transformasi-geometri

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

TRANSFORMASI GEOMETRI

A. TRANLASI
Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini,
ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas.
Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati
Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

 Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini,

Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang

ditulis sebagai  22

 Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah

ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah

yang ditulis sebagai  2 
1

 Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat

Cartesius. Dengan translasi  2  , diketahui tempat duduknya inggu ini pada
2

titik N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

N a,b 22 N 'a  2,b  2

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T1   a  maka
b

diperoleh bayangannya P'x  a, y  b . Secara matematis, ditulis sebagai

berikut.

   P x, y T1ba  P' x  a, y  b

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan T2   c 
d

Didapat, P' x  a, y   b T2dc  P'' x  a  c, y  b  d  Perhatikan bahwa
P'' x  a  c, y  b  d   P'' x  a  c, y  b  d 
Ini berarti P'' x  a  c, y  b  d  diperoleh dengan mentranslasikan Px, y

dengan T   ba  c  Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan
 d

T2, yang ditulis sebagai T1  T2

Oleh karena T1   a  dan T2   c  maka T1  T2   a  c 
b d b  d

Akibatnya, titik Px, y ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2

menghasilkan bayangan P'' sebagai berikut

T2  ac 
bd
 PT1
   P ''
x, y x  a  c, y  b  d

Sifat:

 Dua buah translasi berturut-turut  a  diteruskan dengan  c  dapat digantikan
b d

dengan translasi tunggal  a  c 
b  d

 Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Contoh:

1. Translasi T1   p  memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)
q

a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan

C(5, 6) oleh translasi tersebut.

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan

T2    11 Tentukan bayangannya!


d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan

jawaban c?

Jawaban

a.   A 1,2 T1qp A' 1  p, 2  q  A14,6

Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3

2+q = 6 sehingga q = 4

Jadi translasi tersebut adalah T1   43

b. translasi T1   43 artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4

satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C'dari segitiga ABC dengan
translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

 A 1,2 T134 A'1  3,2  4  A'4,6
B3,4 T143 B'3  3,4  4  B'6,8
C 5,6 T134C' 5  3,6  4  C' 2,10

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan
C'(-2,10)

c. A'4,6 T211 A''4  1,6  1  A''3,5

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

A'6,8 T2 11 A''6  1,8  1  B''5,7

 A' T2  1  A' '  2   1,10   1  A' '  3,9
4,6 1

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5),

B''(5,7) dan C''(-3,9)

d. translasi titik T1  T2   3  11   2 
4  3

 A 1,2 23 A'1  2,2  3  A'3,5

B3,4 32 B'3  2,4  3  B'5,7

C 5,6 32C' 5  2,6  3  C' 3,9

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7)
dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama
dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.
2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan

T   25 !

Jawab
Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga
diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4

Translasikan titik P dengan T   25 sehingga diperoleh

Pa,b 25 P''a  5,b  2

Jadi titik P'(a-5, b+2)
Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a' + 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan
Diperoleh (a' + 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4

(a' + 2)2 + (b' - 1)2 = 4

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Jadi bayangan dari (a' + 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 jika ditranslasikan

dengan T   5  adalah (a' + 2)2 + (b' - 1)2 = 4
2

B. REFLEKSI

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan

kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri

kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan

bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan

menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik
bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik

ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi Rumus Matriks

Refleksi Ax, y sb.x A'x, y  xy''  10 01 x 
terhadap y

sumbu-x

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Refleksi Ax, y sb.y A' x, y  xy''   1 0  x 
terhadap 0 1 y

sumbu-y

Refleksi Ax, y yx A'y, x  xy''  10 10  x 
terhadap y

garis y=x

Refleksi Ax, y yx A'y,x  xy''   0 01 x 
terhadap 1 y

garis y=-x

Refleksi Ax, y xk A'2k  x, y

terhadap

garis x=k

Refleksi Ax, y yk A'x,2k  y

terhadap

garis y=k

Refleksi Ax, y p,q A'x', y'  x' p    cos180 csoisn118800 x  p 
terhadap titik y'q sin 180 y  q
(p,q) Sama dengan rotasi pusat (p,q)
sejauh 180˚

Refleksi Ax, y 0,0 A' x, y  xy''   1 01 x 
0 y
terhadap titik

pusat (0,0)

Refleksi Ax, y ymx A'x', y'  xy''   cos 2 sin 2  x 
terhadap sin 2  cos 2 y
garis dengan x'  x cos 2  y sin 2
y'  x sin 2  y cos 2

y=mx,m=tan
α

Refleksi Ax, y yxk A'x', y'  xy''  10 10 y x k    0 
terhadap  k
garis y=x+k dengan x'  y  k
y' x  k

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Refleksi Ax, y yxk A'x', y'  xy''   0 01 y x k    0 
terhadap 1  k
garis y=-x+k dengan x'   y  k
y' x  k

SIFAT-SIFAT

a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas,

artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan

translasi (pergeseran) dengan sifat:

 Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua

sumbu pencerminan.

 Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama

ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak

komutatip.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,

menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong

dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling

tegak lures bersifat komutatif.

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan

menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

 Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

 Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu

pencerminan.

 Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

C. ROTASI

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi Ax, y R0,  A'x', y'  xy''   cos  sin   x 
dengan pusat sin  cos y
(0,0) dan dengan x'  x cos  y sin 
sudut putar α y' x sin   y cos

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Rotasi Ax, y RP,  A'x', y'  xy''  csions  sin   x  ab    a 
dengan pusat dengan x'a  x  acos  y  bsin  cos y  b
P(a,b) dan
sudut putar α y'b  x  asin   y  bcos

Keterangan
α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam
α - : arah putaran searah putaran jarum jam

SIFAT-SIFAT

Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan

jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah

bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran

(rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan

bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

D. DILATASI

Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati

miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai

bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih

kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi

diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat

pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya.

Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut

faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.
• Jika k $ _ 1 atau k 0 1, maka hasil dilatasinya diperbesar
• Jika _1 $ k $ 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
• Jika k _ 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi dengan pusat (0,0) Ax, y 0,k A'kx, ky  xy''   k 0  x 
0 k y
dan factor dilatasi k

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Dilatasi dengan pusat P(a,b) Ax, y P,k A'x', y'  xy''   k 0  x  a    a 
dan faktor dilatasi k dengan x'a  kx  a 0 k y  b b

y'b  ky  b

E. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri

Transformasi Rumus Matriks

Identitas Ax, y 1 A'x, y  xy''   1 10  x 
0 y

Translasi Ax, y qp A'x  p, y  q  xy''   x    p 
y q

Refleksi Ax, y sb.x A'x, y  xy''   1 01 x 
terhadap 0 y

sumbu-x

Refleksi Ax, y sb.y A' x, y  xy''   1 10 x 
terhadap 0 y

sumbu-y

Refleksi Ax, y yx A'y, x  xy''   0 10  x 
1 y
terhadap garis

y=x

Refleksi Ax, y yx A'y,x  xy''   0 01 x 
1 y
terhadap garis

y=-x

Refleksi Ax, y xk A'2k  x, y

terhadap garis

x=k

Refleksi Ax, y yk A'x,2k  y

terhadap garis

y=k Ax, y p,q A'x', y'  x' p    cos180  sin 180  x  p 
Refleksi y'q sin 180 cos180 y  q

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

terhadap titik Sama dengan rotasi pusat (p,q)
(p,q) sejauh 180˚

Refleksi Ax, y 0,0 A' x, y  xy''   1 01 x 
0 y
terhadap titik

pusat (0,0)

Refleksi Ax, y ymx A'x', y'  xy''   cos 2 sin 2  x 
terhadap garis sin 2  cos 2 y
y=mx,m=tan α dengan x'  x cos 2  y sin 2
y'  x sin 2  y cos 2

Refleksi garis Ax, y yxk A'x', y'  xy''   0 10 y x k    0 
terhadap 1  k
y=x+k dengan x'  y  k
y' x  k

Refleksi garis Ax, y yxk A'x', y'  xy''   0 01 y x k    0 
terhadap 1  k
y=-x+k dengan x'   y  k
y' x  k

Rotasi dengan Ax, y R0,  A'x', y'  xy''   cos  sin   x 
pusat (0,0) dan sin  cos y
sudut putar α dengan x'  x cos  y sin 
y' x sin   y cos

Rotasi dengan Ax, y RP,  A'x', y'  xy''   cos  sin   x  a    ba 
pusat P(a,b) x'a  x  acos  y  bsin  sin  cos y  b
dan sudut putar y'b  x  asin   y  bcos
α

Dilatasi dengan Ax, y 0,k A'kx, ky  xy''   k 0  x 
0 k y
pusat (0,0) dan

factor dilatasi k

Dilatasi dengan Ax, y P,k A'x', y'  xy''   k 0  x  a    a 
pusat P(a,b) dengan x'a  kx  a 0 k y  b b
dan faktor
y'b  ky  b

dilatasi k

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Komposisi transformasi
1. komposisi dua translasi berurutan

Diketahui dua translasi T1   a  dan T2   c  . Jika translasi T1 dilanjutkan
b d

translasi T2 maka dinotasikan ”T1  T2 ” dan translasi tunggalnya adalah

T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif).

2. komposisi dua refleksi berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis

x=b. Maka bayangan akhir A adalah A'x', y' yaitu:

x'=2(b-a)+x
y'=y
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis

y=b. Maka bayangan akhir A adalah A'x', y' yaitu:

x'=x

y'=2(b-a)+y
b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis
y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah

A'x', y' sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu

(garis) dan sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h,

maka bayangan akhirnya adalah A'x', y' dengan pusat perpotongan garis g

dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari

garis g ke h.

tan  mk  ml
1  mk  ml

Catatan ml  gradien garis l
mk  gradien garis k

d. sifat komposisi refleksi

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali

komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua

sumbu yang saling tegak lurus).

3. rotasi berurutan yang sepusat
a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal
dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi
R(P(a,b),α+β)

b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1
4. komposisi transformasi

Diketahui transformasi T1   a b  dan T2   p q  maka transformasi tunggal
c d r s

dari transformasi:
a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1
b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2

Catatan T1 . T2 = T2 . T1
5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x

dilanjutkan translasi  3  !
2

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

P'(y,x) ditranslasi  3  . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')
2

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3

y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0

jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

6. luas bangun hasiltranformasi
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:
a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan
rotasi.
b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas
bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun
bayangannya adalah L'=k2 +L

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com

SOAL TRANSFORMASI GEOMETRI (1)

1. Tentukan bayangan titik A(-2,8) oleh

a) Translasi  2 3


b) Refleksi terhadap garis

x = -6

c) Refleksi terhadap garis

y=x

d) Refleksi terhadap garis

y=4

e) Refleksi terhadap garis

y = -x

2. Diketahui garis k : 2x + 3y = 2
Tentukan persamaan bayangan garis k oleh :
a) Translasi 3 2
b) Refleksi terhadap garis y = -4
c) Refleksi terhadap garis x + y = 0

Diunduh dari : ekofseptilowati.files.wordpress.com