HOJA CONJUNTOS

MATEMÁTICA BÁSICA UNSCH-
DAMF
TEORÍA DE CONJUNTOS

En matemáticas el concepto de conjunto es DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL
considerado primitivo y no se da una definición HOMBRES MUJERES
de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe FUMAN
aceptarse lógicamente como un término no
definido. NO FUMAN
Un conjunto se puede entender como una
colección o agrupación bien definida de objetos
de cualquier clase. Los objetos que forman un
conjunto son llamados miembros o elementos del
conjunto.
Ejemplo:
En la figura adjunta tienes un Conjunto de
Personas

NOTACIÓN: RELACION DE PERTENENCIA
Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se
le denota mediante letras mayúsculas A, B, Para indicar que un elemento pertenece a un
C,..., sus elementos se separan mediante conjunto se usa el símbolo: ()
punto y coma. Si un elemento no pertenece a un conjunto se
usa el símbolo: ()
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, Ejemplo:
..., x, y, z. se puede escribir así: Sea M = {2;4;6;8;10}
L= {a; b; c;...; x; y; z}
En teoría de conjuntos no se acostumbra 2  M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z} simplemente será { 7  M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
x; y; z }.
DETERMINACION DE CONJUNTOS
CARDINAL DEL CONJUNTO Hay dos formas de determinar un conjunto, por
Es el número de elementos que tiene un conjunto Extensión y por Comprensión

Q y se le representa por n (Q), Card(Q) I) POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR
Ejemplo: Es cuando se pueden indicar explícitamente a cada uno de
A= {a; b; c; d; e} su cardinal n(A)=5 los elementos de un conjunto enumerándo o indicándolos
B= {x; x; x; y; y; z} su cardinal n (B)=3 en forma sobre entendida es decir se indica cada uno
de los elementos del conjunto.
DIAGRAMAS DE VENN Ejemplos:
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo A) El conjunto de los números pares mayores
inglés John Venn (1834-1883) sirven para que 5 y menores que 20.
representar conjuntos de manera gráfica A = {6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
mediante dibujos ó diagramas que pueden ser B) El conjunto de números negativos impares
círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva mayores que -10.
cerrada. B = {-9;-7;-5;-3;-1}

II) POR COMPRENSIÓN O EN FORMA
CONSTRUCTIVA
Es cuando se menciona una o más características comunes
y exclusivas a los elementos del conjunto es decir se da
una propiedad o ley de formación que caracteriza
a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
P = {los números dígitos}
se puede entender que el conjunto P está
formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Otra forma de escribir es:

1 MG. AGUILAR ALTAMIRANO; ERICK E

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P = {x / x = dígito} se lee “P es el conjunto
Se lee: A esta incluido en B, A es subconjunto de
formado por los elementos x tal que x es un B, A esta contenido en B, A es parte de B.
dígito” REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

CONJUNTOS ESPECIALES: PROPIEDADES:
I) Todo conjunto está incluido en si mismo.
a. CONJUNTO VACÍO
A A
Es un conjunto que no tiene elementos, también
II ) El conjunto vacío se considera incluido en
se le llama conjunto nulo. Generalmente se le cualquier conjunto.

representa por los símbolos:  o { } III) A está incluido en B ( A  B ) equivale a decir
que B incluye a A ( B  A )
A =  o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío”
o “A es el conjunto nulo “ IV) Si A no está incluido en B o A no es
subconjunto de B significa que por lo menos
Ejemplos:
M = {números mayores que 9 y menores que 5 } un elemento de A no pertenece a B.( A  B ).

P  x / 1  0 V) Simbólicamente:
 x 
A  B  x  A  x B
b. CONJUNTO UNITARIO O
SÍNGLETON: b. CONJUNTOS COMPARABLES

Es el conjunto que tiene un solo elemento. Un conjunto A es COMPARABLE con otro
Ejemplos: conjunto B si entre dichos conjuntos existe una
F = {x / 2x + 6 = 0}; = { / 2 = 4 ∧ < 0} relación de inclusión.
A es comparable con B  A  B  B  A
c. CONJUNTO FINITO Ejemplo:
A= {1; 2; 3; 4; 5} y B= {2; 4}
Es el conjunto con limitado número de
elementos. Observa que B está incluido en A, por lo tanto Ay
Ejemplos: B son COMPARABLES
E = {x / x es un número impar positivo menor que
10 } c. IGUALDAD DE CONJUNTOS
N = {x / x2 = 4}
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
d. CONJUNTO INFINITO: elementos.
Ejemplo:
Es el conjunto con ilimitado número de A = {x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
elementos. Resolviendo la ecuación de cada conjunto se
Ejemplos: obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3,
R = {x / x < 6};S = { x / x es un número par } es decir: A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B

e. CONJUNTO UNIVERSAL: Simbólicamente: A  B  (A  B)  (B  A)

Es un conjunto referencial que contiene a todos MG. AGUILAR ALTAMIRANO; ERICK E
los elementos de una situación particular,
generalmente se le representa por la letra “U”.
Ejemplo:

El universo o conjunto universalde todos los
números es el conjunto de los NÚMEROS
COMPLEJOS.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a. INCLUSIÓN:

Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí

y sólo sí, todo elemento de A es también

elemento de B

NOTACIÓN:
⊂

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d. CONJUNTOS DISJUNTOS
Ejemplo:
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen Dado el conjunto B = {x / x es un número par y
elementos comunes. 5< x <15}. Determinar el cardinal de P (B).
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Como puedes observar los conjuntos A y B no Números Naturales (N)
tienen elementos comunes, por lo tanto son N= {1;2;3;4;5;....}
CONJUNTOS DISJUNTOS Números Enteros ( )

e. CONJUNTO DE CONJUNTOS = {...;-2;-1}{0}{;1;2;....}
Números racionales ( )
Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Ejemplo:   a / a, b  ,b  o
F = { {a} ;{b} ;{a; b} ;{a; b;c} }  b 
Observa que los elementos del conjunto F 
también son conjuntos.
NÚMEROS IRRACIONALES (II)
f. CONJUNTO POTENCIA O
CONJUNTO DE PARTES  II   7; 5;;e; 2;  2.36

El conjunto potencia de un conjunto A denotado NUMEROS REALES (R)
por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por
todos los subconjuntos de A.   II
Ejemplo: Sea A = {m; n; p}
Los subconjuntos de A son: NUMEROS COMPLEJOS ( )
{ }, { }, { }{ ; }, { ; ; },
Entonces el conjunto potencia de A es:   a  b.i / a,b  ,i  1
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }
¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de ESQUEMA GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS
A? NUMÉRICOS
PROPIEDAD:
UNION DE CONJUNTOS:
 Dado un conjunto A cuyo número de El conjunto “A unión B” que se representa asi
elementos es n, entonces el número
de elementos de su conjunto AUB es el conjunto formado por todos los
potencia es 2n.
elementos que pertenecen a A, a B o a ambos
 Al cardinal de A disminuido en 1 se le
llamará número de sub conjuntos conjuntos.
propios.
Simbólicamente:
3
AB={x/xA B}

AB A BA

B

D is juntos A BA

C omparables

Consecuencias:

MG. AGUILAR ALTAMIRANO; ERICK E

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A  B  A  B  A; A y B Comparables AB AB A
n(A  B)  n(A)  n(B)  A y B disjuntos B

INTERSECCION DE CONJUNTOS Com parables

AB={x/xA B} D isjuntos

AB A BA Consecuencias:

B AB  Corona circular  B  A; A y BComparables

Disjuntos A  B  A B B COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se
Comparables llama complemento de A al conjunto formado por
todos los elementos del universo que no
Consecuencia: pertenecen al conjunto A.
Notación: A’ o AC
A B  B  B  A; A y BComparables Simbólicamente:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS A´ x / x U  x  A
El conjunto “A menos B” que se representa A-
B es el conjunto formado por todos los A
elementos que pertenecen a A y no pertenecen
a B. ®A´

A  B  x U / x  A  x  B

B  A  x U / x  A  x  B

AB A B

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

1 A A A 2 A A A

A BA 3 AB  B A 4 AB  B A

B 5 A  A 6 A 

7 AU U 8 AU  A

D i sj u n t o s A - B  A B A   9 A  A´ U 10 A  A´ 

Com pa ra ble s 11 U '   12  '  U

Consecuencias: 13 A  B  CB A 14 A  B  A  B '
15 AA   16 A  A
A  B  Corona circular  B  A; A y BComparables
17 U A  A´ 18 A''  A
B  A    B  A; A y BComparables
19 AB  BA 20   A  
A  B  A  A y B Disjuntos

21 ( A  B)´ A' B ' 22  A  B '  A' B´

DIFERENCIA SIMETRICA: 23 ( AB)  ( A  B)  (B  A)

El conjunto “A diferencia simétrica B” que se 24 ( A  B)  C  ( A  C)  (B  C)  C  ( A  B)
representa ∆ es el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen a (A-B)o(B- 25 ( A  B)  C  ( A  C)  (B  C)  C  ( A  B)
A).
26 ( A  B)  C  ( A  C)  (B  C)
AB  x / x (A  B)  x (B  A)
27 ( A  B)  C  ( A  C)  (B  C)

28 ( AB)  C  ( A  C)(B  C)  C  ( AB)

29 ( AB)  C  ( A  C)(B  C)  C  ( AB)

30 A  ( A  B)  A 31 A  ( A  B)  A

32  AB   BC    A  B  C    A  B  C 

4 MG. AGUILAR ALTAMIRANO; ERICK E