ฟังก์ชันตรีโกณมิติและวงกลม 1 หน่วย

คำนำ
สอ่ื กำรเรยี นกำรสอนวชิ ำคณติ ศำสตร์ทมี่ งุ่ เนน้ ให้
ผ้เู รยี นมคี วำมรู้ในวชิ ำคณิตศำสตรน์ อกจำกกำรเรยี น
ในห้องเพยี งอย่ำงเดยี ว ทำให้นกั เรียนมีควำมคิด
เกี่ยวกบั วิชำคณิตศำสตรว์ ่ำวชิ ำคณิตศำสตรเ์ ป็นวิชำ
ท่ีตอ้ งเนน้ ทฤษฎี หลกั กำร และเนอื้ หำเท่ำน้ัน ซง่ึ
มีผลทำใหน้ กั เรียนไมช่ อบวชิ ำคณติ ศำสตร์

ในกำรจัดทำส่ือกำรสอนนเี้ ปน็ กำรใชค้ ณิตศำสตร์
ข้นั พนื้ ฐำนในกำรทำส่ือกำรสอนเปน็ กำรผสมผสำน
วิชำคณิตศำสตร์ กระบวนกำรคดิ กำรจัดกำรอยำ่ ง
สมดุล กับหลกั กำรอนื่ ๆ เข้ำดว้ ยกนั ทำให้เกดิ สง่ิ ท่ี

น่ำสนใจ และนำ่ ที่จะศึกษำคน้ ควำ้ ตลอดจน
สง่ เสรมิ ใหน้ กั เรยี นรู้จักคิดวิเครำะห์ วำงแผน

สารบัญ

หน้า

ความหมายของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 1

ฟังก์ชนั ไซนแ์ ละโคไซน์ 2-3

ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติของมุม 4

การแปลงหน่วยเรเดยี นและองศา 5

กราฟของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 6

ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรอื มุม 7

ตัวผกผันของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ 8

เอกลกั ษณแ์ ละสมการตรีโกณมิติ 9-10

กฎของไซนแ์ ละโคไซน์ 11

การหาระยะทางและความสูง 12

วงกลมหนง่ึ หนว่ ย 13

สารบัญรปู ภาพ

รปู ภาพท่ี1....................................................................................1
รปู ภาพท่ี2....................................................................................2
รูปภาพที่3....................................................................................3
รปู ภาพท่ี4....................................................................................4
รปู ภาพที่5....................................................................................5
รูปภาพท6่ี ....................................................................................6
รูปภาพท่ี7....................................................................................7
รปู ภาพที่8....................................................................................8
รูปภาพที่9....................................................................................9
รูปภาพที่10.................................................................................10

ฟังกช์ ันตรีโกณมติ แิ ละวงกลม 1 หน่วย

https://forms.gle/NTjcg8ZsSDXLK4RX9

1

ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ

ฟงั กชันตรโี กณมติ ิ คือ ฟงั ก์ชันของมุม ซงึ่ มคี วามสาคญั ใน
การศกึ ษารูปสามเหลยี่ มและปรากฏการณใ์ นลักษณะเป็น
คาบ ฟงั ก์ชนั อาจนยิ ามด้วยอตั ราสว่ นของด้าน 2 ด้านของ
รูปสามเหลีย่ มมุมฉากดังน้นั ผลรวมของมุมทกุ มมุ จงึ
เทา่ กับ 180° เสมอ

รปู ภำพท่ี 1

2

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การกาหนดค่าของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ นิ ัน้ สามารถทาได้
โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ดุ
กาเนิดและเราจะเรยี กวงกลมดงั กลา่ ววา่

วงกลมหน่งึ หน่วย (The unit circle)

เม่ือเรากาหนดจานวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วดั
ระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมขี ้อตกลงดงั นีว้ า่ :

ถา้ θ > 0 จะวัดส่วนโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวน
เขม็ นาฬิกา

ถา้ θ < 0 จะวดั สว่ นโค้งจากจุด (1,0) ไปในทศิ ทางตาม
เขม็ นาฬิกา

ถา้ θ = 0 จุดปลายสว่ นโคง้ คือจุด (1,0)

3

คา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ เป็นดงั ตารางนี้

Cr: https://physicscatalyst.com/article/trigonometric-table-from-0-to-360-cos-sin-
cot-tan-sec-cosec/#.X33oUqoW9JA.pinterest

รปู ภำพท่ี 2

4

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมมุ

มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ซ่งึ รองรับดว้ ยส่วนของเส้นโค้ง
ทยี่ าว 2πr หน่วยจะมีขนาด 2π เรเดยี นและมมุ ท่ีจดุ
ศูนย์กลางของวงกลม ซ่งึ รองรับดว้ ยสว่ นโค้งคร่งึ วงกลมที่
ยาว πr หน่วยจะมขี นาด π เรเดยี นจะเห็นได้ว่า สาหรบั มุม
ทจ่ี ดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมที่มีรศั มี r หนว่ ย ซงึ่ รองรบั ดว้ ย
สว่ นโคง้ ของวงกลมยาว a หนว่ ย จะได้ θ = a/r

การใช้ตารางค่าฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ

รูปภำพท่ี 3

Cr: https://tuemaster.com

5

การแปลงหนว่ ยเรเดียนและองศา

หากมุมภายในวงกลมท้ังหมดเปน็ θ = 2π เมื่อเทยี บกับหน่วย
องศา จะเทา่ กบั 360 องศา ดงั นน้ั π = 180 องศา
1 เรเดยี น เทา่ กบั 180/π = 57.3 องศา

รูปภำพท่ี 4

Cr:https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9
4%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99

หากต้องการทราบว่า 1 องศาเปน็ กีเ่ รเดยี น เราสามารถหาได้
โดยการเทยี บบญั ญัติไตรยางค์180 องศา เท่ากับ π หรือ 3.14
เรเดียน ดังน้นั 1 องศา เทา่ กบั 3.14/180 = 0.0174 เรเดยี น

6

กราฟของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ ทุกฟงั กช์ นั เปน็ ฟังกช์ ันที่เปน็ คาบ (Periodic
Function)กลา่ วคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็น ชว่ ง
ย่อย (Subinterval) โดยท่ีความยาวแตล่ ะชว่ งย่อยเทา่ กนั และกราฟ
ในแตล่ ะช่วงยอ่ ยมีลกั ษณะเหมือนกนั ความยาวของช่วงยอ่ ยท่ีสนั้ ท่ีสดุ
มีสมบตั ดิ งั กลา่ วเรยี กวา่ คาบ (Period) จากรูปขา้ งตน้ จะเห็นไดว้ า่

- คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากบั 2π

- คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากบั 2π

- คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เทา่ กบั π

รปู ภำพที่ 5

Cr: https://rangsiyablog.wordpress.com/

7

ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและ
ผลต่างของจานวนจรงิ หรอื มุม

การคานวนค่าฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ อาจเกยี่ วขอ้ งกบั มมุ ทอ่ี ยู่ในรูปของ
ผลบวกหรือผลลบ

รปู ภำพที่ 6

Cr: คณิตศาสตร์ ม.5 (เสรมิ ) ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ - ฟังกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องผลบวกและผลตา่ งของจานวนจรงิ หรอื
มมุ (tutormathphysics.com)

8

ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

(เช่น y = sin x) สามารถหาอินเวอรส์ ไดโ้ ดยสลับทีร่ ะหวา่ ง
โดเมนและเรนจต์ ามปรกติ (กลายเป็น x = sin y) แตอ่ ินเวอรส์
ทไ่ี ดเ้ หล่านจี้ ะไม่เปน็ ฟังกช์ ัน เพราะค่า x แต่ละค่านนั้ ให้
คา่ y ได้หลายค่าไมม่ ีทสี่ ้นิ สุด กจ็ าเปน็ ตอ้ งจากัดข่วงของเรนจ์
ดว้ ยนั่นหมายถงึ ความหมายของ x = sin y และความหมาย
ของ y = arcsin x ไมเ่ ทา่ กัน เนอื่ งจากเรนจ์

ไมเ่ ทา่ กนั

รูปภำพท่ี 7

Cr: https://rangsiyablog.wordpress.com/

เอกลักษณ์หนง่ึ ทีม่ ปี ระโยชนใ์ นเรื่องฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
ผกผัน คอื

9

เอกลกั ษณ์และสมการตรโี กณมติ ิ

คือการเท่ากนั ของฟังกช์ ันตรีโกณมิติที่ตา่ งกัน และเปน็ จริง
สาหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมมุ เม่ือกาหนด A เป็นขนาด
ของมมุ ใดๆ (0 ≤ A ≤ 2π) จะได้

รปู ภำพที่ 8

Cr: http://cdtrigonometry4you.blogspot.com/

10

เม่อื กาหนด x และ y เป็นขนาดของมมุ ใดๆ (0 ≤ x ≤ 2π ,
0 ≤ y ≤ 2π) จะได้

รปู ภำพท่ี 9

11

กฎของโคไซน์ และไซน์

กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหล่ยี ม ABC ใดๆ ถา้ a,b และ c
เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B และ C ตามลาดบั
จะได้

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA

b2 = c2 + a2 - 2ca cosB

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
กฎของไซน์ ในรูปสามเหล่ยี ม ABC ใดๆ ถา้ a,b และ c เป็น
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B และ C ตามลาดบั จะได้

12

การหาระยะทางและความสงู

ในการวัดระยะทางและความสูงของส่งิ ใดก็ตาม บางครงั้ จะใช้
เครื่องมอื สาหรับวดั มาใชใ้ นการวดั โดยตรงไม่ได้

เรานาความรใู้ นเร่ืองฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ มาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการ
คานวณได้ อนั ไดแ้ ก่

- มมุ กม้ (Angel of Depression) คือมมุ ท่ีวงั ลงไปจาก
แนวราบ (ระดบั สายตา)

- และมมุ เงย (Angle of Elevation)คือมมุ ท่ีวดั ขนึ้ จาก
แนวราบ

- รวมถึงการใชก้ ฎของไซนแ์ ละโคไซนม์ าชว่ ยในการคานวณ

13

วงกลมหน่ึงหนว่ ย

คือ วงกลมทมี่ ีจดุ ศูนย์กลางทจ่ี ดุ (0,0) และมีรศั มียาว1หน่วย
ฟังกช์ นั ตรโี กณทงั้ 6 ฟังกช์ นั สามารถนิยามดว้ ยวงกลม
หนง่ึ หน่วย ซง่ึ เป็นวงกลมท่ีมีรศั มียาว1หนว่ ย และมีจดุ ศนู

กลางอยทู่ ่ีจดุ กาเนดิ

รูปภำพที่ 10

Cr: https://sites.google.com/site/triangmath52/wngklm-hnung-hnwy

14

https://forms.gle/NTjcg8ZsSDXLK4RX9

เกมวงกลมหน่งึ หน่วย

วงกลมหนง่ึ หนว่ ย Quiz
(purposegames.com)

Cr:เกมวงกลมหน่งึ หนว่ ย (Unit circle Game) - insKru