Cap 1 Descripcion del movimiento

Ciencias Físicas 2; Ed Pearson; Hewitt, Wilson, Buffa, Tarbuck, Lutgens adaptado por O Jofré

Movimiento rectilíneo

En este capítulo aprenderemos las reglas del movimiento, que abarcan tres conceptos: rapidez,

velocidad y aceleración. Sería bueno dominar estos conceptos, pero bastará que te familiarices con
ellos y puedas distinguirlos. En los siguientes capítulos te familiarizarás más con ellos. Aquí sólo
estudiaremos la forma más sencilla del movimiento: la que es a lo largo de una trayectoria en línea
recta, el movimiento rectilíneo.

El movimiento es relativo

Todo se mueve. Hasta lo que parece estar en reposo se mueve. Todo se mueve en relación
con el Sol y las estrellas. Mientras estás leyendo este libro, te mueves a unos 107.000 kilómetros por
hora en relación con el Sol. Y te mueves todavía más rápido con respecto al centro de nuestra
galaxia. Cuando describimos el movimiento de algo, lo que describimos es el movimiento con
relación a algo más. Si caminas por el pasillo de un autobús en movimiento, es probable que tu
rapidez con respecto al piso del vehículo sea bastante distinta de tu rapidez con respecto al camino.
Cuando se dice que un auto alcanza una rapidez de 300 kilómetros por hora, queremos decir que es
con respecto a la pista de carreras. A menos que indiquemos otra cosa, al describir la rapidez de
cosas de nuestro entorno lo haremos en relación con la superficie terrestre. El movimiento es
relativo.

Rapidez

La rapidez es una medida de que tan rápido se mueve algo, y se determina con unidades de
distancia divididas entre unidades de tiempo. La rapidez se define como la distancia recorrida en la
unidad de tiempo, es decir

rapidez  distancia recorrida
tiempo

o simbólicamente

v  d .
t

Cualquier combinación de unidades de distancia entre tiempo es legítima para medir la
rapidez: para los vehículos de motor, o en grandes distancias se suelen usar las unidades de
kilómetros por hora (km/h) o millas por hora (mi/h, o mph). Para distancias más cortas se usan con
frecuencia las unidades de metros por segundo (m/s). El símbolo diagonal (/) se lee por, y quiere
decir “dividido entre”. En este libro usaremos principalmente metros por segundo. La tabla 1
muestra la comparación de rapideces, en distintas unidades1

Un objeto en movimiento describe una trayectoria, que no es otra cosa que la línea formada
por todas las posiciones por donde paso. La trayectoria puede se una línea recta (rectilínea), un
circulo, una parábola, una línea de forma arbitraria, etc. La longitud recorrida sobre la trayectoria es
lo que llamamos distancia recorrida.

1 La conversión se basa en 1 h = 3600 s y 1 mi = 1609.344 m.

1

Objeto o fenómeno Rapidez en m/s
La luz en el vacío 300.000.000
El Sol alrededor del centro de la galaxia
La Tierra alrededor del Sol 220.000
Avión de guerra 29.600
Sonido en el aire
Avión jet comercial 980
Automóvil 340
Guepardo corriendo 267
Abeja volando 62
Hombre corriendo 29
Hormiga caminando
5
Tabla 1 Valores de rapideces notables. 4
0,01

Rapidez instantánea

No siempre un automóvil se mueve con la misma rapidez. Puede recorrer una calle a 50
km/h, detenerse hasta 0 km/h con la luz roja del semáforo, y acelerar sólo hasta 30 km/h debido al
tráfico, por ejemplo como se muestra en la figura 1. Puedes conocer en cada instante la rapidez del
automóvil viendo el rapidímetro. La rapidez en cualquier instante es la rapidez instantánea. En
general, cuando un automóvil va a 50 km/h, sostiene esa rapidez durante menos de una hora. Si lo
hiciera durante toda una hora, recorrería 50 km. Si durara media hora a esa velocidad, recorrería la
mitad de esa distancia: 25 km. Si sólo durara 1 minuto, recorrería menos de 1 km. De otra forma, es
el valor de la rapidez en un punto de la trayectoria.

80 km/h 60 km/h 50 km/h 40 km/h 90 km/h 80 km/h

t=0h t = 0,05 h t = 0,08 h t = 0,1 h t = 0,15 h t = 0,17 h

FIGURA 1 Rapideces de un automóvil (rapidímetro) en algunos instantes de tiempo del movimiento.

Rapidez media

Cuando se planea hacer un viaje en auto, quien maneja desea conocer el tiempo de

recorrido. Lo que considera es la rapidez promedio, o rapidez media en el viaje. La rapidez media se

define como sigue:

Rapidez media  distancia total recorrida
tiempo total transcurrido

o abreviadamente

vM  d .
t

2

Se puede calcular la rapidez media con mucha facilidad. Por ejemplo, si recorremos 80
kilómetros de distancia en un tiempo de 1 hora, decimos que nuestra rapidez media fue de 80
kilómetros por hora. De igual modo, si recorriéramos 320 kilómetros en 4 horas,

vM  d  320 km  80 km .
t 4h h

Vemos que cuando una distancia en kilómetros (km) se divide entre un tiempo en horas (h), el
resultado está en kilómetros por hora (km/h).

Como la rapidez media es la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total del
recorrido, no indican las diversas rapideces y sus variaciones que pueden haber sucedido durante
intervalos de tiempo más cortos. En la mayor parte de nuestros viajes avanzamos con varias
rapideces, por lo que la rapidez media es muy distinta a la rapidez instantánea.

Si conocemos la rapidez media y el tiempo de recorrido es fácil determinar la distancia total
recorrida. Si la definición anterior se ordena de otro modo, se obtiene

d  vM t

Si tu rapidez media es 80 kilómetros por hora durante un viaje de 4 horas, recorres una distancia de

320 kilómetros, o sea

d  80 km  4 h  320 km
h

Examínate

1. ¿Cuál es la rapidez media de un guepardo que recorre 100 m en 4 s? Y si recorre 50 m en 2 s?
2. Si un automóvil se mueve con una rapidez media de 60 km/h durante una hora, recorre una distancia de 60 km.
a) ¿Cuánto hubiera recorrido si se moviera con esa rapidez durante 4 h?
b) ¿Durante 10 h?
3. Además del rapidímetro en el tablero de instrumentos, en los automóviles se instala un odómetro, que muestra la
distancia recorrida. Si se ajusta la distancia inicial a cero, al principio de un viaje, y media hora después indica 40 km
¿cuál fue la rapidez media?
4. ¿Sería posible alcanzar esta rapidez media sin ir en algún momento con más rapidez que 80 km/h?

3

Revisa tus respuestas

(¿Estas leyendo esto antes de haber meditado las respuestas? Cuando te encuentres con las preguntas de Examínate

que hay en este libro, detente y piensa antes de leer las respuestas en el final de la página. No sólo aprenderás más,

sino disfrutarás del mayor aprendizaje.)

1. En ambos casos, la respuesta es 25 m/s:

vM  d  100 m  25 m
t 4s s

2. La distancia recorrida es igual a la rapidez promedio  tiempo del viaje, y así

a) d  vM t  60 km 4 h  240 km
h

b) d  vM t  60 km  10 h  600 km
h

3. vM  d  40 km  80 km
t 0,5 h h

4. No si el viaje parte del reposo y termina en el reposo. Hay veces que las rapideces instantáneas son menores que 80
km/h, por lo que el conductor debe manejar, por momentos, con rapidez mayor que 80 km/h para obtener un
promedio de 80 km/h. En la práctica las rapideces media suelen ser mucho menores que las máximas rapideces
instantáneas.

Velocidad

En el lenguaje cotidiano usamos las palabras rapidez y velocidad en forma indistinta. En
física haremos la distinción entre las dos. Es muy sencillo. La diferencia es que la velocidad es la
rapidez en determinada dirección. Cuando decimos que un automóvil va a 60 km/h, lo que
especificamos es su rapidez. De lo que se ocupa principalmente un piloto deportivo es de la rapidez,
de lo rápido que se mueve; de lo que se ocupa un piloto de aeronave es con qué rapidez y en qué
dirección se mueve. Cuando se describe la rapidez y la dirección del movimiento, estamos
especificando la velocidad.

Al igual que en el caso de la rapidez, haremos la distinción entre velocidad media o
promedio, y la velocidad instantánea. Por costumbre se entiende que la palabra velocidad a secas se
refiere a la velocidad instantánea. Es igual para la palabra rapidez solamente. Si algo se mueve
entonces a una velocidad invariable, o constante, sus velocidades promedio e instantánea tendrán el
mismo valor. Lo mismo sucede con la rapidez.

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea indica la rapidez del objeto en un instante dado en su trayectoria y
la dirección que tiene su movimiento en ese instante. La dirección del movimiento lo señalaremos
mediante una flecha, cuyo largo debe ser proporcional al valor de la rapidez, como se indica en la
figura 2

FIGURA 2 La velocidad instantánea de un objeto en algunos instantes de tiempo. La flecha es más larga cuando la
rapidez (el valor numérico) es mayor. En este caso podemos decir que la dirección del movimiento del objeto es hacia
la derecha.

4

Cuando algo se mueve a velocidad constante o con rapidez constante, entonces
recorre distancias iguales en intervalos iguales de tiempo. Sin embargo, la velocidad constante y la
rapidez constante pueden ser muy distintas. La velocidad constante indica rapidez constante sin
cambiar de dirección, figura 3.

v=+2 m/s v=+2 m/s v=+2 m/s v=+2 m/s v=+2 m/s

t=0s t = 10 s t = 20 s t = 30 s t = 40 s

FIGURA 3 Movimiento con velocidad constante, todas la flechas tienen el mismo largo.

Un objeto que describe un círculo con una rapidez constante no tiene una velocidad
constante. Su velocidad cambia porque cambia su dirección, figura 4, pero la distancia recorrida en
tiempos iguales es la misma, es decir su rapidez

v=1 m/s v=1 m/s

t=6 s t=4 s

v=1 m/s t=8 s v=1 m/s

t=2 s

t=0 s v=1 m/s

FIGURA 4 La velocidad varía a lo largo de la trayectoria, pero la rapidez (largo de la flecha) es constante.

Velocidad media

Para definir la velocidad media necesitamos de una cantidad de la cual no hemos hablado
hasta el momento y se llama desplazamiento cuyo símbolo es Δx (se lee delta equis). El
desplazamiento indica el cambio de lugar, o bien, el cambio de posición del objeto entre dos puntos
de la trayectoria. El desplazamiento es como la distancia pero con dirección, figura 5, se mide
unidades de longitud como metros, kilómetros, centímetros, etc

A Δx = +20 m B

t=0s t = 10 s

FIGURA 5 Un objeto se desplaza entre los puntos A y B, se ha considerado el punto A como el de partida y el B
como el punto final. El desplazamiento está indicado por la flecha que une el punto A con el punto B.

Un desplazamiento como el señalado en la figura 5, que apunta hacia la derecha lo
anotaremos dando el valor numérico de la distancia entre A y B acompañado del signo positivo,
Δx=+20 m, este valor indica que el objeto cambio a una posición que está a 20 m a la derecha del
punto A. Si la flecha apuntara hacia el lado izquierdo el valor numérico estaría precedido del signo
negativo. Si el objeto de la figura E volviera al punto de partida su desplazamiento total sería cero,
puesto que el punto de partida sería A y el final sería también A. El desplazamiento de un objeto se
expresa como la posición final menos la posición inicial que tuvo el objeto, de ahí el símbolo Δx, o
sea que

x  x f  xi

La velocidad media es la rapidez media con dirección, pero no depende de la distancia
medida sobre la trayectoria, sino del desplazamiento realizado por el objeto durante un cierto tiempo,
es decir

5

velocidad media  desplazamiento
tiempo transcurrido

simbólicamente

vM  x .
t

Debes notar que hemos utilizado el mismo símbolo para rapidez media que para velocidad
media, lo cual no debe confundir, puesto que el valor de una rapidez media sólo constará de un valor
numérico y el de la velocidad media tendrá un valor numérico más la dirección que puede indicarse
mediante una palabra (sur, norte, derecha, izquierda, etc) o bien de un signo positivo o negativo
como se indicó para el desplazamiento.

Como te debes haber dado cuenta, siempre que calculamos un valor medio de la velocidad o
de la rapidez se utiliza el trayecto total entre dos puntos de la trayectoria, y no el movimiento en los
puntos intermedios.

La velocidad media nos da importante información del movimiento de un objeto, por
ejemplo un automóvil recorre 30 km en dirección sur en 0,5 h, desde donde regresa demorando el
mismo tiempo hasta el punto de partida. La velocidad media para todo el trayecto del automóvil es

vM  x  0 0
t 1h

como el punto de partida es el mismo que el punto final, no hay cambio de posición y el
desplazamiento es cero, y por lo tanto también la velocidad media. En cambio la rapidez media del
automóvil es

vM  d  60 km  60 km
t 1h h

por que recorrió 30 km de ida y 30 km de vuelta, luego la distancia total recorrida es 60 km y el
tiempo transcurrido para recorrer esa distancia es de 1 h.

Por lo tanto cuando la velocidad media es cero debe interpretarse como que el objeto vuelve
al punto de partida o bien que permaneció en el mismo lugar y no se movió, y que la rapidez media
sea diferente de cero indica que el objeto necesariamente se movió, independiente en que dirección
lo hizo. Claro, si la rapidez media es cero, entonces el objeto permaneció sin moverse.

Examínate

1. “Se mueve con una rapidez constante en una dirección constante”. Di lo mismo con menos palabras.
2. El velocímetro de un automóvil que va hacia el este indica 100 km/h. Se cruza con otro que va hacia el oeste a 100
km/h. ¿Tienen la misma rapidez los dos coches? ¿Tienen la misma velocidad?
3. Durante cierto intervalo de tiempo, el rapidímetro de un automóvil indica 60 km/h constantes. ¿Equivale a una
rapidez constante? ¿A una velocidad constante?

Revisa tus respuestas

1. “Se mueve con velocidad constante.”
2. Ambos vehículos tienen la misma rapidez, pero sus velocidades son contrarias porque se mueven en direcciones
contrarias.
3. La indicación constante en el velocímetro indica que la rapidez es constante, pero la velocidad puede no ser
constante porque el vehículo puede no estarse moviendo en una trayectoria rectilínea. Si sucede eso, quiere decir que
está acelerando.

6

Aceleración

Se puede cambiar la velocidad de algo si se cambia su rapidez, si se cambia su dirección o si se
cambian las dos. Qué tan rápido cambia la velocidad es la aceleración:

aceleración  cambio de velocidad
intervalo de tiempo

o bien

a  v
t

Estamos familiarizados con la aceleración de un automóvil. Al manejarlo la sentimos
cuando tendemos a recargarnos más en los asientos. La idea clave que define a la aceleración es el
cambio. Supongamos que al manejar aumentamos, en un segundo, nuestra velocidad de 30 a 35
kilómetros por hora, y en el siguiente segundo a 40 kilómetros por hora, a 45 en el siguiente y así
sucesivamente. Cambiamos la velocidad en 5 kilómetros por hora cada segundo. Este cambio de
velocidad es lo que entendemos por aceleración.

abicicleta  v  5 km / h  0 km / h  5 km / h  2km / h  s
t 2,5 s 2,5 s

v 5 km km km
t h hs
a   5 h  5
1s s

En este caso la aceleración es 5 kilómetros por hora por segundo (y se escribe 5 km/h·s).
Nótese que entran dos veces unidades de tiempo: una por la unidad de velocidad, y de nuevo por el
intervalo de tiempo en el que cambió la velocidad. Nótese también que la aceleración no sólo es el
cambio total de la velocidad; es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, o el
cambio de velocidad por segundo.

El término aceleración se aplica tanto a disminuciones como a aumentos de la velocidad.
Por ejemplo, decimos que los frenos de un automóvil producen grandes desaceleraciones, esto es,
que hay una gran disminución de la velocidad del vehículo en un segundo. Con frecuencia se llama a
esto desaceleración. Sentimos la desaceleración cuando nos sentimos impulsados hacia adelante del
asiento.

Examínate

1. Un automóvil puede pasar del reposo a 90 km/h en 10 s. ¿Cuál es su aceleración?
2. En 2,5 s, un automóvil aumenta su rapidez de 60 km/h a 65 km/h, mientras que una bicicleta pasa del reposo a 5
km/h. ¿Cuál de los dos tiene la mayor aceleración? ¿Cuál es la aceleración de cada vehículo?

7

Revisa tus respuestas

1. Su aceleración es 9 km/h·s. Hablando con propiedad, sería su aceleración media, porque puede haber cierta
variación en esta tasa de aumento de rapidez.
2. Las aceleraciones del automóvil y de la bicicleta son iguales: 2 km/h·s.

aauto  v  65 km / h  60 km / h  5 km / h  2km / h s
t 2,5 s 2,5 s

abicicleta  v  5 km / h  0 km / h  5 km / h  2km / h  s
t 2,5 s 2,5 s

Aunque las velocidades que intervienen son muy distintas, las tasas de cambio de la velocidad son iguales. Por
consiguiente, las aceleraciones son iguales.

Aceleramos siempre que nos movemos en trayectorias curvas, aun cuando nos movamos a
rapidez constante, porque nuestra dirección cambia y por consiguiente cambia nuestra velocidad,
figura 6.

FIGURA 6 Decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando hay un cambio en su estado de movimiento.

Sentimos esta aceleración cuando algo nos impulsa hacia el exterior de la curva. Por este
motivo hacemos la distinción entre rapidez y velocidad, y definimos la aceleración como la razón
con la que cambia la velocidad en el tiempo, y con ello abarcamos tanto a la rapidez como a la
dirección.

Quien ha estado de pie en un autobús lleno de pasajeros ha sentido la diferencia entre la
velocidad y la aceleración. A excepción de los saltos en un camino irregular, tú puedes estar de pie,
sin esfuerzos adicionales, dentro de un autobús que se mueve a una velocidad constante,
independientemente de lo rápido que vaya. Puedes lanzar una moneda hacia arriba y atraparla
exactamente del mismo modo que si el vehículo estuviera parado. Sólo cuando acelera el autobús,
sea que aumente o disminuya su rapidez, o que tome una curva, es cuando tienes algunas
dificultades.

En gran parte de este libro sólo nos ocuparemos de los movimientos a lo largo de una línea
recta. Cuando se describe el movimiento rectilíneo, se acostumbra usar los términos rapidez y

8

velocidad en forma indistinta. Cuando no cambia la dirección ni de sentido, la aceleración se puede
expresar como la razón de cambio de la rapidez en el tiempo.

aceleración (en línea recta)  cambio de rapidez
intervalo de tiempo

Examínate

1. ¿Cuál es la aceleración de un coche de carreras que pasa zumbando junto a ti con velocidad constante de 400
km/h?
2. ¿Qué tiene mayor aceleración, un avión que pasa de 1000 km/h a 1005 km/h en 10 segundos, o una patineta que
pasa de 0 a 5 km/h en 1 segundo?

A las magnitudes físicas como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración se llaman
cantidades vectoriales o simplemente vectores por que tienen una dirección y un valor numérico que
la determinan. En cambio la distancia recorrida, el tiempo y la rapidez se les llama escalares por que
solo poseen un valor numérico. Los vectores se pueden representar por flechas cuya longitud y
dirección indican la magnitud y la dirección de la cantidad respectivamente.

La aceleración en los planos inclinados de Galileo

Galileo desarrolló el concepto de aceleración con sus experimentos en planos inclinados. Su
principal interés era el de la caída de los objetos, y como carecía de cronómetros adecuados, usó
planos inclinados para disminuir el movimiento acelerado e investigarlo con más cuidado.

Encontró que una esfera que rueda bajando por un plano inclinado aumenta en la misma
cantidad su velocidad en los segundos sucesivos; esto es, que rueda sin cambiar su aceleración. Por
ejemplo, veríamos que una esfera que rueda por un plano con cierto ángulo de inclinación aumenta
su rapidez en 2 m/s cada segundo que rueda. Este aumento por segundo es su aceleración. Su
rapidez instantánea a intervalos de 1 segundo, con esta aceleración, será entonces 0, 2, 4, 6, 8, 10,
etc. metros por segundo. Se puede ver que la rapidez o la velocidad instantánea de la esfera, en
cualquier tiempo después de haber sido soltada desde el reposo, no es más que su aceleración
multiplicada por ese tiempo:

o abreviadamente velocidad adquirida  aceleración  tiempo
v  at

esta relación es consecuencia de la definición de aceleración donde se considero que v0=0 y t0=0.

Revisa tus respuestas

1. Cero, porque su velocidad no cambia.
2. Los dos aumentan su rapidez en 5 km/h, pero la patineta lo hace en la décima parte del tiempo. En consecuencia, la
patineta tiene la mayor aceleración, 10 veces mayor. Con algunos cálculos se demuestra que la aceleración del avión
es 0.5 km/h·s, mientras que la de la patineta, que es más lenta, es 5 km/h·s. La velocidad y la aceleración son
conceptos muy diferentes. Es muy importante diferenciarlos.

Si sustituimos la aceleración de la esfera en esta ecuación podremos ver que al final de 1
segundo, viaja a 2 metros por segundo; al final de 2 segundos viaja a 4 metros por segundo. Al final

9

de 10 segundos se mueve a 20 metros por segundo, y así sucesivamente. La rapidez o velocidad
instantánea en cualquier momento no es más que la aceleración multiplicada por la cantidad de
segundos que ha estado acelerando.

Galileo determinó que mayores inclinaciones producen mayores aceleraciones. Cuando el
plano es vertical, la esfera alcanza su aceleración máxima. Entonces la aceleración es igual a la de un
objeto que cae, Figura 7. Independientemente del peso o del tamaño, Galileo descubrió que cuando
la resistencia del aire es lo suficientemente pequeña como para no ser tomada en cuenta, todos los
objetos caen con la misma aceleración, la que es invariable.

FIGURA 7 Mientras mayor sea la inclinación del plano, la aceleración de la esfera es mayor. ¿Cuál es la aceleración
si el plano es vertical?

Caída libre

Las cosas caen a causa de la fuerza de gravedad. Cuando un objeto que cae es libre de toda
restricción: sin fricción de aire o de cualquier otra especie, y cae bajo la sola influencia de la
gravedad, ese objeto se encuentra en caída libre. (En el capítulo 4 describiremos los efectos de la
resistencia del aire sobre la caída.) La tabla 2 muestra la rapidez instantánea de un objeto en caída
libre a intervalos de 1 segundo. Lo importante que se nota en esos números es la forma en que
cambia la rapidez. Durante cada segundo de caída el objeto aumenta su velocidad en 10 metros por
segundo. Esta ganancia por segundo es la aceleración. La aceleración de la caída libre es más o
menos 10 metros por segundo cada segundo; en notación compacta es 10 m/s2 (se lee 10 metros por

10

segundo al cuadrado). Nótese que la unidad de tiempo, el segundo en este caso, aparece dos veces,
una por ser la unidad de rapidez, y otra por ser el intervalo de tiempo durante el cual cambia la
rapidez.

Tabla 2 Caída libre desde el reposo.

En el caso de los objetos en caída libre se acostumbra el uso de la letra g para representar a
la aceleración (porque la aceleración se debe a la gravedad). El valor de g es muy distinto en la
superficie lunar o en la superficie de los demás planetas. Aquí en la Tierra g varía muy poco en
distintos lugares, y su valor promedio es igual a 9.8 metros por segundo cada segundo, o en notación
compacta, en 9.8 m/s2. Esto lo redondearemos a 10 m/s2 en esta explicación y en la tabla 2, para
presentar las ideas con más claridad. Los múltiplos de 10 son más obvios que los de 9.8. Cuando sea
importante la exactitud, se debe usar el valor de 9.8 m/s2.

Observaremos que en la tabla la rapidez o velocidad instantánea de un objeto que cae
partiendo del reposo es consistente con la ecuación que dedujo Galileo con sus planos inclinados:

velocidad adquirida  aceleración  tiempo

La velocidad instantánea v de un objeto que cae desde el reposo después de un tiempo t se
puede expresar en notación compacta como sigue:

v  gt

Para cerciorarte de que esta ecuación tiene sentido, toma un momento para comprobarla en
la tabla 3.2. Observa que la velocidad o rapidez instantánea en metros por segundo no es más que la
aceleración g = 10 m/s2 multiplicado por el tiempo t en segundos.

Si el objeto no parte del reposo, es decir es arrojado hacia abajo con una rapidez inicial v0, la
velocidad v al cabo de cualquier tiempo transcurrido t es

v  vo  gt

La aceleración de la caída libre es más clara si uno se imagina un objeto que cae equipado
con un velocímetro, Figura 3.7. Supongamos que se deja caer una piedra por un acantilado muy alto,

11

y que tú la observas con un telescopio. Si enfocas tu telescopio en el velocímetro notarías un
aumento en su indicación, mientras el tiempo pasa. ¿Cuánto? La respuesta es en 10 m/s cada
segundo sucesivo.

FIGURA 3.7 Imagínate que la piedra que cae tuviera un velocímetro. En cada segundo sucesivo de su caída verías
que la rapidez de esa piedra aumenta la misma cantidad: 10 m/s. Dibuja la aguja de cada velocímetro cuando t = 3, 4
y 5 s. (La tabla 3.2 muestra las rapideces que indicaría en los distintos segundos de caída.)

Examínate

¿Qué indicaría el velocímetro de la piedra que cae en la Fig. 3.7, 5 s después de partir del reposo? ¿Y 6 s después de
dejarlo caer? ¿Y a los 6.5 s?

Hasta ahora hemos estado describiendo objetos que se mueven directo hacia abajo, en
dirección de la gravedad. ¿Y si se arroja un objeto directo hacia arriba? Una vez lanzado continúa
moviéndose hacia arriba durante algún tiempo, y después regresa. En su punto más alto, al cambiar
su dirección de movimiento de hacia arriba a hacia abajo, su rapidez instantánea es cero. A
continuación comienza a ir hacia abajo exactamente como si se hubiera dejado caer desde el reposo a
esa altura.

Durante la parte de subida de este movimiento el objeto se desacelera al subir. No debe
sorprendernos que desacelere a razón de 10 metros por segundo cada segundo; es la misma
aceleración que adquiere cuando va hacia abajo. Así, como muestra la figura 3.8, la rapidez
instantánea en puntos de igual altura en la trayectoria es igual, sea que el objeto se mueva hacia
arriba o hacia abajo. Naturalmente que las velocidades son opuestas, porque tienen direcciones
opuestas. Obsérvese que las velocidades hacia abajo tienen signo negativo, para indicar que la
dirección es hacia abajo (se acostumbra llamar positivo a hacia arriba y negativo a hacia abajo). Sea
que se mueva hacia arriba o hacia abajo, la aceleración es 10 m/s2 hacia abajo todo el tiempo.

FIGURA 3.8 La tasa (rapidez) con que cambia la velocidad cada segundo es la misma.

Como para inicia la subida debe tener una velocidad inicial, la velocidad de subida en
cualquier instante se determina por

v  vo  gt

¿Hasta donde cae un objeto que es dejado caer desde el reposo en determinado tiempo? Para
responder esta pregunta examinaremos el caso en el que cae libremente durante 3 segundos,
partiendo del reposo. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, el objeto tendrá una aceleración
constante aproximada de 10 m/s2, entonces

rapidez al principio  0

rapidez al final de 3s  (10  3) m / s

Cuando la aceleración es constante la rapidez media es igual al promedio de dos rapideces

rapidez media  1 suma de estas dos repideces
2

 1  (0  10  3) m / s
2

12

 1  10  3  15 m / s
2

Revisa tus respuestas

Las indicaciones del velocímetro serían 50 m/s, 60 m/s y 65 m/s, respectivamente. Lo puedes deducir en la tabla 3.2,
o usar la ecuación v = gt, donde g 10 m/s2.

distancia recorrida  1 rapidez media  tiempo
2

 ( 1  10  3)  3
2

 1  10  32  45 m
2

Se puede ver, por lo que representan estos números, que

distancia recorrida  1  aceleración  tiempo al cuadrado
2

Esta ecuación es válida no sólo para un objeto que caiga 3 s, sino que para cualquier

intervalo de tiempo, mientras la aceleración sea constante. Si hacemos que d sea la distancia

recorrida, que a la aceleración y que t sea el tiempo, la regla se puede escribir matemáticamente

como

d  1 at 2
2

Esta relación la dedujo Galileo por primera vez. Su razonamiento fue que si un objeto cae
durante, por ejemplo, el doble del tiempo, caerá con el doble de rapidez media. Como cae durante el
doble del tiempo con el doble de rapidez media, caerá cuatro veces más distancia. De manera
parecida, si un objeto cae durante tres veces el tiempo, tendrá una rapidez media tres veces mayor, y
caerá nueve veces más. Dedujo Galileo que la distancia total de caída debería ser proporcional al
cuadrado del tiempo.

En el caso de los objetos en caída libre la aceleración es la de gravedad, o sea g, entonces las
ecuaciones anteriores deben escribirse como

v  gt

d  1 gt 2
2

Si se usa 10 m/s2 como valor de g, la distancia recorrida en diversos tiempos de caída se ve
en la tabla 3.3.

13

TABLA 3.3 Distancia recorrida en la caída libre.

Examínate

1. Un automóvil parte del reposo y tiene la aceleración constante de 4 m/s2. ¿Qué distancia recorre en 5 s?
2. ¿Qué altura caerá un objeto que parte del reposo en 1 s? En este caso utiliza g=9,8 m/s2.
3. Un objeto se tarda 4 s en caer al agua cuando se le suelta desde un puente. ¿Qué altura tiene el puente?.
4. Un gato se deja caer desde una cornisa y llega al piso en ½ segundo.

a) ¿Cuál es su rapidez al llegar al suelo?
b) ¿Cuál es su rapidez media durante el ½ s?
c) ¿Qué altura tiene la cornisa?

Revisa tus respuestas

1. d  1  4  52  50 m
2

2. d  1  9,8  12  4,9 m
2

3. d  1  9, 8  42  78, 4 m
2

Observa que cuando se multiplican las unidades de medida dan como resultado las unidades correctas de distancia,

que en este caso son metros

d  1  9,8 m/ s 2 16 s2  78, 4 m
2

4.a) v  gt  10 m/ s2  1 s  5 m/s
2

b) vM  vinicial v final
2

c) d  vM t  2,5 m / s 1/ 2 s  1, 25 m

O bien

d  1/ 2 gt2  1/ 2 10 m / s2  (1/ 2 s)2  1, 25 m

Observa que se puede calcular la distancia por cualquiera de estas dos ecuaciones, ya que son equivalentes.

Vemos que un objeto cae sólo 5 metros de altura durante el primer segundo de la caída,
aunque en el último momento su rapidez es 10 metros por segundo. Esto puede confundirnos, porque
se puede pensar que el objeto debe caer 10 metros de altura. Pero para que lo hiciera en el primer
segundo de la caída debería caer con una rapidez promedio de 10 metros por segundo durante todo el
segundo. Comienza a caer a 0 metros por segundo, y su rapidez es 10 metros por segundo sólo en el
último instante del intervalo de 1 segundo. Su rapidez promedio durante este intervalo es el
promedio de sus rapideces inicial y final, 0 y 10 metros por segundo. Para calcular el valor promedio
de estos dos números, o de cualquier par de números simplemente se suman los dos y se divide el
resultado entre 2. De este modo se obtienen 5 metros por segundo en nuestro caso, que durante un
intervalo de tiempo de 1 segundo da como resultado una distancia de 5 metros. Si el objeto continúa
cayendo en los siguientes segundos lo hará recorriendo cada vez mayores distancias, porque su
rapidez aumenta en forma continua.

Lo común es observar que muchos objetos caen con aceleraciones distintas. Una hoja de
árbol, una pluma o una hoja de papel pueden dirigirse con lentitud hacia el suelo, con una especie de
vaivén. El hecho de que la resistencia del aire es la causa de esas aceleraciones distintas se puede
demostrar muy bien con un tubo de vidrio hermético que contenga objetos livianos y pesados, por

14

ejemplo una pluma y una moneda. En presencia del aire, ambas caen con aceleraciones muy
distintas. Pero si con una bomba de vacío se saca el aire del tubo, al invertirlo rápidamente se ve que
la pluma y la moneda caen con la misma aceleración, Figura FG02-14aC. Aunque la resistencia del
aire altera mucho el movimiento de cosas como plumas que caen, el movimiento de los objetos más
pesados, como piedras y bolas de béisbol, en las bajas rapideces del mundo cotidiano no es afectado
en forma apreciable por el aire. Se pueden usar las ecuaciones v = gt y d = (1/2)gt2 con mucha
aproximación con la mayor parte de los objetos que caen por el aire desde el reposo.

FIGURA FG02-14aC a) Una pluma y una moneda en el aire caen con diferentes aceleraciones, en un recipiente sin
aire (vacío) caen con la misma aceleración. b) Demostración real con fotografía de destello múltiple, una manzana y
una pluma se sueltan simultáneamente en un recipiente sin aire, caen juntos (el vacío no es total).

Gran parte de la confusión que surge al analizar el movimiento de los objetos que caen
proviene de que es fácil confundir “qué tan rápido” y “hasta dónde”. Cuando queremos especificar
qué tan rápido cae algo, estamos hablando de la rapidez o de la velocidad, que se expresan con v =
gt. Cuando se desea especificar qué altura cae algo, estamos hablando de distancia, que se expresa
con d = (1/2)gt2. La rapidez o la velocidad (qué tan rápido), y la distancia (hasta dónde), son cosas
completamente distintas.

Un concepto que confunde mucho, y que es probable que sea el más difícil que se encuentre
en este libro, es “qué tan rápido cambia de rapidez”, que es la aceleración. Lo que hace tan
complicada a la aceleración es que es una razón de cambio de una razón de cambio. Con frecuencia
se confunde con la velocidad, que es en sí una razón de cambio (la razón de cambio de la posición).
La aceleración no es velocidad, ni siquiera es un cambio de velocidad. La aceleración es la razón de
cambio con la que cambia la velocidad misma.

Recuerda que las personas tardaron casi 2000 años, desde Aristóteles hasta Galileo, en tener
una noción clara del movimiento; en consecuencia ¡ten paciencia contigo mismo si ves que necesitas
algunas horas para entenderlo!

Relatividad del movimiento

La tierra se mueve en el espacio alrededor del Sol a 29,6 km/s , y este astro se mueve a su
vez a 220 km/s alrededor del centro de la Vía Láctea, que es sólo una galaxia entre los millones de
galaxias . Y, sin embargo, no percibimos ninguno de estos movimientos; la Tierra parece ser lo
único firme e inmutable a nuestro alrededor. La distancia entre dos puntos fijos de la Tierra o la
altura de otro con respecto a la superficie son tipos de medición bien definidos, que pueden repetirse
tantas veces cuanto sea necesario, pues la Tierra es un excelente sistema de referencia.

15

La inmovilidad y la inmutabilidad de nuestro planeta eran evidentes a los hombres de la
Antigüedad, y sólo recientemente hemos podido aceptar que se mueve en el espacio. El hecho de que
el movimiento de la Tierra sea prácticamente imperceptible en la experiencia cotidiana se debe a un
principio fundamental que Galileo Galilei enunció claramente en el siglo XVII: las leyes de la física
son independientes de cualquier sistema de referencia.

La Tierra constituye el ejemplo más obvio de lo que es un sistema de referencia con
respecto al cual se efectúan la mayoría de las mediciones. Podemos estudiar, por ejemplo, el
movimiento de una piedra que se deja caer desde lo alto de un poste: la experiencia demuestra que la
piedra cae exactamente a lo largo de una línea recta vertical (si no soplan vientos fuertes que la
desvíen). Del mismo modo, si la piedra es arrojada con una cierta velocidad horizontal, la piedra cae
siguiendo una trayectoria curva y llega al suelo a cierta distancia del pie del poste, figura F.

FIGURA F Lanzamiento y caída de una piedra desde un poste.

Pero la Tierra no es el único sistema de referencia disponible. ¿Qué pasa si se repite el
experimento de la piedra que cae en un barco en movimiento? Supongamos que la piedra se suelta
desde lo alto de un mástil. ¿Caerá la piedra justo al pie del mástil o quedará atrás debido al
movimiento del barco? Esto era un problema filosófico que, en la época de Galileo, se trataba de
resolver estudiando los escritos de Aristóteles y otros pensadores de la Antigüedad. No se sabe si
Galileo realizó el experimento en un barco o en el laboratorio de su casa, pero se puede afirmar que
él comprendió por primera vez las profundas implicaciones de este problema.

En el ejemplo del barco, la piedra caería justo al pie del mástil si no fuera por el aire que la
empuja hacia atrás. Para evitar complicaciones innecesarias, se puede realizar el experimento en el
interior del barco, donde el aire está en reposo respecto del barco. En este caso; la caída de la piedra
ocurre exactamente como si el barco no se moviera. Un experimentador que se encuentra dentro de
un barco que avanza en línea recta y a una velocidad constante no puede decidir, por ningún
experimento físico, si el barco se mueve. Tendría que asomarse por una escotilla para saberlo. (Es
muy importante que el barco se mueva en línea recta y no varíe su velocidad; si éste no es el caso, el
experimentador podrá adivinar que se mueve e incluso sentirse mareado por el movimiento;
volveremos a este punto más adelante.)

La trayectoria de la piedra, vista en el sistema de referencia que es el barco, es una línea
recta vertical. En cambio, en el sistema de referencia de la tierra firme, la trayectoria es una
parábola. Estas dos descripciones de un mismo fenómeno físico son perfectamente compatibles entre
sí: un observador en tierra firme ve una piedra que se arroja con una velocidad horizontal que es
precisamente la velocidad del barco y ve la piedra caer siempre pegada al mástil, que se mueve con
la misma velocidad; un observador en el barco ve simplemente una caída vertical, figura G. Tanto el
barco como la tierra firme son sistemas de referencia válidos, y es sólo una cuestión de conveniencia
escoger el más apropiado.

16

FIGURA G Como ve la caída de
la piedra un observador ubicado
en la playa.

Si nunca se detecta el movimiento de la Tierra en la experiencia cotidiana, es justamente por
el principio de relatividad de Galileo. Recordemos, sin embargo, que la Tierra no es un sistema de
referencia adecuado para observar el curso de los astros. En efecto, los planetas giran alrededor del
Sol, por lo que sus movimientos tienen una forma más simple vistos desde un sistema de referencia
en el que el Sol está fijo. Vistos desde la Tierra, los planetas parecen moverse de manera tan
complicada que desafiaron durante siglos los intentos de los astrónomos antiguos de racionalizarla.
Y no olvidemos que el Sol gira alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, y así.

Por lo tanto si afirmas que estas quieto, el sistema de referencia implícito es la Tierra. Sin
embargo, respecto al Sol te estás moviendo rápidamente y también respecto del centro de la Galaxia.

Si viajas en automóvil por la carretera a 90 km/h respecto del suelo y delante tuyo viaja en
la misma dirección otro automóvil también a 90 km/h respecto de la calle, observarás que respecto
de ti, el otro auto no se mueve por que no se aleja ni se acerca del auto en que viajas, es decir está en
reposo si tomas como referencia tú automóvil. Pero respecto del suelo cada automóvil se mueve a 90
km/h.

Otro ejemplo interesante de relatividad del movimiento es el caso de dos automóviles uno
que viaja hacia el sur a 100 km/h respecto a la tierra y el otro hacia el norte a 80 km/h también
respecto de la tierra. Si se toma el automóvil que viaja al sur como sistema de referencia, los
pasajeros de este auto medirán que la velocidad del otro auto es de ¡180 km/s hacia el norte¡ Si se
tomara como referencia el otro automóvil, los pasajeros de ese auto medirían que la velocidad del
primer vehículo es de 180 km/h hacia el sur.

Examínate

Los pasajeros de un automóvil observan que el rapidímetro marca 120 km/h y se dirigen al norte. Delante de ellos
otro automóvil viaja en la misma dirección pero a 100 km/h respecto del suelo.
1. ¿Cual es la velocidad que miden los pasajeros del primer automóvil del segundo automóvil, si toman como sistema
de referencia su vehículo?
2. ¿Cual es la velocidad que miden los pasajeros del segundo automóvil del primer automóvil, si toman como sistema
de referencia su vehículo?

Revisa tus respuestas

1. 20 km/h al sur, se acerca hacia ellos, si no lo esquivan, chocaran.
2. 20 km/h al norte, se acerca hacia ellos.

Análisis gráfico

El análisis gráfico a menudo es útil para entender el movimiento y las cantidades
relacionadas con él. Por ejemplo, el movimiento del auto de la Figura FG02-06a podría representarse

17

en una gráfica de posición en función del tiempo, o x en función de t. Como se aprecia en la Figura
FG02-06a b, se obtiene una línea recta para una velocidad uniforme, o constante, en una gráfica así.

En las gráficas cartesianas de y en función de x la pendiente de una línea recta está dada por
y/x. Aquí, con una gráfica de x en función de t, la pendiente de la línea, x/t, es igual a la
velocidad media. En el movimiento uniforme, este valor es igual a la velocidad instantánea. El valor
numérico de la pendiente es la magnitud de la velocidad, y el signo de la pendiente da la dirección.
Si es positivo se mueve hacia el lado positivo del eje x, si es negativo se mueve hacia el lado
negativo del eje x.

x

t Δx/t

Figura FG02-06a Movimiento
rectilíneo con velocidad
constante, recorre distancia
iguales en tiempos iguales.

velocidad media

Supongamos que una gráfica de posición en función del tiempo para el movimiento de un

auto es una línea recta con pendiente negativa, como en la Figura FG02-07. ¿Qué indica esta

pendiente? Como se

aprecia en la figura, los

valores de posición (x)

disminuyen con el tiempo v

de manera constante, lo

que indica que el auto está

viajando con movimiento

uniforme en la dirección x

negativa.

18

Figura FG02-07 Movimiento con velocidad constante en dirección del eje x negativo

Podemos utilizar un gráfico velocidad en función del tiempo para representar unvelocidad
movimiento con velocidad constante. En este caso como la velocidad no varía la línea resultante es
una recta paralela al eje del tiempo, figura H

v

v
0

tiempo

FIGURA H Movimiento con velocidad en un gráfico velocidad en función del tiempo.

Es fácil representar gráficamente movimientos con aceleración constante graficando
la velocidad instantánea contra el tiempo. Una gráfica de v en función de t es una línea recta cuya
pendiente es igual a la aceleración, como se muestra en la ,Figura I

v

FIGURA I Movimiento con velocidad v pendiente  v  v2  v1  aceleración
aceleración constante con pendiente 2 t t2  t1 positiva, la
velocidad aumenta.
v1

t

La pendiente en este gráfico es t t tiempo
1 2
igual a Δv/Δt que corresponde

a la aceleración del objeto. En este caso la pendiente es positiva y la velocidad está aumentando. En

cambio en la figura J se muestra un movimiento con aceleración constante con pendiente negativa

v

velocidad v 2 v v2  v1
t t2  t1
pendiente     aceleración

v1

19 t

tt tiempo

12

FIGURA J Movimiento con aceleración constante con pendiente negativa, la velocidad disminuye.

Examínatevelocidad (km/h)

El gráfico velocidad en función del tiempo de la figura L, es el de un automóvil en una autopista

90

0 20 100 110 tiempo (s)

FIGURA L Gráfico velocidad en función del tiempo para un automóvil.

1. ¿En qué intervalos de tiempo acelera el automóvil?
2. ¿Qué tipo de movimiento tiene entre 20 y 100 s?
3. ¿Cuál es la aceleración en el intervalo 20 y 100 s?

El signo de la aceleración no indica hacia donde se mueve el objeto, sino que en relación
con el signo de la velocidad nos informa si el objeto está aumentando o disminuyendo su velocidad.
Cuando el signo de la velocidad y la aceleración son iguales significa que la velocidad aumenta y
cuando la velocidad y la aceleración tienen signos diferentes, entonces la velocidad disminuye. En el
caso del gráfico de la figura I, tanto las velocidades como la aceleración (pendiente) son positivas,
luego la velocidad del objeto está aumentando. Para el caso del gráfico de la figura J, las velocidades
son positivas y la aceleración es negativa, entonces la velocidad del objeto está disminuyendo. Un
automóvil que va frenando tiene la velocidad y la aceleración con diferente signo. No debes olvidar
que la dirección de la velocidad es la dirección del movimiento del objeto.

Si llevamos las distancias recorridas por un objeto en movimiento con aceleración constante
a un gráfico posición en función del tiempo se obtiene una línea curva llamada parábola, Figura K.

x

Figura K Movimiento con aceleración constante posición
representado en un gráfico posición en función del tiempo.
Resulta una línea curva llamada parábola.

t
tiempo

La razón de este resultado la encontramos en la
ecuación matemática que obtuvimos, para la distancia recorrida, esto es

20

d  1 at 2
2

donde vemos que la distancia depende del cuadrado del tiempo transcurrido.

Revisa tus respuestas

1. Entre 0 y 20 s; y entre 100 y 110 s.
2. Se movió con velocidad constante de 90 km/h.
3. 4,5 km/h/s; -9 km/h/s

Lecturas científicas

1) Tiempo en el aire

Algunos atletas y bailarines tienen gran habilidad para saltar. Al saltar directo hacia arriba
parece que están “colgados en el aire” y desafían la gravedad. Pide a tus amigos que estimen el
“tiempo en el aire” de los grandes saltadores, el tiempo durante el cual el que salta tiene los pies
despegados del piso. Podrán decir que 2 o 3 segundos. Pero ¡sucede que el tiempo en el aire de los
saltadores más grandes es casi siempre menor que 1 segundo! Un tiempo mayor es una de las
muchas ilusiones que vemos en la naturaleza.

Una ilusión parecida es la altura vertical que un hombre puede alcanzar. Es probable que la
mayoría de tus compañeros de clase no salten más que 0.5 metros. Podrán salvar una altura de 0.5
metros, pero al hacerlo su cuerpo sube ligeramente. La altura de la barrera es distinta de la que sube
el “centro de gravedad” de un saltarín. Muchas personas pueden saltar sobre una cerca de 1 metro de
alto, pero casi nadie sube 1 metro el “centro de gravedad” de su cuerpo. Hasta Michael Jordan,
estrella del básquetbol no puede subir su cuerpo 1.25 m, aunque con facilidad puede llegar bastante
más arriba que la canasta, que está a 3 m sobre el piso.

La capacidad de salto se mide mejor estando parado y dando un brinco vertical. Párate de
cara a un muro, con tus pies asentados en el piso y tus brazos extendidos hacia arriba. Haz una marca
en la pared, en la punta de tus dedos. A continuación salta y en lo más alto haz otra marca. La
distancia entre las dos marcas es la medida de tu salto vertical. Si es más de 0.6 metros, eres
excepcional.

La física es la siguiente: al brincar hacia arriba, la fuerza del salto sólo se aplica mientras tus
pies tocan el piso. Mientras mayor es esa fuerza, tu rapidez de despegue será mayor, y el salto será
más alto. Cuando tus pies dejan el piso, de inmediato tu rapidez vertical hacia arriba disminuye, a la
tasa constante de g, 10 m/s2. En lo más alto de tu salto tu velocidad hacia arriba disminuye a cero. A
continuación comienzas a caer, y aumenta tu rapidez exactamente con la misma tasa, g. Si tocas
tierra como empezaste, de pie y con las piernas extendidas, el tiempo de subida es igual al tiempo de
caída; el tiempo en el aire es igual al tiempo de subida más el tiempo de bajada. Mientras estás en el
aire no habrá movimientos de agitar piernas ni brazos, ni de cualquier clase de movimiento en el
cuerpo, que puedan cambiar tu tiempo en el aire.

La relación entre el tiempo de subida o de bajada, y la altura vertical es

d  1 gt 2
2

Si se conoce d, la altura vertical, esta ecuación se puede ordenar como sigue:

21

t 2d  2 1,25 m  0,50 m
g 9,8 m / s2

Spud Webb, estrella del básquetbol estadounidense, alcanzó un salto de pie de 1.25 m, en 1986. En
ese momento fue el récord mundial. Usaremos su altura de salto, de 1.25 metros2 y usaremos el valor
más exacto de 9.8 m/s2 como g. Al sustituir en la ecuación anterior, se obtiene t, la mitad del tiempo
en el aire:

t 2d  2 1,25 m  0,50 s
g 9,8 m / s2

Esto se multiplica por dos (por ser el tiempo de una dirección en un viaje redondo, de subida
y de bajada), y vemos que el tiempo récord de Spud en el aire es 1 segundo.

Aquí hablamos de movimiento vertical ¿Y los saltos con carrera? El tiempo en el aire sólo
depende de la rapidez vertical del saltador al despegarse del suelo. Mientras está en el aire, su
rapidez horizontal permanece constante, mientras que la vertical tiene aceleración ¡Es interesante la
física!

2) Galileo Galilei y la Torre de Pisa

Galileo Galilei, Figura 1, nació en Pisa, Italia, en 1564 durante el Renacimiento. Hoy día se
le conoce en todo el mundo por su nombre de pila y muchos lo consideran el padre de la ciencia
moderna o el padre de la mecánica moderna y la física experimental, lo cual da idea de la magnitud
de sus aportaciones científicas.

Una de las mayores contribuciones de Galileo a la ciencia fue el establecimiento del método
científico, es decir, la investigación por experimentación. En contraste, el enfoque de Aristóteles se
basó en la deducción lógica. En el método científico, para que una teoría sea válida, debe predecir o
coincidir con resultados experimentales. Si no es así, o no es válida o debe modificarse. Galileo dijo:

Creo que en el estudio de problemas naturales no debemos partir de la autoridad de lugares de las
Escrituras, sino de experimentos sensatos y demostraciones necesarias.

Tal vez la leyenda más popular y conocida acerca de Galileo sea que realizó experimentos
dejando caer objetos de la Torre de Pisa, Figura 2. Se ha puesto en duda que Galileo lo haya hecho
realmente, pero de lo que no hay duda es de que cuestionó la perspectiva de Aristóteles respecto al
movimiento de cuerpos que caen. En 1638, Galileo escribió:

Aristóteles dice que una esfera de hierro de mil libras que cae de una altura de cien cúbitos llega al
suelo antes que una esfera de una libra haya caído un solo cúbito. Yo digo que llegan al mismo
tiempo. Al realizar el experimento, constatamos que la más grande rebasa a la más pequeña por el
espesor de dos dedos; es decir, cuando la mayor ha llegado al suelo, la otra está a dos grosores de
dedo del suelo; no creo que podamos esconder tras esos dos dedos los noventa y nueve cúbitos de
Aristóteles.

FIGURA 1 Se dice que Galileo realizó experimentos de caída libre dejando caer objetos de la Torre de Pisa.

Éste y otros escritos revelan que Galileo conocía el efecto de la resistencia del aire.

2 El valor de d = 1.25 m representa la altura máxima que sube el centro de gravedad del saltador, y no la altura de la barra. La altura
que sube el centro de gravedad del saltador es importante para determinar su capacidad de salto. En el capítulo 8 describiremos el
centro de gravedad

22

Los experimentos en la Torre de Pisa supuestamente se efectuaron alrededor de 1590. En
sus escritos de esa época, Galileo dice haber dejado caer objetos desde una torre alta, pero nunca
nombra específicamente la de Pisa. Una carta que otro científico escribió a Galileo en 1641 describe
la acción de dejar caer una bala de cañón y una de mosquete desde la Torre de Pisa. El primer relato
que menciona un experimento similar de Galileo lo escribió Vincezo Viviani, su último discípulo y
primer biógrafo, doce años después de su muerte. No se sabe si Galileo se lo contó a Viviani en sus
años postreros o si Viviani creó esta imagen de su antiguo maestro.

Lo importante es que Galileo reconoció (y probablemente demostró experimentalmente) que
los objetos en caída libre caen con la misma aceleración, sea cual sea su masa o peso. (Véase la
Figura FG02-14aC) Galileo no explicó por qué todos los objetos en caída libre tienen la misma
aceleración, pero Newton sí lo hizo, como veremos en un capítulo posterior.
FIGURA 2 La torre, construida como campanario de una catedral cercana, se construyó sobre un
subsuelo inestable. La construcción se inició en 1173, y la torre comenzó a tender hacia un lado y
luego hacia el otro, antes de inclinarse en su dirección actual. Hoy día, la torre diverge unos 5 m de
la vertical en su parte más alta. Se cerró en 1990 y se hizo un intento por estabilizar la inclinación.

23

Resumen de términos Velocidad adquirida en la caída libre, partiendo del
reposo
Aceleración Razón con la que cambia la velocidad
de un objeto al paso del tiempo; el cambio de v  gt
velocidad puede ser en la magnitud (rapidez), en la
dirección o en ambas. Altura recorrida en la caída libre, partiendo del
Caída libre Movimiento sólo bajo la influencia de la
gravedad. reposo
Desplazamiento Cambio de posición entre dos
puntos de la trayectoria. d  1 gt 2
Distancia recorrida Longitud del camino recorrido 2
sobre la trayectoria.
Rapidez La prontitud con que se mueve algo; la Si es arrojado hacia abajo
distancia que un objeto recorre por unidad de tiempo.
Velocidad Rapidez de un objeto con su dirección de v  vo  gt
movimiento.
Si es lanzado hacia arriba
Resumen de fórmulas
v  vo  gt
Rapidez  distancia recorrida
tiempo Preguntas de repaso

v  d El movimiento es relativo
t
1. Mientras lees esto, ¿con qué rapidez te mueves,
Rapidez media  distancia total recorrida con relación a la silla donde te sientas? ¿Y con
tiempo total transcurrido relación al Sol?

vM  d Rapidez
t
2. ¿Cuáles son las dos unidades de medida necesarias
Velocidad media  desplazamiento para describir la rapidez?
tiempo transcurrido 3. ¿Qué clase de rapidez indica el velocímetro de un
automóvil, la rapidez promedio o la rapidez
vM  x instantánea?
t 4. Describe la diferencia entre rapidez instantánea y
rapidez promedio.
Si la aceleración es constante 5. ¿Cuál es la rapidez instantánea, en kilómetros por
hora, de un caballo que galopa 15 kilómetros en 30
Rapidez media  Promedio entre dos rapideces minutos?
6. ¿Qué distancia recorre un caballo si galopa con una
vM  vinicial  v final rapidez promedio de 25 km/h durante 30 minutos?
2
Velocidad
Aceleración  cambio de velocidad
intervalo de tiempo 7. Describe la diferencia entre rapidez y velocidad.
8. Si un automóvil se mueve con velocidad constante,
a  v ¿también se mueve con rapidez constante?
t 9. Si un coche se mueve a 90 km/h y toma una curva
también a 90 km/h, ¿mantiene constante su rapidez?
aceleración (en línea recta)  cambio de rapidez ¿Mantiene constante su velocidad? Defiende tus
intervalo de tiempo respuestas.

Aceleración

10. Describe la diferencia entre velocidad y
aceleración.
11. ¿Cuál es la aceleración de un automóvil que
aumenta su velocidad de 0 a 100 km/h en 10 s?

24

12. ¿Cuál es la aceleración de un automóvil que 2) Mide tú tiempo de reacción. El tiempo de reacción
mantiene una velocidad constante de 100 km/h es el que necesita una persona para notar, pensar y
durante 10 s? (¿Por qué algunos de tus compañeros actuar en respuesta a una situación. Pide a un amigo
que contestaron bien la pregunta anterior tuvieron que deje caer (sin aviso previo) una regla entre tus
equivocada esta respuesta?) dedos cuya base este a la altura de tu dedo pulgar y
13. ¿Cuándo te das cuenta más del movimiento en un del índice. Trata de atrapar la regla, lo más rápido que
vehículo, cuando se mueve en forma continua en puedas, en su caída y anota la longitud que queda por
línea recta, o cuando acelera? Si el auto se moviera debajo del dedo pulgar. Ocupa las ecuaciones de
con una velocidad absolutamente constante (sin caída libre y determina el tiempo de reacción.
baches) ¿te darías cuenta del movimiento?
14. Se suele definir a la aceleración como la rapidez FIGURA 2.15 Wilson página 53
de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
¿Cuándo se puede definir como la rapidez de cambio Ejercicios
de la rapidez con respecto al tiempo?
1. ¿Cuál es la rapidez de impacto de un auto que se
Aceleración en los planos inclinados de mueve a 100 km/h y que golpea por detrás a otro que
Galileo va en la misma dirección a 98 km/h?
2. Enrique puede remar en una canoa, en agua
15. ¿Qué descubrió Galileo acerca de la cantidad de estancada, a 8 km/h. ¿Tendrá caso que reme contra la
rapidez que gana una esfera cada segundo cuando corriente de un río que corre a 8 km/h?
baja rodando por un plano inclinado? ¿Qué le dijo eso 3. Las multas por exceso de rapidez, ¿son por la
acerca de la aceleración de la esfera? rapidez media o por la rapidez instantánea? Explica
16. ¿Qué relación descubrió Galileo para la velocidad por qué.
adquirida en un plano inclinado? 4. Un avión vuela hacia el norte a 300 km/h, mientras
17. ¿Qué relación descubrió Galileo entre la que otro vuela hacia el sur a 300 km/h. ¿Son iguales
aceleración de una esfera y la pendiente de un plano sus rapideces? ¿Son iguales sus velocidades? Explica
inclinado? ¿Qué aceleración se obtiene cuando el por qué.
plano es vertical? 5. La luz viaja en línea recta con una rapidez
constante de 300.000 km/s. ¿Cuál es su aceleración?
Caída libre 6. ¿Puede un automóvil que tiene velocidad hacia el
Qué tán rápido norte, tener al mismo tiempo una aceleración hacia el
sur? Explica cómo.
18. ¿Qué quiere decir exactamente un objeto en 7. ¿Puede invertir un objeto su dirección de
“caída libre? movimiento y al mismo tiempo mantener una
19. ¿Cuál es el aumento de rapidez, por segundo, de aceleración constante? En caso afirmativo, describe
un objeto en caída libre? un ejemplo. Si no, explica por qué.
20. ¿Qué velocidad adquiere un objeto en caída libre 8. Vas manejando en carretera, hacia el norte. A
a los 5 s después de dejarse caer desde el reposo? ¿Y continuación, sin cambiar la rapidez, giras hacia el
cuál es a los 6 s después? este. a) ¿Cambió tu velocidad? b) ¿Aceleraste?
21. La aceleración aproximada de la caída libre es 10 Explica por qué.
m/s2. ¿Por qué aparece dos veces la unidad 9. Corrige a tu amigo que dice “el auto siguió la
“segundo”? curva con una velocidad constante de 100 km/h.”
22. Cuando un objeto se lanza hacia arriba ¿cuánta 10. Enrique dice que la aceleración es la rapidez con
rapidez pierde cada segundo? que uno va. Carolina dice que la aceleración es la
rapidez con que uno adquiere rapidez. Los dos te
Hasta dónde miran y te piden tu opinión. ¿Quién tiene la razón?
11. Partiendo del reposo, un automóvil acelera hasta
23. ¿Qué relación descubrió Galileo entre la distancia llegar a una rapidez de 50 km/h, y otro acelera hasta
recorrida y el tiempo, para los objetos con 60 km/h. ¿Puedes decir cuál de ellos tuvo la mayor
aceleración? aceleración? ¿Por qué sí o por qué no?
24. ¿Cuál es la altura que cae un objeto en caída libre 12. Describe un ejemplo de algo que tenga una
a los 5 s después de haber sido dejado caer desde el rapidez constante y al mismo tiempo una velocidad
reposo? ¿Y después de 6 s? variable. ¿Puedes describir un ejemplo de algo que
25. ¿Qué efecto tiene la resistencia del aire sobre la tenga una velocidad constante y una rapidez variable?
aceleración de los objetos que caen? ¿Cuál es la Defiende tus respuestas.
aceleración de ellos sin resistencia del aire? 13. Describe un ejemplo de algo que acelere y que al
mismo tiempo se mueva con rapidez constante.
Qué tan rápido cambia de rapidez ¿Puedes describir también un ejemplo de algo que
acelere y al mismo tiempo tenga una velocidad
26. Para las siguientes mediciones: 10 m, 10 m/s y 10 constante? Explica por qué.
m/s2 ¿cuál es una medida de distancia, cuál es de 14. a) ¿Puede moverse un objeto cuando su
rapidez y cuál es de aceleración? aceleración es cero? b) Puede acelerar un objeto
cuando su velocidad es cero? En caso afirmativo,
Proyectos describe un ejemplo.
15. ¿Puedes describir un ejemplo en el que la
1) Párate junto a un muro y haz una marca en la aceleración de un cuerpo sea opuesta a la dirección de
altura máxima que puedas alcanzar. A continuación
salta verticalmente y marca lo más alto que puedas.
La distancia entre las dos marcas es la altura de tu
salto. Con ella calcula tu tiempo en el aire.

25

su velocidad? En caso afirmativo, ¿cuál es tu 10. ¿Hasta dónde habría llegado la esfera, desde su
ejemplo? punto de partida, cuando hubiera contado hasta 20?
16. ¿En cuál de las pendientes de abajo la bola rueda 32. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, y
con rapidez en aumento y aceleración en la resistencia del aire es despreciable ¿Cuándo es
disminución? (Usa este ejemplo si deseas explicar a mayor la aceleración de la gravedad: cuando sube, en
alguien la diferencia entre rapidez y aceleración.) la parte más alta o cuando desciende? Defiende tu
respuesta.
FIGURA 1, página 52 superficies inclinadas. 33. Si no fuera por la resistencia del aire ¿sería
peligroso salir a la intemperie en días lluviosos?
17. Supón que las tres bolas del ejercicio 16 parten al 34. Amplía las tablas 3.2 y 3.3 para que incluyan
mismo tiempo de las partes superiores. ¿Cuál llega tiempos de caída de 6 a 10 segundos, suponiendo que
primero al suelo? Explica por qué. no hay resistencia del aire.
18. ¿Cuál es la aceleración de un automóvil que se 35. Dos esferas se sueltan al mismo tiempo, desde el
mueve con velocidad constante de 100 km/h durante reposo, en el extremo izquierdo de las pistas A y B,
100 segundos? Explica tu respuesta. de igual longitud, que se ven abajo ¿Cuál de ellas
19. ¿Cuál es mayor, una aceleración desde 25 hasta llega primero al final de su pista?
30 km/h, o una de 96 km/h hasta 100 km/h, si las dos
suceden durante el mismo tiempo? FIGURA 1, página 53
20. Galileo hizo experimentos con esferas que ruedan
en planos inclinados en ángulos que iban de 0° hasta 36. Para el par anterior de pistas a) ¿en cuál de ellas
90° ¿Qué intervalo de aceleraciones corresponde a la rapidez media es mayor? b) Por qué es igual la
este intervalo de ángulos? rapidez de las esferas al final de las pistas?
21. Sé estricto y corrige a tu amigo que dice “en la 37. En este capítulo hemos estudiado casos ideales de
caída libre, la resistencia del aire es más efectiva para esferas que ruedan sobre planos lisos, y objetos que
desacelerar una pluma que una moneda.” caen sin resistencia del aire. Supón que un compañero
22. Supón que un objeto en caída libre tuviera un se queje de que todos estos conceptos de casos
rapidímetro. ¿Cuánto aumentaría su indicación de idealizados no tienen valor, simplemente porque los
velocidad en cada segundo de la caída? casos ideales no se presentan en el mundo real ¿Qué
23. Supón que el objeto en caída libre del ejercicio responderías a su queja? ¿Cómo supones que
anterior también tuviera un odómetro. Las respondería el autor de este libro?
indicaciones de la distancia caída cada segundo 38. ¿Por qué un chorro de agua se hace más angosto a
¿serían iguales o distintas en los segundos sucesivos? medida que se aleja de la llave?
24. Para un objeto en caída libre, que parte del FIGURA 2, página 53
reposo, ¿cuál es la aceleración al terminar el quinto
segundo de caída? ¿Al terminar el décimo segundo? 39. El tiempo en el aire de una persona sería bastante
Defiende tus respuestas. mayor en la Luna. ¿Por qué?
25. Si se puede despreciar la resistencia del aire, 40. Formula dos preguntas de opción múltiple para
¿cómo se compara la aceleración de una pelota que se comprobar la distinción que hacen tus compañeros
ha lanzado directamente hacia arriba con su entre velocidad y aceleración.
aceleración cuando tan sólo se deja caer?
26. Cuando un jugador de béisbol lanza directamente Problemas
una bola hacia arriba, ¿cuánto disminuye la rapidez
de ésta cada segundo cuando va hacia arriba? En 1. En la actualidad, el nivel del mar está subiendo
ausencia de aire ¿cuánto aumenta cada segundo al más o menos 1.5 mm por año. A esta tasa ¿dentro de
descender? ¿Cuánto tiempo necesita para subir en cuántos años estará el nivel del mar 3 metros más
comparación con el necesario para bajar? alto?
27. Alguien que está parado al borde de un precipicio 2. ¿Cuál es la aceleración de un vehículo que cambia
(como en la Figura 3.8) lanza una pelota casi su velocidad de 100 km/h hasta paro total, en 10 s?
directamente hacia arriba, con determinada rapidez, y 3. Se lanza una bola directamente hacia arriba, con
otra casi directo hacia abajo con la misma rapidez una rapidez inicial de 30 m/s ¿Hasta qué altura llega
inicial. Si se desprecia la resistencia del aire, ¿cuál y cuánto tiempo está en el aire (sin tener en cuenta la
pelota tiene mayor rapidez cuando llega hasta le resistencia del aire)?
fondo de la barranca? 4. Se lanza una bola directo hacia arriba, con rapidez
28. Contesta la pregunta anterior cuando la suficiente para permanecer varios segundos en el aire.
resistencia del aire no es despreciable; cuando esa a) ¿Cuál es la velocidad de la bola cuando llega al
resistencia afecta al movimiento. punto más alto? b) ¿Cuál es su velocidad 1 s antes de
29. Si dejas caer un objeto, su aceleración hacia el llegar al punto más alto? c) ¿Cuál es su cambio de
piso es 10 m/s2. Empero si lo lanzas hacia abajo ¿será velocidad durante este intervalo de 1 s? d) ¿Cuál es
mayor su aceleración que 10 m/s2? ¿Por qué? su velocidad 1 s después de haber alcanzado su punto
30. En el ejercicio anterior ¿te puedes imaginar una más alto? e) ¿Cuál es su cambio de velocidad durante
causa por la que la aceleración del objeto arrojado este intervalo de 1 s? f) ¿Cuál es su cambio de
hacia abajo, por el aire, pueda ser bastante menor que velocidad durante el intervalo de 2 s (1 antes y 1
10 m/s2? después de llegar hasta arriba)? (¡Cuidado!) g) Cuál
31. Mientras ruedan esferas por un plano inclinado, es la aceleración de la bola durante cualquiera de esos
observa Galileo que recorren un codo (la distancia del intervalos de tiempo, y en el momento cuando tiene
codo a la punta de los dedos) mientras cuenta hasta velocidad cero?

26

5. ¿Cuál es la velocidad instantánea de un objeto en FIGURA FG02-19
caída libre 10 s después de haber partido del reposo?
¿Cuál es su velocidad media durante este intervalo de a) ¿Cuanta distancia recorrió en los 9 s?
10 s? ¿Qué altura habrá caído durante ese tiempo? b) ¿Cuál es su rapidez media para todo el trayecto?
6. Un automóvil tarda 10 s en pasar de v = 0 hasta v = c) ¿Cuál es su velocidad instantánea cuando habían
30 m/s con una aceleración aproximadamente transcurrido 4 s?
constante. Si deseas calcular la distancia recorrida d) ¿Cómo estuvo moviéndose entre 6 y 9 s?
con la ecuación d = (1/2)at2 ¿qué valor usas de a? e) ¿Cuál fue su aceleración entre los 4,5 y 6,5 s?
7. Un avión de reconocimiento se aleja 600 km de su 12. Un atleta se mueve según el siguiente gráfico
base, volando a 200 km/h, y regresa a ella volando a velocidad en función del tiempo
300 km/h. ¿Cuál es su rapidez media? FIGURA FG02-22
8. Un coche recorre cierta carretera con una rapidez a) ¿Qué movimiento tuvo en cada tramo?
media de 40 km/h, y regresa por ella con una rapidez b) Calcula la aceleración en cada uno de los tramos.
media de 60 km/h. Calcula la rapidez media en el c) ¿En qué intervalos de tiempo estuvo alejándose y
viaje redondo. (¡No es 50 km/h!) en cuales acercándose al punto de partida?
9. Si no hubiera resistencia del aire ¿con qué rapidez d) Utilizando solamente las fórmulas estudiadas,
caerían las gotas que se formaran en una nube a 1 km determina la distancia que recorrió durante los 18 s de
sobre la superficie del suelo? (¡Por suerte, esas gotas movimiento.
sienten la resistencia del aire cuando caen!)
10. Es sorprendente, pero muy pocos atletas pueden
saltar a más de 60 cm sobre el piso. Usa d = (1/2)gt2 y
despeja el tiempo que tarda uno en subir en un salto
vertical de 60 cm. A continuación multiplícalo por 2
para conocer el tiempo en el aire: el tiempo que los
pies de uno no tocan el piso.
11. Una persona camina por la calle su movimiento
se llevo al siguiente gráfico posición en función del
tiempo

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Actividad experimental propuesta

Movimento de una hormiga

Objetivo
Describir el movimiento de una hormiga sobre una superficie utilizando las magnitudes

físicas como desplazamiento, distancia, rapidez y velocidad media.

Materiales
Hormiga, reloj o cronómetro, hoja de papel tipo cuadernillo, regla.

Procedimiento
Colocar la hormiga sobre la hoja de papel y dejarla que se mueva libremente. Seguir la

hormiga con el lápiz de tal forma que quede marcada sobre la hoja el camino que ésta recorrió
durante unos 20 s aproximadamente.

N
Partida

Final

Actividades
1. ¿Qué representa la línea marcada con el lápiz sobre la hoja?

2. ¿Qué distancia recorrió la hormiga entre el punto de partida y el punto final?

3. ¿Cuál es el desplazamiento realizado por la hormiga entre el punto de partida y el punto final?
Represéntalo por una flecha.

4. Determina la rapidez media de la hormiga. ¿Qué datos se deben considerar para su cálculo? ¿Qué
significado tiene este resultado?

5. Determina la velocidad media de la hormiga. ¿Qué datos se deben considerar para su cálculo?
¿Qué significado tiene este resultado?

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6. ¿Cuál es la diferencia entre distancia y desplazamiento?, ¿y entre rapidez media y velocidad
media?
7. ¿Cuál fue el sistema de referencia que utilizaste para responder las preguntas anteriores?
8. Dibuja un sistema de referencia en una de las esquinas de la hoja y dibuja, mediante flechas, la
posición inicial y final que tuvo la hormiga.

Movimiento acelerado

Objetivos
Determinar la aceleración de una bolita que baja por un plano inclinado.
Verificar la constancia de la aceleración
Materiales
Riel de aluminio o canaleta tipo legrand , cronómetro, huincha, bolita.
Procedimiento

Ubica el riel con una pequeña inclinación de modo de que al colocar la bolita en el extremo
superior ruede inmediatamente hacia abajo.

Actividades

1) Mide el tiempo que emplea la bolita en recorrer 20 cm. Repite unas tres veces para obtener el
tiempo promedio. Aplica d =½ a t2 para calcular la aceleración.
2) Repite la experiencia, pero esta vez cambiando la distancia a recorrer por la bolita (de 20 en 20
cm) y completa la siguiente tabla de valores:

d (cm) t (s) t2 (s2) a( )
20
40
60
80

3) Compara las aceleraciones. ¿Qué puedes concluir?
4)Construye un gráfico d en función de t. ¿Qué tipo de línea se obtiene? ¿Es lo esperado? Explica.
5) ¿Qué otras opciones de investigación con base a lo anterior puedes sugerir?

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