EP4-ลำดับฮาร์มอนิก

โรงเรยี นปากเกรด็ 2564

PAKKRED SECONDARY SCHOOL E-LEARNING

“สอื่ การสอนทางไกล ชว่ ยสร้างโอกาสทาง Pakkred Secondary School

การเรยี นรู้ เพื่อพฒั นาคณุ ภาพการเรียน สอ่ื การสอนทางไกล

”การสอนผ่านอนิ เทอรเ์ นต็

โรงเรียนปากเกร็ด วิชาคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 5 รหสั วิชา ค33201 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
(หลักสตู รปรับปรงุ 2560) โดย ครูศิระณฐั พล โลห่ น์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

ครูผู้สอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 5 ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6 ปกี ารศึกษา 2564

00000

โรงเรยี นปากเกร็ด วิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 5 รหสั วิชา ค33201 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
(หลักสตู รปรับปรงุ 2560) โดย ครศู ิระณฐั พล โล่หน์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

คาอธิบายรายวชิ า

ศึกษา พรอ้ มทง้ั ฝึกทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นเน้อื หาของสาระ ดงั น้ี
ลาดับและอนุกรม ลาดบั ลิมติ ของลาดบั อนนั ต์ อนกุ รม สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก การประยุกต์ของลาดับและอนกุ รม
แคลคูลัสเบ้ืองตน้ ลิมิตของฟังกช์ ัน ความตอ่ เนือ่ งของฟงั กช์ ันของของฟงั กช์ ัน อนพุ ันธ์ของฟังกช์ ัน การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร อนุพันธ์
ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์ ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จากัดกัดเขต ปริพันธ์จากัดเขต พ้ืนที่ที่ปิดล้อม
ดว้ ยเส้นโคง้
โดยจัดประสบการณ์ให้ผู้เรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่ การแก้ปัญหา การสื่อสารและการสื่อความหมายทาง
คณติ ศาสตร์ การให้เหตุผล และการคิดสร้างสรรค์
การใช้สื่อ อุปกรณ์ เทคโนโลยีและแหล่งข้อมูล และนาประสบการณ์ ตลอดจนทักษะและกระบวนการท่ีได้ ไปใช้ในการเรียนรู้ส่ิงต่างๆ ไปใช้ใน
ชีวติ ประจาวันอยา่ งรวมท้ังเห็นคณุ ค่ารวมทงั้ เจตคตทิ ่ีดตี ่อคณติ ศาสตร์ สามารถทางานอยา่ งเป็นระบบ มีความรอบคอบและมวี จิ ารณญาณ
การวดั ผลประเมนิ ผล ใชว้ ิธกี ารทีห่ ลากหลายตามสภาพความเปน็ จรงิ ให้สอดคล้องกับเน้ือหาและทักษะทต่ี ้องการวัด
ผลการเรยี นรู้
ลาดบั และอนกุ รม 1. ระบไุ ด้ว่า ลาดบั ทีก่ าหนดให้ เปน็ ลาดบั ลู่เข้าหรือลอู่ อก

2. หาผลบวก แรกของอนุกรมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณติ
3. หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์
4. เขา้ ใจและนาความรเู้ ก่ียวกับลาดบั และอนุกรมใช้
แคลคูลัสเบ้อื งต้น 5. ตรวจสอบความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชันทีก่ าหนดให้
6. หาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันพชี คณติ ท่ีกาหนดใหแ้ ละนาไปใช้แกป้ ญั หา
7. หาปริพนั ธไ์ ม่จากดั เขตและจากดั เขตของฟังกช์ ันพชี คณิตที่กาหนดให้ และนาไปใชแ้ กป้ ญั หา
รวมทัง้ หมด 7 ผลการเรยี นรู้

โรงเรียนปากเกร็ด วิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 5 รหสั วิชา ค33201 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
(หลกั สูตรปรบั ปรุง 2560) โดย ครูศริ ะณัฐพล โลห่ น์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

หนังสอื แบบเรียนที่ใช้ประกอบในกิจกรรมการเรยี นการสอน

โรงเรยี นปากเกรด็ วิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 5 รหัสวชิ า ค33201 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
(หลักสตู รปรับปรุง 2560) โดย ครูศิระณฐั พล โลห่ น์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

หน่วยการเรยี นรู้และสาระการเรียนรทู้ ่จี ะตอ้ งศกึ ษาตลอดภาคเรียน

โรงเรยี นปากเกรด็ วิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 รหสั วิชา ค33201 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6
(หลักสูตรปรบั ปรงุ 2560) โดย ครศู ิระณฐั พล โล่หน์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

เนอ้ื หา และ จุดมุ่งหมายในการเรียนรู้ บทที่ 1. เร่อื ง ลาดับและอนุกรม (Sequence and Series)

โรงเรยี นปากเกร็ด วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวชิ า ค33201 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
(หลกั สตู รปรับปรุง 2560) โดย ครศู ริ ะณฐั พล โล่ห์นารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

บทท่ี 1
ลาดับและอนุกรม
(Sequence and Series)

โรงเรียนปากเกรด็ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 5 รหัสวชิ า ค33201 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
(หลกั สูตรปรับปรงุ 2560) โดย ครศู ริ ะณฐั พล โล่หน์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

ลาดบั (Sequences)

เรือ่ งท่ี สาระการเรียนรู้

12 1.1 ความหมายของลาดบั

4 34 5 1.2 ลาดับเลขคณติ
1.3 ลาดับเรขาคณติ

… 1.4 ลาดบั ฮาร์มอนิก
1.5 ลิมิตของลาดับอนนั ต์

โรงเรยี นปากเกรด็ วิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 รหัสวิชา ค33201 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
(หลักสตู รปรบั ปรุง 2560) โดย ครูศริ ะณัฐพล โล่ห์นารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4 ลาดบั ฮารม์ อนิก (Harmonic Sequence or Harmonic Progression : H.P.)

1.4.1 นยิ ามของลาดับฮารม์ อนิก

บทนยิ าม 4 ลาดบั ฮารม์ อนิก

กาหนด , , , , , … , − , เป็นลาดบั เลขคณิต

จะได้วา่ , , , , , … , , เป็นลาดับฮารม์ อนกิ
−

น่ันคอื ลาดบั ฮารม์ อนิกเปน็ บทกลบั ของลาดบั เลขคณติ

ทานองเดียวกัน ถา้ , , , , , … , , เปน็ ลาดับเลขคณติ
−

จะไดว้ า่ , , , , , … , − , เป็นลาดบั ฮารม์ อนิก

จากบทนิยาม ถ้าให้ เปน็ ลาดบั ฮารม์ อนิก

จะได้ว่า ลาดบั ของสว่ นกลบั = เปน็ ลาดบั เลขคณิต


โรงเรยี นปากเกรด็ วิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 5 รหสั วชิ า ค33201 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
(หลักสูตรปรบั ปรงุ 2560) โดย ครศู ริ ะณฐั พล โล่หน์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.2 พจนท์ ่วั ไปของลาดับฮาร์มอนกิ

จากบทนิยาม สรุปไดว้ ่า ลาดบั ฮารม์ อนกิ เป็น บทกลบั ของลาดบั เลขคณติ

กาหนด , , , , , … , − , เป็นลาดับเลขคณิต ท่มี ี = + −

จะไดว้ า่ , , , , , … , , เป็นลาดบั ฮารม์ อนกิ สมมตุ ิแทนดว้ ย

−

จะได้พจน์ท่ัวไป ของลาดบั ฮาร์มอ00น0ิก0 คือ = + ∎
−

ตวั อย่าง 1. กาหนด , , , , , … เป็นลาดบั แลขคณิต มี 1 เป็นผลต่างร่วม
เปน็ ลาดับฮาร์มอนิก ∎
จะไดว้ ่า , , , , , …


ตัวอย่าง 2. กาหนด , , , , , , … เปน็ ลาดับแลขคณติ มี เป็นผลตา่ งรว่ ม

จะไดว้ า่
, , , , , , … เป็นลาดับฮารม์ อนิก ∎



โรงเรยี นปากเกรด็ วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 รหสั วิชา ค33201 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
(หลักสตู รปรับปรุง 2560) โดย ครศู ิระณฐั พล โลห่ ์นารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.3 ตัวอย่างของลาดบั ฮารม์ อนิก

สามารถพิจารณาหาพจน์ของลาดับฮาร์มอนิก จากนยิ ามได้

ตวั อยา่ ง 3. กานดลาดบั ฮาร์มอนิก , , , … จงหาพจนท์ ี่ ของลาดบั นี้

วธิ ีทา เนอื่ งจาก , , , … เปน็ ลาดบั ฮารม์ อนิก

จะได้วา่ , , , … เปน็ ลาดบั เลขคณติ


ทมี่ ี = , = และผลต่างร่วม = − = − =



แทนค่า และ ลงในพจนท์ ่วั ไปของลาดับเลขคณติ = + −

จะได้ = + − ( ) = + - =



นัน่ คือ พจนท์ ่ัวไปของลาดับเลขคณิต = ……… ∎ .
……… ∎ .

และจะไดพ้ จนท์ ว่ั ไปของลาดบั ฮาร์มอนิก =


ดังนั้น พจนท์ ่ี 4 ของลาดบั ฮารม์ อนิก คอื = = ……… ∎ .


โรงเรียนปากเกร็ด วชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 5 รหัสวิชา ค33201 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
(หลักสตู รปรับปรงุ 2560) โดย ครูศริ ะณัฐพล โล่ห์นารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.3 ตวั อย่างของลาดบั ฮาร์มอนิก (ตอ่ )

สามารถพจิ ารณาหาพจน์ของลาดบั ฮารม์ อนิก จากนิยามได้

ตัวอยา่ ง 4. กานดลาดบั ฮารม์ อนิก มี = และ = จงหา ของลาดบั นี้
วิธที า
เน่อื งจาก = และ = เป็นลาดับฮาร์มอนกิ

จะได้วา่ = และ = เปน็ ลาดบั เลขคณติ


ทมี่ ี = และ ผลต่างรว่ ม = − = −


แทนคา่ และ ลงในพจน์ทวั่ ไปของลาดับเลขคณติ = + −

จะได้ = + − (− ) = − + = − = −



น่ันคือ พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต = − ……… ∎ .
……… ∎ .
……… ∎ .
และจะได้พจนท์ ่ัวไปของลาดบั ฮาร์มอนกิ =
−

ดังนน้ั พจน์ท่ี 5 ของลาดบั ฮาร์มอนกิ คอื = = = −
− −

โรงเรียนปากเกร็ด วชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 5 รหัสวชิ า ค33201 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
(หลักสตู รปรบั ปรงุ 2560) โดย ครศู ิระณฐั พล โล่ห์นารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.4 ตัวกลางของลาดบั ฮาร์มอนิก หรอื ตัวกลางฮาร์มอนิก (Harmonic Progression : H.P)

กาหนดลาดับฮารม์ อนกิ 3 ลาดบั ที่เรียงติดกัน เราสามารถหาพจน์กลางของลาดับฮาร์มอนิกนั้นได้

ถ้า , , เป็นลาดบั ฮาร์มอนกิ แลว้ , , เป็นลาดบั เลขคณติ


จะไดผ้ ลต่างรว่ ม โดยที่ − = −



+ 00 +

=

= +


= ∎
+

โรงเรียนปากเกร็ด วิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 รหัสวชิ า ค33201 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
(หลกั สูตรปรบั ปรงุ 2560) โดย ครศู ริ ะณฐั พล โล่ห์นารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.4 ตัวกลางของลาดบั ฮาร์มอนกิ หรือ ตัวกลางฮาร์มอนิก (Harmonic Progression : H.P)

กาหนดลาดบั ฮาร์มอนิก 3 ลาดบั ท่เี รยี งติดกนั เราสามารถหาพจนก์ ลางของลาดบั ฮารม์ อนกิ นัน้ ได้

ตวั อยา่ ง 5. กาหนด , , เปน็ ลาดบั อาร์มอนิกแลว้ จงพิสจู นว์ ่า =
+
วธิ ที า
จากนิยาม ถา้ , , เป็นลาดบั ฮาร์มอนกิ แล้ว , , เป็นลาดบั เลขคณิต


จะไดผ้ ลตา่ งร่วม โดยท่ี − = −



+ = 00 +



= +


= +


=
+

=
+

นน่ั คอื ถา้ , , เปน็ ลาดับอารม์ อนิกแล้ว พจนก์ ลางของลาดับอารม์ อนกิ คอื = ∎ .
+ ………………..

โรงเรยี นปากเกร็ด วชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 5 รหัสวชิ า ค33201 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
(หลักสตู รปรับปรงุ 2560) โดย ครศู ิระณฐั พล โลห่ น์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.4 ตวั กลางของลาดบั ฮาร์มอนิก หรือ ตัวกลางฮารม์ อนิก (Harmonic Progression : H.P)

กาหนดลาดับฮาร์มอนกิ 3 ลาดบั ทีเ่ รยี งตดิ กนั เราสามารถหาพจนก์ ลางของลาดับฮารม์ อนกิ น้ันได้

ตัวอย่าง 6. กาหนด , , เปน็ สามพจน์ที่เรยี งกนั เปน็ ลาดบั อารม์ อนกิ แลว้ จงหาคา่

วิธที า
6.1 หาโดยแนวคดิ จากบทนยิ าม ถา้ , , เปน็ ลาดบั ฮาร์มอนิก 6.2 หาโดยใชส้ ตู ร จากบทนยิ าม ถ้า , , เป็นลาดับฮารม์ อนิก


แล้ว , , เปน็ ลาดบั เลขคณิต พจน์กลางของลาดบั อารม์ อนิก คอื = …. (1)
+

จะได้ผลต่างรว่ ม โดยที่ − = − จากโจยท์ จะได้ = , = แทนใน …. (1)

00

+ = + จะได้ = ( )( )
( ) +( )

=


= =
=

= = ……………….. ∎ . ( )


……………….. ∎ .

นัน่ คอื คา่ ทเี่ รยี งกนั ในลาดบั อาร์มอนกิ , , คอื =
……………….. ∎ .

โรงเรยี นปากเกรด็ วิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 5 รหสั วชิ า ค33201 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 6
(หลักสตู รปรับปรงุ 2560) โดย ครศู ิระณัฐพล โล่หน์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.5 แบบฝกึ หดั ทบทวนความร้คู วามเขา้ ใจ

1.4.5.1 จุดมุ่งหมาย : หาพจนต์ ่างๆ ของลาดับฮารม์ อนิก เม่ือกาหนดพจนท์ ว่ั ไปหรือเง่อื นไขมาให้
คาชี้แจง : พจิ ารณาหาคาตอบจากเง่ือนไขตอ่ ไปน้ี

โรงเรียนปากเกรด็ วิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 รหัสวิชา ค33201 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
(หลกั สูตรปรบั ปรงุ 2560) โดย ครูศิระณฐั พล โลห่ น์ ารายณ์
PAKKRED SECONDARY SCHOOL

1.4.5 แบบฝกึ หัดทบทวนความรู้ความเขา้ ใจ

1.4.5.2 จดุ มุง่ หมาย : หาพจน์ต่างๆ ของลาดับฮาร์มอนกิ เมื่อกาหนดพจน์ทั่วไปหรอื เงอ่ื นไขมาให้
คาช้แี จง : พจิ ารณาหาคาตอบจากเง่ือนไขตอ่ ไปนี้

4. กาหนดลาดับฮารม์ อนิก , , , , , … จงหาพจนท์ ี่ 21 ของลาดับนี้



5. กาหนดลาดับฮาร์มอนกิ มี = และ = จงหาค่าของ +


โรงเรียนปากเกรด็

PAKKRED SECONDARY SCHOOL

การจากเรยี น EP.4 เรอื่ ง ลาดับฮารม์ อนกิ

อย่าลมื ทาแบบฝึกหดั และแบบทดสอบ
และพบกนั ในบทเรียนที่ 5 เรือ่ ง ลมิ ิตของลาดบั อนันต์ นะครบั

ครผู ู้สอน ครูศริ ะณัฐพล โล่ห์นารายณ์
ครธู นิตทตั รกั ษาศรี
ครูสุดารชั ฤทธน์ิ ชุ
ครูพรพริ ณุ ใจวงค์

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

โรงเรียนปากเกรด็

PAKKRED SECONDARY SCHOOL

อานวยการผลิต

ดร. วิณัฐธพัชร์ โพธิเ์ พชร
ผ้อู านวยการโรงเรียนปากเกรด็

ผู้ผลิต

นายศิระณฐั พล โล่หน์ ารายณ์
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

งานเทคโนโลยแี ละนวัตกรรมเพอื่ พัฒนาการศกึ ษา