SPLDV dan SPLTV

A. KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Bentuk umum persamaan linear dua variabel:
+ =

Dengan , ∈ ℝ

Gabungan beberapa persamaan linear dua variabel disebut sistem persamaan linear dua
variabel (SPLDV).
Bentuk umumnya:

1 + 1 = 1
2 + 2 = 2

1; 1; 1 ∈ ℝ; = 1 2, serta 1 1keduanya tidak nol.

Cara menyelesaikan SPLDV dapat menggunakan metode-metode berikut ini.

a. Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar

grafik dari masing-masing persamaan pada bidang cartesius kemudian menganalisis

titik potong kedua persamaan garis tersebut. Terdapat 3 kemungkinan penyelesaian

SPLDV, di antaranya:

1) SPLDV mempunyai satu himpunan penyelesaian atau kedua garis

berpotongan jika dan hanya jika

1 ≠ 1
2 2

2) SPLDV tidak mempunyai penyelesaian atau kedua garis sejajar jika dan

hanya jika

1 = 1 ≠ 1
2 2 2

3) SPLDV mempunyai banyak penyelesaian atau kedua garis berimpit jika dan

hanya jika

1 = 1 = 1
2 2 2

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan 2 + 2 = 4 3 + = 6 adalah....
Pembahasan:
Langkah 1:
Tentukan dua titik yang dilalui oleh kedua persamaan garis tersebut. Dengan menentukan
titik potong sumbu -x dan sumbu y, ambil nilai = 0 dan = 0, kemudian substitusikan
pada persamaan 2 + 2 = 4 secara bergantian sehingga diperoleh pasangannya. Hasilnya
masukan padxa tabel berikut:
x 02
y 20
( , ) (0,2) (2,0)
Begitu juga dengan persamaan 3 + = 6 pada tabel berikut:
x 02
y 60
( , ) (0,6) (2,0)
Langkah 2:
Sketsakan kedua persamaan tersebut pada koordinat kartesius lalu tentukan titik potongnya.
Titik potong tersebut merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

Berdasarkan sketsa di atas, titik potongnya adalah (2,0). Jadi penyelesaiannya adalah = 2
dan = 0.

b. Metode Substitusi
Diketahui SPLDV seperti berikut:

1 + 1 = 1
2 + 2 = 2
Langkah-langkah penyelesaian SPLDV diatas menggunakan metoode substitusi adalah
sebagai berikut:
1) Ubahlah bentuk 1 + 1 = 1 menjadi x=.... dan y=....
2) Tentukan penyelesaian nilai x atau y dengan mensubstitusikan x=... atau y=.... ke
persamaan lainnya.
3) Substitusikan penyelesaian (nilai x atau y) ke persamaan semula untuk memperoleh
nilai variabel lain sehingga diperoleh HP = {( 1, 1)}.

Contoh:

Umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari. Sedangkan jumlah umur mereka adalah 43
tahun. Berapakah umur masing-masing …

Pembahasan:

Diketahui: umur sani 7 tahun lebih tua dari umur ari. Jumlah umur mereka adalah 43.

Ditanyakan: berapakah umur masing-masing?

Misal:

Umur Sani = x

Umur Ari = y

Maka:

= 7 + ... Persamaan 1
+ = 43 ... persamaan 2
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan ke-2:

+ = 43 Substitusikan nilai = 18 ke persamaan 1:
7 + + = 43
7 + 2 = 43 = 7 +
2 = 43 − 7
2 = 36 = 7 + 18

= 36 = 25
Maka masing-masing umur Sani dan Ari yaitu
2 25 tahun dan 18 tahun

= 18

c. Metode Eliminasi
Penyelesaian SPLDV menggunakan metode eliminasi adalah dengan menghapus atau
menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan tersebut. Misal, variabel dalam
persamaan adalah a dan b, nah untuk mencari nilai a, kita harus menghilangkan b terlebih
dahulu, begitu juga sebaliknya.

Contoh:

Harga salak 2 kg dan 3 kg jeruk adalah RP.32.000,00, sedangkan harga salak 3 kg dan 2 kg
jeruk adalah RP.33.000,00. Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah…

Pembahasan:

Diketahui: harga 2kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp 32.000,00. Harga 3 kg salak dan 2
kg jeruk adalah Rp 33.000,00.
Ditanyakan: berapa harga 1 Kg salak dan 5 Kg jeruk?
Misal:
Salak =
Jeruk = b
Maka:
2 + 3 = 32.000 ... (i)
3 + 2 = 33.000 ... (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan persamaan (ii) untuk menghilangkan variabel :

2 + 3 = 32.000 × 3 6 + 9 = 96.000

3 + 2 = 33.000 × 2 6 + 4 = 66.000 −

5 = 30.000
30.000

= 5
= 6.000
Eliminasikan persamaan (i) dan persamaan (ii) untuk menghilangkan variabel b:

2 + 3 = 32.000 × 2 4 + 6 = 64.000

3 + 2 = 33.000 × 3 9 + 6 = 99.000 −

−5 = −35.000
−35.000

= −5
= 7.000
Harga 1 Kg salak+5 Kg jeruk:

= 1(6.000) + 5(7.000)

= 6.000 + 35.0000

= 41.000

d. Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)
SPLDV diselesaikan dengan terlebih dahulu mengeliminasi (menghilangkan) salah satu
variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan linear.
Kemudian agar lebih mudah menentukan variabel lainnya, gunakan cara substitusi.

Contoh:
Ibu membeli 3 ember dan I panci dengan harga Rp 50.000,-. Di toko yang sama Ani
membeli 1 ember dan 2 panci dengan harga Rp 65.000,-. Berapakah harga untuk 1 ember
dan 1 panci ?
Pembahasan:
Diketahui: 3 ember dan I panci dengan harga Rp 50.000,00. 1 ember dan 2 panci dengan
harga Rp 65.000,00.
Ditanyakan: Berapakah harga untuk 1 ember dan 1 panci ?
Misal:
Ember: p
Panci: q
Maka:
3 + = 50.000 ... (i)
+ 2 = 65.000 ... (ii)

Eliminasikan persamaan (i) dan (ii) untuk menghilangkan variabel p:
3 + = 50.000 × 1 3 + = 50.000
+ 2 = 65.000 × 3 3 + 6 = 195.000 –

−5 = −145.000
−145.000
= −5

= 29.000
Substitusikan q=29.000 ke persamaan (i) atau (ii):
3 + = 50.000
3 + 29.000 = 50.000

3 = 50.000 − 29.000
3 = 21.000
= 7.000
Jadi harga 1 ember= Rp 7.000,00 dan harga 1 panci = Rp 29.000,00.

URAIAN MATERI

Di SMP kamu sudah mempelajari tentang sistem persamaan linear dua variabel
(SPLDV). Kamu sudah tau cara menyelesaikan SPLDV dengan cara eliminasi, substitusi,
gabungan eliminasi substitusi, serta metode grafik. Pada bab ini kita akan mempeljari lagi
sistem persamaan linear , tetapi lebih berkembang lagi menjadi sistem persamaan linear tiga
variabel.

Dalam mempelajari sistem persamaan linear tiga variabel, kamu akan banyak
berhubungan dengan bentuk-bentuk aljabar yang harus disederhanakan. Karena itu sikap
kreatif dan pantang menyerah perlu dikembangkan. Selain itu pemahaman terhadap konsep
SPLDV akan sangat membantumu dalam menyelesaikan dan memahami sistem
persamaan linear tiga variabel.

A. KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Pernahkah kamu dan temanmu membeli dua barang yang sama dengan jumlah yang
berbeda? Dengan menggunakan konsep sistem persamaan linear, kamu
dapatmenentukan harga satuan masing-masing barang tersebut, amati problem solving
berikut:

Disebuah toko, Dini membeli 3 barang A dan 2 Barang B dengan harga Rp 39.000,00.
Sedangkan vitamembeli 2 barang A dan 5 barang B seharga Rp 59.000,00. Nia
jugamembeli sebuah barang A dan sebuah barang B. Berapa rupiah yang harus
dibayarkan oleh Nia?

Penyelesaian:

Permasalahan diatas terlebih dahulu diterjemahkan kedalam kalimat matematika

(model matematika), kemudian diselesaikan denganmetode gabungan eliminasi

substitusi. Ikuti langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan permasalahan diatas:

Langkah 1: membuat model matematika

Misal: Harga barang A= x

Harga barang B= y
Dini membeli 3 barang A dan 2 barang B seharga Rp 39.000,00

3 + 2 = 39.000

Vita membeli 2 barang A dan 5 barang B seharga Rp 59.000,00

2 + 5 = 39.000

SPLDV yang mewakili permasalahan tersebut adalah sebagai berikut:

3 + 2 = 39.000

2 + 5 = 59.000
Langkah 2: mencari penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode gabungan
eliminasi substitusi.
3 + 2 = 39.000 x2 6 + 4 = 78.000
2 + 5 = 59.000 x3 6 + 15 = 177.000

−11 = −99.000
= 9.000

Substitusi = 9.000 kedalam persamaan 3 + 2 = 39.000 atau 2 + 5 = 59.000
untuk memperoleh nilai variabel x.
3 + 2 = 39.000 → 3 + 2(9.000) = 39.000

3 + 18.000 = 39.000
3 = 39.000 − 18.000
3 = 21.000
= 7.000

Diperoleh nilai = 7.000 dan = 9.000
Jadi untuk membeli sebuah barang A dan B berturut-turut, Nia harus membayar Rp
7.000,00 dan Rp 9.000,00

Pada soal cerita diatas terdapat dua barang yang dicari harga satuannya dengan
menggunakan konsep SPLDV. Bagaimana jika ada 3 barang yang dicari harga
satuannya? Maka disinilah digunakan konsep sistem persamaan linear tiga variabel
(SPLTV).

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel (SPLTV):
+ + =
+ + =
+ ℎ + =

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, l adalah
bilangan Real.

Aira, Bena dan Cila bersama-sama pergi ke toko buah. Aira membeli 2 kg mangga,
2 kg jeruk, dan 1 kg anggur harus membayar Rp 70.000,00. Bena membeli 1 kg
Mangga, 2 kg jeruk, 2 kg anggur harus membayar Rp 90.000,00. Cilla membeli 2 kg
mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg angggur harus membayar Rp 130.000,00. Tentukan
harga per kg mangga, jeruk dan anggur.

Penyelesaian:
Langkah 1: membuat model matematika
misalkan : x = harga per kg mangga

y = harga per kg jeruk
z = harga per kg anggur

x y z Harga (Rp)
2
Aira 1 21 70.000
Bena 2
Cila 22 90.000

23 130.000

Model matematika dari permasalahan tersebut:
2 + 2 + = 70.000 .... (i)
+ 2 + 2 = 90.000 .... (ii)
2 + 2 + 3 = 130.000 .... (iii)

Langkah 2: mencari penyelesaian SPLTV menggunakan metode gabungan

eliminasi substitusi.

Eliminasi persamaan (i) dan (ii) untuk menghilangkan variabel y:

2 + 2 + = 70.000 .... (i)

+ 2 + 2 = 90.000 .... (ii)

− = −20.000 .... (iv)

Eliminasi persamaan (ii) dan (iii) untuk menghilangkan variabel y:

+ 2 + 2 = 90.000 .... (ii)

2 + 2 + 3 = 130.000 .... (iii)

− − = −40.000 .... (v)

Eliminasi persamaan (iv) dan (v) untuk menghilangkan z dan memperoleh nilai x:

− = −20.000 .... (iv)

− − = −40.000 .... (v)

2 = 20.000

= 10.000

Substitusikan nilai x ke persamaan (iv) unuk memperoleh nilai z:

− = −20.000

10.000 − = −20.000

− = −20.000 − 10.000

= 30.000

Substitukan nilai x dan z ke persamaan (i) untuk memperoleh nilai y:

2 + 2 + = 70.000

2(10.000) + 2 + 30.000 = 70.000

20.000 + 2 + 30.000 = 70.000

2 + 50.000 = 70.000

2 = 70.000 − 50.000

2 = 20.000

= 10.000

Jadi harga per kg mangga, jeruk dan anggur adalah Rp 10.000,00, Rp 10.000,00 dan
Rp 30.0000,00

B. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Banyak permasalahan dalam keseharian yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
benntuk persamaan linear. Dalam hal ini, kita dituntut untuk menerjemahkan soal cerita atau
informasi ilmiah kedalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan linear. Untuk
lebih jelasnya perhatikan permasalahan berikut:

Resty mempunyai pita hias berwarna merah, ungu dan kuning. Jumlah panjang ketiga
pita hias tersebut adalah 275 cm. Panjang pita ungu 5 cm kurangnya dari panjang pita
kuning. Panjang pita kuning 20 cm lebih lebihnya dari panjang pita merah. Jika pita
kuning dipakai sepanjang 35 cm, maka tentukan panjang pita kuning yang tersisa!

Penyelesaian:

Misalkan pita merah, ungu dan kuning adalah M, U dan K.
Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah 275 cm:
⇒ + + = 275…. (i)
Panjang pita ungu 5 cm kurangnya dari panjang pita kuning:
⇒ = − 5…. (ii)
Panjang pita kuning 20 cm lebih lebihnya dari panjang pita merah:
⇒ = + 20
⇒ = − 20…. (iii)
Maka:
+ + = 275…. (i)
= − 5…. (ii)
= − 20…. (iii)

Substitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i):
+ + = 275
( − 20) + ( − 5) + = 275
3 − 25 = 275
3 = 275 + 25
3 = 300
= 100

Jadi panjang pita kuning adalah 100 cm. Karena pita kuning sudah di pakai sepanjang
35 cm, maka sisa panjang pita kuning adalah 100 − 35 = 65 .

Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah
angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai
bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan
13. Carilah pertama dan ketiga!
Penyelesaian:
Misalkan: a= bilangan pertama
b= bilangan kedua
c= bilangan ketiga

Membuat model matematika:
Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16:
⇒ + + = 16 …. (i)

Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua:

⇒ + = − 2
⇒ + − = −2…. (ii)
Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah
dengan 13:

⇒ 100 + 10 + = 21( + + ) + 13

⇒ 100 + 10 + = 21 + 21 + 21 + 13

⇒ 100 − 21 + 10 − 21 + − 21 = 13
⇒ 79 − 11 − 20 = 13… (iii)

Sehingga model matematika:
+ + = 16 …. (i)
+ − = −2…. (ii)
79 − 11 − 20 = 13… (iii)

Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
+ + = 16
+ − = −2
2 = 18
= 9

Eliminasi persamaan (i) dan (iii):

+ + = 16 x11 11 + 11 + 11 = 176

79 − 11 − 20 = 13 x1 79 − 11 − 20 = 13

90 − 9 = 189 …. (iv)

Substitusikan nilai c ke persamaan (iv):
90 − 9 = 189
90 − 9(9) = 189
90 − 81 = 189
90 = 189 + 81
90 = 270
= 3

Sehingga bilangan pertama dan ketiga adalah 3 dan 9.