คณิตศาสตร์ 5 เล่ม 3

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50

16.1.4) ขยี นแผนภาพกล่อง (Box plot) เพอ่ื นาเสนอขอ้ มูลชุดนี้

–2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

16.2) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( ) ของข้อมลู ชดุ น้ี

16.3) คา่ เฉล่ยี เลขคณิต ( ) ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรยี นท่สี มุ่ มาโดยไมร่ วมคา่ นอกเกณฑ์

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าค่านอกเกณฑ์มีผลต่อค่าเฉลยี่ เลขคณิต เน่ืองจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตคานวณจากข้อมลู
ท้งั หมด ดงั น้นั ถา้ ข้อมลู ชดุ ใดมคี า่ นอกเกณฑ์ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ อาจไม่สามารถนามาใช้เปน็ ตวั แทนท่ดี ีของชดุ ข้อมูลนน้ั แต่
ในกรณที ่ีชดุ ขอ้ มูลไมม่ ีค่านอกเกณฑ์ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตอาจเปน็ คา่ กลางท่ใี ช้เปน็ ตัวแทนของชดุ ข้อมลู ได้

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51

3.1.1.2 การหาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean ; รวม หรอื )

เป็นการหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวมของขอ้ มูลหลายกลุ่ม เมอ่ื ทราบคา่ เฉล่ยี ของขอ้ มลู แตล่ ะกลุ่ม โดยกาหนดให้
ข้อมลู กลุ่มที่ 1 มีคา่ เฉล่ียเลขคณิตเท่ากบั 1 และมจี านวนขอ้ มลู เท่ากับ
ขอ้ มลู กลุ่มที่ 2 มคี า่ เฉล่ยี เลขคณติ เท่ากบั 2 และมีจานวนข้อมูลเทา่ กับ

ขอ้ มลู กลมุ่ ที่ 3 มีค่าเฉลย่ี เลขคณิตเท่ากบั 3 และมีจานวนข้อมลู เท่ากับ

: : : ::
ขอ้ มลู กลุ่มที่ k มคี ่าเฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กับ และมีจานวนข้อมลู เทา่ กบั

ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม หาไดจ้ าก

คา่ เฉลย่ี เลขคณติ รวม ( รวม หรือ ) = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
1+ 2+ 3+...+ ∑ =1

กจิ กรรมระหว่างเรียน เรอ่ื ง การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean ; )

ตัวอย่างท่ี 17 นักเรียนช้ัน ม.6 ของโรงเรียนหน่ึงมีนักเรียน 4 ห้อง คือ ห้อง ก. 40 คน ห้อง ข. 35 คน ห้อง ค. 38

คน และ ห้อง ง. 42 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของห้อง ก. เป็น 85 คะแนน ห้อง ข. เป็น 77 คะแนน
ห้อง ค. เป็น 75 คะแนน และ ห้อง ง. เป็น 60 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ อง
นักเรียนชน้ั ม.6 ท้ังหมด
วธิ ที า จากโจทย์กาหนดให้

ตัวอย่างท่ี 18 ค่าเฉล่ียเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 50 กิโลกรัม ในกลุ่มน้ีเป็นนักเรียนชาย 57 คน และ

เป็นนักเรยี นหญิง 43 คน ถ้าค้าเฉลีย่ เลขคณิตของน้าหนักกลุ่มนักเรียนหญิงเทา่ กับ 45 กิโลกรมั จงหาน้าหนกั รวมของ
กลุ่มนักเรียนชาย
วธิ ีทา จากโจทย์กาหนดให้

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52

แบบฝึกหัด เร่อื ง การหาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean ; รวม หรือ )

ขอ้ 1. นกั เรียนหอ้ งหน่งึ มี 40 คน เปน็ นกั เรียนชาย 25 คน มีน้าหนักเฉลย่ี 55 กโิ ลกรัม และมนี ักเรียนหญงิ 15 คน
มีน้าหนักเฉล่ีย 45 กิโลกรัม ถ้าน้าหนักเฉลี่ยรวมของนักเรียน 40 คน รวมกับครูประจาช้ันอีกหนึ่งคนจะได้น้าหนัก
เฉลี่ยรวม เท่ากบั 51.5 กิโลกรมั จงหานา้ หนกั ของครปู ระจาชัน้

วิธีทา จากโจทยก์ าหนดให้

ขอ้ 2. ในการสอบวชิ าสถติ ิ นกั เรยี นห้อง A จานวน 40 คน สอบได้คา่ เฉลี่ยเลขคณติ เท่ากับ 80 คะแนน นักเรียนห้อง B
จานวน 35 คน สอบได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 75 คะแนน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของนักเรียนห้อง A , B
และ C เท่ากับ 74 คะแนน จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของนักเรยี นหอ้ ง C ซ่ึงมจี านวนนกั เรยี นเทา่ กบั 30 คน

วิธที า จากโจทยก์ าหนดให้

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53

ข้อ 3. ในการสอบ Midterm วิชาคณติ ศาสตร์ (สถติ ิ) ของนกั เรยี นช้นั ม.6 จานวน 3 หอ้ ง คอื หอ้ ง ม. 6/1 จานวน 40

คน สอบได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 80 นักเรียนห้อง ม. 6/2 จานวน 35 คน สอบได้ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 75
คะแนน ครูผู้สอนบอกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคณิตรวมของนักเรียนทั้ง 3 ห้อง เท่ากับ 74 คะแนน จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต
ของนักเรียนของนักเรยี นช้ัน ม. 6/3 ซึง่ นักเรียนมจี านวนเท่ากบั 30 คน
วธิ ีทา จากโจทย์กาหนดให้

ข้อ 4. นักเรียนห้องหน่ึงมีท้งั หมด 100 คน โดยส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายเปน็ 165 เซนติเมตร และส่วนสงู เฉลยี่ ของ
นักเรียนหญิงเป็น 150 เซนติเมตร ถ้าส่วนสูงเฉล่ียของนักเรียนทั้งห้องเป็น 159 เซนติเมตร จงหาจานวนนักเรียนชาย
และจานวนนกั เรยี นหญิงของหอ้ งนี้
วิธที า จากโจทยก์ าหนดให้

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54

3.3.1.3 ค่าเฉลีย่ เลขคณิตถ่วงนา้ หนกั (weighted arithmetic mean : )

เราจะใชก้ ารหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ในกรณีที่ขอ้ มูลแต่ละคา่ มคี วามสาคญั ไม่เท่ากัน เชน่ ในการหาคา่ เกรดเฉล่ียของนักเรียน
ในแต่ละวิชา ซ่ึงแต่ละวิชา มีจานวนหน่วยกิตไม่เท่ากนั (คือมีน้าหนัก หรือ weight ไม่เท่ากัน) เราจึงไม่สามารถนาเกรดท้ังหมดมา
รวมกันแล้วหารดว้ ยจานวนวิชาเพราะจะทาให้เกรดเฉลยี่ ออกมาคลาดเคลอื่ นได้ ดังนั้นเราจึงใช้วิธีถว่ งน้าหนัก น่ันคือ นาเกรดทไี่ ด้
ในแต่ละวิชาคูณด้วยจานวนหน่วยกิตของวิชาเหล่าน้ันก่อน แล้วจึงนามารวมกันแลว้ หารด้วยจานวนหน่วยกิตทั้งหมด ดังน้ันเราจะ
กาหนดให้ 1 , 2 , 3 , . . . , เป็นความสาคัญหรอื ถว่ งน้าหนักของค่าจากการสังเกตของข้อมูลท่ี 1 , 2 , 3 , … ,
N และ 1 , 2 , 3 , . .. , เป็นค่าเฉล่ียเลขคณิตแต่ละชุดของข้อมูลท่ี 1 , 2 , 3 , … , N ตามลาดับ ดังนั้นจึง
เหมาะสาหรบั ใช้ในกรณีท่ขี อ้ มลู แตล่ ะคา่ มคี วามสาคญั ไมเ่ ท่ากนั เชน่ การหาค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 วชิ า ซง่ึ แตล่ ะวิชา

มหี น่วยกติ ไมเ่ ท่ากัน ถา้ ใชว้ ธิ กี ารหาคา่ เฉล่ียเลขคณติ โดยไมถ่ ว่ งน้าหนักอาจทาให้คา่ ท่ไี ดน้ าไปสขู่ อ้ สรุปทค่ี ลาดเคลื่อนจากความเป็น

จริง เพราะขอ้ มลู แต่ละคา่ มคี วามสาคัญไม่เทา่ กันข้นึ อยู่กับน้าหนกั ของแตล่ ะข้อมูล โดยที่

1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมูลเม่ือ แทนขนาดประชากร (population)

และให้ 1, 2, 3, . . . , แทน น้าหนักของข้อมูล 1 , 2 , 3 , . . . , ตามลาดบั จะได้

คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงน้าหนกั = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ = 1
1+ 2+ 3+...+ ∑ = 1

2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ขอ้ มูลเมอ่ื แทนขนาดของตัวอยา่ ง (sample)

และให้ 1, 2, 3, . . . , แทน น้าหนกั ของข้อมูล 1 , 2 , 3 , . . . , ตามลาดับจะได้

ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ถ่วงน้าหนกั = 1 1+ 2 2+ 3 3+...+ = ∑ =1
1+ 2+ 3+...+ ∑ =1

หมายเหตุ : จะเปน็ วา่ สูตรในการหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ถ่วงนา้ หนกั มสี ตู รเดียวกนั แต่แตกต่างตรงที่ N แทนขนาดประชากร

และ แทนขนาดตัวอย่าง

ตัวอย่างท่ี 19 ในการคานวณเกรดเฉล่ีย (grade point average: GPA) ของนักเรียนคนหนึ่งสมมติว่านักเรียนคนนี้
ลงทะเบียนเรยี น 5 วชิ าซ่งึ แตล่ ะวิชามีหนว่ ยกติ ไม่เท่ากันและไดเ้ กรดแต่ละวิชาดังน้ี

วิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย สังคมศึกษา สขุ ศกึ ษา

หน่วยกิต 2.0 3.0 3.0 3.0 1.0

เกรด 4 4 3 3 2

จงหาเกรดเฉล่ยี ของนักเรียนคนน้ี
วธิ ที า จะแสดงวิธกึ ารหาเกรดเฉลยี่ โดยการสรา้ งตาราง

วิชา หนว่ ยกิต ( ) เกรด ( )
คณิตศาสตร์ ∑ =1 =
ภาษาอังกฤษ 2.0 4
ภาษาไทย 3.0 4
สังคมศึกษา 3.0 4
สุขศกึ ษา 3.0 4
1.0 4
รวม
∑ =1 = . .

∑ =1
∑ =1
ดังนัน้ เกรดเฉล่ยี ∎ = =
………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………….…………………………….

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55

กจิ กรรมระหว่างเรียน 4 เรือ่ ง การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงนา้ หนัก (Weight Arithmetic mean: )

ตัวอย่างที่ 21 ผลการสอบของนายสมชาย นักเรียนช้ัน ม.6 ผลปรากฏว่า วิชาคณิตศาสตร์ 2.5 หน่วยกิต ได้เกรด 4

วิชาภาษาไทย 1.0 หน่วยกิต ได้เกรด 4 วิชาภาษาอังกฤษ 2.0 หน่วยกิตได้เกรด 2 และวิชาสังคมศึกษา 1.5 หน่วยกิต
ได้เกรด 3 จงหาเกรดเฉล่ยี รวมทง้ั 4 วชิ าของนายสมชาย
วิธที า จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน คา่ ถ่วงนา้ หนักหรอื หน่วยกติ และ xi แทน ระดบั ผลการเรยี นหรือเกรด

ตัวอย่างที่ 22 ศิษย์เก่าจานวน 3 คนกลับมาเย่ียมโรงเรียนบอกครูผู้สอนว่า พวกเขาสามคน มีเกรดเฉลี่ยรวมเท่ากับ

2.60 โดยคนแรกลงทะเบียนเรยี นเรียน 124 หน่วยกิต คนทสี่ องลงทะเบียนเรียน 121 หนว่ ยกติ และคนทีส่ ามลงทะเบยี น
เรียน 125 หน่วยกิต โดยที่คนท่ีหน่ึงและคนท่ีสองมีเกรดเฉล่ียสะสม เท่ากับ 3.00 และ 2.50 ตามลาดับ จงหาเกรด
เฉลย่ี สะสมของคนท่ีสาม
วธิ ีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถ่วงนา้ หนักหรือหน่วยกิต และ xi แทน ระดับผลการเรียนหรอื เกรด

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56

แบบฝึกหัด เร่ือง การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถว่ งน้าหนกั (Weight Arithmetic Mean หรอื )

ขอ้ 1. ผลการเรยี นในรายวิชาชวี วทิ ยา 5 ภาคเรียนของเรวดี มีระดบั ผลการเรียนและนา้ หนักเกรดเปน็ ดังนี้

ช่อื วชิ า จานวนหนว่ ยกิต ( ) ผลการเรียน ( : เกรด) ∙

ชวี วิทยา 1 2.0 2
ชวี วทิ ยา 2 2.0 2.5
ชีววทิ ยา 3 1.5 1.5
ชวี วิทยา 4 1.5 3
ชวี วิทยา 5 1.5 3.5

นก.∑ =1 = ……………….………… ∑ =1 ∙ = .

จงหาผลการเรยี นเฉล่ยี 5 ภาคเรียนของเรวดี

วิธที า จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน คา่ ถว่ งนา้ หนกั หรอื หนว่ ยกติ และ xi แทน ระดับผลการเรียนหรอื เกรด

ข้อ 2. นายณรงค์ชัยศกึ ษาในระดบั อดุ มศกึ ษา ลงทะเบยี นเรียนไว้ 16 หน่วยกิต ไดผ้ ลการเรยี นในภาคเรียนแรก ดงั นี้

วชิ า จานวนหน่วยกิต ( ) ผลการเรียน ( : เกรด) ∙
คณติ ศาสตร์
4.0 3

ฟสิ กิ ส์ 2

เคมี 4

ภาษาองั กฤษ 3.0 2

พืน้ ฐานทว่ั ไป 2.0 3

นก.∑ =1 = ……………….………… ∑ =1 = .

ถา้ นายณรงคช์ ยั ได้ระดับคะแนนเฉลย่ี 2.75 จงหาวา่ เขาลงทะเบียนเรยี นในวชิ าฟิสกิ สแ์ ละวชิ าเคมอี ยา่ งละกห่ี นว่ ยกิต

วิธีทา จากโจทย์ กาหนดให้ wi แทน ค่าถ่วงนา้ หนักหรอื หนว่ ยกติ และ xi แทน ระดบั ผลการเรยี นหรือเกรด

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57

3.3.2 มธั ยฐาน (Median : Me , Med , Mdn )

เมื่อนาข้อมูลท้ังหมดมาเรียงลาดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะเรียกค่าที่อยู่ในตาแหน่งกึ่งกลาง
ของขอ้ มูลว่า มัธยฐาน (median)

ค่ามัธยฐาน (Median : Me , Med หรอื Mdn) คอื คา่ ที่มี ตาแหน่งอยทู่ ก่ี ึง่ กลาง ของขอ้ มลู ชุดนน้ั เม่อื นา
ขอ้ มูลเหล่านนั้ เรียงจากค่าน้อยทส่ี ดุ ไปหาคา่ มากทส่ี ดุ หรือ เรียงขอ้ มูลจากค่ามากท่ีสุดไปหาคา่ น้อยทสี่ ุดแล้ว

การหาคา่ มัธยฐานของขอ้ มูลทีไ่ ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี (Ungroup data) หาได้จาก

ถา้ ให้ x1 , x2 , x3 , … , xN เปน็ ค่าขอ้ มลู ท่ไี ดจ้ ากการสงั เกตทเ่ี รยี งลาดบั จากน้อยไปหามาก หรอื จากมาก

ไปหาน้อย และ N เปน็ จานวนข้อมูลทัง้ หมด แลว้ ค่ามัธยฐาน หาได้จาก

ก.) กรณที ่ี N เป็นจานวนคี่ (n-odd) ค่ามธั ยฐาน (Me) อย่ตู าแหนง่ ที่ = ( 2+1) 1)......................….. (

ข.) กรณีท่ี N เปน็ จานวนคู่ (n-even) คา่ มธั ยฐาน (Me) อยู่ตาแหนง่ ที่ = ( 2 )+ ( 2 )+1 (2)..........................

2

สรุปได้อย่างง่ายว่า ในการหาค่ามัธยฐานของข้อมูล ถ้าข้อมูลมี ตัวการหามัธยฐานทาได้โดยเรียงลาดบั ข้อมลู
จากนอ้ ยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะไดม้ ธั ยฐานอยูใ่ นตาแหน่งที่ +1 น่นั คือ

2

 ถ้า เป็นจานวนคี่ มธั ยฐาน คอื ขอ้ มลู ท่อี ยู่กง่ึ กลาง
 ถ้า เปน็ จานวนค่มู ัธยฐาน คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูลสองตวั ทอี่ ยูก่ ึ่งกลาง
จากหัวข้อ 3.2 นกั เรยี นทราบแล้ววา่ 2 เปน็ คา่ ท่ีอยใู่ นตาแหน่งกง่ึ กลางของข้อมูลท้ังหมด ดงั นนั้ มธั ยฐาน คอื 2

ตวั อย่างท่ี 23 ความสงู (เซนตเิ มตร) ของนกั เรียนหญิงจานวน 11 คนแสดงไดด้ งั นี้

164 158 167 160 163 159 162 161 155 170 168

จงหามัธยฐานของข้อมูลชดุ น้ี

วธิ ีทา 10 : 10 11 : 11
23.1 เรียงข้อมลู จากน้อยไปหามาก
168 170
ตาแหน่งที่ 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4 5 : 5 6 : 6 7 : 7 8 : 8 9 : 9

ความสงู : ซม. 155 158 159 160 161 162 163 164 167

23.2 หาตาแหน่งของคา่ มัธยฐานและคา่ มธั ยฐาน
จากโจทย์จานวนข้อมลู ทัง้ หมด คอื จานนวนนกั เรียน = 11 คน ดังนนั้ จานวนข้อมูลเปน็ จานวนค่ี ( − )

ดงั นน้ั ตาแหนง่ ของคา่ มธั ยฐานจะอยทู่ ี่ ตาแหนง่ ท่ี ( +21) = (112+1) = (122) = 6
และจะไดค้ า่ มธั ยฐาน อยู่ที่ขอ้ มลู 6 = 162

ดงั นน้ั คา่ มัธยฐาน (Me) ของความสงู ของนักเรยี นหญงิ กลุ่มนี้ คอื 162 เซนตเิ มตร ∎

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58

ตวั อย่างที่ 24 ระยะเวลา (นาท)ี ที่ใชใ้ นการเดนิ ทางจากบา้ นไปโรงเรียนของนักเรียน 6 คน แสดงได้ดงั น้ี

32 15 45 12 90 25

จงหามัธยฐานของขอ้ มูลชดุ นี้

วิธีทา

24.1 เรยี งข้อมลู จากน้อยไปหามาก

ตาแหน่งที่ 1 : 1 2 : 2 3 : 3 4 : 4 5 : 5 6 : 6

ระยะเวลา : นาที 12 15 25 32 45 90

24.2 หาตาแหน่งของคา่ มัธยฐานและคา่ มธั ยฐาน
จากโจทยจ์ านวนข้อมูลทั้งหมด คอื จานนวนนกั เรียน = 6 คน ดงั นน้ั จานวนขอ้ มลู เป็นจานวนค่ี ( − )
ดงั นนั้ ตาแหนง่ ของคา่ มัธยฐาน จะอยู่ท่ี ตาแหนง่ ที่ ( 2 )+ ( 2 )+1 = (26)+ (62)+1 = 3+ 4

2 22

ซง่ึ จะไดค้ ่ามธั ยฐาน อยู่ระหวา่ งข้อมลู 3 = 25 และ 4 = 32
ดงั นน้ั คา่ มัธยฐาน (Me) ของระยะเวลาทน่ี กั เรยี นเดินทาง คอื 3+ 4 = 25+32 = 57 = 28.5 นาที ∎

2 22

กิจกรรมระหวา่ งเรียน เรอ่ื ง การหาคา่ มธั ยฐาน ( ∶ , , ) ของขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถี่

ตวั อย่างที่ 25 จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) จากข้อมลู 145 , 152 , 137 , 142 , 154 , 158 และ 149
วิธีทา เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก

ตัวอย่างที่ 26 ขอ้ มลู ชุดหนง่ึ ประกอบด้วย 14.25 , 15.25 , 13.75 , 14.50 , 15.95 , 15.85 , 20.25 และ 14.95

จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) ของขอ้ มูลชดุ น้ี
วิธที า เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59

แบบฝกึ หดั เรื่อง การหาค่ามัธยฐาน (Median : Me , Med , Mdn) ของขอ้ มูลไมแ่ จกแจงความถี่

ขอ้ 1. ผลการสารวจเงนิ เดือนของพนกั งานบรษิ ทั กจิ การจงเจรญิ จากัด เปน็ ดงั น้ี
4,500 , 4,700 , 4,300 , 4,250 , 4,100 , 4,000 , 4,350 , 4,700 , 4,900 5,000 และ 4,650 บาท

จงหาค่ามธั ยฐาน (Me) ของเงนิ เดอื นพนกั งานกลุ่มนี้

วิธีทา

ขอ้ 2. นา้ หนกั ของนักกีฬามวยสากลสมัครเลน่ จานวน 8 คน เปน็ ดงั น้ี

45 , 52 , 57 , 63 , 54 , 49 , 55 , 60

จงหาคา่ มัธยฐาน (Me) ของนา้ หนกั นักกฬี ากลมุ่ น้ี

วธิ ที า

ขอ้ 3. ข้อมลู ชุดหนง่ึ เม่ือเรียงจากนอ้ ยไปหามากแลว้ เป็นดงั นี้ 15 , 15 , a , b , 20 ถา้ มัธยฐานของข้อมูลชดุ น้ี คอื 16
และคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูลชุดน้ีเปน็ 17 จงหาค่าของ a + b

วิธที า

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60

สมบตั ิของค่ามธั ยฐาน

สมบตั ทิ สี่ าคัญของคา่ มัธยฐาน คือ ผลรวมของคา่ สัมบูรณข์ องผลตา่ งระหวา่ งข้อมลู แตล่ ะคา่ กบั มัธยฐานของข้อมลู

ชดุ นน้ั จะมคี า่ น้อยท่สี ดุ กลา่ วคอื สาหรับค่าคงตัว a ใดๆ และ Mdn แทนมธั ยฐานของข้อมูลแลว้ จะไดว้ า่

∑ =1| − | ≤ ∑ =1| − | หรอื ∑ = 1| − | มีค่านอ้ ยทสี่ ุด
จากข้อมลู ขา้ งตน้ อธิบายไดง้ า่ ยๆ ว่า

1. ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างข้อมูลแต่ละค่ากับค่ามัธยฐานของช้อมูลชุดน้ันจะมีค่าน้อยที่สุด

กลา่ วคือ ∑ =1| − | มคี ่านอ้ ยที่สดุ เมอื่ a = มัธยฐาน และถ้าแทนค่ามัธยฐานด้วยจานวนใดๆ ทห่ี าไดจ้ ากข้อมูลชดุ นน้ั
แล้วจะได้ผลรวมมากกว่าหรอื เท่ากับคา่ นีเ้ สมอ

2. ลักษณะสาคัญของการใชค้ า่ มธั ยฐาน คอื ค่ามัธยฐานเป็นค่าท่เี หมาะสมที่จะนามาใช้เปน็ ค่ากลางของข้อมูลเมื่อ

ข้อมูลนนั้ ๆ มีค่าใดคา่ หนึง่ หรือหลายๆ ค่าซ่งึ สงู หรอื ตา่ กว่าคา่ อ่ืนๆ หรอื ตอ้ งการทราบว่ามีค่าที่เป็นไปได้ค่าใดของขอ้ มูลชุด

นัน้ ๆ มีจานวนคา่ สงั เกตท่ีมากกว่าหรือน้อยกว่าคา่ นอ้ี ยปู่ ระมาณเทา่ ๆ กนั ดงั รูป

50 % 50 %

Min Me Max

3. สมบัติของค่ามัธยฐานคล้ายกับสมบัติของค่าเฉล่ียเลขคณิต โดยท่ี สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มี
∑ =1( − )2 มีค่าน้อยที่สุดเมอ่ื = สว่ นสมบัติของค่ามธั ยฐาน มี ∑ =1| − | มีค่าน้อยทีส่ ุด เมอื่ =

3.3.1.4 ฐานนยิ ม (Mode : Mo , Mod)

ฐานนิยม (Mode : Mo , Mod)
คือ ข้อมลู ทม่ี จี านวนครง้ั ของการเกดิ ซ้ากนั มากทส่ี ดุ หรือข้อมลู ที่มีความถ่ีสงู สุดที่มากกวา่ 1

จากบทที่ นักเรียนได้ศึกษามาแล้วว่าสาหรับข้อมูลเชิงคณุ ภาพฐานนิยม คือ ข้อมูลท่ีมีจานวนครั้งของการเกิดซ้า
กันมากท่ีสุดหรือข้อมูลท่ีมีความถี่สูงสดุ ทมี่ ากกว่า 1 ซ่ึงบทนิยามของฐานนยิ มดังกล่าวสามารถใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณได้
เช่นกัน ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนยิ ม เช่น ในกรณีท่ีข้อมูลมีความเป็น 1 เท่ากันหมด นอกจากนี้ข้อมูลบางชุดอาจมฐี าน
นิยมมากกว่า 1 ค่าเช่นในกรณีที่มีข้อมูลมากกว่า 1 ข้อมูลท่ีมีความถ่ีสูงสุดเท่ากัน อย่างไรก็ตามในท่ีน้ีจะพิจารณาเฉพาะ
ชดุ ขอ้ มลู ท่มี ฐี านนยิ มเพยี งคา่ เดียว

ฐานนยิ ม (Mode : Mo , Mod) คือ ค่าของขอ้ มลู ท่ีมคี วามถส่ี ูงสดุ ใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลอกี ชนดิ หนึง่ (ถ้าเปน็
ข้อมลู เชงิ คุณภาพแลว้ การหาตัวกลางของข้อมูลต้องฐานนิยมเท่านั้น * )

การหาฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถ่ี (Ungroup data) หาได้จากคะแนน
ของข้อมูลท่ีมี “ความถ่ีมากที่สุด” หรือมีจานวนข้อมูล “ซ้ามากที่สุด” ซ่ึงคะแนนหรือค่าสังเกตนั้น ถือว่าเป็น “ฐาน
นยิ ม : Mode”

กจิ กรรมระหว่างเรียน เร่ือง ฐานนิยม ( ; , ) ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

ตัวอย่างที่ 27 จงหาฐานนยิ ม (Mo) ของข้อมูล 4 , 5 , 3 , 5 , 2 , 7 , 3 , 5
วธิ ีทา

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61

ตัวอย่างท่ี 28 จงหาฐานนยิ ม (Mo) ของข้อมูล 24 , 25 , 26 , 27 , 25 , 24 , 26 , 24 , 25
วิธที า

ตวั อย่างที่ 29 จงหาฐานนิยม (Mo) ของขอ้ มลู 3 , 6 , 9 , 7 , 5 , 10 , 12
วธิ ที า

จากตัวอย่างข้างต้น สามารถสรุปฐานนิยม (Mode : Mo , Mod) ของข้อมูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ี ได้ว่าจานวน
ฐานนิยมของขอ้ มูลแตล่ ะชุดอาจมไี ดต้ ัง้ แต่ 0 ขน้ึ ไป โดย จะมฐี านนิยม 1 คา่ เมอ่ื ขอ้ มูลชดุ น้นั มีคา่ ของข้อมูลสูงสดุ เพียงชดุ
เดียว หรือมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า เม่ือจานวนชุดของข้อมูลท่ีซ้ากันสูงสุดมีหลายค่า หรือไม่มีฐานนิยมเลย เม่ือไม่มี
จานวนขอ้ มลู ท่ีซา้ กนั เลย หรอื มขี อ้ มลู ท่ีซา้ กันมจี านวนเทา่ ๆ กนั

และสิ่งที่ได้จากการสังเกตตัวอย่างข้างต้นเก่ียวกับฐานนิยม และเอกสารต่างๆ ท่ีนักเรียนได้ฟังหรือได้อ่านจาก
เอกสารตาราตา่ งๆ จะพบวา่ ไม่ได้เป็นกฎเกณฑท์ ่ีตายตวั เช่น มีเอกสาร ตาราบางเลม่ กล่าวว่า หากมีฐานนิยมเกินกว่า 2
ตัวข้ึนไป จะถือว่าว่าข้อมูลน้ันไม่มีฐานนิยม อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติ เราในฐานะผู้ศึกษาเรียนรู้เร่ืองฐานนิยมและ
นาไปใช้นาไปใช้ในการตัดสินใจเหตกุ ารณบ์ างอย่าง เช่น นาไปสารวจความนยิ มของขอ้ มูลบางอยา่ งบางประเภททีม่ จี านวน
มากๆ และหลายๆ กล่มุ ขอ้ มูลท่เี ราไดน้ ั้นอาจเปน็ ข้อมูลที่มีผู้คนนยิ มมากกว่า 2 ตัวก็เปน็ ไปได้ นนั่ หมายความว่าฐานนิยม
อาจมมี ากกวา่ 2 ค่า และเป็นเหตุเป็นผลในการตัดสินใจพิจารณาเลือกใช้ในคร้งั น้ัน

แบบฝกึ หัด เรอ่ื ง ฐานนยิ ม ( ; , ) ของข้อมลู ท่ีไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี

ข้อ 1. ข้อมูลชุดหน่งึ ประกอบดว้ ย 7 , 2 , 4 , 9 , 5 , 6 , 4 , 6 , 3 , 4
จงหาคา่ ของ | − | เมอ่ื แทน คา่ เฉล่ยี เลขคณติ และ แทน ฐานนิยมของขอ้ มลู ชุดน้ี

วธิ ที า

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62

ข้อ 2. ข้อมลู ชดุ หน่ึงเมือ่ เรียงข้อมูลจากนอ้ ยไปหามากจะได้ 1 , 2 , 16 , 4 , 5 ตามลาดบั โดยขอ้ มูลชุดนี้
มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 17 มีฐานนิยมเท่ากับ 15 และมีผลต่างระหว่างข้อมูลค่ามากท่สี ดุ กับค่านอ้ ยท่ีสดุ เป็น 5 จงหา
ข้อมูลทงั้ หมดของขอ้ มูลชดุ นี้
วิธที า

วอยา่ งท่ี อายุ (ป)ี ของนักเรียนท่ีมาเขา้ ค่ายคณติ ศาสตร์จานวน 15 คนแสดงได้ดงั น้ี

5 8 7 6 7 8 12 11
10 11 8 6 8 7 8

จงหาฐานนิยม ( ) ของขอ้ มลู ชดุ นี้
วิธีทา

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63

ตวั อยา่ งท่ี 31 เงินเดอื น (บาท) ของพนกั งานแผนกหนึ่งใน บรษิ ทั แห่งหนง่ึ จานวนท้งั หมด 7 คนแสดงได้ดังนี้

15,300 16,600 13,400 15,300 14,400 15,300 71,000

จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนยิ ม ( ) ของข้อมูลชุดนแ้ี ละพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใด
เป็นตัวแทนของข้อมูลชดุ นพี้ ร้อมทงั้ ให้เหตุผลประกอบ
วธิ ีทา

ตวั อย่างที่ 32 นักเรยี นคนหน่งึ ไดค้ ะแนนสอบยอ่ ยวชิ าคณิตศาสตร์จานวน 5 ครง้ั ซึ่งแตล่ ะครั้งมีคะแนนเต็มเทา่ กันดงั น้ี

17 17 17 19 20

จงพิจารณาว่าควรใชค้ ่ากลางใดเปน็ ตวั แทนของขอ้ มูลชดุ นพ้ี รอ้ มท้ังใหเ้ หตผุ ลประกอบ
วิธที า

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64

ข้อสังเกตท่ีสาคญั เก่ียวกับคา่ กลางชนดิ ต่าง ๆ

1. ฐานนิยมจะมีค่าตรงกับค่าใดคา่ หนง่ึ ของข้อมลู ชดุ นน้ั ในขณะทค่ี า่ เฉลีย่ เลขคณิตและมัธยฐานอาจไม่ใชค่ า่ ใดค่า
หน่ึงของข้อมลู ชดุ นน้ั

2. โดยปกติคา่ เฉลี่ยเลขคณิตมกั เป็นคา่ กลางท่ีนิยมมากทส่ี ดุ แตถ่ ้าชดุ ขอ้ มูลมีขอ้ มลู ท่ีแตกต่างจากขอ้ มลู ตัวอ่ืนมาก
จะมีผลต่อค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลชุดนี้ แตจ่ ะไมม่ ีผลตอ่ มัธยฐานและฐานนยิ ม

3. สาหรับข้อมูลเชิงคุณภาพจะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่าน้ันไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และมธั ยฐานได้

4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมธั ยฐานและฐานนยิ มไม่จาเป็นตอ้ งมีค่าเท่ากันทั้งนีค้ ่าเฉล่ียเลขคณิตและมัธยฐานจะมคี ่าทไ่ี ม่
สงู หรือต่าเกินไปเมอ่ื เทยี บกบั คา่ ของข้อมลู ท้งั หมดในขณะท่ฐี านนิยมอาจเป็นคา่ สงู สดุ หรือคา่ ตา่ สุดของชดุ ขอ้ มูลนั้นได้

การพิจารณาเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูลไม่มีกฎเกณฑ์ท่ีแน่ชัด แต่ควรเลือกให้เหมาะสมกับวัตถุประสงค์ในการ
นาไปใช้และลักษณะของข้อมูลรวมทั้งต้องพิจารณาข้อดีและข้อเสียของค่ากลางแต่ละชนิดหากเลือกใช้ค่ากลางท่ีไม่
เหมาะสมอาจทาให้สรปุ ผลหรอื ตดั สนิ ใจผิดพลาดได้

3.3.1.6 ความสมั พันธร์ ะหวา่ งการกระจายของข้อมูลและค่ากลางของขอ้ มูล

การอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลนอกจากจะวิเคราะห์โดยใช้แผนภาพกล่องตามท่ีได้ศึกษาในหัวข้อ 3.2
แล้วยังสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตมัธยฐานและฐานนิยมในท่ีนี้จะแบ่ งลักษณะการ
กระจายของข้อมูลเปน็ 3 แบบดงั นี้

แบบที่ 1. การแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution)

ค่าเฉลย่ี เลขคณิต = มัธยฐาน = ฐานนยิ ม

1 2 3

รูปที่ 4
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 4 เรียกว่าการแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution) และ
จากรูปที่ 4 จะได้ความสมั พันธข์ องค่ากลางของข้อมูลดงั น้ี

ค่าเฉล่ียเลขคณติ = มัธยฐาน = ฐานนิยม
จะเห็นว่าข้อมูลทม่ี ีความถ่ีสงู สดุ จะอยู่ตรงกลางและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเมื่อข้อมูลมีค่าห่างจากมัธยฐาน เม่ือ
พิจารณาจากแผนภาพกลอ่ งจะเหน็ ว่าความกว้างของช่วงจาก 1 ถงึ 2 เทา่ กับความกว้างของช่วงจาก 2 ถงึ 3

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65

แบบที่ 2. การแจกแจงเบ้ขวา ขวา (right-skewed distribution)

ฐานนยิ ม < มัธยฐาน < ค่าเฉลี่ยเลขคณติ

1 2 3

รูปท่ี 5
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 5 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ขวา (right-skewed distribution) โดยมี
ความสัมพนั ธข์ องค่ากลางของข้อมลู ดังน้ี

ฐานนยิ ม < มัธยฐาน < คา่ เฉลยี่ เลขคณิต
จะเห็นว่าข้อมูลท่ีมีค่าน้อยจะมีความถี่สูงและความถี่ของข้อมูลจะลดลงเม่ือค่าของข้อมูลเพิ่มขึ้นเมื่อพิจารณาจาก
แผนภาพกล่องจะเหน็ ว่าความกว้างของชว่ งจาก 1 ถึง 2 น้อยกวา่ ความกว้างของช่วงจาก 2 ถงึ 3

แบบที่ 3. การแจกแจงเบซ้ า้ ย (left-skewed distribution)

ค่าเฉลี่ยเลข < มธั ยฐาน < ฐานนิยมคณิต

1 2 3

รปู ที่ 6
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปที่ 6 เรียกว่าการแจกแจงเบ้ซ้าย (left-skewed distribution) โดยมี
ความสัมพันธข์ องคา่ กลางของขอ้ มูลดงั น้ี

ค่าเฉลยี่ เลขคณติ <มธั ยฐาน<ฐานนยิ ม
จะเห็นว่าข้อมูลที่มีค่ามากจะมีความถ่ีสูงและความถี่ของข้อมูลจะลดลงเมื่อค่าของข้อมูลลดลงเมื่อพิจารณาจาก
แผนภาพกล่องจะเหน็ ว่าความกว้างของช่วงจาก 1 ถงึ 2 มากกว่าความกวา้ งของชว่ งจาก 2 ถึง 3

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66

การแจกแจงเบ้ซ้าย การแจกแจงสมมาตร การแจกแจงเบ้ขวา

< < = = < <

ถงึ แม้ค่ากลางของข้อมูลจะสามารถใชใ้ นการบอกลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู แต่กย็ งั ไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ ขอ้ มูล
มีการกระจายมากหรือนอ้ ย ในหัวข้อต่อไปนักเรียนจะได้ศึกษาค่าท่ีใช้ในการพิจารณาว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรือนอ้ ย
เพียงใด

แบบฝกึ หดั 3.3.1 เร่อื ง ค่ากลางของข้อมลู

1. จากการสุ่มเก็บข้อมูลค่าจ้างรายวัน (บาท) ของพนักงานชัว่ คราวของร้านสะดวกซ้ือ 2 แห่ง เป็นเวลา 10 วัน ในเดือน
มกราคม พ.ศ. 2562 แสดงไดด้ งั นี้

ร้านที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
รา้ นที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
1.1) จงหาค่าเฉล่ียเลขคณติ ( ) มธั ยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของค่าจ้างรายวนั ของพนกั งานแตล่ ะรา้ น
1.1.1) จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ( )
รา้ นที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านท่ี 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ีทา

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67

1.1.2) มธั ยฐาน ( )
ร้านที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วิธีทา

1.1.3) ฐานนิยม ( )
ร้านท่ี 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375
ร้านที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280
วธิ ีทา

1.2) นกั เรียนจะเลอื กทางานทร่ี ้านใดเพราะเหตุใด
ตอบ

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68

2. ธนาคารแหง่ หนง่ึ สารวจระยะเวลา (นาท)ี ทลี่ ูกค้าใช้ในการทาธรุ กรรมทีธ่ นาคารไดผ้ ลสารวจดงั นี้

14 13 17 15 15 14 15 28 18
17 11 9 13 16 18 15 14 16
7 16 11 12 19 27 14 12 19

จงหา
2.1) ค่านอกเกณฑ์ของขอ้ มูลชดุ น้ี
2.2) ค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( ) ของข้อมูลชุดนี้
2.3) คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ( ) ของระยะเวลาทล่ี กู คา้ ใชใ้ นการทาธรุ กรรมท่ธี นาคารแห่งนีโ้ ดยไม่รวมคา่ นอกเกณฑ์
2.4) คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ( ) ทไ่ี ด้จากข้อ 2.2) และ 2.3) แตกตา่ งกันมากหรือไม่เพราะเหตุใด

วิธีทา :

2.1) ค่านอกเกณฑ์ของขอ้ มลู ชดุ นี้

หาคา่ ตา่ สุด ( ) ของข้อมลู คอื2.1.1)
.......................................................................................

หาค่าสูงสดุ ( ) ของข้อมูล คอื .......................................................................................

2.1.2) หา 1 , 2 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทล์ท่ี = ( +1) ดังน้ี
4

อยู่ในตาแหน่งที่2.1.2.1) 1 ....................................................................................................................................................................................................

ดงั นัน้ คา่ ของ 1 = .................................................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหน่งท่ี2.1.2.2) 2 ...............................................................................................................................................................................................

ดังนน้ั คา่ ของ 2 = ................................................................................................................................................................................................................................

อยใู่ นตาแหน่งที่2.1.2.3) 3 ................................................................................................................................................................................................

ดังน้นั คา่ ของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................
2.1.3) หาค่านอกเกณฑ์

หาค่า2.1.3.1) 1 − 1.5( 3 − 1) = ..............................................................................................................................................................

หาคา่2.1.3.2) 3 + 1.5( 3 − 1) = ................................................................................................................................................................

จะพบวา่ มีขอ้ มลู ทน่ี อ้ ยกวา่ ไดแ้ ก่ 1 − 1.5( 3 − 1) .........................................................................................................................................................................

และ มีข้อมูลท่ีมากกว่า ไดแ้ ก่ 3 + 1.5( 3 − 1) .........................................................................................................................................................................

ดงั นนั้ คา่ นอกเกณฑ์ของข้อมลู ชุดน้ี ไดแ้ ก่ ..................................................................................................................................................................................................................

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69

2.1.4) ขียนแผนภาพกลอ่ ง (Box plot) เพื่อนาเสนอข้อมูลชุดน้ี

2.2) ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ( ) ของข้อมูลชดุ นี้
2.3) คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ( ) ของระยะเวลาทล่ี ูกคา้ ใช้ในการทาธรุ กรรมท่ธี นาคารแหง่ นโ้ี ดยไมร่ วมคา่ นอกเกณฑ์

2.4) คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ( ) ทีไ่ ด้จากขอ้ 2.2) และ 2.3) แตกตา่ งกันมากหรือไมเ่ พราะเหตุใด

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70

3. วชิ าคณติ ศาสตรม์ ีการสอบ 3 ครั้ง เปน็ การสอบยอ่ ย 2 คร้งั และสอบปลายภาค 1 ครัง้ โดยคะแนนสอบยอ่ ยแต่ละคร้งั
คิดเป็นร้อยละ 15 ของคะแนนทั้งหมด และคะแนนสอบปลายภาคคิดเป็นร้อยละ 70 ของคะแนนทั้งหมดถ้านักเรียนคน
หนึ่งไดค้ ะแนนสอบยอ่ ย 2 ครัง้ เป็น 74 และ 80 คะแนน และได้คะแนน สอบปลายภาค 62 คะแนนโดยแต่ละครั้งมี

คะแนนเตม็ 100 คะแนนจงหาคะแนนเฉลี่ยวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นคนน้ี
วิธีทา

4. ในการสมัครเข้ารับการคัดเลือกเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยแห่งหน่ึงผู้สมัครต้องย่ืนจดหมายรับรอง จานวน 3 ฉบับ
เพ่ือประกอบการพิจารณาถ้าค่าเฉลยี่ เลขคณิตมธั ยฐานและฐานนิยมของจานวนจดหมาย รับรองของผู้สมัครจานวน 148
คน คือ 2 , 9 , 3 และ 3 ฉบับตามลาดับจงใชค้ ่ากลางดังกล่าว ในการอธิบายความหมายของจานวนจดหมายรับรองของ

ผสู้ มัครท้ัง 148 คน
วิธที า

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71

5. ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียน 3 คนคือ 38 กิโลกรัม และนักเรียนหน่ึงคนในกลุ่มนี้หนัก 45 กิโลกรัม
สว่ นอีกสองคนทีเ่ หลอื หนักเทา่ กนั จงหาวา่ นักเรียนสองคนที่เหลอื หนกั คนละกี่กิโลกรัม
วิธีทา

6. ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ มี 7 ตวั และมคี ่าเฉลยี่ เลขคณติ คือ 81 ถ้าตดั ขอ้ มูลออกไป 1 ตัว แลว้ ทาให้ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มูลชุด
นีเ้ หลอื 78 จงหาว่าข้อมูลทีถ่ กู ตดั ออกไปมคี ่าเท่าใด
วิธีทา

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72

7. วิชาคณติ ศาสตร์มีการสอบยอ่ ยท้งั หมด 5 คร้ังแต่ละครั้งมคี ะแนนเตม็ เทา่ กันถา้ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม
ของคะแนนสอบย่อยทั้งห้าครั้งของน้อยหนา่ คือ 86 , 87 และ 80 คะแนน ตามลาดับ จงหาคะแนนสอบย่อยทีส่ ูงทีส่ ดุ ท่ี
เป็นไปไดข้ องน้อยหน่า ถา้ คะแนนสอบทัง้ หา้ ครง้ั ของน้อยหนา่ เปน็ จานวนเตม็
วธิ ที า

8. นกั สตั ววิทยาคนหนง่ึ สารวจจานวนการตายและการเกิดของไก่ปา่ ชนดิ หนงึ่ ในพน้ื ท่สี ารวจ 14 พ้ืนทีใ่ นเดอื นพฤษภาคม

พ.ศ. 2562 ได้ผลสารวจดงั น้ี

พื้นทส่ี ารวจ จานวนการตายของไกป่ ่า ( : ตัว) จานวนการเกดิ ของไก่ป่า ( : ตวั )

15 30

20 28

30 38

48 34

59 26

67 40

72 48

86 46

94 32

10 0 31

11 2 46

12 10 132

13 3 42

14 5 126

รวม ∑1 =41 = ∑ 1 =41 =

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73

8.1) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของจานวนการตายของไก่ป่าในพื้นท่ี
สารวจท้งั 14 พนื้ ทแี่ ละพจิ ารณาว่าค่ากลางใดไมค่ วรเปน็ ตัวแทนของจานวนการตายของไกป่ ่าในพ้ืนทส่ี ารวจทง้ั 14 พ้นื ที่
พรอ้ มทง้ั ใหเ้ หตุผลประกอบ
วิธีทา

ตาแหนง่ ที่ พ้ืนท่สี ารวจ จานวนการตายของไกป่ ่า ( : ตัว)
รวม
1 ∑ 1 =41 =
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74

8.2) จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( ) มัธยฐาน ( ) และฐานนิยม ( ) ของจานวนการเกดิ ของไกป่ ่าในพื้นท่สี ารวจ
ท้ัง 14 พื้นท่ีและพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใดเป็นตวั แทนของจานวนการเกิดของไก่ป่าในพ้ืนที่สารวจท้งั 14 พื้นที่พรอ้ ม
ทงั้ ใหเ้ หตผุ ลประกอบ
วิธีทา

ตาแหน่งท่ี พนื้ ทสี่ ารวจ จานวนการเกิดของไก่ป่า ( : ตวั )
รวม
1 ∑ 1 =41 =
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75

3.3.2 คา่ วัดการกระจาย

การทราบเพยี งคา่ กลางของข้อมลู ไม่เพียงพอทจี่ ะบอกวา่ ข้อมูลมีการกระจายมากหรือนอ้ ย เนือ่ งจากค่ากลางแต่ละ

ชนดิ มิไดบ้ อกใหท้ ราบวา่ ข้อมูลแตล่ ะค่าห่างกันมากหรอื นอ้ ยเพียงใด ขอ้ มูลสว่ นใหญร่ วมกลมุ่ กนั หรอื กระจายกันออกไป

หอ้ ง 1 ห้อง 2

คะแนนเฉลี่ย ( ) 67 67

คะแนนสงู สุด ( ) 72 97
คะแนนต่าสดุ ( ) 62 25
ผลต่าง ( − ) 10 72

สมมติว่าในการสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรียนสองห้องซึ่งใช้ข้อสอบชุดเดียวกัน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ
เทา่ กนั คือ 67 คะแนน ห้องแรกมีคะแนนสงู สดุ 72 คะแนน และคะแนนตา่ สุด 62 คะแนน ส่วนหอ้ งทสี่ องมีคะแนนสงู สุด 97
คะแนนและคะแนนต่าสุด 25 คะแนน จะเห็นว่าคะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุดของห้องแรกต่างกันเพียง 10 คะแนน แต่
คะแนนสงู สุดและคะแนนต่าสุดของห้องท่ีสองตา่ งกันถงึ 72 คะแนน

แสดงว่าคะแนนของหอ้ งท่ีสองมีการกระจายมากกวา่ ห้องแรกมาก ซึ่งอาจกล่าวได้ว่านักเรียนห้องแรกส่วนใหญ่สอบได้
คะแนนใกล้เคียงกัน แต่นักเรียนห้องที่สองสอบได้คะแนนแตกต่างกนั มาก ต่อไปน้ีนักเรียนได้ศึกษาค่าวัดทางสถิติท่ีจะช่วยให้
เห็นลักษณะของข้อมูลชัดเจนขน้ึ และสามารถวเิ คราะหเ์ ก่ียวกบั ขอ้ มลู นน้ั ได้มากขึ้น

จากการศกึ ษา เรื่องการหาคา่ กลางของขอ้ มูลเราพบว่ามีวิธกี ารหาค่าได้มากมาย ทั้งค่าเฉล่ียเลขคณิต ค่ามัธยฐาน ฐาน
นิยม ค่าเฉล่ียฮาร์มอนิค ค่าเฉล่ียเรขาคณติ และค่าก่ึงกลางพิสัย ค่ากลางเหล่าน้ีเราสามารถพิจารณาเลือกใช้ให้เหมาะสมตาม
ลักษณะของขอ้ มูลท่ีเราต้องการได้ แต่การหาค่ากลางหรือค่าเฉล่ยี ที่ได้จากค่าสังเกตหรือข้อมูลย่อยๆ เหล่านั้นอาจมีคา่ เท่ากัน
หรือใกล้เคยี งกัน แต่ก็ไม่ได้หมายความวา่ ขอ้ มูลเหล่านั้นเหมือนกัน หรือใกล้เคียงกันทุกประการ เพื่อท่ีจะต้องการวิเคราะห์วา่
ข้อมลู ชุดเหล่านัน้ มีความเหมอื นกันหรอื แตกต่างกันมากน้อยแคไ่ หน จึงทาให้เราต้องศึกษาเพิ่มเติมอกี ว่าถ้าค่าของข้อมูลแต่ละ
ตัวไมแ่ ตกตา่ งกนั มาก กแ็ สดงว่าขอ้ มูลมกี ารเกาะกลุ่ม มีคา่ ใกล้เคียงกัน มีคา่ คลาดเคล่ือนน้อย แต่ถ้าข้อมลู แตล่ ะตวั แตกตา่ งกัน
มาก แสดงว่าข้อมูลไม่มีการเกาะกลุ่ม มีค่าคลาดเคลื่อนระหว่างข้อมูลชุดเหล่านั้นมาก เรานี้เราจะหาสถิติตัวใดมาวัดเพ่ิมเติม
เพื่อวิเคราะห์ควบคไู่ ปพรอ้ มๆ กับการหาค่ากลางของข้อมลู เหล่านค้ี ือแนวคิดท่จี ะมาวัดความแตกต่าง ความคลาดเคลอื่ นของ
ข้อมูล ท่ีเราเรียกว่า “การวดั การกระจายของข้อมลู ” ดว้ ยแนวคิดท่ีวา่ ถา้ ค่าวดั การกระจายทคี่ านวณมีคา่ มาก ไดบ้ ่งช้ีว่าขอ้ มูล
มูลนั้นมีการกระจายมากหรือแตกต่างกันมาก ไม่เกาะกลุ่มหรือไม่เป็นไปในทิศทางเดียวกัน และข้อมูลเหล่าน้ันก็มีค่า
คลาดเคลื่อนมากด้วย ในขณะเดียวกัน ถ้าค่าวัดการกระจายที่คานวณมีค่าน้อย ได้บ่งช้ีว่าข้อมูลมูลนั้นมีการกระจายน้อยหรือ
แตกต่างกันน้อย ข้อมูลเกาะกลุ่มหรือเป็นไปในทิศทางเดียวกัน และข้อมูลเหล่าน้ันก็มีค่าคลาดเคล่ือนน้อยด้วย นักสถิติได้
คิดค้นวธิ ีวัดการกระจายจากการวิเคราะหห์ าค่ากลางชนดิ ตา่ งๆ ได้ 2 กลุม่ ใหญๆ่ และแบ่งเปน็ วธิ ียอ่ ยไดด้ งั นี้

1. การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Variation) ประกอบด้วย
1.1) พิสยั (Range : R)
1.2) สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quatiles deviation : Q.D.)
1.3) ส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย (Mean deviation or Average deviation : M.D.)
1.4) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s ; S.D.)
1.5) ความแปรปรวน (Variance : s2 ; (S.D.)2)

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76

2. การวดั การกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) ประกอบด้วย
2.1) สัมประสทิ ธิข์ องพสิ ัย (Coefficient of Range : C.R.)
2.2) สมั ประสทิ ธขิ์ องส่วนเบ่ยึ งเบนควอไทล์ (Coefficient of quatiles deviation : C.Q.)
2.3) สัมประสทิ ธิ์ของส่วนเบยี่ งเบนเฉลยี่ (Coefficient of mean deviation : C.M.)
2.4) สัมประสทิ ธิ์ของการแปรผนั (Coefficient of Variance : C.V.)

ซีง่ ในระดบั ชั้นนี้ ตามหลักสตู รการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน ฉบับปรับปรงุ พุทธศักราช 2560 ใหน้ ักเรียนศกึ ษา เพียง 5
เรอื่ ง จาก 2 วธิ ีวัดการกระจาย ดังน้ี

1. การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติท่ีมี
หน่วยเช่นเดียวกับข้อมูลหรือเป็นกาลังสองของหน่วยของข้อมูลเพื่อใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมาก
หรอื น้อยเพียงใดในที่น้ีจะศึกษาค่าวดั การกระจายสมั บูรณ์ 4 ชนิด คอื

1.1) พสิ ัย (Range : R)

1.2) พสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ (interquartile range : IQR)
1.3) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s ; S.D. )
1.4) ความแปรปรวน (Variance : s2 ; (S.D.)2 )

2. การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่ไม่มี
หน่วยซึง่ เป็นค่าทีใ่ ช้ในการเปรยี บเทียบการกระจายระหวา่ งข้อมลู มากกว่า 1 ชุด ในทีน่ ้จี ะศกึ ษาคา่ วัดการกระจายสัมพัทธ์
เพียงชนิดเดยี ว คือ สมั ประสิทธ์ิการแปรผัน (Coefficient of Variance : C.V.)

3.3.2.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation)

การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Variation) คือ การวัดการกระจายของขอ้ มูลเพยี งชดุ เดยี ว กลุ่มเดียว
เพื่อดวู ่าค่าสังเกต (หรือข้อมูล) มีความแตกต่างกนั มากนอ้ ยเพียงใด ประกอบดว้ ย

3.3.2.1.1 พสิ ัย (Range : R)

การวดั การกระจายของข้อมลู โดยใชพ้ ิสยั เป็นการวัดการกระจายของข้อมลู อย่างครา่ วๆ
พิสัย (Range) ของข้อมูล คือ คา่ ท่ีได้จากการวัดกระกระจายของข้อมูลที่ได้จากผลตา่ งระหวา่ ง

คา่ สังเกตสงู สดุ กบั ค่าสงั เกตต่าสดุ ของข้อมลู ชดุ หน่ึงๆ
ซึง่ มีสูตร ดังน้ี

1) พสิ ยั ของขอ้ มูลที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ (Ungroup data)
พิสัย (Range : R) = (1) − ……………….…………....
เมือ่ เปน็ คา่ สูงสดุ (Maximum) ของข้อมลู ทัง้ หมด
เป็น คา่ ตา่ สุด (Minimum) ของข้อมลู ทั้งหมด

2) พิสัยของข้อมูลทแี่ จกแจงความถี่ (Group data)
พิสัย (Range : R) = (2) − ………………………………………..……....
เม่ือ L เปน็ ขอบล่าง (Lower boundary) ของอันตรภาคชัน้ ทมี่ คี ่าต่าสุด
U เป็น ขอบบน (Upper boundary) ของอันตรภาคชนั้ ท่ีมีค่าสูงสดุ

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77

ตัวอย่างท่ี 33 ผลผลติ นา้ ตาลใน พ.ศ. 2561/62 ของจีนสหรฐั อเมริกาไทยอนิ เดยี ออสเตรเลียและบราซลิ แสดงได้ดังน้ี

ประเทศ จนี สหรฐั อเมรกิ า ไทย อนิ เดีย ออสเตรเลยี บราซลิ

ผลผลิต (ล้านตนั ) 10.60 8.12 14.19 33.07 4.90 29.50

จงหาพสิ ัย (Rang : R) ของข้อมูลชุดน้ี
วธิ ีทา

ข้อดีของการใช้พิสยั ในการวดั การกระจายของข้อมลู คอื สามารถหาไดส้ ะดวก แตก่ ารวดั การกระจายของข้อมูลโดย
ใช้พสิ ัยเปน็ การวดั การกระจายของข้อมลู อยา่ งคร่าว ๆ เพราะพสิ ยั คานวณจากข้อมูลเพียงสองคา่ เท่านัน้ คือคา่ สูงสุดและ
ค่าต่าสุดไม่ได้ใช้ข้อมูลอ่ืน ๆ ในการคานวณเลย ดังนั้นการใช้พิสัยในการวัดการกระจายของข้อมูลอาจให้ข้อสรุปที่
คลาดเคล่ือนในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอ่ืนมาก เช่น คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของ
นกั เรยี นจานวน 10 คน เป็นดงั น้ี

10 70 71 72 73 74 75 76 77 100

จะเห็นว่านักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนใกล้เคียงกันโดยมีค่าตั้งแต่ 70 ถึง 77 คะแนนยกเว้นที่ได้คะแนนสูงสดุ และ
ต่าสุด แต่พิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 100 – 10 = 90 คะแนน ทาให้อาจเข้าใจว่านักเรียนได้คะแนนแตกต่างกันมากซ่ึง
คลาดเคลอื่ นไปจากความเป็นจรงิ

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น เรื่อง การวดั การกระจายของข้อมลู โดยใชพ้ สิ ัย (Range : R)

ตวั อย่างที่ 34 นักเรยี นกลุ่มหนง่ึ มนี ้าหนัก 55 , 43 , 71 , 58 , 52 , 56 กโิ ลกรัม
จงหาพสิ ยั (Rang) ของนา้ หนัก

วิธีทา

ตัวอยา่ งท่ี 35 จงหาพิสัยของคะแนนเกบ็ จาการสอบวชิ าสถติ ิคะแนนเต็ม 30 คะแนนของนกั เรียน ม.6 ห้องหนงึ่

จากตารางแจกแจงความถต่ี อ่ ไปนี้

คะแนน 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29

ความถ่ี 12 14 18 10 6

วธิ ที า

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78

3.3.2.1.2 พิสยั ระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range : IQR)

พิสยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (interquartile range) คอื ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยคานวณจากผลตา่ ง
ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ทส่ี ามและควอร์ไทล์ทีห่ นึ่งเขยี นแทนพสิ ัยระหวา่ งควอรไ์ ทล์ด้วย IQR

ให้ และ เป็นควอรไ์ ทลท์ ห่ี นง่ึ และควอรไ์ ทลท์ ่สี ามของขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ ตามลาดบั จะได้

= −

การวัดการกระจายสัมบูรณ์โดยใช้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ มีข้อดีในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลท่ีแตกต่างจากข้อมูลตัว

อื่นมากเน่ืองจากการคานวณหาพสิ ัยระหว่างควอร์ไทล์จะใช้เพียง 1 และ 3 เท่าน้ัน ส่วนข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมลู ตัว
อื่นมากจะมคี า่ น้อยกวา่ 1 หรอื มากกว่า 3

นอกจากนี้ IQR สามารถนาไปใช้ในการตรวจสอบว่าข้อมูลใดเป็นค่านอกเกณฑ์ดังที่ได้นาเสนอไว้ในหัวข้อ 3.2

เร่อื งแผนภาพกล่องนนั่ คอื ค่านอกเกณฑ์ คอื

ขอ้ มลู ทมี่ คี ่านอ้ ยกว่า 1 − 1.5 หรือ ขอ้ มลู ทม่ี ีค่ามากกว่า 3 + 1.5 เช่น
ตัวอยา่ งท่ี 36 ขอ้ มลู การสอบคณิตศาสตรม์ คี ะแนนของนักเรียน แสดงดว้ ยแผนภาพ ตน้ – ใบ ดังน้ี

07
23378
3234445
4002
99

จงหา 3 , 1 และ พสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทลด์ ว้ ย IQR

วธิ ีทา จากแผนภาพ ต้น – ใบ หาค่าต่าสดุ ค่าสงู สุด และ ตาแหนง่ ท่ีของแตล่ ะข้อมลู จะได้

07 → ตาแหนง่ ท่ี 1

23378 → ตาแหนง่ ที่ 2 3 4 5

3 2 3 4 4 4 5 → ตาแหนง่ ที่ 6 7 8 9 10 11

4002 → ตาแหน่งที่ 12 13 14

99 → ตาแหนง่ ที่ 15

( ) ( )36.1) หาคา่ ต่าสุด
ของขอ้ มลู คอื หาคา่ สูงสดุ ของข้อมูล คอื............................................
............................................

36.2) หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ี่ = ( +1) ดงั น้ี
4
อยู่ในตาแหน่งท่ี36.2.1) 1
............................................................................................................................................................................................................................

ดังนน้ั คา่ ของ 1 = ............................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหนง่ ท่ี36.2.2) 3 ..........................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั คา่ ของ 3 = ...........................................................................................................................................................................................................
36.3) หาคา่ พสิ ยั ระหวา่ งควอร์ไทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ..............................................................................................................................................................................................................................................................

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79

ตัวอย่างท่ี 37 ปรมิ าณพลงั งาน (กโิ ลแคลอร)ี ของอาหารจานเดียว 7 รายการท่ีจาหน่ายในโรงอาหารของโรงเรยี นแหง่
หน่งึ แสดงไดด้ ังนี้

อาหารจานเดียว ปริมาณพลงั งาน (กโิ ลแคลอรี)

ข้าวราดแกงเขียวหวานไก่ 338
ขา้ วราดแกงไตปลา 319
ข้าวราดแกงส้มผักรวม 255
ราดผดั เผด็ หอยลาย 424
ขา้ วราดแกงพะแนงหมู 409
ข้าวราดแกงฉู่ฉ่ปี ลาทู 365
ข้าวราดผดั ผกั รวม 353

จงหาพิสยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ของข้อมลู ชดุ นี้

วิธที า 37.1) เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก

ตาแหน่งท่ี อาหารจานเดียว ปริมาณพลังงาน (กโิ ลแคลอรี)

1
2
3
4
5
6
7

37.2) หาพสิ ัยระหวา่ งควอร์ไทล์ของข้อมลู ชดุ นี้

หาคา่ ต่าสดุ ( ) ของขอ้ มลู คอื37.2.1)
..................................................................................................

หาค่าสงู สดุ ( ) ของข้อมูล คือ ....................................................................................................

37.2.2) หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหนง่ ควอไทลท์ ่ี = ( +1) ดังนี้
4

อยูใ่ นตาแหน่งที่37.2.2.1) 1 .....................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั คา่ ของ 1 = ....................................................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหนง่ ที่37.2.2.2) 3 ...............................................................................................................................................................................................................

ดงั นนั้ ค่าของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................
37.3) หาคา่ พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ...............................................................................................................................................................................................................................................................

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80

เมอื่ เปรยี บเทียบระหวา่ งพิสยั และพิสัยระหวา่ งควอรไ์ ทลจ์ ะเห็นวา่ พสิ ัยสามารถหาไดส้ ะดวก แตไ่ ม่เหมาะสาหรบั ใช้
วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอื่นมาก โดยเฉพาะอย่างย่ิงในกรณีท่ีชุด
ข้อมลู มีค่านอกเกณฑ์ในขณะท่พี ิสัยระหว่างควอร์ไทล์สามารถใช้วดั การกระจายของข้อมูลในลักษณะนีไ้ ด้ อย่างไรก็ตามท้ัง
พสิ ยั และพสิ ัยระหวา่ งควอร์ไทล์ไมไ่ ดใ้ ชข้ อ้ มูลทกุ ตวั ในการคานวณเพือ่ วัดการกระจาย

3.3.2.1.3 สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s , )

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : s) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยเป็นค่าทีบ่ อกให้
ทราบว่าขอ้ มลู แตล่ ะตัวอยูห่ ่างจากค่าเฉลย่ี เลขคณติ โดยเฉลี่ยประมาณเท่าใด

สูตรของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานมีดงั น้ี

1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมลู เมอื่ N แทนขนาดประชากร (population)
และให้ แทนค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลชุดนี้
ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร (population) เขียนแทนดว้ ย (อา่ นว่าซกิ มา) หาไดจ้ าก

= √∑ = 1( − )2 = √∑ = 1 2 − 2



2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทนขอ้ มูล เม่อื n แทนขนาดตัวอยา่ ง (sample)

และให้ ̄ แทนค่าเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลชุดน้ี

สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample) เขยี นแทนด้วย s หาไดจ้ าก

= √∑ =1( − ̄ )2 = √∑ =1 2 − ̄ 2
−1 −1

ตัวอยา่ งท่ี 38 ความสูง (เซนตเิ มตร) ของนกั วอลเลย์บอลหญงิ ของโรงเรยี นแห่งหนึง่ จานวนท้งั หมด 10 คนแสดงได้ดงั น้ี

174 171 170 184 180
179 169 178 181 160

จงหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน ( ) ของขอ้ มูลชุดน้ี

วธิ ที า ให้ แทน คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลู ชุดนี้ และ จานวนข้อมลู

และ แทน ความสงู ของนกั วอลเลย์บอลหญิงคนที่ เม่อื ∈ {1 , 2 , 3 , . .. , 10} จากข้อมลู ข้างต้นจะได้

ความสงู ( : เซนติเมตร) − ( − )2
∑ 1 =010( − )2 =
160
169
170
171
174
178
179
180
181
184
∑ 1 =01 =

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81

จะได้ความสูงเฉล่ยี = ∑ 1 =01
10
=. .

= .............................................................

ดังน้นั ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) ของข้อมูลชดุ น้ี คอื ..................................................................................................................... เซนตเิ มตร

ดงั น้นั = √∑ = 1( − )2 = ............................................................................................................................................. .........................................................................



นนั่ คอื ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน ( ) ของข้อมลู ชดุ นมี้ ีค่าประมาณ เซนติเมตร.........................................................................

จากตัวอย่างข้างต้นสามารถนาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาใช้ในการอธิบายว่า โดยเฉล่ียแล้วความสูงของนัก
วอลเลยบ์ อลหญงิ แตล่ ะคนของโรงเรยี นแห่งน้ีต่างจากความสูงเฉลี่ยประมาณ เซนติเมตร............................................................. ∎

3.3.2.1.4) ความแปรปรวน (variance ; , )

ความแปรปรวน (variance) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยคานวณจากกาลังสองของส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐาน จะได้สตู รของความแปรปรวน ดังน้ี

1) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทน ข้อมูล เมอ่ื N แทนขนาดประชากร (populatin)
และให้ แทนคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของข้อมูลชดุ นี้

ความแปรปรวนวนของประชากร (population) เขยี นแทนด้วย 2 หาไดจ้ าก

= 2 ∑ = 1( − )2 = ∑ = 1 2 − 2



2) ให้ 1 , 2 , 3 , . . . , แทนข้อมลู เมื่อ n แทนขนาดตัวอย่าง (sample)
และให้ ̄ แทนค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมูลชดุ น้ี

ความแปรปรวนวนของตวั อยา่ ง (sample) เขยี นแทนดว้ ย 2 หาได้จาก

2 = =∑ =1( − ̄)2 ∑ =1 2 − ̄ 2
−1 −1

จากตัวอยา่ งท่ี 38 จะได้ว่าความแปรปรวนของความสงู ของนกั วอลเลย์บอลหญงิ จานวน 10 คน คือ
2 = ∑ = 1( − )2 = 468.40 = 46.84 เซนตเิ มตร2

10

ขอ้ สังเกต : ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานมหี น่วยเหมอื นกบั หน่วยของขอ้ มลู แต่ความแปรปรวนมีหนว่ ยเปน็ กาลงั สองของหน่วย
ของขอ้ มูล

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82

ตัวอย่างที่ 39 ในการศึกษาอายุขัยเฉล่ีย (ปี) ของสัตว์เล้ียงลูกด้วยน้านมนักวิทยาศาสตร์ได้สุ่มตัวอย่างสัตว์เลี้ยงลูกด้วย
นา้ นมมา 10 ชนดิ พบว่าอายขุ ยั เฉลย่ี ของสัตว์แตล่ ะชนดิ เปน็ ดงั นี้

สตั วเ์ ล้ยี งลกู ด้วยนา้ นม อายุขยั เฉลยี่ (ป)ี
แมว
วัว 12
สุนัข 15
ลา 12
แพะ 12
8
หนตู ะเภา 4
มา้ 20
หมู 10
5
กระต่าย 12
แกะ

จงหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายขุ ยั เฉล่ียของสตั ว์เล้ยี งลูกดว้ ยนา้ นม 10 ชนิดน้ี

วิธีทา ให้ แทน อายุขัยเฉลีย่ ของสตั วเ์ ลี้ยงลกู ดว้ ยนา้ นมชนดิ ที่ เมอ่ื ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 10}
และ ̄ แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายขุ ยั เฉล่ียของสัตว์เลย้ี งลูกด้วยนา้ นม 10 ชนิดน้ี จะได้ = 10

จะสรา้ งตารางประกอบการคานวณ โดยการเรียงอายขุ นั เฉลย่ี จากน้อยไปหามาก

สัตวเ์ ลี้ยงลกู ดว้ ยนา้ นม อายขุ ยั เฉลย่ี ; ปี − ( − )2
หนตู ะเภา
กระตา่ ย 4 ∑1 =010( − )2 =
แพะ 5
หมู 8
สุนขั 10
ลา 12
แมว 12
แกะ 12
ววั 12
มา้ 15
20

∑1 =01 = .

จะได้ อายุขัยเฉลย่ี = ∑1 =01 = . ปี 39.1. = ......................................................... ∎

10

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83

ดังนั้น สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน s = √∑ =1( − ̄)2
−1

= .........................................................

ปี 39.2= ......................................................... ∎

และ ความแปรปรวน s2 = ∑ =1( − ̄)2

−1

= .........................................................

ปี 39.3= .........................................................2 ∎

นัน่ คอื สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน ของอายุขยั เฉลี่ยของสตั วเ์ ล้ยี งลกู ด้วยน้านม 10 ชนิดนี้ มีคา่ ประมาณ ............................... ปี

และ ความแปรปรวน ของอายุขยั เฉล่ียของสัตวเ์ ลย้ี งลกู ด้วยน้านม 10 ชนิดนี้ มคี า่ ประมาณ ปี2 ∎
....................................................

3.3.2.2 การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation)

ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไปเพื่อพิจารณาว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมาก ข้อมูลชุดใดมีการ
กระจายน้อย ถ้านาค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ของข้อมูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกันโดยตรง อาจให้ข้อสรปุ ท่ี
คลาดเคลือ่ นไปจากความเป็นจริง เช่น ข้อมลู ชดุ หน่ึงมคี า่ ตัง้ แต่ 0 ถงึ 10 มีสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 2.2 และขอ้ มูลอีกชุด
หน่ึงมีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 60.5 ถ้าพิจารณาเฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้ง
สองชุดอาจทาให้เข้าใจว่าข้อมูลชุดที่หน่ึงมีการกระจายน้อยกว่าข้อมูลชุดที่สองซ่ึงอาจไม่ถูกต้องนัก เพราะค่าของข้อมูล
สองชุดนี้ต่างกันมากค่ากลางและค่าวัดการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดย่อมต่างกันมากเช่นกัน เพื่อให้การเปรียบเทียบมี
ความหมายจึงนิยมหาอัตราส่วนของกระจายสมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ๆ แล้วจึงนาอัตราส่วนท่ีหาได้มา

เปรยี บเทยี บกนั ในท่นี จ้ี ะพิจารณาเฉพาะสัมประสิทธิก์ ารแปรผัน (coefficient of variation) โดยมีสตู รดังนี้

สัมประสิทธิ์การแปรผนั ( . .) ของประชากร = เม่ือ ≠ 0
| |

สมั ประสิทธก์ิ ารแปรผัน ( . .) ของตวั อย่าง = | ̄ | เมอ่ื ̄ ≠ 0

สัมประสทิ ธิก์ ารแปรผนั อาจเขยี นในรปู เปอรเ์ ซ็นตไ์ ด้ดงั น้ี

สมั ประสิทธ์ิการแปรผนั ( . . %) ของประชากร = × 100% เมอ่ื ≠ 0
| |

สมั ประสทิ ธิ์การแปรผนั ( . . %) ของตัวอยา่ ง = × 100% เมอื่ ̄ ≠ 0
| ̄ |

เชน่ ขอ้ มลู ตวั อยา่ งชดุ หนง่ึ มี s = 10 และ ̄ = 12 จะไดส้ ัมประสทิ ธ์ิการแปรผนั ( . .) ของข้อมลู ชุดนี้คือ

( . .) = 10 = 0.33 หรือ ( . . %) = 10 × 100 = 33 %
12 12

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84

การเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมูลโดยใชส้ มั ประสิทธิ์การแปรผนั นน้ั ถ้าสมั ประสิทธ์ิการแปรผันของข้อมลู ชุดใด
มีค่ามากกวา่ หมายความวา่ ข้อมูลชุดนนั้ มีการกระจายออกจากคา่ เฉลย่ี เลขคณิตมากกวา่ หรือกล่าวไดว้ า่ ข้อมูลชุดนั้นเกาะ
กลุ่มกันน้อยกวา่ ข้อมลู อกี ชุดหน่งึ

ตัวอย่างที่ 40 ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมีคะแนน
เต็มวิชาละ 100 คะแนนครูประจาช้ันได้สุ่มตัวอย่างนักเรียนห้องน้ีมา 10 คน พบว่าคะแนนสอบแต่ละวิชาของนักเรียน
แต่ละคนเป็นดงั นี้

นกั เรยี นคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ 58 62 76 90 78 81 88 79 80 75

คะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ 78 74 63 89 76 75 85 90 73 74

จงหา สัมประสิทธกิ์ ารแปรผัน ของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สมุ่ ตวั อยา่ งมา
10 คนน้ี พรอ้ มทง้ั เปรียบเทยี บการกระจายของคะแนนสอบทงั้ สองวิชาของนกั เรียนท่ีสุ่มตวั อย่างมา 10 คนนี้

วิธที า 40.1 หาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ และ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน ของคะแนนสอบทัง้ สองวชิ า
โดยสรา้ งตารางประกอบวิธกี ารคานวณ

ให้ และ แทน คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์และวชิ าภาษาอังกฤษของนักเรยี นคนที่
เมื่อ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 10} ตามลาดบั ดงั นน้ั จานวนนกั เรียน = 10 คน

̄ และ ̄ แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สุ่ม
ตวั อย่างมา 10 คนนีต้ ามลาดบั

และ แทน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนท่ี
สมุ่ ตวั อยา่ งมา 10 คนนี้ ตามลาดับ

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ( ) − ( − )2

58 ∑1 =010( − )2 = .
62
76
90
78
81
88
79
80
75

∑ 1 =01 =

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85

และ

คะแนนสอบวิชาวทิ ยาศาสตร์ ( ) − ( − )2

78 ∑ 1 =010( − )2 = .
74
63
89
76
75
85
90
73
74

∑1 =01 =

จากตาราง จะได้ คะแนน. = ......................................................
40.1.1) คะแนนเฉล่ยี ของวิชาคณิตศาสตร์ ̄ = ∑ 1 =01 = .

10

40.1.2) คะแนนเฉลีย่ ของวชิ าวทิ ยาศาสตร์ ̄ = ∑ 1 =01 = . คะแนน. = ......................................................

10

40.1.3) ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ = √∑ =1( − ̄ )2 =. .

−1

คะแนน= ......................................................

40.1.4) ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ = √∑ =1( − ̄ )2 =. .

−1

คะแนน= ......................................................

40.2 หาสมั ประสิทธขิ์ องการแปรผนั ( . .) ของคะแนนสอบ

40.2.1) สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรียนที่สุ่มตัวอยา่ งมา 10 คนนี้

คือ = = . . = ........................................................
| ̄ |

40.2.2) สมั ประสิทธ์กิ ารแปรผนั ของคะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษของนกั เรยี นที่สมุ่ ตวั อยา่ งมา 10 คนนี้

คอื = = . . = ........................................................
| ̄ |

เม่ือพิจารณาจากนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนน้ีจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
เทา่ กบั ........................................................ และสัมประสิทธิก์ ารแปรผันของคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษ เทา่ กับ ........................................................

สรุปได้ว่าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการกระจาย ........................................................ คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ

หรือกล่าวได้ว่า คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ เกาะกลุ่มกัน ........................................................ คะแนนมากกว่าคะแนนสอบวิชา

คณติ ศาสตร์ ∎

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86

แบบฝกึ หัด 3.3.2 คา่ วดั การกระจายของขอ้ มูล

1. ร้านคา้ จาหนา่ ยและรบั ติดตัง้ ประตูอัตโนมัตแิ ห่งหนง่ึ เกบ็ ขอ้ มลู ตัวอย่างเก่ียวกบั เวลา (นาท)ี ที่ใชใ้ นการตดิ ต้ังประตูแต่

ละบานไดข้ ้อมูลดังน้ี

28 32 24 46 44 40 54 38 32 42 36

จงหา พิสัย พสิ ัยระหว่างควอรไ์ ทล์ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของเวลาทใี่ ช้ในการตดิ ต้งั ประตู

วธิ ที า 1.1 หาพสิ ยั (Range : R) ของข้อมูล

จากโจทย์ ค่าตา่ สดุ ( ) ของขอ้ มูล คอื ..................................... และคา่ สงู สุด ( ) ของขอ้ มูล คือ .....................................

ดังนน้ั พสิ ัย (Range : R) = −
= .....................................

= ..................................... นาที 1.1 ∎

1.2) หาคา่ พสิ ยั ระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) โดยเรยี งตาแหน่งทีข่ องขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก จะได้

ตาแหน่งทขี่ องขอ้ มลู 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

เวลาในการตดิ ตง้ั บานประตู (นาที)

หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ี่ = ( +1) ดงั นี้
4
อยใู่ นตาแหน่งท่ี1.2.1) 1
...................................................................................................................................................................... ........................................................

ดงั น้นั คา่ ของ 1 = .....................................................................................................................................................................................................

อยู่ในตาแหน่งท่ี1.2.2) 3 ..........................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั ค่าของ 3 = .....................................................................................................................................................................................................

1.2.3 หาค่าพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (IQR)

1.2IQR = 3 − 1 = ................................................................................................................................................................................................. ∎

1.3 หาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S)

เวลา ( : นาที) 2 − ( − )2
58

62

76

90

78

81

88

79

80

75

∑ 1 =01 = ∑ 1 =01 2 = ∑ 1 =010( − )2 = .

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87

1.3.2) จะได้ค่าเฉลย่ี เลขคณิต = ∑1 =41


=. .

= ……………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. . . ∎

1.3.2) จะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) [ สังเกตสตู รที่ใชแ้ ละค่าทีไ่ ด้ ]

= √∑ =1( − ̄)2 = ………………………………………………………………………… = √∑ =1 2 − ̄ 2 = …………………………………………………………………………

−1 −1

= ……………………………………………….………………………… = …………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………

................................................................................................................. . . ∎

1.4 หาความแปรปรวน ( )

= ∑ =1( − ̄ )2 = ………………………………………………………………………… = ∑ =1 2 − ̄ 2 = …………………………………………………………………………
−1 −1

= ………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………

................................................................................................................. . ∎

2. ปริมาณพลงั งาน (กโิ ลแคลอรี) ของอาหารจานเดยี ว 11 รายการทสี่ ุม่ ตวั อยา่ งมาจากโรงอาหารแห่งหน่งึ แสดงได้ดงั นี้

อาหารจานเดียว ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลอร)ี
หอยทอด
สุก้ีน้ารวมมิตร 933
ข้าวผดั หมู 117
ข้าวหมูแดง 553
ข้าวมันไก่ 444
เสน้ ใหญร่ าดหนา้ หมู 717
ข้าวหมกไก่ 337
ขา้ วคลกุ กะปิ 475
หมก่ี รอบราดหน้าทะเล 522
ผดั ไทยก้งุ สด 344
ขนมจีนแกงเขียวหวาน 519
337

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88

2.1) จงหาพสิ ัยและพสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวทส่ี ุ่มตัวอยา่ งมา 11 รายการนี้
2.2) จงพจิ ารณาว่าระหว่างพสิ ยั และพิสัยระหวา่ งควอร์ไทลค์ า่ วดั การกระจายสัมบรู ณใ์ ดเหมาะสาหรับใชอ้ ธิบาย

ลักษณะการกระจายของขอ้ มลู ชดุ น้ีพร้อมทั้งใหเ้ หตผุ ลประกอบ

วิธที า 2.1 หาพิสยั และพิสัยระหว่างควอรไ์ ทลข์ องปริมาณพลงั งานของอาหารจานเดียวท่ีสุ่มตวั อย่าง
2.1.1 หาพสิ ัย (Range : R) ของข้อมลู
จากโจทย์ คา่ ต่าสดุ ( ) ของขอ้ มลู คือ ..................................... และคา่ สงู สดุ ( ) ของขอ้ มูล คือ .....................................
ดังนัน้ พิสยั (Range : R) = −

= .................................................. นาที . . ∎
= ...................................................

2.1.2) หาค่าพสิ ยั ระหวา่ งควอร์ไทล์ (IQR) โดยเรียงตาแหนง่ ทขี่ องขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก และ n = 11 จะได้

ตาแหนง่ ท่ี อาหารจานเดียว ปรมิ าณพลังงาน (กโิ ลแคลอร)ี

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ี่ = ( +1) ดังนี้
4

อยใู่ นตาแหน่งท่ี2.1.2.1) 1 ...................................................................................................................................................................... ....................................................

ดังนนั้ คา่ ของ 1 = .........................................................................................................................................................................................................

อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี2.1.2.2) 3 .......................................................................................................................................................................................................................

ดงั นนั้ ค่าของ 3 = …….....................................................................................................................................................................................................

2.1.2.3 หาค่าพสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ............................................................................................................................................................................................. . . ∎

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89

2.2) จงพิจารณาวา่ ระหวา่ งพสิ ยั และพสิ ยั ระหว่างควอร์ไทล์ค่าวดั การกระจายสัมบูรณใ์ ดเหมาะสาหรบั ใชอ้ ธิบาย
ลกั ษณะการกระจายของข้อมลู ชุดนี้ พรอ้ มทง้ั ให้เหตผุ ลประกอบ

∎ ตอบ.

3. ครอบครัวหน่งึ ประกอบดว้ ยพอ่ แมแ่ ละลูกอกี 3 คนมีอายุ 45 , 42 , 20 , 17 และ16 ตามลาดับ
3.1 จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายขุ องสมาชกิ ในครอบครัวนี้ และ
3.2 จงหาว่าในอกี 5 ปขี ้างหน้าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายุของสมาชกิ ในครอบครัวนจ้ี ะเป็นอยา่ งไร

วธิ ที า 3.1 จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชิกในครอบครัวน้ี จากโจทย์ n = 5

อายขุ องคนในครอบครวั : ปี 2 3.1.1 หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต
∑ 1 =01 2 =
45 = ∑ 1 =41
42
20
17
16 =. . ปี . . ∎
= …………………………………….
∑1 =01 =

3.1.2 จะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) 3.1.3 หาความแปรปรวน ( 2)

= √∑ =1 2 − ̄ 2 = ………………………………………………………………………… = ∑ =1 2 − ̄ 2 = ……………………………………………………………………

−1 −1

= ……………………………………………….………………………… = ………………………………………………………………………

= ……………………………………………… . . ∎ = ………………………………………… . . ∎

3.2 จงหาวา่ ในอกี 5 ปขี ้างหนา้ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครวั นี้

อายขุ องคนใน อายุของคนใน 2 3.1.1 หาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ
ครอบครวั ปปี ัจจบุ นั ครอบครัวอีก 5 ปี ∑1 =01 2 =
ขา้ งหนา้ : ปี = ∑1 =41
45
42 45
20 42
17 20 =. .
16 17
16 ปี= ………………………. . . ∎
n=5
∑ 1 =01 =

จะไดส้ ่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน = √∑ =1 2 − ̄2 = …………………………………………………………..………… = …………………………….…………………………………………………
−1

= ………………………………………………………………………… ............................................................ . . ∎

∎ จะสังเกตเห็นว่าข้อมลู ทกุ ข้อมูล มีการเปล่ียนแปลงดว้ ยข้อมลู ทเี่ ท่ากนั แลว้ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชุดน้นั จะ

................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................ . . ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90

4. จากรายงานของศูนย์ขอ้ มูลอบุ ตั ิเหตุเพอ่ื เสรมิ สรา้ งวฒั นธรรมความปลอดภยั ทางถนน พบว่าจานวนผบู้ าดเจ็บรวม (ราย)
ต้งั แต่ พ.ศ. 2556-2558 ในแต่ละวันของชว่ ง 7 วันอนั ตราย ของเทศกาลปีใหม่ แสดงไดด้ งั นี้

วันท่ี 1 วนั ที่ 2 วันท่ี 3 วนั ที่ 4 วันที่ 5 วันที่ 6 วนั ที่ 7

1,236 1,633 1,664 1,458 1,506 1,423 870

จงหาพสิ ยั พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ของขอ้ มูลชดุ น้ี

วธิ ที า 4.1 หาพิสยั และพิสยั ระหว่างควอร์ไทล์ของจานวนผู้บาดเจบ็

4.1.1 หาพสิ ัย (Range : R) ของข้อมูล

จากโจทย์ คา่ ตา่ สดุ ( ) ของขอ้ มลู คือ ....................................... และคา่ สงู สดุ ( ) ของข้อมูล คอื .......................................

ดังน้นั พสิ ัย (Range : R) = −

= ………………………………………..………....

= ………………………………………..……….... คน . . ∎

4.2) หาค่าพสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (IQR) โดยเรียงตาแหนง่ ทขี่ องข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก และ n = ………….. จะได้

ตาแหนง่ ท่ี วนั ท่ี จานวนผ้บู าดเจบ็ ( : ราย) 2
1
2 ∑7 =1 = ∑7 =1 2 =
3
4
5
6
7
รวม

หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ่ี = ( +1) ดังน้ี
4

อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี4.2.1) 1 .................................................................................................................................................................................................................................

ดงั นัน้ คา่ ของ 1 = .........................................................................................................................................................................................................

อยใู่ นตาแหน่งท่ี4.2.2) 3 .............................................................................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั คา่ ของ 3 = …….....................................................................................................................................................................................................
4.1.2.3 หาคา่ พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (IQR)

IQR = 3 − 1 = ............................................................................................................................................................................................. . . ∎

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91

4.2) หาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ) จากตารางข้อมลู จะได้
4.2.1 หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต

= ∑ 1 =41



=. .

ราย= ……………………………………. . . ∎

4.22 จะไดส้ ่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S)

√= ∑ =1 2 − ̄ 2 = …………………………………………………………………………
−1

= ……………………………………………….…………………………

ราย= ……………………………………………… . . ∎

4.2.3 หาความแปรปรวน ( 2) = …………………………………………………………………………
= ∑ =1 2 − ̄ 2

−1

= …………………………………………………………………………

= ………………………………………… ราย2 . . ∎

5. คา่ เฉลีย่ เลขคณิตและสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
จานวน 2 หอ้ งเรยี น ซงึ่ มีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเป็นดังน้ี

คา่ เฉล่ียเลขคณิต ( ) สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ( )

หอ้ ง 1 73.2 4.8

หอ้ ง 2 52.4 3.6

จงเปรียบเทยี บการกระจายของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรยี นสองห้องน้ี

วิธีทา จะเปรียบเทียบการกระจายโดยใช้สัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผัน ( . .) = เมอื่ ̄ ≠ 0
| ̄ |

จากโจทย์ จะได้ (C. V. )ห้อง = = . . = ……………………………………..

| ̄ |

และ จะได้ (C. V. )ห้อง = = . . = ……………………………………..

| ̄ |

จากการเปรียบเทยี บการกระจายโดยใชส้ ัมประสทิ ธ์ขิ องการแปรผนั สรุปได้ว่า

∎

บทที่ 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92

6. อุณหภมู สิ งู สดุ และอณุ หภูมิต่าสุด (องศาเซลเซยี ส) ของจังหวดั ขอนแกน่ ตั้งแต่ พ.ศ. 2549-2558 แสดงไดด้ ังน้ี

พ.ศ. 2549 2550 2551 2552 2553 2554 2555 2556 2557 2558

อณุ หภูมสิ ูงสดุ 39.3 41.1 38.5 39.6 41.2 39.3 39.0 41.8 40.5 41.0
อุณหภมู ติ า่ สุด 12.0 12.6 11.9 10.2 13.5 11.6 15.0 11.6 10.2 11.6

จงหาสัมประสิทธกิ์ ารแปรผนั ของอณุ หภมู ิสงู สุดและอุณหภมู ติ า่ สุดของจังหวัดขอนแก่นตง้ั แต่ พ.ศ. 2549-2558

พร้อมท้งั เปรียบเทียบการกระจายของข้อมลู ท้งั สองชุดนี้

วธิ ีทา 6.1) ให้ แทนขอ้ มูลอณุ หภูมิสูงสดุ (° ) และ แทนขอ้ มลู อณุ หภมู ติ ่าสุด (° ) ของแต่ละ พ.ศ. ตามลาดบั
และ จานวนข้อมูลทั้งหมด = ………………………………………… ข้อมูล สร้างตารางเพือ่ ประกอบการวิเคราะหข์ ้อมูล

พ.ศ. อุณหภมู ิสงู สุด : ° อณุ หภมู ิต่าสดุ : °

2549

2550

2551

2552

2553

2554

2555

2556

2557

2558

รวม ∑ 1 =01 = ∑1 =01 2 = ∑1 =01 = ∑1 =01 2 =

6.2) หาค่าเฉลี่ยและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของอณุ หภมู ิสงู สุดและอณุ หภมู ิตา่ สุดตามลาดับ เพอ่ื ประกอบการ

หาสมั ประสิทธขิ์ องการแปรผัน

. . ) หาสมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผันของอุณหภมู ิสูงสุด . . ) หาสมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผันของอุณหภูมิตา่ สุด

ก) หาคา่ เฉล่ียของอุณหภมู สิ ูงสดุ ( ° ) ก) หาคา่ เฉล่ยี ของอุณหภูมติ า่ สุด ( ° )

= ∑1 =01 = ∑ 1 =01



=. . =. .

= ……………………………………. ° ∎ = ……………………………………. ° ∎

ข) หาส่วนบยี่ งเบนมาตรฐานของอณุ หภมู สิ งู สุด ( ) ข) หาส่วนบี่ยงเบนมาตรฐานของอณุ หภมู ิต่าสุด ( )

= √∑1 =01 2 − ̄ 2 = √∑ 1 =01 2 − ̄ 2

−1 −1

= ………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………

= ……………………………………………….………………………… = ……………………………………………….…………………………

= ……………………………………………………………………….… ° ∎ = ……………………………………………………………………….… ° ∎

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93

6.3) หาสัมประสิทธข์ิ องการแปรผัน ( . .)

. . ) หาสมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผันของอณุ หภูมสิ ูงสุด . . ) หาสัมประสทิ ธ์ิการแปรผันของอณุ หภูมิตา่ สดุ

จะได้ (C. V. ) = จะได้ (C. V. ) =
| ̄ | | ̄ |
. .
=. =.

= ……………………………. ∎ = ……………………………. ∎

จากการเปรียบเทยี บการกระจายโดยใช้สมั ประสิทธิข์ องการแปรผัน สรุปได้ว่า
∎ ตอบ

* 7. ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 มี
คะแนนเต็ม 100 คะแนน จานวน 2 ห้องเรียนซึง่ จานวนนกั เรยี นหอ้ งละ 40 คนเทา่ กนั เปน็ ดงั นี้

จานวนนักเรยี น ( ) ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( ) สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( )

ห้อง 1 40 73.2 4.8

หอ้ ง 2 40 52.4 3.6

จงหา คา่ เฉลยี่ เลขคณิตรวม และ ความแปรปรวนรวม คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นสองห้องนี้

วธิ ีทา 7.1 หาค่าเฉล่ียเลขคณิตรวม ( ) จากโจทย์ จะได้ = ∑ =1 = 1 1 + 2 2
∑ =1 1+ 2

=. .= . .

คะแนน= …………………………………….. = …………………………………….. 7.1 ∎

7.2 หาความแปรปรวนรวม ( ร วม) จากโจทย์ จะได้ ร2วม = ∑ =1 2 = 1 12 + 2 22
∑ =1 1+ 2

=. .= . .

คะแนน= …………………………………….. = …………………………………….. 2 7.2 ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94

3.3.3 คา่ วัดตาแหน่งทีข่ องข้อมูล

การวดั ตาแหนง่ ทข่ี องข้อมูลเป็นการพิจารณาตาแหน่งทข่ี องขอ้ มูลตวั หนึ่งเมือ่ เปรยี บเทียบกบั ขอ้ มลู ตัวอน่ื ๆ ที่อยใู่ น
ชุดข้อมูลเดียวกัน เช่น จากผลการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (International Mathematical
Olympiad: IMO) ครั้งที่ 55 พ.ศ. 2557 พบว่าประเทศไทยอยู่ในอันดับท่ี 21 ถ้าไม่ได้เปรียบเทียบอันดับที่ของ
ประเทศไทยกับประเทศท่ีเข้าร่วมการแข่งขันท้ังหมดจะไม่สามารถทราบได้ว่าศักยภาพทางด้านคณิตศาสตร์ของผู้แทน
ประเทศไทยเป็นอย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกับประเทศอื่น ๆ ที่เข้าร่วมการแข่งขัน แต่ถ้ามีการเปรียบเทียบอันดับ ท่ีของ
ประเทศไทยกับประเทศทเ่ี ข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด 101 ประเทศจะเห็นวา่ ผแู้ ทนประเทศไทยทาผลงานไดด้ ีมากจนติด
อนั ดบั ตน้ ๆ ของโลก ค่าวดั ตาแหน่งทขี่ องข้อมลู ทน่ี ิยมใชก้ ันมาก คอื ควอร์ไทล์และเปอร์เซ็นไทล์

3.3.3.1 ควอรไ์ ทล์ (Quartile)

นักเรียนได้ศึกษาการหาตาแหน่งของควอรไ์ ทล์มาแล้วในหัวข้อ 3.2 เร่ืองแผนภาพกล่องซ่ึงควอร์ไทลม์ ีทั้งหมดสาม
ค่า ไดแ้ ก่ ควอรไ์ ทลท์ ี่ 1 ( 1) ควอร์ไทล์ที่ 2 ( 2) และควอร์ไทล์ท่ี 3 ( 3) โดยควอร์ไทล์จะแบ่งข้อมูลท่ีเรียงจากน้อย
ไปมากออกมาเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันดังรูปท่ี 7 จะเห็นว่าควอร์ไทล์ท่ี i ( ) เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3} เป็นค่าที่มีจานวน
ข้อมูลทีม่ คี ่าน้อยกว่าค่านีอ้ ยูป่ ระมาณ i ส่วน และมีจานวนขอ้ มลู ที่มีค่ามากกวา่ ค่านี้อยู่ประมาณ 4 − ส่วน

ขอ้ มูลเรียงจากน้อยไปหามาก

25% ของข้อมูล 25% ของข้อมูล 25% ของข้อมลู 25% ของข้อมูล

1 2 3

รูปที่ 7

ให้ แทนจานวนข้อมูลท้ังหมด และ ∈ { 1 , 2 , 3 } การหาควอร์ไทล์ท่ี ( ) ทาได้โดยเรียงลาดับข้อมูล

ตวั จากนอ้ ยไปมากจากน้ันจะไดว้ ่า อย่ใู นตาแหน่งที่ ( +1)
4
ขอ้ สงั เกต : เน่ืองจาก มธั ยฐาน คอื 2 ดังนนั้ มธั ยฐานจงึ เปน็ ค่ากลางท่ีสามารถใช้ในการวัดตาแหน่งทข่ี องข้อมลู ได้

ตัวอย่างท่ี 41 ขอ้ มูลปรมิ าณการสง่ ออกขา้ วไทยโดยประมาณ (พันตนั ขา้ วสาร) ใน พ.ศ. 2560 จาแนกตามชนิดของขา้ ว
จากศูนยเ์ ทคโนโลยีสารสนเทศและการส่อื สาร สานักงานปลดั กระทรวงพาณิชยโ์ ดยความรว่ มมอื จากกรมศุลกากร แสดงได้
ดังตาราง

ชนดิ ของขา้ ว ปรมิ าณการส่งออกโดยประมาณ (พนั ต้นขา้ วสาร)
ตน้ ข้าวขาว
ปลายขา้ วขาว 4,662
ตน้ ข้าวหอมมะลิ 408
ปลายขา้ วหอมมะลิ 1,630
ขา้ วนึง่ 669
ข้าวเหนยี ว 3,370
ปลายข้าวเหนยี ว 214
ข้าวหอมไทย 303
213

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95

จงหา
41.1) ควอร์ไทล์ท่ี 1 ควอร์ไทล์ท่ี 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด

ใน พ.ศ. 2560
41.2) ชนิดของขา้ วท่มี ีปริมาณการสง่ ออกน้อยกว่าควอรไ์ ทล์ท่ี 1
41.3) ชนิดของข้าวทม่ี ีปริมาณการสง่ ออกมากกวา่ ควอรไ์ ทลท์ ี่ 3

วิธที า 41.1) ควอร์ไทล์ท่ี 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ท่ี 3 ของปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด

ใน พ.ศ. 2560

41.1.1) สร้างตารางโดยเรยี งตาแหน่งท่ขี องข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก โดยทีจ่ านวนข้อมูล = จะได้

ตาแหนง่ ท่ี ชนิดของข้าว ปรมิ าณการส่งออกโดยประมาณ ( : พันตน้ ข้าวสาร)

1

2

3

4

5

6

7

8

41.1.2) หาคา่ ควอรไ์ ทลท์ ่ี 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด

( ) ( )1) หาคา่ ตา่ สุด
ของข้อมลู คอื ......................................... หาคา่ สงู สดุ ของขอ้ มลู คือ .........................................

2) หา 1 และ 3 หาได้จากสตู ร ตาแหน่งควอไทลท์ ่ี = ( +1) ดังน้ี
4
อยใู่ นตาแหนง่ ที่2.1) 1
..................................................................................................................................................................................................................................... .................

ดงั นน้ั คา่ ของ 1 = ....................................................................................................................................................................................................................................

อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี2.2) 2 ..................................................................................................................................................................................................................................... .................

ดงั นน้ั คา่ ของ 2 = ....................................................................................................................................................................................................................................

อยใู่ นตาแหน่งท่ี2.3) 3 ..................................................................................................................................................................................................................................... ...............

ดังน้นั คา่ ของ 3 = ....................................................................................................................................................................................................................................

41.2) ชนดิ ของขา้ วทม่ี ีปรมิ าณการสง่ ออกน้อยกวา่ ควอรไ์ ทล์ที่ 1
∎ ตอบ.

41.3) ชนดิ ของขา้ วที่มีปริมาณการสง่ ออกมากกวา่ ควอรไ์ ทลท์ ่ี 3
∎ ตอบ.

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชงิ ปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96

3.3.3.2 เปอรเ์ ซน็ ไทล์ (Percentile)

ในทานองเดียวกันกับควอร์ไทล์การวัดตาแหน่งโดยเปอร์เซ็นไทล์เป็นการแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมาก แต่
เปอร์เซ็นไทล์แบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน จึงประกอบด้วยเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 1 , 2 , 3 , ... , 99 โดย
เปอร์เซ็นไทล์ที่ เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 99 } แทนด้วยสัญลักษณ์ หมายความว่า เม่ือแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อย
ไปมากออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน เปอร์เซ็นไทล์ท่ี ( ) เม่ือ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 99 } จะเป็นค่าท่ีมจี านวนขอ้ มูล
ที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ส่วน หรือร้อยละ ของข้อมูลทั้งหมด และมีจานวนข้อมูลท่ีมีค่ามากกว่าค่าน้ีอยู่
ประมาณ 100 – ส่วนหรอื รอ้ ยละ 100 – ของขอ้ มลู ทง้ั หมด

ให้ แทนจานวนข้อมลู ท้งั หมด และ ∈ {1 , 2 , 3 , . . . , 99 }
การหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ ( ) ทาได้โดยเรียงลาดบั ข้อมูล ตัวจากน้อยไปมากจากน้ันจะได้วา่ ค่าของ อยู่ใน
ตาแหนง่ ท่ี ( +1)

100

หมายเหตุ : 1. พิจารณาตาแหน่งท่ีของ 1 , 2 และ 3 มีค่าตรงกับตาแหน่งที่ของ 25 , 50 และ 75 ตามลาดับ
จะไดว่า

1.1) ตาแหน่งท่ีของ 1 คอื 1( +1) ซึง่ เท่ากับ 25( +1)
4 100
1 จึงเปน็ ตาแหน่งท่ีเดยี วกนั กับ 25

1.2) ตาแหน่งที่ของ 2 คอื 2( +1) ซงึ่ เท่ากบั 50( +1)
4 100
2 จงึ เปน็ ตาแหนง่ ที่เดียวกนั กบั 50

1.3) ตาแหนง่ ที่ของ 3 คอื 3( +1) ซ่งึ เทา่ กับ 75( +1)
4 100
3 จงึ เป็นตาแหน่งท่ีเดยี วกนั กับ 75

นัน่ คอื 1 = 25 , 2 = 50 และ 3 = 75

2. ควอร์ไทลแ์ ละเปอร์เซน็ ไทล์สามารถใช้ในการวเิ คราะหข์ ้อมูลได้ถึงแม้วา่ ข้อมลู ชดุ นั้นจะมคี า่ นอกเกณฑ์ก็ไม่มีผล

ต่อควอรไ์ ทล์และเปอรเ์ ซน็ ไทลเ์ นอื่ งจากการหาควอรไ์ ทล์และเปอรเ์ ซ็นไทลจ์ ะพิจารณาเพียงตาแหน่งท่ขี องข้อมูลเท่าน้ัน

ตวั อยา่ งที่ 42 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6/1 ในโรงเรยี นแหง่ หนึง่ จานวนทงั้ หมด 40
คน ซึ่งมคี ะแนนเตม็ 100 คะแนนแสดงได้ดงั นี้

96 78 80 76 84 77 74 85 65 69
82 53 45 67 58 54 56 62 56 54
43 48 49 50 60 65 54 51 55 60
65 66 75 98 97 63 92 94 76 78

จงหา
42.1) เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 25 เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 50 เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 75 และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 80 ของคะแนนสอบวิชา
ภาษาอังกฤษของนักเรียนหอ้ งน้ี
42.2) คะแนนทมี่ นี กั เรยี นประมาณ รอ้ ยละ 25 ของห้องได้คะแนนตา่ กวา่
42.3) คะแนนทีม่ นี ักเรียนประมาณหนึ่งในห้าของหอ้ งไดค้ ะแนนสงู กวา่

บทท่ี 3 : การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97

วิธีทา 42.1) หาค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 50 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 75 และเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80 ของคะแนน
สอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรยี นหอ้ งนี้ โดยเรยี งตาแหนง่ ทขี่ องข้อมูลจากน้อยไปหามาก

ตาแหนง่ ที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
คะแนน ( )

ตาแหน่งที่ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
คะแนน ( )

ตาแหน่งท่ี 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
คะแนน ( )

ตาแหนง่ ที่ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
คะแนน ( )

42.1.1) หาค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของคะแนน

42.1.1.1) หาตาแหนง่ เปอรเ์ ซนไทล์ท่ี 25

จากสตู รการหาเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี ( ) คา่ ของ อยู่ในตาแหนง่ ที่ ( +1)
100
25(40+1) =
ดังนน้ั คา่ ของ 25 อยู่ในตาแหนง่ ท่ี 41(0.25) = …………………………………..
100

42.1.1.2) หาคา่ ของเปอร์เซนไทลท์ ี่ 25 ( 25)

จาก คา่ ของ อยู่ในตาแหน่งท่ี 25 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะได้ค่าของ 25 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ตอบ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ∎

42.1.2) หาคา่ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 50 ของคะแนน

42.1.2.1) หาตาแหน่งเปอรเ์ ซนไทล์ที่ 50

จากสตู รการหาเปอร์เซน็ ไทล์ท่ี ( ) คา่ ของ อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี ( +1)
100

ดงั นั้น คา่ ของ 50 อยู่ในตาแหน่งที่ 50(40+1) = 41(0.50) = …………………………………..

100
42.1.2.2) หาค่าของเปอร์เซนไทล์ท่ี 50 ( 50)

จาก ค่าของ อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี 50 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะไดค้ ่าของ 50 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ตอบ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ∎

บทท่ี 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98

42.1.3) หาคา่ เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 75 ของคะแนน

42.1.3.1) หาตาแหนง่ เปอรเ์ ซนไทล์ที่ 75

จากสตู รการหาเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี ( ) คา่ ของ อยู่ในตาแหน่งที่ ( +1)
100

ดังนัน้ คา่ ของ 75 อยู่ในตาแหนง่ ท่ี 75(40+1) = 41(0.75) = …………………………………..

100

42.1.3.2) หาค่าของเปอรเ์ ซนไทล์ท่ี 75 ( 75)

จาก ค่าของ อยใู่ นตาแหน่งที่ 75 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะไดค้ ่าของ 75 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ตอบ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ∎

42.1.4) หาคา่ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 80 ของคะแนน

42.1.4.1) หาตาแหนง่ เปอร์เซนไทลท์ ี่ 80

จากสูตรการหาเปอร์เซ็นไทล์ท่ี ( ) ค่าของ อยูใ่ นตาแหน่งท่ี ( +1)
100

ดงั น้นั ค่าของ 80 อยใู่ นตาแหน่งท่ี 80(40+1) = 41(0.80) = …………………………………..

100

42.1.4.2) หาค่าของเปอรเ์ ซนไทลท์ ี่ 80 ( 80)

จาก ค่าของ อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี 80 ………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะไดค้ า่ ของ 80 .................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

. ตอบ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ∎

42.2) คะแนนทมี่ นี กั เรยี นประมาณ รอ้ ยละ 25 ของห้องได้คะแนนตา่ กวา่
∎ ตอบ.

42.3) คะแนนท่มี นี กั เรยี นประมาณหนึ่งในหา้ ของห้องได้คะแนนสงู กว่า
∎ ตอบ.

บทที่ 3 : การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอข้อมลู เชิงปริมาณ MA33101 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99

* 42.3) จงเขยี นแผนภาพกล่อง (Box plots) แสดงคะแนนสอบของนกั เรียนในห้องนจ้ี านวน 40 คน
จากข้างต้นเราทราบความสัมพันธ์ระหว่างควอไทล์และเปอร์เซนไทล์ว่า ค่าของ 1 = 25 , 2 = 50

และ 3 = 75 เราจะนาความสมั พันธ์ระหวา่ ง 2 ค่านี้ มาเขยี นแผนภาพกลอ่ ง โดยที่

( ) ( )42.3.1) คา่ ต่าสุด
ของข้อมลู คือ ......................................... ค่าสูงสุด ของข้อมูล คอื .........................................

คา่ ของ42.3.2) 1 = 25 = .......................................

คา่ ของ 2 = 50 = .......................................

คา่ ของ 3 = 75 = .......................................

42.3.3) หาคา่ นอกเกณฑ์

หาค่า42.3.3.1) 1 − 1.5( 3 − 1) = .....................................................................................................................................................................

หาคา่42.3.3.2) 3 + 1.5( 3 − 1) = .....................................................................................................................................................................

จะพบวา่ มขี อ้ มูลทน่ี ้อยกวา่ ได้แก่ 1 − 1.5( 3 − 1) .............................................................................................................................................................................

และ มขี อ้ มลู ที่มากกวา่ ได้แก่ 3 + 1.5( 3 − 1) ...........................................................................................................................................................................

ดังนนั้ คา่ นอกเกณฑ์ของข้อมูลชดุ นี้ ได้แก่ .....................................................................................................................................................................................................................

4) ขยี นแผนภาพกล่อง (Box plot) เพ่ือนาเสนอขอ้ มูลชดุ นี้

ข้อสังเกต : ควอรไ์ ทลแ์ ละเปอร์เซ็นไทลส์ ามารถใชใ้ นการวิเคราะห์ขอ้ มูลได้ถึงแม้ว่าข้อมูลชุดน้ันจะมคี ่านอกเกณฑก์ ็ไม่มี
ผลตอ่ ควอร์ไทล์และเปอรเ์ ซ็นไทล์เนือ่ งจากการหาควอร์ไทลแ์ ละเปอรเ์ ซ็นไทลจ์ ะพิจารณาเพียงตาแหนง่ ท่ี
ของขอ้ มูลเท่านนั้