MATH BOOK ( Eng - Tech )

English and Educational Technology

จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มบวก

> จำนวนเต็มที่มีค่า ศูนย์ > จำนวนเต็มที่มีค่า
0
มากกว่า 0 ไปเรื่อยๆ
มากกว่า 0 ไปเรื่อยๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้

โดยที่ไม่สามารถระบุได้ ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...

ได้แก่ ... , -4, -3, -2, -1




- เส้นจำนวน -


โจทย์คำถาม ครอบครัววีมีรถ 3 คัน คันแรกราคา 1.1 ล้านบาท คัน

ที่2ของแม่ ราคา 15,000 พี่ขับ BMW ราคา 1.2ล้าน

ยัฟนี่ย์ได้เงินเดือน 3,000 บาท ได้จ่ายค่าหอ 800
รวมราคารถครอบครัววีทั้งหมดกี่บาท?
บาท และกินวันละ 30 บาท ยัฟนี่ย์จะเหลือเงินกี่บาท?
วิธีทำ : คันแรกราคา 1.1 ล้านบาท
วิธีทำ : เงินเดือน 3000 บาท คันที่ 2 ราคา 1.5 ล้านบาท
จ่ายค่าหอ 800 บาท คันที่ 3 ราคา 1.2 ล้านบาท
ค่าอาหารวันละ 30x30= 900 บาท
รวมมูลค่ารถทั้งหมด 1.1 + 1.5 + 1.2 = 3.8 ล้านบาท
ยัฟนี่ย์มีเงินเหลือทั้งหมด 3,000-800-900
= 1,300บาท ดังนั้น ราคารถครอบครัววีทั้งหมด 3.8 ล้านบาท

ดังนัน ยัฟนี่ย์มีเงินเหลือทั้งหมด 1,300 บาท

จำนวนตรงข้ามเเละค่าสัมบูรณ์

จำนวนตรงข้าม ค่าสัมบูรณ์

"ถ้า a เป็ นจำนวนใดๆ จำนวนตรงข้ามของ a คือ -a" ค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนใดๆ คือระยะทางที่จำนวนนั้นๆ
พบว่า จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะอยู่คนละข้าง อยู่ห่างจากศูนย์ (0) บนเส้นจำนวนไม่ว่าจะอยู่ทางซ้าย
ของศูนย์ (0) และอยู่ห่างจากศูนย์ (0) เป็ นระยะห่างเท่ากัน หรือทางขวาของศูนย์ ซึ่ งค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนใดๆ
จะมีค่าเป็ นบวกเสมอ

เช่น เช่น
จำนวนตรงข้ามของ -2 ก็คือ 2
จำนวนตรงข้ามของ 3 ก็คือ -3 ค่าสัมบูรณ์ ของ 3 เท่ากับ |3| = 3
จำนวนตรงข้ามของ 0 ก็คือ 0 ค่าสัมบูรณ์ ของ |89| = 89
จำนวนตรงข้ามของ -7 ก็คือ 7 ค่าสัมบูรณ์ ของ |-89| = 89
ค่าสัมบูรณ์ ของ -|89| = -89
โจทย์คำถาม ค่าสัมบูรณ์ ของ -|-89| = -89

แม่ค้าได้ขายปีโป้ ให้อารีกานในราคา 100 บาท อารี
ข้อใดมีค่าเท่ากับ |5| + |-1|
กานมีเงิน 169 หลังจากซื้อปีโป้ อารีกานจะเหลือเงิน
ก. 6 ข. 4
กี่บาท? [ และจากค่าที่ได้คิดเป็ นค่าสัมบูรณ์ เท่าใด ]
ค. – 4 ง. – 6
วิธีทำ : อารีกานมีเงิน 169 บาท
ปีโป้ ราคา 100 บาท ข้อใดมีค่าเท่ากับ |9-12|

สรุ ป ก. |9|+|12| ข. |9| + |12|
เงินจะเหลือ 169-100 = 69
ค่าสัมบูรณ์ : |69| = 69 ค. |12| – |9| ง. |9| + |-12|

ข้อใดคือเซตคำตอบของสมการ |x| = 11

ก. {11} ข. {-11}

ค. {10, 11} ง. {11, -11}

การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกันหหรือต่างกัน หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนเต็มนั้นมา
บวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็ นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามชนิดของจำนวนที่นำมาบวกกัน

จำนวนเต็มบวก + จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มบวก + จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มลบ + จำนวนเต็มลบ

เช่น 7 + 4 = 11 เช่น 9 + (-5) = 4 เช่น -9 + (-18) = -27
5 + 8 = 13 (-7) + 6 = -1 -99 + (-100) = -199
10 + 17 = 27 28 + (-20) = 8 -39 + (-16) = -55

โจทย์คำถาม

พนักงานออฟฟิ ศคนหนึ่ง จอดรถที่ลานจอดรถชั้น 3 ในการสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ ครูมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้


ของตึก จากนั้นจึงใช้ลิฟท์เพื่อไปยังสำนักงาน โดยกด
ถ้าทำถูกจะได้คะแนน ข้อละ 20 คะแนน ถ้าทำผิด


ลิฟท์ขึ้นไปอีก 8 ชั้น เมื่อไปถึงนึกขึ้นได้ว่าฝากเอกสาร
ติดลบข้อละ 5 คะแนน ถ้าไม่ทำ จะได้ 0 คะแนน เด็ก


ไว้ที่เพื่อน จึงกดลิฟท์ลงอีก 2 ชั้น อยากทราบว่า ขณะ
คนหนึ่งทำข้อสอบถูก 3 ข้อ ไม่ทำ 1 ข้อ ทำผิด 1 ข้อ จะ


นี้เขาอยู่ที่ชั้นใดของตึก ? ได้คะแนนรวมเท่าใด ?
แนวคิด

แนวคิด ทำข้อสอบถูก 3 ข้อ ได้ = 20 +20 +20 =60คะแนน

จะได้ 3 + 8 + (-2) = 9 ไม่ทำ 1 ข้อ = 0 คะแนน

ทำผิด 1 ข้อ =-5 คะแนน

ดังนั้น ขณะนี้พนักงานออฟฟิ ศอยู่ชั้น 9 ของตึก รวมคะแนนที่ได้ 60+0 +(-5) = 55 คะแนน

ดังนั้น
เด็กนักเรียนคนนี้ได้คะเเนนทั้งหมด 55 คะเเนน

การลบจำนวนเต็ม

ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็มใด ๆ

a – b = a + จำนวนตรงข้ามของ b หรือ a - b = a + (-b)

ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ 8 – 5 และ 8 + (-5)
เราจะพบว่า 8 – 5 = 3และ 8 + (-5) = 3
นั้นคือ 8 – 5 = 8 + (-5)

แสดงว่า "การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก"

โจทย์คำถาม

รถโดยสารคันหนึ่งบรรทุกผู้โดยสาร 45 คน วัตถุ A มีอุณหภูมิ 54 องศาเซลเซี ยส วัตถุ B มีอุณหภูมิ

มีคนลงไปแล้ว 12 คน เหลือผู้โดยสารในรถกี่คน ? -21 องศาสเซลเซี ยส จงหาว่าวัตถุทั้งสองมีอุณหภูมิต่าง

กันเท่าใด ?
วิธีทำ ผู้โดยสารบนรถ 45 คน
ลงจากรถไปแล้ว 12 คน วิธีทำ อุณหภูมิของวัตถุ A = 54 องศาเซลเซี ยส
อุณหภูมิของวัตถุ B = -21 องศาเซลเซี ยส
จะเหลือผู้โดยสารเท่ากับ 45-12 = 33 คน

ดังนั้น เหลือผู้โดยสารในรถทั้งหมด 33 คน จะได้ว่าอุณหภูมิของวัตถุทั้งสองต่างกัน 54 -(-21) = 75

ดังนั้น
อุณหภูมิของวัตถุทั้งสองต่างกัน 75 องศาเซลเซี ยส

NOTE ! การคูณจำนวนเต็ม

การคูณจำนวนเต็มใดๆ ด้วยหนึ่ง การคูณจำนวนเต็มใดๆ ด้วยศูนย์
หรือการคูณหนึ่งด้วยจำนวนเต็มใดๆ หรือการคูณศูนย์ด้วยจำนวนเต็มใดๆ
จะได้ผลคูณเท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ
จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 เสมอ

นั่นคือ a x 1 = 1 x a = a นั่นคือ a x 0 = 0 x a = 0

( เมื่อ a เป็ นจำน
วนเต็มใดๆ ) ( เมื่อ a เป็ นจำ
นวนเต็มใดๆ )




การคูณจำนวนเต็มประกอบด้วย > < โจทย์คำถาม

การคูณของจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก แม่ค้าติดราคาขายส้มไว้กิโลกรัม
ผลคูณจะเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ ของสองจำนวนนั้น 40 บาท นิดเลือกซื้อส้มจำนวนหนึ่ง
ชั่งน้ำหนักได้ 3 กิโลกรัม กับอีก 8 ขีด

การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ จงหาว่านิดต้องจ่ายเงินค่าส้มกี่บาท ?
ผลคูณจะเท่ากับจำนวนตรงข้ามของผลคูณของค่าสัมบูรณ์
ของสองจำนวนนั้น วิธีทำ คิดมูลค่าที่น้ำหนัก 3 กิโลกรัม
แล้วบวกด้วยมูลค่าที่น้ำหนัก 8 ขีด
การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
ผลคูณจะเท่ากับจำนวนตรงข้ามของผลคูณของค่าสัมบูรณ์ - ส้ม 3 กิโลกรัม
ของสองจำนวนนั้น
(ผลลัพธ์จะเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ) ➡️ราคากิโลกรัมละ 40 บาท
3x40 = 120 บาท
การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ - ส้ม 8 ขีด
ราคาขีดละ 4 บาท
ผลคูณจะเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ ของสองจำนวนนั้น
นั่นคือ (-a) x (-b) = |(-a)| x |(-b)| ➡️ 8x4 = 32
➡️รวมเป็ นเงินค่าส้มทั้งหมด 120+32

= 152 บาท

ดังนั้น นิดต้องจ่ายเงินค่าส้ม 152บาท

การหารจำนวนเต็ม

การหารระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนอาศัยเรื่องผลคูณ
ของค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนทั้งสองโดยมี "เครื่องหมาย"

(+) ÷ (+) = + (-) ÷ (+) = -
(-) ÷ (-) = + (+) ÷ (-) = -

เครื่องหมายเหมือนกันมีผลเป็ น "บวก"

เครื่องหมายต่างกันมีผลเป็ น "ลบ"




ศูนย์กับการหาร

คำอธิบาย 0 หมายถึงต้องการหารว่า 0 =? โจทย์คำถาม
0 0
มีนามีส้มอยู่ 18 ผล มีองุ่นอยู่ 24 ผล
ให้ 0 =y และเมล่อนอยู่30 ผล เขาต้องการที่จะ

0 แบ่งให้เพื่อน 6 คน จากโจทย์อยาก
ทราบว่าเพื่อนทั้ง 6 คนจะได้ผลไม้
ดังนั้น 0 = 0 x y ( ตัวตั้ง = ตัวหาร x ผลลัพธ์) ชนิดละกี่ผลโดยให้แบ่งคนละเท่าๆกัน ?

เราต้องหาค่า y ซึ่ งเมื่อคูณกับ 0 แล้วได้ ผลลัพธ์ = 0 วิธีคิด 12 ÷ 6 = 2
แต่เนื่องจาก 0 คูณจำนวนเต็มใด ๆ จะเท่ากับ 0 24 ÷ 6 = 4
36 ÷ 6 = 6
ดังนั้นจากประโยค 0 = 0 x y นี้
ดังนั้น เพื่อนทั้ง 6 คน
y จะมีค่าเป็ นจำนวนใดๆ ก็ได้ จะได้ส้มคนละ 2 ผล
ดังนั้น 0 มีคำตอบมากมายจึงไม่นิยาม องุ่นคนละ 4 ผล
เมล่อนคนละ 6 ผล
0

จะเห็นได้ว่าการหารด้วย 0 มีคำตอบ 2 กรณี คือ
1. ไม่มีคำตอบเลย
2. จำนวนใดเป็ นคำตอบก็ได้

"ในทางคณิ ตศาสตร์ ไม่นิยามการหารที่มี 0 เป็ นตัวหาร"

เศษส่วน

เศษส่วน หมายถึง ส่วนหนึ่งๆ ของจำนวนทั้งหมดที่แบ่งออกเป็ นส่วนๆ เท่าๆ กัน ซึ่ งหาค่า


ด้วยการหาร จะมีเศษเป็ นตัวตั้ง เเละส่วนเป็ นตัวหาร เศษส่วนจะอยู่ในรูป เศษ/ส่วน
เศษส่วนแท้ คือ ตัวเศษ(บน) น้อยกว่า เศษส่วนเกิน คือจำนวนของตัวเศษเท่ากับตัวส่วน
ตัวส่วน(ล่าง) เช่น หรือตัวเศษมากกว่าตัวส่วน เช่น

เศษส่วนคละ คือ จำนวนเต็มที่บวกอยู่ เศษส่วนซ้อน คือ ตัวเลขที่เป็ นเศษส่วน
กับเศษส่วน เช่น ซึ่ งอยู่ในลักษณะของการหาร

โดยจำนวนที่เป็ นเศษส่วนสามารถอยู่ได้ทั้งในค่าของเศษ(บน) หรือค่าของส่วน(ล่าง)ได้ เช่น

" การลบเศษส่วน "

เศษส่วนจะลบกันได้เมื่อมีส่วนเท่ากัน เช่น
โดย เอา เศษ - เศษ เเต่ส่วนคงเดิม

หากส่วนไม่เท่ากัน เช่น ต้องทำให้ส่วนเท่ากันก่อนจึงค่อยเริ่มการเอา

เศษ - เศษ เเต่ส่วนคงเดิม

และการลบเศษส่วนที่เป็ นจำนวนคละ ทำจำนวนคละให้เป็ นเศษเกินก่อน แล้วทำส่วนให้เท่ากัน

จากนั้นเศษ - เศษ เเต่ส่วนคงเดิม

การบวกเศษส่วน

การบวกเศษส่วนที่เท่ากัน การบวกเศษส่วนที่ไม่เท่ากัน

เศษส่วนจะบวกกันได้เมื่อมีส่วนเท่ากัน เช่น หากส่วนไม่เท่ากัน เช่น ต้องทำให้ส่วนเท่ากันก่อน

โดย เอา เศษ + เศษ เเต่ส่วนคงเดิม


จึงค่อยเริ่มการเอา เศษ + เศษ เเต่ส่วนคงเดิม

การบวกเศษส่วนที่เป็นจำนวนคละ

ทำจำนวนคละให้เป็ นเศษเกินก่อน แล้วเอา เศษ + เศษ เเต่ส่วนคงเดิม

" การคูณเศษส่วน

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนนับ เอาจำนวนนับมาคูณกับตัวเศษ โดยตัวส่วนคงเดิม
การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน เอาเศษคูณเศษ เเละส่วนคูณส่วน

" การหารเศษส่วน

เอาเศษส่วนตัวตั้ง คูณกับส่วนกลับของเศษส่วนตัวหาร

ทศนิยม

ทศนิยมคือ สัญลักษณ์ ที่ใช้แทนจำนวนรูปแบบหนึ่ง ซึ่ งเกิดจาก

การหารจำนวนที่อยู่ในรู ปเศษส่วนโดยนำตัวส่วนไปหารตัวเศษ

แล้วได้ผลลัพธ์ที่ไม่ลงตัว หรือเป็ นกำรบอกปริมาณของสิ่งต่างๆที่

ไม่เต็มหน่ วย

รูปทศนิยม การอ่านทศนิยม

จำนวนที่เขียนในรู ป
ทศนิยมประกอบด้วย 2 ส่วน

ทศนิยมจะมี ( . ) เป็ นส่วน
ส่วนที่อยู่หน้าจุดเป็ นจำนวนเต็ม

ประกอบ ตัวเลขที่อยู่หน้าจุดจะ
อ่านเช่นเดียวกันกับจำนวนเต็ม

เป็ นจำนวนเต็ม ส่วนตัวเลขที่
ส่วนที่อยู่หลังจุดจะอ่ำนทีละตัว

อยู่หลังจุดเรียกว่า ทศนิยม เป็ นเลขโดดตามตัวเลขที่มี

การเขียน เช่น 3.2 อ่านว่า สามจุดสอง
ทศนิยม 45.69 อ่านว่า สี่สิบห้าจุดหกเก้า
183.207 อ่านว่า หนึ่งร้อยแปดสิบสาม
ทศนิยม คือ ( . ) ซึ่ งอยู่ระหว่าง หลัก
จุดสองศูนย์เจ็ด
หน่ วยและหลักส่วนสิบ 25.75 อ่านว่า ยี่สิบห้า จุด เจ็ดห้า
642.368 อ่านว่า หกร้อยสี่สิบสอง
จุด สามหกแปด

การปัดเศษทศนิยม การเปรียบ

เทียบทศนิยม
ให้พิจารณาจากตัวเลขทศนิยมใน
ตำแหน่ งสุดท้าย เราสามารถเปรียบเทียบทศนิยมสอง

จำนวนใดๆโดยใช้หลักเกณฑ์ดังต่อ

ถ้าตัวเลขทศนิยมตำแหน่ งสุดท้ายมีค่า
ไปนี้
มากกว่าหรือเท่ากับ 5 ขึ้นไป ให้ปัดทบกับ

ตัวเลขด้านหน้ า 1) การเปรียบเทียบทศนิยมที่
เป็ นบวก สองจำนวนใดๆ ให้พิจารณา
เช่น 15.48 = 15.5 เลขโดดคู่แรกในตำแหน่ งเดียวกันที่ไม่
301.78 = 301.8 เท่ากันจำนวนที่มีเลขโดดในตำแหน่ ง
543.746 = 543.75 นั้นมากกว่าจะเป็ นจำนวนที่มากกว่า

ถ้าตัวเลขทศนิยมตำแหน่ งสุดท้ายมี
2) การเปรียบเทียบทศนิยม
ค่าน้อยกว่า 5 ให้ปัดตัวเลขในตำแหน่ง
ที่เป็ นลบสองจำนวนใดๆ ให้ทำ
นั้นทิ้ง ค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวน จำนวนที่
มีค่าสัมบูรณ์ น้อยกว่าจะเป็ นจำนวน
เช่น 15.44 = 15.4 ที่มากกว่า
301.73 = 301.7
650.482= 650.48 3) การเปรียบเทียบทศนิยมที่
เป็ นบวกและทศนิยมที่เป็ นลบ
เนื่องจากทศนิยมที่เป็ นบวกอยู่ทางขวา
ของ 0 ดังนั้นทศนิยมที่เป็ นบวกจะ
มากกว่าทศนิยมที่เป็ นลบเสมอ

การบวกและการลบเลขทศนิยม

♦ การบวกทศนิยม

- ตั้งจุดให้ตรงกันและตั้งหลักของตัวเลขให้ตรงกัน
- ถ้าตัวเลขทศนิยมมีตำแหน่งมากกว่าอีกตัวเลขหนึ่งให้เติม 0 ให้
กับตัวเลขที่มีตำแหน่งทศนิยมน้อยกว่า โดยให้เติม 0 ยังตำแหน่ง

ทศนิยมตำแหน่ งสุดท้าย
- ให้บวกจากด้านขวาสุดก่อนและไปด้านซ้าย

♦ การลบทศนิยม



- ตั้งจุดให้ตรงกันและตั้งหลักของตัวเลขให้ตรงกัน
- ถ้าตัวเลขทศนิยมมีตำแหน่งมากกว่าอีกตัวเลขหนึ่ง

ให้เติม 0 ให้กับตัวเลขที่มีตำแหน่งทศนิยมน้อยกว่า โดย

ให้เติม 0 ยังตำแหน่งทศนิยมตำแหน่งสุดท้าย
- ให้หักลบจากด้านขวาสุดก่อนและไปด้านซ้าย

การคูณและการหารทศนิยม

การคูณเลขทศนิยม

การคูณเลขทศนิยมนั้น หลักการคูณคือทำการคูณตัวเลขเหมือน

จำนวนจริงใดๆการตามที่น้ องได้ศึกษามาแล้วโดยเวลาคูณนั้นให้

ทำการคูณกันแบบปกติ โดยไม่ต้องสนใจจุดทศนิยมในเลขทศนิยม

เลย

การหารเลขทศนิยม
ในส่วนของการหารนั้นจะแตกต่างกับการคูณโดยเรานั้นจะพิจารณา

เพียงแค่ตัวหารอย่างเดียวเพียงเท่านั้น ในการหารเศษส่วนนั้นตัวหาร

ห้ามเป็ นทศนิยม เมื่อใดก็ตามที่ตัวหารเป็ นทศนิยมให้ทำการเปลี่ยนตัว

หารเป็ นจำนวนเต็มก่อน

อัตราส่วนและร้อยละ

ความหมายของอัตราส่วนและร้อยละ

อัตราส่วน คือ การเปรียบเทียบ ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็ นต์ คือ อัตราส่วน
ระหว่างปริมาณสองปริมาณ ซึ่ งอาจ ที่เราต้องการ ที่มีการเทียบกับ 100
มีหน่ วยเดียวกันหรือต่างกันก็ได้ หรืออัตราส่วนที่มีส่วนเป็ น 100 เรา
เรียกว่า เปอร์เซ็ นต์ ให้สัญลักษณ์
Ex. อัตราส่วนของปริมาณ a ต่อ แทนด้วยเครื่องหมาย %
ปริมาณ b เขียนแทนด้วย a:b
หรือ a Ex. ร้อยละ 30 > 30 เปอร์เซ็ นต์
> 30:100 > 3
b
100

การเขียนอัตราส่วนให้อยู่ในรูปเศษส่วน

การเขียนอัตราส่วนให้อยู่
ในรูปร้อยละ ทำได้โดยการ
ทำให้จำนวนหลังอัตราส่วน
นั้นเท่ากับ 100 ด้วยวิธี
การนำจำนวนใดก็ได้ โดยนำ
มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อ
ให้ตัวส่วนนั้นมีค่า
เท่ากับ100

การเขียนร้อยละให้อยู่ในอัตราส่วน

การเขียนให้เป็ นร้อยละ
โดยการนำค่าของร้อยละมา
เขียนเป็ นจำนวนแรกของ
อัตราส่วนหรือเป็ นตัวเศษ
และให้ 100 เป็ นจำนวนหลัง
ของอัตราส่วนหรือเป็ นตัว
ส่วนนั้นเอง

โจทย์คำถาม

การหาคำตอบเป็นหนทาง



ที่ฉลาดกว่าการคาดเดา

— Mark Twain