بحث المثلثات

‫إعداد طالبات ‪ :‬الصف الأول ثانوي رابع‪.‬‬

‫بإشراف المعلمة ‪ :‬أنٌسة عبٌد‪.‬‬

‫الفصل الدراسً الأول ‪ 1438 – 1437‬الهجرٌة‬
‫‪.‬‬

1

‫انمحخىياث‬

‫الممدمة‪4....................................................................... :‬‬
‫أهداف البحث‪5................................................................ :‬‬
‫فكرة البحث‪5.................................................................. :‬‬
‫الفصل الأول‪ :‬تعرٌف المثلثات وتارٌخ اكتشاف المثلثات‪5............... .‬‬
‫تارٌخ المثلث واكتشافه‪6..................................................:‬‬
‫أنواع المثلثات من حٌث محاور التناظر‪7.............................. :‬‬

‫الفصل الثانً‪ :‬أنواع المثلثات من حٌث الأضلاع والزواٌا ومحاور‬
‫التناظر‪7..................................................................... :‬‬
‫أنواع المثلثات من حٌت أطوال الأضلاع‪8..............................:‬‬
‫أنواع المثلثات من حٌث الزواٌا‪8....................................... :‬‬
‫حسب لٌاس أكبر زاوٌة فً المثلث‪9................................... :‬‬
‫معرفة نوع المثلث بمعلومٌة أطوال أضلاعه‪9......................... :‬‬
‫مثلث بلٌاردو‪11............................................................ :‬‬

‫الفصل الثالث‪ :‬نظرٌة فٌثاغورس ونظرٌة الزواٌا الداخلٌة والخارجٌة‪:‬‬
‫‪11 ............................................................................‬‬
‫نظرٌة فٌثاغورس‪11..................................................... :‬‬
‫نظرٌة مجموع لٌاسات زوٌا المثلث الداخلٌة‪12....................... :‬‬
‫نظرٌة الزاوٌة الخارجٌة للمثلث‪12..................................... :‬‬
‫الفصل الرابع‪ :‬المحٌط و المساحة‪13...................................... :‬‬
‫محٌط المثلث‪13.......................................................... :‬‬
‫مساحة المثلث‪14......................................................... :‬‬
‫طرق إٌجاد المساحة‪14................................................. :‬‬
‫الفصل الخامس ‪ :‬نظرٌة متباٌنة المثلث ‪16................................‬‬
‫الفصل السادس‪ :‬تطابك المثلثات‪17.......................................‬‬
‫حالات تطابك المثلثات‪17................................................:‬‬
‫حالات تطابك المثلثات المائمة‪17........................................ :‬‬
‫الفصل السابع والأخٌر‪ :‬دعم المثلثات فً العمارة(المثلثات فً حٌاتنا) ‪18‬‬

‫‪2‬‬

‫أشهر المبانً المعمارٌة المدعومة بالمثلثات‪18........................‬‬
‫مراحل البحث‪21............................................................. :‬‬
‫مخرجات البحث‪21...........................................................:‬‬
‫الخاتمة‪21..................................................................... :‬‬
‫المراجع‪22.................................................................... :‬‬
‫مساحة المثلث‪22........................................................... :‬‬
‫المحٌط‪22................................................................... :‬‬
‫تارٌخ المثلث‪22............................................................ :‬‬
‫نظرٌة فٌثاغورس‪22....................................................... :‬‬
‫أنواع المثلثات من حٌث الزواٌا‪22........................................ :‬‬
‫تطابك المثلثات‪22.......................................................... :‬‬
‫أنواع المثلثات من حٌث الأضلاع‪22......................................:‬‬
‫متباٌنة المثلث‪22........................................................... :‬‬

‫‪3‬‬

‫انممذمت‪:‬‬

‫ٌتناول البحث العلمً الخاص بالصف الأول ثانوي رابع‪ ،‬علم المثلثات‬
‫وأشكاله وأنواعه وتعرٌفه وتارٌخه‪ ،‬ولم ٌكن هذا موضوعاً جدٌداً فمد بحث‬
‫العلماء المدماء والمعاصرون والطلبة فً جمٌع أنحاء العالم وبشتى اللغات‬

‫عنه ولكن أردنا البحث بشأنه لتثبٌت وتأكٌد ونشر علم المثلثات ومزاٌاه‪.‬‬
‫ومن أهم العلماء المدماء الكبار الذٌن ورثوا علم المثلثات ؛ الخوارزمً‪،‬‬
‫فمد لام بتمدٌم جداول دلٌمة للجٌب وجٌب التمام فً كتابة الجداول الفلكٌة‬
‫ومن خلال ترجمة هذا العمل من العربٌة إلى اللاتٌنٌة‪ ،‬دخلت معارف علم‬
‫المثلثات إلى أوروبا لاحماً‪ ،‬وأٌضاً لا ننسى فضل البتانً فً اكتشاف‬
‫وتطوٌر المثلثات الكروٌة وفضل العالم الفارسً أبا الوفاء البوزجانً‬

‫وإسهاماته المهمة فً علم المثلثات‪ ،‬فمد لام باكتشاف المتطابمات المثلثٌة‪.‬‬
‫كما ذكرت سابماً‪ ،‬فسبب اختٌار البحث والهدف منه هو تثبٌت وتأكٌد نشر‬
‫علم المثلثات ومزاٌاه‪ ،‬وٌهدف هذا البحث لدراسة المثلثات بشكل عام‬
‫وبشك ٍل مفصل أٌضاً‪ ،‬لمنا بالاستعانة بكت ٍب ومراجعٍ والشبكة العنكبوتٌة‬

‫بالطبع‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫أهذاف انبحث‪:‬‬

‫‪ ‬أن ٌعرف المارئ تارٌخ المثلثات‪.‬‬
‫‪ ‬أن ٌعرف المارئ ما أهمٌة المثلث وأنواعه‪.‬‬

‫‪ ‬أن ٌعرف المارئ بنظرٌة فٌثاغورس‪.‬‬
‫‪ ‬أن ٌعرف المارئ بنظرٌة الزواٌا الداخلٌة والخارجٌة‪.‬‬

‫‪ ‬تطابك المثلثات‪.‬‬
‫‪ ‬أن ٌعرف المارئ بكٌفٌة استعمال المثلثات فً فن العمارة‬

‫والهندسة‪.‬‬
‫‪ ‬أن تمدم معلومات شاملة حول المثلث‪.‬‬

‫فكرة انبحث‪:‬‬

‫أن تمدم معلومات شاملة حول المثلث‪ ،‬لجمٌع الفئات العمرٌة‪.‬‬

‫لطم انبحث إنى ضبؼت فصىل رئيطت‪:‬‬

‫انفصم الأول‪ :‬حؼريف انمثهثاث وحاريخ اكخشاف انمثهثاث‪.‬‬
‫تعرٌف المثلث الجدٌد‪ :‬هو مضلع مكون من ثلاثة زواٌا‪ ،‬تصل بٌنها ثلاثة‬

‫أضلاع‪ .‬والأضلاع‪ :‬هً عبارة عن لطع مستمٌمة‪.‬‬
‫وهو أحد الأشكال الأساسٌة فً الهندسة‪ ،‬وهو شكل ثنائً الأبعاد مكون من‬
‫ثلاثة رؤوس تصل بٌنها ثلاثة أضلاع‪ ،‬وتلن الأضلاع هً لطع مستمٌمة‪.‬‬

‫ومجموع طولً أي ضلعٌن فً مثلث أكبر من طول الضلع‪.‬‬

‫التعرٌف المدٌم‪ :‬الهندسة المستوٌة‪ ،‬شكل‬
‫مغلك ثلاثً الأضلاع والزواٌا‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫حاريخ انمثهث واكخشافه‪:‬‬
‫علم المثلثات أو حساب المثلثات‪ :‬هو فرع من فروع الرٌاضٌات‪،‬‬
‫ٌدرس الزواٌا والمثلثات والتوابع المثلثٌة‪ ،‬كالجٌب والجٌب التمام ‪ ،‬وهو‬
‫أحد فروع علم الهندسة العامة‪ٌُ ،‬عتبر لدماء المصرٌٌن أول من عم َل‬
‫بمواعد حساب المثلثات‪ ،‬إذ استخدموها فً بناء الأهرامات وبناء معابدهم‪،‬‬
‫ولكن للٌل من الموروث عنهم فً هٌئة مخطوطات ومنها عرفوا مساحة‬
‫الدائرة بكونها مساوٌة لتسعة أعشار مساحة المربع المحٌط بها المماس لها‬
‫من أربع أضلاع‪ ،‬وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغرٌك الذٌن‬
‫وضعوا لوانٌنها‪ ،‬ومن أهمها‪ :‬الزاوٌة المائمة والزاوٌة الحادة والزاوٌة‬

‫المنفرجة‪.‬‬
‫وٌعود تارٌخ حساب المثلثات إلى ألدم ما دَون الرٌاضٌات فً مصر‬
‫وبابل‪ ،‬وحتى العصر الٌونانً فلم ٌوجد أي تطور ملحوظ فً حساب‬

‫المثلثات‪.‬‬
‫ولعلم المثلثات تطبٌمات كثٌرة‪ :‬ومنها حساب المسافات والزواٌا فً إنشاء‬
‫المبانً والطرق وفً صناعة المحركات وأجهزة التلفاز والأثاث وملاعب‬
‫الكرة‪ ،‬وكذلن وفً حساب المسافات الجغرافٌة والفلن والملاحة‪ ،‬وفً‬

‫أنظمة الإستكشاف بالألمار الصناعٌة‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫انفصم انثاني‪ :‬أنىاع انمثهثاث من حيث الأضلاع وانسوايا ومحاور‬
‫انخناظر‪:‬‬

‫أنىاع انمثهثاث من حيث محاور انخناظر‪:‬‬

‫المثلث المختلف الأضلاع‬
‫لٌس له محاور تناظر‬

‫المثلث المتساوي الأضلاع‬
‫له‪ 3‬محاور تناظر‬

‫المثلث المتساوي السالٌن‬
‫له محور تناظر واحد‬

‫‪7‬‬

‫أنىاع انمثهثاث من حيث انسوايا‪:‬‬

‫المثلث لائم الزاوٌة‪ ،‬وهو المثلث ذو‬
‫زاوٌة ‪ 99‬درجة‪.‬‬

‫المثلث حاد الزاوٌة ‪ ،‬وهو‬
‫المثلث ذو زواٌا حادة ولٌاسه‬

‫ألل من ‪ 99‬درجة ‪.‬‬

‫المثلث المنفرج الزاوٌة‪ ،‬وهو‬
‫المثلث الذي فٌه زاوٌة منفرجة‬
‫ولٌاسه أكبر من ‪ 99‬درجة‪.‬‬

‫أنىاع انمثهثاث من حيج أطىال الأضلاع‪:‬‬

‫متطابك الضلعٌن أو متساوي‬
‫السالٌن‪ :‬هو المثلث الذي ٌوجد‬

‫فٌه ضلعٌن متساوٌٌن‪.‬‬

‫متطابك الأضلاع أو متساوي‬
‫الأضلاع‪ :‬هو المثلث الذي فٌه‬
‫ثلاثة أضلاع متساوٌة تما ًما‬
‫بالطول وٌكون أٌ ًضا زواٌاه‬
‫متساوٌة‪ ،‬وتساوي ‪ 61‬درجة‬

‫لكل زاوٌة‪.‬‬

‫مختلف الأضلاع‪ :‬وهو المثلث‬
‫الذي أضلاعه أطوالها مختلفة أي‬

‫لا ٌوجد أي ضلعٌن متساوٌٌن‬
‫فٌه‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫حطب لياش أكبر زاويت في انمثهث‪:‬‬
‫المثلث المائم الزاوٌة‪ :‬حٌث تكون‬
‫الزاوٌة المائمة بمماس‪ 99‬درجة‪،‬‬
‫وٌطلك على الضلع الممابل لهذه‬
‫الزاوٌة (الوتر)‪ ،‬وهو عبارة عن‬
‫أطول الأضلاع فً هذا المثلث‪.‬‬

‫المثلث المنفرج‪ :‬حٌث توجد فٌه‬
‫زاوٌة ٌكون لٌاسها أكبر من ‪91‬‬
‫درجة‪ ،‬وأصغر من ‪ 181‬درجة‪.‬‬

‫المثلث حاد الزاوٌة‪ :‬حٌث تكون‬
‫كل زاوٌا هذا المثلث بمٌاس‬

‫أصغر من ‪ 99‬درجة وٌكون حاد‬
‫الزاوٌة‪.‬‬

‫مؼرفت نىع انمثهث بمؼهىميت أطىال أضلاػه‪:‬‬
‫نربع أطوال الأضلاع‪ ،‬ونوجد مجموع مربعً الضلعٌن الأصغرٌن ثم‬
‫نمارن مع مربع الضلع الأكبر إذا كانوا متساوٌٌن ٌكون المثلث لائم‬

‫الزاوٌة‪.‬‬

‫إذا كان مربع الضلع الثالث أكبر من مجموع مربعً الضلعٌن ٌكون‬
‫المثلث منفرج الزاوٌة‪.‬‬

‫إذا كان مربع الضلع الثالث أصغر من مجموع مربعً الضلعٌن ٌكون‬
‫المثلث حاد الزاوٌة‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫مثلث أطوال أضلاعه ‪ 7 ،5 ،3‬فما نوعه؟‬
‫‪9=3²‬‬
‫‪25 = 5²‬‬
‫‪49 = 7²‬‬

‫‪34 = 25 + 9‬‬
‫‪34 > 49‬‬

‫إذا المثلث منفرج الزاوٌة‪.‬‬

‫مثهث بهياردو‪:‬‬
‫الإطار الذي ٌحوي الكرات فً الأعلى هو مثال على مثلث متساوي‬

‫الأضلاع أو متطابك الأضلاع فأضلاعه الثلاثة متساوٌة‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫انفصم انثانث‪ :‬نظريت فيثاغىرش ونظريت انسوايا انذاخهيت وانخارجيت‪:‬‬

‫نظريت فيثاغىرش‪:‬‬
‫تنص نظرٌة فٌثاغورس على أنه بالمثلث‬
‫المائم مربع طول الوتر(‪ٌ )A²‬ساوي‬
‫مجموع مربعً طولً الضلعٌن المائمٌن‬

‫(‪ )B²+C²‬وٌعنً ذلن ما ٌلً‪:‬‬

‫(‪ )B²+C²( =)A²‬أي أنه عند معرفة أطوال ضلعٌن من المثلث المائم ٌكفً‬
‫لمعرفة طول الضلع الآخر‪.‬‬

‫رأى فٌثاغورس أن عددًا من المثلثات المائمة الزاوٌة والتً تتألف من‬
‫أضلاع أطوالها (‪ )5,4,3‬أو مضاعفاتها مثل (‪ )11,6,8‬و (‪)9,12,15‬‬
‫الخ ‪ ...‬تنطبك علٌها النظرٌة‪ ،‬وهنا وضع فٌثاغورس أول طرح لنظرٌته‬
‫وهو أن أطوال أضلاع أي مثلث لائم هً (‪ )3,4,5‬أو مضاعفاتها‪،‬‬
‫وأستنتج فٌثاغورس أن مربع طول الضلع الكبٌر الممابل للزاوٌة المائمة فً‬
‫مثلث أطوال أضلاعه (‪ )5,4,3‬تساوي العدد الناتج من جمع مربعً‬

‫الضلعٌن البالٌٌن‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪11‬‬

‫نظريت مجمىع لياضاث زويا انمثهث انذاخهيت‪:‬‬

‫‪A‬‬ ‫مثال‪:‬‬
‫‪CB‬‬
‫)‪180°- (120°+45°‬‬
‫‪= 180 ° - 165°‬‬
‫‪= 15°‬‬

‫نظريت انساويت انخارجيت نهمثهث‪:‬‬

‫الزاوٌة الخارجٌة للمثلث تساوي‬
‫مجموع الزاوٌتٌن الداخلتٌن غٌر‬
‫المجاورة لها (البعٌدتان عنها)‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫انفصم انرابغ‪ :‬انمحيط و انمطاحت‪:‬‬

‫محيط انمثهث‪:‬‬
‫وضع أرخمٌدس لانون محٌط المثلث‪ ،‬هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة‬
‫ولا فرق بٌن طرٌمة حساب محٌط المثلث لائم الزاوٌة وبٌن أي نوع آخر‬

‫من أنواع المثلثات‪.‬‬
‫حساب محٌط المثلث كل ما علٌنا فعله هو أخذ المجموع لمٌاسات أطوال‬

‫أضلاعه حسب العلالة الرٌاضٌة التالٌة‪:‬‬
‫محٌط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه‪.‬‬
‫وأخٌراً تطبٌك هذا المانون من خلال جمع طول الضلع الأول مع الثانً‬
‫والثالث‪ ،‬مع العلم أنه ٌجب مراعاة أن تكون أطوال المثلث بنفس الوحدة‪،‬‬
‫فلا ٌجوز جمع لٌمة بوحدة المتر مع لٌمة بوحدة السنتٌمتر على سبٌل‬

‫المثال‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫لدٌنا المثلث ‪ ،ABC‬حٌث أن أطوال أضلاعه (‪ )AB‬و (‪ )BC‬و(‪ )CA‬هما‬
‫‪ 4cm‬و‪ 5cm‬و‪ 3cm‬على التوالً‬

‫محٌط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه‬
‫محٌط المثلث = ‪4 +5 +3‬‬
‫محٌط المثلث = ‪12 cm‬‬

‫‪4cm‬‬
‫‪3cm‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪13‬‬

‫مطاحت انمثهث‪:‬‬
‫المساحة‪ :‬هً لٌا ٌس لسط ٍح محصو ٍر بٌن نما ٍط معرفة‪ ،‬ولكً نحسب‬

‫مساحة المثلث هنان أكثر من طرٌم ٍة نورد أكثرها شهرة‬

‫طرق إيجاد انمطاحت‪:‬‬

‫طريقة العد‪:‬‬

‫ٌمكن حساب المساحة عن طرٌك‬
‫تمسٌم المثلث إلى وحدا ٍت‬
‫صغٌرةٍ‪ ،‬مثلاً كل وحدةٍ تمثل ‪1‬‬
‫‪ ،mm2‬أو‪ ، 2 cm2‬وبعد ذلن عدها‪،‬‬
‫لأن مجموع الوحدات ٌساوي‬

‫مساحة المثلث‪.‬‬

‫القاوىن العام‪:‬‬

‫لاستخدام هذا المانون ٌجب معرفة الآتً‪:‬‬
‫طول أحد أضلاع المثلث وٌسمى بالماعدة‪.‬‬
‫ارتفاع المثلث؛ أي طول العمود النازل من الزاوٌة الممابلة للماعدة إلى‬

‫الماعدة‪.‬‬
‫ملاحظة‪ :‬فً المثلث لائم الزاوٌة الارتفاع هو طول الضلع الثانً‬

‫المجاور للماعدة‪ ،‬وٌشترن معها فً تشكٌل الزاوٌة المائمة‪.‬‬
‫المساحة = ½ الماعدة ×الارتفاع‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬

‫ما هً مساحة مثل ٍث ارتفاعه ‪ :10 cm‬وطول لاعدته ‪5 cm‬؟‬
‫المساحة = ½ × ‪25 cm2 = 5 × 11‬‬
‫‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫بمعرفة أطىال الأضلاع ‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6 cm‬‬ ‫)‪S = (a+b+c‬‬
‫‪3 cm‬‬ ‫‪S = (3+5+6) = 7‬‬
‫√‬
‫‪CB‬‬ ‫√‬
‫‪5 cm‬‬ ‫‪√ = 2 √ cm2‬‬

‫‪66‬‬ ‫بمعرفة تطابق الأضلاع ‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫√‬

‫√‬

‫‪K = 9√ cm2‬‬

‫بمعرفة طىل ضلعيه وزاوية محصىرة بيىهما‪:‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫ما مساحة المثلث إذا كان طول الضلع الأول ‪ ،6 cm‬والضلع الثانً ‪،5 cm‬‬
‫والزاوٌة المحصورة بٌنهما ‪ 30°‬؟‬

‫=‬ ‫الحل‪:‬‬
‫‪cm2‬‬
‫‪15‬‬

‫انفصم انخامص ‪ :‬نظريت مخباينت انمثهث‬

‫أثبت أللٌدس متباٌنة المثلث من خلال الهندسة الإللٌدٌة من خلال الرسم‪.‬‬
‫لنفرض أن المثلث ‪ DBC‬متساوي السالٌن‪ ،‬حٌث الضلع ‪ٌ BC‬ساوي الضلع‬

‫‪ ،BD‬و‪ AB‬هو امتداد له‪.‬‬

‫أثبت أللٌدس أن الزاوٌة ‪،β > α‬‬

‫ومنه ‪.AD > AC‬‬

‫لكن ‪AD = AB + BD = AB + BC‬‬

‫لذلن جمع الضلعٌن ‪.AB + BC > AC‬‬

‫مثال‪8 in , 15 in , 17 in :‬‬

‫‪15+17 >? 8‬‬ ‫‪8+17 >? 15‬‬ ‫‪8+15 >? 17‬‬
‫‪√ 32 > 8‬‬ ‫‪√ 25 > 15‬‬ ‫‪√ 23 > 17‬‬

‫بما أن مجموع طولً أي لطعتٌن أطول من المطعة الثالثة ‪ ،‬فإن المطع‬
‫المستمٌمة التً أطوالها ‪ 8،15،17‬تكون مثلثا‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫انفصم انطادش‪ :‬حطابك انمثهثاث‬
‫حالاث حطابك انمثهثاث‪:‬‬

‫حالات تطابك المثلثات المائمة‪:‬‬

‫‪17‬‬

‫انفصم انطابغ والأخير‪ :‬دػم انمثهثاث في انؼمارة(انمثهثاث في حياحنا)‬
‫الهندسة والعمارة‪ :‬هما التخصصان اللذان ٌرتبطان معا بشكل أساسً‪.‬‬
‫والمثلث وأحد من هذه الأشكال الهندسٌة الأكثر شهرة‪ ،‬وٌتم تحدٌد‬
‫المثلثات من الزواٌا الثلاث التً ترتبط بها من خلال لطاعات الخط‬
‫لتشكٌل شكل ذا ثلاثة جوانب‪ ،‬والشكلٌٌن الثلاثٌٌن هما الأكثر شٌوعاً فً‬

‫العمارة ‪.‬‬
‫وهما متساوٌٌن الأضلاع ومتساوٌٌن السالٌن‪.‬‬
‫المثلث‪:‬هو شكل فعال للهندسة المعمارٌة وٌستخدم فً كثٌر من التصمٌمات‬

‫المبانً وذلن لأنه ٌوفر الموة والاستمرار‪.‬‬
‫عندما ٌتم استخدام مواد بناء لتشكٌل المثلث والتصمٌم فلدٌه لاعدة ثمٌلة‬
‫لادرة على التعامل مع الوزن بسبب كٌفٌة توزٌع الطالة فً جمٌع أنحاء‬

‫شكل المثلث‪.‬‬
‫هذه الإطارات توفر هٌكل لوي‪.‬‬

‫أشهر انمباني انمؼماريت انمذػىمت بانمثهثاث‬

‫الأهرامات‪ -‬مصر‬

‫‪18‬‬

‫مسجد الملن فٌصل‪ -‬باكستان‬

‫فندق لاكسور‪ -‬لاس فٌغاس‬

‫مبنى سكنً‪ -‬كورٌا‬
‫مبنى للمعماري دانٌال‬

‫لٌبسكند‬

‫‪19‬‬

‫مراحم انبحث‪:‬‬

‫اختٌار الموضوع‪.‬‬ ‫‪‬‬
‫اختٌار الاسم‪.‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اختٌار المراجع‪.‬‬ ‫‪‬‬
‫البحث فً الموضوع‪.‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫توزٌع المهام‪.‬‬
‫تمسٌم الفصول‪.‬‬

‫مخرجاث انبحث‪:‬‬

‫الكتٌب الإلكترونً‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫انخاحمت‪:‬‬

‫ولله الحمد لم نواجه العدٌد من الصعوبات فً البحث عدا اختٌار‬
‫موضوع البحث فمد احترنا وغٌرنا موضوعنا كثٌراً بسبب أن الموضوع‬
‫لد اختٌر من فصول أخرى فً السنوات السابمة ولكننا استمرٌنا جمٌعاً‬

‫بالنهاٌة على المثلثات كما هو واضح الآن‪.‬‬
‫ختاماً أرى واجباً علٌنا أن نشكر الأستاذة المدٌرة أنٌسة على جهودها‬
‫ومساعدتها لنا وتشجٌعنا على إنجاز العمل بصورة أكثر إتماناً وأكثر‬

‫سرعة‪ ،‬ولما جادت به علٌنا من ثمٌن أولاتها وجٌد معلوماتها‪.‬‬
‫ونشكر كل من ساهم فً إعانتنا فً البحث أساتذة كانوا أو غٌرهم‪.‬‬
‫ونسأل الله أن ٌجعل هذا العمل خالصاً لوجهه الكرٌم‪ ،‬أن ٌسدد الخطى‪،‬‬

‫وبالله التوفٌك‪.‬‬
‫والسلام علٌكم ورحمة الله وبركاته‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫انمراجغ‪:‬‬

‫مطاحت انمثهث‪:‬‬

‫‪ ‬أول متوسط‪ ،‬الفصل الدراسً الثانً‪ ،‬الوحدة الثامنة‪ ،‬الدرس الثانً‬
‫‪ ‬أول متوسط الفصل الدراسً الأول‪ ،‬الوحدة الثالثة‪،‬‬

‫‪ ‬سادس ‪،‬الفصل الدراسً الثانً الفصل العاشر الدرس الثالث‬
‫‪ ‬ثانً متوسط ‪،‬الفصل الدراسً الثانً ‪،‬الفصل السادس ‪،‬الدرس الأول‪.‬‬

‫‪ ‬ثانً ثانوي‪ ،‬الفصل الدراسً الثانً‬

‫انمحيط‪:‬‬

‫‪ ‬أول متوسط‪ ،‬الفصل الدراسً الأول‪ ،‬الوحدة الثالث‪ ،‬الدرس السادس‪.‬‬
‫‪ ‬وثانً متوسط‪ ،‬الفصل الدراسً الثانً‪ ،‬الوحدة السادس‪ ،‬الدرس الأول‪.‬‬

‫حاريخ انمثهث‪:‬‬

‫أول المتوسط‪ ،‬الفصل الدراسً الثانً‪ ،‬الوحدة الثامنة‪ ،‬الدرس الأول‪.‬‬

‫نظريت فيثاغىرش‪:‬‬

‫‪ ‬ثالث متوسط ‪،‬الفصل الدراسً الثانً ‪،‬الوحدة التاسع ‪،‬الدرس الرابع‬
‫‪ ‬ثانً متوسط ‪ ،‬الفصل الدراسً الأول ‪،‬الوحدة الثانً ‪،‬الدرس الخامس‬

‫والسادس‪.‬‬

‫أنىاع انمثهثاث من حيث انسوايا‪:‬‬

‫أول ثانوي‪ ،‬الفصل الدراسً الأول‪ ،‬الوحدة الثالثة‪ ،‬الدرس الأول والثانً‪.‬‬

‫حطابك انمثهثاث‪:‬‬

‫‪ ‬أول ثانوي‪ ،‬الفصل الدراسً الأول‪ ،‬الوحدة الثالثة‪ ،‬الدرس الثالث والرابع‬
‫والخامس والسادس‬

‫‪ ‬سادس الفصل الدراسً الثانً الوحدة التاسعة الدرس الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬ثالث ثانوي‪ ،‬الفصل الدراسً الأول‪ ،‬الوحدة الثالثة‪ ،‬الدرس الثانً‪.‬‬

‫أنىاع انمثهثاث من حيث الأضلاع‪:‬‬

‫الصف السادس‪ ،‬الفصل الدراسً الثانً‪ ،‬الوحدة التاسعة‪ ،‬الدرس الثالث‪.‬‬

‫مخباينت انمثهث‪:‬‬

‫أول ثانوي‪ ،‬الفصل الدراسً الأول‪ ،‬الوحدة الرابعة‪ ،‬الدرس الثالث والخامس‪.‬‬

‫‪22‬‬

23