Exercices de Mathe´matiques
Suites de fonctions (II)
E´ nonc´es
E´nonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que si la suite de fonctions (fn) est uniform´ement convergente, il en est de mˆeme de
la suite de fonctions (gn = sin fn).
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit f une application continue de [0, 1] dans R, et telle que f (1) = 0.
On d´efinit les applications fn sur [0, 1] par fn(x) = xnf (x).
E´tudier la convergence de la suite (fn).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
On d´efinit une suite de polynˆomes (Pn) par : P0 = 1 et ∀n ∈ N, Pn+1 = Pn + 1 − Pn2).
√ (x
2
√√ 1 − Pn + x
1. Montrer que Pn+1 − x = (Pn − x) 2
√√ x.
2. Exprimer de mˆeme Pn+1 + x en fonction de Pn +
√
3. Montrer que, ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1] x ≤ Pn+1(x) ≤ Pn(x) ≤ 1.
√
4. Montrer que la suite (Pn) est simplement convergente, sur [0, 1] vers f : x→ x.
√ √
5. Pr´eciser la monotonie des applications x → Pn(x) − x et x → Pn(x) + x.
6. Montrer que la convergence de la suite (Pn) est uniforme.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit (Pn)n≥0 une suite de polynˆomes, tous de degr´e inf´erieur ou ´egal a` m.
On suppose que la suite (Pn)n≥0 est simplement convergente sur un segment [a, b], avec a < b,
vers une application f . Montrer que f est aussi un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal a` m, et
que la convergence de la suite (Pn)n≥0 est uniforme.
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Suites de fonctions (II)
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour a` l’´enonc´e ]
Justifier et utiliser l’in´egalit´e : ∀(x, y) ∈ R2, |sin x − sin y| ≤ |x − y|.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour a` l’´enonc´e ]
Se donner ε > 0, et α ∈]0, 1[ tel que x ∈ [1 − α, 1] ⇒ |f (x)| ≤ ε.
Montrer que la suite (fn) est uniform´ement convergente vers la fonction nulle.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour a` l’´enonc´e ]
√√ 1 − Pn − √ x
– On trouve Pn+1 + x = Pn + x) 2 .
– Pour la question 3, proc´eder par r´ecurrence. √
Si c’est vrai au rang n, v´erifier que Pn+1(x) ≤ Pn(x) ≤ 1 et Pn(x) + x ≤ 1.
2
– Utiliser un th´eor`eme de convergence des suites monotones.
Passer a` la limite dans la relation de r´ecurrence d´efinissant les Pn.
– Proc´eder par r´ecurrence.
√
Montrer que x → ϕn(x) = Pn(x) + x est croissante.
√
De mˆeme, montrer que x → ψn(x) = Pn(x) − x est d´ecroissante.
√
– Utiliser l’encadrement 0 ≤ Pn(x) − x ≤ Pn(0).
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
L’id´ee est d’utiliser l’interpolation de Lagrange pour m + 1 points distincts de [a, b].
Se donner λ0, λ1, . . . , λm distincts dans [a, b].
Noter L0, L1, . . . , Lm les polynˆomes interpolateurs associ´es aux λk.
m
Pour tout n de N, Pn(x) = Pn(λk)Lk(x).
k=0
Faire tendre n vers +∞, a` x fix´e, et constater que f = lim Pn est un polynoˆme de degr´e ≤ m.
Justifier l’existence de M ∈ R+, tel que : ∀k ∈ {0, . . . , m}, ∀x ∈ [a, b], |Lk(x)| ≤ M .
m
En d´eduire que sur [a, b] on a |f (x) − Pn(x)| ≤ M |f (λk) − Pn(λk)|.
k=0
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Suites de fonctions (II)
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrige´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Soit f la limite uniforme de la suite (fn). On pose g = sin f .
Pour tous r´eels x et y, on a |sin x − sin y| ≤ |x − y| (th´eor`eme des accroissements finis.)
On en d´eduit gn − g ∞ ≤ fn − f ∞.
Ainsi lim gn − g ∞ = 0 : la suite (gn) est uniform´ement convergente vers la fonction g.
n→∞
Corrige´ de l’exercice 2 [ Retour a` l’´enonc´e ]
On se donne un r´eel ε strictement positif.
f est continue sur [0, 1] donc born´ee : soit M = sup |f (x)|.
x∈[0,1]
Il existe α ∈]0, 1[ tel que x ∈ [1 − α, 1] ⇒ |f (x)| ≤ ε (f continue en 0 et f (0) = 0.)
On en d´eduit que pour tout entier n, et tout x de [1 − α, 1], |fn(x)| ≤ xnε ≤ ε .
D’autre part, pour tout entier n, et tout x de [0, 1 − α], on a :
|fn(x)| ≤ (1 − α)n |f (x)| ≤ (1 − α)nM
Puisque 0 ≤ 1 − α < 1, il existe un entier n0 tel que : n ≥ n0 ⇒ (1 − α)nM ≤ ε.
On en d´eduit que pour tout entier n ≥ n0 et tout x de [0, 1], |f (x)| ≤ ε.
Ainsi : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, n ≥ n0 ⇒ sup |fn(x)| ≤ ε.
x∈[0,1]
La suite (fn)n≥0 est donc uniform´ement convergente, sur [0, 1], vers la fonction nulle.
Corrige´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Le fait que les (Pn) sont des polynˆomes est ´evident par r´ecurrence.
On a e√ffxec)tiv1em−ePnnt,+2en√dx´eve=lopPpna−nt√lexs−ec12o(nPdn2m−exm)b=rePdne+l’´e21g(axli−t´eP`an2)d−´em√oxnt=rerPn: +1 − √
(Pn − x.
2. De la mˆeme mani`ere : √
1 − Pn − x
Pn+1 + √ = Pn + 1 − Pn2) + √ = Pn + √ − 1 (Pn2 − x) = (Pn + √ .
x (x x x 2 x) 2
2
√
3. La double in´egalit´e x ≤ Pn(x) ≤ 1 est ´evidente si n = 0.
√
Soit n un entier naturel fix´e. Supposons x ≤ Pn(x) ≤ 1.
La d´efinition de Pn+1 donne d’abord : Pn+1(x) = Pn(x) + 1 − Pn2(x)) ≤ Pn(x) ≤ 1.
(x
√
x √2
Pn(x) + x ≤ 1.
La double in´egalit´e ≤ Pn(x) ≤ 1 donne aussi 2
√√ 1 − Pn(x) + √ x
La question 1 donne alors Pn+1(x) − x = (Pn(x) − x) 2
≥ 0.
√
Ainsi le r´esultat x ≤ Pn+1(x) ≤ Pn(x) ≤ 1 est vrai pour tout entier n, par r´ecurrence.
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Suites de fonctions (II)
Corrig´es
√
4. Pour tout x de [0, 1], la suite x → Pn(x) est d´ecroissante, et elle est minor´ee par x.
Cette suite est convergente. Notons f (x) sa limite.
On passe a` la limite dans Pn+1 = Pn + 1 (x − Pn2) et on trouve f (x) = f (x) + 1 (x − f 2(x)).
Ainsi f 2(x) = x. Or les Pn(x) et donc 2 positifs. On 2√
f (x) sont en d´eduit f (x) = x.
√
Conclusion : la suite (Pn) est simplement convergente, sur [0, 1], vers f : x → x.
√√
5. Montrons que x → ϕn(x) = Pn(x) + x est croissante et que x → ψn(x) = Pn(x) − x
est d´ecroissante.
Notons tout d’abord que : ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], 0 ≤ ϕn(x) ≤ 2 et 0 ≤ ψn(x) ≤ 1.
La propri´et´e a` d´emontrer est vraie si n = 0. Supposons qu’elle soit ´etablie au rang n.
La question 1 donne : ψn+1 = (1 − 1 L’application ψn+1 est donc le produit de
2 ϕn)ψn.
deux fonctions positives et d´ecroissantes : elle est donc elle-mˆeme d´ecroissante.
La question 2 donne : ϕn+1 = (1 − 1 L’application ϕn+1 est donc le produit de
2 ψn)ϕn.
deux fonctions positives et croissantes : elle est donc elle-mˆeme croissante.
On a prouv´e par r´ecurrence que les ϕn sont croissantes et que les ψn sont d´ecroissantes.
√
6. Pour tout x de [0, 1] et tout n de N : 0 ≤ Pn(x) − x ≤ Pn(0) (d´ecroisssance de ψn.)
Or lim Pn(0) = 0 (cons´equence de la convergence simple).
√
n→∞ √
On en d´eduit lim sup Pn(x) − x = 0 : la suite (Pn) est CVU sur [0, 1] vers x → x.
n→∞ x∈[0,1]
Remarques :
– L’exemple pr´ec´edent illustre le th´eor`eme de Weierstrass (une application continue sur un
segment et approch´ee uniform´ement sur ce segment par une suite de polynˆomes).
– On voit ici une suite de fonctions ind´efiniment d´erivables qui converge uniform´ement sur un
intervalle vers une application qui n’est pas mˆeme d´erivable une fois sur cet intervalle.
– On a deg P1 = 1, et la relation entre Pn et Pn+1 donne : deg Pn+1 = 2 deg Pn si n ≥ 1.
On a donc deg Pn = 2n−1 si n ≥ 1. Par exemple, P10 est de degr´e 512...
√
– Voici les courbes y = Pn(x) (a` gauche) et y = Pn(x) − x (a` droite), pour 0 ≤ n ≤ 5.
Pour tout n, la courbe “au rang n + 1” est situ´ee en dessous de la courbe au rang n.
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Corrig´es
Corrige´ de l’exercice 4 [ Retour a` l’´enonc´e ]
On se donne une famille λ0, λ1, . . . , λm de m + 1 points distincts de [a, b].
Soit L0, L1, . . . , Lm la famille des polynˆomes interpolateurs associ´es aux λk.
Pour tout entier k de {0, . . . , m}, Lk est l’unique polynoˆme de degr´e ≤ m tel que Lk(λk) = 1
et Lk(λj) = 0 si j = k.
L0, L1, . . . , Lm forment une base de Rm[X].
m
Plus pr´ecis´ement, tout polynoˆme de degr´e ≤ m s’´ecrit P = P (λk)Lk.
m k=0
En particulier : ∀n ∈ N, ∀xin[a, b], Pn(x) = Pn(λk)Lk(x).
k=0 m
Si n → +∞ dans cette ´egalit´e, `a x fix´e, on trouve : ∀x ∈ [a, b], f (x) = f (λk)Lk(x)
k=0
Ainsi la limite f de la suite (Pn) est elle-mˆeme un polynoˆme de degr´e ≤ m.
Il reste `a montrer que la convergence de la suite (Pn) vers f est uniforme sur [a, b].
Chaque polynˆome Lk est une application continue donc born´ee sur [a, b].
Il existe donc un r´eel positif M tel que : ∀k ∈ {0, . . . , m}, ∀x ∈ [a, b], |Lk(x)| ≤ M .
mm
∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b], |f (x) − Pn(x)| = (f (λk) − Pn(λk))Lk(x) ≤ M |f (λk) − Pn(λk)|.
k=0 k=0
m
Mais la quantit´e |f (λk) − Pn(λk)| tend vers 0 quand n → ∞ (convergence simple.)
k=0
On en d´eduit que lim sup |f (x) − Pn(x)| = 0.
n→∞ x∈[a,b]
La suite (Pn) est donc uniform´ement convergente vers f sur [a, b].
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