Hand Out Fungsi Kompleks_Neat

BAB II

PEMBAHASAN

Definisi Fungsi Pangkat :


Untuk setiap bilangan bulat positif n, fungsi ( ) dinamakan fungsi pangkat.

Catatan :
1. Fungsi f tersebut merupakan fungsi menyeluruh, karena ( )



2. Untuk n > 1, fungsi f bukanlah fungsi satu-satu sehingga tidak mempunyai
fungsi invers.


Definisi Transformasi Pangkat :


Sifat-sifat pemetaan tertentu pada transformasi pangkat
lebih mudah dipelajari dalam bentuk kutub. Jadi, dengan menyatakan fungsi di atas

dalam bentuk kutub, kita mempunyai ( ) (1)

kita dapat melihat dengan mudah bahwa jika | | arg z = t, maka | |
dan arg w = nt.

Dengan kata lain,

Transformasi pangkat memetakan suatu titik z dengan modulus r dan
n
argumen t ke suatu titik dengan modulus r dan argument nt



3
Sebagai contoh, di bawah w = z , titk z = 2 cis ( ) dipetakan ke titik w= 8 cis .

Pada umumnya, di bawah (1), suatu sinar yang dipancarkan dari pusat sumbu
koordinat dengan sudut inklinasi dipetakan menjadi suatu sinar yang bersudut
inklinasi n ; selanjutya mudahlah untuk melihat bahwa, seperti yang disarankan pada
Gambar 1., suatu juring lingkaran dengan jari-jari r bersudut ditransformasian ke
n
juring lingkaran dengan jari-jari r pusat n . Sebagai akibat, misalnya, di bawah

, kuadran pertama bidang z dipetakan ke setengah bidang w atas, setengah lingkaran
atas bidang z dipetakan ke satu lingkaran pada bidang w, dan jika kita mengambil seluruh
bidang z maka kita akan menutupi bidang w dua kali. Dengan menggeneralisasikan kasus

khusus, kita melihat bahwa di bawah transformasi pangkat , bidang z dipetakan
ke bidang w, n kali, yaitu setiap titik pada bidang w kecuali w = 0, merupakan bayangan n

titik berbeda dari bidang z. Kenyataan ini, tentu saja merupakan ungkapan geometrik
terhadap kenyataan bahwa setiap bilangan bukan nol mempunyai n akar berbeda.( Lihat
contoh 10 hal 17) Perhatikan gambar berikut.

















Gambar 1

Contoh –contoh:
















A= {z = (x,y|x,y 0} * ( ) +

* + * +












* | | + * | | +

* ( ) +
Contoh 1



Andai fungsi dan batasi domain sebagai berikut : adalah himpunan
semua sedemikian sehingga






dimana α adalah suatu sudut sembarang. Jelaslah, jika , maka . Untuk

yang lain di , fungsi yang diberikan memangkatkan tiga domain modulusnya dan
melipatkan tiga argumennya :



| | | | ( )

Dengan kata lain, bidang tertutup “tiga kali lebih cepat” dari pada bidang ,

Gambar 2 memperlihatkan bagaimana domain , yang merupakan “sepertiga” bidang
, dipetakan ke seluruh bidang Mudahlah dilihat bahwa jika z berubah-ubah di

seluruh bidang z, maka setiap kecuali , akan mempunyai tiga prapeta yang

berbeda.







Gambar 2

Meskipun beberapa aspek tertentu fungsi pangkat lebih mudah dipelajari dalam
bentuk kutub, bentuk Cartesius “fungsi kuadrat”.





mengungkapkan beberapa hubungan yang menarik. Kita memeriksanya pada contoh

berikut.


Contoh 2


Kita tahu bahwa uraian fungsi menghasilkan ;


( ) dan ( )

Perhatikan sekarang, pada bidang , hiperbola tegak lurus





Maka, jelaskan dan bila mengambil semua nilai yang diperbolehkan,

maka nilai bergerak dari hingga . Ini berarti bahwa, di bawah ,
hiperbola di atas dipetakan menjadi garis tegak


Kemudian, perhatikan hiperbola





Maka seperti di atas, tidaklah sulit untuk melihat bahwa, di bawah fungsi yang
diberikan, bayangannya adalah garis mendatar .


Kita boleh menunjukkan bahwa, di bawah fungsi yang sama, garis mendatar

dan tegak pada bidang dipetakan menjadi parabola-parabola di bidang .

Perhatikan contoh-contoh berikut.


Transformasi

Domain Range














1. H pe b l Garis tegak
Secara umum Hiperbola Garis tegak














2. Hiperbola 1 Garis mendatar 1

Secara umum Hiperbola Garis mendatar











3. Garis mendatar Parabola 6( 9)

4. Garis tegak Parabola 16( )











5. Sinar













6. Sinar










7. 1 Parabola 1

Uraiannya adalah sebagai berikut.

Uraian pada Tabel Transformasi



1. H pe b l







√



+ - +

√ √
( ) atau
2. Hiperbola 1
1
3. Garis mendatar



( ) 6

1




( ) 9 ( 9)
6 6 6
1


( 9) 9 6( 9)
6 6
4. Garis tegak










( ) 16( )
16 16
5. ( )







6.

7. 1



(1 ) (1 )



(1 )
⬚

(1 ) = 1


1 1
( ) (1 ) 1
1
1
( 1) ( ) 1

( 1)( 1)

1






* ( )| +

Contoh 3:


Dibawah fungsi , petakan titik 1 ke bidang-w dengan domain

{ | | 1 }

Jawab :




| | √1 1 √ | | (√ )


Tulis Daerah A pada bidang-z dipetakan menjadi * | | 1
+ pada bidang-w, kita dapatkan

sin = 0


| |




Kita dapatkan b = 0 , Analog dengan cara di atas, kita dapatkan

cos = -1


1




Jadi didapat seperti gambar di bawah ini.

Latihan Soal

1. Carilah bayangan sector di bawah
Jawab :


Karena maka














2. a. Dengan menggunakan kenyataan bahwa uraian fungsi kuadrat



menghasilkan , tunjukkan bahwa untuk fungsi ini,




( ) ( )

b. Gunakan hasil dari (a) untuk menunjukkan bahwa, dibawah garis-garis
mendatar ( ) dan tegak lurus ( ) dipetakan menjadi parabola.
Jawab:


a)









( )



( )





( )



( )





( ) ( ) (1)
b) Misal x=c dan y=k.




(Seperti contoh no.3 dan 4 pada tabel transformasi di atas).

DAFTAR RUJUKAN



Paliouras, J.D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmiwan dan Insinyur (terjemahan
oleh: Wibisono Gunawan). Jakarta: Erlangga.


https://asimtot.files.wordpress.com/2012/02/fungsi-kompleks-transformasi-
pangkat.pdf