงข้ำมกับ กำรลบ ดงั นัน บวกอยยู่ ำ้ ยไปลบ ลบอยยู่ ้ำยไปบวก
✓ กำรคูณ จะตรงขำ้ มกบั กำรหำร ดังนนั คูณอยู่ย้ำยไปหำร หำรอยู่ยำ้ ยไปคณู
✓ ตัวเลขย้ำยไปหำตัวเลข ตวั แปรยำ้ ยไปหำตวั แปร

❑ กำรหำควำมยำวรอบรูปสำมเหล่ียม คอื กำรนำควำมยำวของแตล่ ะดำ้ นมำบวกกัน 8 8

❑ รูปสำมเหลย่ี มหนำ้ จั่ว มดี ้ำนประกอบมมุ ยอด 2 ดำ้ นทเ่ี ทำ่ กัน เมอ่ื ลำกเส้นจำกมมุ ยอด
ของสำมเหลี่ยมหนำ้ จ่วั มำตังฉำกกับฐำนจะแบ่งครงึ่ ฐำนและแบ่งครงึ่ มมุ ยอด

❑ พืนท่ีรูปสี่เหล่ียมผืนผ้ำ คือ กว้ำง x ยำว ยาว
กว้าง

❑ พืนท่ีรูปสำมเหลี่ยม คือ 1 x ฐำน x สูง สูง สูง
ฐำน ฐำน
2

❑ กำรหำร เขยี นได้ 2 แบบ 7Į9=?
✓ แบบเด็กประถมเขยี น
✓ แบบเดก็ มธั ยมเขยี น 7 =? เขยี นอยู่ในรูปเศษสว่ นนน่ั เอง
9

หนงั สือนวัตกรรมเสริมความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 2 4

บทที่ 2 เรอ่ื ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ส่ิงที่ควรจดจา

ใหน้ ักเรยี นทีน่ ่ารักอา่ นทุกวนั นะคะ่

บทที่ 2 เรื่อง จานวนจรงิ

ตำรำงรำกทส่ี อง

❑ จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนทเ่ี ขียนแทนไดเ้ ศษส่วนได้

❑ 00.2. 75เป4.็นจ(ำถน้ำวนนรต. รเรจกอตยวัะเลขทม่ี ีจดุ อยู่ข้ำงบน ตอบไปเลยมนั คือจำนวนตรรกยะ)

❑.

❑ ข้อสอบชอบหลอก จำไว้วำ่ 3.14 และ 22 เป็นจำนวนตรรกยะ

7

❑ จำนวนอตรรกยะ คอื จำนวนทไี่ ม่สำมำรถเขียนแทนไดด้ ้วยทศนิยมซำหรอื เศษสว่ น
✓ ตวั อยำ่ งจำนวนอตรรกยะท่อี อกขอ้ สอบบอ่ ยมำก คือ , , , ,π(คำ่ พำย)

❑ คำตอบของค่ำรำกทีส่ องมี 2 คำตอบคือ คำ่ ที่เปน็ บวกกับค่ำท่ีเปน็ ลบ
❑ คำตอบของคำ่ รำกที่สำมมคี ำตอบเดยี วคือ ค่ำที่เป็นบวกหรือค่ำที่เป็นลบ

❑ สมบัติรำกทีส่ อง 1) ถ้ำ a ≥ 0, b ≥ 0 แลว้ ab = a b

2) ถำ้ a ≥ 0, b ≥ 0 แล้ว a = a

bb

❑ กำรบวก กำรลบรำกทีส่ อง(แบบจำง่ำยๆ) ตัวเลขทอี่ ยูใ่ นรทู เหมอื นกันถงึ จะบวก ลบ กนั ได้

เช่น + = 2 5 , - 2 = 3

❑ กำรคูณรำกทส่ี อง(แบบจำง่ำยๆ) เชน่ x = , 5 x 2 = 10

หนังสอื นวตั กรรมเสรมิ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 5

บทท่ี 2 เร่ือง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

จานวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนท่เี ขียนแทนได้เศษส่วน a เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนเตม็ ที่ b ≠ 0
b

a ตวั เศษ จากข้อความทบ่ี อกวา่ เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนเตม็ ที่ b ≠ 0
b ตัวสว่ น หมายความวา่ ตวั ส่วน(b)เป็นจานวนใดก็ได้แตต่ อ้ งไม่เป็นศูนย์

ถา้ หากตัวสว่ นเปน็ 0 ทางคณติ ศาสตรถ์ ือว่าเศษส่วนนน้ั ไม่มีความหมาย

ดงั นัน้ จึงตอ้ งมขี ้อความน้ี กาหนดไว้ทคี่ วามหมายของจานวนตรรกยะดว้ ย

เช่น 8 , 55 , -55 , 101 จานวนเศษส่วนทย่ี กตัวอย่างน้ี มตี วั สว่ นเปน็ 0
0 0 0 0 ถอื วา่ ไม่มีความหมายหรือหาคา่ ไม่ได้ นะคะ่

ตัวอยำ่ ง จำนวนตรรกยะ 0 , 1 , 5 , -21 , 17 , -12 , 31 , 0.31 , . , .
5 21 34 0.8 0.52

เศษสว่ น (fraction) สำมำรถเขยี นให้อยู่ วิธแี ปลงเศษส่วน
ในรปู ทศนิยม (decimal) ได้ ดังน้ี ให้อยใู่ นรูปทศนิยม
โดยนาตัวสว่ นไปหารตัวเศษ
6 = 6.0 66 = 0.66
1 100 พดู งา่ ยๆ ภาษาชาวบ้าน คือ
6 = 0.6 ตัวส่วน Į ตัวเศษ
10 1 = 0.5
6 = 0.06 2 หรือ ตวั ลา่ ง Į ตวั บน
100
สนั้ ๆ เขา้ ใจ

- 5 = - 0.625
8

“เวลาบอกรกั คอื กอ่ น 9 โมง เพราะมันยังไมส่ ายเกนิ ไป” หนงั สอื นวัตกรรมเสรมิ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 2 6

ทบทวนความร้พู ื้นฐาน เรื่อง การหารเศษสว่ น โดยการต้ังหารยาว บทท่ี 2 เรือ่ ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

กจิ กรรมท่ี 1 จงเขียนเศษสว่ นตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ย่ใู นรูปทศนิยม

1) 5 2) 9
8 4

วธิ ีทำ 8) 0.625 วิธที ำ
5.000
48 -

20 -
16

40 -
40

00

ดังนนั้ 5 = 0.625 ดังนัน้
8

3) 14 จดุ 3 จดุ น้ี หมายถึงคาตอบ 4) 7
15 ซ้า 3 ซา้ ไปเรอ่ื ยๆ ไมม่ สี ้ินสดุ 11

วิธีทำ 0.9333… วธิ ีทำ )

15 ) 14.0000
13 5 -

50 -
45

50

45

จดุ 3 จดุ น้ี หมายถึงรูปแบบ 5
การหารวนซ้ากลบั มาแบบเดิม ...

ถา้ หารต่อจะได้ 3

ซ้าไปเรื่อยๆ ไม่มสี ้ินสุด

ดังนั้น 14 = 0.9333…
5

ทีโ่ สดไมใ่ ชไ่ มม่ ีใครเอา แค่อยากรู้ว่าอารมณเ์ หงา นนั้ มันเปน็ ยงั ไง หนงั สอื นวตั กรรมเสริมความรูท้ างคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 7

บทท่ี 2 เรอื่ ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ทศนิยม (Decimal) แบ่งออกเป็น 2 ประเภท

1. ทศนยิ มซ้ำศูนย์ 2. ทศนิยมซำ้ ท่ีไมซ่ ้ำศนู ย์
(Terminating decimal) (Repeating decimal)

ทศนยิ มทีจ่ ำนวนตัวเลขหลังจุดทศนิยมมีศนู ย์ซำ้ ทศนยิ มทม่ี ตี วั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มตัวหน่งึ
หรือมำกกวำ่ ซ้ำกนั อยำ่ งเป็นระบบ

รูปทศนยิ ม รปู ทศนยิ มซ้ำ รปู ทศนิยม รูปทศนิยมซ้ำ
0.10. 0.3.
0.1000… = 0.1 0.5. 1) 0.333… .
0.5000… = 0.5 . 2) 4.5555… 4.5
0.31000… = 0.31 0.310 3) 12.7777… 0.13.
2.257000… = 2.257 4) 0.1333…
-0.09900… = -0.0990 2.2570. 5) 0.6888… 0.5. 2.
13.11500… = 13.115 -0.0990. 6) 1.12333… -0.6. 7.
13.1150. 7) 0.525252…
8) -0.676767…
นกั เรียนลองสังเกตตัวอย่ำงทโ่ี จทย์ใหม้ ำดีดี 9) 1.474747…
ถ้ำนกั เรียนรอ้ ง ออ๋ เขำ้ ใจละ

แสดงว่ำ นร. เป็นคนชำ่ งสังเกต วเิ ครำะหแ์ ยกแยะเป็น
พดู ง่ำย ๆ นกั เรยี นเก่ง น่ันเอง

10) 23.909090…

หลกั การเขยี นเปน็ ทศนยิ มซา้ (พดู งา่ ยๆ) 11) -3.42353535… 4.6. 05.
12) 4.605605605… ..
✓ ตัวไหนซา้ ให้ใสจ่ ดุ ไวข้ ้างบนตัวเลขนนั้ 13) - 0.211211211…
✓ ถา้ ทศนิยมนน้ั มจี านวนซ้ากันเกนิ 2 14) 0.082082082… -0.211
15) 9.567816781…
ตวั ขึ้นไปให้ใสจ่ ุดไวบ้ นตัวหนา้ และตัว 16) 0.747643643…
17) 12.90099009…
หลงั ท่ีซ้า ไม่ตอ้ งใส่จุดทกุ จานวนท่ีซ้า

✓ เช่น 0.3457834578. 3457. 8…

เขยี นได้เปน็ 0.34578
➢ อีกข้อท่ีข้อสอบออกบ่อย ถ้านักเรยี นเจอ

ตัวเลขทีเ่ ป็นทศนยิ มซา้ หรือตวั เลขที่มี

จุดอยู่ขา้ งบน กาขอ้ สอบไปทนั ทีเลยว่า

มนั คือจานวนตรรกยะ

หนงั สือนวัตกรรมเสริมความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 8

บทท่ี 2 เรือ่ ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ความสมั พนั ธท์ ศนยิ มซา้ กบั เศษสว่ น

แบบฝกึ หัดท่ี 1 พิจำรณำกำรเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรปู เศษส่วนแลว้ เขยี นคำตอบในชอ่ งวำ่ งตอ่ ไปน้ี

ชุดท่ี 1 ชดุ ที่ 2 ชดุ ที่ 3

ทศนิยมซำ้ เศษส่วน ทศนยิ มซ้ำ เศษส่วน ทศนยิ มซำ้ เศษส่วน
1) 0.1. ..
2) 0.2. 1 1) 0.12 12 1) .. 112
3) 0.5. 9 99 0.1.12 . 999
4) 0.6. 2 .. 64
5) 0.7. 9 2) 0.64 99 2) 0.345
6) 0.8. 5 ..
7) 0.4. 9 .. 3) 0.403
8) - 0.6. 3) 0.5. 3. 4) 0.0. 34.
4) 0.81
.. 5) 0.5. 33.
5) 0.9. 4. 6) 0.7. 117.
6) 0.07 7) 0.0. 09.
..
7) 0.01
.. 8) 0.0. 206.
8) 0.04

ชดุ ที่ 4 ชุดท่ี 5

ทศนยิ มซำ้ เศษสว่ น ทศนยิ มซำ้ เศษสว่ น
. หรือ .
1) 0.25 25 - 2 หรอื 23 1) 0.234 234 - 23 หรือ 211
. 90 90 . 900 หรือ 900
0.39 2) 0.516 465
2) . . 516 - 51 900
0.61 0.429 900

3) หรอื 3) หรือ

. หรอื . หรือ
4) 0.04 4) 0.738
..
5) 0.429 429 - 4 หรอื 425 5) . หรือ
990 990 0.305
.. .
6) 0.738 หรอื 6) 0.076 หรอื

.. หรือ .. หรอื
7) 0.513 7) 0.2576

เทคนคิ จำง่ำยๆ 1. ตวั เศษ = เลขทศนยิ มทง้ั หมด - เลขทศนยิ มตัวท่ไี มซ่ ำ้ 9
2. ตวั ส่วน = เลข 9 มจี ำนวนเทำ่ กบั จำนวนทศนิยมทซี่ ้ำ เลข 0 มจี ำนวนเทำ่ กบั จำนวนทศนยิ มทไ่ี ม่ซ้ำ

หนงั สือนวัตกรรมเสริมความรู้ทางคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

บทที่ 2 เร่ือง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

จานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนทไี่ ม่สำมำรถเขียนแทนได้ดว้ ยทศนิยมซ้ำหรอื เศษส่วน

พจิ ำรณำตัวอยำ่ งจำนวนอตรรกยะ 5 = 2.2360679…
2 = 1.4142135… π = 3.14159265…
3 = 1.7320508…

จากตัวอย่างจะสงั เกตวา่ ตวั เลขหลงั จุดทศนิยมแต่ละตวั มคี ่าไมซ่ ้ากันเลย

อย่าจา้ สับสนกันนะคะระหว่างจ้านวนตรรกยะกับจา้ นวนอตรรกยะ(ข้อสอบออกบอ่ ย)

สำหรบั กำรคำนวณทำงคณติ ศำสตร์ นิยมใชค้ ำ่ ประมำณของจำนวนอตรรกยะ

ในกำรคำนวณ เช่น 2 ≈ 1.414 5 ≈ 2.236

3 ≈ 1.7-3;;2 π ≈ 3.14

แบบฝึกหัดที่ 2 พจิ ำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้แี ล้วใสเ่ คร่ืองหมำย √ และ x “ รกั คอื คณิต
วิทย์คือความหว่ งใย
1) 0.787878… เป็นจำนวนตรรกยะ สงั คมคือกาลงั ใจ
ภาษาอังกฤษคือ
2) - 2.010110111… เปน็ จำนวนตรรกยะ I LOVE YOU ฮว้ิ !! ”
3) 5.0061618792… เปน็ จำนวนอตรรกยะ

4) - 22.9673673… เปน็ จำนวนอตรรกยะ

5) 2 , 3 , 5 , 6 เป็นจำนวนอตรรกยะทกุ ตัว

6) π เป็นจำนวนตรรกยะ

7) 0. . เปน็ จำนวนตรรกยะ
8) 0.54 เป็นจำนวนตรรกยะ

9) 3 เป็นจำนวนตรรกยะ
8
10) จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ

11) ถำ้ จำนวนจรงิ ใดเป็นจำนวนตรรกยะแลว้ จำนวนจริงนนั้ ตอ้ งไม่เปน็ จำนวนอตรรกยะ

หนังสือนวัตกรรมเสรมิ ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2 10

บทที่ 2 เรื่อง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

รำกท่สี อง (Square root)

พิจำรณำรูปสำมเหล่ยี มมมุ ฉำกต่อไปนี้

x 2 ซม.

3 ซม.

หำควำมยำวได้ x จำกทฤษฎีพีทำโกรสั c2 = a2 + b2
แทนคำ่ x2 = 22 + 32

x2 = 4 + 9
x2 = 13
เนื่องจำกเป็นกำรหำควำมยำว คำตอบทีไ่ ดต้ อ้ งเป็นจำนวนบวกเสมอ

ดงั นั้น x = 13

เรยี ก 13 ว่ำ เป็นรำกทีส่ องท่เี ป็นคำ่ บวกของ 13

บทนิยำมรำกทส่ี อง
ให้ a แทน จำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์ รำกท่ีสองของ a คือ จำนวนจรงิ ทย่ี กกำลงั สองแล้วได้ a

พิจำรณำรูปสำมเหลยี่ มมมุ ฉำกตอ่ ไปน้ี แอบบอก (-) x (-) = (+)

(-7) x (-7) = 49

1) 72 = 49 และ (-7)2 = 49 3) ( 2 )2 = 4 และ (- 2 )2 = 4
ดงั น้นั รำกทีส่ องของ 49 คือ 7 และ -7 5 25 5 25
นน่ั คือ 7 เป็นรำกทสี่ องทเี่ ปน็ ค่ำบวกของ 49
-7 เป็นรำกที่สองท่ีเปน็ ค่ำลบของ 49 ดงั น้ัน รำกทีส่ องของ 4 คือ 2 และ - 2
25 5 5
2) 0.92 = 0.81 และ (-0.9)2 = 0.81
ดังนนั้ รำกที่สองของ 0.81 คอื 0.9 และ -0.9 น่ันคอื 2 เป็นรำกทสี่ องท่ีเป็นค่ำบวกของ 4
น่ันคือ 0.9 เป็นรำกทีส่ องทีเ่ ป็นค่ำบวกของ 0.81 5 25
-0.9 เป็นรำกทีส่ องทเ่ี ปน็ ค่ำลบของ 0.81 4
- 2 เปน็ รำกทส่ี องที่เปน็ คำ่ ลบของ 25
5

“ ถึงมอื จะกด Like แต่หัวใจ ติดไกลกว่าน้นั ” ฮ้ิว... หนังสอื นวตั กรรมเสรมิ ความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 2 11

บทที่ 2 เรอื่ ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

บทนิยำม ถ้ำ a เปน็ จำนวนจริงบวก รำกทสี่ องของ a มสี องรำก คือ
รำกทส่ี องทีเ่ ปน็ จำนวนบวกของ a ซงึ่ แทนดว้ ยสญั ลักษณ์
รำกท่สี องทเ่ี ป็นจำนวนบวกของ a ซ่ึงแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ −

สรปุ งา่ ยๆเก่ียวกบั การหาคา้ ตอบรากทส่ี อง ค้าตอบของค่ารากทีส่ องมี 2 คา้ ตอบคอื คา่ ท่ีเปน็ บวกกบั ค่าทีเ่ ป็นลบ

ตัวอยำ่ ง จงหำรำกทีส่ องของ 64
วธิ ที ำ 64 =
82 = 8 จา้ ไวเ้ ลยว่า
-8 ✓ รากทส่ี อง
- 64 = - 82 = สองตัวเหมอื นกนั หลดุ
จาเครื่องหมายรูทได้
ดงั น้นั รำกที่สองของ 64 คือ 8 และ -8

แบบฝกึ หัดท่ี 3 หำรำกทีส่ องของจำนวนตอ่ ไปน้ี

1) จงหำรำกทีส่ องของ 289
วธิ ที ำ

ดงั น้นั รำกท่ีสองของ 289 คอื

2) จงหำรำกทสี่ องของ 676
วธิ ที ำ

ดงั นน้ั

3) จงหำรำกทส่ี องของ 324
วิธที ำ

ดังนัน้

หนังสือนวัตกรรมเสริมความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 12

บทที่ 2 เรื่อง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

4) จงหำรำกท่สี องของ 2,025
วธิ ีทำ

ดังนั้น

5) จงหำรำกท่สี องของ 3,600
วิธีทำ

ดงั น้นั

6) จงหำรำกทส่ี องของ 2,704
วธิ ีทำ

ดงั นน้ั

7) จงหำรำกท่ีสองของ 1,936
วิธีทำ

ดงั นน้ั

8) จงหำรำกทส่ี องของ 1,296
วธิ ีทำ

ดงั นัน้

“โรคประจาตวั ไม่ปว่ ยก็เปน็ ไข้ แต่โรคประจาใจไมห่ ่วงใยกค็ ดิ ถึง Nm” นา้ เน่า...

หนงั สือนวตั กรรมเสรมิ ความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 13

บทท่ี 2 เรอ่ื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบฝกึ หัดที่ 4 หำรำกทีส่ องของจำนวนต่อไปน้ี

หำคำ่ รำก คำตอบมี 2 คำ่ คำ่ ลบ
คำ่ บวก -3
1) 9
2) 1 3

3) 196
4) 8,100

5) 1,521

6) 121
7) 625
8) 169
9) 729
10) 441
11) 3,025

12) x 2

13) 112
14) 202
15) 422

“ ถึงมือจะกด like แตห่ ัวใจ ตดิ ไกลกว่านนั ” ฮวิ ...

หนังสอื นวัตกรรมเสรมิ ความรทู้ างคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 14

การรากทส่ี องของจานวนทศนยิ ม บทท่ี 2 เร่อื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)
ตวั อยำ่ ง จงหำรำกท่สี องของ 0.36 0.62
วธิ ที ำ 0.36 = แอบบอก 0.6 x 0.6 = 0.36

= 0.6

- 0.36 = - 0.62 = -0.6

ดังนนั้ รำกท่ีสองของ 0.36 คือ 0.6 และ -0.6

ตัวอยำ่ ง จงหำรำกทีส่ องของ 42.25 6.52 = 6.5
วธิ ที ำ 42.25 =

- 42.25 = - 6.52 = -6.5

ดังนั้น รำกทีส่ องของ 42.25 คือ 6.5 และ -6.5

แบบฝึกหดั ที่ 5 จงหำรำกทส่ี องของจำนวนทเี่ ป็นทศนิยมต่อไปน้ี

1) จงหำรำกท่สี องของ 0.01
วิธีทำ

ดงั นน้ั

2) จงหำรำกท่สี องของ 3.61
วิธีทำ

ดังนน้ั

3) จงหำรำกทีส่ องของ 18.49
วิธีทำ

ดังนัน้

หนงั สอื นวตั กรรมเสรมิ ความร้ทู างคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 2 15

บทที่ 2 เรอ่ื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบฝกึ หดั ที่ 6 หำรำกทีส่ องของจำนวนต่อไปนี้

หำค่ำรำก คำตอบมี 2 ค่ำ คำ่ ลบ
ค่ำบวก

1) 36 6 -6
2) 0.64
3) 1.96
4) 2.56
5) 6.25
6) 400
7) 0.25
8) 0.0025
9) 784
10) 0.04
11) 4
12) 0.52
13) 0.722
14) 0.09
15) 0.0784

แอบมำบอกบอกเทคนคิ กำรถอดคำ่ รำกท่ีเปน็ ทศนิยม จ้ำ!
✓ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง เมือ่ ถอดค่ำรำกจะไดท้ ศนยิ ม 1 ตำแหน่ง

✓ ทศนิยม 4 ตำแหนง่ เมอ่ื ถอดค่ำรำกจะไดท้ ศนยิ ม 2 ตำแหน่ง
✓ ทศนยิ ม 6 ตำแหนง่ เม่อื ถอดคำ่ รำกจะได้ทศนยิ ม 3 ตำแหนง่
“ถึงหนา้ ตาจะติดลบ ถา้ ได้ลองคบแลว้ จะตดิ ใจ”
16
หนังสอื นวตั กรรมเสรมิ ความร้ทู างคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

บทท่ี 2 เร่ือง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ตวั อยำ่ ง จงหำรำกท่สี องของ 3
วธิ ที ำ รำกท่สี องของ 3 เขียนแทนดว้ ย 3 และ - 3

เนอ่ื งจำก ไม่มีจำนวนเตม็ ใดทย่ี กกำลงั สองแล้วเท่ำกับ 3
ดงั น้ัน รำกที่สองของ 3 คือ 3 และ - 3

ตอบ 3 และ - 3

ตัวอยำ่ ง จงหำรำกทส่ี องของ 0.4
วิธีทำ รำกทส่ี องของ 0.4 เขียนแทนด้วย 0.4 และ - 0.4

เน่อื งจำก ไม่มีจำนวนเตม็ ใดท่ยี กกำลงั สองแล้วเทำ่ กบั 0.4
ดงั น้นั รำกทสี่ องของ - คอื 0.4 และ - 0.4
ตอบ 0.4 และ - 0.4

สรปุ ง่ายๆ
ถ้าไม่มจี ้านวนเต็มใดที่ยกกา้ ลงั สองแลว้ เท่ากับรากที่สองทีโ่ จทย์ก้าหนดให้ตอบตดิ ค่ารากไวอ้ ย่างนนั เลย

แบบฝกึ หัดที่ 7 หำรำกทีส่ องของจำนวนต่อไปน้ี

หำคำ่ รำก คำตอบมี 2 ค่ำ 17
คำ่ บวก คำ่ ลบ
1) 7
2) 19 7 -7
3) 31
4) 0.025 หนังสอื นวตั กรรมเสริมความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2
5) 1.6
6) 72
7) 192
8) 1.62

“รักวัวให้ผูก รกั ลูกใหต้ ังค์” ดีดี...555+

การหารากทีส่ องของจานวนที่เปน็ เศษส่วน บทท่ี 2 เรื่อง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

สมบตั ขิ อง เม่อื a ≥ 0

1) ถำ้ a ≥ 0, b ≥ 0 แล้ว ab = a b

2) ถำ้ a ≥ 0, b ≥ 0 แล้ว a= a
bb

ตัวอยำ่ งท่ี 1 จงหำรำกทส่ี องของ 4
วธิ ที ำ 4 9
22 = 2
9 = 32 3
- 22
-4 = 32 = - 2
9 3

ดงั นัน้ รำกที่สองของ 4 คือ 2 และ - 2
93 3

ตวั อย่ำงท่ี 2 จงหำรำกที่สองของ 1

144

วิธีทำ 1 = 12 = 1
144 12
1442

-1 = - 12 = - 1
12
144 1442

ดงั นัน้ รำกท่สี องของ 1 คือ 1 และ - 1
144 12 12

“ ชาตเิ สอื ตอ้ งไวล้ าย ชาติชายได้กันเอง 555!! ” 18

หนังสือนวัตกรรมเสรมิ ความร้ทู างคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2

บทท่ี 2 เร่ือง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ตวั อยำ่ งท่ี 3 จงหำรำกที่สองของ 13

81 13 = 13
9
วธิ ที ำ 13 = 92

81

- 13 = - 13 = - 13
81 9
92

ดังน้ัน รำกที่สองของ 13 คือ 13 และ - 13

81 99

แบบฝึกหดั ท่ี 8 หำรำกท่ีสองของจำนวนต่อไปน้ี

1) จงหำรำกทีส่ องของ 1
324

วิธที ำ

ดงั นนั้

2) จงหำรำกท่สี องของ 4
169

วิธีทำ

ดงั น้ัน 19

“ ชาติเสือต้องไว้ลาย ชาติชายไดก้ ันเอง 555!! ”

หนังสือนวตั กรรมเสรมิ ความรทู้ างคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

แบบฝกึ หัดท่ี 8 (ต่อ) บทท่ี 2 เรือ่ ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

หำค่ำรำก คำตอบมี 2 คำ่
ค่ำบวก ค่ำลบ

1) 1 1 - 1
2 2
4

2) 1
4

3) 25

400

4) 3

289

5) 2
9

6) 100

961

7) 5
13

8) 23

25

9) 42

92

10) x2

529

11) x
529

หนังสือนวตั กรรมเสรมิ ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 2 20

การแยกตัวประกอบรากท่สี อง บทที่ 2 เร่อื ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)
ศกึ ษำตัวอยำ่ งให้เขำ้ ใจก่อน สงสยั ตรงไหนถำมคณุ ครไู ดเ้ ลยนะคะ!
เลข 2 ไมส่ ำมำรถหลุดจำกรทู ได้
ตัวอย่ำงท่ี 1 8 เลยต้องติดรูทไวอ้ ยำ่ งนัน้

วธิ ีทำ 8 = 2  2  2 22 สำมำรถหลดุ จำกรูทไดเ้ ป็น
2 นำเลข 2 นี้ ไปวำงไว้หนำ้ รูท
= 22  2

= 22

ดงั น้ัน 8 = 2 2

ตัวอย่ำงท่ี 2 48 2x3x2  2  2
วธิ ที ำ 48 = 24  3
43
= เลข 3 ไมส่ ำมำรถหลุดจำกรูทได้
เลยต้องตดิ รทู ไวอ้ ยำ่ งน้ัน
=
ตอบ 48 = 4 3 24 สำมำรถหลดุ จำกรูทได้เป็น 2x2
= 4 นำเลข 4 นี้ ไปวำงไวห้ นำ้ รทู

ตัวอยำ่ งที่ 3 3 28 22 หลดุ จำกรทู เปน็ 2 นำเลข 2 ไป
วิธีทำ 3 28 = 3 7  2  2 คณู กับเลข 3 ขำ้ งหนำ้ ได้ 2x3 = 6

= 3 7  22
= 67
ตอบ 3 28 = 6 7

ตวั อยำ่ งท่ี 4 5m 54 เลข 3 กบั 2 ไมส่ ำมำรถหลดุ จำก
รูทได้ จึงจบั คูณกันได้ 3x2 = 6
วธิ ที ำ 5m 54 = 5m 3x3x3x2
32 หลดุ จำกรทู เปน็ 3 นำเลข 3ไปคูณ
= 5m 32 x3x2 กบั เลข 5m ข้ำงหน้ำได้ 5m x 3 = 15m
= 15m 6

ตอบ 5m 54 = 15m 6

หนังสอื นวัตกรรมเสรมิ ความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 2 21

บทท่ี 2 เรอ่ื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบฝกึ หดั ที่ 9 จงแยกตวั ประกอบรำกที่สอง

1) 18

วธิ ีทำ

ดังน้นั

2) 20
วธิ ีทำ

ดงั นนั้

3) 63
วิธที ำ

ดงั นั้น

4) 3 24
วธิ ีทำ

ดงั นนั้ 22

“เหนอื ฟา้ ยังมีฟา้ เหนือหลังคายงั มีขีนก”

หนังสอื นวตั กรรมเสริมความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

กำรแปลงค่ำรำกทส่ี องกลับ บทที่ 2 เร่อื ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)
ศกึ ษำตัวอยำ่ งให้เข้ำใจกอ่ น สงสัยตรงไหนถำมคณุ ครไู ดเ้ ลยนะคะ!

ตวั อย่ำง 7 2 ตัวอย่ำง 42
วิธที ำ 7 2 = 7 × 7 × 2 วธิ ีทำ
4 2 = 442
= 98 ดังนนั้ = 32

ดังน้ัน 7 2 = 98 4 2 = 32

แบบฝกึ หัดที่ 10 จงแปลงคำ่ รำกท่ีสองกลับ

1) 5 3
วธิ ที ำ

ดงั นน้ั

2) 3 5
วิธที ำ

ดังนน้ั

3) 7 A
วธิ ที ำ

ดงั นน้ั

4) 7 2

วิธที ำ

ดงั นน้ั

หนังสือนวัตกรรมเสริมความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 23

การบวกและการลบรากทส่ี อง บทที่ 2 เรอ่ื ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

กำรบวก ลบจำนวนทอ่ี ยใู่ นรปู a เม่ือ a ≥ 0 สำมำรถทำไดด้ ังน้ี

1. a ± b เช่น 2+ 2+ 2 = 32
2+ 3+ 3 = 2+2 3
จะบวกหรอื ลบกนั ได้ 5+ 6+ 5 = 2 5+ 6
ก็ตอ่ เม่อื a = b

เชน่ 3 7 + 2 7 = 5 7 2. a ± b

5 3+ 3+ 7 = 6 3+ 7 จะบวกหรอื ลบกัน
เฉพำะตวั เลขทีอ่ ยู่
ข้ำงนอก

สรปุ ง่ายๆ ✓ จะบวก จะลบกนั ได้ ตวั เลขที่อยู่ในรทู ตอ้ งเหมอื นกนั เทา่ นนั

การบวก ลบรากทส่ี อง ✓ จะบวก จะลบกัน ใหเ้ อาตวั เลขหน้ารูทบวก ลบกัน คา่ ทอ่ี ยูใ่ นรูทคงเดมิ

แบบฝกึ หดั ที่ 11 จงหำผลลพั ธ์ของกำรบวก ลบของรำกท่สี องตอ่ ไปน้ี

1) 2 + 2 =
2) 2 − 2 =

3) 3 + 3 + 3 =

4) 2 + 3 2 =
5) 7 + 2 + 7 =

6) 4 2 − 2 2 =
=
7) 7 7 + 7 + 5 7
8) 3 R + 6 R − R =
9) 10 11 − 6 11 =
10) 3 13 − 7 13 =
11) 4 2 − 3 2 + 3 5 =
12) 9 7 + 4 5 − 4 7 =
13) 2 11 + 6 11 − 4 3 =
15) 8 + 3 3 + 3 =
16) 5 + 2 A - A =

หนงั สอื นวตั กรรมเสริมความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 2 24

บทที่ 2 เร่อื ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบฝึกหัดที่ 12 จงหำผลลัพธ์ของกำรบวก ลบของรำกทสี่ องต่อไปนี้

1) 44 + 11 = ?
วธิ ีทำ

ดงั นนั้

2) 3 5 - 20 = ?
วธิ ที ำ

ดงั น้นั

3) 2 7 - 2 28 = ?
วิธีทำ

ดงั นน้ั

4) 12 - 18 + 2 = ?
วธิ ที ำ

ดงั น้นั 25

“ นา้ ขึนให้รบี ตัก ถา้ จะให้รกั ใหร้ ีบบอก” หนังสือนวตั กรรมเสรมิ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

การคูณรากท่สี อง แบบฝึกหัดที่ 13 บทที่ 2 เร่ือง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ตวั อย่าง 2x 2 = 2 2 x 2x 2 = 2 2
การคณู รปู แบบที่ 1 3x 3 = 3 3 x 3 x 3 x 3= 9

จงหำผลลัพธ์ คำตอบ จงหำผลลพั ธ์ คำตอบ
5 7)
1) 5 x 5 8)
2) 7 x 7 9)
3) (− 7) x (− 7) 10)
4) 2 x 2 x 2 x 2 11)
5) A x A
12)
6) 2 x 2
11 11

ตัวอยา่ ง 4× 2 = 4 2 4 2 2 = 82
การคณู รูปแบบท่ี 2
2x3 = 3 2 3x 5= 35
5 5

จงหำผลลพั ธ์ คำตอบ จงหำผลลพั ธ์ คำตอบ

1) 6  5 7)
2) 4  11 8)
3) 3  7 9)
4) 7 x 3 10)
5) 7 x 7 11)

6) 1 x 5 12)
2

“ นา้ ขึนใหร้ บี ตัก ถา้ จะใหร้ กั ใหร้ บี บอก” หนังสอื นวตั กรรมเสริมความรู้ทางคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 26

การคูณรากที่สอง บทท่ี 2 เร่อื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

ตัวอยา่ ง 5 x 3 = 15 8 x 6 = 48 = 4 3
การคณู รูปแบบที่ 3 2 2x 3 = 2 6
2 2x 4 = 2 8 = 4 2

จงหำผลลัพธ์ คำตอบ จงหำผลลัพธ์ คำตอบ

1) 7 x 3 7) 3 x 3 x 5
2) 2 x 5
3) (− 3) x 5 8) 6 x 2 x 2
4) 2 x 3 x 5 9) 12 x 3
5) 3 x 11 x 2 10) L x O x V x E

11) 4 x 8

6) 1 x 3 12) 2 x 2
11 2 3 5

ตวั อยา่ ง 3 2x 3 = 3 6 2 7 x 2 2 = 4 14
การคณู รูปแบบท่ี 4 3 2 x 4 5 = 12 10 4 3 x 2 6 = 8 18 = 24 2

จงหำผลลพั ธ์ คำตอบ จงหำผลลพั ธ์ คำตอบ

1) 2 3 x 5 7) 6 Y x 3 X
2) 4  2 11 8) 2 x 2 x 3 11
3) 3  2 x 2 9) 5 2 x 5 2
4) 2 7 x 6 3 10) (− 5) x 3 8
5) 2 x 2 3 x 3 2 11) 2 5 x 4 10

6) 2 5 x 2 12) 3 x 7
5 3 7 3

สรุปงา่ ยๆ ✓ เลขหนา้ รูทคูณเลขหน้ารูทเท่านัน เลขในรูทคูณเลขในรูทเทา่ นนั
การคูณรากทส่ี อง ✓ อย่าเอามาคูณสลับกันม่ัว!!

“ น้าขึนให้รีบตัก ถา้ จะให้รกั ใหร้ บี บอก” หนังสือนวตั กรรมเสรมิ ความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 27

บทที่ 2 เร่อื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

รากทสี่ าม (Cube root)

บทนิยำม
ให้ a เปน็ จำนวนจริงใดๆ รำกที่สำมของ a คอื จำนวนจรงิ ทยี่ กกำลังสำมแล้วได้ a

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 3 a

✓ จำกบทนยิ ำม จะไดว้ ่ำ (3 a ) 3 = a
✓ สัญลักษณ์ 3 a อ่ำนวำ่ รำกทส่ี ำมของ 3

ตัวอย่ำง คำ่ รำกทสี่ ำม เลขยกก้าลังสาม

1) เน่ืองจำก 23 = 8 13 = 1
ดังน้ัน รำกที่สำมของ 8 คือ 2 23 = 8
หรอื 3 8 = 2 33 = 27
43 = 64
2) เน่ืองจำก 33 = 27 53 = 125
ดงั นน้ั รำกท่สี ำมของ 27 คือ 3 63 = 216
หรอื 3 27 = 3 73 = 343
83 = 512
3) เน่อื งจำก (-3)3 = -27 93 = 729
ดังนั้น รำกที่สำมของ -27 คอื -3 103 = 1,000
หรือ 3 −27 = -3
ถ้านกั เรยี น
4) เนื่องจำก 0.53 = 0.125 จา้ ได้เลขยกกา้ ลงั
ดังนน้ั รำกท่ีสำมของ 0.125 คอื 0.5 สามได้รากที่สาม
หรือ 3 0.125 = 0.5
จะงา่ ยม๊วก

“เงนิ ไมส่ ามารถซอื ทุกอยา่ งได้ แต่ทุกสง่ิ ที่อยากได้ ตอ้ งใช้เงิน” ตังใจเรยี นนะ เดก็ ๆ 28
หนงั สือนวัตกรรมเสริมความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

การหารากท่ีสาม บทที่ 2 เรอื่ ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)
ตัวอยำ่ งท่ี 1 3 125
จำก 3 53 = 3 5 x 5 x 5
วิธีทำ 3 125 = 3 53
▪ พดู งา่ ยๆ เหมือนกัน 3 ตัว
=5 ถึงจะหลุดจากรทู ไดห้ นึ่งตัว

ดังนั้น 3 125 = 5 จำก 3 (−5)3 = 3 (−5) x (−5) x (−5)

ตัวอย่ำงที่ 2 3 − 125 ▪ พดู ง่ายๆ เหมอื นกนั 3 ตัว
ถงึ จะหลุดจากรูทได้หน่ึงตวั
วธิ ีทำ 3 − 125 = 3 (−5)3
ดังนนั้ = −5 จำก 3 0.53 = 3 0.5 x 0.5 x 0.5

3 − 125 = − 5 ▪ พดู งา่ ยๆ เหมือนกนั 3 ตัว
ถึงจะหลุดจากรูทได้หนงึ่ ตวั
ตัวอยำ่ งที่ 3 3 0.125

วิธีทำ 3 0.125 = 3 0.53
ดงั น้นั = 0.5

3 0.125 = 0.5

ตัวอย่ำงท่ี 4 8

3

27

วธิ ีทำ 8 23 จำก 3 23 = 2x2x2
33
3 =3 3
27 3 3
3x3x3

▪ พดู งา่ ยๆ เหมอื นกนั 3 ตัว

= 2 ถงึ จะหลุดจากรูทได้หนง่ึ ตัว
3

ดงั นัน้ 8 = 2

3
27 3

“ คนเก่ง…เขามกั ไมค่ ุย คนคุย…เขามักไม่เกง่ คนโง่…เขามักอวดเบง่ คนเก่ง…เขามักเจยี มตวั ” จ้าไวน้ ะคะเด็กๆ !! 29

หนงั สอื นวตั กรรมเสรมิ ความร้ทู างคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2

บทที่ 2 เรอื่ ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบฝึกหดั ที่ 14 จงหำคำ่ รำกทส่ี ำมของจำนวนตอ่ ไปน้ี

1) 3 27
วธิ ีทำ

ดังนั้น

2) 3 − 27
วธิ ีทำ

ดังนั้น

3) 3 343
วิธที ำ

ดังนั้น

4) 3 − 512
วธิ ีทำ

ดังนนั้

5) 3 0.008
วธิ ที ำ

ดังน้ัน

6) 3 216
729
วิธีทำ

“ ทกุ อย่างไม่ได้ขึนอยูก่ บั ..หนา้ ตา.. ดงั นนั้ 30
หากทา้ ตวั ไรค้ า่ ..หนงั หน้า..กไ็ มช่ ว่ ยอะไร ”
หนงั สือนวัตกรรมเสริมความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 2

บทท่ี 2 เรื่อง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ
(REAL NUMBER)

แบบฝกึ หัดที่ 15 จงหำคำตอบต่อไปน้ี

1) x2 = 576 2) x3 = 343
ดังนนั้ ดงั น้นั

3) x = 7 4) 3 x = 10

ดงั นั้น ดงั นนั้

5) x = 4 6) x = 4
y 11 3y 5

ดังนน้ั ดังนั้น

7) 5 + 3 5 - 20 - 5 - 25 = A 8) 3 512 − 64 = A
ดังนั้น
ดงั น้ัน
9) จงเรียงลำดบั จำนวนตอ่ ไปนี้จำกน้อยไปมำก
10) จงเรียงลำดับจำนวนต่อไปนจ้ี ำกน้อยไปมำก
1 + 256 , 625 , 6 + 196 , 25 - 225
3 729 , 3 512 , 3 216
ดังนั้น
ดงั น้นั
11) 3 x 3 64 = M 12) 3 512 x 1 =M
ดังน้นั ดงั นั้น 81

“เดนิ หนา้ หรือถอยหลัง ไม่ได้อยู่ท่ขี า แตอ่ ย่ทู ใ่ี จ ” สู้ส!ู้ ! 31

หนงั สอื นวัตกรรมเสรมิ ความร้ทู างคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2

บทท่ี 1 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

(Pythagoras’ Theorem)

แบบฝกึ หดั ท่ี 16 ข้อสอบ O – Net เร่ือง จำนวนจรงิ

ข้อสอบ O-Net ปี 2557

พิจำรณำข้อควำมต่อไปน้ี ข้อใดเปน็ จริง

ก. 3 เป็นจำนวนตรรกยะ ข. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
ง. 35 + 35+ 35 = 36
2

ค. 1 = 0.30303030…

33

ขอ้ สอบ O-Net ปี 2560 มีคำ่ เท่ำกับข้อใด
256 - 3 64
ข. 10
ก. 8 ง. 14
ค. 12

ข้อสอบ O-Net ปี 2561

“ไม่วา่ ยากดี มจี น ทุกคนมเี วลา 24 ชม. เทา่ กันหมด” 32

หนังสอื นวัตกรรมเสริมความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

บทท่ี 1 เรอื่ ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

(Pythagoras’ Theorem)

ขอ้ สอบ O-Net ปี 2561

ถ้ำ 3 A = 16 แลว้ รำกทสี่ องท่เี ปน็ บวกของ A เทำ่ กับเท่ำใด

ก. 4 ข. 8
ค. 32 ง. 64

ข้อสอบ O-Net ปี 2562

รำกท่ีสำมของจำนวนในขอ้ ใดเปน็ จำนวนเตม็

ก. 2.7 x 1017 ข. 2.7 x 1016
ค. 2.7 x 1015 ง. 2.7 x 1014

ขอ้ สอบ LASปี 2561

ข้อใดเปน็ จำนวนตรรกยะทัง้ หมด

ก. 7 , 5 , 0.1 8• ข. 0. 3• 4• , 1 ,38
9 5

ค. 0.75 , 3 27 , π ง. 0.34334 , 0 , 0.121121112...

หนังสือนวัตกรรมเสริมความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 33

บทท่ี 1 เรื่อง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

(Pythagoras’ Theorem)

ขอ้ สอบ LASปี 2561

กำหนดขอ้ ควำมตอ่ ไปนี

นำย A กลำ่ ววำ่ 11 , 5 , 3.1 4• , − 2 เปน็ จำนวนตรรกยะ
13 เป็นจำนวนอตรรกยะ
21
และ 2.99 , 99 , 4 ,

นำย B กลำ่ วว่ำ 22 , − 2 , 2.954 , − 4 เป็นจำนวนตรรกยะ
7 9
21
และ 2.133313331... , 99 , 2 ,  , 3.1415926... เปน็ จำนวนอตรรกยะ

นำย C กล่ำวว่ำ − 22 , 0 , 0.1 7• , 9 เปน็ จำนวนตรรกยะ
7 เปน็ จำนวนอตรรกยะ

และ 1.45982... , − 7 ,  , 18

จำกข้อควำมขำ้ งต้น ใครกลำ่ วถกู ต้องบ้ำง
ตอบ…………………น…ำ…ย……B…แ…ล…ะ…น…ำ…ย…C……………………………………..……………………..

หนังสอื นวตั กรรมเสรมิ ความรทู้ างคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 2 34