คำนำ เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ชุดนี้ จัดทำขึ้นเพื่อพัฒนาการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ประกอบด้วย 6 สาระการเรียนรู้ ดังนี้ เล่มที่ 1 ความชันของเส้นโค้ง เล่มที่ 2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่มที่ 3 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร เล่มที่ 4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เล่มที่ 5 อนุพันธ์อันดับสูง เล่มที่ 6 การประยุกต์ของอนุพันธ์ เอกสารประกอบการเรียนชุดนี้ ผู้จัดทำได้ศึกษาค้นคว้าเอกสาร และตำราต่างๆ ที่ เกี่ยวข้อง เพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจที่ชัดเจน และได้ให้ผู้เชี่ยวชาญตรวจสอบความถูกต้อง และ ผ่านการหาประสิทธิภาพ จนสามารถใช้เป็นตัวอย่างในการจัดการเรียนรู้แก่ผู้สนใจได้อย่างดียิ่ง ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า เอกสารประกอบการเรียนที่จัดทำขึ้นนี้ จะเป็นประโยชน์อย่าง ยิ่งต่อการพัฒนาการเรียนการสอนให้มีคุณภาพต่อไป พัชรี อ่อนตา
สารบัญ คำนำ ก สารบัญ ข คำชี้แจงสำหรับนักเรียน ค ผลการเรียนรู้ ง แบบทดสอบก่อนเรียน จ ความชันของเส้นโค้ง 1 แบบฝึกหัดที่ 1 6 บรรณานุกรม 9 ภาคผนวก 10 เฉลยแบบฝึกหัด 11 เฉลยแบบทดสอบ 12
คำชี้แจงสำหรับนักเรียน เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จัดทำขึ้นเพื่อเป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้ เพื่อพัฒนาผลสัมฤทธิ์ทางการ เรียนวิชาคณิตศาสตร์ให้สูงขึ้น โดยนักเรียนสามารถนำไปศึกษาด้วยตนเองซึ่งมีครูเป็นผู้ให้ความ ช่วยเหลือ เมื่อนักเรียนพบปัญหาในการศึกษาเอกสารประกอบการเรียน พร้อมกันนี้ยังเป็นการฝึก คุณลักษณะด้านความซื่อสัตย์ของนักเรียนในการที่จะไม่ดูเฉลยก่อนหรือขณะทำแบบฝึกหัด เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ประกอบด้วย 1. คำนำ 2. สารบัญ 3. คำชี้แจงสำหรับนักเรียน 4. คำอธิบายรายวิชา 5. แบบทดสอบก่อนเรียน 6. เนื้อหา 7. แบบฝึกหัด 8. แบบทดสอบหลังเรียน 9. เฉลยแบบฝึกหัด 10. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน หลังเรียน วิธีใช้เอกสารประกอบการเรียน 1. ศึกษาคำชี้แจงและวิธีใช้เอกสารประกอบการเรียน 2. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน 3. ศึกษาเนื้อหา บทนิยาม ทฤษฎี สูตร ตัวอย่าง โดยครูเป็นผู้ชี้แนะ เมื่อนักเรียนสงสัยเกี่ยวกับวิธีคิดหรือขั้นตอนการหาคำตอบ 4. ทำแบบฝึกหัดด้วยความรอบคอบ คิดวิเคราะห์อย่างมีเหตุผล เพื่อตรวจสอบ ความรู้ หลังการศึกษาเนื้อหา เรียบร้อยแล้ว 5. ทำแบบทดสอบหลังเรียน ค
ผลการเรียนรู้ 1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ 2. นำความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันไปประยุกต์ได้ ง
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 --------------------------------------------- คำชี้แจง จงทำเครื่องหมายกากบาท (X) ลงในกระดาษคำตอบ โดยเลือกข้อคำตอบที่ถูกต้องที่สุด เพียงคำตอบเดียว จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 1 หาความชันของเส้นโค้งและสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนดให้ได้ 1. ความชันของเส้นโค้ง y = x3+ 2x – 6 ที่สัมผัสเส้นตรงที่จุด (1, –3) มีค่าเท่าใด ก. 29 ข. 5 ค. 2 ง. –27 2. กำหนด y = 2 + 3x – x 2 เป็นสมการเส้นโค้ง แล้วสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (3,2) คือสมการในข้อใด ก. x + 3y – 11 = 0 ข. 3x + y + 7 = 0 ค. 3x + y – 11 = 0 ง. 3x – y – 11 = 0 3. จงหาสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = 2x + 3 x ที่จุด x = 4 ก. 4x + 11y – 170 = 0 ข. 4x - 11y – 170 = 0 ค. 4x + 11y + 170 = 0 ง. 4x - 11y + 170 = 0 4. ข้อใดคือจุดบนเส้นโค้ง y = x2 + 5 ซึ่งเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้นขนานกับเส้นตรง y = 2x + 7 ก. (6 , 1) ข. (1 , 6) ค. (-1 , 6) ง. (6 , -1) จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 2 หาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลี่ยนแปลง ขณะเวลาใด ๆ ของฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยใช้บทนิยามของอนุพันธ์ได้ 5. กำหนด y = x3+ 1 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วงที่ x เปลี่ยน จาก 2 ไปเป็น 4 มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 9 ข. 25 ค. 28 ง. 65 6. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เทียบกับความยาวของด้าน เมื่อด้านของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสเปลี่ยนจาก 5 นิ้วไปเป็น 8 นิ้ว มีค่าตรงกับข้อใด ก. 15 ตารางนิ้ว/นิ้ว ข. 13 ตารางนิ้ว/นิ้ว ค. 12 ตารางนิ้ว/นิ้ว ง. 10 ตารางนิ้ว/นิ้ว จ
7. กำหนด y = 3x2 – 5 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใด ๆ ตรงกับข้อใด ก. 6x ข. 7x ค. 8x ง. 9x 8. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับรัศมีขณะรัศมีเท่ากับ 7 เซนติเมตร มีค่าตรงกับข้อใด ก. 22 ข. 44 ค. 77 ง. 88 จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 3 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตรได้ 9. ข้อใดเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = 3x4 – 5x2 + 6x + 3 ก. 12x3 – 10x + 9 ข. 12x3 – 10x + 6 ค. 7x3 – 7x + 6 ง. 7x3 – 10x + 6 10. กำหนด f(x) = (x2 + 1)(3x – 2) แล้ว f(x) มีค่าเท่าใด ก. 6x2 + 6x – 2 ข. 6x2 – 4x + 3 ค. 9x2 – 4x + 3 ง. 3x3 + 6x – 3 11. ถ้า y = x 5 2x 3 + − แล้ว dx dy มีค่าเท่าใด ก. 2 (x 5) 4x 13 + + ข. 2 (x 5) 4x 7 + + ค. 2 (x 5) 7 + ง. 2 (x 5) 13 + 12. กำหนด f(x) = x2 – 3x + 7 ค่าของ f(−2) มีค่าเท่าใด ก. –7 ข. 0 ค. 1 ง. 8 13. กำหนดให้ g(x) = 3x2 – 1 + f(x) ถ้า f(2) = 1 แล้ว ค่าของ g (2) คือข้อใด ก. 11 ข. 12 ค. 13 ง. 14 จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 4 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบได้ 14. ถ้า f(x) = (2x + 1 )8 ค่าของ f(x) มีค่าเท่าใด ก. 8(2x + 1)7 ข. 16(2x+1)7 ค. 8x7 + 1 ง. 16x7 + 1
15. กำหนดให้ f(t) t 2t 1 2 = − + ค่าของ f(3) คือข้อใด ก. 0 ข. -2 ค. -1 ง. 1 16. ถ้า 5 x 1 x y + = ค่าของ dx dy คือข้อใด ก. 6 x 1 x + ข. 6 4 (1 x) x + ค. 6 4 (1 x) 5x + ง. 5 4 (1 x) 5x + 17. กำหนดให้ 2 1 2 h(x) = f(x) x ถ้า f(x) = x2 + c และ f(0) = -6 ค่าของ h(4) คือข้อใด ก. 345 ข. 354 ค. -345 ง. -354 จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 5 หาอนุพันธ์อันดับสูงได้ 18. กำหนด f(x) = x5 – 2x4 + 3x3+ 2x – 15 แล้ว f(x) มีค่าเท่าใด ก. 5x3 – 8x2 + 9x + 2 ข. 60x2 – 48x – 15 ค. 20x3 – 24x2 + 18x ง. 60x2 – 48x + 18 19. ค่าของ f(3) เท่ากับเท่าไร เมื่อกำหนดให้ f(x) = 2x3 – 3 ก. 36 ข. 12 ค. 0 ง. –3 20. กำหนดให้ f(x) = (x2 + 2)5 ข้อใดคือค่าของ f(1) ก. 243 ข. 1970 ค. 2430 ง. 2970 21. ถ้า y x 4x 5x 7 3 2 5 = + − + แล้ว 3 3 dx d y ตรงกับข้อใด ก. 24 8 x 15 + ข. 24 8 x 15 − ค. 24 15 x 8 + ง. 24 8 x 15 −
จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 6 หาความเร็ว และความเร่งในขณะเวลาใด ๆ เมื่อกำหนดสมการ ของการเคลื่อนที่มาให้ 22. ถ้าให้ s เป็นระยะทาง (หน่วยเป็นเมตร) ซึ่ง s = t2 + 6t – 3 แล้วความเร็ว (v) ขณะเวลา (t) เท่ากับ 2 วินาที มีค่าเท่าใด ก. -2 เมตร / วินาที ข. 2 เมตร / วินาที ค. 4 เมตร / วินาที ง. 10 เมตร / วินาที 23. ถ้ากำหนดให้ s เป็นระยะทาง (หน่วยเป็นเมตร) และ s = t3 + 2t2 – t + 7 แล้วความเร่ง (a) ขณะเวลา (t) = 3 วินาที มีค่าเท่าใด ก. 38 เมตร / วินาที2 ข. 31 เมตร / วินาที2 ค. 28 เมตร / วินาที2 ง. 22 เมตร / วินาที2 24. ให้ s = t2 – 5t + 4 เป็นสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง โดยที่ s มีหน่วยเป็นเมตร และ t มีหน่วยเป็นวินาที ความเร็วในช่วง t = 2 ถึง t = 5 คือข้อใด ก. 4 m/s ข. 3 m/s ค. 2 m/s ง. 1 m/s 25. ให้ s = t3 – 3t2 – 9t + 5 เป็นสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยที่ s คือ ระยะทางมีหน่วยเป็น ฟุต t คือ เวลามีหน่วยเป็นวินาที ความเร็วของวัตถุ ณ t = 2 คือข้อใด ก. 6 ฟุต/วินาที2 ข. 5 ฟุต/วินาที2 ค. 4 ฟุต/วินาที2 ง. 3 ฟุต/วินาที2 จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 7 นำความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันไปใช้แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดได้ 26. กำหนด f(x) = x4 – 8x2 + 12 ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 12 ข. f ไม่มีค่าสูงสุด ค. f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 4 ง. f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ (–2,12) 27. กำหนด F(x) = f(g(x)) และ g(3) = 5 , g (3) = 8 , f(3) = –6 , f(5) = 6 แล้ว F(3) มีค่าเท่าใด ก. –30 ข. –6 ค. 6 ง. 48 28. ในการเกิดปฏิกิริยาทางเคมีครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิ ( ) ได้จากสมการ = 12 + 2t – 0.1t2 เมื่อ มีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวินาที แล้วอุณหภูมิ ( ) สูงสุดเป็นเท่าใด ก. 22 องศาเซลเซียส ข. 24 องศาเซลเซียส ค. 26 องศาเซลเซียส ง. 30 องศาเซลเซียส
29. สินค้าชนิดหนึ่งขายในราคาชิ้นละ 24 บาท ต้นทุนในการผลิต x ชิ้น เท่ากับ 2 3 16 + 6x + 0.2x บาท ถ้า N เป็นจำนวนชิ้น ของสินค้าที่ผลิตเพื่อให้ได้กำไรสูงสุด แล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง ก. 1 ≤ N < 2000 ข. 2000 ≤ N < 4000 ค. 4000 ≤ N < 6000 ง. 6000 ≤ N < 8000 30. นายแดงต้องการกั้นรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไว้ปลูกส้ม โดยที่ดินด้านหนึ่งมีรั้วบ้านเป็นแนวรั้ว ด้านหนึ่งของที่ดินแปลงนี้ ถ้าเขามีลวดหนามยาว 400 เมตร และต้องการปลูกส้มหนึ่งต้นต่อที่ดินทุก ๆ 5 ตารางเมตร เขาจะปลูกส้มได้มากที่สุดกี่ต้น ก. 2000 ต้น ข. 2500 ต้น ค. 3000 ต้น ง. 4000 ต้น
1 P(a,b) 0 Q (a+h, b+k) ความชันของเส้นโค้ง ให้นักเรียนพิจารณาสมการเส้นโค้ง ถ้าให้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้งมีกราฟดังรูปที่ 1 P(a,b) เป็นจุดบนเส้นโค้งและ Q(a+h, b+k) เป็นจุดบนเส้นโค้งอีกจุดหนึ่ง โดยที่ h 0 ลากส่วนของเส้นตรง PQ เรียก ส่วนของเส้นตรง PQ ว่า เส้นตัดกราฟ ความชันของส่วนของเส้นตรง PQ = (a h) a (b k) b = h k เนื่องจาก b + k = f(a+h) และ b = f(a) ดังนั้น ความชันของส่วนของเส้นตรง PQ = h f(a h) f(a) นั่นคือ h k = h f(a h) f(a) เลือกจุด Q1 บนเส้นโค้งระหว่างจุด P กับจุด Q ลากส่วนของเส้นตรง PQ1 เลือกจุด Q2 บนเส้นโค้งระหว่างจุด P กับจุด Q1 ลากส่วนของเส้นตรง PQ2 และต่อ ๆ ไป จนในที่สุดเรามีจุด Qn ลากส่วนของเส้นตรง PQn จุด Qn จะอยู่ใกล้จุด P มาก จนถือได้ว่าจุด Qn เกือบทับจุด P และเส้นตัดกราฟ PQn จะเกือบทับกับเส้นสัมผัสเส้น โค้ง ที่จุด P ดังรูปที่ 2 X Y รูปที่ 1
2 0 ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P จะมีค่าเท่ากับ h f(a h) f(a) lim h 0 บทนิยาม ถ้า y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้งแล้ว เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(x, y) ใด ๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และมีค่าความชันเท่ากับ h f(x h) f(x) lim h 0 (ถ้าลิมิตหาค่าได้) ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P(x, y) หมายถึง ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P ตัวอย่างที่ 1 ถ้า f(x) = 5x2 – 26 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นโค้ง ที่จุด (3, 19) วิธีท า จาก f(x) = 5x2 – 26 ความชันของเส้นโค้ง = h f(x h) f(x) lim h 0 = h [5(x h) 26] (5x 26) 2 2 h 0 lim = h 5x 10hx 5h 26 5x 26 2 2 2 h 0 lim = lim (10x 5h) h 0 = 10x ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x, y) ใด ๆ = 10x ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (3, 19) = 10(3) = 30 Q2 Q1 P(x,y) X Y Q รูปที่ 2
3 ตัวอย่างที่ 2 ก าหนด f(x) = x2 + x – 3 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด (0 , -3) วิธีท า จาก f(x) = x2 + x – 3 ความชันของเส้นโค้ง = h f(x h) f(x) lim h 0 = h [(x h) (x h) 3] [x x 3] 2 2 h 0 lim = h x 2hx h x h 3 x x 3 2 2 2 h 0 lim = lim (2x h 1) h 0 = 2x + 1 ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด (x , y) ใด ๆ คือ 2x + 1 ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด (0 , -3) คือ 2(0) + 1 = 1 ตัวอย่างที่ 3 ถ้า y = x – 3x2 เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหาสมการของเส้นสัมผัส เส้นโค้งที่จุด (2, –10) วิธีท า จาก y = x – 3x2 หรือ f(x) = x – 3x2 ความชันของเส้นโค้ง = h f(x h) f(x) lim h 0 = h [(x h) 3(x h) ] (x 3x ) 2 2 h 0 lim = h (x h 3x 6xh 3h x 3x ) 2 2 2 h 0 lim
4 = lim (1 6x 3h) h 0 = 1 – 6x ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2, -10) = 1 – 6(2) = –11 สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1 , y1 ) และมีความชันเท่ากับ m คือ y – y1 = m(x – x1 ) เนื่องจากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2, –10) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (2, –10) และ มีความชัน เท่ากับ –11 สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง คือ y – (–10) = –11(x – 2) y + 10 = –11x + 22 11x + y – 12 = 0 ตัวอย่างที่ 4 ให้ f(x) = x2 – 2x + 1 เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหา 1) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2 , 1) วิธีท า จาก f(x) = x2 – 2x + 1 ความชันของเส้นโค้ง = h f(x h) f(x) lim h 0 = h (x h) 2(x h) 1 x 2x 1 lim 2 2 h 0 = h x 2hx h 2x 2h 1 x 2x 1 lim 2 2 2 h 0 = h 2hx h 2h lim 2 h 0 = lim (2x h 2) h 0 = 2x – 2 ความชันเส้นโค้ง ณ จุด (x , y) ใด ๆ คือ 2x – 2 ดังนั้น ความชันเส้นโค้ง ณ จุด (2 , 1) คือ 2(2) – 2 = 2
5 2) สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2 , 1) วิธีท า เนื่องจากสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (x1 , y1 ) คือ y – y1 = m(x – x1 ) สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (2 , 1) และมีความชัน เท่ากับ 2 คือ y – 1 = 2(x – 2) y – 1 = 2x – 4 2x – y – 3 = 0
6 แบบฝึกหัดที่ 3.1 1. ถ้า f(x) = 6x2 – 1 เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (–1,5) .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. ให้ f(x) = x3 + 2x เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นโค้งที่จุด (2,12) .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................
7 3. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x2 – 2x ที่จุด (–1, 3) .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 4. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = 4x2 + 2x – 6 ที่จุด (–2, 6) .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................. ................................................................................................................ .................................................................................................................................................. ....................................................... .......................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................
8 5. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x 2 - 2x + 1 ที่จุด (4 , 9) .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................. ................................................................................................................ .................................................................................................................................................. ....................................................... .......................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................
9 บรรณานุกรม จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. 2544. เฉลย – เก็งข้อสอบ Entrance คณิตศาสตร์ ระบบใหม่. กรุงเทพฯ : พัฒนาศึกษา. . 2548. คู่มือเตรียมสอบ O-Net คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. เจริญ ภูภัทรพงศ์ และ ศรีลัดดา ภูภัทรพงศ์. ม.ป.ป. คณิตศาสตร์ PUREMATH 6. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER. ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. 2539. CONDENSED MATHS 3. กรุงเทพฯ : แม็ค. ศึกษาธิการ, กระทรวง. 2536. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ค 015. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ คุรุสภาลาดพร้าว. . 2546. การจัดสาระการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์องค์การรับส่งสินค้าและพัสดุภัณฑ์. . 2549. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว. สมัย เหล่าวานิชย์ และ พัวพรรณ เหล่าวานิชย์. 2521. คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จ ากัด. สุเทพ จันทรสมศักดิ์ และ สุเทพ ทองอยู่. 2538. คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015 . กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ.
10 ภาคผนวก
11 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 3.1 1. -12 2. 14 3. 4x + y + 1 = 0 4. 14x + y +22 = 0 5. 6x – y -15 = 0