ความน่าจะเป็น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

น า ง ส า ว ป ภ า ว ริ น ท ร์ สุ ท ธิ ป ร ะ เ ส ริ ฐ
ม . 4 / 6 เ ล ข ที่ 2 5

ความน่าจะเป็น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ห ม า ย ถึ ง จำ น ว น ที่ แ ส ด ง ใ ห้
ท ร า บ ว่ า เ ห ตุ ก า ร ณ์ ใ ด เ ห ตุ ก า ร ณ์ ห นึ่ ง มี
โ อ ก า ส ที่ จ ะ เ กิ ด ขึ้ น ม า ก น้ อ ย เ พี ย ง ใ ด

กฎพื้นฐานที่ใช้ในการคิด กฎการคูณ

ทำงานให้เสร็จมีขั้นตอนย่อยนำ
แต่ละขั้นตอนมาคูณกัน= วิธีทั้งหมด

กฎการบวก

ทำงานให้เสร็จมีหลายแบบนำแต่ละ
วิธีมาบวกกัน= วิธีทั้งหมด

แฟกทอเรียล

แฟคทอเรียลของ n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า แฟคทอเรียลเอ็น
หรือ เอ็นแฟคทอเรียล ซึ่งมีนิยามดังนี้

นิยาม แฟคทอเรียลของ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
คือ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……..3.2.1

ex.

ข้อสังเกต : n! = n x (n – 1)!
เช่น 8! = 8 x 7!
5! = 5 x 4!

การเรียงสับเปลี่ยน

คือการเรียงสิ่งของโดยคำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่
ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยามที่ว่า "ถ้า n
เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n

โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมด
นั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n)

นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย
Pn,r = n!
(n - r)!

Ex. มีสมุดที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำสมุดมา 4 เล่ม
เพื่อจัดเรียงเป็ นเเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี

วิธี เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้ งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ nk

กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็น

กลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!

n1!n2!n3!....nk!

ex.

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งจะเท่ากับ
(n-1)! วิธี

วิธีการจัดหมู่

วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกมาเป็นหมู่หรือชุด
โดยไม่คำนึงเเต่อย่างใดว่าจะได้สิ่งใดออกมาก่อนหรือหลัง

กำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งนั้น โดย
เลือกคราวละ r สิ่ง (โดย 10≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้
Cn.r วิธีโดย

Cn,r = n!
(n - r)!r!

คำตอบ
จำนวนที่เลือกนักเรียน 4 คนจาก 12 คนนั้นมีทั้งหมด 495 วิธี

1. ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตรสองคนมาครอบครัวหนึ่ง แล้วจงหาความน่า
จะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนั้น

1. มีบุตรคนแรกเป็นหญิง บุตรคนที่สองเป็นชาย
2. ไม่มีบุตรชายเลย
3. มีบุตรเป็นชายมากกว่า 1 คน
4. มีบุตรเป็นหญิงอย่างน้อย 1 คน
5. มีบุตรชาย 1 คน บุตรหญิง 1 คน
6. มีบุตรชาย 3 คน

2.อำเภอหนึ่งมี 6 ตำบล แต่ละตำบลส่งผู้แทนตำบลละ 2 คน เป็นชาย
หนึ่งคนหญิงหนึ่งคน ถ้าต้องการคัดเลือกกรรมการ 4 คน โดยต้องเป็น

ชาย 2 คน หญิง 2 คน และจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งคู่ที่มาจากตำบล
เดียวกัน เลือกมีวิธีคัดเลือกได้แตกต่างกันกี่วิธี

3.สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีขาว 5 ลูกจง
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว
2) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิด
ขึ้นอาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูก
ต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทำการทดลอง ผลที่เกิดขึ้น
จากการทดลองจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไป
ได้เหล่านั้น เช่น

การสับไพ่สำรับหนึ่งซึ่งมีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ ถ้าดึงออกมา
หนึ่งใบจะไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าไพ่ใบนั้นเป็นไพ่

ใบใด การดึงไพ่จากสำรับจึงเป็นการทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง จะมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเสมอ
และอาจมีได้แตกต่างกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านั้นมี
อะไรบ้าง หาได้จากการแจงนับ เช่น

โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น คือ หัว หรือ ก้อย



โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

เหตุการณ์

เหตุการณ์ หมายถึง ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากผลลัพธ์
ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม

ex.

สุ่มหยิบสลาก 2 ใบ จากในกล่องที่บรรจุสลาก 3 ใบ ซึ่งมีหมาย 1, 2 และ 3
ตามลำดับ จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะได้ผลบวกของสลากสองใบ
เท่ากับ 5 เมื่อกำหนดการทดลองสุ่มดังนี้
1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน
2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง
3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง
วิธีทำ 1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิด
ขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 3 แบบ คือ (1, 2), (1, 3) หรือ (2, 3)
เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 1 แบบ คือ (2, 3)
2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง จะได้ผลลัพธ์
ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 6 แบบ คือ (1, 2), (1, 3), (2,
1), (2, 3), (3, 1) หรือ (3, 2)
เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ
(3, 2
3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบทีสอง จะได้ผลลัพธ์
ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 9 แบบ คือ (1, 1), (1, 2), (1, 3),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) หรือ (3, 3)
เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ
(3, 2)

1.โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน จงหา
ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ
2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ
3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ
4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3
เหรียญ

2.มีอมยิ้มอยู่ 3 สี สีละ 1 ลูก คือ สีเหลือง สีส้ม และสีเขียว
ใส่อมยิ้มทั้งหมดลงในกล่อง แล้วสุ่มหยิบอมยิ้ม 2 ลูก จงหา
ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะหยิบได้อมยิ้มสีเดียวกัน เมื่อ
กำหนดการทดลองสุ่มดังนี้
1) หยิบอมยิ้ม 2 ลูก พร้อมกันโดยไม่ดู
2) หยิบครั้งละ 1 ลูก โดยไม่ใส่คืน

3.จากการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงตอบ
คำถามต่อไปนี้
1) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7
2) ผลของการทอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1
3) เหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน

GOOD LUCK!!!!!