โครงงานคณิตศาสตร์มัธยมตอนต้น

โครงงานคณติ ศาสตร์
เร่ือง ความสัมพันธ์ของพ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียมบนด้านทั้งสาม

ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดย
1. เดก็ ชายวชิ ชากร ลุงแกว้
2. เดก็ หญิงทวพี ร ปันแปง
3. เด็กหญงิ อาทติ ยา มีบญุ
ระดับช้ันมัธยมศกึ ษาตอนต้น

ครทู ่ปี รกึ ษา 1. นางสมุ าลี วรรณวจิ ิตร
2. นางสาวศริ ิขวัญ ถาชนื่

โรงเรียนวดั เวฬวุ นั สำนกั งานเขตพนื้ ท่กี ารศึกษาประถมศึกษาเชยี งใหม่ เขต 4

รายงานฉบบั นีเ้ ปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์
ประเภทสรา้ งทฤษฎหี รอื คำอธิบาย ระดบั ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 1 - 3
เนื่องในงานศิลปหัตถกรรมนักเรียนคร้งั ท่ี 70 ประจำปกี ารศกึ ษา 2565

โครงงานคณิตศาสตร์
เรอื่ ง ความสมั พนั ธ์ของพ้ืนที่รูปสามเหลยี่ มบนด้านท้งั สาม

ของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

โดย
1. เดก็ ชายวิชชากร ลุงแก้ว
2. เดก็ หญงิ ทวพี ร ปันแปง
3. เดก็ หญงิ อาทติ ยา มีบุญ
ระดบั ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น

ครูที่ปรกึ ษา 1. นางสมุ าลี วรรณ
2. นางสาวศริ ิขวัญ ถาชืน่

โรงเรียนวัดเวฬุวนั สำนกั งานเขตพนื้ ที่การศึกษาประถมศึกษาเชยี งใหม่ เขต 4

รายงานฉบบั นเี้ ปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์
ประเภทสรา้ งทฤษฎีหรือคำอธิบาย ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 1 - 3
เน่ืองในงานศลิ ปหัตถกรรมนักเรยี นครั้งที่ 70 ประจำปกี ารศึกษา 2565

ก

บทคดั ย่อ

ชอ่ื โครงงาน : ความสัมพนั ธ์ของพ้ืนทข่ี องรปู สามเหลยี่ มบนดา้ นทัง้ สามของรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

คณะผจู้ ดั ทำโครงงาน : 1. เด็กชายวิชชากร ลงุ แก้ว

2. เดก็ หญงิ ทวีพร ปนั แปง

3. เด็กหญิงอาทิตยา มบี ุญ

ครูที่ปรกึ ษา: 1. นางสุมาลี วรรณวิจติ ร

2. นางสาวศริ ขิ วัญ ถาชืน่

การจัดทำโครงงาน เร่ือง ความสัมพันธ์ของพื้นท่ีของรูปสามเหลี่ยมบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก เกิดจากการสังเกตเห็นความสัมพันธ์ของพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสบนด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมุม
ฉาก จึงเกิดข้อสงสยั ที่วา่ หากเป็นรูปเรขาคณิตรูปอื่นบนด้านท้ังสามของรูปสามเหล่ียมมุมฉากแล้วพืน้ ท่ีของรูป
จะมีความสัมพันธ์กันอย่างไร โดยในการจัดทำโครงงานครั้งนี้ต้องการหาความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตคือ
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสามเหล่ียมมุมฉากหน้าจั่ว มีขอบเขตเนื้อหาการดำเนินการคือ ทฤษฎีบท
พที าโกรัส รากที่สอง การหาพื้นท่ีรูปสามเหล่ียมด้านเท่า และการหาพ้ืนทีร่ ูปสามเหล่ียมหน้าจัว่ มีวตั ถุประสงค์
เพ่ือ 1) เพื่อหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหล่ียมด้านเท่าบนด้านทั้งสามของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
2) เพอ่ื หาความสมั พันธข์ องพ้นื ทขี่ องรูปสามเหลย่ี มมุมฉากหนา้ จั่วบนด้านท้งั สามของรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก

ในการทำโครงงานครั้งน้ีผลปรากฏว่า ความสัมพันธ์ของพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าท่ีมีด้านยาว
เท่ากับด้านของตรงขา้ มมมุ ฉากรปู สามเหล่ียมมุมฉาก มคี ่าเท่ากับผลรวมของพ้ืนท่รี ูปสามเหล่ียมเหล่ียมดา้ นเท่า
สองรูปท่ีมีด้านยาวเท่ากับความยาวของด้านประกอบมุมฉากที่กำหนดให้ และพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
หน้าจั่วท่ีมีดา้ นที่ยาวเท่ากันโดยมีความยาวเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก มีพ้ืนท่ีเท่ากับ
ผลรวมของรูปสามเหล่ียมมุมฉากสองรูปที่มีความยาวของด้านประกอบมุมยอดยาวยาวเท่ากับด้านประกอบมุม
ฉากของสามเหลย่ี มมุมฉาก

ข

กติ ติกรรมประกาศ

การทำโครงงาน เรื่อง ความสัมพันธข์ องพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในครั้งน้ีสำเร็จได้ด้วยความอนุเคราะห์ของบุคคลหลายท่านซึ่งไม่อาจจะนำมากล่าวได้ท้ังหมดได้ ณ ท่ีน้ี ซ่ึงผู้มี
พระคุณสองท่านแรกที่ผู้จัดทำโครงงานขอบพระคุณคือ นางสุมาลี วรรณวิจิตร และนางสาวศิริขวัญ ถาช่ืน
ครูผู้ให้คำปรึกษาตลอดจนชี้แนะแนวทางในการทำโครงงานคร้ังนี้ ซึ่งได้ให้ความรู้ คำแนะนำ ตรวจทานและ
แก้ไขข้อบกพร่องต่าง ๆ ด้วยความเอาใจใส่ทุกขั้นตอน เทคนิคการนำเสนอรายงานพรอ้ มกับเทคนิคการทำส่ือ
ในการเผยแพรโ่ ครงงานเพ่ือให้การทำโครงงาน เร่อื ง พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมบนดา้ นท้ังสามของรปู สามเหลย่ี ม
มุมฉาก ในคร้ังน้ีสมบูรณ์ท่ีสุด คณะผู้จัดทำโครงงานขอขอบพระคุณเป็นอย่างสูงไว้ ณ โอกาสน้ี นอกจากน้ี
ผู้จัดทำโครงงานขอขอบพระคุณ คุณครูในระดับช้ันมัธยมศึกษาทุกท่านท่ีให้คำแนะนำในการค้นคว้าข้อมูล
ขอขอบพระคุณ นายจรัล ถาวร ผู้อำนวยการโรงเรียนวัดเวฬุวัน ท่ีได้ส่งเสริมและพัฒนาแหล่งเรียนรู้ใน
โรงเรียนที่เอ้ือต่อการศกึ ษาคน้ คว้า ขอขอบคุณเพอ่ื นสมาชกิ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2/1 ทกุ คนทแี่ ลกเปลีย่ นความรู้
ความคดิ เหน็ และให้กำลังใจในการศึกษาคน้ ควา้ ในการทำโครงงานตลอดมา

ขอขอบพระคุณคณุ ครูโรงเรียนวัดเวฬุวันทุกท่านที่ ได้ให้คำแนะนำในการการทำโครงงาน เรื่อง พ้ืนท่ี
ของรูปสามเหล่ียมบนด้านทั้งสามของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก คณะผ้จู ัดทำโครงงานของกราบขอบพระคุณมา ณ
โอกาสน้ี

คณะผ้จู ดั ทำ

สารบญั ค

บทคดั ย่อ หน้า
กติ ตกิ รรมประกาศ
สารบญั ก
สารบญั ตาราง ข
สารบัญรูปภาพ ค
บทที่ 1 บทนำ จ
ฉ
ทีม่ าและความสำคัญ
วัตถปุ ระสงค์ 1
สมมตุ ฐิ าน 2
บทนิยาม ทฤษฎีบทและคุณสมบัติทางคณติ ศาสตรท์ เ่ี กย่ี วข้อง 2
นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ 2
ขอบเขตการดำเนนิ การ 3
ตารางดำเนนิ การ 3
งบประมาณ 3
ประโยชน์ท่ไี ดจ้ ากการทำโครงงาน 4
บทท่ี 2 เอกสารท่ีเกย่ี วข้อง 5
ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส 6
บทกลบั ทฤษฎบี ทพที าโกรัส 6
รูปสามเหล่ียม 7
บทท่ี 3 วิธีการดำเนินการ 8
บทที่ 4 ผลการดำเนนิ การ 11
ผลการศึกษา 17
18

บทที่ 5 สรปุ ผลการดำเนนิ การ/อภปิ รายผลการดำเนินการ ง
สรุปผลการดำเนินการ
อภิปรายผลการดำเนนิ การ 19
ขอ้ เสนอแนะ 19
19
บรรณานกุ รม 19
ภาคผนวก 20
21
ประวตั ผิ ู้จดั ทำ 22
ประมวลภาพการจดั ทำโครงงาน

สารบัญตาราง จ

ตารางท่ี 1 ตารางดำเนินการ หนา้
ตารางที่ 2 พ้นื ท่ีของรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่าบนดา้ นทงั้ สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2
13

สารบัญรูปภาพ ฉ

รูปภาพท่ี 1 ภาพแสดงรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก หน้า
รูปภาพท่ี 2 ภาพแสดงความสมั พันธ์ของสี่เหลยี่ มจัตรุ ัสบนดา้ นของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก
รปู ภาพที่ 3 ภาพแสดงความสมั พันธท์ ฤษฎบี ทพีทาโกรัสและบทกลบั ทฤษฎีบทพที าโกรัส 4
รปู ภาพท่ี 4 ภาพแสดงรปู ส่ีเหลยี่ ม 5
รปู ภาพที่ 5 ภาพแสดงรูปสเี่ หล่ียมดา้ นเท่า 5
รปู ภาพที่ 6 ภาพแสดงรปู สเ่ี หลีย่ มหน้าจัว่ 6
รูปภาพท่ี 7 ภาพแสดงรูปสามเหล่ยี มมุมฉากหนา้ จว่ั 7
รปู ภาพที่ 8 ภาพแสดงรูปสเ่ี หลยี่ มจตั ุรัสโดยการเขียนรูปคร่าวๆ
ประมวลภาพโครงงาน 7
8
19

บทท่ี 1
บทนำ

ทม่ี าและความสำคัญของโครงงาน
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันของทุกคน โดยคนส่วนใหญ่มักมีความคิดว่า

คณิตศาสตร์เป็นเรื่องยากต่อการทำความเข้าใจและไม่อยากศึกษาต่อ อันเนื่องจากความคิดที่ว่า คณิตศาสตร์
เปน็ เรอื่ งของหลกั การทฤษฎีมคี วามซับซ้อน และไมน่ า่ สนใจ

พีทาโกรัสและสาวกได้ทำการพิสูจน์ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายเรื่องและต่อมาทฤษฎีเหล่านี้เป็น
รากฐานของวิทยาการในยุคอียิปต์ และทฤษฎีหนึ่งที่เรารู้จักกันดีที่ใช้กันอยู่จนถึงปัจจุบันคือ ทฤษฎีบท
พีทาโกรสั ซึ่งไดก้ ล่าวไว้วา่ “ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พ้ืนทข่ี องรูปส่เี หลย่ี มจัตุรสั บนด้านตรงขา้ มมมุ ฉากจะ
มคี า่ เท่ากับ ผลบวกของพ้นื ทีข่ องรปู สีเ่ หลี่ยมจตั รุ ัสบนด้านประกอบมุมฉาก” หรอื กล่าวไดว้ ่า “ในสามเหลยี่ มมุม
ฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นด้านตรงข้ามของมุมฉาก เท่ากับ ผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสท่ี
เป็นดา้ นประกอบมมุ ฉาก”

“ สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย มีด้านประกอบมุมฉากยาว
a และ b หนว่ ย จะไดว้ า่ c2 = a2 + b2 ”

และสืบเนื่องจากการเรียนคณิตศาสตร์เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ผ่านมา ในการจัดการเรียนการสอน
ของครูผู้สอนคณิตศาสตร์ก็ได้แสดงการพิสูจน์ทฤษฎีพีทโกรัส โดยใช้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านแต่ละ
ดา้ นของรูปสามเหลยี่ มมุมฉากเพียงเท่านน้ั คณะผ้จู ัดทำได้เกดิ ข้อสงสัยว่า หากเปล่ียนจากพนื้ ที่ของรูปสี่เหล่ียม
จตั รุ สั เป็นพ้นื ท่รี ูปสามเหลย่ี มด้านเท่าหรือรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากหนา้ จ่วั แลว้ พ้ืนทีข่ องรูปเรขาคณิตท่ีอยู่บนด้าน

2

ตรงข้ามมุมฉากจะยังคงเท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปเรขาคณิตที่อยู่บนด้านประกอบมุมฉากหรือไม่อย่างไร จึง
เป็นที่มาของการจัดทำโครงงานเร่ือง ความสมั พนั ธ์ของพน้ื ทร่ี ปู สามเหลย่ี มบนด้านทงั้ สามของรูปสามเหล่ียมมุม
ฉากขน้ึ เพอ่ื นำองค์ความรู้ทไ่ี ด้ไปประยุกตใ์ ชป้ ระโยชนใ์ นการแก้ปัญหาตอ่ ไป
วตั ถปุ ระสงคข์ องโครงงาน

1. เพ่ือหาความสมั พันธข์ องพืน้ ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ บนด้านทั้งสามของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก
2. เพอ่ื หาความสมั พันธข์ องพนื้ ทขี่ องรปู สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนด้านทงั้ สามของรูปสามเหล่ียม

มุมฉาก
สมมุตฐิ าน

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนด้านทั้งสามของรูป
สามเหลย่ี มมมุ ฉากมคี วามสมั พันธ์กันอยา่ งไร

บทนิยาม,ทฤษฎีบทและคณุ สมบัตทิ างคณติ ศาสตร์ทเี่ กยี่ วข้อง
1. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย มีด้าน

ประกอบมมุ ฉากยาว a และ b หน่วย จะได้ว่า c2 = a2 + b2
2. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

มขี นาดเทา่ กันคือ 60 องศา

3. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก และมีด้านประกอบมุมฉาก
ยาวเท่ากัน

3

4. พน้ื ทรี่ ปู สามเหล่ียม = 1 x ความยาวฐาน x ความสงู

2

การหาพ้นื ทขี่ องรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่า สามารถหาได้จากการกำหนดดา้ นหนงึ่ เปน็ ฐาน และสร้างส่วนของ

เส้นตรงท่ตี ้งั ฉากกับฐานพร้อมทง้ั หาความสูง

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว สามารถหาได้จากการกำหนดให้ด้านประกอบมุมฉากคือความ

ยาวของดา้ นที่ยาวเทา่ กนั สองด้าน ด้านทเี่ หลือเปน็ ฐานและอีกด้านหน่ึงเปน็ สว่ นสงู

นยิ ามศพั ทเ์ ฉพาะ หมายถงึ รปู สามเหล่ยี มด้านเท่าท่ีมคี วามยาวเท่ากบั ความยาว
รูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ แต่ละด้านของรปู สามเหลี่ยมมุมฉากท่กี ำหนดให้

รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากหนา้ จัว่ หมายถงึ รูปสามเหล่ยี มมุมฉากหน้าจ่วั ทมี่ คี วามยาวของด้านที่ยาว
เทา่ กนั ยาวเท่ากับความยาวของดา้ นของรปู สามเหล่ียม
มุมฉากทีก่ ำหนดให้

ขอบเขตการดำเนนิ การ
เนื้อหาที่นำมาศึกษา คือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รากที่สอง การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และการหา

พื้นที่รูปสามเหลีย่ มหนา้ จ่ัว (ความรทู้ ้ังสิน้ เนน้ เน้ือหาระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 1- 3)
หาความสมั พนั ธข์ องพ้นื ทข่ี องรปู สามเหลย่ี มด้านเท่าและสามเหล่ยี มมมุ ฉากหน้าจ่ัวบนด้านทั้งสามของ

รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

เวลาในการดำเนนิ การ ต้ังแต่ มถิ นุ ายน พ.ศ. 2565 – กรกฎาคม 2565

ตารางดำเนนิ การ

วนั /เดอื น/ปี รายการ ผู้รับผดิ ชอบ
6 - 10 มถิ นุ ายน 2565 ประชมุ เพ่ือเสนอบทคดั ย่อ คณะผู้จดั ทำโครงงาน
13 -19 มิถุนายน 2565 เกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จากแหลง่ เรียนรู้ คณะผู้จัดทำโครงงาน
- อนิ เตอรเ์ น็ต,สื่อ/ส่ิงพิมพ์
20 -24 มถิ ุนายน 2565 หาความสมั พันธข์ องพื้นที่ของรปู จาก คณะผูจ้ ัดทำโครงงาน
สูตรการหาพ้นื ที่ของรปู สามเหลีย่ ม
ดา้ นเท่าจากความยาวของดา้ น

4

วัน/เดอื น/ปี รายการ ผ้รู บั ผดิ ชอบ
สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ของรปู สามเหลี่ยม คณะผจู้ ัดทำโครงงาน
27 มถิ ุนายน – มมุ ฉาก
1 กรกฎาคม 2565 หาความสัมพันธ์ของพ้นื ท่ีของรูป คณะผู้จัดทำโครงงาน
สามเหล่ยี มมุมฉากหนา้ จว่ั จากสูตร คณะผู้จดั ทำโครงงาน
4 – 8 กรกฎาคม 2565 การหาพ้นื ทข่ี องรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
11 – 22 กรกฎาคม หนา้ จวั่ จากความยาวของด้านตรงข้าม คณะผจู้ ัดทำโครงงาน
มมุ ฉาก และบนด้านทัง้ สามของรปู คณะผจู้ ัดทำโครงงาน
2565 สามเหลีย่ มมุมฉาก
ประชมุ เพ่ือวิเคราะหข์ ้อมูลและ
23 - 28 กรกฎาคม 2565 ผลการศึกษา
29 กรกฎาคม 2565 จัดทำโครงร่างและหาความสัมพนั ธ์
ของรปู สามเหล่ียมบนด้านท้ังสามของ
รปู สามเหลยี่ มมุมฉากนำเสนอครทู ี่
ปรกึ ษา
จดั ทำรปู เล่มโครงงานส่งครูท่ีปรกึ ษา
นำเสนอโครงงานต่อท่ปี ระชมุ

ตารางท่ี 1 ตารางดำเนินการ

งบประมาณ

1. ผังโครงงาน จำนวน 1 ผัง ไม้อัด จำนวน 1 แผน่ ราคา 400 บาท
ราคา 4x25 100 บาท
บานพบั เล็ก จำนวน 4 อัน ราคา 500 บาท
ราคา 420 บาท
คา่ จัดจา้ ง(ทำผังฯ) จำนวน 1 คน ราคา 3x15 45 บาท
ราคา 3x15 45 บาท
2. ค่าจัดจ้างทำแบบรปู สามเหล่ยี ม จำนวน 3 ชดุ ราคา 210 บาท
ราคา 125 บาท
3. กาวสองหน้าแบบบาง จำนวน 3 ม้วน ราคา 100 บาท
ราคา 2x50 100 บาท
4. กาวสองหนา้ หนา จำนวน 3 ม้วน

5. กระดาษ A4 ขนาด 80 แกรม จำนวน 2 รมี

6. กระดาษ A4 สี จำนวน 1 รีม

7. สโี ปสเตอร์ จำนวน 1 ชดุ

8. แลกเกอร์ จำนวน 2 ขวด

5

9. แปรงทาสี จำนวน 2 อัน ราคา 2x50 100 บาท

รวมทั้งสิน้ 2,145 บาท (สองพนั หน่ึงร้อยส่สี ิบหา้ บาทถ้วน)

ประโยชนท์ ไี่ ด้รบั จากการทำโครงงาน

1. ทำให้มีความรูค้ วามเข้าใจเก่ยี วกับการพิสูจนท์ ฤษฎีพีทโกรัสในรปู แบบอื่น ๆ

2. ได้วธิ ีการพิสจู นท์ ฤษฎบี ทพีทาโกรสั จากความสัมพันธ์ของพนื้ ที่รูปสามเหลี่ยมบนดา้ นทง้ั สามของรปู

สามเหลยี่ มมมุ ฉาก

3. สามารถนำวิธีคิดไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับการหาความยาวของด้านของรูป

สามเหลย่ี มมุมฉากได้

6

บทที่ 2
เอกสารที่เกยี่ วขอ้ ง

ในการทำโครงงานเรื่อง ความสัมพันธข์ องพ้นื ท่ีรูปสามเหล่ียมบนด้านทงั้ สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
ผู้จัดทำได้ศึกษาเนื้อหาจากเอกสารที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการทำโครงงาน
จากหนังสือคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ของกระทรวงศึกษาธิการ ตามหลักสูตรการศึกษา
ข้ันพ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551 และเอกสารอ่นื ๆ ท่ีเกย่ี วข้อง ดังนี้

1. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับทฤษฎบี ทพที โกรสั
2. รปู สามเหลย่ี มและคุณสมบัตขิ องรูปสามเหล่ยี ม
1. ทฤษฎีบทพที าโกรสั (Pythagoras’ theorem)
1.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั (Pythagoras’ theorem)

รูปภาพที่ 1 ภาพแสดงรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

สำหรับรปู สามเหลยี่ มมกุ ฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวด้นตรงข้ามมุมฉาก
เทา่ กับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

เขียนสมการได้เป็น c2 = a2 + b2
โดยที่ c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

a และ แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้าน

7



b bc
a
2



รปู ภาพที่ 2 ภาพแสดงความสมั พันธ์ของส่เี หล่ยี มจตั รุ ัสบนดา้ นของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวก
ของพื้นทข่ี องรปู ส่ีเหลีย่ มจตั รุ ัสบนด้านประกอบมุมฉากเขยี นสมการได้เป็น c2 = a2 + b2
โดยท่ี c2 แทนพื้นที่ของรปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรัสบนด้านตรงขา้ มมุมฉาก

a2 และ b2 แทนพ้นื ท่ขี องรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรสั บนดา้ นประกอบมมุ ฉาก

1.2 บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรสั
สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้ากำลังสองของความยาวด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของกำลังสอง

ของความยาวของดา้ นอีกสองด้าน แลว้ รูปสามเหลย่ี มน้ันเปน็ รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก
โดยบทกลับของทฤษฎีบททาโกรัส จะเปน็ การนำผลของทฤษฎีบททาโกรัสมาเป็นเหตุ

และนำเหตมุ าเป็นผล ดังน้ี

ทฤษฎบี ทพที าโกรัส บทกลับทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

กำลังสองของความยาวด้านด้านหนึ่งของรปู

เหตุ มีรปู สามเหล่ยี มรูปหนงึ่ สามเหลี่ยมรูปหน่ึง เท่ากับ ผลบวกของ
เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก กำลังสองของความยาวของด้านอกี สองดา้ น

ของรูปสามเหลี่ยมนน้ั

กำลังสองของความยาวดา้ นตรงข้ามฉาก รปู สามเหล่ียมนั้น
ผล เท่ากับผลบวกของกำลงั สองของความยาว เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก

ของดา้ นประกอบมมุ ฉากของรูปสามเหลย่ี ม

8

รูปภาพที่ 3 ภาพแสดงความสัมพนั ธ์ทฤษฎบี ทพที าโกรัสและบทกลบั ทฤษฎีบทพีทาโกรสั
2. รปู สามเหลยี่ ม (triangle)

2.1 รูปสามเหลี่ยม (triangle) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือ รูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีมุม 3 มุม
หรือจดุ ยอดและมีด้าน 3 ด้านหรือขอบทเ่ี ป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลีย่ มทมี่ ีจดุ ยอด A,B, และ C
เขียนแทนดว้ ย ABC

รูปภาพท่ี 4 ภาพแสดงรูปสามเหลีย่ ม
คณุ สมบตั ิ
1) จุดทเ่ี สน้ ตรงพบกันเรยี กวา่ จดุ ยอด (หรอื จุดมมุ )
2) ดา้ นท่ีอยใู่ นแนวราบเรยี กว่า ฐาน
3) มุมที่อยู่ตรงข้ามกบั ฐานเรียกว่า มุมยอด
4) ผลบวกของดา้ น 3 ด้านเรียกว่า เส้นรอบรูป
5) การหาพื้นท่สี ามเหล่ยี ม = 1 x ความยาวของฐาน x ความสูง

2

2.2 รปู สามเหล่ียมด้านเทา่ (equilateral)

รูปภาพที่ 5 ภาพแสดงรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่

คณุ สมบตั ิ
1) มีด้านทุกดา้ นเท่ากัน
2) มมี ุมทุกมมุ ขนาดเท่ากนั

9

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular
polygon) กลา่ วคอื มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหล่ียมมีขนาดเทา่ กันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติท้ังสอง
รูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่ จงึ จัดเป็นรปู หลายเหลยี่ มปกติ (regular polygon) และเรยี กอกี ช่อื หนึง่ ได้ว่าเป็น
รปู สามเหลี่ยมปกติ

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความสมมาตรมากที่สุด คือมีสมมาตรแบบ
สะท้อนสามเส้น และสมมาตรแบบหมุนที่อันดับสามรอบศูนย์กลาง กรุปสมมาตรของรูปสามเหลี่ยมน้ี
จัดว่าเป็นกรุปการหมนุ รูปของอันดบั หก (dihedral group of order 6) หรอื D3

การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า สามารถหาได้จากการกำหนดให้ด้านหนึ่งเป็นฐานและ
ต้องสรา้ งส่วนสูงเพิ่มเตมิ พร้อมหาความสูง

รปู สามเหล่ยี มด้านเทา่ ท่ียาวด้านละ a หนว่ ย จะมสี ว่ นสูง (altitude) เทา่ กับ √3 a หนว่ ย
2

และมีพ้นื ท่ีเทา่ กับ √3 a2 ตารางหน่วย
4

2.3 รปู สามเหลยี่ มหนา้ จั่ว (isosceles)

รปู ภาพที่ 6 ภาพแสดงรูปสามเหลย่ี มหนา้ จั่ว

คณุ สมบัติ
1) มดี ้านสองดา้ นยาวเทา่ กนั
2) มมี มุ สองมมุ ขนาดเทา่ กนั คอื มมุ ท่ไี ม่ได้ประกอบด้วยด้านท่ีเท่ากนั ทง้ั สองด้าน

10

รปู ภาพท่ี 7 ภาพแสดงรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากหนา้ จ่ัว
คุณสมบตั ิ
1) มมี ุมหนึง่ เป็นมุมฉาก
2) มดี ้านประกอบมมุ ฉากยาวเท่ากัน

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว สามารถหาได้จากการกำหนดให้ด้านหน่ึง
เป็นฐานและอกี ดา้ นหน่งึ เป็นส่วนสูง ซึง่ หาได้จากสูตรการหาพน้ื ทข่ี องสามเหล่ยี มใด ๆ นนั่ คอื

การหาพ้ืนทส่ี ามเหล่ียม = 1 x ความยาวของฐาน x ความสูง
2

2.4 รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก (right, right-angled, rectangled)

รปู ภาพท่ี 8 ภาพแสดงรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
คณุ สมบตั ิ
1) มีมุมภายในมมุ หนง่ึ มีขนาด 90° (มมุ ฉาก)

➢ ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูป
สามเหลยี่ ม อีกสองด้านเรยี กวา่ ด้านประกอบมุมฉาก

➢ ความยาวดา้ นของรูปสามเหล่ยี มมุมฉากสัมพันธ์กนั ตามทฤษฎีบทพที าโกรสั นั่นคือ
กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองฃ

ของดา้ นประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างยอ่ เป็น c2 = a2 + b2

11

บทที่ 3

วิธีการดำเนินการ

ในการทำโครงงาน เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก คณะผจู้ ัดทำได้มขี ้ันตอนการทำโครงงาน ดังน้ี

1. คณะผู้จัดทำโครงงานประชุมและวางแผนแล้วทำโครงงาน (ตัวร่างบทคัดย่อ) เสนอต่อครูที่ปรึกษา
โครงงานเพอื่ ตรวจสอบความถูกตอ้ ง

2. คณะผู้จัดทำโครงงานเก็บรวบรวมข้อมูลที่เก่ยี วข้องจากแหล่งข้อมูลต่างๆ เช่น ห้องสมุด วารสาร ส่ือ
และส่งิ พมิ พ์รวมทงั้ ขอ้ มลู ทางอนิ เตอร์เน็ต

3. คณะผ้จู ัดทำโครงงานประชมุ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมลู ท่ีเก็บรวบรวมได้แล้วจดั สรรข้อมูลมา
เรียงลำดับเนอื้ หาและความสำคญั พร้อมกบั จำแนกข้อมูล

4. คณะผู้จัดทำโครงงานจัดพิมพ์ตัวร่างโครงงานและสื่อประกอบต่างๆนำเสนอครูที่ปรึกษาโครงงานเพ่ือ
ตรวจสอบความถูกตอ้ งและชแี้ นะ

5. คณะผู้จัดทำโครงงาน ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
พร้อมกบั ร่วมกันอภิปรายถงึ ข้อดีและข้อบกพร่องของโครงงาน
5.1 การสรา้ งสตู รการหาพื้นทีข่ องรูปสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ จากความยาวของด้าน
5.1.1 สรา้ งรูปสามเหลย่ี มด้านเทา่

A

BC

5.1.2 สรา้ งสว่ นสงู ของรปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า และหาความยาวของส่วนสูงจากความยาวของ
ดา้ นโดยใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

“สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย มีด้านประกอบมุม
ฉากยาว a และ b หน่วย จะไดว้ ่า c2 = a2 + b2”

12

กำหนดให้ความสูง = h A

h

B ดา้ น D C
2
หาความสงู ไดด้ ังน้ี
h2 = ดา้ น2 - (ด้าน)

h2

h = ดา้ น2 - ด้าน



= - ดา้ น ด้าน


= ดา้ น



= √ ดา้ น


5.1.3 สรา้ งสูตรการหาพื้นทข่ี องรูปสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ จากความยาวของดา้ น
สตู รการหาพื้นทข่ี องรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า = x ฐาน x สูง



= x ดา้ น x √ ด้าน



= √ ด้าน



13

5.2 การหาความสมั พนั ธ์ของพน้ื ท่ขี องรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ บนด้านทัง้ สามของรปู สามเหล่ยี ม
มมุ ฉาก
5.2.1 สร้างรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ให้ความยาวของด้านทกุ ด้านสมั พนั ธ์กบั ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

5.2.2 สรา้ งรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ บนดา้ นทง้ั สามของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก

5.2.3 คำนวณหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามรูปโดยใช้สูตรการหาพื้นที่ของรูป
สามเหลย่ี ม

5.2.4 ดำเนินกิจกรรมตามขอ้ 1 – 3 ซ้ำ โดยเปลีย่ นความยาวของด้านท้ังสามของรปู สามเหลีย่ ม
มุมฉากแต่ละกรณี 5 รปู และจดบันทึกผลในตาราง จากนั้นช่วยกนั สรปุ ความสัมพันธ์ของ
พื้นท่ขี องรูปสามเหลย่ี มด้านเท่าบนด้านทง้ั สามของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก

5.2.5 ตรวจสอบความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนด้านทั้งสามของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดา้ น
เท่า

5.2.6 สรุปความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก

14

5.3 การสร้างสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจากความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก

5.3.1 สรา้ งรปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่วั

5.3.2 สร้างส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และหาความยาวของส่วนสูงจากความยาวของด้าน
โดยใชท้ ฤษฎบี ทพที าโกรัส

“สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย มีด้านประกอบมุม

ฉากยาว a และ b หน่วย จะได้ว่า c2 = a2 + b2”

กำหนดให้ความสูง = h ha
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก = a
ความยาวฐาน = b b
2

= − ( )



= − ( )



= √ − ( )



5.3.3 สรา้ งสตู รการหาพ้ืนท่ขี องรปู สามเหลย่ี มหน้าจวั่ จากความยาวของดา้ น
สตู รการหาพืน้ ที่ของรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว = x ฐาน x สงู



= √ − ( )



15

5.4 การหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนด้านทั้งสามของรูป
สามเหล่ยี มมุมฉาก

5.4.1 สรา้ งรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก

5.4.2 สรา้ งรูปสามเหลย่ี มหนา้ จว่ั บนดา้ นทั้งสามของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

E

FC

AB

D

5.4.3 คำนวณหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วทั้งสามรูปโดยใช้สูตรการหาพื้นที่ของรูป
สามเหล่ียม

5.4.4 ดำเนินกิจกรรมตามข้อ 1 – 3 โดยเปลี่ยนความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุม
ฉากแต่ละกรณี 5 รูป และจดบันทึกผลในตาราง จากนั้นสรปุ ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรปู
สามเหล่ียมมุมฉากหน้าจว่ั ท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก

5.4.5 ตรวจสอบความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนด้านทั้งสามของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุม
ฉากหนา้ จั่ว

5.4.6 สรุปความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนด้านทั้งสามของรูป
สามเหล่ยี มมุมฉาก

16

6. คณะผจู้ ดั ทำโครงงานลงมือปฏิบตั ติ ามแผนทวี่ างไวแ้ ละจัดทำรูปเล่มเอกสารส่งครทู ีป่ รึกษา
7. คณะผู้จัดทำโครงงานนำเสนอผลการศึกษาโครงงานต่อที่ประชุมใหญ่เพื่อให้ผู้ชมสอบถามและตอบ

ขอ้ ซกั ถามพรอ้ มกบั ประเมินผลการทำงานของคณะผู้จัดทำโครงงาน

17

บทที่ 4
ผลการดำเนนิ การ

ในการหาความสัมพนั ธ์ของพ้ืนที่ของรูปเรขาคณิตโดยใช้ความยาวแตล่ ะด้านของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก
ที่นอกเหนือจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คณะผู้จัดทำโครงงานจึงได้จัดทำโครงงานความสัมพันธ์ของพื้นที่บนด้านท้ัง
สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งได้ทำการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตบนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและรูป
สามเหลีย่ มมมุ ฉากหนา้ จ่ัว มรี ายละเอยี ดและวธิ ีการ ดงั น้ี

จากการศกึ ษาพ้ืนท่รี ปู สามเหล่ียมด้านเทา่ และพนื้ ท่รี ปู สามเหลย่ี มมุมฉากหน้าจัว่ บนด้านทัง้ สามของรูป
สามเหลีย่ มมมุ ฉาก สามารถสรา้ งขอ้ สรุปได้วา่

1. สำหรับรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใด ๆ พนื้ ทข่ี องรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ บนด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก เทา่ กบั
ผลรวมพน้ื ที่สามเหลย่ี มด้านเทา่ บนดา้ นของดา้ นประกอบมุมฉาก

ดา้ น ด้าน ด้านตรง พ้นื ท่ี  ท่ี พ้ืนที่  ที่ ผลรวมของ พน้ื ที่  ทม่ี ี
มีด้านยาว ด้านยาว
รูปที่ ประกอบมุม ประกอบมุม ขา้ มมุมฉาก มีดา้ นยาว พ้นื ที่  ท่ีมี
ฉากยาว a ฉากยาว b ยาว c a b ด้านยาว a และ C
เซนตเิ มตร b เซนตเิ มตร เซนตเิ มตร
เซนตเิ มตร เซนตเิ มตร เซนตเิ มตร เซนติเมตร 10.825
6.928 10.825 73.177
1 3 4 5 3.897 62.352 73.177 270.625
249.408 270.625 592.777
2 5 12 13 10.825 530.425 592.777 364.153
190.953 364.153
3 7 24 25 21.217

4 12 35 37 62.352

5 20 21 29 173.2

ตารางที่ 2 พน้ื ทีข่ องรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ บนด้านทัง้ สามของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก

18

2. สำหรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากหน้าจั่วบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

เทา่ กับผลรวมพน้ื ที่สามเหลีย่ มมุมฉากหนา้ จว่ั ของดา้ นประกอบมุมฉาก

รปู ท่ี ด้าน ดา้ น ดา้ นตรง พนื้ ที่  ท่มี ี พ้นื ท่ี  ทม่ี ี ผลรวมของ พื้นท่ี  ท่ี
ประกอบ ประกอบ ขา้ มมุมฉาก ด้านยาว ดา้ นยาว มดี ้านยาว
มุมฉากยาว มุมฉากยาว พ้ืนที่  ทีม่ ี
ยาว a เซนตเิ มตร b เซนติเมตร ดา้ นยาว a และ c
a b c b เซนติเมตร เซนติเมตร
เซนติเมตร เซนตเิ มตร เซนตเิ มตร

1 3 4 5 4.50 8.00 12.50 12.50

2 5 12 13 12.50 72.00 84.50 84.50

3 7 24 25 24.50 288.00 312.50 312.50

4 12 35 37 72.00 612.50 684.50 684.50

5 20 21 29 200.00 220.50 420.50 420.50

ตารางท่ี 3 พืน้ ทขี่ องรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากหนา้ จั่วบนด้านท้งั สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ผลการศกึ ษา
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

มุมฉากหน้าจั่วบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีความสัมพันธ์สอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส
กล่าวคือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉากของ
สามเหลี่ยมมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลรวมพื้นที่ของรูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ และสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่อยู่
บนด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งสามารถนำความรู้นี้ไปใช้ในการเรียนการสอนได้จริงมีความน่าสนใจ ได้
ความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง โดยอาศัยหลักการทางคณิตศาสตร์ในเรื่องของ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ,สมบัติรูป
สามเหลย่ี มด้านเท่า ,สมบัตริ ปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ , การหาพ้ืนท่ีรูปเรขาคณติ ,การใชโ้ ปรแกรม GSP

19

บทที่ 5

สรุปผลการดำเนินการ/อภปิ รายผลการดำเนินการ

สรปุ ผลการดำเนินการ
พื้นที่ของรูปสามเหลีย่ มด้านเท่าบนด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

มุมฉากหน้าจั่วบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีความสัมพันธ์สอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส
กล่าวคือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉากของ
สามเหลี่ยมมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลรวมพื้นท่ีของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่อยู่บน
ด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งสามารถนำความรู้นี้ไปใช้ในการจัดการเรียนการสอนได้จริง เป็นการกระตุ้นให้
นักเรียนฝึกการสังเกต หาความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิต โดยอาศัยหลักการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง คือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ,สมบตั ริ ปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ,สมบัตริ ูปสามเหล่ยี มหน้าจ่วั , การหาพนื้ ทรี่ ูปเรขาคณิต

อภปิ รายผลการดำเนินการ
จากผลการศึกษาพบว่า ความสัมพันธ์ของพื้นท่ีรปู สามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้า

จั่วที่อยู่บนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความสัมพันธก์ ันตามความสัมพันธ์ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบน
ด้านทั้งสามของของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นการประยุกต์ความรู้ในเรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
รูปเรขาคณิต การหาพื้นที่ สามารถความสัมพันธ์ที่ได้นำไปใช้ได้จริง และสามารถนำความรู้ที่ได้ไปต่อยอดให้
เกิดประโยชน์ได้

ขอ้ เสนอแนะ
1. ควรมีการทดลองหาความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตในรูปแบบอื่น เช่น การหาความสัมพันธ์ของรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวอยู่บนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และด้านกว้างยาวเป็น
ครึ่งหนง่ึ ของดา้ นยาว หรอื การหาความสัมพันธ์ของพ้นื ท่ีของรูปเรขาคณิตที่คล้ายกันบนด้านทั้งสาม
ของรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก
2. การนำภาพที่ได้จากการหาความสัมพันธ์ไปต่อยอดในเรื่องการประยุกต์การแปลงทางเรขาคณิตใน
เรอ่ื ง เทสเซลเลชัน
3. นำความรู้ทไี่ ดไ้ ปต่อยอดการจัดกิจกรรมในรปู แบบ Coding

20

บรรณาณุกรม

เฉลมิ พงศ์ วราวรรโณทัย และวรกฤษณ์ ศุภพร.(2562) หนงั สือเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2. กรงุ เทพฯ : บรษิ ทั เสริร์น เอ็ดดเู คช่ัน จำกดั

สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2562). หนังสอื เรียน
รายวิชาคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน เลม่ 2 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2. พิมพ์ครง้ั ท่ี 2. กรงุ เทพฯ :
โรงพมิ พ์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. ปทมุ วนั .

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาการ. (2558). เสรมิ สรา้ งพลังคิด
คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2. กรงุ เทพฯ : บริษัท พัฒนาคณุ ภาพวชิ าการ (พว.) จำกดั .

สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2548). คมู่ อื อา้ งอิงและ
โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP). กรงุ เทพฯ : มปพ.

รปู สามเหล่ียม. ออนไลน์. เขา้ ถึงจาก https://th.wikipedia.org/wiki/รูปสามเหลยี่ ม. (วันทีค่ ้นข้อมูล :
14 มิถุนายน 2565).

สมบัติของรูปสามเหล่ียม. ออนไลน์. เข้าถึงจาก https://sites.google.com/site/ssawassitthichok37
/Triangle/treasures-of-the-triangle. (วนั ทค่ี ้นข้อมูล : 15 มถิ ุนายน 2565).

21

ภาคผนวก

22

ประวตั ผิ จู้ ดั ทำ

ชอื่ – นามสกลุ เด็กชายวิชากร ลงุ แกว้
ระดับการศึกษา มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
วัน เดอื น ปีเกดิ 5 มถิ นุ ายน 2551
สถานทต่ี ิดตอ่ โรงเรยี นวัดเวฬุวนั อำเภอสารภี จังหวัดเชยี งใหม่
ที่อยู่ บ้านเลขที่ 85/1 หมู่ที่ 3 ตำบลดอนแก้ว อำเภอสารภี
จงั หวดั เชียงใหม่
บดิ า นายส่ายยอ ลงุ ติ
มารดา นางหล้า ลุงติ

23

ประวัตผิ ้จู ัดทำ

ช่อื – นามสกุล เด็กหญิงทวีพร ปนั แปง
ระดับการศึกษา มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
วัน เดือน ปีเกิด 13 กันยายน 2551
สถานท่ตี ิดต่อ โรงเรียนวดั เวฬวุ ัน อำเภอสารภี จงั หวดั เชยี งใหม่
ทอี่ ยู่ 106/2 หม่ทู ่ี 8 ตำบลยางหนองผึง้ อำเภอสารภี
จงั หวัดเชียงใหม่
บิดา นายผดั ปันแปง
มารดา นางรอด ลุงป่าง

24

ประวัติผูจ้ ัดทำ

ชือ่ – นามสกลุ เด็กหญงิ อาทติ ยา มบี ุญ
ระดับการศกึ ษา มธั ยมศึกษาปที ี่ 2
วนั เดอื น ปเี กิด 16 พฤศจิกายน 2551
สถานท่ตี ดิ ตอ่ โรงเรยี นวัดเวฬุวนั อำเภอสารภี จังหวดั เชยี งใหม่
ทอ่ี ยู่ 137 หมทู่ ่ี 2 ตำบลสารภี อำเภอสารภี
จงั หวดั เชียงใหม่
บดิ า นายแซม จำจริง่
มารดา นางกิ่งแกว้ มบี ญุ

25

ประมวลภาพการจัดทำโครงงาน

26

ตารางแสดงความสัมพันธ์ของพนื้ ทีร่ ปู สามเหล่ียมด้านเทา่ บนด้านตรงข้ามมุมฉาก เทา่ กับผลรวมพ้นื ที่
สามเหล่ยี มด้านเท่าบนดา้ นของด้านประกอบมุมฉาก

ด้าน ดา้ น ด้านตรง พน้ื ท่ี  ท่ี พน้ื ที่  ท่มี ี ผลรวมของ พ้นื ท่ี  ที่มี
ประกอบมุม ข้ามมุมฉาก มดี า้ นยาว ด้านยาว พ้นื ท่ี  ทีม่ ี ด้านยาว
รูปที่ ประกอบมุม ฉากยาว b ด้านยาว a และ c เซนติเมตร
ฉากยาว a เซนติเมตร ยาว c a b เซนติเมตร b เซนติเมตร
เซนติเมตร เซนติเมตร 10.825
เซนตเิ มตร 4 6.928 10.825 73.177
12 5 3.897 62.352 73.177 270.625
13 24 13 10.825 249.408 270.625 592.777
35 25 21.217 530.425 592.777 364.153
25 21 37 62.352 190.953 364.153 1829.478
63 29 173.200 1718.627 1829.478 43.301
37 8 65 110.851 27.713 43.301 97.428
12 10 15.588 62.354 97.428 6,765.824
4 12 117 15 35.074 5,927.511 6,765.824 3,128.517
77 125 838.313 2,567.332 3,128.517
5 20 85 561.185

6 16

76

89

9 44

10 36

27

ตารางแสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวม
พน้ื ที่สามเหลยี่ มมมุ ฉากหน้าจ่วั ของด้านประกอบมุมฉาก

ด้าน ด้าน ดา้ นตรง พน้ื ท่ี  ทมี่ ี พื้นที่  ทม่ี ี ผลรวมของ พน้ื ที่  ทม่ี ี
ด้านยาว ดา้ นยาว พื้นที่  ทม่ี ี ด้านยาว
รปู ท่ี ประกอบ ประกอบ ขา้ มมุมฉาก a หนว่ ย b หนว่ ย ดา้ นยาว a และ c หนว่ ย
มุมฉากยาว มุมฉากยาว ยาว c b หนว่ ย
4.500 8.000 12.500
a หนว่ ย b หนว่ ย หนว่ ย 12.500 72.000 12.500 84.500
24.500 288.000 84.500 312.500
13 4 5 72.000 612.500 312.500 684.500
200.000 220.500 684.500 420.500
2 5 12 13 128.000 1,984.500 420.500 2,112.500
18.000 32.000 2,112.500 50.000
3 7 24 25 40.500 72.000 50.000 112.500
968.000 6,844.500 112.500 7,812.500
4 12 35 37 648.000 2,964.500 7,812.500 3,612.500
3,612.500
5 20 21 29

6 16 63 65

7 6 8 10

8 9 12 15

9 44 117 125

10 36 77 85

28
ตัวอย่างการสร้างรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ บนดา้ นของสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยใชโ้ ปรแกรม GSP

29
ตัวอยา่ งการสร้างรปู สามเหล่ียมมุมฉากหนา้ จ่วั บนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใชโ้ ปรแกรม GSP