Modul Matematika

MODUL

TEOREMA PYTHAGORAS

SMP/MTs kelas VIII

Nama :

No. Absen :

Kelas :

1

TINJAUAN MATA PELAJARAN

A. Deskripsi Mata Pelajaran
Teorema pythagoras pertama kali dikembangkan berdasarkan hitungan

matematis menggunakan metode aljabar oleh seorang matematikawan Yunani yang
bernama Pythagoras (582 SM-496 SM). Teorema pythagoras adalah suatu aturan
matematika yang dapat digunakan untuk menentukan panjang salah satu sisi dari
sebuah segitiga siku-siku. Perlu diingat bahwa teorema ini hanya berlaku untuk
segitiga siku-siku dan tidak bisa digunakan untuk menentukan sisi dari sebuah
segitiga lain yang tidak berbentuk siku-siku. Konsep teorema pythagoras selain pada
bidang matematika, pernah juga ditemukan dalam bidang musik dan bidang
astronomi.

B. Kegunaan Mata Pelajaran
Apakah kalian tahu kegunaan kita mempelajari teorema pythagoras? Suatu ilmu

akan lebih terasa menarik apabila ada keterkaitan dengan kegiatandan kebermanfaatan
dalam kehidupan sehari-hari. Misal, Pak Anton akan memetik buah mangga dengan
menggunakan tangga, jika diketahui jarak antara tangga dan pohon adalah 4 meter
dan tinggi pohon 3 meter, berapakah panjang tangga tersebut, dari permasalahan ini
bisa dibuat sketsa seperti gambar dibawah ini

Untuk mencari panjang tangga maka akan lebih mudah jika kita menggunakan
teorema pythagoras

2

C. Kompetensi Dasar
3.6 Menjelaskan dan membuktikan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
4.6 Menyelesaiakn masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel

Pythagoras.

D. Bahan Pendukung
Media/Alat
- Laptop
-LCD
-Alat peraga pembelajaran teorema pythagoras

E. Petunjuk Belajar

1. Petunjuk Bagi Peserta didik
a. Bacalah dan pahami dengan seksama uraian-uraian materi yang ada pada
masing-masing kegiatan belajar. Bila ada materi yang kurang jelas, peserta
didik dapat bertanya kepada guru.
b. Kerjakan setiap evaluasi untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang
telah dimiliki terhadap materi-materi yang dibahas dalam setiap kegiatan
belajar.
c. Jika belum menguasai level materi yang diharapkan, ulangi lagi pada kegiatan
belajar sebelumnya atau bertanyalah kepada guru atau instruktur yang
mengampu kegiatan pembelajaran yang bersangkutan.

2. Petunjuk Bagi Guru
a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan
dalam tahap belajar
c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep, praktik baru, dan
menjawab pertanyaan peserta didik mengenai proses belajar peserta didik
d. Membantu peserta didik untuk menentukan dan mengakses sumber yang
diperlukan untuk belajar
e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan

3

PENDAHULUAN

1. Deskripsi Modul
Pada modul ini kita akan membahas mengenai materi teorema pythagoras.

Pada materi ini terdapat empat sub bab yaitu :
a. Memahami Teorema Pythagoras
b. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi dan Tripel pythagoras
c. Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-siku
d. Penerapan Teorema Pythagoras pada soal cerita

2. Indikator Pencapaian Kompetensi
 Menemukan dan membuktikan kebenaran teorema pythagoras
 Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi dari tripel pythagoras
 Menentukan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku
 Menyelesaikan masalah kontekstual terkait penerapan teorema pythagoras

3. Deskripsi perilaku awal
Pada kegiatan ini siswa diharapkan mampu
a. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan
prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
b. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan,
mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut
pandang/teori

4. Relevansi
Sebelum belajar tentang teorema pythagoras, sebaiknya kita mengingat

kembali materi prasyarat untuk materi teorema pythagoras, adapun materinya
yaitu
a. Luas persegi
b. Kuadrat suatu bilangan
c. Akar kuadrat

4

d. Nilai perbandingan
e. Luas segitiga

5. Urutan butir sajian modul
Dalam modul ini terdapat beberapa urutan butir sajian modul diantaranya:
a. Ayo Cermati
b. Materi
c. Contoh soal dan pembahasan
d. Latihan soal
e. Tes Formatif

6. Petunjuk belajar
Untuk memperoleh hasil belajar secara maksimal, dalam menggunakan modul
ini maka langkah-langkah yang perlu dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan pahami dengan seksama uraian-uraian materi yang ada pada
masing-masing kegiatan belajar. Bila ada materi yang kurang jelas, peserta
didik dapat bertanya kepada guru.
b. Kerjakan setiap evaluasi untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang
telah dimiliki terhadap materi-materi yang dibahas dalam setiap kegiatan
belajar.
c. Jika belum menguasai level materi yang diharapkan, ulangi lagi pada
kegiatan belajar sebelumnya atau bertanyalah kepada guru atau instruktur
yang mengampu kegiatan pembelajaran yang bersangkutan

5

KEGIATAN PEMBELAJARAN

Ayo Cermati

Teorema Pythagoras

Apakah manfaat teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari? Teorema

Pythagoras banyak dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya pada

dunia pertukangan, pernahkan kalian melihat seorang tukang

bangunan yang akan membuat

kerangka atap

rumah yang

berbentuk segitiga

siku-siku? Atau

seorang arsitek

yang akan membuat

rancanganbangunan

perumahan atau

berbagai bangunan

lainnya?

Dalam bekerja, mereka banyak memanfaatkan teorema Pythagoras.

Khususnya pada bagian kerangka rusuk atap rumah, sebagian besar rusuk

tegak lurus dengan rusuk lainnya sehingga membentuk segitiga

siku-siku dengan kombinasi ukuran sisi 90 cm, 120 cm dan 150 cm misalnya.

Barangkali tukang bangunan sendiri tidak sadar bahwa mengapa angka-angka

itu bisa tepat tanpa menggunakan bilangan pecahan desimal dan tepat membentuk

sudut siku- siku. Untuk mengetahui kebenaran yang digunakan oleh tukang

bangunan tersebut, kita akan mempelajari kebenarannya dalam materi teorema

Pythagoras ini.

Apa saja hal yang harus diingat kembali sebelum belajar materi teorema

Pythagoras lebih lanjut? Sebelum mempelajari materi ini lebih lanjut, kalian harus

meningat kembali materi bilangan kuadrat, akar kuadrat, luas segitiga dan luas

persegi.

6

1. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat suatu Bilangan
Teorema Pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat. Bilangan

kuadrat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalian dua
bilangan yang sama (perkalian ganda) atau dinyatakan dengan pangkat dua
yang sering disebut dengan kuadrat.

a pangkat 2 ditulis a2 dengan a × a
Contoh:

1) 22 = 2 × 2 = 4
2) 42 = 4 × 4 = 16
3) 62 = 6 × 6 = 36
4) 82 = 8 × 8 = 64
5) 92 = 9 × 9 = 81

Sedangkan yang disebut dengan akar kuadrat dari bilangan a adalah
suatu bilangan tak negatif yang jika dikuadratkan sama dengan a .
Lambang akar dari bilangan a dituliskan sebagai a . Dapat pula
didefinisikan seperti berikut ini.

Jika a2 = e, dengan a ≥ 0 maka a = e

Contoh :

1) 4 = 2, karena 22 = 4 dan 2 merupakan bilangan tak negatif
2) 16 = 4, karena 42 = 16 dan 4 merupakan bilangan tak negatif
3) 36 = 6, karena 62 = 36 dan 6 merupakan bilangan tak negatif
4) 64 = 8, karena 82 = 64 dan 8 merupakan bilangan tak negatif
5) 81 = 9, karena 92 = 81 dan 9 merupakan bilangan tak negatif

7

2. Luas Segitiga Siku-siku dan Luas Persegi
A. Segitiga Siku-siku
Mengapa perlu memahami kembali segitiga siku-siku? Karena teorema
Pythagoras merupakan sebuah teorema yang berhubungan dengan segitiga
siku- siku. Masih ingatkah kalian mengenai definisi segitiga siku-siku?

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya adalah 90°
Perhatikan segitiga siku-siku ABC berikut

Gambar 2. Segitiga Siku-siku ABC
Mengapa segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku? Karena sudut
BCA ( ∠BCA) yang merupakan salah satu sudut pada segitiga ABC
merupakan sudut siku-siku (90°). Sisi di depan sudut siku-siku atau sisi
AB merupakan sisi terpanjang dan diberi nama hepotenusa. Adapun
sisi-sisi lain yang membentuk sudut siku-siku (sisi AC dan sisi BC)
dinamakan sisi siku-siku.
Contoh:

8

Tentukan panjang hipotenusa dan sisi siku-siku dari setiap segitiga berikut ini!

1) 2) 3)

Jawab:
1. ∆ABC dengan sisi siku-siku ¯A¯B¯ = 5 cm dan ¯A¯C¯ = 12 cm, sedangkan

sisi hipotenusa ¯B¯C¯ = 13 cm.
2. ∆DEF dengan sisi siku-siku ¯D¯E¯ = 8 cm dan E¯¯F¯ = 6 cm, sedangkan

sisi hipotenusa ¯D¯F¯ = 10 cm.
3. ∆GHI dengan sisi siku-siku ¯G¯H¯ = 15 cm dan G¯I = 20 cm, sedangkan

sisi hipotenusa ¯I¯H¯ = 25 cm.

Perhatikan kembali Gambar 2 diatas. Hubungan antara sisi alas ( a) dengan sisi tinggi
( t) dengan luas adalah luas segitiga ( L ) di dapat dari setengah perkalian

L= 1 ×a ×t
2

9

Contoh:

10

B) Persegi
Masih ingatkah kalian apa itu persegi, sifat-sifat persegi, dan luas persegi?

Persegi adalah bangun datar yang dibatas oleh empat buah sisi yang sama
panjang. Berikut disajikan contoh persegi.

Gambar 3. Persegi ABCD
1) Sifat-sifat Persegi

a) Mempunyai empat sisi yang berhadapan sama panjang.
b) Mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar.
c) Tiap-tiap sudutnya sama besar.
d) Tiap-tiap sudutnya merupakan sudut siku-siku (90°).
e) Mempunyai empat buah sumbu simetri lipat dan empat buah

simetri putar.
f) Diagonal-diagonal saling berpotongan tegak lurus dan sama

panjang.
2) Luas Persegi

Jika s adalah sisi pada persegi, maka keliling dan luas persegi
adalah sebagai berikut.

Luas Persegi = sisi × sisi = s × s = s2

Contoh:

Tentukan luas persegi ABCD dengan panjang sisi 5 cm!
Jawab :
Luas persegi ABCD = s2 = 52 = 25 cm2
Luas persegi ABCD adalah 25 cm2

11

3 Teorema Pythagoras
Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah ahli matematika dan

filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569 – 475
sebelum Masehi. Sebagai ahli matematika, ia mengungkapkan
bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah
sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi yang lain.

Perhatikan Gambar 4! Gambar tersebut menunnjukkan sebuah
segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi miring c, panjang sisi
siku-sikunya adalah a dan b. Teorema Pythagoras yang diungkapkan
oleh Pythagoras mengatakan bahwa:

a2 + b2 = c2

Gambar 4. Segitiga Siku-siku

Sekarang, bagaimana membuktikan kebenaran teorema
Pythagoras tersebut? Untuk membuktikan kebenaran teorema
Pythagoras tersebut, perhatikan kegiatan berikut ini.
1) Sediakan kertas berpetak, kertas karton, pencil, penggaris, dan

gunting.
2) Buatlah tiga buah persegi dari kertas berpetak dengan panjang

masing-masing sisi persegi adalah a = 3 satuan (3 kotak), b = 4
satuan (4 kotak), dan c = 5 satuan (5 kotak) seperti gambar
berikut. Kemudian guntinglah ketiga persegi tersebut!

12

Gambar 5.
3) Tempel ketiga persegi tersebut di karton sedemikian sehingga dua

dari empat sudut setiap persegi saling berimpit dan di dalamnya
membentuk sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Gambar 6.
4) Perhatikan luas ketiga persegi. Luas persegi yang terbesar sama

dengan jumlah luas dua persegi lainnya.
5) Selanjutnya ulangi langkah nomor 2) dan 3) dengan membuat

persegi yang berukuran a = 6 satuan (6 kotak), b = 8 satuan (8
kotak), dan c = 10 satuan (10 kotak) akan diperoleh seperti
gambar berikut.

Gambar 7.

13

6) Selanjutnya, perhatikan tabel berikut ini!

Segitiga AB BC AC AB2 BC2 AC2
5 4 3 25 16 9
ABC
Gambar 6.

Gambar 7. 10 8 6 100 64 36

7) Berdasarkan tabel pada langkah nomor 6) tampak hubungan:

AB2 = BC2 + AC2

Berdasarkan kegiatan diatas, dapat diperoleh simpulan bahwa, jika
segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di C maka berlaku:

AB2 = BC2 + AC2 (I)

misal, AB = c, BC = a, dan AC = b. maka dapat ditulis :

c2 = a2 + b2
atau

a2 + b2 = c2 (II)

Bentuk (II) inilah yang sering orang sebut sebagai ekspresi dari
teorema Pythagoras. Berdasarkan bentuk (II) diatas kita dapat
mendapatkan bentuk-bentuk dibawah ini:

14

Soal dan Pembahasan
1. Tentukan panjang hipotenusa segitiga-segitiga di bawah ini.

C

Pembahasan:
a. Pada gambar a diberikan ∆ ABC yang siku-siku di titik A. Hipotenusa

merupakan sisi dihadapat sudut siku-siku. Sehingga, hipotenusa adalah
sisi BC. Diketahui bahwa panjang AB = c = 5 cm, BC = a, dan AC = b
= 12 cm. Perhatikan!
a2 = b2 + c2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169

a = 169 = 13 cm
Jadi, panjang hipotenusanya adalah 13 cm.
b. Pada gambar b diberikan ∆ DEF yang siku-siku di titik E.
Hipotenusa merupakan sisi dihadapat sudut siku-siku. Sehingga,
hipotenusa adalah sisi DF. Diketahui bahwa panjang DE = f = 8 cm,
DF = e, dan EF = d = 6 cm. Perhatikan!
e2 = d2 + ƒ2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

e = 100 = 10 cm
Jadi, panjang hipotenusanya adalah 10 cm.
c Pada gambar c diberikan ∆ GHI yang siku-siku di titik G. Hipotenusa
merupakan sisi dihadapat sudut siku-siku. Sehingga, hipotenusa
adalah sisi HI.

15

2. Andi dan Umah berdiri saling membelakangi untuk bermain tembak-tembakan
pistol bambu. Andii berjalan 20 langkah ke depan kemudian 15 langkah ke
kanan. Pada saat yang sama, Umah berjalan 16 langkah ke depan kemudian 12
langkah ke kanan. Umah berhenti kemudian menembak Andi.
a. Gambarkan situasi diatas dengan menggunakan bidang kartesius.
b. Berapa langkah jarak Andi dan Umah saat Umah menembak andi dengan
pistol bambu?

Pembahasan
a. Akan digambar posisi Andi dan Umah sesuai permasalahan pada soal.

Keterangan Gambar:
O adalah posisi awal Andi dan Umah.
A adalah posisi Andi setelah berjalan 20 langkah ke depan.
B adalah posisi Andi setelah berjalan 15 langkah ke kanan.
C adalah posisi Umah setelah berjalan 16 langkah ke depan.
D adalah posisi Umah setelah berjalan 12 langkah ke kanan dan menembak Andi.

16

b. Berdasarkan gambar yang diperoleh dari poin a diatas, akan ditentukan
jarak Andi dan Umah saat Umah menembak Andi dengan pistol bambu.
Artinya, kita akan menghitung panjang ruas garis BD.
Buat terlebih dahulu titik bantu, yaitu titik P sedemikian sehingga terbentuk
∆BPD yang siku-siku di P seperti gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut diperoleh
BQ = AO = 20, QP = OC = 16, dan CP = AB = 15. Akibatnya,
BP = BQ + QP = 20 + 16 = 36, dan DP = DC + CP = 12 + 15 = 27.
Karena, ∆BPD siku-siku, maka dapat diterapkan teorema
Pythagoras. Perhatikan!
BD2 = BP2 + DP2 ⇔ BD2 = 362 + 272
BD = 1296  729 = 2025 = 45
Jadi, jarak Andi dan Umah saat Umah menembak Andi dengan pistol
bambu adalah 45 langkah.

17

LATIHAN SOAL
1. Perhatikan gambar dibawah ini!

Gambar diatas, merupakan sebuah persegi ABCD yang memuat 4 buah
segitiga yang sama yaitu, segitiga 1, 2, 3, dan 4, serta sebuah persegi PQRS.
2. Segitiga apa yang terdapat pada gambar diatas? Tentukan panjang setiap sisi
pada segitiga tersebut!

3. Tentukan panjang sisi pada persegi ABCD dan persegi PQRS!

18

4. Dengan menggunakan alat peraga yang telah disediakan, susunlah bentuk
sesuai dengan gambar pada poin 1!

5. Susun kembali bentuk segitiga 1, 2, 3, dan 4 serta persegi PQRS yang sudah
ada menjadi sebuah persegi yang diapit 4 buah segitiga 1, 2, 3, dan 4 di
dalamnya! Kemudian gambar bentuk yang kalian dapatkan dan berikan
ukuran sisinya pada bagian di bawah ini!

6. Adakah hubungan antara luas persegi besar yang terbentuk dengan luas
keempat segitiga (segitiga 1, 2, 3, dan 4) dan luas persegi?
Jika ada, tuliskan hubungannya pada bagian dibawah ini!

7. Berdasarkan kegiatan yang telah kalian lakukan, apa yang dapat kalian
simpulkan mengenai teorema Pythagoras?

19

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-
siku adalah sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya.
Teorema Pythagoras ditulis sebagai berikut:

a2 + b2 = c2

20

MENENTUKAN SUATU JENIS SEGITIGA JIKA DIKETAHUI PANJANG
SISI-SISINYA

Dalil pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga jika diketahui
panjang sisi-sisinya. Namun demikian, sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu
mengenai kebalikan dari dalil pythagoras
A. Kebalikan Dalil Pythagoras

Pada bahasan sebelumnya dijelaskan bahwa kuadrat miring atau sisi (hypotenusa)
atau sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kadrat panjang kedua
sisinya. Dari pernyataan tersebut kita peroleh kebalikan dari dalil pythagoras yaitu:
 Jika kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah

kuadrat b panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut merupakan segitiga
siku-siku
 Jika pada suatu segitiga berlaku a2 = b2 + c2, maka segitiga ABC tersebut
merupakan segitiga siku-siku dengan besar salah satu sudutnya 90°

Contoh :

Suatu segitiga ABC mempunyai panjang AB = 10cm, BC = 24cm, dan AC =
26cm. Temtukan apakah segitiga tersebut termasuk segitiga siku-siku atau
bukan!
Penyelesaian :
AB = 10, maka AB2 = 100
BC = 24, maka BC2 = 576
AC = 26, maka AC2 = 676
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan bahwa
676 = 100 + 576, sehingga
AC2 = AB2 + BC2
Jadi segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku

21

B. Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisinya
Misalkan sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah c dan panjang sisi

lainnya adalah a dan b, maka berlaku hubungan sebagai berikut
 Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainya maka

segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

c2 = a2 + b2

 Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka
segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.

c2 > a2 + b2

 Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka
segitiga tersebut adalah segitiga lancip.

c2 < a2 + b

Contoh Soal
Tentukan jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut.
a). 12 cm, 16 cm, 19 cm
Penyelesaian:
Misalkan a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi yang lain, maka:
a). kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:
a = 19 cm, b = 12 cm, c = 16 cm
a2 = 192
a2 = 361

b2 + c2 = 122 + 162
b2 + c2 = 144 + 256
b2 + c2 = 400
Karena 361 < 144 + 256, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga lancip.

22

MENGHITING PERBANDINGAN SISI-SISI SEGITIGA SIKU-SIKU

Masih ingatkah Anda dengan cara membuktikan teorema Pythagoras dan cara
mencari salah satu sisi segitiga siku-siku jika kedua sisi yang lainnya diketahui?
Selain bisa digunakan untuk mencari salah satu sisi segitiga siku-siku, teorema
Pythagoras bisa digunakan untuk mencari perbandingan sisi-sisi pada segitiga
siku-siku pada sudut khusus. Adapun sudut khusus yang dimaksud di sini adalah 30°,
45°, dan 60°. Bagaimana perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku pada sudut
khusus?
a) Sudut 30° dan 60°

Perhatikan gambar ∆ABC di bawah ini.

Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2x cm dan
dengan ∠CAD = ∠ABC = ∠ACB = 60°, kemudian dari titik C ditarik garis tegak
lurus (90°) dengan garis AB dan berpotongan di titik D. Akibatnya ∠ACB terbagi
menjadi dua yakni ∠ACD = ∠BCD = 30° dan garis AD sama dengan garis BD,
sehingga garis AD sama dengan setengah garis AB, maka:
AD = AB
AD = ½ AB
AD = ½ . 2x cm
AD = x cm

23

Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang CD dapat di cari yakni:

CD2 = AC2 – AD2
CD2 = (2x)2 – x2
CD2 = 4x2 – x2
CD2 = 3x2
CD = x 3 cm

Dengan demikian, diperoleh perbandingan sisi pada segitiga siku-siku pada sudut
30° dan 60°, yakni:
AD : CD : AC = x : x 3 : 2x
AD : CD : AC = 1 : 3 : 2

Misalkan garis AD kita sebut sisi terpendek, garis CD kita sebut sebagai sisi
menengah, dan AC kita sebut sebagai sisi terpanjang, maka secara umum
perbandingan segitiga siku-siku dengan sudut 30° dan 60° yakni:
sisi pendek : sisi tengah : sisi panjang = 1 : 3 : 2

Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku pada sudut khusus dapat diterapkan
untuk mengerjakan soal tanpa harus mengguanakan teorema Pythagoras lagi. Oke
silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal
Perhatikan gambar persegi panjang PQRS di bawah ini.

Diketahui panjang diagonal PR = 20 cm dan ∠RPS = 60°. Tentukan
a) panjang PS;
b) panjang PQ;

24

c) luas PQRS;
d) keliling PQRS.

Penyelesaian:
a) panjang PS dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus (30°
dan 60°), yakni:
sisi pendek : sisi panjang = 1 : 2
PS : PR = 1 : 2
PS : 20 cm = 1 : 2
PS = ½ x 20 cm
PS = 10 cm

b) panjang PQ juga dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus
(30° dan 60°), yakni:
sisi tengah : sisi panjang = √3 : 2
PQ : PR = √3 : 2
PQ : 20 cm = √3 : 2
PQ = (√3/2) x 20 cm
PQ = 10√3 cm

c) luas PQRS dapat dicari dengan menggunakan rumus luas persegi panjang yakni:
L=pxl
L = PS x PQ
L = 10 cm x 10√3 cm
L = 100√3 cm2

d) keliling PQRS dapat dicari dengan rumus keliling persegi panjang yakni:
K = 2(p + l)
K = 2(PS + PQ)
K = 2(10 cm + 10√3 cm)
K = 20(1 + √3) cm

25

b) Sudut 45°
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Segitiga ABC pada gambar di atas adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan
sudut siku-siku di titik B. Di mana panjang AB = BC = 2x cm, ∠ ABC = 90°
dan ∠BAC = ∠ACB = 45°.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang AC diperoleh:
AC = √(AB2 + BC2)
AC = √((2x)2 + (2x)2)
AC = √(4x2 + 4x2)
AC = √8x2
AC = 2x√2 cm
Berdasarkan hasil di atas maka diperoleh perbandingan segitiga siku-siku pada sudut
45° yakni:
AB : BC : AC = 2x : 2x : 2x√2
AB : BC : AC = 1 : 1 : √2
Contoh Soal
Perhatikan gambar persegi ABCD di bawah ini.

26

Diketahui panjang diagonal AC = 10 cm dan ∠BAC = 45°. Tentukan
a) panjang AB;
b) luas ABCD;
c) keliling ABCD.

Penyelesaian:
a) panjang AB dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus
(45°), yakni:
AB : AC = 1 : √2
AB : 10 cm = 1 : √2
AB = (1/√2) x 10 cm
AB = (10/√2) cm
AB = 5√2 cm

b) luas ABCD dapat dicari dengan menggunakan rumus luas persegi yakni:
L = s2
L = AB2
L = (5√2 cm)2
L = 50 cm2

e) keliling PQRS dapat dicari dengan rumus keliling persegi yakni:
K = 4s
K = 4AB
K = 4 . 5√2 cm
K = 20√2 cm

27

Penerapan Teorema Pythagoras Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Pernahkah Anda berpikir apa manfaatnya kita mempelajari teorema Pythagoras?
Suatu ilmu akan tahu manfaatnya jika ilmu tersebut diterapkan dalam kehidupan
sehari-hari, begitu juga dengan teorema Pythagoras. Sebelumnya Mafia Online sudah
membahas penerapan teorema Pythagoras dalam bangun datar dan bangun ruang.
Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam bentuk
soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Untuk memudahkan menyelesaikan soal-soal penerapan teorema Pythagoras
diperlukan bantuan gambar (sketsa). Untuk mengetahui manfaat teorema Pythagoras
silahkan pelajari contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1
1) Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 250

meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang
adalah 70 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang tersebut.

Penyelesaian:
Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di
bawah layang-layang dan AC merupakan panjang benang. Tinggi langyang-layang
dapat dicari dengan teorema Pythagoras yakni:
BC = √(AC2 – AB2)
BC = √(2502 – 702)
BC = √(62500 – 4900)

28

BC = √57600
BC = 240 m
Jadi, ketinggian layang-layang tersebut adalah 240 m

Contoh Soal 2
2) Seorang anak akan mengambil sebuah layang-layang yang tersangkut di atas

sebuah tembok yang berbatasan langsung dengan sebuah kali. Anak tersebut
ingin menggunakan sebuah tangga untuk mengambil layang-layang tersebut
dengan cara meletakan kaki tangga di pinggir kali. Jika lebar kali tersebut 5 meter
dan tinggi tembok 12 meter, hitunglah panjang tangga minimal yang diperlukan
agar ujung tangga bertemu dengan bagian atas tembok.

Penyelesaian:
Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana XY merupakan jarak kaki tangga dengan bawah tembok (lebar kali) dan YZ
merupakan tinggi tembok, maka panjang tangga (XZ) dapat dicari dengan teorema
Pythagoras yakni:
XZ = √(XY2 + YZ2)
XZ = √(52 + 122)
XZ = √(25 + 144)
XZ = √169
XZ = 13 m
Jadi, panjang tangga minimal yang diperlukan agar ujung tangga bertemu
dengan bagian atas tembok adalah 13 m.

29

TES FORMATIF

Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d di depan jawaban yang paling benar
1. Pada sebuah segitiga PQR diketahui sisi-sisinya p,q, dan r. Dari pernyataan

berikut yang benar adalah.....

a. Jika q2 = p2 + r2, <P = 90°
b. Jika r2 = q2 - p2, <P = 90°
c. Jika r2 = p2 - q2, <P = 90°
d. Jika p2 = q2 + r2, <P = 90°
2. Sebuah segitiga ABC siku-siku di B, di mana AB = 8cm, AC = 17cm. Panjang
BC adalah.....cm
a. 9 cm
b. 15 cm
c. 25 cm
d. 68 cm
3. Sebuah segitiga siku-siku, hipotenusanya 4 3 dan salah satu sisi siku-sikunya
2 2 cm. Panjang sisi siku-siku yang lain adalah ....cm
a. 2 10
b. 3 5
c. 8 2
d. 3 3
4. Panjang hepotenusa sebuah segitiga siku-siku sama kaki 16cm dan panjang
kaki-kakinya x cm. Nilai x adalah ...cm
a. 4 2
b. 4 3
c. 8 2

30

d. 8 3
5. 3x, 4x, dan 15 merupakan tripel Pythagoras. Nilai x adalah....

a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
6. Perhatikan gambar dibawah ini!

Jika BD = 4cm, panjang AC adalah....
a. 9,3 cm
b. 9,5 cm
c. 9,8 cm
d. 10 cm
7. Segitiga PQR siku-siku di P. Jika panjang QR = 29cm dan PQ = 20cm, maka
panjang PR adalah .... cm
a. 21
b. 22
c. 23
d. 24
8. Jika a,11,61 merupakan tripel pythagoras dan 61 bilangan terbesar, maka nilai a
adalah.....
a. 60
b. 45
c. 30
d. 15
9. Diketahui titik A(-3,4) dan B(4,-3). Jarak titik A dan B adalah.......satuan
a. 10
b. 20
c. 170

31

d. 290
10. Suatu segitiga PQR siku-siku di P dengan sudut R=60° dan panjang PR = 20m.

Panjang PQ dan QR adalah....
a. 34,6 m dan 20 m
b. 34,5 m dan 40 m
c. 34,5 m dan 20 m
d. 34,6 m dan 40 m
11. Sebuah tangga panjangnya 2,5 m disandarkan pada tembok. Jika jarak ujung
bawah tangga ke tembok 0,7 cm, tinggi tangga diukur dari tanah adalah....
a. 1,5 m
b. 2 m
c. 2,4 m
d. 3,75 m
12. Diketahui tiga bilangan yaitu 2x, x + 5, dan 10, nilai x agar bilangan-bilangan
tersebut menjdi tripel pythagoras adalah....
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
13. Panjang sebuah tangga 10m disandarkan pada tembok sehingga ujung bawah
tangga dari tembok 6m. Jarak ujung alas tangga dari tanah adalah.....
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
14. Jenis segitiga yang dibentuk oleh sisi-sisi 3 cm, 7cm, dan 8cm adalah...
a. Segitiga lancip
b. Segitiga tumpul
c. Segitiga siku-siku
d. Segitiga sembarang
15. Jarak titik K(20,30) dan L(-20,-30) adalah....
a. 20 13

b. 15 13

32

c. 10 13
d. 5 13
16. Panjang hipotenusa atau segitiga siku-siku adalah 34cm. Panjang sisi
siku-sikunya 16cm dan x cm, nilai x adalah.....
a. 28
b. 29
c. 30
d. 31
17. Luas segitiga yang panjang sisi-sisinya 15cm, 15cm dan 18cm adalah...
a. 36
b. 45
c. 54
d. 108
18. Dibawah ini yang bukan merupakan tripel pythagoras adalah.....
a. 10, 24, 26
b. 21, 20, 29
c. 8, 11, 19
d. 50, 48 14
19. Perhatikan gambar dibawah ini !

Luas segitiga tersebut adalah......
a. 30 cm2
b. 32,5 cm2
c. 60 cm2
d. 78 cm2
20. Luas persegi panjang dengan panjang 20cm dan diagonal sisi 25cm adalah....
a. 300
b. 310
c. 320
d. 330

33

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

1. D
2. B
3. A
4. C
5. B
6. C
7. A
8. A
9. A
10. D
11. C
12. B
13. D
14. D
15. A
16. C
17. D
18. C
19. A
20. A

34