Атамұра баспасы Математика 6-сынып Авторы: Солтанова Алуа Дастановна
Кіріспе бөлім 1-тарау. Қатынастар және пропорциялар 1.1 Қатынастар...........................................2 1.2 Берілген қатынаста бөлцге есептер...4 1.3 Пропорция және қасиеттері...............6 1.4 Тура пропорционал шамалар.............8 1.5 Масштаб...............................................10 1.6 Кері пропорционал шамалар..............12 1.7 Шеңбердің ұзындығы.Шар................14 1.8 Проценттерге күрделі есептер...........16 1.9 Жиын және оның элементтері...........18 1.10 Жиындардфң қиылысуы,бірігуі.......20
1.1 Қатынастар Шамалар, сандар айырмасы бойынша немесе бөліндісі бойынша салыстырылады. Шамаларды олардың бөліндісі бойынша салыстырған жағдайда «бөлінді» сөзінің орнына «қатынас» термині қолданылады. Мысалы: АВ және СD кесінділерінің ұзындықтарын қатынастары бойынша салыстырайық. АВ-14см; CD-7см болса, онда: 1) 14:7 немесе 14 7 қатынасы АВ кесіндісінің ұзындығы CD кесіндісінің ұзындығынан 2 есе ұзын екенін көрсетеді.Себебі 14 7 =2. 2) 7:14 немесе 7 14 қатынасы CD кесіндісінің ұзындығы АВ кесіндісі ұзындығының 1 2 -індей екенін көрсетеді. Мысалы, b a қатынасы - a b қатынасына кері қатынас. Қатынас екі санның бөліндісі болғандықтан, бөліндінің негізгі қасиеті қатынаста да орындалады. Екі санның бөліндісі сол сол сандардың қатынасы деп аталады. Егер берілген қатынастың алдыңғы мүшесін соңғы мүше етіп, ал соңғы мүшесін алдыңғы етіп, орындарын ауыстырып жазсақ, онда берілген қатынасқа кері қатынас алынады.
Сұрақтар: 1. Екі санның қатынасы дегеніміз не? 2. Берілген қатынасқа кері қатынас қалай табылады? 3. Берілген қатынасқа тең қатынас қалай табылады? Қатынасқа кері қатынасты жазыңдар: 1) 3 8 2)7:5 3)9:4 4)17:5 5)12:11 6)11 8 7)3 2 8)36 13 Қатынастарды қысқарту арқылы оған тең қатынасты табыңдар: 1)24 15 2¿ 99 12 3 ¿ 125 75 4 ¿ 16 60 5)21:49 6)80:15 7)42:45 8)126:27 1.2 Берілген қатынаста бөлуге есептер Берілген қатынаста бөлу үшін: 1) Берілген қатынас мүшелерінің қосындысын табу керек: 2+5=7 2)санды табылған қосындыға бөлу керек: 350 7 Қатынастың екі мүшесін де нөлден өзге бірдей санға көбейтсек немесе бөлсек, берілген қатынасқа тең қатынас шығады.
3) шыққан нәтижені (бөліндіні) қатынас мүшелерінің әрқайсысына жеке-жеке көбейту керек : 350 7 *2=100; 350 7 *5=250. А-деңгейі бойынша: Мыс пен мырыштан дарланған құйманың массасы 720 г. Құйма құрамындағы мыстың массасынының мырыштық массасына қатынасы 7:5 қатынасындай. Құйма құрамында неше грамм мыс, неше грамм мырыш бар? В-деңгейі бойынша: Тік төртбұрыштың периметрі 42 см. Оның ұзындығының еніне қатынасы 4:3 қатынасындай. Тік төртбұрыштың ауданын табыңдар. А. 115 см 2 В. 110см 2 С. 108 см 2 Д. 120 см 2 С-деңгейі бойынша: Елдос төрт сан ойлады. Ол ойлаған сандардың қатынасы 2:3:5:8 қатынасындай. Бірінші сан мен үшінші санның арасындағы санның қосындысы 84-ке тең. Елдос ойлаған сандарды табыңдар. 1.3. Пропорция. Пропорцияның негізгі қасиеті. 1.Пропорция
Мысалы, 5 15 = 7 21 теңдігі – пропорция. Себебі 5 15 = 1 3 ; 7 21 = 1 3 . 2. Пропорцияның негізгі қасиеті Бұл пропорцияның негізгі қасиеті. a:b=c:d немесе a b = c d пропорциясында Пропорцияның негізгі қасиеті орындалатын теңдік пропорция болады, ал бұл теңдік орындалмайтын теңдік пропорция бола алмайды. Екі қатынастың теңдігі пропорция деп аталады. Пропорцияның шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортаңғы мүшелерінің көбейтіндімне тең. a*d=b*c Пропорцияның белгісіз ортаңғы мүшесі оның шеткі мүшелерінің көбейтіндісін белгілі ортаңғы мүшесіне бөлгенге тең. Пропорцияның белгісіз шеткі мүшесі оның ортаңғы мүшелернің көбейтіндісін белгілі шеткі мүшесіне бөлгенде тең.
с Сұрақтар: 1. Пропорция деген не? 2. Пропорцияның негізгі қасиеті? 3. Пропорцияның белгісіз ортаңғы мүшесін қалай табамыз? №1 Пропорциян оқып, оның ортаңғы мүшелерін, шеткі мүшелерін атаңдар: 3:6=4:8 15 5 = 51 17 20:4=30:6 3 5 = 6 10 №2 Қатынастардан пропорция құрыңдар: 32 8 ; 7,5 2,5 ; 2,5 10 ; 2 12 ; 9 3 ; 4,8 1,2 ; 3 12 ; 7 42. №3 Цехтағы 8 жұмысшы 6 күнде тапсырманың 4:9- ін орындады. Қалған тапсырманы 5 күнде орындау үшін цехқа тағы да неше жұмысшы қабылдау керек? 1.4 Тура пропорционал шамалар
Мысал. Егер бір дәптер 90 г қағаздан дайындалса, екі, үш, төрт, ..., сегіз дәптер неше грамм қағаздан дайындалады? Жауаптарды кесте түрінде жазайық: Дәптер саны 1 2 3 4 5 6 7 8 Қағаздың массасы 90 180 270 360 450 540 630 720 Дәптер саны неше есе өссе, оны дайындауға жұмсалатын қағаздың массасы сонша есе өседі: 8 2 =4; 720 180 =4.Онда 8 2 = 720 180 теңдігі- пропорция. Тура пропорционалдықты әріптермен жазсақ: х1 х2 = у1 у2 немесе х1 у1 = х2 у2 Тура пропорционал екі шаманың біреуінің мәндерінің қатынасы екіншісінің сәйкес мәндерінің қатынасына тең. Сұрақтар: Егер екі шаманың біреуін бірнеше есе арттырғанда екіншісі де сонша есе артса, онда мұндай шамалар тура пропорционал шамалар деп аталады.
1. Қандай шамалар тура пропорционал шамалар деп аталады? 2. Тура пропорционалдық әріптермен қалай жазылады? 3. Тура пропорционал шамаларға мысал келтіріндер. №1 Автоматты станок сағатына 58 бөлшек дайындап, берілген уақытта 348 бөлшек дайындады. Егер осы автоматты станок сағатына бөлшек дайындайтын болса, берілген уақытта неше бөлшек дайындар еді? №2 Пропорцияның белгісіз мүшесін табындар: 1) х:20=6,2:31; 3) 28:4=4,2:х 2) 9,6:х=8,4:0,7; 4) 9:5=х:4 №3 Пропорциядағы х-ті табыңдар: 1) 5,6 3 х+12 = 0,4 3 3) 3 х+1,6 2,4 = 5 1,2 2) 8,7 15+4 х = 0,5 2 4) 5,4 3 = 0,9 4,7 х−4,2 1.5 Масштаб Географиялық карталарда қалалардың арақашықтығы, үйдің пландарында үйдің өлшемдері кішірейтіліп беріледі.
Мысалы, кітап беті тікбұрыш пішінді: Ұзындығы 2 дм 1 см, ені 1 дм 4 см. Кітап бетін дәптерге кескіндейік. Ол үшін: 1) өлшемдерді бір өлшем бірлігіне келтіру керек: 2 дм 1 см = 21 см, 1 дм 4 см = 14 см; 2) өлшемдердің мәндерін 7 есе кішіретейік: 21 : 7 = 3 14 : 7 = 2 3) дәптердегі кітап бетінің сызбасының ұзындығы 3 см, ені 2 см тік төртбұрыш болады. Географиялық карталар белгілі бір масштабпен дайындалады. Мысалы, географиялық картаның масштабы 1:100 000 болса, онда картадағы ұзындығы 1 см кесіндіге Жер бетінде 100 000 см=1000 м = 1км қашықтық сәйкес келеді. Керісінше, Жер бетіндегі 1 км қашықтық географиялық картада 1 см кесіндімен кескінделеді. Сұрақтар: Картадағы кескін ұзындығының оған сәйкес жер бетіндегі қатынастыққа қатынасын масштаб деп атайды.
1. Масштаб дегеніміз не? 2. Масштаб қайда және не үшін пайдаланылады? 3. Егер дененің нақты өлшемі сызбада 100 есе кемісе, сызбаның масштабы неге тең? №1 Мына масштабтардың қайсысында сызбадағы өлшем нақты өлшемнен үлкен, қайсысында кіші: 1:20; 100:1; 1:10000; 75:1;? №2 Футбол қақпасының ені 7,3 м, биіктігі 2,4 м. 1:100 масштабымен футбол қақпасының сызбасын сызындар. №3 Масштабы 1:8 сызбадағы сақина диаметрінің ұзындығы 9 мм. Осы сақинаның масштабы 1:6 сызбадағы диаметрі қандай болады? А. 13 мм; В. 14 мм; С. 10 мм; Д. 12 мм.
1.6.Кері пропорционал шамалар Бұл жағдайда жұмыс мөлшері тұрақты болғанда жұмысшылар саны мен жұмыстың орындалу уақыты кері пропорционал шамалар. 16 8 және 30 60 қатынастарын пропорциямен жазуүшін 30 60 қатынасын, оған кері қатынаспен, яғни 60 30 қатынасымен ауыстыру керек. Сонда: 16 8 60 30; осыдан 16 8 = 60 30 – пропорциясы шығады. Екі шаманың кері пропорционалдығы әріптермен мына түрде жазылады: х1 х2 ¿ у2 у1 Пропорцияның негізгі қасиеті бойынша: х1× у1=х1× у2 Егер бірінші шама бірнеше есе артқанда (кемігенде) екінші шама сонша есе кемитін (артатын) болса, онда мұндай шамалар кері пропорционал деп аталады.
Кері пропорционал шамалардың сәйукс мәндерінің көбейтіндісі- тұрақты сан. Мысалы, кері пропорционал шамалар: Тік төртбұрыштың ауданы тұрақты болғанда оның ұзындығы мен ені; Құны бірдей заттадың мөлшері мен бағасы, Арақашықтық бірдей болғандағы жылдамдық пен уақыт. Сұрақтар: 1. Қандай шамалар мен кері пропорционал шамалар деп аталады? 2. Кері пропоруионалдың әріптермен қалай жазылады? 3. Кері пропорционал шамаларға мысал келтіріңдер. №1 Пропорцияның белгісіз мүшесін табыңдар: А. х 5 = 5,4 3,6 В. 0,25 х = 0,05 9 О. 11,5 6,9 = х 27,6 Т. 1,2 2 = х 0,2 К. 0,9 15 = 0,3 х Р. 4,8 х = 1,6 7 Э. х 1,9 = 66,5 13,3 9,5 5 45 7,5 0,12 46 21 №2 Амалдарды орындандар: 1) 15 4 5 −6,7∗0,3+0,765÷ 3 4 ;
2) (117,27÷ 3+12,6∗0,9 )÷ 6 3 20 +1 4 5 ; 3) 1,8*( 5,9−2 11 20 ) +( 1 2 +0,28)÷ 0,13; №3 Есептеңдер: (0,9− 1 3 +0,75− 1 15 )÷ (0,5− 1 6 )÷ 5 12 ( 5 7 −0,4+ 11 14 )÷( 2 3 +0,8− 7 15 )÷ 2 1 5 1.7. Шеңбердің ұзындығы. Шар. 1.Шеңбердің ұзындығы. Шеңбердің ұзындығыын өлшеп табуға болады. π саны – шектеусіз ондық бөлшек. Жуықтап есептегенде π =3,1415.... Шеңбердің ұзындығы С әрпімен, ал диаметрін D әрпімен белгілесек: С D =π . Осыдан С¿ π D . Бұл шеңбер ұзындығының формуласы. Демек, шеңбер ұзындығы оның диаметріне тура пропорционал. Егер диаметрді радиус арқылы Шеңбердің ұзындығы π санымен шеңбер диаметрінің көбейтіндісіне тең.
өрнектесеек, D¿2 R. Онда шеңбер ұзындығының формуласы C=2 πR. 3.Шар Ойын добы, глобус, жеңіл атлетикада лақтырылатын ядро және т.б. шар деп аталды. Шардың беті сфера деп аталады. Сұрақтар: 1. π саны неге тең? 2. Шеңбер ұзындығының формуласын жазыңдар. 3. Дөңгелектің ауданы қалай табылады? 4. Шар тәрізді денелерге мысал келтіріндер. 5. Сфера деген не? Мысал келтіріндер. №1
Сағаттың минуттық тілінің ұшы 1 сағатта ұзындығы 31,4 см шеңбер сызады. Сағаттың минуттық тілінің ұзындығы неше сантиметр? №2 Суретте радиусы 15 мм шеңбер кесінделген. Шеңбердің боялған доғасының ұзындығын табыңдар. №3 Жер экваторының радиусы 6378 км. Жер экваторының ұзындығын табыңыз. 1.8 Жиын және оның элементтері. Ішкі жиын. Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, объектілер жиын деп аталады. Жиындар элементтерден құралады. Жиынды құрайтын объектілер немесе денелер жиын элементтері деп аталады.
Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне жазу келісілген. Мысалы, цифрлар жиыны ¿0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>¿ - шектеулі жиын, ал натурал сандар жиыны N – шектеусіз жиын. Бос жиын∅ шектеулі жиын. Сұрақтар: 1. Жиындарға мысалдар келтіріндер. 2. Жиындарға тиісті нәрселер, объектілер қалай аталады? 3.Ішкі жиын дегеніміз не? 4. Бос жиын қалай белгіленеді? №1 Берілген жиынға тиісті, тиісьі емес екенін анықта. Бірде бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады. Егер В жынның әрбір элементі А жиынына да тиісті болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиындеп аталады.
18; 97; 1 3 ;60 ;2 5 8 ;0,4; 100 сандарының қайсысы N жиынына тиісті, қайсысы тиісті емес? №2 Өрнектер мәндерін салыстырындар. 1) а+3,8 бен а+3 2 5 ; 2) 9,3-в мен 3 3 4 -в; 3) с*4,9 бен 4 2 5 ∗с ; №3 1) А-11 санының екі таңбалы еселіетерінің жиынын; А жиынын элементтерімен жазыңдар. 2) 33, 43, 55, 53, 77 сандарының қайсысы; 1.9. Жиындардың қиылысуы. Жиындардың бірігуі. 1. Жиындардың қиылысуы. Үшбұрыш нүктелерінің А жиынын және шеңбер нүктелерінің В жиынын қарастырайық. Дөңгелектің боялған бөлігіндегі нүктелер жиыны А жиынына да, В жиынына да ортақ нүктелер жиыны. Демек, дөңгелектің боялған бөлігіндегі нұктелер жиыны- А жиыны және В жиынының қиылысуы. Белгіленуі: А∩ В, мұндағы ∩ - жиындардың қиылысу белгісі. Екі жиынынң қиылысуы деп сол екі жиынның екеуіне де тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды атайды.
2. Жиындардың бірігуі. АВСД квадраты нүктелерінің К жиынын және ЕСF үшбұрышы нүктелерінің L жиынын қарастырайық. ABCF төртбұрышы нүктелерінің жиыны АВСД квадраты нүктелерінен, К жиынының элементтернінен және ECF үшбұрышы нүктелерінен, яғни L жиынының элементтерінен ғана тұрады. Сұрақтар: 1. Қандай жиынды екі жиынның қиылысуы деп атайды? 2. Қандай жиынды екі жиынның бірігуі деп атайды? Екі жиынның бірігуі деп әрбір элементі сол екі жиынынң кем дегенде біреуіне тиісті болатын жиынды атайды.
№1 1-суретте Эйлер-Венн дөңгелектерімен А және В жиындары кескіндеоген. А) А жиынын; в) В жиынын; г) А∩ В; д) А∪В элементтерімен жазыңдар. №2 Қиылысуы: а) нүкте; в) кесінді; с) босы жиын болатын АС және ВК кесінділерін жүргізіндер. №3 56 санының бөлгіштерінң Х жиынын; 32 санының бөлгіщтерінің Ү жиынының элементтерімен жазыңдар. Х және Ү жиындарының қиылысуындағы ең үлкен сан 56 және 32 сандары үшін қайсы болады? 1.10. Тарауды қорытындылау тесттері 1 7 5 3 9 6 2 4
№1 Шамалардың қатынасын табыңдар: 1) 250 г- ның 1 кг-ға; 4) 75 дм-дің 1 м-ге; 2) 3 ц- дің 3 т-ға; 5) 15 мин-тің 1 сағ-қа; 3) 25 см-дің 2 м-ге; 6) 45 с-тің 1 мин-қа; №2 Кері қатынастарын жазыңдар: 1) х:у; 3) 10:3; 5) 7:8; 2) m:n; 4) 1:3; 6) 20:15; №3 Қатынастардан пропорция құрыңдар: 12 20 ; 8 14 ; 14 21 ; 20 35 ; 3 5 ; 6 9 ; №4 Пропорцияның ортаңғы мүшелерін орындарын ауыстырып, жаңа пропорция құрыңдар: 12 14 = 30 35 ; 21 28 = 15 20 ; 10 16 = 30 48 ; №5 Пропорцияның ортаңғымүшелерін орындарын ауыстырып, жаңа пропорция құрыңдар: 4,5 9 = 7 14 ; 28 3,5 = 16 20 ; 15 27 = 2,5 4,5 ; №6 Пропорцияның белгісіз мүшеснін табыңдар: 1) 11 13 = х 10,4 ; 3) х 4,5 = 3 7,5 ; 5) 4,5 х = 5,4 1,8 ; 2) 2 7 = х 12,6 ; 4) х 2,4 = 8 1,6 ; 6) 5,1 8,5 = 2,4 х ;
№7 Жерге себілген 180 қант қызылшасы тұқымының 126-сы көктеп шықты. Қант қызылшасының тұқымының өнімділігі неше процент? №8 Қатынастардан пропорция құрындар: 8:24; 6:2; 9:18; 25:75; 20:28; 18:6; 15:30; 10:14; 10:12; 15:18. №9 Жеңіл машина 95 км/сағ жылдамдықпен екі қаланың арасын 1,2 сағ уақытта жүреді. Автобус 57 км/сағ жылдамдықпен осы екі қаланың арасын неше сағат жүреді? №10 Теңдеуді шешіңдер: 1) 8 х+5,3 2,4 = 11 2 ; 3) х−0,2 0,8 = 4,2 1,2 ; 5) 5 х+3 9 = 27 13,5 ; 2) 4 1,6 = 7 х−2 10,4 ; 4) 3 х+0,8 9,6 = 4,8 3,6 ; 6) 8 20 = 28 9 х+7 .