nota statistik

KOLEJ VOKASIONAL SETAPAK
JALAN GENTING KELANG
53300 KUALA LUMPUR

TOPIK 2 PERSAMPELAN

KERTAS PENERANGAN

KOD DAN NAMA UMT 3132
KURSUS
SEMESTER STATISTIK TEKNOLOGI
NO. DAN TAJUK
3
STANDARD
PEMBELAJARAN 2.0 PERSAMPELAN

NAMA PELAJAR 2.1 Taburan Kebarangkalian
2.1.1 Pengenalan Kebarangkalian
2.1.2 Taburan Binomial
2.1.3 Taburan Poisson
2.1.4 Taburan Normal

2.2 Taburan Persampelan
2.2.1 Pengenalan Persampelan
2.2.2 Taburan Persampelan bagi Min Sampel
2.2.3 Teorem Had memusat
2.2.4 Taburan Persampelan bagi Perkadaran Sampel

PROGRAM Muka surat: 1 drpd 26

NO. KAD
PENGENALAN

TARIKH

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 2 / 26

2.1 TABURAN KEBARANGKALIAN
2.1.1 Pengenalan Kebarangkalian

Bil Perkara Penerangan Contoh / Tatatanda / Formula
Diwakili oleh huruf besar seperti X dan Y.
1 Pemboleh ubah Suatu fungsi yang nilainya
Contoh: bilangan orang, bilangan huruf,
rawak ditentukan daripada unsur- bilangan kereta

unsur dalam ruang sampel Contoh: jisim pelajar, ketinggian pelajar,
jarak
secara rawak.
Kebarangkalian pemboleh ubah rawak
2 Pemboleh ubah Mempunyai sukatan data diskret:
rawak diskret tertentu dan boleh dibilang.

X ialah satu pemboleh ubah
rawak diskret jika :
(a) P(X = x) ≥ 0; dan

(b)  P(X = x) = 1

3 Pemboleh ubah Boleh mengambil sebarang
rawak selanjar nilai yang tak terhingga dalam
suatu lingkungan julat yang
tertentu.

4 Kebarangkalian Kemungkinan dan kekerapan
berlakunya suatu peristiwa

Kebarangkalian pemboleh ubah rawak
selanjar:

*lebih daripada

*kurang daripada

*sekurang-kurangnya / tidak
kurang daripada

*selebih-lebihnya / tidak lebih
daripada

*antara

*di luar julat

5 Taburan Senarai semua nilai yang Contoh taburan kebarangkalian diskret:

Kebarangkalian mungkin bagi pemboleh ubah 1) Taburan Binomial
rawak diskret atau selanjar

dengan kebarangkalian yang 2) Taburan Poisson

bersepadan dalam suatu ujikaji

Contoh taburan kebarangkalian selanjar:
1) Taburan Normal

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 3 / 26

2.1.1 Taburan Binomial

Taburan binomial ialah taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret dengan
parameter sebagai kebarangkalian kejayaan bagi setiap percubaan yang merdeka dan
sebagai bilangan percubaan bagi suatu ujikaji.

Tatatanda :
Min
Varians
di mana

Contoh 1

Rekod yang lepas mendapati bahawa 70% pelajar kelas memandu yang mengambil ujian
memandu lulus di sebuah pusat ujian memandu yang tertentu. Jika terdapat 100 orang yang
mengambil ujian memandu pada suatu hari yang tertentu,

(a) nyatakan taburan kebarangkalian yang mewakili kebarangkalian pelajar lulus ujian memandu

(b) tentukan (i) min
(ii) varians

(i)

(ii)

Contoh 2
Kebarangkalian seorang suri rumah membeli sabun cap Cynthia ialah 0.72. Daripada 50 orang
suri rumah yang telah membeli sabun,
(a) nyatakan taburan kebarangkalian yang mewakili kebarangkalian suri rumah membeli

sabun cap Cynthia.
(b) tentukan (i) min

(ii) sisihan piawai

Penyelesaian:
(a)

(b) (i)

(ii)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 4 / 26

2.1.2 Taburan Poisson

Taburan Poisson ialah taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret yang mewakili
bilangan peristiwa yang diberi berlaku dalam suatu tempoh waktu tertentu, dengan parameter λ.

Tatatanda :
Min
Varians

Contoh 1
Kelewatan yang teruk di stesen kereta api berlaku secara rawak pada kadar purata 0.5 setiap
minggu.

(a) Nyatakan taburan kebarangkalian yang mewakili kebarangkalian kelewatan yang teruk
berlaku setiap minggu.

(b) Tentukan (i) min
(ii) varians

(i)

(ii)

Contoh 2
Diberi sebagai pemboleh ubah rawak yang mewakili bilangan kemalangan dalam tempoh masa
sebulan dengan λ = 1.5.
(a) Nyatakan taburan kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak .

(b) Tentukan (i) min
(ii) sisihan piawai

Penyelesaian:
(a)

(b) (i)

(ii)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 5 / 26

2.1.3 Taburan Normal

Taburan Normal ialah taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak selanjar berbentuk simetri
yang mempunyai nilai min, dan sisihan piawai, . Lengkungnya berbentuk loceng.

Tatatanda :

Menentukan kebarangkalian nilai z bagi taburan normal piawai

Suatu pemboleh ubah rawak normal X ~ N (µ, σ2) boleh dipiawaikan dan ditulis sebagai

Z ~ N (0, 1) dengan min, dan varians, .

Ciri-ciri sifir taburan normal piawai, N (0, 1) adalah seperti berikut:

Kes 1 : P(–∞ < Z< ∞) = 1

Kes 2 : P(Z > 0) = P(Z < 0) = 0.5

Kes 3 : P(Z ≤ a) = Ф(a)

Kebarangkalian Ф(a) bagi suatu taburan normal boleh ditentukan dengan merujuk kepada jadual
taburan normal piawai.

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 6 / 26

JADUAL TABURAN NORMAL PIAWAI, Z ~ N(0, 1)

z0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 123 45 6 7 8 9

TAMBAH

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 4 8 12 16 20 24 28 32 36
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 4 8 12 16 20 24 28 31 35
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 4 8 12 15 19 23 27 31 35
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 4 8 11 15 19 23 26 30 34
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 4 7 11 14 18 22 25 29 32
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 3 7 10 14 17 21 24 27 31
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 3 6 10 13 16 19 23 26 29
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 3 6 9 12 15 18 21 24 27
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 3 6 9 11 14 17 19 22 25
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 3 5 8 10 13 15 18 20 23
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 2 5 7 9 11 14 16 18 21

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 2 4 6 8 10 12 14 16 19

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 2 4 5 7 9 11 13 15 16
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 2 3 5 6 8 10 11 13 14

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1 3 4 6 78 10 11 13
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1 2 4 5 67 8 10 11
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1 2 3 4 56 78 9
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1 2 3 3 45 67 8
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1 2 2 3 44 56 6

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 1 1 2 2 34 45 5
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 1 1 1 2 23 34 4
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 0 1 1 2 22 33 4
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 0 1 1 1 22 23 3
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 0 1 1 1 12 22 2

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 0 0 1 1 11 12 2
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 0 0 0 1 11 11 1
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 0 0 0 0 11 11 1
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 0 0 0 0 01 11 1
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 0 0 0 0 00 01 1
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 0 0 0 0 00 00 0

k

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 7 / 26

Penggunaan Jadual Taburan Normal Piawai

Jadual Taburan Normal (lower tail) hanya boleh digunakan untuk carian terus untuk kes di mana
dan ( bernilai positif)

Bagi nilai a yang negatif, guna Ф(-a) = 1 - Ф(a) untuk pengiraan kebarangkalian.
(i) P(Z < -a) = P(Z > a)

= 1 – P(Z ≤ a)

(ii) P(Z > -a) = P(Z < a)

(iii) P(-b < Z < -a) = P(a < Z < b)
= P(Z < b) – P(Z < a)

(iv) P(-a < Z < 0) = P(0 < Z < a)
= P(Z < a) – P(Z < 0)
= P(Z < a) – 0.5

Contoh 1
Jika Z adalah pemboleh ubah rawak normal piawai, tentukan kebarangkalian
a) P(Z < 1.052)
b) P(Z < 0.951)
c) P(0.50 < Z < 2.50)
Penyelesaian
a) P(Z < 1.052) = 0.8531 + 0.0005

= 0.8536

b) P(Z < 0.951) =
c) P(0.50 <Z< 2.50) =

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 8 / 26

Contoh 2

Jika Z adalah pemboleh ubah rawak normal piawai, tentukan kebarangkalian

a) P(Z > -1.052)
b) P(Z < -0.951)
c) P(-1.25 < Z < -0.30)

Penyelesaian:

a) P(Z > -1.052) =

b) P(Z < -0.951) =
.

c) P(-1.25 < Z < -0.30) =

Contoh 3
Jika Z adalah pemboleh ubah rawak normal piawai, tentukan kebarangkalian

a) P(|Z |< 1.78)

b) P(|Z | > 0.754)

Penyelesaian :

a) P(|Z | < 1.78) = P(-1.78 < Z < 1.78)

=

=

-1.78 0 1.78

=

b) P(|Z | > 0.754) = P(Z < - 0.754) + P(Z > 0.754) -0.754 0 0.754
=
=
=

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 9 / 26

Penggunaan Kalkulator

Panduan ini hanya untuk kalkulator CASIO fx-570MS dan CASIO fx-570ES.

CASIO fx-570MS CASIO fx-570ES

1. pastikan dalam mode SD 1. pastikan dalam mode STAT

mode mode 1 mode 3

2. masuk ke mode DISTR 2. Clearkan screen
shift 3 AC

Akan terpapar pilihan : 3. masuk ke taburan normal

P( Q( R( >t shift 1 5
1 2 34

Akan terpapar pilihan :

1: P( 2: Q(
3: R( 4: >t

P ( --------> untuk mencari P(Z  z) ,    z  
R ( --------> untuk mencari P(Z  z) ,    z  
Q ( --------> untuk mencari P(0  Z  a) , P(a  Z  0) ,    a  

Contoh :

tunjukkan:

tunjukkan:

Nota:
 Elakkan memberi jawapan tanpa tunjukkan jalan kerja, jawapan terus dari kalkulator hanya
dihadkan kepada
P(Z  nilai positif )  P(nilai positif dan P(Z  nilai negatif )  R(nilai negatif .

Jawapan hendaklah dibundarkan kepada 4 tempat perpuluhan agar setara dengan bacaan dari Jadual
Taburan Normal Piawai .

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 10 / 26

Mencari nilai z jika diberi kebarangkalian bagi julat nilai z
Nota : mesti menggunakan Jadual Taburan Normal Piawai, kalkulator saintifik yang dibenarkan tiada
fungsi untuk tujuan ini.

Kes Rajah Kedudukan nilai k

P(Z  k)  lebih drpd 0.5 kanan, k positif

P(Z  k)  lebih drpd 0.5 kiri, k negatif

P(Z  k)  kurang drpd 0.5 kanan, k positif

P(Z  k)  kurang drpd 0.5 kiri, k negatif

Contoh 4

Jika Z adalah pemboleh ubah rawak normal piawai, tentukan nilai c sedemikian hingga
a) P(Z < c) = 0.9738
b) P(Z < c) = 0.1891
c) P(Z > c) = 0.3715
d) P(|Z| > c) = 0.2714

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 11 / 26

Penyelesaian : 0.9738 c
a) P(Z < c) = 0.9738

Daripada jadual, P(Z < 1.94) =0.9738
Maka, c = 1.94

b) P(Z < c) = 0.1891

Disebabkan kebarangkalian adalah lebih kecil daripada 0.5, maka nilai c adalah negatif.

P(Z < c) = 0.1891 0.1891
P(Z > - c) = 0.1891
1 – P(Z < - c) = 0.1891 c
P(Z < - c) = 1– 0.1891

= 0.8109

Daripada jadual, P(Z< 0.881) = 0.8109

Maka, - c = 0.881
c = - 0.881

c)

d)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 12 / 26

Menukarkan pemboleh ubah rawak X kepada pemboleh ubah piawai Z.

Sifir normal piawai hanya sesuai untuk pemboleh ubah rawak normal piawai. Oleh sebab itu,
pemboleh ubah rawak, X yang bukan normal piawai haruslah diubah supaya menjadi suatu
pemboleh ubah rawak normal piawai, Z melalui proses pemiawaian.

di mana, skor piawai atau skor-z
nilai pemboleh ubah rawak taburan normal
min taburan normal
sisihan piawai taburan normal

Contoh 5
Suatu pemboleh ubah rawak normal, X mempunyai min 100 dan varians 16, cari
a) P(X  90)

b) P(94  X  106)

c) Nilai-z jika nilai-x = 116

Penyelesaian:

a) ()

√√

b)

c)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 13 / 26

Contoh 6

Skor yang diperolehi oleh 6000 orang calon dalam suatu peperiksaan tertentu bertabur secara
normal dengan min 55 dan sisihan piawai 10.
a) Jika satu skor 75 atau lebih diperlukan untuk lulus dengan cemerlang, anggarkan bilangan

pelajar yang mendapat gred cemerlang.
b) Jika 70% daripada calon-calon itu lulus dalam peperiksaan, anggarkan skor minimum yang

diperlukan untuk lulus.

Penyelesaian:

Andaikan bahawa X ialah skor-skor peperiksaan itu, maka

a) ( )

=

 Bilangan pelajar yang mendapat gred cemerlang =
=

b) Andaikan bahawa k ialah skor minimum yang diperlukan untuk lulus.

P(X > k) = 0.70

P ( ) = 0.70

Iaitu P ( ) = 0.70

P ( ) = 0.70

Daripada jadual, P(Z < 0.524) 0.70

Skor minimum yang diperlukan untuk lulus ialah 49.76.

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 14 / 26

2.2 TABURAN PERSAMPELAN

2.2.1 Pengenalan Persampelan

Persampelan merupakan konsep yang penting dalam bidang `statistik inferensi’
(digunakan untuk menghuraikan perhubungan di antara pembolehubah kajian dan
mengaitkan dengan ciri-ciri sampel kepada populasi). Kajian seterusnya membuat
generalisasi mengenai populasi.

Salah satu prasyarat persampelan bagi membuat generalisasi yang tepat mengenai populasi
ialah memastikan sampel yang digunakan dapat membayangkan populasi sebenar dengan
setepat mungkin, iaitu mesti bersifat representatif. Tujuan utama persampelan ialah untuk
mendapatkan satu sampel yang mempunyai ciri-ciri umum populasi yang perlu diselidiki.

Membezakan antara populasi dan sampel, dan antara parameter dan statistik

(i) Populasi :
Dari segi statistik, populasi ialah keseluruhan kumpulan yang mempunyai ciri yang
sama dan menjadi objek kajian.
Dengan perkataan mudah ialah semua kes atau subjek yang mempunyai maklumat
yang ingin dikaji.

(ii) Sampel :
Dari segi statistik, sampel merupakan kumpulan kecil daripada populasi yang menjadi
sasaran penyelidik untuk melakukan suatu kajian.
Satu set data yang dikumpul dan/atau dipilih daripada populasi.

Populasi Sampel

Rajah 1
(iii) Parameter: Maklumat yang diperolehi daripada populasi data.
(iv) Statistik : Maklumat yang diperolehi daripada sampel data.

Pemboleh ubah Parameter Statistik
Saiz N n
Min
Varians  ps @ p
Sisihan piawai
Perkadaran

Jadual 1 : Simbol-simbol yang digunakan oleh parameter dan statistik

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 15 / 26

Contoh 1 : Dalam suatu kajian kes mengenai ketinggian pelajar, 50 daripada 1200 orang
pelajar di sebuah kolej vokasional telah dipilih secara rawak.

Populasi : Semua 1200 orang pelajar
Parameter : Maklumat yang melibatkan 1200 orang pelajar

Sampel : 50 orang pelajar yang terpilih
Statistik : Maklumat yang melibatkan 50 orang pelajar

Mengenal pasti sampel rawak

Bilangan sampel yang diambil mestilah mencukupi serta boleh mewakili suatu populasi supaya
kesimpulan secara statistik yang bermakna boleh dibuat terhadap populasi itu. Bias (berat sebelah)
dalam proses memilih sampel hendaklah dielakkan. Pemilihan sampel secara rawak bermaksud
setiap ahli dalam populasi mempunyai peluang yang sama untuk terpilih.

Contoh 2
“Pelajar-pelajar tahun 4 Kolej Vokasional di Malaysia.”
Berdasarkan ayat di atas kenal pasti :

i) Populasi

ii) seterusnya berikan contoh sampelnya

Penyelesaian :
i)

ii)

Contoh 3
Seorang pengkaji ingin menganggar sisihan piawai jisim ikan dalam sebuah kolam. Beliau berjaya
menangkap 150 ekor ikan, didapati sisihan piawai jisim ikan adalah 1.5 kg.
Berdasarkan maklumat di atas, kenal pasti :

i) Parameter
ii) Statistik
iii) Sampel Rawak

Penyelesaian :
i)

ii)

iii)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 16 / 26

2.2.2 Taburan Persampelan bagi Min Sampel

Mengenal pasti taburan persampelan bagi min sampel

Untuk mempelajari ciri-ciri parameter bagi suatu populasi, kita kerap kali memerlukan sampel
yang diambil daripada populasi berkenaan. Kita mungkin mengambil sampel berulang kali
daripada populasi berkenaan di bawah keadaan yang sama, tetapi tidak mungkin nilai-nilai
x1, x2, x3, x4,.....,xn akan sama bagi sebarang dua sampel. Nilai statistiknya juga akan berbeza.

Oleh yang demikian, sesuatu statistik sampel adalah suatu pemboleh ubah rawak dan berubah
dari sampel ke sampel. Jadi statistik itu mempunyai suatu taburan kebarangkalian yang
dinamakan taburan persampelan, dan sisihan piawai bagi taburan pensampelan itu
dinamakan ralat piawai statistik itu.

Contohnya kita boleh menjangkakan sampel-sampel dengan saiz yang berbeza akan
memberikan nilai-nilai min sampel yang berbeza. Nilai-nilai min ini merupakan pemboleh
ubah rawak dan mempunyai taburan kebarangkalian. Oleh itu min sampel X mempunyai
taburan kebarangkalian yang disebut TABURAN PERSAMPELAN BAGI MIN SAMPEL.

Contoh 1
Katakan suatu populasi terdiri daripada 4 elemen iaitu 0, 1, 2 dan 3.
Maka,

min populasi,

varians populasi ()

Sampel yang bersaiz 2 diambil, maka sampel-sampel yang mungkin dapat disenaraikan. Katakan

dan adalah masing-masing cerapan pertama dan kedua, maka purata sampel, ̅ .

NOTA:
Dua cara untuk sampel dipilih secara rawak:

a) Tanpa pengembalian daripada populasi terhingga
b) Dengan pengembalian atau daripada populasi tak terhingga

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 17 / 26

a) Tanpa pengembalian daripada populasi terhingga

Apabila 2 elemen dipilih daripada 0, 1, 2 dan 3 tanpa pengembalian, sampel-sampel
yang mungkin dan minnya adalah seperti berikut:

Sampel {0,1} {0,2} {0,3} {1,2} {1,3} {2,3}
Min
sampel,

̅

*Sampel {3, 2}, misalnya, dianggap sama dengan {2, 3}.

Taburan persampelan bagi min ̅ adalah seperti berikut:

Min sampel, ̅ 1 2 Jumlah

Kekerapan 11211 6
1
Kebarangkalian

P( ̅ ) =

̅

̅

min taburan persampelan bagi min sampel ̅, ̅ ∑ ̅

varians taburan persampelan bagi min sampel X , ̅ ∑ ̅ ̅

Sekarang,

Ini menunjukkan bahawa ̅ dan ̅ dengan N sebagai saiz

populasi dan n sebagai saiz sampel.

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 18 / 26

b) Dengan pengembalian

Sampel-sampel Min sampel, Sampel-sampel Min sampel,

yang mungkin ̅ yang mungkin ̅

{0, 0} {2, 0}

{0, 1} {2, 1}

{0, 2} {2, 2}

{0, 3} {2, 3}

{1, 0} {3, 0}

{1, 1} {3, 1}

{1, 2} {3, 2}

{1, 3} {3, 3}

Taburan persampelan bagi min ̅ adalah seperti berikut:

Min sampel, ̅ 0 1 2 3 Jumlah

Kekerapan 1 2 3 4 3 2 1 16
Kebarangkalian 1

P( ̅ )

̅

̅

min taburan persampelan bagi min sampel ̅, ̅ ∑ ̅

varians taburan persampelan bagi min sampel X , ̅ ∑ ̅ ̅

Sekarang,

Ini menunjukkan bahawa ̅ dan ̅ dengan n sebagai saiz sampel.

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 19 / 26

Menentukan min dan sisihan piawai bagi min sampel, ̅ jika x mempunyai taburan normal

Sampel bersaiz n diambil …

Populasi dengan pengembalian atau tanpa pengembalian
min,  daripada populasi tak terhingga daripada populasi terhingga

min, ̅ min, ̅

varians, 2 varians, ̅ varians, ̅ ()

sisihan piawai,  ralat piawai, ̅ √ ralat piawai, ̅ √ ( )

di mana N adalah saiz populasi dan n adalah saiz sampel

*NOTA: √

Contoh 2

Suatu sampel rawak bersaiz 20 diambil dari populasi yang bertabur secara normal dengan min 60
dan sisihan piawai 4. Hitung kebarangkalian bahawa min sampel kurang dari 59.

Penyelesaian:
Diberi n = 20, µ = 60 ,  = 4  X ~ N (60,16)
maka min sampel , ̅~ N ( 60 , )  ̅ ~ N ( 60 , )

P ( ̅ ˂ 59 ) = P ( )

√ √

= P (Z ˂ -1.118)
=

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 20 / 26

Contoh 3
Syarikat pengeluaran mempunyai 350 orang pekerja dengan purata umur 37.6 tahun dengan
sisihan piawai 8.3 tahun. Jika sampel rawak 45 orang pekerja diambil, apakah kebarangkalian
sampel tersebut mempunyai purata umur kurang daripada 40 tahun?

Penyelesaian:

Min, µ = 37.6, sisihan piawai,  = 8.3, n = 45, N = 350 (populasi terhingga tanpa pengembalian)

̅ ( ) ̅

P ( ̅ < 40 ) =

Contoh 4
Suatu sampel rawak yang besar bersaiz n dipilih dari suatu populasi normal dengan min 64 dan
sisihan piawai 6 dan min sampel dihitung. Jika P ( ̅ > 62) = 0.8508, anggarkan nilai n.

Penyelesaian :
Diberi µ = 64 ,  = 6 X ~ N (64,36) maka ̅ ~ N ( 64 , )

P ( ̅ 62 ) = 0.8508

P( ) = 0.8508

√ √

P ( Z ˃ √ ) = 0.8508

P ( Z < √ ) = 0.8508

Daripada jadual, P ( Z < 1.04) = 0.8508

Maka, √ = 1.04

√ = 3.1
n = 9.7344
n = 10 (nilai integer terhampir)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 21 / 26

2.2.3 Teorem Had Memusat

Jika ̅ adalah min sampel bersaiz n yang diambil daripada suatu populasi, sama ada taburannya

diketahui (misalnya, taburan Binomial dan lain-lain) ataupun tidak diketahui, statistik min sampel
̅ akan mempunyai satu taburan hampir-hampir normal jika saiz sampel adalah cukup besar, iaitu

n 30 untuk mendapat penghampiran yang baik.

tanpa pengembalian daripada populasi tak terhingga / dengan
daripada populasi terhingga yang bukan pengembalian daripada populasi yang bukan
bertaburan normal atau tidak diketahui
bertaburan normal atau tidak diketahui
min, ̅
min, ̅

varians, ̅ varians, ̅

ralat piawai, ̅ √ ralat piawai, ̅ √
*NOTA:
√

Contoh 1

Tinggi suatu spesis pokok mempunyai taburan normal dengan min 2.1 m dan varians 0.9 m. Jika
setiap sampel rawak yang dipilih mengandungi 30 pokok, cari
a) min dan varians bagi taburan persampelan min
b) kebarangkalian bahawa min sampel di antara 1.8 m dan 2.5 m

Penyelesaian :

a) , ,

Sampel diambil daripada populasi tak terhingga, maka dengan menggunakan Teorem Had
Memusat

̅

̅

=
= 0.03

b) P (1.8 < ̅ < 2.7) = P ( ̅ )

√√√

=

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 22 / 26

Contoh 2
Jika satu sampel rawak bersaiz 40 diambil dari setiap taburan berikut, hitung bagi setiap kes,
kebarangkalian min sampel melebihi 6.1
(a) X ~ Po (6.4)
(b) X ~ B (10,0.6)

Penyelesaian : ̅

(a) X ~ Po (6.4)
Taburan Poisson X ~ Po()  min = varians = 
 µ = 6.4, 2 = 6.4
Dengan menggunakan Teorem Had Memusat, ̅

P ( ̅ > 6.1 ) = P( ̅ √ )

√

= P (Z > - 0.75) -0.75

= P (Z < 0.75)

= 0.7734

0.75

(b) X ~ B (10,0.6)

Taburan Binomial X ~ B (n, p)  min = np , dan varians = npq = np(1 – p)

 µ = 10(0.6) = 6,

2 = 10(0.6)(1 – 0.6) = 2.4

Dengan menggunakan Teorem Had Memusat, ̅ ̅

P ( ̅ > 6.1 ) = ( ̅ )

√ √

= P (Z > 0.4082)

= 1 – P (Z < 0.4082)

= 1 – 0.6583 0.4082

= 0.3417

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 23 / 26

2.2.4 Taburan Persampelan bagi Perkadaran Sampel

Menentukan min dan sisihan piawai perkadaran sampel

Untuk menganalisa data-data diskret daripada suatu populasi, seperti bilangan dan kategori,
kadang-kadang pengkaji mendapatkan statistik seperti perkadaran.

Perkadaran populasi, p adalah nisbah bilangan unsur dalam populasi dengan ciri dikehendaki
kepada jumlah unsur dalam populasi tersebut.Contohnya, menurut Jabatan Perangkaan Malaysia
sehingga 2017, bancian menunjukkan 75.6% penduduk Malaysia tinggal di kawasan bandar.
Dalam hal ini perkadaran populasi, p  0.756 adalah nisbah bilangan penduduk Malaysia yang
tinggal di kawasan bandar kepada bilangan seluruh rakyat Malaysia.

Sedangkan perkadaran sampel, Ps atau pˆ (p-hat) adalah nisbah bilangan unsur dalam sampel
dengan ciri yang dikehendaki, X, kepada saiz sampel, n, iaitu bilangan unsur dalam sampel
tersebut.

Perkadaran Sampel

̂


di mana bilangan item di dalam sampel yang mempunyai
X= ciri-ciri yang dikehendaki
bilangan item di dalam sampel
n=

̂ adalah juga pemboleh ubah rawak, min dan varians bagi ̂ dapat diperoleh dengan

Min ̂ ̂

Varians ̂ ̂

Contoh 1
Selama beberapa tahun yang lalu, didapati bahawa 15% daripada semua kemalangan di sebuah
lebuh raya adalah kemalangan maut. Daripada 150 kemalangan yang berlaku, hitung min dan
varians bagi kadaran berlakunya kemalangan maut.

Penyelesaian:
Min kadaran, ̂

Varians kadaran, ̂

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 24 / 26

Menggunakan kenormalan anggaran perkadaran sampel bagi saiz sampel yang cukup
besar

Teorem Had Memusat untuk perkadaran sampel menyatakan:

Jika saiz sampel cukup besar [ ] diambil daripada populasi dengan perkadaran

ciri yang dikehendaki, p , maka taburan persampelan bagi perkadaran sampel dapat

dibuat penghampiran kepada taburan normal dengan :

Taburan perkadaran sampel: ( )



Ralat piawai bagi perkadaran sampel, ̂ √



Penghampiran kepada taburan normal memuaskan jika :

1. dan atau

2. mendekati

Apabila menggunakan kenormalan anggaran perkadaran sampel kepada Taburan Binormial ,
maka pembetulan keselanjaran diguna pakai.

a) ̂ (̂ )
b) ̂ (̂ )
c) ̂ (̂ )
d) ̂ (̂ )

Contoh 2

Sebuah syarikat telah mengeluarkan sejenis mentol lampu. Dikenal pasti 5% mentol itu rosak.
Hitung kebarangkalian daripada sampel bersaiz 400, mentol yang dipilih secara rawak itu dengan
perkadaran rosak ialah

(a) sekurang-kurangnya 4%
(b) selebih-lebihnya 5%
(c) lebih daripada 4.5%
(d) kurang daripada 4.8%

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 25 / 26

Penyelesaian: ̂
(a)

̂

̂ (̂ )
√ )
̂
̂

(
√

(b)

(c)

UMT 3132 STATISTIK TEKNOLOGI TOPIK 2 PERSAMPELAN| KERTAS PENERANGAN 26 / 26

(d)

Contoh 3

Di sebuah Universiti di Malaysia, 40% pelajarnya menerima biasiswa. Apakah kebarangkalian
sekurang-kurangnya 55 pelajar daripada 150 pelajar itu yang dipilih secara rawak adalah
pemegang biasiswa?

Penyelesaian: