ความน่าจะเป็น

นายอัครพนธ์ เทียนเย็น
เลขที่16 ม.4/6

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้
ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง มีโอกาสเกิดขึ้น
มากหรือน้อยเพียงใด

แฟกทอเรียล

แฟคทอเรียลของ n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า แฟคทอเรียลเอ็น
หรือ เอ็นแฟคทอเรียล ซึ่งมีนิยามดังนี้

นิยาม แฟคทอเรียลของ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
คือ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……..3.2.1

ex.

การเรียงสับเปลี่ยน

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดย
คำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บท
นิยามที่ว่า "ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial)
n โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราว
ละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย
Pn,r = n!
(n - r)!

ex.

วิธี เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้ งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม

(โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ* จำนวน

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!

n1!n2!n3!....nk!

ex.

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งจะเท่ากับ

(n-1)! วิธี

ex.

วิธีการจัดหมู่

วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็ นการเลือกสิ่ งของออกมาเป็ นหมู่หรือชุดโดยไม่คำนึงเเต่
อย่างใดว่าจะได้สิ่ งใดออกมาก่อนหรือหลัง

กำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่ งของที่เเตกต่างกัน n สิ่ งนั้น โดยเลือกคราวละ r สิ่ ง
(โดย 10≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Cn.r วิธีโดย

Cn,r = n!
(n - r)!r!

ex.




คำตอบ
จำนวนที่เลือกนักเรียน 4 คนจาก 12 คนนั้นมีทั้งหมด 495 วิธี

สรุปทฤษฎีความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์

ถ้า S แทนแซมเปิลสเปซ E แทนเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิลสเปซ
จะได้

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. P(E) = 1 เมื่อ n(E) = n(S)
3. P(Φ) = 0 เมื่อไม่มีเหตุการณ์ที่สนใจ

1. ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตรสองคนมาครอบครัวหนึ่ง แล้วจงหาความน่าจะ
เป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนั้น

1. มีบุตรคนแรกเป็นหญิง บุตรคนที่สองเป็นชาย
2. ไม่มีบุตรชายเลย
3. มีบุตรเป็นชายมากกว่า 1 คน
4. มีบุตรเป็นหญิงอย่างน้อย 1 คน
5. มีบุตรชาย 1 คน บุตรหญิง 1 คน
6. มีบุตรชาย 3 คน

2.โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อ
ไปนี้
1) เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวมากกว่าออกก้อย
2) เหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยติดต่อกัน
3) เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ

3.สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีขาว 5 ลูกจง
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว
2) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิด
ขึ้นอาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูก
ต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทำการทดลอง ผลที่เกิดขึ้น
จากการทดลองจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไป
ได้เหล่านั้น เช่น

การสับไพ่สำรับหนึ่งซึ่งมีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ ถ้าดึงออกมา
หนึ่งใบจะไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าไพ่ใบนั้นเป็นไพ่

ใบใด การดึงไพ่จากสำรับจึงเป็นการทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง จะมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเสมอ
และอาจมีได้แตกต่างกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านั้นมี
อะไรบ้าง หาได้จากการแจงนับ เช่น

โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น คือ หัว หรือ ก้อย



โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

เหตุการณ์

เหตุการณ์ หมายถึง ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากผลลัพธ์
ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม

ex.

สุ่มหยิบสลาก 2 ใบ จากในกล่องที่บรรจุสลาก 3 ใบ ซึ่งมีหมาย 1, 2 และ 3 ตาม
ลำดับ จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะได้ผลบวกของสลากสองใบเท่ากับ 5
เมื่อกำหนดการทดลองสุ่มดังนี้
1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน
2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง
3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง
วิธีทำ 1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจาก
การทดลองสุ่มมี 3 แบบ คือ (1, 2), (1, 3) หรือ (2, 3)
เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 1 แบบ คือ (2, 3)
2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง จะได้ผลลัพธ์
ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 6 แบบ คือ (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2,
3), (3, 1) หรือ (3, 2)
เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ (3, 2
3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบทีสอง จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมด
ที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 9 แบบ คือ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2,
2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) หรือ (3, 3)
เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ (3,
2)

1.โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน จงหา
ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ
2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ
3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ
4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3
เหรียญ

2. โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ
หน้าของเหรียญที่ขึ้น จงหา

ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ
ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน

3.ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่ได้จงหา

ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4
ข. เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน

4.หยิบลูกปิงปอง 1 ลูกจากขวดโหลดังรูป ลูก
ปิงปองที่หยิบได้อาจเป็นลุกปิงปองสีแดง เขียว ฟ้า
หรือเหลือง