modul

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu

iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv
bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwe
rtyuiopasdfghMjOkDlUzLxMcAvTEbMnAmTIKqA wertyuiopa

sdfghjklzxcPvERbPAnNmGKAqTAwN DeANrBtEyNTuUKioAKpARasdfghjklz
xcvbnmqwertyuUNiTUoK SpMP/aMTssKEdLASfVgII hjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio
pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj
klzxcvbnmqwertRyIDCIHSuUASTUiUNLoOALSMEpHA;Hasdfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasd1f914g410h000j5k/ 3Al1zxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrty

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw
ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl
zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm

TINJAUAN PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

A. Dekripsi Mata Pembelajaran
Pada modul ini akan menjelaskan dan menyelesaikan materi Perpangkatan

dan pengakaran bilangan rasional, adapun sub-Bab nya adalah:
1. Pengertian Bilangan rasional
2. Perpangkatan

a. Pengertian Perpangkatan
b. Sifat-Sifat Perpangkatan
3. Pengakaran
a. Pengertian Pengakaran
b. Sifat-Sifat Pengakaran

B. Kegunaan Mata Pelajaran

Dalam materi perpangkatan dan pengakaran oleh bilangan rasional, materi ini
untuk mengetahui sejauh mana kemampuan anak dalam memahami penyelesaian
perpangkatan dan pengakaran bilangan. Anak didik memerlukan matematika untuk
memenuhi kebutuhan praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-
hari. Misalnya, dapat berhitung, dapat menghitung isi dan berat, dapat
mengumpulkan, mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, dapat menggunakan
kalkulator dan komputer. Selain itu, agar mampu mengikuti pelajaran matematika
lebih lanjut, membantu memahami bidang studi lain seperti fisika, kimia, arsitektur,
farmasi, geografi, ekonomi, dan sebagainya, dan agar para siswa dapat berpikir logis,
kritis, dan praktis, beserta bersikap positif dan berjiwa kreatif. Akar pangkat
merupakan bagian dari perhitungan matematika, jadi akar pangkat juga bermanfaat
untuk kehidupan sehari-hari. Contohnya dalam pembuatan sistem kelistrikan, tidak
akan pernah lepas dari akar pangkat

C. Kompetensi Dasar Indicator pencapaian kompetensi
3.1.1 Menentukan hasil pangkat positif,
Kompetensi Dasar pangkat negatif, pangkat nol, bentuk akar
3.1 Menjelaskan dan melakukan 3.1.2 Menentukan hasil operasi bilangan
berpangkat
operasi bilangan berpangkat
bilangan rasional dan bentuk
akar, serta sifat-sifatnya

4.1 Menyelesaikan masalah yang 4.1.1 Menyelesesaikan masalah yang
berkaitan dengan sifat-sifat berkaitan dengan pangkat negatif, pangkat
operasi bilangan berpangkat nol, bentuk aljabar
bulat dan bentuk akar 4.1.2 menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan operasi bilangan berpangkat

D. Bahan Pendukung
a. Buku pegangan guru
b. LKS
c. Buku Mata pelajaran
d. Handphone

e. Laptop
f. Lembar latihan soal
g. Lembar penilain soal

E. Petunjuk Belajar
Alat belajar:
- Handphone
- Alat tulis

Langkah- Langkah Pembelajaran
1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari uraian materi, contoh soal, dan

soal yang terdapat dalam modul
2. Laksanakan semua tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi anda

berkembang dengan baik
3. Apabila ada soal latihan kerjakan soal soal tersebut dengan latihan untuk

persiapan tes evaluasi
4. Perhatikan langkah langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudahkan

dalanm memahami perbandingan
5. Kerjakan soal soal pad tes evaluasi agar bisa terlihat seberapa pemahamanmu

untuk materi ini.

PENDAHULUAN

Deskripsi
Dalam modul ini siswa dapat mempelajari tentang bilangan pangkat bulat positif,

negatif, rasional, bentuk akar, merasionalkan penyebut, menentukan persamaan pangkat,
dan menentukan nilai logaritma.

Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-

dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.

Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu siswa lakukan adalah

sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang
ada. Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan,kembalilah mempelajari
materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika menemui kesulitan dalam
mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. jika mempunyai kesulitan yang tidak dapat dipecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain
yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain,
anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

Indicator pencapaian kompetensi

3.1.1 Menentukan hasil pangkat positif,
pangkat negatif, pangkat nol, bentuk akar
3.1.2 Menentukan hasil operasi bilangan
berpangkat

4.1.1 Menyelesesaikan masalah yang
berkaitan dengan pangkat negatif, pangkat
nol, bentuk aljabar
4.1.2 menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan operasi bilangan berpangkat

Deskripsi perilaku awal
Di dalam modul ini memuat materi perpangkatan dan bentuk akar, dimana siswa
hendaknya telah paham tentang penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan

bentuk aljabar.

Urutan modul
i. Pangkat dan akar
ii. Operasi bilangan berpangkat

Tujuan akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat :
➢ Menghitung bilangan pangkat bulat positif dan negative
➢ Menghitung bilangan pangkat rasional
➢ Menentukan bentuk akar
➢ Merasionalkan penyebut
➢ Menentukan persamaan pangkat

Bilangan

B Berpangkat

dan Bentuk
Akar

ab 5 Kompetensi Inti
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan

(faktual, konseptual, dan prosedural)
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait
fenomena dan kejadian tampak mata
4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah
konkret (menggunakan, mengurai, merangkai,
memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
(menulis, membaca, menghitung, menggambar,
dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut
pandang/teori

Kompetensi Dasar

3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan
berpangkat bilangan rasional dan bentuk akar,
serta sifat-sifatnya

4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan
bentukakar

4.1 Pangkat dan Akar

A Pangkat Positif

Bilangan kuadrat sempurna seperti 1, 4, 9, dan 16
dapat dinyatakan dalam bentuk geometri seperti

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang
merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan
dirinya sendiri. Sebagai contoh di atas 16 adalah
bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4. Notasi
4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk
pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu
bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan
pokok digunakan sebagai faktor. Bilangan yang
digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau
pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 42 . Pada notasi,
4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2
menyatakan pangkat atau eksponen.

Cara Membaca Arti

41 4 pangkat satu 4

42 4 pangkat dua atau 4 4x4

kuadrat
43 4 pangkat tiga atau 4 kubik 4 x 4 x 4

44 4 pangkat empat 4 x 4 x 4 x4

4n 4 pangkat n

Matematika SMP Kelas IX

Contoh 1

Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen

a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Bilangan pokoknya adalah 2 dan faktornya adalah 5.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 .

b. m x m x m x m *Informasi Aljabar
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4. Apabila tidak ada eksponen
yang di munculkan, maka
m x m x m x m = m4 . dapat di sepakati sebagai
pangkat1, sebagai contoh
c. 7 10= 101
Bilangan pokoknya adalah 7 dan

faktornya adalah 1

7 = 71 .

Cek Pemahaman 1 b. b x b x b c. 10

a. 4 x 4 x 4 x 4

Contoh 2

Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5)dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor
dengan bilangan pokok yang sama sebagai berikut ;
(2)(2)(2)(−5)(−5) = [(2)(2)(2)][(−5)(−5)] = 23(−5)2 .

Cek Pemahaman 2

Tuliskan (- 1)(- 1)(- 1)(- 1)(3)(3) dalam bentuk eksponen.

Contoh 3

Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar
108 kilometer. Tuliskan bilangan ini sebagai
pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.

108 = 10.10.10.10.10.10.10.10
= 100.000.000

Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar
100 juta kilometer

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Tes Formatif 4.1.A

1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat

a. 7  7  7  7  7 c. 3,4  3,4  3,4  3,4

b. 8  32 d. n  n  n  n  n  n

2. Faktorisasi prima dari 360 bilangan adalah 2, 2, 2, 3, 3, dan
5. Tuliskan faktorisasi prima 360 dalam bentuk eksponen.

3. Lengkapilah

52 =  × 

4. Tentukan nilai bentuk eksponen, bila x = – 2, y = 3, z = – 1,

dan w = 0,5

a. 4y 4 b. 3(y 3 +z) c. wx3y

5. Lengkapilah

(a  b)3 = (a  b)  (a  b)  (a  b)
= (a  a  a)  (…  ...  ...)

= a  b

Matematika SMP Kelas IX

B Pangkat Negatif

Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat
adalah bulat negatif. Perhatikan pola bilangan berikut untuk
menemukan nilai 10−1 dan 10−2 . Dengan memperluas pola yang
ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah
10-1 = 1/10
10-2 = 1/100

Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok, pangkatnya
naik satu. Sebagai contoh, 103 10 = 104 . Sedangkan apabila kamu
bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh,
10−2 10 = 10−3 .

Pangkat Bilangan :
negatif Simbol :

Contoh 4

Tuliskan 10−3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan
nilainya.

10−3 = 1
103

1 atau 0, 001
=
1000

Cek Pemahaman 3

Tuliskan menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan

nilainya.

a. 2−4 b. 10−2 c. 5−1

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Contoh 5

Sederhanakan pernyataan xy−2 .

xy−2 = x.y−2

= x . 1
2

= 2

Cek Pemahaman 4

Sederhanakan pernyataan

a. x−2 y2 b. (−m)−2 n2

Contoh 6

Bakteri E.coli memiliki lebar 10−3

milimeter. Jarum pentul memiliki

diameter 1 milimeter. Berapa banyak

bakteri E.coli yang dapat mengisi

diameter jarum tersebut.

Untuk menentukan banyak bakteri, Sumber: Dit. PSMP;2006

bagilah 1 dengan 10−3

1 = 103
10−3

= 1000

Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul

adalah 1000 bakteri.

Tes Formatif 4.1.B

Matematika SMP Kelas IX

1. Ubahlah dalam pangkat positif

a. 2−4 b. a−3 c. 2p−5 d. (3x)−6

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhana
pernyataan berikut

a. (-2  3) - 5
b. (p  q)- 4
c. (a  b)-2

3. Elektronik. Arus listrik yang mengalir dalam peralatan
elektronik apabila diukur dapat berupa ampere,miliampere,
atau mikroampere. Kata mili dan mikro berarti 10−3 dan 10−6
. Nyatakan dalam bentuk eksponen positif.

4. Fisika. Cahaya tampak memiliki panjang gelombang antara
10−5 cm dan 10−4 cm. Nyatakan 10−5 dan 10−4 cm dalam
eksponen positif, kemudian tentukan nilainya.

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

C Pangkat Nol

Perhatikan pola bentuk pangkat berikut
23 = 8
22 = 4
21 = 2
Berapakah 20 ?

Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu.
Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Hal yang
sama untuk pola bilangan berikut

2−3 = 1

8

2−2 = 1
4

2−1 = 1
2

Berapakah 20 ?

Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya bertambah satu
dan ruas kanan dari atas ke bawah selalu dikali 2. Dengan
demikian 20 = 1.

Komunikasi

Berapakah 30? 50? a0?

Secara umum dapat dinyatakan bahwa

Pangkat Nol Bilangan : , jika a tidak 0
Simbol :

Informasi

Matematika SMP Kelas IX 13

D Bentuk Akar

Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi
dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan
menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa panjang renda
yang diperlukan Aulia?

Untuk membantu Aulia, kita harus tahu panjang sisi persegi
agar kita dapat menghitung keliling saputangan tersebut.

Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus
menentukan n  n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30  30 =
900 atau 302 = 900.

Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900
dan ditulis sebagai 900 = 30.

Dengan demikian Aulia harus menyediakan renda dengan
panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk 900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.

Akar Jikaa tidak negatif, adalah bilangan tidak

Kuadrat negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Simbol , disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan
akar pangkat dua.

36 = 6

− 36 = −6

Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume
diketahui, maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar
yang lain, yaitu akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume
suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panjang rusuk kubus
tersebut?

Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus
adalah

V=ppp
= p3.

Dengan demikian diperoleh p3 = 64 . Bagaimanakah kita
memperoleh p? Ingat bahwa 64 = 43 , dengan demikian p = 4 .

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Selanjutnya, bagaimana halnya apabila volume kubus

tersebut adalah 45 cm3. Dapatkah kamu mencari

panjang rusuknya?

Pada persoalan terakhir kita dapatkan p3 = 45 , mengambil

analogi dari akar kuadrat di atas, dapat kita tuliskan bahwa

p = 3√45 (3√ di baca akar pangkat 3)

Contoh 5

Sederhanakan bentuk berikut
• 49
Karena 72 = 49, maka 49 = 7.
• − 64
Karena 82 = 64 , maka − 64 = −8.

Cek Pemahaman 5

Sederhanakan bentuk berikut

a. b. c. d.

Bentuk akar adalah ekspresi yang memuat akar pangkat
dua. Kamu dapat menyerhanakan bentuk akar seperti 225
dengan menggunakan bilangan prima.

Bilangan prima adalah bilangan cacah yang hanya memiliki
dua faktor, bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan
komposit adalah bilangan cacah yang memiliki lebih dari dua
faktor. Setiap bilangan komposit dapat dituliskan sebagai hasil
kali bilangan prima. Diagram pohon di samping menunjukkan
cara untuk mencari faktor prima dari 225.

Apabila suatu bilangan dinyatakan
sebagai hasil kali faktor prima, ekspresi
tersebut disebut dengan faktorisasi prima
dari bilangan tersebut.

Matematika SMP Kelas IX 15

Karena 3 dan 5 adalah bilangan prima, faktorisasi prima dari
225 adalah 3 x 3 x 5 x 5.
Untuk menyederhanakan gunakan sifat sebagai berikut

Sifat Perka- Kalimat :Akar kuadrat dari hasil kali
lian Akar adalah sama dengan hasil kali dari
Kuadrat Bilangan masing-masing akar kuadrat.
Simbol
:

: dengan

Contoh 6

Sederhanakan bentuk akar berikut:

a. 8 b. 500

Jawab:
a. 8 = 4 2 = 4  2 = 2  2 = 2 2
b. 500 = 1005 = 100  5 = 10  5 = 10 5

Contoh 7

Pilot menggunakan rumus d = 1,5 h untuk menentukan jarak
dalam mil pada saat pengamat dapat melihat secara ideal.
Pada rumus d adalah jarak dalam mil dah h adalah ketinggian
pesawat dalam feet. Jika pengamat berada dalam pesawat yang
terbang dalam ketinggian 3.600 feet, berapa jarak yang dapat
dilihat olehnya?

d = 1, 5 h

d = 1, 5 3600

d = 1, 5 60

d = 90

Jadi jarak yang bisa dilihat oleh pengamat
tersebut adalah 90 mil.

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Tes Formatif 4.1.C

1) Sederhanakan
1. 5√3 + 6√2 − 3√2
2. √8 + √54 − √200

2) Sederhanakan d. 81
b. 100 c. 169
a. − 81 64

Matematika SMP Kelas IX 17

4.2 Operasi Bilangan Berpangkat

A Operasi pada Bilangan Berpangkat

Perpangkatan dapat dikalikan dan dibagi.
Pada contoh di bawah, kita akan menggunakan
perpangkatan 2 untuk menetapkan aturan perkalian
perpangkatan. Tabel di bawah ini menyatakan
perpangkatan dari 2 dan nilainya.

Selanjutnya perhatikan bahwa kita juga dapat
memperoleh hasil perhitungan seperti yang
diungkapkan pada tabel berikut

Cek Pemahaman 6 Contoh tersebut menyarankan bahwa kita dapat
mengalikan perpangkatan dengan bilangan pokok
sama yaitu dengan menjumlahkan eksponennya.
Pikirkan tentang a2  a3 .

a2  a3 = (a  a) (a  a  a)
=aaaaa
= a5

Lengkapilah
52  53 = (5  5)  (5  5  5)

= 5  5  ...  ...  ...
= 5...

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat
sederhanakan
a. 34  33
b. (-2)3  (-2)4

c. b2  b5
d. 3-2  3-3
e. (-5)-4  (-5)-2

f. a-3  a-6
Hasil diskusi di atas dapat kita rangkum sebagai berikut.

Hasil kali Kalimat : Hasil kali duabilangan berpangkat
Perpangka- denganbilanganpokoksama adalahbilangan
dengan menambahkan eksponennya.
tan
Bilangan :

Simbol : dengan .

Contoh 1

Sederhanakan bilangan berpangkat berikut

• 43 × 45

43 × 45= 43+5

= 48 Untuk mengalikan bilangan berpangkat dengan bilangan
pokok sama, tuliskan bilangan pokoknya dan tambahkan
• 3 × 4 esponennya
3 × 4= 3+4

= 7

Cek Pemahaman 7

Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat
sederhanakan
a. 34  33
b. (-2)3  (-2)4
c. b2  b5
d. 3-2  3-3
e. (-5)-4  (-5)-2
f. a-3  a-6

Matematika SMP Kelas IX 19

Pemecahan Masalah

Pada jarak 107 meter dari permukaan bumi,
suatu satelit buatan dapat melihat hampir
semua bagian dari planet. Pada jarak 1013
meter, satelit tersebut dapat melihat semua
sistem tata surya kita. Berapa kali jarak meter
apabila dinyatakan dalam meter?
Selanjutnya kita akan menggunakan
perpangkatan 2 di atas untuk mendiskusikan
hasil bagi dari dua bilangan berpangkat.
Perhatikan tabel berikut, apa yang dapat
kamu catat dari tabel berikut

Contoh ini menunjukkan bahwa kita dapat membagi dua

bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, hanya

dengan mengurangi eksponennya. Sekarang pikirkan tentang

a5 : a2 , ingat bahwa kamu dapat menuliskan pembagian sebagai

bentuk pecahan.

Hasil diskusi tersebut kita rangkung sebagai berikut.

5 = × × × ×
3 × ×
= × ×

Hasil bagi Kalimat :Hasil dua bilangan berpangkatan
Perpangkatan dengan bilangan pokok sama adalah dengan
mengurangkan eksponennya.

Bilangan :

Simbol : .

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Contoh 2

Sederhanakan bilangan berpangkat berikut

a. 43 =
42
43
42 = 43−2

= 41 atau 4

Cek Pemahaman 8

1. Lengkapilah

25 = 2 ×2 ×…×2 ×2
23 …×… ×…
= 2…

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat,

sederhanakan:
35 b. (−2)6
a. 32 (− 2)3

c. c2 d. (−2)−6

c5 (−2)−4

Sekarang kita akan mendiskusikan perpangkatan dari bilangan
berpangkat, tetap dengan menggunakan tabel perpangkatan 2
pada halaman 136. Perhatikan uraian berikut! Apa yang dapat
kamu catat?

Pangkat (4)3 = 64 (2)4 = 16 (8)2 = 64
bilangan
(21 )2 = (21 )4 =
Pangkat 22  22  22 = 223 = 26 21  21  21  21 = 214 = 24 (23 )2 = 23  23 = 232 = 26
eksponen

Matematika SMP Kelas IX 21

Contoh ini menunjukkan bahwa kita dapat memangkatkan
bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, hanya
dengan mengalikan eksponennya. Sekarang pikirkan tentang

(a5 )3 . Perhatikan uraian berikut.

( 2)3 = ( 2)3 memiliki tiga
= 2× 2× 2
= × × × × × faktor 2
2 = memiliki dua
faktor a

= 6

Pangkat Kalimat : Pangkat dari suatu bilangan
Eksponen berpangakat adalah sama dengan bilangan
berpangkat dengan eksponen dikalikan.

Bilangan :

Simbol :

Contoh 3

Sederhanakan bilangan berpangkat berikut (78 )4 .

( )78 4 = 784

= 732

Cek Pemahaman 9

1. Lengkapilah
(32)3 = 32  32  32
= (3  3)  (...  ...)  (... ...)
= 3...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat,
sederhanakan:
(23)4

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Tes formatif 4.2.A

1. Budi mengatakan 103 102 = 1002 , tetapi Mirna mengatakan
103 102 = 105 . Mana yang benar? Jelaskan alasanmu.

2. Panjang suatu persegi adalah 5x dan lebarnya adalah 3x .
Tentukan luas persegi tersebut.

B Pangkat Pecahan

Perhatikan perkalian berikut
√2×√2 = 2
Pada bagian sebelumnya kita sudah belajar tentang bilangan
berpangkat, apakah perkalian tersebut dapat dipikirkan sebagai
perkalian bilangan berpangkat? Misalkan kita nyatakan
perkalian di atas sebagai
2 × 2 = 21
Sesuai aturan sifat perkalian bilangan berpangkat di atas, kita
nyatakan sebagai
2 × 2 = 2 +

= 22 = 21
Ini berarti 2p=1 dan p= 1

2

1

Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa √2 = 22
Dapat kita rangkum diskusi kita sebagai berikut

2

Matematika SMP Kelas IX 23

Contoh 4

Sederhanakan 75 dalam bentuk bilangan berpangkat
√75 = √5 × 5 × 3
= √25 × 3
= √25 ×√3
= 5 √3

Cek Pemahaman 10

Sederhanakan bilangan berikut dalam bentuk bilangan

berpangkat

a. 68 b. 375

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

C Operasi pada Bentuk Aljabar

Kita sudah mendiskusikan perubahan bentuk akar menjadi
bentuk eksponen, selain itu pada bagian sebelumnya kita juga
sudah membahas operasi pada bilangan berpangkat. Kedua
hal tersebut apabila dikombinasikan akan menghasilkan sifat
berikut

Cek Pemahaman 11

Sederhanakan bentuk akar berikut dengan sifat di atas.

2

(√3)

Cek Pemahaman12

Sederhanakan bentuk akar berikut

a. 8√6 + 3√6
b. 4√3 + 7√3 − √3

D Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kalian sudah memahami bahwa √2, √3, √5, √7adalah bilangan
irrasional. Demikian juga 1 , 1 , 1 , 1 merupakan bilangan

√2 √5 √3 √7

irrasional. Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut dapat diubah
menjadi bilangan rasional, dan pengubahan ini disebut
merasionalkan bentuk akar.

Matematika SMP Kelas IX 145

Contoh 6

Rasionalkan bentuk akar berikut 1

√2

Jawab

1 = 1 × √2

√2 √2 √2

= √2

√4
√2
=2

= 1 √2

2

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Cek Pemahaman 13

Rasionalkan bentuk akar

2
7

Binomial yang berbentuk a b + c d dan a b − c d adalah saling
konjugate satu sama lain, karena hasil kali keduanya adalah
bilangan rasional.

(6 + 3)(6 − 3) = 62 − ( 3)2
= 36 − 3
= 33

Contoh 7

Sederhanakan 6 .

3− 2

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembagi dan
penyebut dengan 3 + 2 , yaitu konjugate dari 3 − 2 .

6 = 6 × 3+√2

3−√2 3−√2 3+√2

= 6?(3)+ 6√2
32−(√2)2

= 18+6√2

9−2

=18+6√2

7

Cek Pemahaman 14

Sederhanakan bentuk berikut
a. 4

5+√6

b. −3

2−√3

Matematika SMP Kelas IX

Rangkuman

1.) Notasi = mempunyai arti a x a x a x ...x a. Sebanyak n
faktor

2.) Notasi − = mempunyai arti 1

3.) 0 untuk sebarang bilangan kecuali 0.

4.) √ = b, dengan a = b×b

5.) Jika a ≥ 0 , maka √ = b jika dan hanya jika =a dan b ≥ 0

6.) Jika a < 0 dan n ganjil, maka √ = b jika dan hanya jika =a

7.) √ = √ √ dengan a≥0, b≥0

Jika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka

berlaku sifat-sifat berikut.

1.) × = +

2.)( ) = ×
3.) = −
4.)( × ) = ×

5.) ( ) =

1

6.) √ = 2
1
) √ = , untuk a≥0, untuk a<o maka n harus ganjil


) √ = ( √ )

) √ = √ √

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Tes Formatif 4.2.B
Pilihlah jawaban yang paling benar dengan memberi tanda
silang (X) pada pilihan yang diberikan
1. Bentuk bilangan berpangkat yang sesuai dengan perkalian
(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3) adalah …

2. Tentukan Nilai sembarang (p, n) yang memenuhi persamaan
√ √ adalah …

3. Bentuk sederhana dari ( + )− × ( + ) adalah …

Matematika SMP Kelas IX

KUNCI JAWABAN

• Cek pemahaman 1
a. 44
b. 3
c. 101

• Cek pemahaman 2
(−1)432

• Tes Formatif 4.1.A

1. a. – 75

b. 23×32
c. (3,4)4
d. 6
2. 23 × 32

3. 52 = 5 × 5

4. a. 4× 34 = 4 × 81 = 324

b. 3(33 + (−1) = 3(8) = 24
c. 0,5× (−2)3 × 3= 0,5 × (−8) × 3 =-12
5. ( × )3 = ( × ) × ( × ) × ( × )

= (a× × ) × ( × × )
= 3 × 3

• Cek pemahaman 3

a. 2−4 = 1 = 1 = 0,0625
24
16

b. 10−2= 1 = 1 = 0,01
10−2
100

c. 5−1 = 1 = 1 = 0,2
51 5

• Cek pemahaman 4

a. −2 2 = 1 2 = 2
2 2

b. (− )−2 2 = 1 2= 2
− 2 − 2

• Tes Formatif 4.1.B

1. . 2−4 = 1 = 1 = 0,0625
24
16

b. −3 = 1
3
1
c. 2 −5 = 2 −5

2. a. (−2 × 3)−5

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

= 1
(−2×3)5

= 1
−65
=1
−7.776

b. ( × )−4

= 1
( × )4

= 1
4 4

. ( × )−2

= 1
( × )2

= 1
2 2
1 1
3. a. 10−3 = 103 = 1000 = 0,001

b. 10−6 = 1 = 1 = 0,000001
106 1000000
1 1
4. a. 10−5 = 105 = 100000 = 0,00001

b. 10−4 = 1 = 1 = 0,0001
104 10000

• Cek pemahaman 5
a. √25 = 5
b. √121 = 11
c. −√25 = −5

d. −√9 = 3

• Tes Formatif 4.1.C

1. a. 5√3 + 6√2 − 3√2
= 5√3 + 3√2

b. √8 + √54 − √200
= √4 √2+√9√6-√100√2
= 2√2 + 3 √6 − 10√2
=3 √6 − 8√2

2. a. −√81 = -9
b. √100 = 10
c. √169 = 13

d. √81 = 9

64 8

Matematika SMP Kelas IX

• Cek pemahaman 6

52 × 53
= (5 × 5) × (5 × 5) × (5 )

=5×5×5×5×5
= 55

• Cek pemahaman 7

a. 34  33 = 37
b. (-2)3  (−2)4 = (−2)7
c. b2  b5 = b7
d. 3-2  3−3 = 3−5
e. (-5)-4  (−5)−2 = (−5)−6
f. a-3  −6 = −9

• Cek pemahaman 8

1. 25 = 2 ×2 ×2×2 ×2
23 2×2 ×2

= 22

2. a. 35 = 35−2 =33
32

b. (−2)6 = (−2)6−3 =(−2)3
(−2)3

c. 2 = 2−5 = −3
5
(−2)−6
d. (−2)−4 = (−2)−6−(−3) =(−2)−3

• Cek pemahaman 9
1. (32)3 = 32  32  32

= (3  3)  (3  3)  (3 × 3)
= 36
2. (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23

= 212

• Tes Formatif 4.2.A
1. 103 × 102 = 105, ini termasuk pernyataan yang benar, karena untuk perkalian
bilangan berpangka ialah dengan menjumlahkan setiap pangkat dari bilangan
tersebut
2. Luas persegi = 5x × 3x

= 15 2

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

• Cek pemahaman 10

a. √68 = √4√17

= 2√17

b. √375 = √25√15

= 5√15

• Cek pemahaman 11
(√3)2= √3 × √3

=3

• Cek pemahaman 12
c. 8√6 + 3√6 = 11√6
d. 4√3 + 7√3 − √3 = 10√3

• Cek pemahaman 13

2 × √7
√7 √7

= 2 √7
7

• Cek pemahaman 14
a. 4

5+√6

= 4 × 5−√6

5+√6 5−√6

= 20−4√6

5−6

= -20 + 4√6

b. −3

2−√3

= −3 × 2+√3

2−√3 2+√3

= −6−3√3

2−3

= 6+3√3

Matematika SMP Kelas IX

• Tes Formatif 4.2.B
1. (-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3) = (−3)5
2. √ √16 = √4√161
=2×4
=8
3. ( + )− × ( + )
=( + )− +
= ( + )1

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar