การแปรผัน

เอกสารชุดนี้จัดทําขึ้นเพื่อการศึกษา สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชยทุกรณี อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|1 บทนําของการแปรผัน การแปรผันเปนความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ หรือมากกวา ในเมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยน แปลงไป อีกปริมาณหนึ่งหรือหลายปริมาณจะเปลี่ยนแปลงไปดวยอยางไดสัดสวนกัน ตัวอยางสถานการณความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ เชน ระหวางปริมาณการใชไฟฟากับคาไฟที่ตองจาย พบวาถาใชไฟฟามากขึ้น จะทําใหตองจายคาไฟมากขึ้น ถามีอาหารที่ใชเลี้ยงไกในฟารมอยู 100 กระสอบ ระหวางจํานวนไกที่เลี้ยงกับจํานวนเวลาที่ไกจะ กินอาหารจํานวนนี้จนหมด พบวาถาเลี้ยงไกในฟารมมากขึ้น อาหารที่มีในปริมาณดังกลาวจะใชเลี้ยงไกในเวลาที่ นอยลง ถารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด 20 ตารางเซนติเมตร ระหวางดานประชิดของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ถาดานหนึ่งมีความยาวมากขึ้น ความยาวดานประชิดอีกดานจะมีความยาวลดลง การแปรผันมีดวยกัน 3 แบบ คือ การแปรผันตรง (Direct variation) การแปรผกผัน (Inverse variation) และ การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (Joint variation) 1. การแปรผันตรง(Direct Variation) กิจกรรมสํารวจ กําหนดตารางแสดงจํานวนสมเขียวหวาน และจํานวนเงินที่ตองจาย ดังนี้ จํานวนสมเขียวหวาน(กิโลกรัม) x จํานวนเงินที่ตองจาย(บาท) y x y 1 27 2 54 3 81 4 108 5 135 6 162 จากตารางพบวา ............................................................................................................. ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|2 บทนิยาม ให x และ y แทนปริมาณใดๆ y แปรผันตรงกับ x เมื่อ y = kx โดยที่ k เปนคาคงตัว และ k ≠ 0 จากนิยาม 1. ขอความ y แปรผันตรงกับ x เขียนแทนดวย y x (สัญลักษณของการแปรผันตรง) 2. สมการ y = kx เรียกวา สมการแสดงการแปรผัน(variation equation)ของการแปรผันตรง 3. เรียก k วาคาคงตัวของการแปรผัน(variation constant) โดยที่ ถา k > 0 ความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่งก็เพิ่มตาม ดวย หรือเมื่อปริมาณหนึ่งลด อีกปริมาณหนึ่งก็ลดตามดวย อยางเปนสัดสวนกัน ถา k < 0 ความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่งจะมีคา ลดลง หรือเมื่อปริมาณหนึ่งลด อีกปริมาณหนึ่งจะมีคาเพิ่มขึ้น อยางเปนสัดสวนกัน 4. กราฟของสมการแสดงการแปรผันตรง จะเปนเสนตรง หรือ เปนจุดที่เรียงกันแบบแนวเสนตรงที่ผานจุด (0, 0) หรือ มีจุด (0, 0) สอดคลองกับสมการ y =kx 5. ปริมาณ y แปรผันตรงกับปริมาณ x หรือไม พิจารณาจากคาคงตัวของ y x วาเปนคาเดียวกันหรือไม ถาเปนคาคงตัวเดียวกันแลวความสัมพันธระหวางสองปริมาณนั้นเปนการแปรผันตรง แตถามี x และ y บางคูที่คาของ y x ตางจาก x และ y คูอื่นๆ แสดงวาความสัมพันธระหวางสองปริมาณ นั้นไมเปนการแปรผันตรง หมายเหตุ ในระดับนี้ เราจะพิจารณาคาคงตัวของการแปรผันที่เปนบวก นั้นคือเมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่ง ก็เพิ่มตามดวย หรือเมื่อปริมาณหนึ่งลด อีกปริมาณหนึ่งก็ลดตามดวย อยางเปนสัดสวนกัน

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|3 ตัวอยางที่ 1 จากสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ จงเขียนสมการการแปรผัน การแปรผันของปริมาณสองปริมาณ คาคงตัวของการแปรผัน สมการของการแปรผัน y x 5 v t 9.8 2 A r 3 V r 4 3 2 1 d t 3 y x 2 ตัวอยางที่ 2 จากสมการแปรผันที่กําหนดในแตละขอตอไปนี้ จงบอกความเกี่ยวของระหวางตัวแปร และคาคงตัวของการแปรผัน สมการของการแปรผัน ความเกี่ยวของระหวางตัวแปร คาคงตัวของการแปรผัน y 1.5x F= –10 g 1 A B 3 2 s 9.8t 2 y x หมายเหตุ นอกจากจะมี y x ตามที่กลาวในบทนิยาม แลว y อาจจะแปรผันตรงกับปริมาณอื่นๆที่เกี่ยวของกับ x เชน 2 3 y x , y x เปนตน ในชีวิตประจําเรามักจะพบการแปรผันตรงระหวางปริมาณสองปริมาณในลักษณะที่คาคงตัวของการแปรผัน เปนจํานวนจริงบวก ในบทเรียนนี้จึงจะเนนการแปรผันตรงที่คาคงตัวของการแปรผันเปนจํานวนจริงบวก

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|4 การตรวจสอบการแปรผันตรง กําหนดความสัมพันธระหวาง x และ y ถา y x เปนคาคงตัวเดียวกัน สําหรับทุกคูของ x และ y เมื่อ x ≠ 0 แลว y แปรผันตรงกับ x และ คา คงตัวที่เทากันนี้เปนคาคงตัวของการแปรผัน ตัวอยางที่ 3 จากตารางแสดงความสัมพันธระหวาง x และ y จงพิจาณาวา y การแปรผันตรงกับ x หรือไม ถา y แปรผันตรงกับ x จงหาคาคงตัวของการแปรผัน และสมการของการแปรผัน (1) ................................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................................... (2) ................................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................................... (3) ................................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................................... (4) ................................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................................... x 3 5 8 12 y 9 15 24 36 x –3 –1 2 4 y 12 4 8 12 x –4 2 10 –12 y 2 –1 –5 6 x 1 2 3 4 y 4 6 8 10

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|5 ตัวอยางที่ 4 จากตาราง จงพิจาณาวา y การแปรผันตรงกับ x , 2 x , 1 x หรือ 2 1 x และจงหาคาคงตัวของการแปรผัน และสมการของการแปรผัน (1) วิธีทํา ตอบ จากตาราง พบวา ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... y แปรผันตรงกับ .......................... เขียนแทนดวยสัญลักษณ ..................................... คาคงตัวของการแปรผันคือ .............. สมการของการแปรผันคือ .................................... x 2 3 4 5 y 8 18 32 50 y x 2 x y x 2 y x y 1/ x 2 y 1/ x 8 2 18 3 32 4 50 5

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|6 (2) วิธีทํา ตอบ จากตาราง พบวา ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... y แปรผันตรงกับ .......................... เขียนแทนดวยสัญลักษณ ..................................... คาคงตัวของการแปรผันคือ .............. สมการของการแปรผันคือ .................................... x –2 –0.1 10 2 y 4 80 –0.8 –4 y x 2 x y x 2 y x y 1/ x 2 y 1/ x 8 2 18 3 32 4 50 5

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|7 (3) นักเรียนคนหนึ่งปลอยลูกบอลใหกลิ้งลงมาจากพื้นเอียง ให d แทนระยะทางที่ลูกบอลกลิ้งลงมา(เมตร) ในเวลา t (วินาที) วิธีทํา ตอบ จากตาราง พบวา ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... y แปรผันตรงกับ .......................... เขียนแทนดวยสัญลักษณ ..................................... คาคงตัวของการแปรผันคือ .............. สมการของการแปรผันคือ .................................... t 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 d 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 18.0 t d 0.5 0.5 1.0 0.2 1.5 4.5 2.0 8.0 2.5 12.5 3.0 18.0

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|8 ตัวอยางที่ 5 ถา y แปรผันตรงกับ x และ y = 8 เมื่อ x = 5 จงหา (1) สมการแสดงความสัมพันธระหวาง x กับ y (2) คาของ y เมื่อ x = 10 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 6 ให y แปรผันตรงกับกําลังสองของ x และ y = 16 เมื่อ x = 2 จงหาคาของ y เมื่อ x = 5 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 7 คาใชจายในการเลี้ยงสังสรรคครั้งหนึ่งแปรผันตรงกับจํานวนคนที่มาในงาน ถาคนมางาน 40 คน เสียคาใชจาย 3,200 บาท จงหาวาถามีคนมางาน 120 คน จะเสียคาใชจายเทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|9 ตัวอยางที่ 8 ถา y แปรผันตรงกับ 2 x จงหาวา ถา x เปน 2 เทาของปริมาณเดิม y จะเปนกี่เทาของปริมาณเดิม ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 9 ถาเราปลอยกอนหินใหตกลงมาอยางอิสระในแนวดิ่ง จะพบวา ระยะทาง S เมตร ที่กอนหินตกลงมาแปรผันตรงกับกําลังสองของเวลาที่ตก t วินาที ถาในเวลา 2 วินาที กอนหินตกลงมาเปนระยะทาง 20 เมตร จงหาวาเมื่อปลอยกอนหินใหตกโดยอิสระนาน 6 วินาที จะไดระยะทางเทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|10 ตัวอยางที่ 10 เมื่อปลอยน้ําจากถังใหไหลออกจากทอที่อยูกนถัง พบวาอัตราเร็วของการไหลของน้ํา v (ลูกบาศก เมตรตอนาที) แปรผันตรงกับกรณฑที่สองของความสูงของน้ํา h (เซนติเมตร) ที่วัดจากกนถัง และเมื่อความสูงของน้ําเปน 9 เซนติเมตร น้ําจะไหลออกจากทอดวยอัตราเร็ว 42.6 ลูกบาศกเมตร ตอนาที จงหา 1) สมการแสดงความเกี่ยวของระหวางอัตราเร็วของการไหลของน้ํากับความสูงของน้ํา 2) อัตราเร็วของการไหลของน้ําที่มีความสูง 36 เซนติเมตร 3) ความสูงของน้ําที่ไหลดวยอัตราเร็ว 56.8 ลูกบาศกเมตรตอนาที ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|11 แบบฝกหัด --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. จากตารางแสดงแบบรูปความเกี่ยวของระหวาง x และ y ตารางใดแสดงวา y แปรผันตรงกับ x และถา y แปรผันตรงกับ x ใหหาคาคงตัวของการแปรผัน และเขียนสมการแสดงการแปรผัน (1) พบวา .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. (2) พบวา ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... (3) พบวา .............................................................................................................................. ............................................................................................................................... x 3 6 9 12 15 y 2 4 6 8 10 x –5 –4 –3 –2 –1 y 10 8 6 4 2 x 2 4 5 8 10 y 10 5 4 2.5 2

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|12 (4) พบวา ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... (5) พบวา ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... 2. จากตารางกําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ จงเขียนสมการของการแปรผันตรง (1) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... x –4 –2 2 4 6 y 2 1 –1 –2 –3 x 1 2 3 4 6 y –12 –6 –4 –3 –2 x 0 1 2 3 4 y 0 2 4 6 8

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|13 (2) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... (3) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... (4) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... (5) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... A 0 3 6 9 12 B 0 1 2 3 4 P 1 4 1 9 4 4 16 Q 1 2 3 4 8 S 0.3 1 1.5 3.5 4 t 1.8 6 9 21 24 M 3 3 2 3 3 6 3 5 N 1 2 3 4 5

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|14 3. กําหนดให y แปรผันตรงกับ x จงเติมขอมูลในตารางแตละขอตอไปนี้ใหสมบูรณ (1) (2) (3) x 3 6 8 y 24 40 60 x 8 17 22 y 20 27.5 35 74 x 1 2 6 y 2.3 20.7 29.9

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|15 4. ถา y x และ y = 6 เมื่อ x = 9 จงหา y เมื่อ x = 15 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 5. ถา x แปรผันตรงกับ y และ x = 20 เมื่อ y = 9 จงหา x เมื่อ y = 18 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 6. ถา y แปรผันตรงกับ x และ y = 16 เมื่อ x = 8 จงหาคา y เมื่อ x = 30 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 7. ถา P แปรผันตรงกับ Q และ P = 4 เมื่อ Q = 2 จงหาสมการของความสัมพันธระหวาง P และ Q ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 8. ถา M L และ M = 7 เมื่อ L = 3 จงหาสมการของการแปรผัน และหาคา L เมื่อ M = 12 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|16 9. กําหนดให y x และ y = 3 เมื่อ x = 4 จงหาคาของ y เมื่อ x = 2 และคาของ x เมื่อ y = 6 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 10. ถา A แปรผันตรงกับ B และ A = 3 เมื่อ B = 27 จงหาคาของ A เมื่อ B = 3 และคาของ B เมื่อ A = 10 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 11. ถา y 2 x และ y = 16 เมื่อ x = 2 จงหาคาของ y เมื่อ x = 3 และคาของ x เมื่อ y = 4 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 12. ให 2 P Q และ 1 P 13 2 เมื่อ Q = 3 จงหาคาของ P เมื่อ Q = 1 2 2 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|17 13. ให 2 w d และ W = 36 เมื่อ d = 3 จงหาสมการการแปรผันของ W และ d และหาคา W เมื่อ d = 4 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 14. กําหนดใหมวลของทรงกลมแปรผันกับรัศมีของทรงกลม และ m = 67.5 เมื่อ r = 3 จงหาคา m เมื่อ r = 4 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 15. กําหนดให v แปรผันตรงกับ h และ v = 71 เมื่อ h = 25 จงหา v เมื่อ h = 9 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 16. ถา y x และ y = 0.4 เมื่อ x = 4 จงหา y ในเทอมของ x และหา y เมื่อ x = 100 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|18 17. ถาพื้นที่วงกลมแปรผันตรงกับกําลังสองของรัศมีวงกลม ถาวงกลมมีรัศมี 1 3 2 นิ้ว จะมีพื้นที่ของวงกลม เทากับ 1 38 2 ตารางนิ้ว ถาวงกลมมีรัศมี 14 นิ้ว จะมีพื้นที่เทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 18. ถาน้ําหนักของรูปปนรูปหนึ่งแปรผันตรงกับกําลังสามของความสูงของรูปปนนั้น เมื่อรูปปนนั้นสูง 50 เซนติเมตร จะหนัก 6.8 กิโลกรัม จงหาวารูปปนแบบเดียวกันเมื่อสูง 150 เซนติเมตร จะหนักเทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 19. พื้นที่ผิวของลูกบาศกแปรผันตรงกับกําลังสองของความยาวของสัน ถาความยาวของสันเปน 2 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิว 24 ตารางเซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวของลูกบาศกเมื่อสันยาว 5 เซนติเมตร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|19 20. พื้นที่ผิวของรูปทรงชนิดหนึ่งแปรผันตรงกับกําลังสองของความยาวดาน ถาความยาวดานเทากับ 3 นิ้ว พื้นที่ผิวของรูปทรงเทากับ 54 ตารางนิ้ว จงหาคาคงตัวของการแปรผัน และความยาวดานของรูปทรง เมื่อพื้นที่รูปทรงเทากับ 726 ตารางนิ้ว ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 21. ถาเอาลูกตุมทองเหลืองอันหนึ่งหอยที่ปลายเชือกเสนหนึ่ง พบวาเวลาของการแกวงครบรอบของลูกตุม ทองเหลือง แปรผันตรงกับรากที่สองของความยาวของเชือก ถาเชือกยาว 64 เซนติเมตร จะแกวงครบใน เวลา 2 วินาที จงหาวา (1) ถาเชือกยาว 4 เมตร ลูกตุมทองเหลืองจะแกวงครบรอบในเวลากี่วินาที (2) ถาตองการใหลูกตุมทองเหลืองอันนี้แกวงไดครึ่งนาที 40 รอบ จะตองแขวนลูกตุมทองเหลืองดวย เชือกยาวเทาไร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|20 2. การแปรผกผัน (Inverse variation) กิจกรรมสํารวจ กําหนดตารางแสดงสัมพันธระหวางอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใชในการเดินทางของรถยนตคันหนึ่ง ซึ่งแลนได ระยะทาง 240 กิโลเมตร ให v แทน อัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนตเปนกิโลเมตรตอชั่วโมง t แทน เวลาที่ใชในการเดินทางเปนชั่วโมงในระยะทาง 240 กิโลเมตร v t t v v t 40 6 60 4 80 3 100 12 5 120 2 จากตารางจะพบวา ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|21 บทนิยาม ให x และ y แทนปริมาณใดๆ ที่ไมใชศูนย y แปรผกผันกับ x เมื่อ y = 1 k x โดยที่ k เปนคาคงตัว และ k ≠ 0 จากนิยาม 1. ขอความ y แปรผกผันกับ x เขียนแทนดวย 1 y x (สัญลักษณของการแปรผกผัน) 2. สมการ 1 y k x เรียกวา สมการแสดงการแปรผัน(variation equation)ของการแปรผกผัน เรียก k วาเปนคาคงตัวของการแปรผันซึ่งเปนจํานวนจริงบวกหรือเปนจํานวนจริงลบก็ได 3. กราฟแสดงความสัมพันธที่เปนการแปรผกผัน จะไมผานจุด (0, 0) ไมเปนสวนของเสนตรง ไมเปนรังสีและ ไมเปนเสนตรง หมายเหตุ ในชีวิตประจําวัน เรามักจะพบการแปรผกผันระหวางปริมาณสองปริมาณในลักษณะที่คาคงตัวของการแปร ผันเปนจํานวนจริงบวกเปนสวนมาก ในบทเรียนนี้จึงเนนการแปรผกผันที่คาคงตัวของการแปรผันเปนจํานวนจริง บวก การตรวจสอบความสัมพันธที่เปนการแปรผกผัน ความสัมพันธระหวางปริมาณ x และปริมาณ y ที่กําหนดใหมีความสัมพันธกันแบบการแปรผกผันหรือไม เราอาจพิจารณาวาผลคูณของปริมาณทั้งสองนั้นเปนคาคงตัวตัวเดียวที่ไมเทากับศูนย สําหรับทุกคูของ x และ y หรือไม ถาเปนคาคงตัวตัวเดียวกันที่ไมเทากับศูนย แลวความสัมพันธระหวางสองปริมาณนั้นก็เปนการแปรผกผัน ที่มีคาคงตัวดังกลาวเปนคาคงตัวของการแปรผัน แตถามี x และ y บางคูที่ทําใหผลคูณตางจากผลคูณของ x และ y คูอื่นๆ แลวความสัมพันธระหวางสองปริมาณนั้นก็ไมเปนการแปรผกผัน

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|22 ตัวอยางที่ 11 จากสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ จงเขียนสมการการแปรผัน การแปรผันของปริมาณสองปริมาณ คาคงตัวของการแปรผัน สมการของการแปรผัน 2 1 y x 3 1 s 2t 1 4 1 v t 0.5 ตัวอยางที่ 12 จากสมการแปรผันที่กําหนดในแตละขอตอไปนี้ จงบอกความเกี่ยวของระหวางตัวแปร และคาคงตัวของการแปรผัน สมการของการแปรผัน ความเกี่ยวของระหวางตัวแปร คาคงตัวของการแปรผัน k y 2x 3 2 y 3t 2 y x 1 2 2 k y (x 1) คําถามนํา นักเรียนคิดวาถา y แปรผกผันกัน x แลว x แปรผกผันกับ y หรือไม และถา y แปรผกผันกัน x แลวใหนักเรียนสังเกตความสัมพันธระหวาง y กับ 1 x วามีการแปรผันกัน อยางไร

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|23 ตัวอยางที่ 13 จากตารางแสดงความสัมพันธระหวาง x และ y จงพิจาณาวา y การแปรผกผันตรงกับ x หรือไม ถา y แปรผกผันกับ x จงหาคาคงตัวของการแปรผัน และสมการของการแปรผัน (1) .................................................................................................................................. (2) .................................................................................................................................. (3) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... (4) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... คําถาม ถา y แปรผกผันกัน x แลว x แปรผกผันกับ y หรือไม ................................................................................................................................... ถา y แปรผกผันกัน x แลวใหนักเรียนสังเกตความสัมพันธระหวาง y กับ 1 x วามีการแปรผันกัน อยางไร ................................................................................................................................... หมายเหตุ นอกจากจะมี y แปรผกผันกับ x ตามที่กลาวมาแลวขางตน y ยังอาจแปรผกผันกับปริมาณอื่นๆ ที่ เกี่ยวของกับ x เชน y แปรผกผันกับ 2 x และ y แปรผกผันกับ x x 1 2 3 4 y 12 6 4 3 x 3 6 9 12 y 6 9 12 15 x –2 1 1 2 6 y 2 4 –8 2 3 x 3 2 1 1 2 y 1 2 3 4 3 2 3

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|24 ตัวอยางที่ 14. ถา v แปรผกผันกับ t และ v = 30 เมื่อ t = 4 จงเขียนสมการแสดงการแปรผัน ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 15. ถา y แปรผกผันกับ 2 x และ y = 2 เมื่อ x = 10 จงเขียนสมการแสดงการแปรผัน (1) จงหาคา y เมื่อ x = 5 (2) ถา x เปน 2 เทาของปริมาณเดิม y จะเปนกี่เทาของปริมาณเดิม ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 16. ที่อุณหภูมิหนึ่ง ความดันของกาซแปรผกผันกับปริมาณของกาซ กาซชนิดหนึ่งมีปริมาตร 3 2.0 10 ลูกบาศกเมตรที่ความดัน 2 บรรยากาศ จงหาความดันของกาซเมื่อมีปริมาตร 2 1.5 10 ลูกบาศกเมตร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|25 แบบฝกหัด --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. จากสิ่งที่กําหนดใหตอไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผัน (1) ความสูง (h) ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน แปรผักผันกับความยาวฐาน(b) โดยคาคงตัวของการแปรผันคือ 120 ........................................................................................................................... (2) พื้นที่ฐาน (A) ของทรงกระบอก แปรผกผันกับความสูง (h) โดยคาคงตัวการแปรผันคือ 154 ........................................................................................................................... (3) ปริมาณกระแสไฟฟา (I) แปรผกผันกับความตานทาน(R) โดยคาคงตัวของการแปรผันคือ 220 ........................................................................................................................... (4) ความถี่ (f) ของเสียง แปรผกผันกับความยาวคลื่น (L) โดยคาคงตัวของการแปรผันคือ 346 ........................................................................................................................... (5) ความดัน (P) ของกาซ แปรผกผันกับปริมาตร (V) ของกาซ โดยคาคงตัวของการแปรผันคือ 0.004 ........................................................................................................................... 2. จากสมการแปรผันที่กําหนดในแตละขอตอไปนี้ จงบอกวาปริมาณใดแปรผกผันกับปริมาณใดแปรผกผันกับปริมาณใด พรอมทั้งบอกคาคงตัวของการแปรผัน สมการของการแปรผัน ความเกี่ยวของระหวางตัวแปร คาคงตัวของการแปรผัน 2 y x 3 P 5q 2 20 T w 2 500 h r 3 m y x เมื่อ m คงตัว

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|26 3. ถา y แปรผันแบบผกผันกับ x และ y = 80 เมื่อ x = 16 จงหาคาของ x เมื่อ y = 100 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 4. ถา y แปรผกผันกับ x และ y = 8 เมื่อ x = 3 จงหา (1) สมการแสดงความเกี่ยวของระหวาง y กับ x (2) คา y เมื่อ x = 84 (3) คา x เมื่อ y = 9 (4) y จะเปนกี่เทาของปริมาณเดิม เมื่อ x เปนสองเทาของปริมาณเดิม (5) y จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงกี่เปอรเซ็นต เมื่อ x เพิ่มขึ้น 20 เปอรเซ็นต ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 5. เมื่อ y แปรผกผันกับ x และ y = 5 เมื่อ x = 16 จงหา (1) คา y เมื่อ x = 100 (2) คา x เมื่อ y = 60 (3) y จะเปนกี่เทาของปริมาณเดิม เมื่อ x เปน 1 4 เทาของปริมาณเดิม ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|27 6. ปริมาณกระแสไฟฟาที่ไหลผานเสนลวดแปรผกผันกับความตานทานของเสนลวดนั้น ลวดเสนหนึ่งมีความ ตานทาน 7 1 8 โอหม มีกระแสไฟฟา 2.0 แอมปแปรไหลผาน จงหากระแสไฟฟาที่ไหลผานลวดซึ่งมีความ ตานทาน (1) 3 โอหม (2) 5 โอหม ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 7. ความถี่ F (กิโลเฮิรตซ) ของคลื่นวิทยุแปรผกผันกับความยาวคลื่น L (เมตร) และ F = 375 เมื่อ L = 800 จงหา (1) สมการแสดงความเกี่ยวของระหวาง F กับ L (2) ความยาวคลื่นของวิทยุเมื่อมีความถี่ 200 กิโลเฮิรตซ (3) ความถี่ของคลื่นวิทยุ ถาความยาวคลื่นเปน 464 เมตร (ตอบเปนจํานวนเต็มหนวย) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|28 8. น้ําหนักของวัตถุที่ไมอยูใตระดับน้ําทะเลแปรผกผันกับกําลังสองของระยะทางที่วัตถุอยูหางจากจุดศูนยกลาง ของโลก ชายคนหนึ่งหนัก 80 กิโลกรัมที่ระดับน้ําทะเล จงหาน้ําหนักของชายคนนี้บนยอดเขาซึ่งสูงจาก ระดับน้ําทะเล 6,000 เมตร (กําหนดใหรัศมีของโลกยาว 6,400 กิโลเมตร) ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 9. ระยะเวลาในการใสน้ําใหเต็มถังแปรผกผันกับกําลังสองของความยาวของเสนผานศูนยกลางของทอสงน้ํา นายแดงตองการใสน้ําใหเต็มถังใบหนึ่ง ปรากฏวาทอสายยางที่ใชมีเสนผานศูนยกลางยาว 3 เซนติเมตร ใช เวลา 1 ชั่วโมง น้ําจึงจะเต็มถัง ถานายแดงเปลี่ยนทอสายยางเปนขนาดที่มีเสนผานศูนยกลางยาว 6 เซนติเมตร จะใชเวลานานเทาใด น้ําจึงจะเต็มถัง ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 10. เมื่อระยะทางคงที่ จะไดวา อัตราเร็ว v แปรผกผันกับเวลา t ตํารวจจึงใชความเกี่ยวของดังกลาวในการ ตรวจจับอัตราเร็วของรถยนตบนทองถนน สําหรับระยะทางคงที่ระยะหนึ่ง ตํารวจรูวา รถที่วิ่งดวยอัตราเร็ว 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง จะใชเวลาวิ่งบนระยะทางนั้น 6 วินาที ถารถคันหนึ่งใชวลาในการวิ่งบนระยะทาง ดังกลาวเพียง 5 วินาที รถคันนั้นวิ่งดวยอัตราเร็วเทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|29 11. บริษัทรับเหมากอสรางจางคนงาน 30 คน ซอมถนนสายหนึ่ง คนงานทั้งหมดชวยกันซอม ถนนไปไดครึ่งหนึ่ง ใชเวลา 16 วัน ถากําหนดใหเวลาทํางานแลวเสร็จแปรผกผันกับจํานวนคนงาน จงหาวาบริษัทรับเหมา จะตองเพิ่มคนงานอีกกี่คนจึงจะทําใหงานที่เหลือเสร็จใน (1) 12 วัน (2) 8 วัน ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 12. ความเขมเสียง 1 วัตต/ตารางเมตร แปรผกผันกับกําลังสองของระยะที่ผูฟงอยูหางจาก แหลงกําเนิดเสียง d เมตร เมื่อรังสรรคอยูหางจากเครื่องกระจายเสียงเครื่องหนึ่งในระยะ 5 เมตร รังสรรควัความเขมของเสียง ไดเปน 0.032 วัตต/ ตารางเมตร จงหาวา (1) ถารังสรรคอยูหางจากเครื่องกระจายเสียงดังกลาว 12 เมตร จะวัดความเขมเสียงไดเปนเทาใด (2) ถารังสรรควัดความเขมของเสียงไดเปน 0.2 วัตต/ ตารางเมตร ขณะนั้นรังสรรคอยูหางจากเครื่องกระจายเสียงดังกลาวเทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|30 13. w แปรผกผันกับ u และ u แปรผันตรงกับ 2 t ถา t ลดลงครึ่งหนึ่งของปริมาณเดิม w จะเปลี่ยนแปลงอยางไร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 14. เมื่ออุณหภูมิคงที่ ปริมาตรของกาซจํานวนหนึ่งแปรผันแบบผกผันกับความดันที่มีตอกาซนั้น ถาความดัน 20 เทาของบรรยากาศ กาซมีปริมาตร 45 ลูกบาศกเมตร จงหาปริมาตรของกาซ เมื่อมีความดัน 25 เทาของบรรยากาศ ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 15. งานชิ้นหนึ่งมีคนอยู 5 คน ถาเพิ่มคนงานอีก 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 วัน ถาเวลาที่ทํางานนี้แลวเสร็จแปรผันแบบผกผันกับจํานวนคนงาน จงหาวาถาจะใหงานชิ้นนี้เสร็จเร็วขึ้น 28 วัน จะตองเพิ่มคนงานอีกกี่คน ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|31 3. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง(Joint variation) การแปรผันตรง และการแปรผกผันขางตน ถา x แปรเปลี่ยนไป y จะเปลี่ยนตามไปดวย กลาวถึง คา y ขึ้นอยูกับคา x เพียงคาเดียว เรามักในชีวิตประจําวัน การแปรเปลี่ยนของปริมาณใดปริมาณหนึ่งขึ้นอยูกับหลาย ปริมาณ เชน ระยะทางที่เดินทางโดยรถยนต จะขึ้นอยูกับอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนตและเวลาที่ใชในการเดินทาง โดยที่ s vt เมื่อ s แทนระยะทางที่รถยนตวิ่งได v แทนอัตราเร็วของรถยนต t แทนเวลาที่ใชในการเดินทาง บทนิยาม ให y, 1 2 3 n x , x , x , ..., x แทนปริมาณใดๆ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ 1 2 3 n x , x , x , ..., x เมื่อ y แปรผันตรงกับผลคูณของ 1 2 3 n x , x , x , ..., x จากนิยาม y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ 1 2 3 n x , x , x , ..., x เมื่อ 1 2 3 n y k(x )(x )(x ) ... (x ) โดยที่ k เปนคาคงตัว และ k 0 ตัวอยางของความเกี่ยวของระหวางการเปลี่ยนแปลงของปริมาณหนึ่ง ซึ่งขึ้นอยูกับปริมาณอื่นๆ ตั้งแตสองปริมาณ ขึ้นไป ในลักษณะของสูตรหรือกฏตางๆ ทางคณิตศาสตร เชน สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม A = 1 b h 2 เมื่อ A แทนพื้นที่ของรุปสามเหลี่ยม b แทนความยาวฐาน h แทนความสูง สูตรคํานวณดอกเบี้ย ด = ต×ป×อ เมื่อ ด แทนดอกเบี้ยที่ไดในชวงเวลาที่ฝาก ต แทนจํานวนเงินที่ฝากธนาคาร ป แทนระยะเวลาที่ฝากคิดเปนป อ แทนอัตราดอกเบี้ยเงินฝากที่ธนาคารกําหนดใหตอป

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|32 ตัวอยางที่ 17 ปริมาตรของทรงกระบอกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับกําลังสองของรัศมีของฐานและความสูง กระปองทรงกระบอกใบหนึ่ง ฐานมีรัศมี 5 เซนติเมตร สูง 16 เซนติเมตร มีปริมาตร 400 ลูกบาศกเซนติเมตร จงหา ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 18 ความตานทานไฟฟา R (โอหม) ของลวดเสนหนึ่งแปรผันตรงกับความยาวของเสนลวด L (เมตร) และแปรผกผันกับกําลังสองของความยาวของเสนผานศูนยกลางของหนาตัด D (มิลลิเมตร) เมื่อเสนลวดขนาดเสนผานศูนยกลาง 1 มิลลิเมตร และยาว 1 เมตร จะมีความตานทานไฟฟา 0.5 โอหม จงหาวาเสนลวดขนาดเสนผานศูนยกลาง 0.5 มิลลิเมตร และยาว 100 เมตร จะมีความตานทานไฟฟากี่โอหม ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|33 ตัวอยางที่ 19 y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ 2 z ถา y = 6 เมื่อ x = 9, z = 3 (1) จงหาคา y เมื่อ x = 16 , z = 9 (2) จงหาคา x เมื่อ y = 9 , z = 1 2 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 20 y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x, z และ 1 u ถา y = 6 เมื่อ x = 2, z = 3 และ u = 4 จงหาคา y เมื่อ x = 4 , z = 3 และ u = 8 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|34 แบบฝกหัด --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. จงเปลี่ยนขอความตอไปนี้เปนสมการ 1) A แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ B และ C โดยคาคงตัวของการแปรผันคือ 0.75 2) Q แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และกําลังสองของ y โดยคาคงตัวของการแปรผัน -1 3) F แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ m ,m1 2 และกําลังสองของ d โดยคาคงตัวของการแปรผันคือ 9 4) yแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ 2 1 z โดยคาคงตัวของการแปผันคือ 1 2 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 2. yแปรผันเกี่ยวเนื่องกับx, z และ 1 t ถา x = 25, z = 2 และ t = 1 จะได y = 100 จงหา 1) คา y เมื่อ x = 12, z = 5 และ t = 4 2) คา x เมื่อ y = 36, z = 3 และ t = 2 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|35 3. ปริมาตร V (ลูกบาศกเซนติเมตร) ของกาซจํานวนหนึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิสัมบูรณ T (เคลวิน) และ แปรผกผันกับความดัน P (มิลลิเมตรของปรอท) ของกาซจํานวนนั้นถากาซจํานวนหนึ่งมีปริมาตร 450 ลูกบาศกเซนติเมตรที่อุณหภูมิ 360 เคลวิน ภายใตความดัน 736 มิลลิเมตรของปรอท 1) จงหาสูตรเพื่อหาปริมาตรของกาซที่อุณหภูมิและความดันใดๆ 2) จงหาปริมาตรของกาซที่อุณหภูมิ 312 เคลวินเมื่อมีความดันเทากับ 96 มิลลิเมตรของปรอท 3) ถาใหความดันของกาซเปนคาคงตัว และเพิ่มอุณหภูมิเปนสองเทาของอุณหภูมิเดิม ปริมาตรของ กาซจะเปลี่ยนแปลงอยางไร 4) ถาใหอุณหภูมิของกาซเปนคาคงตัว และเพิ่มความดันเปนสองเทาของความดันเดิม ปริมาตรของ กาซจะเปลี่ยนแปลงอยางไร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 4. เมื่อวัตถุเคลื่อนที่อยางสม่ําเสมอเปนวงกลม แรงสูศูนยกลาง F แปรผันตรงกับกําลังสองของความเร็ว v ของวัตถุ และแปรผกผันกับรัศมีของวงกลม r เมื่อ v = 2 และ r = 5 เมตร จะได F = 64 นิวตัน จงหา F เมื่อ v = 3 เมตร/วินาที และ r = 4 เมตร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|36 5. ความตานทานไฟฟา R (โอหม) ของลวดเสนหนึ่งแปรผันตรงกับความยาวของเสนลวด L (เมตร) และ แปรผกผันกับกําลังสองของความยาวของเสนผานศูนยกลางของหนาตัด D (มิลลิเมตร) ถาลวดเสนหนึ่ง ยาว 10 เมตร และมีเสนผานศูนยกลางของหนาตัดยาว 0.20 มิลลิเมตร มีความตานทาน 6.0 โอหมจงหา ความยาวของลวดทองแดงที่มีเสนผานศูนยกลางของหนาตัดยาว0.50 มิลลิเมตร และมีความตานทาน 2.0 โอหม ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 6. ปริมาณของน้ํามันเปนแกลลอนในถังทรงกระบอกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับกําลังสองของรัศมี และความสูงของถัง ถังใสน้ํามันใบหนึ่งสูง 35 เซนติเมตรรัศมีของกนถังเปน 21 เซนติเมตร จุน้ํามัน 12 แกลลอน จงหาวาถังที่มีรัศมี 28 เซนติเมตรสูง 105 เซนติเมตรจะจุน้ํามันเทาไร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 7. น้ําหนักบรรทุกที่ปลอดภัย ซึ่งอาจวางไวบนคานที่มีหนาตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาแปรผันรวมกับความกวาง และกําลังสองของความหนาของคาน และแปรผกผันกันความยาวของคานดวย ถาความกวาง 5 เซนติเมตร หนา 10 เซนติเมตร ยาว 1.50 เมตร จะรับน้ําหนักได 400 กิโลกรัม อยางปลอดภัย จงหาน้ําหนักสําหรับ คานกวาง 7.5 เซนติเมตร หนา 15 เซนติเมตร ยาว 2.25 เมตร ที่ จะรับน้ําหนักไดอยางปลอดภัย ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|37 8. ระยะที่รถไฟขบวนหนึ่งที่กําลังเรงฝจักรวิ่งไดนั้น แปรผันตรงกับความเรงและกําลังสองของเวลา ถาระยะที่วิ่งไดเมื่อสิ้นวินาทีที่ 16 และสิ้นวินาทีที่ 17 ตางกันอยู 39.60 เมตร (1) จงหาระยะทางที่รถไฟขบวนนี้วิ่งไดเมื่อสิ้นวินาทีที่ 20 (2) ถาคาคงตัวมีคาเทากับ 1 2 จงหาความเรง ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 9. ความดัน P (นิวตันตอตารางเมตร) ของของเหลวที่กระทําตอจานกลมใบหนึ่งที่จมอยูในของเหลวนั้น แปร ผันตรงกับระดับความลึกของจานในของเหลว d (เมตร) กําลังสองของรัศมี r (เมตร) ของจานกลม ถาจาน อยูลึก 3 เมตร รัศมีของจานเปน 2 เมตร ความดันของของเหลวบนจานเปน 3,000 นิวตันตอตารางเมตร จงหาวาเมื่อจานกลมมีรัศมี 1.5 เมตร อยูลึก 4 เมตร ความดันของของเหลวที่กระทําตอจานเปนเทาใด ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 10. x มีคาเทากับผลบวกของจํานวนสองจํานวน จํานวนหนึ่งมีคาคงตัว และอีกจํานวนหนึ่งแปรผันโดยตรง กับ y ถา x = 20 เมื่อ 1 y 3 และ x = 45 เมื่อ y = 2 แลว จงหาความสัมพันธระหวาง x และ y ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|38 11. ถา y เทากับผลบวกของจํานวนสองจํานวนซึ่งจํานวนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ x และอีกจํานวนหนึ่งแปรผกผันกับ x ถา y = 7 เมื่อ x = 1 และถา y = 5 เมื่อ x = 2 จงหาคาของ y เมื่อ x = 4 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 12. ถา y เทากับผลบวกของจํานวนสองจํานวน โดยที่จํานวนแรกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ 2 t และจํานวนที่สองแปรผันแบบผกผันกับรากที่สองของ t ถา y = 12 เมื่อ x = t = 1 และ y = 15.25 เมื่อ x = 1.25 และ t = 4 จงหาคาของ y เมื่อ x = 4 และ t = 0.25 ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 13. P แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ a, b และ 1 d ถา a เพิ่มขึ้น 50% b ลดลง 50% และ d เพิ่มขึ้น 20% P จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงกี่เปอรเซ็นต ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|39 14. 1) ให A แปรผันตรงกับกําลังสองของ x และแปนผกผันกับ y ถา x และ y ตางก็แผรผันตรงกับ t จงหาวา A แปรผันอยางไรกับ t ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 2) ให V แปรผันตรงกับ x และแปรผกผันกับ y จงแสดงวา y แปรผันตรงกับ 2 x และแปรผกผันกับ 2 V ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 15. นักจิตวิทยาที่ศึกษาเกี่ยวกับสติปญญามนุษย พบวาสําหรับคนที่อายุไมเกิน 15 ป ระดับสติปญญา (IQ) จะแปรผันตรงกับอายุสมอง(MA) และแปรผกผันกับอายุ (CA) ของคนๆนั้น เด็กชายคนหนึ่งอายุ 12 ป มีอายุสมอง 14.4 IQ ของเด็กคนนั้นเปน 120 จงหาวา (1) ถาเด็กชายคนหนึ่งอายุสมองเทากับอายุของเขา เด็กชายคนนั้นมี IQ เทาไร (2) เด็กหญิงคนหนึ่งมีอายุ 11 ป และมีอายุสมองเปน 15.4 จะมี IQ เทาไร ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|40 ตัวอยางแบบทดสอบ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. กําหนดราคาบานเชาหลังหนึ่ง ราคาเชาเดือนละ 8,000 บาท โดยไมไดจํากัดจํานวนผูอาศัย พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ราคาเชาตอเดือนแปรผันตามจํานวนผูอาศัย ข. เงินที่ตองจายคาเชาบานหลังนี้แปรผันตามจํานวนเดือนที่เชาอาศัย ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข. ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผิด 2. ผูใหบริการเครือขายโทรศัพทรายหนึ่ง กําหนดโปรโมชั่นคาบริการแบบรายเดือน 899 บาท ประกอบดวย โทรฟรี 500 นาที 4G/wifi ใชไดไมจํากัด คาบริการสวนเกินจากแพ็กเกจ : คาโทร 1.25 บาท/นาที, SMS 2 บาท/ขอความ, MMS 5 บาท/ครั้ง ขอใดตอไปนี้ ไมถูกตอง 1. โปรโมชั่นนี้มีคาบริการแปรผันตามจํานวนปริมาณการสงขอความ SMS 2. โปรโมชั่นนี้มีคาบริการแปรผันตามจํานวนปริมาณการสงขอความ SMS 3. โปรโมชั่นนี้มีคาบริการแปรผันตามจํานวนนาที ซึ่งเปนสวนเกินจากการโทรฟรี 500 นาที 4. โปรโมชั่นนี้มีคาบริการแปรผันตามจํานวนปริมาณการใช 4G/wifi 3. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. รถโดยสารประจําทางสายหนึ่ง มีอัตราคาโดยสารตลอดสายราคา 10 บาท แสดงวาคาโดยสารไมแปรผันตามระยะทางที่โดยสารรถประจําทางสายนี้ ข. ในแตละเดือน การไฟฟาสวนภูมิภาคคิดคาไฟฟาที่แปรผันตามปริมาณการใชไฟฟาในเดือนนั้นๆ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข. ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผิด 4. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. จากคํากลาวที่วา “กาซคารบอนไดออกไซดทําใหอุณหภูมิโลกสูงขึ้น” แสดงวาอุณหภูมิโลก แปรผันตามปริมาณกาซคารบอนไดออกไซดที่ถูกปลอยสูบรรยากาศโลก ข. จากคํากลาวที่วา “การสูบบุหรี่เปนสาเหตุหนึ่งของการเปนมะเร็งปอด” แสดงวาโอกาสการเปนมะเร็งปอด ไมแปรผันตามปริมาณการสูบบุหรี่ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข. ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผิด

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|41 5. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง เกี่ยวกับความหมายของการแปรผันตรงระหวางปริมาณสองปริมาณ 1. เมื่อปริมาณหนึ่งมากขึ้น อีกปริมาณหนึ่งมากขึ้นดวย 2. เมื่อปริมารหนึ่งลดลง อีกปริมาณหนึ่งลดลงดวย 3. เมื่อปริมาณหนึ่งมาก ขึ้นอีกปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได 4. เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงไป อีกปริมาณเปลี่ยนแปลงไปดวย อยางเปนสัดสวนกัน 6. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. กําหนดให y x ถา คาคงตัวการแปรผันเทากับ 3 จะไดวา x = 3y ข. กําหนดให 3 y x ถา y = 4 3 x 3 แลวคาคงตัวการแปรผันเทากับ 4 3 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข. ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผิด 7. กําหนดใหตัวแปรในแตละขอตอไปนี้แทนปริมาณสองปริมาณ ขอใดตอไปนี้ ไมเปนสมการแสดงการแปรผันตรง 1. x y 3 2. 5 A B 3. 2 v 9.8t 4. w 10g 8. สมการในขอใดตอไปนี้ แสดงวา A แปรผันตรงกับ 2 r 1. 2 3.14 r A 2. 2 Ar 3.14 3. 22 2 A r 7 4. 1 22 2 r A 7 9. ตารางในขอใดตอไปนี้ ที่แสดงวา y x 1. 2. 3. 4. x 2 4 5 7 y 4 8 10 14 x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 x 1 3 5 7 y 4 4 4 4 x 1 2 4 8 y 8 4 2 1

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|42 10. ตารางในขอใดตอไปนี้ ที่แสดงวา y 2 x 1. 2. 3. 4. 11. ตารางในขอใดตอไปนี้ ที่แสดงวา y 1 x 1. 2. 3. 4. 12. กําหนดให y แปรผันตรงกับ x ถา y = 15 เมื่อ x = 3 ขอใดตอไปนี้ ไมถูกตอง 1. คาคงตัวของการแปรผันจากความสัมพันธขางตนหาไดจาก y x 2. คาคงตัวของการแปรผันคือ 5 3. สมการแสดงการแปรผัน คือ y = 1 5 x 4. y มีคาเปนหาเทาของ x x 1 2 3 4 y 1 4 7 10 x 1 2 3 4 y 3 6 9 12 x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 x 1 2 3 4 y 12 6 4 3 x 1 2 3 4 y 1 4 1 2 x 2 3 4 12 y 6 4 3 1 x 1 2 3 4 y 2 2 2 2 x 1 2 3 4 y 3 6 9 12

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|43 ใชขอมูลที่กําหนดใหตอไปนี้ ตอบคําถาม ขอ 13 และ ขอ 15 ตารางแสดงคาของ x และ y โดยที่ y x 13. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คาคงตัวของการแปรผันเทากับ 4 3 ข. สมการแสดงการแปรผันคือ y = 4 3 x ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข. ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผิด 14. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. A มีคาเทากับ 10 2. B มีคาเทากับ 64 3. C มีคามากกวา 2 4. A มีคาเปน 4 เทาของ C 15. ถา x = 12 แลว y มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 9 2. 12 3. 16 4. 20 16. กําหนดให y x โดยที่ y = 4 เมื่อ x = –12 ถา x = 15 แลว y จะมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. –3 2. –5 3. –9 4. –45 17. กําหนดให y x โดยที่ y = 24 เมื่อ x = 1 2 ถา y = 3 แลว x จะมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 16 2. 1 8 3. 8 4. 16 18. กําหนดให y 2 x โดยที่ y = 24 เมื่อ x = –2 ถา x = 3 แลว y จะมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 9 2. 18 3. 27 4. 54 19. กําหนดให y 1 x โดยที่ y = 3 เมื่อ x = 8 ถา x = –6 แลว y จะมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. –12 2. –4 3. 4 4. 12 20. กําหนดให y x และ y มีคาเปน 12 เทาของ x ถา x = 1.5 แลว y จะมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 18 2. 12 3. 9 4. 8 x A 15 54 C y 8 20 B 2

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|44 21. ปริมาตรของพีระมิดแปรผันตรงกับสวนสูงเมื่อฐานคงที่ และแปรผันตรงกับพื้นที่ฐานเมื่อความสูงคงที่ เมื่อ ความสูง 24 เซนติเมตร และพื้นที่ฐาน 50 ตารางเซนติเมตร จะมีปริมาตร 400 ลุกบาศกเซนติเมตร จง หาปริมาของพีระมิดเมื่อความสูง 16 เซนติเมตร และพื้นที่ฐาน 60 ตารางเซนติเมตร 1. 320 2. 350 3. 300 4. 280 22. “คนงาน x คน ทํางานได y หนวย ในเวลา z วัน” ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง 1. x แปรผันโดยตรงกับ y เมื่อ z คงที่ 2. x แปรผกผันกับ z เมื่อ y คงที่ 3. เมื่อเทียบ x = 1 และ y คงที่ จะตองเปลี่ยน z เปน z x 4. เมื่อเทียบ x = 1 และ y = 1 จะตองเปลี่ยน z เปน zx y 23. ถาสวนหนึ่งของ y แปรผกผันกับ x และอีกสวนหนึ่งแปรโดยตรงกับ 2 x โดย y = 5 เมื่อ x = 1 และ y = 3 เมื่อ x = 1 จงหาวา ถา x = 2 แลว y มีคาเทาไร 1. 8.25 2. 15.5 3. 1.0 4. 7.75 24. x แปรผันโดยตรงกับกําลังสองของ y และแปรผกผันกับรากที่สองของ z เมื่อ y และ z มีคาเปน 2 เทาของคาเดิม คาของ x จะเปนกี่เทาของคาเดิม 1. 2 2. 2 3. 4 4. 2 2 25. คาใชจายในการพิมพหนังสือแบงออกเปนสองสวน คือสวนหนึ่งเปนคาใชจายคงที่ ไดแกคาเรียงพิมพอีก สวนหนึ่งที่เปนคากระดาษและหมึกพิมพจะแปรผันตามจํานวนเลมที่พิมพ โดยพบวาถาพิมพหนังสือ 1,000 เลม จะเสียคาใชจายทั้งหมด 25,000 บาท แตถาพิมพ 1,500 เลม เสียคาใชจายทั้งหมด 35,000 บาท จงคํานวณหาคาใชจายสวนที่แปรผันตอเลมคือขอใด 1. 50 บาท 2. 500 บาท 3. 20 บาท 4. 200 บาท 26. ในการพิมพหนังสือครั้งหนึ่ง คาใชจายแบงเปน 2 สวน โดยสวนหนึ่งเปนคาลิขสิทธิ์จายใหผูเขียนซึ่งคงที่ และอีกสวนหนึ่งเปนคากระดาษและคาพิมพ ซึ่งแปรผันตามจํานวนเลมที่พิมพ ถาพิมพ 3,000 เลม จะได กําไร 20 % แตถาพิมพ 4,000 เลม จะไดกําไร 25 % อยากทราบวาคาลิขสิทธิ์ของผูเขียนเปนเงินเทาใด ถาหนังสือมีราคาปกเลมละ 60 บาท 1. 24,000 2. 26,000 3. 27,000 4. 28,000

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|45 27. ให A แปรผันโดยตรงกับกําลังสองของ x และแปรผันแบบผกพันกับรากที่สองที่เปนบวกของ y ถา x และ y มีคาเปน 2 เทาของคาเดิมแลว A จะมีคาคิดเปนกี่เทาของคาเดิม 1. 2 เทา 2. 3 2 เทา 3. 2 3 เทา 4. 2 2 เทา 28. ถา x y 2 และ x 3 1 z แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง 1. x 2 y 2 z 2. x y z 3. xz 3 y 4. 2 x 3z 2 y 29. ถาอัตราการหมุนของกังหันลมแปรผันตามกําลังสองของอัตราเร็วของกระแสลม ในขณะที่อัตราเร็วของ กระแสลมเทากับ 20กิโลเมตรตอชั่วโมง สังเกตไดวากังหันหมุน 5 รอบตอนาที ถาในขณะหนึ่งสังเกตเห็น กังหันหมุน 600 รอบตอชั่วโมง ความเร็วลมในขณะนั้นเปนเทาใด 1. 20 2 กิโลเมตรตอชั่วโมง 2. 20 3 กิโลเมตรตอชั่วโมง 3. 20 5 กิโลเมตรตอชั่วโมง 4. 20 7 กิโลเมตรตอชั่วโมง 30. กําหนดให a + b 2a – 5b ถา b = 32 เมื่อ a = 20 แลว a มีคาเปนเทาใด เมื่อ b = 40 1. 9 2. 16 3. 25 4. 32 31. กําหนดให s 2 q และ p 3 q เมื่อ q > 0 ถา s เพิ่มขึ้น 21 % แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1. qเพิ่มขึ้น 10.5 % 2. q เพิ่มขึ้น 21.5 % 3. pเพิ่มขึ้น 16.5 % 4. pเพิ่มขึ้น 33.1 % 32. จากตารางคา ถา 2 1 y x แลว 2 k มีคาเทาใด 1. 8 2. 9 3. 12 4. 36 33. สวนหนึ่งของ y แปรผันแบผกผันกับ 2 x และอีกสวนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ 3 x โดยที่ y = 3 เมื่อ x = 1 และ y = 1 เมื่อ x = 1 ถา x = 3 แลว y มีคาเทาใด 1. 7 8 9 2. 2 9 9 3. 7 27 9 4. 2 27 9 x k k + 9 y 4 2

คณิตศาสตร์เพิ มเติม ม.2 หน้า|46 34. พื้นที่ผิวขางของกรวยกลมแปรผันเกี่ยวเนื่องกับความสูงเอียง และรัศมีของฐาน ถากรวยกลมสูง 4 นิ้ว รัศมีฐานยาว 3 นิ้ว จะมีพื้นที่ผิวขาง 75 ตารางนิ้ว ถารัศมีเทาเดิมและมีพื้นที่ผิวขาง 225 ตารางนิ้วกรวย กลมมีความสูงเอียงกี่นิ้ว 1. 13 2. 15 3. 17 4. 19 35. เวลาในการแกวงครบหนึ่งรอบของลูกตุมนาฬิกาแปรผันตรงกับรากที่สองของความยาวของ ลูกตุมนาฬิกา ถาลูกตุมนาฬิกายาว 64 เซนติเมตร จะแกวง 10 ครั้งใน 16 วินาที จงหาความยาวของลูกตุมนาฬิกาเปนเซนติเมตรซึ่งแกวง 60 ครั้ง ในเวลา 2 นาที 1. 64 เซนติเมตร 2. 81 เซนติเมตร 3. 100 เซนติเมตร 4. 121 เซนติเมตร หนังสืออางอิง 1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 พิมพครั้งที่ 1 พ.ศ. 2553 (สสวท) 2. คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 พิมพครั้งที่ 1 พ.ศ. 2554 (พว) เอกสารชุดนี้จัดทําขึ้นเพื่อการศึกษา สงวนลิขสิทธิ์เชิงพาณิชยทุกรณี อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก