M-EA-SSF-JMF-2

Exercices de Mathe´matiques

Se´ries de fonctions
E´ nonc´es

E´nonc´es des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] fn d´efinie par :

Etudier la convergence et calculer la somme de la s´erie de fonctions
∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R+, fn (x) = n x2e−nx.

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]

On consid`ere la s´erie de fonctions fn, avec : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, π], fn(x) = sin x cosn x.

1. Montrer que la s´erie fn est simplement convergente sur [0, π].

2. Justifier rapidement pourquoi la convergence n’est pas uniforme sur [0, π].

3. Prouver qu’il y a convergence normale sur [a, π − a], avec 0<a< π .
2

4. Calculer le reste d’indice N de fn et montrer que celle-ci n’est pas CVU sur ]0, π].

5. Montrer qu’il y a convergence uniforme (mais pas normale) sur [a, π], avec 0 < a < π.

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

On consid`ere la s´erie fn, ou` : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R+, fn (x) = e−nx
.

(n + x)2

1. Etudier la convergence de cette s´erie sur R+.
2. Montrer que la somme S de cette s´erie est continue sur R+.
3. Prouver que l’application S est d´ecroissante et positive sur R+.

4. Pr´eciser la valeur de l’application S `a l’origine, et montrer que lim S(x) = 0.

x→+∞

5. Etablir que la fonction S est de classe C1 sur R+∗.
6. Prouver que l’application S est convexe sur R+.

7. Montrer que S n’est pas d´erivable en 0 en prouvant que lim S (x) = −∞.

x→0

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
xe−nx

On ´etudie la s´erie de fonctions fn d´efinie par : ∀n ≥ 2, ∀x ≥ 0, fn(x) = ln n
1. Montrer qu’il y a convergence simple sur R+.
2. Montrer qu’il y a convergence normale sur [a, +∞[ (avec a > 0) mais pas sur R+.
3. Montrer qu’il y a convergence uniforme sur R+. Cons´equence pour la somme S ?
4. Montrer que la somme S est de classe C1 sur R+∗.

5. Prouver que S n’est pas d´erivable en 0 a` droite.
6. Montrer que pour tout entier naturel k, on a : lim xkS(x) = 0.

x→∞

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Se´ries de fonctions
Indications, r´esultats

Indications ou r´esultats

Indication pour l’exercice 1 [ Retour a` l’´enonc´e ]

– Si x =0 c’est facile. Si x > 0, montrer que lim n2fn(x) = 0.

n→∞
x2ex
– Soit S = fn. Montrer que S(0) = 0 et S(x) = (ex − 1)2 si x > 0.
– Montrer que fn est maximum en xn = 2/n, puis qu’il n’y a pas CVN sur R+.

– Montrer qu’il y a CVN sur [a, +∞[, pour tout a > 0.

– Par un argument de continuit´e, montrer qu’il n’y a pas CVU sur R+.

Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]

1. Montrer que S = fn existe sur [0, π], avec S(x) = cotan x sur ]0, π], et S(0) = 0.
2

2. Par un argument de continuit´e, montrer qu’il n’y a pas CVU sur [0, a], avec 0 < a ≤ π.

3. Montrer que fn est CVN sur [a, π − a], avec a ∈]0, π [.
2

4. En ´etudiant le reste RN d’indice N , montrer qu’il n’y a pas CVU sur ]0, π].

5. Se donner a dans ]0, π]. Par sym´etrie, montrer qu’il n’y a pas CVN sur [a, π].

En ´etudiant le reste RN d’indice N , montrer qu’il y a CVU sur [a, π].

Indication pour l’exercice 3 [ Retour a` l’´enonc´e ]

1. Montrer que la s´erie fn est normalement convergente sur R+.

2. La continuit´e de S d´ecoule d’un r´esultat du cours.

3. Sommer les in´egalit´es fn(x) ≥ fn(y) ≥ 0, valables si 0 ≤ x ≤ y.

4. On a S(0) = π2 . Utiliser ensuite 0 ≤ fn(x) ≤ e−x .
6 n2

5. Montrer qu’on peut appliquer le th´eor`eme de d´erivation des s´eries de fonctions sur [a, +∞[.

6. Montrer que la fonction S est croissante.

7. Par l’absurde, on montre que la limite de S en 0 n’est pas finie.
On sera amen´e a` utiliser la croissance de S et le fait que les fn sont n´egatives.

Indication pour l’exercice 4 [ Retour a` l’´enonc´e ]

1. V´erifier que lim n2fn(x) = 0.

n→∞

2. Il y a CVN sur [a, +∞[, pour tout a > 0, mais pas sur R+.

3. En majorant le reste RN , montrer que fn est CVU sur R+.

4. Il suffit de montrer que fn est CVU sur tout intervalle I = [a, +∞[, avec a > 0.

5. Montrer que lim S(x) = +∞.
x
x→0+

6. Majorer fn(x) par xe−nx , puis S(x) par e−xϕ(x), avec ϕ(x) = (ln x −1) .
ln 2 2)(ex

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Se´ries de fonctions
Corrig´es

Corrig´es des exercices

Corrige´ de l’exercice 1 [ Retour a` l’´enonc´e ]

– Convergence simple :

On constate que pour tout n ≥ 1, fn(0) = 0. Donc la s´erie fn(0) converge...

Si x > 0, alors 0 < e−x < 1 et lim n3e−nx = lim n3(e−x)n = 0 (croissance compar´ee.)
n→∞ n→∞

On en d´eduit lim n2fn(x) = 0, ce qui prouve la convergence de la s´erie fn(x) (Riemann.)

n→∞

Finalement la s´erie de fonctions fn est simplement convergente sur R+.

– Calcul de la somme : ∞

Soit S la somme de la s´erie : ∀x ∈ R+, S(x) = fn(x). On sait d´eja` que S(0) = 0.

n=1 ∞

Pour tout x > 0, et si q = e−x, alors 0 < q < 1 et S(x) = x2T (q), avec T (q) = nqn.

∞∞ ∞ q n=1
On voit que T (q) = q nqn−1 = q (n − 1)qn−1 + qn = qT (q) + .
1−q
n=1 n=1 n=1

On en d´eduit T (q) = q et donc S(x) = x2 (1 e−x = x2ex
, − e−x)2 .

(1 − q)2 (ex − 1)2

– Convergence normale ou uniforme :

On constate que fn(x) = nx(2 − nx)e−x s’annule en xn = 2 .
n

En ce point la fonction positive fn atteint son maximum Mn = fn(xn) = 4 .
n
e2

La s´erie Mn n’est pas convergente (s´erie harmonique.)

On en d´eduit que la s´erie de fonctions fn n’est pas normalement convergente sur R+.

En revanche il y a convergence normale (donc uniforme) sur [a, +∞[, pour tout a > 0.

En effet d`es que 2 ≤ a (c’est-a`-dire n ≥ 2 ) la fonction fn est d´ecroissante sur [a, +∞[.
n a

On en d´eduit que pour n ≥ 2 , sup |fn(x)| = fn(a) (terme g´en´eral d’une s´erie CV.)
a
x≥a

On constate que S = fn tend vers 1 en 0. Ainsi S n’est pas continue en 0, contrairement
aux fn. On en d´eduit qu’il n’y a pas CVU sur R+.

On a repr´esent´e ici les fonctions
sommes partielles SN pour 0 ≤ N ≤ 6,
ainsi que la somme S de la s´erie
(c’est la courbe “au-dessus”).

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Se´ries de fonctions
Corrig´es

Corrige´ de l’exercice 2 [ Retour a` l’´enonc´e ]

1. Si x ∈ {0, π}, alors fn(x) = 0 pour tout n.
Si x ∈]0, π[, on a |cos x| < 1 donc

∞ ∞ sin x x
1 − cos x = cotan
fn(x) = sin x cosn x =
2
n=0 n=0

x
La s´erie fn est donc CVS sur [0, π] de somme S(x) = cotan 2 sur ]0, π], et S(0) = 0.

2. Les applications fn sont continues sur [0, π] mais la somme S est discontinue en 0.
fn n’est donc pas CVU sur [0, π], ni sur aucun segment [0, a], avec 0 < a ≤ π.

3. Soit a ∈]0, π [.
2

∀x ∈ [a, π − a], |fn(x)| ≤ cosn a terme g´en´eral d’une s´erie CV car |cos a| < 1.

On en d´eduit que fn est normalement (donc uniform´ement) convergente sur [a, π − a].

4. Pour tout x de ]0, π] et pout tout n de N :

∞ ∞ sin x cosN+1 x x
)
RN (x) = fn(x) = sin x cosn x = 1 − cos x = (cosN +1 x)(cotan 2

n=N +1 n=N +1

On constate que Rn(x) ∼ cotan x en 0. Donc lim RN (x) = +∞.
2
x→0+

Cela confirme qu’il n’y a pas convergence uniforme sur ]0, π].

5. On se donne un r´eel a dans l’intervalle ]0, π].

Remarquons que |fn(π − x)| = |fn(x)|.

La courbe y = |fn(x)| poss`ede donc l’axe x= π comme axe de sym´etrie.
2

La s´erie fn n’est pas normalement convergente sur [a, π], car sinon elle le serait sur
[0, π − a] par restriction, ce qui est absurde car sur cet intervalle il n’y a pas mˆeme pas

convergence uniforme.

Soit ε > 0. L’application x → cotan x est continue positive sur ]0, π], et nulle en x = π.
2

En particulier, il existe α ∈ ]0, a] tel que π − α ≤ x ≤ π ⇒ cotan x ≤ ε.
2

On en d´eduit : ∀x ∈ [π − α, π], ∀N ∈ N, |RN (x)| = cosN +1 x cotan x ≤ cotan x ≤ ε.
2 2

Sur l’intervalle [α, π − α], on a |RN (x)| = cosN +1 x cotan x ≤ (cosN +1 α)cotan α .
2 2

Il existe un entier n0 tel que n ≥ n0 ⇒ 0 ≤ (cosN+1 α)cotan α ≤ ε.
2

On a alors, pour tout n ≥ n0 et tout x de [α, π] (donc tout x de [a, π]) : |RN (x)| ≤ ε.

Ce r´esultat prouve que la s´erie fn est uniform´ement convergente sur [a, π].

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Se´ries de fonctions
Corrig´es

On a repr´esent´e ici les fonctions

sommes partielles SN pour 0 ≤ N ≤ 15,
ainsi que la somme S de la s´erie

(cette derni`ere courbe ´etant en trait gras).

On s’est plac´e sur [0, π] pour avoir une vue

d’ensemble, puis sur [0, π ] et sur [ π , π].
2 2

Corrige´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]

1. Chaque application fn est positive d´ecroissante sur R+.

En effet c ’est le cas de x → e−nx et x → (n 1 Donc Mn = sup |fn(x)| = fn(0) = 1
. .
x≥0
+ x)2 n2

La s´erie Mn ´etant convergente, fn est normalement convergente sur R+.

2. Les applications fn sont continues sur R+. La convergence normale (donc uniforme) de
fn implique donc la continuit´e de la somme S sur R+.

3. Soient x et y deux r´eels tels que 0 ≤ x ≤ y. Pour tout n ≥ 1, on a fn(x) ≥ fn(y) ≥ 0.
Si on somme ces in´egalit´es pour tous les n ≥ 1, on obtient S(x) ≥ S(y) ≥ 0.

La fonction S est donc d´ecroissante et positive (il n’´etait donc pas n´ecessaire de chercher

a` calculer la d´eriv´ee de S : d’ailleurs c’est l’objet de la question suivante.)

∞ 1 π2
4. On a bien suˆr S(0) = n2 = .
6
n=1

Pour tout entier n ≥ 1 et tout x de R+, on a 0 ≤ fn(x) = e−nx ≤ e−x
(n + x)2 n2 .

On en d´eduit 0 ≤ S(x) ≤ π2 e−x et donc lim S(x) = 0.
6 x→∞

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Se´ries de fonctions
Corrig´es

5. Pour tout n ≥ 1 et tout x de R+, on a : fn(x) = − n2 e−nx.
+

(n + x)2 (n + x)3

Soit a > 0 : on va appliquer le th´eor`eme de d´erivation des s´eries de fonctions sur [a, +∞[.

x→ n2 et x → e−nx sont positives d´ecroissantes sur R+.
+

(n + x)2 (n + x)3

L’application x → fn(x) est donc n´egative croissante sur R+.

On en d´eduit que sup |fn(x)| = |fn(a)| = n2 e−na ∼ e−na
+ .
x≥a n→∞
(n + a)2 (n + a)3 n

Cette derni`ere expression est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente.

On en d´eduit que la s´erie fn est normalement convergente sur [a, +∞[.
Ainsi :

Les fonctions fn sont de classe C1 sur I = [a, +∞[.

La s´erie fn converge au moins en un point de I (il y a mˆeme CVN sur I !)

La s´erie fn est uniform´ement convergente sur I.

On en d´eduit que fn est convergente sur I (on le savait d´eja`), que sa somme S est C1

∞

sur I et que pour tout x de I on a : S (x) = fn(x) (d´erivation terme `a terme.)

n=1

Puisque c’est vrai sur [a, +∞[ pour tout a > 0, on en d´eduit que c’est vrai sur R+∗.

Remarque :

On a sup |fn(x)| = |fn(0)| = 1 + 2 qui est le terme g´en´eral d’une s´erie DV.
n n3
x≥0

On en d´eduit que la s´erie fn n’est pas normalement convergente sur R+.

Le r´esultat de la question 7 montrera d’ailleurs qu’elle n’est pas non plus uniform´ement
convergente sur R+ sinon on pourrait appliquer le th´eor`eme de d´erivation sur R+ et
conclure a` la d´erivabilit´e de S sur cet intervalle.)

6. Les fonctions fn sont croissantes et n´egatives sur R+ et S est la somme des fn sur R+∗.
On en d´eduit que la fonction S est croissante et n´egative sur R+∗.

Pr´ecis´ement, le fait que S soit croissante implique que S est convexe.
Cette convexit´e a lieu sur R+ (on peut ajouter le point x = 0 par continuit´e.)

7. La fonction S ´etant croissante, elle poss`ede une limite quand x → 0.

Pour montrer que S n’est pas d´erivable en 0, il faut montrer que cette limite n’est pas
finie (sinon on appliquerait le th´eor`eme de prolongement des fonctions de classe C1.)

On raisonne par l’absurde et on suppose que lim S (x) = λ ∈ R.

x→0

∞N

Pour tout N ≥ 1, on a alors : ∀x > 0, λ ≤ S (x) = fn(x) ≤ SN (x) = fn(x)

n=1 n=1

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Se´ries de fonctions
Corrig´es

(On a utilis´e le fait que S est croissante et que les fn sont n´egatives.)

N

Comme c’est une somme finie, on peut faire tendre x vers 0 dans l’in´egalit´e λ ≤ fn(x).

n=1

NN 1 + 2 N 1 pour tout N ≥ 1.
n n3 n
On en d´eduit λ ≤ fn(0) = − ≤−

n=1 n=1 n=1

N

Mais ce r´esultat est absurde car lim 1 = +∞ (divergence de la s´erie harmonique.)
n
N →+∞
n=1

On en d´eduit que lim S (x) = −∞.

x→0

L’application S n’est donc pas d´erivable en 0 (en ce point, sa courbe repr´esentative

pr´esente une demi-tangente verticale dirig´ee vers le bas.)

On a repr´esent´e ici les courbes repr´esentatives (sur l’intervalle [0, 0.25] car au-dela` la
convergence est trop rapide pour qu’on distingue bien les diff´erents graphes) des fonctions
sommes partielles SN pour 1 ≤ N ≤ 5, ainsi que celle de la somme S de la s´erie (cette
derni`ere courbe ´etant en trait gras).

Le trac´e de droite repr´esente y = S (x) sur [0, 1] (pour confirmer lim S (x) = −∞.)

x→0

Corrige´ de l’exercice 4 [ Retour a` l’´enonc´e ]

1. Convergence simple :

On constate tout d’abord que pour tout n ≥ 2, la fonction fn est nulle en x = 0.

D’autre part, si x > 0, alors lim n2e−nx = 0 et a fortiori lim n2fn(x) = 0.

n→∞ n→∞

Cela prouve la convergence de la s´erie fn sur R+.

2. Convergence normale :

Pour tout n ≥ 2 et tout x ≥ 0 : fn(x) = (1 − e−nx
nx) .

ln n

L’application fn atteint son maximum en x = 11
positive donc Mn , et Mn = .
n e n ln n

La s´erie Mn est divergente (s´erie de Bertrand).

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Se´ries de fonctions
Corrig´es

On en d´eduit que la s´erie de fonctions fn n’est pas normalement convergente sur R+.

En revanche, d`es que n ≥ 1 (avec a > 0), alors fn est d´ecroissante sur [a, +∞[.
a

Le maximum de |fn| sur [a, +∞[ est donc fn(a), terme g´en´eral d’une s´erie CV.

On en d´eduit que la s´erie de fonctions fn est normalement (donc uniform´ement) conver-
gente sur [a, +∞[ (et plus g´en´eralement sur tout compact de R+∗.)

Cons´equence : la somme S de la s´erie est continue sur R+∗ (la continuit´e en x0 > 0 r´esulte
de celle des fn et de la CVU de fn sur un compact de R+∗ contenant x0.)

3. Convergence uniforme :

Montrons que la s´erie fn est uniform´ement convergente sur R+.

∞ fn sur R+. Remarquons d’abord que Rn(0) = 0.

Pour cela on va majorer RN =

n=N +1

Pour tout x > 0 et tout n > N, on a : 0 ≤ fn(x) ≤ xe−nx
.

ln N

On en d´eduit par sommation sur n :

∞ x ∞ xe−(N +1)x
ln(N + ln(N + 1)(1 − e−x)
0 ≤ RN (x) = fn(x) ≤ 1) (e−x)n =

n=N +1 n=N +1

xe−N x
=

ln(N + 1)(ex − 1)

On cherche une majoration valable sur R+ tout entier. On majore donc e−Nx par 1.

On trouve alors 0 ≤ RN (x) ≤ ϕ(x) , avec ϕ(x) = x .
ln(N + 1) ex − 1

Or ϕ est prolongeable par continuit´e en 0 (avec ϕ(0) = 1) et tend vers 0 en +∞.

Elle est donc born´ee sur R+. M
.
Finalement, il existe M ≥ 0 (ind´ependant de N) tel que : ∀x ≥ 0, |RN (x)| ≤
ln(N + 1)

On en d´eduit lim sup |RN (x)| = 0 : la s´erie fn est donc CVU sur R+.

N →∞ x≥0

+∞

Cons´equence : on peut maintenant affirmer que S = fn est continue sur R+.

n=0

4. D´erivabilit´e de la somme S sur R+∗.

Puisque les applications fn sont de classe C1 sur R+, il suffit de montrer que la s´erie fn

est uniform´ement convergente sur tout intervalle I = [a, +∞[, avec a > 0.

Pour tout x de I, on a d`es que n ≥ 1 : |fn(x)| = (nx − 1) e−nx ≤ nfn(x) ≤ nfn(a).
a ln n
Mais vn = nfn(a) est encore le terme g´en´eral d’une s´erie convergente (n2vn → 0).

La s´erie fn est donc uniform´ement (car normalement) convergente sur I. On peut donc
appliquer le th´eor`eme de d´erivation des s´eries de fonctions sur cet intervalle.

Puisque a > 0 est quelconque, on en d´eduit que S est de classe C1 sur R+∗.

∞ ∞ e−nx
Plus pr´ecis´ement, pour tout x > 0, on a : S (x) = fn(x) = (1 − nx) .
ln n
n=2 n=2

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Corrig´es

5. Non d´erivabilit´e de la somme S en 0.

On va montrer que lim S(x) = +∞. Il en r´esultera (puisque S(0) = 0) que la courbe
x
x→0+

y = S(x) pr´esente une demi-tangente verticale `a l’origine.

S(x) ∞ e−nx ∞ e−nx
Posons, pour tout x > 0 : T (x) = = = gn(x), avec gn(x) = .
x ln n ln n
n=2 n=2

Les applications gn sont d´ecroissantes sur R+∗.

Il en est donc de mˆeme de l’application T .

Pour montrer que lim T (x) = +∞, il faut donc montrer que T n’est pas major´ee.

x→0+

Supposons donc par l’absurde que T (x) ≤ λ, pour tout x > 0, avec λ un r´eel.

N e−nx
Alors pour tout entier N ≥ 2 et tout x > 0 : ln n ≤ λ (car les gn sont positives.)

n=2

Puiqu’il s’agit d’une somme finie, on peut faire tendre x vers 0.

On en d´eduit N1 ≤ λ pour tout N ≥ 2 ce qui est absurde car 1
diverge.
n=2 ln n
ln n

Conclusion : l’application S n’est pas d´erivable en 0 a` droite.

6. D´ecroissance rapide de S en +∞

On majore fn(x) par xe−nx
. On en d´eduit l’encadrement de S(x), pour tout x > 0.
ln 2

∞ x ∞ xe−2x xe−x
ln 2 (ln 2)(1 − e−x) (ln 2)(ex −
0 ≤ S(x) = fn(x) ≤ (e−x)n = = 1)

n=2 n=2

On sait que ϕ(x) = x 1 est born´ee sur R+.
ex −

On en d´eduit l’existence d’un r´eel K tel que, pour tout x > 0 : 0 ≤ S(x) ≤ Ke−x.

Il en d´ecoule que pour tout entier naturel k, on a : lim xkS(x) = 0.

x→∞

On a repr´esent´e ici les sommes partielles SN pour 2 ≤ N ≤ 15.

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