การแยกตัวประกอบของพหุนาม

คณิตศาสตร์พื้ ร์ พื้ น พื้ ฐาน ค 2 2 1 0 1 M. 2/................... NAME................................. กลุ่มสาระการเรียรีนรู้ครู้ณิตศาสตร์ กา รแยกตัวปร ะกอบของพหุนามดีกรีสอง NO...............

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยใช้สมบัติการแจกแจง เราสามารถใช้สมบัติการแจกแจงในการแยกตัวประกอบ โดยการหาตัวประกอบร่วมของพหุนาม ถ้า a, b และ c เป็นพหุนาม เรียก a ว่า ตัวประกอบร่วม ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 10xy2 + 15x2 y วิธีทำ 10xy2 + 15x2 y = (5 × 2 × x × y × y) + (5 × 3 × x × x × y) = 5xy(2y + 3x) ดังนั้น 10xy2 + 15x2 y = 5xy(2y + 3x) ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 3a 2 b 2 – 12ab2 วิธีทำ 3a2 b 2 – 12ab2 = (3 × a × a × b × b) – (3 × 4 × a × b × b) = 3ab2 (a – 4) ดังนั้น 3a 2 b 2 – 12ab2 = 3ab2 (a – 4) ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ –8x 2 y – 6x2 y 2 + 10xy2 วิธีทำ –8x2 y – 6x2 y 2 + 10xy2 = –(2 x 2 x 2 x x x x x y) – (2x 3 x x x x x y x y) + (2 x 5 x x x y x y) = –2xy(4x + 3xy – 5y) ดังนั้น –8x 2 y – 6x2 y 2 + 10xy2 = –2xy(4x + 3xy – 5y) ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ xy – 2xz + yz – 2z2 วิธีทำ xy – 2xz + yz – 2z2 = (xy – 2xz) + (zy – 2z2 ) (จัดหมู่) = {x(y – 2z)} + {z(y – 2z)} (ดึงตัวประกอบร่วมออก) = (y – 2z)(x + z) (มี y – 2z เป็นตัวประกอบร่วม) หรือ xy – 2xz + yz – 2z2 = xy + yz – 2xz – 2z2 (สลับที่) = (xy + yz) – (2xz + 2z2 ) (จัดหมู่) = {y(x + z)} – {2z(x + z)} (ดึงตัวประกอบร่วมออก) = (x + z)(y – 2z) (มี x + z เป็นตัวประกอบร่วม) ดังนั้น xy – 2xz + yz – 2z2 = (y – 2z)(x + z) หรือ (x + z)(y – 2z) การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าพหุนามเดิมตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป ถ้า a, b และ c แทนจำนวนใด ๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca เราอาจเขียนใหม่เป็นดังนี้ ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x 2 + ax + bx + ab วิธีทำ x 2 + ax + bx + ab = (x2 + ax) + (bx + ab) (จัดหมู่) = {x(x + a)} + {b(x + a)} (ดึงตัวประกอบร่วม) = (x + a)(x + b)( มี x + a เป็นตัวประกอบร่วม) หรือ x 2 + ax + bx + ab = x 2 + bx + ax + ab (สลับที่) = (x2 + bx) + (ax + ab) (จัดหมู่) = {x(x + b)} + {a(x + b)} (ดึงตัวประกอบร่วมออก) = (x + b)(x + a)(มี x + b เป็นตัวประกอบร่วม) ดังนั้น x 2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b) หรือ (x + b)(x + a) ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – ax + bx + ab วิธีทำ x 2 – ax + bx – ab = (x2 – ax) + (bx – ab) = x(x – a) + b(x – a) = (x – a) (x + b) ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – xy + bx – by วิธีทำ x 2 – xy + bx – by = (x2 – xy + (bx – by) = x(x – y) + b(x – y) = (x – y) (x + b) ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ xd + yc + xc + yd วิธีทำ xd + yc + xc + yd = (xd + xc) + (yc + yd) = x(d + c) + y (c + d) = (d + c) (x + y)

แบบฝึกหัด จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. 5x2 – 10 2. x2 + xy 3. 4a2 – 8a 4. 8a + 72 5. 6ab – 15ab2 6. 44x2 + 11xy 7. x3 y + xy3 8. 3x2 – 9x 9. 3x4 y 3 – 5x2 y 5 10. 15a3 + 18a2 b 11. 49a3 – 7a2 + 35a 12. x2 + 3x3 – 6x4 13. -4x2 yz + xyz2 – 20xy2 z 3 14. 4a3 b 2 – 2a2 b 3 + a2 b 2 15. 25x + 15x2 y – 75x3 16. 15x3 + 25x2 -10x 17. a2 – 2a3 + 2a3 18. -x 2 y 2 – 4x3 y 3 – 5x4 y 4 19. 3a4 b – 6a3 b 2 – 9a2 b 3 20. 13a2 + 26a + 39 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. (2y2 – 3)y + 4(2y2 – 3) 2. (4 – a) + (4 – a)x2 3. a(b + 4c) + x(b + 4c) 4. 7(a – 1) – 4x(a – 1) 5. (x – 1) + y2 (x – 1) 6. 6x2 (y – 2) – 12x3 (y + 2) 7. x2 (x + 4) – 7(x + 4) 8. 2x2 (a2 + b2 ) – 4x(a2 – b 2 ) 9. 5x – 10a + bx – 2ab 10. ax + by + bx + ay 11. 3x2 – 2xy – 3xy – 2y2 12. 5xy + 5xz + y + z 13. ab2 – cb2 – 6a + 6c 14. x2 + 3x + 3y – xy 15. x3 – x 3 z + y2 z – y 2 16. a2 b + a2 c + 6c + 6b 17. bx – ab + x2 – ax 18. 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 19. axy + bcxy – az – bcz 20. a2 c 2 + acd + abc + bd จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. a2 + ab + ac + bc 2. ab – by – ay + y2 3. pr + qr – ps – qs 4. 6ac – 2cy – 3a + y 5. x2 – 3x – xy + 3y 6. mx – 2my – nx + 2ny 7. axy – bcxy – az + bcz 8. x4 + x3 + 2x + 2 9. f2 x 2 + q2 x 2 – aq2 – af2 10. a2 c 2 +acd+abc+bd

2. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0 ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x 2 + bx + c สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้โดยอาศัยแนวคิดจากการหา ผลคูณของพหุนาม ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x 2 + 5x + 6 วิธีทำ x 2 + 5x + 6 = x 2 + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ] = x 2 + (2x + 3x) + (2)(3) = (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)] = (x + 2)x + (x + 2)(3) = (x + 2)(x + 3) ดังนั้น x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – x – 20 วิธีทำ x 2 – x – 20 = x 2 + (-1)x + (-20) = x 2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5) [4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ] = x 2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5) = (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] = (x + 4)x + (x + 4)(-5) = (x + 4)[x + (-5)] = (x + 4)(x -5) ดังนั้น x 2 – x – 20 = (x + 4)(x – 5) ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – 10x + 21 วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21 และ (-3) + (-7) = -10 นั่นคือ x 2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)] ดังนั้น x 2 – 10x + 21 = ( x –3 )( x –7 ) ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x 2 + 5x – 6 วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = - 6 และ (-1) + (6) = 5 นั่นคือ x 2 + 5x – 6 = [ x + (-1)][ x + 6] ดังนั้น x 2 + 5x – 6 = ( x –1 )( x + 6 )

แบบฝึกหัด จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. 2 − 11 + 30 2. 2 − − 72 3. 2 − 19 + 84 4. 2 + 13 + 12 5. 2 − 16 + 63 6. 2 + 4 − 32 7. 2 + 9 + 18 8. 2 + − 6 9. 2 − 2 + 2 10. 2 + 3 − 88 2

3. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0 สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5x 2 – 11x + 2 วิธีทำ ขั้นที่ 1 …แยกพจน์หน้าเป็นสองพจน์ ได้ 5x กับ x …………………………….. (5x ……..)(x……..) ขั้นที่ 2 …แยกพจน์ท้ายออกเป็นสองจำนวนคูณกัน ได้ (-2)×(-1) นำไปใส่ในขั้นตอนที่ 1 สามารถใส่ได้ 2 แบบ คือ ……………………………..(5x – 2)(x – 1) กับ (5x – 1)(x – 2) ขั้นที่ 3 …หาพจน์กลางจากขั้นตอนที่ 2 โดยนำ (ใกล้ ×ใกล้) + (ไกล ×ไกล) ถ้าได้ผลลัพธ์เป็น -11x แสดงว่าการแยกตัวประกอบนั้นถูกต้อง ……………. ดังนั้น 5x 2 – 11x + 2 = (5x – 1)(x – 2) ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2x 2 + 9x – 5 วิธีทำ 2x2 + 9x – 5 = (2x – 1)(x + 5) ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 15x 2 – 41x + 28 วิธีทำ 15x2 – 41x + 28 = (5x – 7)(3x – 4) ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 18x 2 + 27x + 10 วิธีทำ 18x2 + 27x + 10 = (6x + 5)(3x + 2) ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 5x 2 – 8x – 21 วิธีทำ 5x2 – 8x – 21 = (5x + 7)(x – 3)

แบบฝึกหัด จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. 2 2 + 5 + 2 2. 10 2 + 29 + 10 3. 6 2 + 5 − 25 4. 8 2 + 2 − 15 5. 7 2 − 37 + 10 6. 12 2 − 29 + 14 7. 6 2 − − 40 8. 5 2 − 43 − 70 9. 8 2 − 44 + 48 2 10. 28 2 + 31 − 5 2

4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ พิจารณารูปต่อไปนี้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = (A + B)(A + B) (A + B) (A + B) = A 2 + 2AB + B2 หรือ (A + B)2 = A 2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A 2 – 2AB + B2 ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x 2 + 12x + 36 วิธีทำ x 2 + 12x + 36 = x 2 + 2(x)(6) + 62 = (x + 6)2 ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้า และ 6 เป็นพจน์หลัง สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x 2 + 36x + 81 วิธีทำ 4x2 + 36x + 81 = (2x2 ) + 2(2x)(9) + 92 = (2x + 9)2 ให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลังของพหุนามดีกรีสอง สูตรของการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูปกำลังสองสมบูรณ์ คือ A 2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A 2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A – B B B A – B A A – B B B A – B A (พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2

(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2 (พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2 (พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2 ถ้าให้ 2x เป็นพจน์หน้า และ 9 เป็นพจน์หลัง สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – 10x + 25 วิธีทำ x 2 – 10x + 25 = x 2 – 2(x)(5) + 52 = (x – 5)2 ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้า และ 5 เป็นพจน์หลัง สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 9x2 – 12x + 4 วิธีทำ 9x2 – 12x + 4 = (3x)2 – 2(3x)(2) + 22 = (3x – 2)2 ถ้าให้ 3x เป็นพจน์หน้า และ 2 เป็นพจน์หลัง สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ (x + 2)2 + 6(x + 2) + 9 วิธีทำ (x + 2)2 + 6(x + 2) + 9 = (x + 2)2 + 2(x + 2)(3) + 32 = {(x + 2) + 3}2 = (x + 5)2 ดังนั้น (x + 2)2 + 6(x + 2) + 9 = (x + 5)2 ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 9x 2 – 6x(x – 2) + (x – 2)2 วิธีทำ 9x2 – 6x(x – 2) + (x – 2)2 = (3x)2 – 2(3x)(x – 2) + (x – 2)2 = {3x – (x – 2)}2 = (3x – x + 2)2 = (2x + 2)2 ดังนั้น 9x 2 – 6x(x – 2) + (x – 2)2 = (2x + 2)2

แบบฝึกหัด จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. 4x2 + 4x + 1 2. 16x2 – 56x + 49 3. 4x2 + 20x + 25 4. 49x2 – 42x + 9 5. 9x2 + 12x + 4 6. 4x2 – 36x + 81 7. 9x2 + 30x + 25 8. 25x2 – 80x + 64 9. 9x2 + 24x + 16 10. 81x2 – 180x + 100 11. 36x2 + 60x + 25 12. 64x2 – 48x + 9 13. 25x2 + 30x + 9 14. 9x2 – 12x + 4 15. 49x2 + 154x + 121 16. 81x2 – 90x + 25 17. 121x2 + 220x + 100 18. 49x2 – 70x + 25 19. 225x2 + 360x + 144 20. 25x2 – 110x + 121 21. 9x2 + 12xy + 4y2 22. 25x2 – 10xy + y2 23. 16x2 + 8xy + y2 24. 49x2 – 42xy + 9y2 25. 36x2 + 60xy + 25y2 26. 100x2 – 380xy + 361y2 27. 36x2 + 12xy + y2 28. 144x2 – 264xy + 121y2 29. 49x2 + 28xy + 4y2 30. 625x2 – 600xy + 144y2 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. (x + 3)2 + 8(x + 3) + 16 2. (2x – 1)2 – 20(2x – 1) + 100 3. (x + 5)2 + 16(x + 5) + 64 4. (3x + 2)2 – 26(3x + 2) + 169 5. 36(x + 4)2 + 108(x + 4) + 81 6. 9(2x – 3)2 – 30(2x – 3) + 25 7. (2x + 3y)2 + 8(2x + 3y) + 16 8. 100(x – y)2 – 20(x – y) + 1 9. 16x2 + 8x(x – 2) + (x – 2)2 10. 49x2 – 14(x2 – x) + (x – 1)2 11. (x + 5)2 + 12x(x + 5) + 36x2 12. (x + 2)2 – 10(x2 + 2x) + 25x2 13. (x + 1)2 + 12(x + 1) + 36 14. 16x2 + 8x(3x – x) + (3x – 2)2 15. (3x – 1)2 + 20x(3x – 1) + 100x2 16. (x + 7)2 – 12x(x + 7) + 36x2 17. (x – 5)2 – 16(x – 5) + 64 18. 49x2 + 14(x2 – 2x) + (x – 2)2 19. (5x + 4)2 – 26(5x + 4) + 169 20. (3x – 5 2 ) – 18(3x – 5) + 81 21. 9x(2x + 1)2 – 30x(2x + 1) + 25x2 22. 25(x – 9)2 – 70x(x – 9) + 49y2 23. 36(x – 3)2 + 108x(x – 3) + 81x2 24. 100(x + 4)2 + 60(x2 + 4x) + 9x2 25. x2 – 2 5 x + 5

5. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสองใช้กระดาษสร้างรูป วิธีที่ 1 วิธีที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ถ้าเป็นตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีสองหนึ่งที่มีพจน์เหมือนกันแต่มีเครื่องหมายระหว่างพจน์ต่างกัน จะเรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง รูปทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง สามารถสรุปเป็นสูตรของการแยกตัวประกอบ ของพหุนามดีกรีสองในรูปของผลต่างกำลังสองได้ ดังนี้ A 2 – B 2 = (A – B)(A + B) A A – B B B จากรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ A หน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ A A = A2 ตารางหน่วย ตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขาวด้านละ B หน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตัดออกเท่ากับ B B = B2 ตารางหน่วย ตัดกระดาษตามรอยประแล้วนำมาต่อกัน จะเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ (A + B)(A – B) จะได้ว่า A 2 – B 2 = (A + B) (A – B) A B B B A A A – B A – B A – B B B A จากรูป ตัดกระดาษตามรอยประ ดังรูป นำส่วนที่ตัดออกมาต่อกัน จะได้ว่า A 2 – B 2 = (A + B) (A – B) A – B A B (พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)(พจน์หน้า + พจน์หลัง)

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – 36 วิธีทำ x 2 – 36 = x 2 – 6 2 = (x – 6) (x + 6) ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 36x 2 – 121 วิธีทำ 36x2 – 121 = (6x)2 – 112 = (6x – 11) (6x + 11) ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 25x 2 – 16y2 วิธีทำ 25x2 – 16y2 = 5 2 x 2 – 4 2 y 2 = (5x)2 – (4y)2 = (5x + 4y) (5x – 4y) ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ (2k + 5)2 – 13 วิธีทำ (2k + 5)2 – 13 = (2k + 5)2 – ( 13)2 = (2k + 5 + 13) (2k + 5 – 13) ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 1012 – 992 วิธีทำ 1012 – 992 = (101 + 99) (101 – 99) = 200 × 2 = 400 ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ (3x + 4)2 – 225 วิธีทำ (3x + 4)2 – 225 = (3x + 4)2 – 152 = {(3x + 4) – 15}{(3x + 4) + 15} = (3x – 11)(3x + 19) ดังนั้น (3x + 4)2 – 225 = (3x – 11)(3x + 19)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ 16(x – 5)2 – 25(x + 3)2 วิธีทำ 16(x – 5)2 – 25(x + 3)2 ={4(x – 5)}2 – {5(x + 3)}2 = {4(x – 5) – 5(x + 3)}{4(x – 5) + 5(x + 3)} = (4x – 20 – 5x – 15)(4x – 20 + 5x + 15) = (–x – 35)(9x – 5) ดังนั้น 16(x – 5)2 – 25(x + 3)2 = (–x – 35)(9x – 5) ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ (3x + 4)2 – 225 วิธีทำ (3x + 4)2 – 225=(3x + 4)2 – 152 = {(3x + 4) – 15}{(3x + 4) + 15} = (3x – 11)(3x + 19) ดังนั้น (3x + 4)2 – 225=(3x – 11)(3x + 19) ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ 16(x – 5)2 – 25(x + 3)2 วิธีทำ 16(x – 5)2 – 25(x + 3)2 = {4(x – 5)}2 – {5(x + 3)}2 = {4(x – 5) – 5(x + 3)}{4(x – 5) + 5(x + 3)} = (4x – 20 – 5x – 15)(4x – 20 + 5x + 15) = (–x – 35)(9x – 5) ดังนั้น 16(x – 5)2 – 25(x + 3)2 = (–x – 35)(9x – 5)

แบบฝึกหัด จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. (x + 3)2 – 9 2. 36 – (x – 5)2 3. (x + 7)2 – 16 4. (x – 3)2 – 49 5. 81 – (3x + 2)2 6. x2 – (2x + 5)2 7. 4x2 – (x + 6)2 8. (4x + 5)2 – 25x2 9. (2x + 3y)2 – 49 10. (x + 2)2 – (x – 5)2 11. (x + 4)2 – (x + 9)2 12. (x + 6)2 – (x – 4)2 13. (x + 8)2 – (x + 5)2 14. (3x + 7)2 – (x – 1)2 15. (2x – 3y)2 – (3x + y)2 16. (3x + 1)2 – (x – 1)2 17. (5x – 3)2 – 144x2 18. 16(x + 5)2 – 25x2 19. 9(x + 7)2 – 121x2 20. 169x2 – 81(x + 3)2 21. 9(x – 3y)2 – 25(2x + y)2 22. 81(x – 2)2 – 4(x + 3)2 23. 36(x – 4)2 – 49(x + 7)2 24. 100(x + 5)2 – 16(x – 3)2 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. 36x2 – (x2 + 18x + 81) 2. (x2 + 50x + 625) – 441x2 3. (2x + 5)2 – (49x2 – 42x + 9) 4. (x2 + 36x + 324) – (9x2 – 90x + 225) 5. (4x2 – 36x + 81) – (16x2 + 56x + 49) 6. (16x2 + 40xy + 25y2 ) – (4x2 – 28xy + 49y2 ) 7. (2x – y)2 – (4x2 – 12xy + 9y2 ) 8. 2,5482 – 4522 9. 3,0122 – 3,0082 10. 5,3422 – 6582

6. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มีวิธีการดังนี้ กรณีที่ 1 กำหนดพหุนามดีกรีสอง x 2 + bx + c 1. เขียน x 2 + bx ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ( หน้า )2 + 2(หน้า )( หลัง ) + (หลัง )2 - (หลัง )2 + c โดย บวกเพิ่ม และ ลบออก ด้วยพจน์ (หลัง )2 2. เขียนลดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ( หน้า + หลัง )2 - (หลัง )2 + c ตามด้วยผลลัพธ์ของ - (หลัง )2 + c 3. จัดรูปใหม่ให้เป็นผลต่างกำลังสอง ( หน้า )2 - (หลัง )2 4. เขียนผลต่างกำลังสอง ในรูป ( หน้า - หลัง )( หน้า + หลัง ) กรณีที่ 2 กำหนดพหุนามดีกรีสอง x 2 - bx + c 1. เขียน x 2 + bx ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ( หน้า )2 - 2(หน้า )( หลัง ) + (หลัง )2 - (หลัง )2 + c โดย บวกเพิ่ม และ ลบออก ด้วยพจน์ (หลัง )2 2. เขียนลดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ( หน้า - หลัง )2 - (หลัง )2 + c ตามด้วยผลลัพธ์ของ - (หลัง )2 + c 3. จัดรูปใหม่ให้เป็นผลต่างกำลังสอง ( หน้า )2 - (หลัง )2 4. เขียนผลต่างกำลังสอง ในรูป ( หน้า - หลัง )( หน้า + หลัง ) พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – 6x + 5 วิธีทำ x 2 – 6x + 5 = ( x )2 - 2( x )( 3 ) + ( 3 )2 - ( 3 )2 + 5 = (x – 3)2 - ( 4 ) = (x – 3)2 - ( 2 )2 = (x – 3 – 2)(x – 3 + 2) รูปทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลังของพหุนามดีกรีสอง สูตรของการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูปกำลังสองสมบูรณ์คือ A 2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A 2 – 2AB + B2 = (A – B)2 รูปทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง สูตรของการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูปของผลต่างกำลังสอง คือ A 2 – B 2 = (A – B)(A + B)

= (x – 5)(x – 1) ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x 2 + 6x + 7 วิธีทำ x 2 + 6x + 7 = ( x )2 + 2( x )( 3 ) + ( 3 )2 - ( 3 )2 + 7 = (x + 3)2 - ( 2 ) = (x + 3)2 - ( 2 ) 2 = (x + 3 – 2 )(x + 3 + 2 ) ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x 2 – 7x + 12 วิธีทำ x 2 – 7x + 12 = ( x )2 - 2( x )( 2 7 ) + ( 2 7 ) 2 - ( 2 7 ) 2 + 5 = (x – 2 7 ) 2 - ( 4 1 ) = (x – 2 7 ) 2 - ( 2 1 ) 2 = (x – 2 7 – 2 1 )(x – 2 7 + 2 1 ) = (x – 4)(x – 3) ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 2x 2 – 9x – 5 วิธีทำ 2x 2 – 9x – 5 = 2 [ x 2 – 2 9 x – 2 5 ] = 2 [( x )2 – 2( x )( 4 9 ) + ( 4 9 ) 2 – ( 4 9 ) 2 – 2 5 ] = 2 [ (x – 4 9 ) 2 – 16 81 – 2 5 ] = 2 [ (x – 4 9 ) 2 – 16 121 ] = 2 [ (x – 4 9 ) 2 – ( 4 11 ) 2 ] = 2(x – 4 9 – 4 11 )(x – 4 9 + 4 11 ) = 2(x – 5)(x + 2 1 ) = (x – 5)(2x + 1)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 3x 2 + 12x – 7 วิธีทำ 3x2 + 12x – 7 = 3 [ x 2 + 4x – 3 7 ] = 3 [( x )2 + 2( x )( 2 ) + (2)2 – (2)2 – 3 7 ] = 3 [( x + 2 )2 – 3 19 ] = 3 [( x + 2 )2 – ( 3 19 ) 2 ] = 3( x + 2 – 3 19 )( x + 2 + 3 19 )

แบบฝึกหัด จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ 1. y2 – y – 72 2. c2 + 21c – 108 3. m2 + 12m – 85 4. a2 – 22ac + 57c2

5. z2 + 34z + 289 6. a2 + 2a – 255 7. k2 + k – 272 8. 72 – 14x – x 2

9. 6 – x(1 + x) 10. 4 – x(5 – x) 11. 4a2 – 8ab – 5b2 12. 6p2 – 13pq + 2q2

13. 3x2 – 14x – 5 14. 12a2 – 7ab – 12b2 15. 28x2 – x – 15 16. 6x2 + xy – 12y2

17. 2x2 + 7x + 6 18. 7x2 + 22x + 3 19. 3r2 – 7r – 6 20. 9x2 – 12x + 4