The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by The Bloom Grow Solutions, 2022-07-14 02:51:43

Matematik Tambahan T5 KSSM

Matematik Tambahan T5 KSSM

Pembezaan

Contoh 6

Bezakan setiap yang berikut terhadap x. (2x + 1)(x – 1)
x
(a) 5x3 + 3 x4 (b) x(! x – 9) (c)
4

Penyelesaian AB
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN(a) d 5x3 + 3 x4 = d (5x3) + d 3 x4 2
MALAYSIA( ) ( )dx 4 dx Bezakan setiap sebutan secara berasingan
dx 4
B
= 5(3x3 – 1) + 3 4x4 – 1

( )d 5x3 + 3 x4 = 15x2 + 3x3 4
( )dx 4

(b) Katakan f(x) = x(! x – 9)

3

= x2 – 9x

f (x) = 3 3 –1 – 9(1x1 – 1) Bezakan setiap sebutan secara berasingan

2 x2

= 3 1 – 9

2 x2

f (x) = 3 ! x –9
2

(c) Katakan y = (2x + 1)(x – 1)
x

= 2x2 – x – 1
x

= 2x – 1 – x–1

dy = d (2x) – d (1) – d (x –1) Bezakan setiap sebutan secara berasingan
dx dx dx dx

= 2x1 – 1 – 0x0 – 1 – (–1x–1 – 1)

dy = 2 + x–2
dx
= 2 + 1
x2

Latihan Kendiri 2.3

1. Cari terbitan pertama bagi setiap fungsi yang berikut terhadap x.

(a) 4 x10 (b) –2x4 (c) 3 (d) 6 (e) –12 !3 x2
5 4x 8 3! x

2. Bezakan setiap fungsi yang berikut terhadap x.

(a) 4x2 + 6x – 1 (b) 4 ! x +2 (c) (9 – 4x)2
5 !x

3. Bezakan setiap fungsi yang berikut terhadap x.

(a) y = 4x2(5 – ! x ) ( )(b) y = x2 + 4 2 (c) y = (4x – 1)(1 – x)
x !x

4. Cari nilai dy pada setiap nilai x yang diberi.
dx

(a) y = x 2 – 2x, x = 1 (b) y = ! x (2 – x), x = 9 (c) y= x2 + 4, x = 2
2 x2

2.2.2 41

Terbitan pertama fungsi gubahan

Untuk membezakan fungsi y = (2x + 3)2, kita kembangkan fungsi itu kepada y = 4x2 + 12x + 9

terlebih dahulu sebelum membezakannya sebutan demi sebutan untuk memperoleh dy = 8x + 12.
dx

Bagaimanakah pula jika kita ingin membezakan fungsi y = (2x + 3)4? Ungkapan
(2x + 3)4 adalah sangat rumit untuk dikembangkan melainkan jika kita pertimbangkan suatu
fungsi sebagai gubahan bagi dua fungsi yang mudah. Mari teroka kaedah tersebut.

KEMENTERIAN4Aktiviti Penerokaan Individu
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Tujuan: Meneroka kaedah yang berlainan untuk membezakan suatu fungsi dalam bentuk
y = (ax + b)n, dengan keadaan a ≠ 0

Langkah:

1. Pertimbangkan fungsi y = (2x + 3)2. dy
dx
2. Kembangkan ungkapan (2x + 3)2 dan tentukan dengan membezakannya sebutan demi
sebutan secara berasingan.

3. Jika u = 2x + 3,
(a) ungkapkan y sebagai fungsi bagi u,

(b) cari du dan dduy ,
dx

(c) tentukan dy × du dalam sebutan x dan ringkaskan jawapan anda.
du dx

4. Bandingkan kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah jawapannya sama?
Kaedah manakah yang menjadi pilihan anda? Berikan sebab.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa terdapat Akses QR
pelbagai cara untuk membezakan suatu fungsi seperti y = (2x + 3)2.
Namun, kaedah seperti yang ditunjukkan dalam langkah 3 adalah Pembuktian petua rantai
lebih mudah digunakan untuk memperoleh terbitan bagi suatu dengan menggunakan
ungkapan dalam bentuk (ax + b)n, dengan keadaan a ≠ 0, yang  idea had.
sukar untuk dikembangkan.
bit.ly/2t6tiW2
Bagi fungsi y = f(x) = (2x + 3)2:
Katakan, u = h(x) = 2x + 3 Sudut Informasi

Jadi, y = g(u) = u2 Ungkapan (2x + 3)4
boleh dikembangkan
Dalam hal ini, y sebagai fungsi bagi u dan u sebagai fungsi dengan menggunakan
bagi x. Jadi, kita katakan bahawa y = f(x) ialah fungsi gubahan teorem Binomial.
bagi y = g(u) dan u = h(x).

Untuk membezakan fungsi seperti ini, kita perkenalkan
satu kaedah mudah yang dikenali sebagai petua rantai, iaitu:

dy = dy × du
dx du dx

42 2.2.3

PPeemmbbeezzaaaann

Secara amnya, terbitan pertama bagi suatu fungsi gubahan adalah seperti berikut:

Jika y = g(u) dan u = h(x), maka pembezaan y terhadap x diberi oleh

f (x) = g(u) × h(x)

iaitu, dy = dy × du AB
dx du dx
KEMENTERIAN 2
PENDIDIKAN
MALAYSIAContoh 7

BBezakan setiap fungsi berikut terhadap x.

(a) y = (3x2 – 4x)7 (b) y = (2x 1 3)3 (c) y = ! 6x2 + 8
+

Penyelesaian

(a) Katakan u = 3x2 – 4x dan y = u7 (b) Katakan u= 2x + dd3uyd=an–y3u=–3u1–31 = u –3
=2 dan =
Jadi, du = 6x – 4 dan dy = 7u6 Jadi, du – 3
dx du dx u4

Dengan petua rantai, Dengan petua rantai,

dy = dy × du dy = dy × du
dx du dx dx du dx

= 7u6(6x – 4)

= 7(3x2 – 4x)6(6x – 4) = – 3 (2)
u4
= (42x – 28)(3x2 – 4x)6
dy 6
dy = 14(3x – 2)(3x 2 – 4x)6 dx = – (2x + 3)4
dx

1 Sudut Informasi

(c) Katakan u = 6x2 + 8 dan y = ! u = u2

Jadi, du = 12x dan dy = 1 1 – 1 = 1 – 1 = 1
2
u2 u Secara amnya, bagi fungsi
dx du 2 2 2! u dalam bentuk y = un, dengan
u ialah fungsi bagi x, maka
Dengan petua rantai, dy = nun – 1 du atau
du dx
dy = dy × du d (un) = nun – 1 du .
dx du dx dx dx
Rumus ini boleh digunakan
= 1 (12x) untuk mendapatkan
2! u pembezaan fungsi dalam

= 12x
2! 6x2 + 8

dy = 6x Contoh 7 secara langsung.
dx ! 6x2 + 8

Latihan Kendiri 2.4

1. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap x.

(a) (x + 4)5 (b) (2x – 3)4 (c) 1 (6 – 3x)6 (d) (4x2 – 5)7
(f) 2 (5 – 2x)9 3 (h) (2x3 – 4x + 1)–10
( )(e) 1 x + 2 8
6 3 (g) (1 – x – x2)3 43

2.2.3

2. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap x.

(a) 1 (b) 1 (c) 5 (d) 3 6)8
3x + 2 (2x – 7)3 (3 – 4x)5 4(5x –

(e) ! 2x – 7 (f) ! 6 – 3x (g) ! 3x2 + 5 (h) ! x2 – x + 1

3. Cari nilai bagi dy pada setiap nilai x atau nilai y yang diberi berikut.
dx
1
(a) y = (2x + 5)4, x = 1 (b) y = !5 – 2x , x = 2 (c) y= 1 3, y = 1
2x –

KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Terbitan pertama bagi suatu fungsi yang melibatkan hasil darab dan hasil
bahagi ungkapan algebra

5Aktiviti Penerokaan Individu

Tujuan: Meneroka dua kaedah berlainan untuk membezakan suatu fungsi yang melibatkan
hasil darab dua ungkapan algebra

Langkah:

1. Pertimbangkan fungsi y = (x2 + 1)(x – 4)2.

2. Kembangkan ungkapan (x2 + 1)(x – 4)2 dan tentukan dy dengan membezakan setiap
sebutan secara berasingan. dx

3. Jika u = x2 + 1 dan v = (x – 4)2, cari

(a) du dan dv ,
dx dx

(b) u dv + v du dalam sebutan x.
dx dx

4. Bandingkan dua kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah jawapannya

sama? Kaedah manakah yang menjadi pilihan anda? Jelaskan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa terdapat Akses QR
lebih daripada satu cara untuk membezakan suatu fungsi yang
melibatkan hasil darab dua ungkapan algebra seperti fungsi Pembuktian petua
y = (x2 + 1)(x – 4)2. Namun, bagi dua ungkapan algebra yang hasil darab dengan
tidak boleh dikembangkan seperti (x2 + 1)! x – 4 , petua hasil menggunakan idea had.

darab seperti dalam langkah 3 ialah kaedah yang sesuai dan bit.ly/2rCVm2G

sering digunakan untuk melakukan pembezaan.

Secara amnya, rumus terbitan pertama bagi suatu fungsi
yang melibatkan hasil darab dua ungkapan algebra, juga dikenali
sebagai petua hasil darab adalah seperti berikut:

Jika u dan v ialah suatu fungsi bagi x, maka Tip Pintar

d (uv) = u dv + v du
dx dx dx
d (uv) ≠ du × dv
dx dx dx

44 2.2.3 2.2.4

Pembezaan

6Aktiviti Penerokaan Individu

Tujuan: Meneroka dua kaedah berlainan untuk membezakan suatu fungsi yang melibatkan
hasil bahagi dua ungkapan algebra

Langkah: AB

KEMENTERIAN1.Pertimbangkan fungsi y = (x x 1)2. 2
PENDIDIKAN2. –
MALAYSIA x dy
Tulis semula fungsi y = (x – 1)2 sebagai y = x(x – 1)–2 dan tentukan dx dengan menggunakan
B
petua hasil darab.

3. Jika u = x dan v = (x – 1)2, cari

(a) du dan dv ,
dx dx

v du – u dv
(b) dx dx dalam sebutan x.

v2

4. Bandingkan kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah anda memperoleh

jawapan yang sama?

5. Kemudian, nyatakan kaedah yang menjadi pilihan anda. Berikan sebab.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa selain

daripada menggunakan petua hasil darab untuk membezakan suatu

fungsi yang melibatkan hasil bahagi dua ungkapan algebra seperti Dengan menggunakan
idea had, buktikan petua
y = (x x 1)2 , kita boleh membezakannya secara langsung dengan hasil bahagi.


menggunakan petua hasil bahagi seperti dalam langkah 3.

Secara amnya, petua hasil bahagi adalah seperti berikut: Tip Pintar

Jika u dan v ialah fungsi bagi x dan v(x) ≠ 0, maka du

v du – u dv ( )du ≠ dx
v dv
( )d u = dx dx dx

dx v v2 dx

Contoh 8 Sudut Informasi

Bezakan setiap yang berikut terhadap x. Petua hasil darab dan petua
hasil bahagi masing-masing
(a) (x2 + 1)(x – 3)4 (b) (3x + 2)! 4x – 1 boleh ditulis seperti
yang berikut.
Penyelesaian

(a) Diberi y = (x2 + 1)(x – 3)4. • d (uv) = uv + vu
dx
Jadi, u = x2 + 1
vu – uv
dan v = (x – 3)4 ( )• d u = v2
dx v
du
Kita peroleh, dx = 2x dengan u dan v
masing-masing ialah
dan dv = 4(x – 3)4 – 1 d (x – 3) fungsi bagi x.
dx dx

= 4(x – 3)3

2.2.4 45

Maka, dy = u dv + v du
dx dx dx
1. Bezakan x(1 – x2)2
= (x2 + 1) × 4(x – 3)3 + (x – 3)4 × 2x terhadap x dengan
menggunakan
= 4(x2 + 1)(x – 3)3 + 2x(x – 3)4 dua kaedah yang
berbeza. Adakah anda
dy = 2(x – 3)3[2(x2 + 1) + x(x – 3)] memperoleh jawapan
dx = 2(x – 3)3(3x2 – 3x + 2) yang sama?

(b) Diberi y = (3x + 2)! 4x – 1 .

Jadi, u = 3x + 2 2. Diberi y = 3(2x – 1)4,
1

dan v = ! 4x – 1 = (4x – 1)2
KEMENTERIAN cari dy dengan
PENDIDIKAN dx
MALAYSIAKita peroleh, du = 3 menggunakan
dx
1 (a) petua rantai,

dan dv = 1 (4x – 1)2 – 1 d (4x – 1) (b) petua hasil darab.

dx 2 dx Petua manakah yang
–1
= 1 (4x – menjadi pilihan anda?
1) 2 (4)
2
=2
! 4x – 1

Maka, dy = u dv + v du Akses QR
dx dx dx
Semak jawapan dalam
= (3x + 2) × 2 + ! 4x – 1 × 3 Contoh 8 dengan
! 4x – 1 menggunakan kalkulator
petua hasil darab.
= 2(3x + 2) + 3! 4x – 1
! 4x – 1

= 2(3x + 2) + 3(4x – 1)
! 4x – 1

dy = 18x + 1 ggbm.at/CHfcruJC
dx ! 4x – 1

Contoh 9

Diberi y = x! x + 3 , cari

(a) ungkapan bagi dy (b) kecerunan tangen pada x = 6
dx

Penyelesaian

(a) Katakan u = x dan v = ! x + 3 . (b) Apabila x = 6,

( )Jadi,dy d !x d dy 3(6 + 2)
dx = x dx !x + 3 + + 3 dx (x) dx = 2! 6 + 3

( )= x 1 + ! x + 3 = 24
2! x + 3 6

= x + 2(x + 3) =4
2! x + 3
Maka, kecerunan tangen pada x = 6
dy = 3(x + 2) ialah 4.
dx 2! x + 3

46 2.2.4

Pembezaan

Contoh 10

(a) Diberi y = 2x + 1 , cari dy
x2 – 3 dx .
dy
(b) Diberi y = x , tunjukkan bahawa dx = 2x – 1 . AB
! 4x – 1 ! (4x – 1)3
KEMENTERIAN 2
PenyelesaianPENDIDIKAN
MALAYSIA
dy ! 4x – 1 d (x) – x d (! 4x – 1)
Bdxdxdx
(a) Katakan u = 2x + 1 dan v = x2 – 3. (b) =
(! 4x – 1)2
Jadi, du = 2 dan dv = 2x
dx dx ! 4x – 1 – 2x

dy v du – u dv = ! 4x – 1
dx dx dx 4x – 1
Maka, =
v2
(! 4x – 1)(! 4x – 1) – 2x
= (x2 – 3)(2) – (2x + 1)(2x)
(x2 – 3)2 =
(4x – 1)! 4x – 1

= 2x2 – 6 – (4x2 + 2x) = 4x – 1 – 2x
(x2 – 3)2
(4x – 1)(! 4x – 1)

= –2x2 – 2x – 6 = (4x 2x – 1 1)
(x2 – 3)2
– 1)(! 4x –
dy –2(x2 + x +
dx = (x2 – 3)2 3) dy = 2x – 1
dx ! (4x – 1)3

Latihan Kendiri 2.5

1. Cari dy bagi setiap fungsi berikut.
dx

(a) y = 4x2(5x + 3) (b) y = –2x3(x + 1) (c) y = x2(1 – 4x)4
(f) y = (x + 5)3(x – 4)4
(d) y = x2! 1 – 2x2 (e) y = (4x – 3)(2x + 7)6

2. Bezakan setiap yang berikut terhadap x dengan menggunakan petua hasil darab.

(a) (1 – x2)(6x + 1) ( )( )(b) x + 2 x2 – 1 (c) (x3 – 5)(x2 – 2x + 8)
xx

3. Diberi f(x) = x! x – 1, cari nilai bagi f (5).

4. Cari kecerunan tangen bagi lengkung y = x! x2 + 9 di x = 4.

5. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 3 (b) 3x (c) 4x2 (d) x3 + 1
2x – 7 4x + 6 1 – 6x 2x – 1

(e) !x (f) x (g) 3x 2 !(h) 4x + 1
x+1 !x – 1 ! 2x2 + 3 3x2 – 7

( )6. d 47
Cari nilai pemalar r dengan keadaan dx 2x – 3 = (x r
x+5 + 5)2

2.2.4

Latihan Formatif 2.2 Kuiz bit.ly/2RHHFu2

1. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 9x 2 – 3 (b) 6 – 1 +8 (c) 5x + 4! x – 7 (d) 10 + 3
x2 x3 x ! x 3! x

( )(e) x2 – 3 2 (f) 8x2 + x (g) 4  – π x + 6 (h) ! x (2 – x)
x !x 9x 3

2. 2 + – 1 , cari nilai bagi f (8).
3
Jika f(x) = 3x 3 6x
KEMENTERIAN
3. Diberi f(t) = 6t3 ,PENDIDIKAN ( )(c) 1
3! tMALAYSIA (b) cari f (t), cari nilai bagi f  8 .

(a) permudahkan f(t),

4. Diberi s = 3t2 + 5t – 7, cari ds dan julat nilai t dengan keadaan ds adalah negatif.
dt dt

5. Diberi dy bagi fungsi y = ax3 + bx2 + 3 pada titik (1, 4) ialah 7, cari nilai a dan nilai b.
dx

6. Cari koordinat titik pada fungsi y = x3 – 3x2 + 6x + 2 dengan keadaan dy ialah 3.
dx

7. Diberi fungsi h(x) = kx3 – 4x2 – 5x, cari (b) nilai k jika h(1) = 8.
(a) h(x), dalam sebutan k,

dy
8. Cari dx bagi setiap fungsi berikut.

( )(a) y = 3 x – 1 4 (b) y = 1 (10x – 3)6 (c) y= 8
46 12 2 – 5x

( )(d) y = x – 1 3 (e) y= 1 (f) y = ! x2 + 6x + 6
x 3! 3 – 9x

9. Jika y = 24 5)2 , cari nilai bagi dy apabila x = 2.
(3x – dx

10. Cari nilai bagi pemalar a dan pemalar b dengan keadaan d 1 =– a
( )dx (3x – 2)3 (3x – 2)b

11. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 4x(2x – 1)5 (b) x4(3x + 1)7 (c) x! x + 3 (d) (x + 7)5(x – 5)3
(h) 1 – 2x 3
(e) 1 – ! x (f) x (g) x2 + 1
1 + !x ! 4x + 1 2x + 7 x–1

12. Tunjukkan bahawa jika f(x) = x! x2 + 3 , maka f (x) = 2x2 + 3
!x2 + 3

13. Diberi y = 4x – 3 , cari dy dan tentukan julat nilai x dengan keadaan semua nilai y dan dy
x2 + 1 dx dx

adalah positif.

14. Diberi y = x–2 , cari julat nilai x dengan keadaan y dan dy adalah negatif.
x2 + 5 dx

48

Pembezaan

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua

Terbitan kedua bagi fungsi algebra AB
Pertimbangkan fungsi kubik y = f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5.
KEMENTERIAN 2
PENDIDIKAN
MALAYSIAFungsi kubik bagi x Fungsi kuadratik bagi x
y = f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5
BPembezaan peringkat pertamaddyy== ff((xx))==33xx22 –– 44xx ++ 33
ddxx

Perhatikan bahawa pembezaan suatu fungsi y = f(x) terhadap x di atas menghasilkan suatu

fungsi x yang lain. Fungsi dy atau f (x) ini dikenali sebagai terbitan pertama bagi fungsi
dx
dy
y = f (x) terhadap x. Bagaimana pula jika kita ingin membezakan dx atau f (x) terhadap x?

( )Apabila dy d dy d
fungsi dx atau f (x) dibezakan terhadap x, kita peroleh dx dx atau dx [f (x)].

d 2y
Fungsi ini ditulis sebagai dx2 atau f (x) dan disebut sebagai terbitan kedua bagi fungsi

y = f(x) terhadap x. Secara amnya,

( )d2y = d dy atau f (x) = d [f (x)]
dx dx dx
dx 2

Contoh 11

(a) Cari dy dan d 2y bagi fungsi y = x3 + 4 .
dx dx 2 x2

( )(b) Jika g(x) = 2x3 + 3x2 – 7x – 9, cari g 1 dan g(–1).
4

Penyelesaian

(a) y = x3 + 4 (b) g(x) = 2x3 + 3x2 – 7x – 9
x2
g(x) = 6x2 + 6x – 7

= x3 + 4x–2 g(x) = 12x + 6

dy = 3x 2 – 8x –3 ( ) ( )Maka, g1 = 12 1 +6
dx 4 4

dy = 3x 2 – 8 =3+6
dx x3
=9

d 2y = 6x + 24x–4 g(–1) = 12(–1) + 6
dx 2
= –12 + 6

d 2y = 6x + 24 = –6
dx 2 x4

2.3.1 49

Contoh 12 Jika y = 5x – 3, cari

Diberi fungsi f(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4, cari nilai-nilai x dengan
keadaan f (x) = f (x).

Penyelesaian ( )(a) dy 2
dx

Diberi f(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4. d 2y
(b) dx2
Jadi, f (x) = 3x2 + 4x + 3 dan f (x) = 6x + 4.
( )Adakah dy 2= d 2y
f (x) = f (x) dx dx2 ?
KEMENTERIAN Jelaskan.
PENDIDIKAN3x2 + 4x + 3 = 6x + 4
MALAYSIA
3x2 – 2x – 1 = 0

(3x + 1)(x – 1) = 0 1
3
x = – atau x = 1

Maka, nilai-nilai x ialah – 1 dan 1.
3

Latihan Kendiri 2.6

dy d2y (c) y = (3x + 2)8
1. Cari dx dan dx2 bagi setiap fungsi berikut.

(a) y = 3x4 – 5x2 + 2x – 1 (b) y = 4x2 – 2
x

2. Cari f (x) dan f (x) bagi setiap fungsi berikut.

(a) f(x) = ! x + 1 (b) f (x) = x4 + 2 (c) f(x) = 2x + 5
x2 x2 x–1

3. Diberi y= x3 + 3x2 – 9x + 2, cari koordinat titik A yang mungkin dengan keadaan dy = 0.
dx
d 2y
Seterusnya, cari nilai bagi dx2 di titik A itu.

Latihan Formatif 2.3 Kuiz bit.ly/2P9X98B

1. Jika xy – 2x 2 = 3, tunjukkan bahawa x2 d 2y + x dy = y.
dx 2 dx

2. Cari nilai f (1) dan f (1) bagi setiap fungsi berikut. x3 + x
x2
(a) f(x) = 3x – 2x3 (b) f(x) = x2(5x – 3) (c) f(x) =

3. Jika f(x) = ! x2 – 5 , cari f (3) dan f (–3).

4. Jika a = t3 + 2t2 + 3t + 4, cari nilai-nilai t dengan keadaan da = d 2a .
dt dt 2

5. Diberi fungsi g(x) = hx3 – 4x2 + 5x. Cari nilai h jika g(1) = 4.

6. Diberi f(x) = x3 – x2 – 8x + 9, cari (b) f (x),
(a) nilai-nilai x dengan keadaan f (x) = 0, (d) julat nilai x untuk f (x) , 0.
(c) nilai x dengan keadaan f (x) = 0,

50 2.3.1

Pembezaan

2.4 Aplikasi Pembezaan

Selain aspek keselamatan, roller coaster juga AB
dibina dengan mempertimbangkan kepuasan
maksimum pengguna. Setiap titik pada trek 2
roller coaster perlu diberi perhatian untuk
mencapai matlamat itu.

Apakah teknik yang boleh digunakan untuk
menentukan kecerunan bagi setiap titik pada trek
roller coaster itu?
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA

B
Kecerunan tangen kepada satu lengkung pada titik-titik yang berlainan

Anda telah mempelajari bahawa kecerunan lengkung pada suatu titik ialah kecerunan tangen pada
titik tersebut. Kecerunan tangen berbeza bagi setiap titik yang berlainan pada suatu lengkung.

Pertimbangkan fungsi y = f (x) = x2 dengan fungsi kecerunannya, dy = f (x) = 2x. Fungsi
dx

kecerunan f (x) digunakan untuk menentukan kecerunan tangen mana-mana garis tangen

kepada graf fungsi f(x) di titik tertentu.

f (x)

Misalnya, bagi fungsi f(x) = x2: f (x) = x2
Apabila x = –2, kecerunan tangen, f (–2) = 2(–2) = – 4

Apabila x = –1, kecerunan tangen, f (–1) = 2(–1) = –2 f Ј(–2) = –4 4 fЈ(2) = 4
Apabila x = 0, kecerunan tangen, f (0) = 2(0) = 0

Apabila x = 1, kecerunan tangen, f (1) = 2(1) = 2 2
Apabila x = 2, kecerunan tangen, f (2) = 2(2) = 4
fЈ(–1) = –2 fЈ(1) = 2
Rajah di sebelah menunjukkan kecerunan tangen kepada
lengkung f(x) = x2 pada lima titik yang berlainan. x
–2 –1 0 1 2

fЈ(0) = 0

Secara amnya, jenis kecerunan tangen, f (a) dan sifatnya kepada suatu lengkung y = f(x)
pada titik P(a, f(a)) dapat diringkaskan seperti yang berikut.

Kecerunan tangen pada titik di x = a, f (a)

Kecerunan negatif Kecerunan sifar Kecerunan positif
apabila f (a) , 0 apabila f (a) = 0 apabila f (a) . 0

Garis tangen condong ke kiri. Garis tangen mengufuk. Garis tangen condong ke
y = f(x) kanan. y = f(x)

y = f(x)

fЈ(a) Ͻ 0 fЈ(a) = 0 fЈ(a) Ͼ 0

P(a, f(a)) P(a, f(a))

P(a, f(a))

2.4.1 51

Contoh 13

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y

( ) ( )x2 2
y = 2x + 1 dan titik-titik A 1 , 5 , B(1, 3) dan C 2, 4 1 y = 2x + –x1–2
4

yang terletak pada lengkung itu.

(a) Cari dy ( )A –21, 5 ( )C 2, 4 4–1
dx
(i) ungkapan bagi , B(1, 3)

(ii) kecerunan tangen bagi lengkung pada titik A, B dan C.
KEMENTERIAN x
(b) Untuk setiap titik A, B dan C, nyatakan keadaan kecerunanPENDIDIKAN 0
MALAYSIA
tangennya pada lengkung itu.

Penyelesaian

(a) (i) y = 2x + 1 (ii) Kecerunan tangen di A 1 , 5 = 2 – 2
x2
= 2x + x–2 ( )2 1 3
dy ( )2
dx = 2 + (–2x–2 –1)
= –14

= 2 – 2x–3 Kecerunan tangen di B(1, 3) = 2 – 2
13
dy = 2 – 2
dx x3 =0

( )Kecerunan tangen di C 2, 4 1 = 2 – 2
4 23

= 13
4

(b) Pada titik A, kecerunan tangennya ialah –14 (, 0). Jadi, kecerunannya adalah negatif
dengan garis tangen condong ke kiri.

Pada titik B, kecerunan tangennya ialah 0. Jadi, kecerunannya adalah sifar dengan garis
tangen adalah mengufuk.

Pada titik C, kecerunan tangennya ialah 1 3 (. 0). Jadi, kecerunannya adalah positif
4

dengan garis tangen condong ke kanan.

Latihan Kendiri 2.7

1. Persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 9x + 1 untuk x > 0.
x

(a) (i) Cari kecerunan tangen kepada lengkung itu di x = 1 dan x = 1.
4

(ii) Untuk setiap koordinat-x itu, nyatakan keadaan kecerunan tangennya kepada
lengkung itu.

(b) Seterusnya, cari koordinat titik pada lengkung dengan keadaan garis tangennya
adalah mengufuk.

2. Lengkung y = ax2 + b mempunyai kecerunan –14 dan 7 masing-masing di x = 1 dan x = 2.
x2

(a) Tentukan nilai a dan nilai b.
(b) Cari koordinat titik pada lengkung dengan keadaan kecerunan tangennya ialah sifar.

52 2.4.1

Pembezaan

Persamaan tangen dan normal kepada satu lengkung pada suatu titik

Pertimbangkan titik P(x1, y1) dan titik R(x, y) yang terletak pada Kecerunan m l
garis lurus l dengan kecerunan m seperti yang ditunjukkan dalam

rajah di sebelah. Didapati bahawa kecerunan PR = y – y1 = m. R(x, y) AB
KEMENTERIAN x – x
PENDIDIKAN 2
MALAYSIA 1

BJadi, rumus bagi persamaan garis lurus l dengan kecerunan mP(x1, y1)

dan melalui titik P(x1, y1) boleh ditulis sebagai:

y − y1 = m(x − x1)

Rumus ini boleh digunakan untuk mencari persamaan tangen dan y
persamaan normal kepada satu lengkung pada suatu titik tertentu. y = f(x)

Dalam rajah di sebelah, garis l1 merupakan tangen kepada l

lengkung y = f(x) pada titik P(a, f(a)). Kecerunan tangen bagi l1 2

ialah nilai bagi dy di x = a, iaitu f (a). l
dx
1
Maka, persamaan bagi tangen ialah:
P(a, f(a))
y – f (a) = f (a)(x – a)
x
0

Garis l2 pula berserenjang dengan tangen l1 dan disebut sebagai normal kepada lengkung
y = f(x) pada titik P(a, f(a)). Jika kecerunan tangen, f (a) wujud dan bukan sifar, kecerunan

bagi normal berdasarkan hubungan m1m2 = –1 ialah – 1 .
f (a)

Maka, persamaan bagi normal ialah:

y – f(a) = – 1 (x – a)
f (a)

Contoh 14

Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung f(x) = x3 – 2x2 + 5 pada titik P(2, 5).

Penyelesaian y
f(x) = x3 – 2x2 + 5
Diberi f(x) = x3 – 2x2 + 5, jadi f(x) = 3x2 – 4x.
10 tangen
Apabila x = 2, f(2) = 3(2)2 – 4(2) = 12 – 8 = 4 8

Kecerunan tangen pada titik P(2, 5) ialah 4. 6 P(2, 5)
4 normal
Persamaan tangen ialah y – 5 = 4(x – 2) 2
y – 5 = 4x – 8
y = 4x – 3 0 246 x

Kecerunan normal pada titik P(2, 5) ialah – 1 .
4

Persamaan normal ialah y – 5 = – 1 (x – 2)
4

4y – 20 = –x + 2
4y + x = 22

2.4.2 53

Latihan Kendiri 2.8

1. Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada titik yang diberi berikut.

(a) f(x) = 5x2 – 7x – 1 pada titik (1, –3) (b) f(x) = x3 – 5x + 6 pada titik (2, 4)

(c) f(x) = ! 2x + 1 pada titik (4, 3) (d) f (x) = x+1 pada titik (3, 2)
x–1

2. Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada nilai x yang diberi berikut.

(a) y = 2x3 – 4x + 3, x = 1 (b) y = ! x – 1 ,x=4 (c) y = ! x + 1, x = 3
!x (f) y = x2 + 3 , x = 3

x+1
(d)KEMENTERIANy=51, x = –2 (e) y = 2 + 1 , x = –1
PENDIDIKANx2 + x
MALAYSIA
3. Satu tangen dan normal dilukis pada lengkung y = x! 1 – 2x di x = – 4. Cari

dy (b) persamaan tangen, (c) persamaan normal.
(a) nilai dx di x = – 4,

4. (a) Tangen kepada lengkung y = (x – 2)2 pada titik (3, 1) melalui titik (k, 7). Cari nilai k.
(b) Normal kepada lengkung y = 7x – 6 di x = 1 menyilang paksi-x di titik A. Cari koordinat A.
x

Menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen dan normal

Rajah 2.1(a) menunjukkan sebuah loyang berbentuk bulatan dengan satu daripada sukuannya,
iaitu AOB telah dipotong. Sebiji bola diputarkan di dalam loyang itu dan bola berpusing
mengikut lilitan loyang yang berbentuk bulatan.

OA OA OA

B BB

Rajah 2.1(a) Rajah 2.1(b) Rajah 2.1(c)

Apakah yang akan berlaku kepada gerakan bola itu apabila sukuan loyang AOB yang
dipotong dikeluarkan daripada loyang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.1(b)? Adakah
gerakan bola itu akan mengikut garis tangen kepada lilitan loyang di titik A?

Contoh 15 Aplikasi Matematik

Rajah di sebelah menunjukkan sebatang jalan raya yang y
boleh diwakili oleh lengkung y = 1 x2 – 2x + 2. Kumar
y = –1 x2 – 2x + 2 B
2 2
memandu keretanya di jalan raya itu. Oleh kerana hujan, y = 2x – c

jalan tersebut menjadi licin dan menyebabkan Kumar 2A

tersasar di titik A lalu mengikut laluan AB yang merupakan

garis tangen y = 2x – c kepada jalan raya itu. Cari 02 x

(a) koordinat A, (b) nilai pemalar c.

54 2.4.2 2.4.3

Pembezaan

Penyelesaian

1 . Memahami masalah AB

Sebatang jalan raya diwakili oleh lengkung y = 1 x2 – 2x + 2. 2
2

Kumar memandu keretanya di jalan raya itu dan tersasar di titik A lalu mengikut
laluan y = 2x – c, iaitu laluan tangen kepada jalan raya.
Cari koordinat A dan nilai pemalar c.
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN2 . Merancang strategi
MALAYSIA
Cari fungsi kecerunan, dy bagi lengkung y = 1 x2 – 2x + 2.
Bdx2

Kecerunan bagi y = 2x – c ialah 2.

dy
Selesaikan dx = 2 untuk memperoleh koordinat A.

Gantikan koordinat A yang diperoleh ke dalam fungsi y = 2x – c untuk mencari

nilai pemalar c.

3 . Melaksanakan strategi 4 . Membuat refleksi

(a) y = 1 x2 – 2x + 2 (a) Gantikan x = 4 bagi A(4, 2) ke
2 dalam y = 2x – 6, kita peroleh
y = 2(4) – 6
dy y=8–6
dx = x – 2 y=2

Oleh sebab y = 2x – c ialah

tangen kepada jalan raya

y = 1 x2 – 2x + 2 di titik A, jadi (b) Laluan AB, iaitu y = 2x – c dengan
2 kecerunan 2 melalui titik A(4, 2)
dy dan (0, – c), maka
dx = 2

x–2=2 kecerunan AB = 2

x=4 y –y
21 =2
Oleh sebab titik A terletak di atas
x2 – x1

lengkung, jadi 2 – (– c) = 2
4–0
y = 1 (4)2 – 2(4) + 2
2 2+c =2
4
y=2

Maka, koordinat A ialah (4, 2). c+2=8

(b) Titik A(4, 2) terletak di atas laluan c=8–2
AB, iaitu y = 2x – c, jadi
2 = 2(4) – c c=6
c=6
Maka, nilai bagi pemalar c ialah 6.

2.4.3 55

Latihan Kendiri 2.9

1. Rajah di sebelah menunjukkan seutas gelang y
tangan yang boleh diwakili oleh lengkung y = x2 – 3x + 4
y = x2 – 3x + 4 dengan keadaan titik A(1, 2) dan
titik B(3, 4) terletak di atas gelang itu. Garis AC C8
ialah tangen kepada gelang pada titik A dan
garis BC pula ialah normal kepada gelang pada 4 B(3, 4)
titik B. Dua ekor semut berjalan masing-masing
di sepanjang garis tangen AC dan garis
normal BC, dan bertemu pada titik C. Cari
(a) persamaan tangen pada titik A,
(b) persamaan normal pada titik B,
(c) koordinat C, iaitu titik pertemuan kedua-dua
ekor semut itu.
KEMENTERIAN A(1, 2)
PENDIDIKAN
MALAYSIA –4 0 4 x

2. Persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 2x2 – 5x – 2.
(a) Cari persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A(1, –5).
(b) Normal itu bertemu lengkung sekali lagi pada titik B. Cari koordinat B.
(c) Seterusnya, cari koordinat titik tengah AB.

3. Dalam rajah di sebelah, tangen kepada lengkung y
y = ax3 – 4x + b
( )y = ax3 – 4x + b di P(2, 1) menyilang paksi-x di Q 1 1 , 0 .
2 P(2, 1)
Normal di P pula menyilang paksi-x di R. Cari
(a) nilai a dan nilai b, x
(b) persamaan normal di titik P,
(c) koordinat R,
(d) luas segi tiga PQR.

( )0 Q 1 –1 , 0 R
2

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung y = ax + b . Garis 3y – x = 14 adalah normal y = ax + –bx
x
kepada lengkung di titik P(1, 5) dan normal ini bertemu Q 3y – x = 14
lengkung sekali lagi di titik Q. Cari
(a) nilai a dan nilai b, P(1, 5)
(b) persamaan tangen di titik P,
(c) koordinat Q, x
(d) koordinat titik tengah PQ. 0

5. (a) Tangen kepada lengkung y = ! 2x + 1 di titik A(4, 3) memotong paksi-x di titik B. Cari
jarak AB.

( )(b) Tangen kepada lengkung y = hx3 + kx + 2 di 1, 1 adalah selari dengan normal kepada
2
lengkung y = x2 + 6x + 4 di (–2, –4). Cari nilai pemalar h dan nilai pemalar k.

56 2.4.3

Pembezaan

Titik pusingan dan sifat titik pusingan tersebut AB

Terdapat tiga jenis titik pegun, iaitu titik maksimum, titik minimum dan titik lengkok balas. 2
Antara titik pegun itu, yang manakah ialah titik pusingan dan bukan titik pusingan? Mari teroka
cara untuk menentukan titik pegun dan sifat-sifatnya.
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN7Aktiviti PenerokaanBerkumpulan PAK-21 STEM PK
MALAYSIA
Tujuan: Menentukan titik pegun pada graf suatu fungsi dan ggbm.at/tggjh78b
Bmenghuraikan sifat titik pegun itu dengan memerhatikan
kecerunan titik-titik kejiranannya

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

2. Perhatikan graf y = –x2 + 2x + 3 dan tangen kepada lengkung itu pada titik P yang terpapar
pada satah.

3. Seret titik P di sepanjang lengkung itu dan perhatikan kecerunan lengkung pada titik P.

4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Koordinat-x bagi titik P –1 0 1 2 3

dy 4
Kecerunan lengkung pada titik P, dx

Tanda bagi dy +
dx

Lakaran tangen

Lakaran graf

5. Gantikan nilai a, b dan c pada petak fungsi f(x) = ax2 + bx + c untuk memperoleh
graf bagi lengkung y = x2 + 2x – 3 pula. Ulang langkah 3 dan 4 dengan menggantikan
koordinat-x bagi titik P dalam jadual tersebut dengan x = –3, –2, –1, 0 dan 1.

6. Klik pada petak f(x) = ax2 + bx + c sekali lagi dan tukarkan x2 kepada x3.
Kemudian, gantikan nilai a, b dan c bagi fungsi itu untuk memperoleh graf bagi
lengkung y = x3 + 4. Ulang langkah 3 dan 4 dengan menggantikan koordinat-x bagi
titik P dalam jadual tersebut dengan x = –2, –1, 0, 1 dan 2.

7. Untuk setiap fungsi yang telah diteroka berikut:

(a) y = –x2 + 2x + 3 (b) y = x2 + 2x – 3 (c) y = x3 + 4

(i) Nyatakan koordinat bagi titik pegun. dy berubah?
(ii) Apabila x menokok melalui titik pegun itu, bagaimanakah nilai dx

(iii) Apakah yang dapat anda perhatikan pada tanda bagi kecerunan lengkung itu?

(iv) Tentukan jenis dan sifat titik pegun itu.

8. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas dan lakukan sesi soal jawab
bersama dengan rakan yang lain.

2.4.4 57

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa suatu titik pegun boleh ditentukan apabila

dy = 0 dan sifat titik pegun itu dapat diringkaskan seperti berikut:
dx

Bagi suatu lengkung y = f(x) dengan titik pegun S di x = a, 0
+S –
•  Jika  dy berubah tanda daripada positif kepada negatif apabila x
dx y = f (x)

menokok melalui a, titik S ialah titik maksimum. y = f (x)
–S+
• KEMENTERIANJika dyberubah tandadaripada negatif kepada positif apabila x
PENDIDIKANdx 0
MALAYSIA
menokok melalui a, titik S ialah titik minimum. y = f (x)
0+
•  Jika  dy tidak berubah tanda apabila x menokok melalui a, titik S +S
dx

ialah titik lengkok balas.

Titik pegun disebut sebagai titik pusingan jika titik itu ialah titik
maksimum atau minimum.

Pertimbangkan graf bagi fungsi y = f(x) seperti yang y

ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Berdasarkan rajah, graf

fungsi menaik yang berwarna merah mempunyai kecerunan A dd–yx– = 0
–ddxy– > 0 d–dx–y < 0
pboerswitiafr,niaaibtuiruddyxme.m0pumnyanaiakkaelcaergurnafanfunneggsaitmif,einauitruunddyyxan,g 0. y = f(x)
dd–yx– = 0 C
Titik dengan keadaan f (x) = dy = 0 disebut sebagai dd–xy– > 0
dx 0a B –ddy–x = 0
cb
titik pegun dengan tangen kepada graf pada titik pegun x

adalah mengufuk. Oleh itu, titik A, B dan C ialah titik

pegun bagi y = f(x).

Daripada graf y = f(x) di sebelah, didapati bahawa:

Titik pegun A ialah titik maksimum Titik pegun B ialah titik minimum

Apabila x menokok melalui x = a, nilai Apabila x menokok melalui x = b, nilai

dy berubah tanda daripada positif dy berubah tanda daripada negatif
dx dx

kepada negatif. kepada positif.

Titik maksimum A dan titik minimum B ini disebut sebagai titik pusingan. Di titik
dy

pegun C pula, nilai dx tidak berubah tanda apabila x menokok melalui x = c. Titik pegun C
bukan titik pusingan. Titik pegun yang bukan titik maksimum atau titik minimum ini disebut
sebagai titik lengkok balas, iaitu titik pada saat berlakunya perubahan kecekungan suatu graf.

58 2.4.4

Pembezaan

Contoh 16

Diberi lengkung y = x3 – 3x2 – 9x + 11.
(a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkung itu.
(b) Tentukan sama ada setiap titik pusingan itu ialah titik maksimum atau minimum.

KEMENTERIANPenyelesaian AB
PENDIDIKAN
MALAYSIA(a) y = x3 – 3x2 – 9x + 11 Sudut Informasi 2

Bdy=3x 2–6x–9 y = f (x)
dx A
= 3(x2 – 2x – 3)
dy B
dx = 3(x + 1)(x – 3)
Apabila lengkung y = f(x)
Untuk titik pusingan, dy =0 berpusing dan bertukar
dx arah pada titik A dan titik B,
titik maksimum A dan titik
3(x + 1)(x – 3) = 0 minimum B disebut sebagai
titik pusingan.
x = –1 atau x = 3

Apabila x = –1, y = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 11

y = 16

Apabila x = 3, y = 33 – 3(3)2 – 9(3) + 11

y = –16

Maka, titik pusingan ialah (–1, 16) dan (3, –16).

(b) x –1.5 –1 – 0.5 2.5 3 3.5
dy 6.75 0 –5.25 –5.25 0 6.75
dx
+0– – 0 +
dy
Tanda bagi dx

Lakaran tangen

Lakaran graf

Daripada jadual, tanda bagi dy berubah daripada positif y
dx (–1, 16)

kepada negatif apabila x menokok melalui x = –1 dan 11
y = x3 – 3x2 – 9x + 11
tanda bagi dy berubah daripada negatif kepada positif
dx

apabila x menokok melalui x = 3. Maka, titik pusingan x

01

(–1, 16) ialah titik maksimum dan titik pusingan (3, –16)
ialah titik minimum.

Lakaran graf bagi lengkung y = x3 – 3x2 – 9x + 11 dengan (3, –16)
titik pusingan maksimum (–1, 16) dan titik pusingan
minimum (3, –16) dapat ditunjukkan seperti dalam rajah
di sebelah.

2.4.4 59

Selain kaedah lakaran tangen bagi suatu fungsi y = f(x), y
d 2y P(1, 2)
y = 3x – x 3
pembezaan peringkat kedua, dx2 jika wujud, boleh
digunakan untuk menentukan sama ada suatu titik pusingan

ialah titik maksimum atau minimum.

Rajah 2.2 menunjukkan graf bagi lengkung 01 x
dy
y = 3x – x3 dengan titik pusingan P(1, 2) dan graf bagi ––
fungsi kecerunannya, dy = 3 – 3x2. dx

dx
KEMENTERIAN
PENDIDIKANDaripadagrafdymelawanx,perhatikanbahawa:
MALAYSIAdx

dy menurun apabila x menokok melalui x = 1 x
dx 0 1 d––y = 3 – 3x 2

dy dx
Í Kadar perubahan dx ialah negatif di x = 1
Rajah 2.2
( )Í d dy , 0 di x = 1
dx dx Sudut Informasi

dy • Kaedah lakaran tangen
Jadi, titik pusingan P(1, 2) dengan dx = 0 dan digunakan untuk
( )ddy menentukan sifat suatu
dx , 0 ialah titik maksimum. titik pegun.
dx
• Kaedah terbitan kedua
Secara amnya, pula digunakan untuk
menentukan sifat suatu
Suatu titik pusingan pada lengkung y = f(x) ialah titik pusingan.

titik maksimum apabila dy = 0 dan d 2y , 0. y
dx dx 2 y = x + 4–x – 2

Rajah 2.3 pula menunjukkan graf bagi lengkung

y = x + 4 – 2 dengan titik pusingan P(2, 2) dan graf bagi
x
fungsi kecerunannya, dy = 1 – 4 . P(2, 2) x
dx x2 02

dy dy
Daripada graf dx melawan x, perhatikan bahawa: ––
dx

dy dy = 1 – –4–
––
dx meningkat apabila x menokok melalui x = 2 dx x 2

Í Kadar perubahan dy ialah positif di x = 2 02 x
dx

( )Í d dy . 0 di x = 2
dx dx

Rajah 2.3

60 2.4.4

Pembezaan

( )dy d dy . 0 ialah titik minimum.
dx
Jadi, titik pusingan P(2, 2) dengan dx = 0 dan dx

Secara amnya,

Suatu titik pusingan pada lengkung y = f(x) ialah titik minimum apabila AB
dy d2y
dx = 0 dan dx2 . 0. 2
KEMENTERIAN
PENDIDIKANContoh 17
MALAYSIA

B
Cari titik-titik pegun bagi setiap lengkung berikut dan tentukan sifat setiap titik pegun itu.

(a) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 5 (b) y = x4 – 4x3 + 1

Penyelesaian

(a) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 5

dy = 6x2 + 6x – 12
dx

= 6(x2 + x – 2)
dy

= 6(x + 2)(x – 1)
dx

Untuk titik pegun, dy =0
dx

6(x + 2)(x – 1) = 0

x = –2 atau x = 1

Apabila x = –2, y = 2(–2)3 + 3(–2)2 – 12(–2) + 5 y
y = 25 (–2, 25)

Apabila x = 1, y = 2(1)3 + 3(1)2 – 12(1) + 5
y = –2

Maka, titik pegun ialah (–2, 25) dan (1, –2).

d 2y y = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 5
dx2 = 12x + 6
5
d 2y
Apabila x = –2, dx 2 = 12(–2) + 6 = –18 , 0

d 2y 0 x
Apabila x = 1, dx2 = 12(1) + 6 = 18 . 0 (1, –2)

Maka, (–2, 25) ialah titik maksimum dan (1, –2) ialah titik minimum.

(b) y = x4 – 4x3 + 1

dy = 4x 3 – 12x 2
dx
dy
dx = 4x 2(x – 3)

dy
Untuk titik pegun, dx = 0

4x2(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

2.4.4 61

Apabila x = 0, y = 04 – 4(0)3 + 1 = 1

Apabila x = 3, y = 34 – 4(3)3 + 1 = –26

Maka, titik pegun ialah (0, 1) dan (3, –26). Tip Pintar

d 2y = 12x 2 – 24x d 2y
dx 2 Apabila dx2 = 0, kaedah
lakaran tangen digunakan
Apabila x = 0, d 2y = 12(0)2 – 24(0) = 0 untuk menentukan sifat
dx 2 suatu titik pegun.

x – 0.1 0 0.1
– 0.124 0 – 0.116
KEMENTERIAN dy
PENDIDIKANdx – 0 –
MALAYSIA
Tanda bagi dy
dx
y
Lakaran tangen y = x3 + 3
A(0, 3) dy
Lakaran graf –dy– > 0 –– > 0
dx dx
dy
0 –– = 0
dx

x

dy Dalam rajah di atas, titik A
Daripada jadual, didapati bahawa dx berubah daripada bukan titik maksimum atau
negatif kepada sifar dan kemudian kepada negatif sekali titik minimum bagi fungsi
lagi, iaitu tiada perubahan tanda apabila x menokok y = x3 + 3, tetapi disebut
melalui 0. sebagai titik lengkok balas.
Maka, (0, 1) ialah titik lengkok balas. Bolehkah anda berikan
tiga contoh fungsi lain
Apabila x = 3, d 2y = 12(3)2 – 24(3) = 36 . 0 yang mempunyai titik
dx 2 lengkok balas?

Maka, (3, –26) ialah titik minimum.

Latihan Kendiri 2.10

1. Cari koordinat titik pusingan bagi setiap lengkung berikut. Dalam setiap kes, tentukan sama

ada titik pusingan itu ialah titik maksimum atau titik minimum.

(a) y = x3 – 12x (b) y = x(x – 6)2 (c) y = x! 18 – x2 (d) y = (x – 6)(4 – 2x)

(e) y = x + 4 (f) y = x2 + 1 (g) y = x + 1 (h) y = (x – 3)2
x x2 x–1 x

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
y = x(x – 2)3
lengkung y = x(x – 2)3.

(a) Cari ungkapan bagi dy .
dx

(b) Cari koordinat titik bagi dua titik pegun P dan Q. 0Q x
P
(c) Seterusnya, tentukan sifat bagi titik pegun Q

menggunakan kaedah lakaran tangen.

62 2.4.4

Pembezaan AB

Menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum dan nilai 2
minimum serta mentafsir penyelesaian tersebut

Kebanyakan tin makanan dan minuman yang terdapat di pasar
raya berbentuk silinder. Bagaimanakah pengeluar tin makanan
dan minuman boleh menentukan ukuran tin tersebut supaya kos
pengeluarannya dapat diminimumkan?

Adakah teknik pembezaan peringkat pertama dan kedua
boleh membantu pengeluar tin menyelesaikan masalah itu?
KEMENTERIAN
PENDIDIKANContoh 18 Aplikasi Matematik
MALAYSIA
Sebuah kilang ingin menghasilkan tin makanan berbentuk
Bsilinder yang diperbuat daripada beberapa kepingan
aluminium dengan isi padu 512 cm3. Permukaan
melengkung tin dibentuk dengan menggulung sekeping
aluminium berbentuk segi empat tepat manakala bahagian
atas dan bawah tin dibentuk dengan memotong keluar dua
buah bulatan daripada dua keping aluminium berbentuk
segi empat sama. Cari jejari tapak tin itu, dalam cm,
supaya jumlah luas permukaan semua kepingan
aluminium yang digunakan adalah minimum.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2πj t
t j
Katakan j cm ialah jejari tapak dan t cm
j
adalah tinggi tin. 2j
Isi padu tin, I = πj2t = 512 cm3
Jumlah luas permukaan kepingan aluminium 2j

yang digunakan,
L = 2(2j)2 + 2πjt
L = 2(4j2) + 2πjt
L = 8j2 + 2πjt
Cari nilai j dengan keadaan L adalah minimum.

2 . Merancang strategi

Ungkapkan L dalam sebutan satu pemboleh ubah tunggal, iaitu dengan
mengungkapkan t dalam sebutan j.
Cari nilai j apabila dL = 0.

dj
Menggunakan nilai j yang diperoleh, tentukan sama ada L adalah maksimum
atau minimum.

2.4.5 63

3 . Melaksanakan strategi 4 . Membuat refleksi dan tafsiran

Isi padu tin, I = 512 Lakaran graf bagi L = 8j2 + 1 024
j
  πj2t = 512
t = 512 … 1 menunjukkan bahawa nilai L adalah
πj 2 minimum di j = 4.

Jumlah luas permukaan, L cm2, L

kepingan-kepingan aluminium yang L = 8j 2 + 1––0–2–4
j
KEMENTERIANdigunakan diberi oleh
PENDIDIKANL = 8j2 + 2πjt … 2
MALAYSIA
Gantikan 1 ke dalam 2, 384

( )L = 8j2 + 2πj 512 04 j
πj 2
L = 8j2 + 1 024
j Jadi, kilang itu perlu menghasilkan
tin makanan dengan jejari tapak ialah
dL = 16j – 1 024
dj j2 4 cm dan tinggi, t = 512 = 512
πj2 π(4)2
Untuk nilai minimum, dL = 0
dj = 10.186 cm supaya jumlah luas
permukaan kepingan-kepingan
16j – 1 024 = 0 aluminium yang digunakan
j2 adalah minimum.

16j3 – 1 024 = 0 Daripada dua persamaan
j3 = 1 024 yang terbentuk dalam
16 Contoh 18,
j3 = 64 π j2t = 512 ... 1
L = 8j2 + 2πjt ... 2
j = 3! 64 Bagi persamaan 1,
bolehkah kita
j=4 mengungkapkan j
dalam sebutan t dan
dL = 16j – 1 024j–2 menggantikannya ke
dj dalam persamaan 2 untuk
menyelesaikan masalah
d 2L = 16 + 2 048 dalam Contoh 18 ini?
dj 2 j3 Bincangkan.

Apabila j = 4, d 2L = 16 + 2 048
dj 2 43

= 48 . 0

Maka, L mempunyai nilai minimum
apabila jejari tapak ialah 4 cm.

Latihan Kendiri 2.11

1. Seutas wayar dengan panjang 80 cm dibengkokkan untuk membentuk sebuah sektor POQ

bagi sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa OQ = j cm dan ∠POQ = q radian.

(a) Tunjukkan bahawa luas, A cm2, bagi sektor POQ itu diberi oleh A = 1 j(80 – 2j).
2
(b) Seterusnya, cari luas maksimum bagi sektor POQ itu.

64 2.4.5

Pembezaan

2. Seutas dawai dengan panjang 240 cm dibengkokkan kepada 13x cm S 13x cm
suatu bentuk seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah.
(a) Ungkapkan y dalam sebutan x. TR
(b) Tunjukkan bahawa luas, L cm2, yang dilitupi oleh dawai itu
diberi oleh L = 2 880x – 540x2. y cm y cm
(c) Cari
(i) nilai x dan nilai y supaya L adalah maksimum, AB
(ii) luas maksimum, dalam cm2, rantau itu.
KEMENTERIAN P 24x cm Q 2
PENDIDIKAN
MALAYSIA3. Sebuah kilang menghasilkan tin minuman berbentuk silinder tegak tertutup dengan isi

padu 32π cm3. Kos bahan yang digunakan untuk bulatan atas dan bawah tin itu ialah B

2 sen per cm2 manakala sisi melengkung tin ialah 1 sen per cm2. 64π ,
j
(a) Tunjukkan bahawa fungsi kos, C membuat tin minuman itu diberi oleh C = 4πj 2 +
dengan j ialah jejari tapak kon.

(b) Cari ukuran tin supaya kos yang digunakan oleh kilang itu adalah minimum.

Mentafsir dan menentukan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung

8Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Meneroka kadar perubahan kedalaman air daripada graf kedalaman-masa

Langkah:

1. Pertimbangkan dua buah bekas berbentuk silinder dan kon yang diisi dengan air pada
kadar malar 3π cm3s–1 daripada sebuah pili air. Setiap bekas itu mempunyai tinggi 9 cm dan
isi padu 48π cm3.

2. Tentukan masa, t, dalam saat, yang diperlukan untuk memenuhkan air di dalam setiap
bekas itu.

3. Berdasarkan luas permukaan air di dalam setiap bekas, lakarkan graf kedalaman-masa
untuk menunjukkan hubungan antara kedalaman aras air, h cm, dengan masa yang diambil,
t saat, untuk memenuhkan air di dalam kedua-dua bekas itu.

4. Perhatikan bentuk graf yang diperoleh. Kemudian, jawab soalan yang berikut.
(a) Berdasarkan kecerunan setiap graf, tentukan kadar perubahan kedalaman air pada
masa tertentu di dalam setiap bekas itu.
(b) Adakah kedalaman air di dalam bekas berbentuk silinder meningkat pada kadar
malar apabila bekas diisi dengan air? Bagaimanakah pula dengan kedalaman air di
dalam bekas berbentuk kon? Adakah kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas
berbentuk kon berubah apabila air diisikan?

5. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

Daripada Aktiviti Penerokaan 8, didapati bahawa kadar perubahan kedalaman air, dh pada masa
dt

tertentu, t ialah kecerunan lengkung pada t dengan andaian air mengalir ke dalam bekas pada kadar
yang malar. Kadar perubahan ini boleh diperoleh dengan melukis suatu tangen kepada lengkung
itu pada t atau menggunakan pembezaan untuk mencari kecerunan tangen pada t. Konsep petua
rantai juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti ini dengan mudah.

2.4.5 2.4.6 65

Misalnya, jika dua pemboleh ubah y dan x berubah dengan masa, t dan dihubungkan oleh

persamaan y = f(x), maka kadar perubahan dy dan dx boleh dihubungkan oleh:
dt dt

dy = dy × dx (Petua rantai)
dt dx dt

Pertimbangkan lengkung y = x2 + 1. Jika x menokok dengan kadar tetap 2 unit per saat, iaitu

dx = 2, maka kadar perubahan y diberi oleh:
dt
KEMENTERIAN dy dy dx
PENDIDIKAN dt = dx × dt Petua rantai
MALAYSIA
= 2x × 2

= 4x

Apabila x = 2, dy = 4(2) = 8 Apabila x = –2, dy = 4(–2) = –8
dt dt

Jadi, kadar perubahan dalam y ialah Jadi, kadar perubahan dalam y ialah

8 unit per saat dan y dikatakan menokok –8 unit per saat dan y dikatakan menyusut

pada kadar 8 unit per saat pada pada kadar 8 unit per saat pada

ketika x = 2. ketika x = –2.

Contoh 19

Suatu lengkung mempunyai persamaan y = x2 + 4 . Cari
dy x

(a) ungkapan bagi dx ,
(b) kadar perubahan y apabila x = 1 dan x = 2, diberi bahawa x menokok dengan kadar tetap

3 unit per saat.

Penyelesaian

(a) y = x2 + 4 Tip Pintar
x

= x2 + 4x –1

dy = 2x – 4x –2 • dy
dx dx ialah kadar perubahan
dy
dx = 2x – 4 y terhadap x.
x2
• dy ialah kadar perubahan
(b) Apabila x = 1, dy = 2(1) – 4 dt
dx 12 y terhadap t.

= –2 • dx pula ialah kadar
dt
Kadar perubahan y diberi oleh: perubahan x terhadap t.

dy = dy × dx
dt dx dt

= –2 × 3
= –6
Jadi, kadar perubahan dalam y ialah – 6 unit per saat.
Maka, y dikatakan menyusut pada kadar 6 unit per saat.

66 2.4.6

Pembezaan

Apabila x = 2, dy = 2(2) – 4 Tip Pintar
dx 22
Jika kadar perubahan y
=3 terhadap masa adalah

Kadar perubahan y diberi oleh: dy
negatif, misalnya = –6,
dy dy dx AB
dt dx dt dt
maka y dikatakan menyusut 2
pada kadar 6 unit s–1, iaitu
kadar susutannya
ialah 6 unit s–1.
KEMENTERIAN = ×
PENDIDIKAN
MALAYSIA=3×3

B=9

Jadi, kadar perubahan dalam y ialah 9 unit per saat.

Maka, y dikatakan menokok pada kadar 9 unit per saat.

Latihan Kendiri 2.12

1. Bagi setiap persamaan yang menghubungkan x dan y berikut, jika kadar perubahan x ialah

2 unit s–1, cari kadar perubahan y pada ketika yang diberi.

(a) y = 3x2 – 4, x = 1 (b) y = 2x2 + 1 , x = 1 (c) y= (3x 2 5)3 , x = 2
2 x –
(d) y = (4x – 3)5, x = 1 (e) y = x , y = 2
2 x+1 (f) y = x3 + 2, y = 10

2. Bagi setiap persamaan yang menghubungkan x dan y berikut, jika kadar perubahan y ialah

6 unit s–1, cari kadar perubahan x pada ketika yang diberi.

(a) y = x3 – 2x2, x = 1 (b) y = x2 + 4 , x = 2 (c) y = 2x2 , x = 3
x x–1

(d) y = (x – 6)! x – 1, x = 2 (e) y= 2x – 1 , y = 3 (f) y = ! 2x + 7 , y = 3
x+1

3. Suatu lengkung mempunyai persamaan y = (x – 8)! x + 4 . Cari

(a) ungkapan bagi dy ,
dx

(b) kadar perubahan y pada ketika x = 5, jika x menokok dengan kadar 6 unit per saat.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan kadar perubahan bagi kuantiti
yang terhubung dan mentafsir penyelesaian tersebut

Hubungan antara jisim, M, dalam kg, dengan jejari, j,
dalam cm, sebiji tembikai yang berbentuk sfera

diwakili oleh persamaan M = 2 j3. Andaikan jejari
625

tembikai bertambah pada kadar tetap 0.1 cm per hari
dan jejarinya ialah 10 cm pada hari tertentu.

Dengan menggunakan petua rantai yang 67
menghubungkan kadar perubahan kuantiti jisim, dM

dt
dj
dan jejari tembikai, dt , bolehkah anda tentukan kadar
perubahan jisim tembikai pada hari tersebut?

2.4.6 2.4.7

Contoh 20

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bekas berisi air 5 cm
yang berbentuk kon dengan jejari 5 cm dan tinggi 12 cm. Air 12 cm
Didapati bahawa air tersebut mengalir keluar melalui lubang
kecil di hujung bekas dengan kadar tetap 4 cm3s–1. Cari
kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu apabila
kedalaman air ialah 3 cm, betul kepada empat angka bererti.

Penyelesaian
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Katakan r cm, h cm dan V cm3 masing-masing ialah jejari, tinggi dan isi padu air di dalam

bekas itu pada masa t saat.

Jadi, V= 1 π r 2h …1
3

Didapati bahawa ∆ DFE dan ∆ BGE adalah serupa. 5 cm
Jadi, r = h
5 12 AG B

r = 5h …2 r cm
12
CF D

Gantikan 2 ke dalam 1: 12 cm
h cm
( )V= 1  π  5h 2h
3 12 E

( )=1  π  25h 2 h Bincangkan masalah yang
3 14 4 berikut bersama-sama
rakan anda.
( )=1  π  25h 3 Air dimasukkan ke dalam
3 14 4 sebuah tangki yang
berbentuk kon membulat
V = 25π h3 dengan jejari 8 cm dan
432 tinggi 16 cm dengan kadar
malar 64π cm3s–1.
Kadar perubahan V diberi oleh petua rantai berikut. Katakan h cm ialah
kedalaman air di dalam
dV = dV × dh tangki dan V cm3 ialah isi
dt dh dt padu air di dalam tangki.
Cari kadar perubahan bagi
( )= d 25π h3 × dh (a) kedalaman air,
dh 432 dt (b) luas permukaan

dV = 25π h2 × dh mengufuk aras air,
dt 144 dt apabila kedalaman air
ialah 8 cm.
Apabila h = 3 dan dV = – 4, kita peroleh
dt
– 4 = 25π (3)2 × dh
144 dt V menyusut, maka
dV adalah negatif
– 4 = 25π × dh dt

16 dt

dh = – 64
dt 25π

= – 0.8148

Maka, kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu
ialah – 0.8148 cms–1 dan kedalaman air dikatakan menyusut
pada kadar 0.8148 cms–1.

68 2.4.7

Contoh 21 Aplikasi Matematik Pembezaan

Jejari sebiji belon berbentuk sfera yang diisikan dengan AB
udara bertambah pada kadar tetap 0.5 cm per saat.
Cari kadar perubahan isi padu belon itu apabila jejarinya 2
ialah 4 cm, betul kepada empat angka bererti.

Penyelesaian
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi
MALAYSIA
Jejari sebiji belon yang diisikan Katakan j cm dan I cm3 masing-masing
Bdengan udara bertambah pada kadarialah jejari dan isi padu belon pada
tetap 0.5 cm per saat. masa t saat.
Cari kadar perubahan isi padu belon Bentukkan satu persamaan yang
apabila jejarinya ialah 4 cm. menghubungkan isi padu, I dan
jejari, j belon itu.
Gunakan petua rantai untuk
menghubungkan kadar perubahan
isi padu dan jejari belon itu.

4 . Membuat refleksi dan tafsiran 3 . Melaksanakan strategi

Apabila dI = 100.5 dan dj = 0.5, maka Andaikan I = f(j).
dt dt
Kadar perubahan I diberi oleh:

dI = dI × dj dI = dI × dj
dt dj dt dt dj dt

100.5 = 4πj2 × 0.5 Diketahui bahawa I = 4 πj 3.
100.5 = 2πj2 3

j2 = 100.5 ( )Jadi, dI = d 4 πj 3 × dj
2π dt dj 3 dt

j2 = 100.5 dI = 4πj2 × dj
2(3.142) dt dt

j2 = 15.993 Apabila j = 4 dan dj = 0.5, maka
j = !15.993 dt
j = ±4
Maka, j = 4 cm. dI   =  4π (4)2 × 0.5
dt

dI   = 4π(16) × 0.5
dt
Jadi, apabila j = 4 dan = 100.5 = 64π × 0.5
  = 32π
bermaksud pada ketika jejari belon
= 32(3.142)
ialah 4 cm, isi padunya menokok
= 100.5
dengan kadar 100.5 cm3 per saat.

Maka, kadar perubahan isi padu belon
apabila j = 4 cm ialah 100.5 cm3 per saat.

2.4.7 69

Latihan Kendiri 2.13

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebutir manik yang y
bergerak di sepanjang lengkung y = 1 x2. Pada y = –1 x 2
8 8
titik A(4, 2), kadar perubahan x ialah 3 unit s–1.
A(4, 2)
Cari kadar perubahan y yang sepadan. x

0

2. Luas sebuah segi empat sama dengan sisi x cm bertambah dengan kadar 8 cm2s–1. Cari
kadar perubahan panjang sisinya apabila luasnya ialah 4 cm2.
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
3. Seketul ais berbentuk kubus dengan sisi x cm mencair pada kadar 10.5 cm3 per minit. Cari
kadar perubahan x pada ketika x = 10 cm.

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebatang lilin yang berbentuk h cm
silinder tegak dan berjejari 3 cm. Tinggi lilin itu ialah h cm 3 cm
dan isi padunya ialah V cm3. Lilin itu terbakar dengan keadaan
tingginya menyusut pada kadar 0.6 cm per minit.
(a) Ungkapkan V dalam sebutan h.
(b) Cari kadar perubahan isi padu lilin itu apabila tingginya
ialah 8 cm.

5. Chandran berjalan pada kadar 3.5 ms–1 daripada sebatang

tiang lampu pada waktu malam seperti yang ditunjukkan

dalam rajah di sebelah. Tinggi Chandran dan tiang lampu itu
masing-masing ialah 1.8 m dan 6 m. Cari kadar perubahan 6 m

(a) panjang bayang-bayang Chandran, 1.8 m
(b) hujung bayang-bayangnya yang bergerak.

Bayang-bayang

Mentafsir dan menentukan perubahan kecil dan penghampiran suatu
kuantiti

Pertimbangkan lengkung y = f(x) dalam rajah di sebelah. Dua y = f (x)
titik berhampiran, iaitu titik A(x, y) dan titik B(x + dx, y + dy) B(x + δx, y + δy) T
terletak di atas lengkung itu dan AT ialah tangen pada titik A.
Perhatikan bahawa AC = dx dan BC = dy.

Diketahui bahawa kecerunan tangen AT ialah: δy
A(x, y)
Nilai bagi dy pada titik A = Nilai bagi had dy
dx dx δx C
dx ˜ 0
Tangen

dengan dy dan dx masing-masing ialah perubahan kecil dalam y dan x.

Jika dx ialah suatu nilai yang kecil, iaitu dx ˜ 0, maka dy adalah penghampiran terbaik
dx
dy
bagi dx .

Jadi, dy ≈  dy .
dx dx

70 2.4.7 2.4.8

Pembezaan

Secara amnya, jika dx ialah nilai yang kecil, maka

dy ≈  dy × dx Jika nilai dx adalah terlalu
dx besar, adakah anda boleh
menggunakan rumus
Rumus ini sangat berguna untuk mencari perubahan d y ≈ dy × dx? Jelaskan. AB
hampir dalam satu kuantiti akibat perubahan kecil dalam
kuantiti yang satu lagi. Semakin kecil nilai dx, semakin tepat dx 2
penghampirannya. Oleh itu, kita boleh tafsirkan bahawa:
KEMENTERIAN
PENDIDIKANBagi suatu fungsi y = f(x), dengan dy ialah perubahan kecil dalam y dan dx ialah
MALAYSIAperubahan kecil dalam x,
•  Apabila dy . 0, maka berlaku tokokan kecil dalam y akibat perubahan kecil
B
dalam x, iaitu dx.
•  Apabila dy , 0, maka berlaku susutan kecil dalam y akibat perubahan kecil

dalam x, iaitu dx.

Seterusnya, oleh sebab f (x + dx) = y + dy dan dy ≈  dy × dx, kita peroleh:
dx

f(x + dx) ≈ y + dy dx atau f (x + dx) ≈ f (x) + dy dx
dx dx

Rumus ini boleh digunakan untuk mencari nilai hampir bagi y.

Contoh 22

Diberi bahawa y = x3, cari
(a) perubahan hampir dalam y jika x menokok daripada 4 kepada 4.05,
(b) perubahan hampir dalam x jika y menyusut daripada 8 kepada 7.97.

Penyelesaian

(a) y = x3 (b) Apabila y = 8, x3 = 8

dy = 3x2 x=2
dx
Apabila x = 4, dx = 4.05 – 4 δy = 7.97 – 8 = – 0.03
dan dy = 3(2)2 = 12
= 0.05 dx
dy
dan dy = 3(4)2 = 48 Jadi, dy ≈  dx × dx

dx dy – 0.03 = 12 × dx
dx
Jadi, dy ≈  × dx – 0.03
12
= 48 × 0.05 dx =

dy = 2.4 dx = – 0.0025

Maka, perubahan hampir dalam y, iaitu Maka, perubahan hampir dalam x, iaitu
dy ialah 2.4.
dy . 0 bermaksud berlakunya tokokan dx ialah – 0.0025.

dx , 0 bermaksud berlakunya susutan

kecil dalam y sebanyak 2.4. kecil dalam x sebanyak 0.0025.

2.4.8 71

Contoh 23

Diberi bahawa y = ! x , cari (b) nilai hampir bagi ! 4.02
dy

(a) nilai dx apabila x = 4

Penyelesaian

(a) y = ! x (b) Apabila x = 4, y = ! 4

1 =2
dx = 4.02 – 4
= x2
KEMENTERIAN
PENDIDIKANdy=11–1 = 0.02
MALAYSIAdx
2 x2 dy
dx
1 – 1 dan = 1
2 4
= x
2 dy
1 Menggunakan f (x + dx) ≈ y + dx dx
= 2! x

dy 1 ! x + dx ≈ y + dy dx
dx 2! 4 dx
Apabila x = 4, =
!4 1
+ 0.02 = 2 + 4 (0.02)

= 1 ! 4.02 = 2.005
2(2)
Maka, nilai hampir bagi ! 4.02
=1 ialah 2.005.
4

Daripada Contoh 23, perhatikan jadual di bawah. Peratus perubahan dalam y
Peratus perubahan dalam x

dx × 100 = 4.02 – 4 × 100 dy × 100 = 2.005 – 2 × 100
x4 y 2

= 0.02 × 100 = 0.005 × 100
4 2

= 0.5% = 0.25%

Secara amnya, AKaedah lternatif

Jika x berubah daripada x kepada x + dx, maka Dalam Contoh 23, dy juga
boleh ditentukan melalui
•  Peratus perubahan dalam x = dx × 100% kaedah penggantian.
x Diberi y = ! x .
Apabila x = 4, y = ! 4
•  Peratus perubahan dalam y = dy × 100%
y =2
Apabila x = 4.02, y = ! 4.02
Jadi, jika diberi suatu fungsi, misalnya y = 3x2 – 2x – 3 dan
x bertambah sebanyak 2% apabila x = 2, bolehkah anda tentukan = 2.005
peratus perubahan dalam y? Ikuti Contoh 24 untuk menyelesaikan Jadi, dy = 2.005 – 2
masalah seperti ini.
= 0.005
72 Maka, ! 4.02 = y + dy

= 2 + 0.005
= 2.005

2.4.8

Pembezaan

Contoh 24

Diberi y = 2x2 – 3x + 4. Apabila x = 2, terdapat perubahan kecil dalam x sebanyak 3%. Dengan
menggunakan konsep kalkulus, cari peratus perubahan dalam y yang sepadan.

Penyelesaian AB

KEMENTERIANDiberi y = 2x2 – 3x + 4 Jadi, dy ≈  dy × dx 2
PENDIDIKAN dx
MALAYSIAApabila x = 2, y = 2(2)2 – 3(2) + 4
= 5 × 0.06
B=6

dy = 4x – 3 = 0.3
= 4(2) – 3
dx dy × 100 = 0.3 × 100
y 6
=5
=5
3
dan dx = 100 × 2 Maka, peratus perubahan dalam y yang

= 0.06 sepadan ialah 5%.

Latihan Kendiri 2.14

1. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam y yang sepadan dengan perubahan

kecil dalam x yang diberi.
(a) y = 4x3 – 3x2, apabila x menokok daripada 1 kepada 1.05.
(b) y = 4! x + 3x2, apabila x menyusut daripada 4 kepada 3.98.

2. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam x yang sepadan dengan perubahan

kecil dalam y yang diberi.

3

(a) y = 2x 2, apabila y menyusut daripada 16 kepada 15.7.

(b) y= x + 2 , apabila y menokok daripada 2 kepada 2 + p.
2

3. Diberi y = 16 cari nilai dy apabila x = 2 dan seterusnya tentukan nilai hampir bagi 16
x2 dx 2.022

5

4. Jika y = x 4, cari peratus perubahan hampir dalam x apabila terdapat 4% perubahan dalam y.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan perubahan kecil dan
penghampiran suatu kuantiti

Sebiji bola yang berbentuk sfera dengan jejari 3 cm dipamkan udara ke
dalamnya. Jejari bola itu berubah sedikit daripada 3 cm kepada 3.01 cm.
Bolehkah anda tentukan perubahan kecil dalam jejari bola itu?
Bagaimanakah pula dengan perubahan kecil dalam isi padu bola itu?

Masalah yang melibatkan perubahan kecil 3.01 cm

seperti ini boleh diselesaikan dengan menggunakan

rumus penghampiran yang telah dipelajari sebelum 3 cm

ini, iaitu d y ≈  dy × dx.
dx

2.4.8 2.4.9 73

Contoh 25 Aplikasi Matematik

Cari perubahan kecil dalam isi padu, I cm3, sebiji bola kaca
yang berbentuk sfera apabila jejarinya, j cm, bertambah
daripada 3 cm kepada 3.02 cm.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Jejari, j sebiji bola kaca berubah
daripada 3 cm kepada 3.02 cm.
Cari perubahan kecil dalam
isi padu, I bola kaca itu.
KEMENTERIAN Cari nilai bagi dI apabila j = 3 cm.
PENDIDIKAN dj
MALAYSIA
Gunakan rumus d I ≈  dI × dj.
dj

4 . Membuat refleksi 3 . Melaksanakan strategi

Apabila j = 3 cm, Katakan I cm3 dan j cm masing-masing

I = 4 π (3)3 ialah isi padu dan jejari bola kaca itu.
3
Jadi, I = 4 πj 3
I = 113.0973 cm3 =  3

Apabila j = 3.02 cm, dI   4πj 2
dj
4
I = 3 π (3.02)3 Apabila j = 3, dj = 3.02 – 3

I = 115.3744 cm3 dI = 0.02
dj
Perubahan isi padu bola kaca dan   =  4π (3)2
= 115.3744 – 113.0973   =  36π
= 2.277 dI
Oleh itu, dI ≈  dj × dj

Maka, perubahan isi padu bola kaca itu   = 36π × 0.02
ialah 2.277 cm3. dI = 2.262

Maka, perubahan kecil dalam isi padu
bola kaca itu ialah 2.262 cm3.

Latihan Kendiri 2.15

!1. l . Cari
Tempoh ayunan, T saat, bagi suatu bandul dengan panjang l cm diberi oleh T = 2π 10

perubahan hampir dalam T apabila l menokok daripada 9 cm kepada 9.05 cm.

2. Luas tompokan minyak yang berbentuk bulatan bertambah dari 4π cm2 kepada 4.01π cm2.
Cari perubahan kecil yang sepadan dalam jejari tompokan minyak itu.

3. Panjang sisi sebuah kubus ialah x cm. Cari perubahan kecil dalam isi padu kubus itu apabila
setiap sisinya menyusut daripada 2 cm kepada 1.99 cm.

4. Cari perubahan kecil dalam isi padu sebuah sfera apabila jejarinya menyusut daripada 5 cm
kepada 4.98 cm.

74 2.4.9

Pembezaan

Latihan Formatif 2.4 Kuiz bit.ly/2PbDTre

1. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = ! x + 1. y
Tangen dan normal kepada lengkung itu pada titik P(0, 1)
masing-masing menyilang paksi-x di Q dan R. Cari AB
(a) persamaan tangen dan koordinat Q,
(b) persamaan normal dan koordinat R, 2
(c) luas, dalam unit2, segi tiga PQR.
KEMENTERIAN P(0, 1) y = �x + 1
PENDIDIKAN Q 0R x
MALAYSIA
2. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x2 – 4x + 1 y
Bdengan garis tangen dan normal pada titik P(a, b). Garisy = x 2 – 4x +1
tangen itu berserenjang dengan garis 2y = 4 – x dan bertemu
paksi-x di B. Garis normal pula bertemu paksi-x di C. Cari 0 Bx
(a) nilai a dan nilai b, C
(b) persamaan tangen pada titik P dan koordinat B,
(c) persamaan normal pada titik P dan koordinat C, P(a, b)
(d) luas, dalam unit2, segi tiga BPC.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kotak terbuka

dengan tapak berbentuk segi empat sama bersisi x cm dan

tinggi h cm. Kotak itu diperbuat daripada kepingan kadbod

dengan luas 75 cm2. h cm
(a) Tunjukkan bahawa isi padu kotak, V cm3, diberi oleh

V = 1 (75x – x3). x cm x cm
4

(b) Cari nilai x dengan keadaan V adalah maksimum dan

juga isi padu maksimum kotak itu.

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebatang kayu AB dengan A
panjang 10 m disandarkan pada dinding sebuah bangunan. 10 m
Hujung kayu A ialah y m dari atas lantai dan hujung kayu
B pula ialah x m dari kaki dinding C. Cari ym
(a) kadar perubahan hujung kayu A jika hujung kayu B
menggelongsor menjauhi dinding pada kadar 3 ms–1 C xm B
apabila x = 8 m, 17 ms–1
(b) kadar perubahan hujung kayu B jika hujung kayu A
menggelongsor ke bawah pada kadar 2 ms–1 apabila 135 m
y = 6 m.

5. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah helikopter yang
berada pada ketinggian 135 m dari permukaan tanah.
Helikopter itu bergerak secara mengufuk ke arah budak
lelaki dengan kadar 17 ms–1. Cari kadar perubahan jarak
antara helikopter dengan budak lelaki itu apabila jarak
mengufuk antara helikopter dengan budak lelaki itu
ialah 72 m.

75

SUDUT REFLEKSI

PEMBEZAAN

Idea had: had f(x) = L
x˜a
KEMENTERIAN
PENDIDIKANPembezaan dengan Rumus pembezaan
MALAYSIA
prinsip pertama •  Jika y = axn, dengan a ialah pemalar dan

dy dy n ialah integer, maka d (axn) = anxn – 1.
Jika y = f(x), maka = had dx , dx
dx
dx ˜ 0

dengan dy ialah perubahan kecil •  Jika y ialah fungsi bagi u dan u ialah

dalam y dan dx ialah perubahan fungsi bagi x, maka dy = dy × du
(Petua rantai) dx du dx
kecil dalam x.

•  Jika u dan v ialah fungsi bagi x, maka

Aplikasi d (uv) = u dv + v du (Petua hasil darab)
dx dx dx

v du – u dv
Tangen dan normal ( )d u = dx dx (Petua hasil bahagi)

dx v v2

y
normal

tangen

Kadar perubahan yang terhubung

y = f(x) P(a, f(a)) Jika dua pemboleh ubah yang terhubung
0 x
x dan y berubah dengan masa, t, maka

dy = dy × dx
dt dx dt

•  Tangen: y – f (a) = f (a)(x – a)
– 1 (x
•  Normal: y – f (a) = f (a) – a)

Perubahan kecil dan penghampiran

Jika y = f(x) dan perubahan kecil dalam

Titik pegun bagi lengkung y = f(x) x, iaitu dx menyebabkan perubahan

y Titik lengkok balas kecil dalam y, iaitu dy, maka
d–dxy– = 0, dd–x–2y2 = 0
C(c, f (c)) dy ≈  dy
Titik pusingan dx dx

y = f(x) maksimum dy ≈  dy × dx
–ddx–y = 0, dd–x–2y2 < 0 dx
B(b, f(b))
dan f(x + dx) ≈ y + dy
Titik pusingan minimum dy
dx
A(a, f (a)) –ddy–x = 0, dd–x–2y2 > 0   ≈ y + (dx)

0 x

76

Pembezaan

1. Bandingkan kaedah pembezaan peringkat pertama bagi suatu fungsi y = f(x) dengan AB
menggunakan petua rantai, petua hasil darab dan petua hasil bahagi.
2
2. Ujian lakaran tangen dan ujian pembezaan peringkat kedua digunakan untuk menentukan
sifat bagi titik-titik pusingan. Dengan menggunakan contoh yang bersesuaian, bincangkan
kebaikan dan kelemahan kedua-dua ujian itu.

3. Persembahkan empat aplikasi pembezaan dalam satu folio digital dan paparkan hasilnya
di hadapan kelas.
KEMENTERIAN
PENDIDIKANLatihan Sumatif
MALAYSIA
1. Selesaikan setiap had yang berikut. TP 2
B
(a) had 8 + 2x – x2 (b) had ! 1 + x + x2 – 1 (c) had 9 – x2 = 8
8 – 2x2 x˜0 x 4 – !x2 + 7
x ˜ –2 x˜k

2. Diberi bahawa had a–5 = –3, cari nilai bagi pemalar a. TP 2
x+4
x ˜ –1

3. Bezakan setiap yang berikut terhadap x. TP 2

(a) 1 (b) 4x(2x – 1)5 (c) 6 (d) x! x + 3
2x + 1 (2 – x)2

4. Diberi y = x(3 – x). TP 2

d2y dy
(a) Ungkapkan y dx2 + x dx + 12 dalam sebutan x yang paling ringkas.

d2y dy
(b) Seterusnya, cari nilai x yang memuaskan y dx2 + x dx + 12 = 0.

( )5. b 7
Kecerunan lengkung y = ax + x2 pada titik –1, – 2 ialah 2. Cari nilai a dan nilai b. TP 3

6. Isi padu sebuah sfera bertambah dengan kadar tetap 20π cm3s–1. Cari jejari sfera itu pada
ketika jejari bertambah dengan kadar 0.2 cms–1. TP 2

7. Diberi y = ! 14 , cari TP 3
6x3 +
1

(a) perubahan hampir dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.05,
(b) nilai hampir bagi y apabila x = 2.05.

8. Diberi y = 1 , cari peratus perubahan hampir dalam y apabila x berubah daripada 4
!x

sebanyak 2%. TP 3

9. Diberi y = 3x2 – 4x + 6 dan terdapat tokokan kecil dalam x sebanyak p% apabila x = 2. Cari
peratus perubahan dalam y yang sepadan. TP 3

77

dy d2y d–y– / –d–2y
10. Rajah di sebelah menunjukkan graf dx dan dx2 bagi fungsi dx dx2

y = f(x). Diberi bahawa fungsi y = f(x) melalui titik 6
(–1, 6) dan (1, 2). Tanpa perlu mencari persamaan bagi
fungsi y = f(x), TP 4 –1 0 1 x
(a) tentukan koordinat titik maksimum dan titik minimum –3

bagi graf fungsi y = f(x), –6
(b) lakarkan graf bagi fungsi y = f(x).

KEMENTERIAN11. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y y = 3x 3 – 4x + 2
PENDIDIKANlengkung y = 3x3 – 4x + 2. Cari TP 3
MALAYSIA(a) persamaan tangen kepada lengkung pada titik A(2, 1),2
(b) koordinat titik lain pada lengkung itu dengan keadaan A(2, 1)
tangennya adalah selari dengan tangen pada titik A. x

12. Dalam  rajah  di  sebelah,  ∆ ADB ialah sebuah segi tiga 0
tegak dengan panjang hipotenusnya ialah 6! 3 cm. Segi
A

tiga itu diputarkan pada AD untuk membentuk sebuah 6�3 cm

kon tegak ABC. Cari TP 4

(a) tinggi, (b) isi padu kon itu, B DC

dengan keadaan isi padu yang dijanakan adalah maksimum.

13. Dalam rajah di sebelah, Mukhriz mendayung sebuah A
kayak dari titik A yang berada 30 m jauhnya dari titik

terdekat B di tepi pantai lurus BD ke titik C yang berada

x m dari titik B. Kemudian, dia berbasikal dari titik C 30 m

ke titik D yang jauhnya 400 m dari titik B dalam masa C D
terpantas yang mungkin. Cari jarak dari B ke C, jika dia B
mendayung pada halaju 40 mmin–1 dan berbasikal pada
xm

halaju 50 mmin–1. TP 5 400 m

14. Sebuah kubus mengembang dengan keadaan sisi-sisinya berubah pada kadar 2 cms–1. Cari
kadar perubahan jumlah luas permukaan kubus itu apabila isi padunya ialah 8 cm3. TP 3

15. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung y = 6x – x2 yang melalui asalan dan titik P(x, y)
P(x, y). TP 3 y = 6x – x2
(a) Jika Q ialah titik (x, 0), tunjukkan bahawa luas, A
bagi segi tiga POQ diberi oleh A = 1 (6x2 – x3). 0 Q(x, 0) 6 x
2
(b) Diberi bahawa x menokok dengan kadar
2 unit per saat, cari
(i) kadar tokokan bagi A apabila x = 2,
(ii) kadar susutan bagi A apabila x = 5.

78

16. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon Pembezaan
12 cm

terbalik dengan jejari 12 cm dan tinggi 20 cm. TP 6

(a) Jika tinggi air di dalam bekas itu ialah h cm, tunjukkan

bahawa isi padu air, V cm3, di dalam bekas itu diberi oleh r cm
20 cm
V = 3 π h3. AB
25 h cm
KEMENTERIAN 2
PENDIDIKAN(b) Air mengalir keluar melalui lubang di hujung bekas,
MALAYSIA
(i) cari perubahan kecil dalam isi padu air apabila h
B
menyusut daripada 5 cm kepada 4.99 cm,

(ii) tunjukkan bahawa susutan kecil sebanyak p% dalam

tinggi air itu akan menyebabkan susutan sebanyak

3p% dalam isi padu.

Sebuah syarikat minuman multinasional mengadakan satu pertandingan mereka
bentuk tin minuman bagi produk terbaharu syarikat, iaitu minuman berperisa kelapa.

PERTANDINGAN MEREKA BENTUK
TIN MINUMAN

Kriteria-kriteria bagi rekaan tin minuman adalah Hadiah menarik
menanti anda!
seperti yang berikut:

• Kapasiti tin minuman ialah 550 cm3.
• Bentuk tin minuman yang perlu dipertimbangkan

adalah seperti silinder, kon, piramid, prisma, kubus

atau kuboid sahaja. Bentuk sfera adalah dilarang.
• Bahan yang digunakan untuk menghasilkan tin

minuman mestilah minimum.

• Tin minuman mestilah unik dan menarik.

Sertai pertandingan tersebut bersama-sama rakan sekelas anda dengan berpandukan

kriteria yang diberikan dan ikuti langkah-langkah yang berikut:

1. Reka tiga bentuk bekas tin minuman yang mungkin.

2. Bagi setiap bentuk yang berkapasiti 550 cm3, tunjukkan ukuran bekas itu dengan
luas permukaannya adalah minimum. Seterusnya, nyatakan luas permukaan

minimum itu.

3. Pilih dan cadangkan satu rekaan terbaik untuk pertandingan itu dengan
menyenaraikan kelebihan rekaan tersebut.

79

BAB

3 PENGAMIRAN
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan Pernahkah anda melihat bangunan
Kamiran Tak Tentu yang bercirikan teknologi binaan
Kamiran Tentu mesra alam? Penggunaan kaca
Aplikasi Pengamiran pada dinding sesebuah bangunan
dapat memaksimumkan tenaga
Senarai cahaya bagi mengurangkan
Standard penggunaan tenaga elektrik.
Pembelajaran Tahukah anda bahawa pengetahuan
mengenai pengamiran adalah
bit.ly/38Z18g9 penting dalam menganalisis struktur
bangunan? Seorang jurutera perlu
80 mengaplikasikan pengetahuan
tersebut semasa mereka bentuk
struktur suatu bangunan. Hal ini
adalah untuk memastikan bangunan
itu teguh dan mempunyai daya tahan
terhadap tiupan angin kencang dan
juga getaran gempa bumi pada
tahap tertentu.

Bonaventura Cavalieri merupakan seorang ahli matematik Itali
yang terawal dalam memperkenalkan konsep pengamiran. Teori
beliau dalam konsep tidak terbahagikan (indivisibles) diguna
pakai untuk mencari luas di bawah suatu lengkung.

Pada tahun 1656, John Wallis dari England pula
telah memantapkan asas pengamiran sedia ada dengan
memperkenalkan konsep had secara rasmi.

Untuk maklumat lanjut:

bit.ly/35O7k8x

Kepentingan Bab Ini

Dalam kejuruteraan hidrologi, jurutera menggunakan
pengamiran untuk menentukan isi padu dalam suatu
sistem hidrologi berdasarkan luas di bawah suatu lengkung
dengan masa.
Dalam kejuruteraan awam, jurutera menggunakan
pengamiran untuk mengira pusat jisim bagi suatu bentuk
yang tidak sekata.
Kriteria Kecederaan Kepala (HIC) yang mengaplikasikan
pengamiran digunakan bagi menentukan nilai risiko
kecederaan kepala dalam suatu perlanggaran.
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Pembezaan Differentiation
Pengamiran Integration
Fungsi kecerunan Gradient function
Persamaan lengkung Equation of curve
Kamiran tak tentu Indefinite integral
Kamiran tentu Definite integral
Pengamiran melalui penggantian Integration by substitution
Rantau Region
Isi padu kisaran Volume of revolution

Video mengenai
bangunan
mesra alam.

bit.ly/2MllaaG

81

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan

Gambar di sebelah menunjukkan sebuah tangki air yang dipasang 

di  sebuah  kilang.  Kadar  air  yang  mengalir  keluar  dari  tangki 
dV
tersebut boleh diwakili oleh  dt = 5t + 2, dengan keadaan V ialah

isi padu air, dalam m3, dan t ialah masa, dalam jam. Air di dalam

tangki tersebut akan habis digunakan dalam masa 5 jam.
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN  Dengan  berpandukan  kadar  air  yang  mengalir  keluar  dari 
MALAYSIAtangki  tersebut,  bagaimanakah  anda  boleh  menentukan  isi  padu 
air dalam tangki itu pada suatu masa tertentu?

Perkaitan antara pembezaan dengan pengamiran

Anda  telah  mempelajari  kaedah  untuk  mencari  pembezaan  bagi  Imbas Kembali

suatu  fungsi  y = f (x).  Pertimbangkan  fungsi  y = 3x2 + 4x + 5, • Jika y = ax n, maka
dy dy = anx .n – 1
maka kita peroleh dx = 6x + 4. dx

  Pengamiran  ialah  suatu  proses  yang  hampir  sama  dengan  • Jika y = a, maka dy = 0.
∫pembezaan tetapi proses ini diwakilkan dengan tatatanda  … dx. dx
Apakah  hubungan  antara  pembezaan  dengan  pengamiran?  Mari 
• Jika y = ax, maka dy = a.
dx

teroka dengan lebih lanjut lagi.

1Aktiviti Penerokaan BBeerrkpuamsapnuglan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pembezaan dengan pengamiran ggbm.at/mggtmhhb

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

2. Klik butang fungsi dan perhatikan graf yang terbentuk.

3. Bersama-sama pasangan anda, bincangkan:
(a) hubungan antara graf fungsi f(x), f (x) dan g(x),
(b) hubungan antara graf fungsi h(x), h(x) dan k(x),
(c) hubungan antara graf fungsi m(x), m(x) dan n(x).

4. Kemudian, bentangkan hasil dapatan anda di hadapan kelas.

5. Ahli daripada pasangan yang lain akan bertanyakan soalan kepada anda.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa: 3.1.1

∫•  Graf fungsi g(x) = f (x) dx adalah sama dengan graf fungsi f(x).
∫•  Graf fungsi k(x) = h(x) dx adalah sama dengan graf fungsi h(x).
∫•  Graf fungsi n(x) = m(x) dx adalah sama dengan graf fungsi m(x).

82

Oleh itu, dapat disimpulkan bahawa pengamiran ialah suatu  Pengamiran
proses songsangan bagi pembezaan. Fungsi f(x), h(x) dan m(x)
masing-masing dikenali sebagai anti terbitan bagi fungsi g(x), GALERI SEJARAH

k(x) dan n(x).

Pembezaan

d [ f (x)] = f (x)
dx

f(x) f (x) Pada tahun 1675, AB
KEMENTERIAN Gottfried Wilhelm Leibniz
PENDIDIKAN Pengamiran merupakan seorang ahli 3
MALAYSIA matematik Jerman yang
∫ f (x) dx = f (x) memperkenalkan simbol
B
Secara amnya, ∫ kamiran, iaitu . Beliau

Jika d [ f (x)] = f (x), maka kamiran bagi f (x) terhadap x mengadaptasikan simbol
dx kamiran daripada huruf ∫
atau s panjang.

∫ialah f (x) dx = f (x).

Contoh 1

∫Diberi d
dx (4x 2) = 8x, cari  8x dx.

Penyelesaian Berikan tiga contoh dalam
kehidupan harian yang
Pembezaan bagi 4x2 ialah 8x. boleh menunjukkan
Secara songsangan, pengamiran bagi 8x ialah 4x2. bahawa pengamiran
adalah songsangan
∫Oleh itu,  8x dx = 4x2. bagi pembezaan.

Contoh 2

Penghasilan arang batu di sebuah kawasan perlombongan 

diberi oleh K = 48 000t – 100t 3, dengan keadaan K ialah

jisim arang batu yang dihasilkan, dalam tan, dan t ialah

masa, dalam tahun.  dK
dt
(a)  Cari kadar penghasilan arang batu,  , dalam

sebutan t.

(b)  Jika kadar penghasilan arang batu berubah kepada  
dK
dt = 96 000 – 600t 2, hitung jisim arang batu yang 

dihasilkan, dalam tan, pada tahun ke-4.

3.1.1 83

Penyelesaian

(a) Diberi K = 48 000t – 100t3.

  Maka,  dK = 48 000 – 300t 2.
dt

(b) Diberi dK = 96 000 – 600t2
dt
= 2(48 000 – 300t2)

  Secara songsangan, pengamiran bagi 48 000 – 300t2 ialah 48 000t – 100t3.

∫  Oleh itu,  2(48 000 – 300t2) dt = 2(48 000t – 100t3)
KEMENTERIAN = 96 000t – 200t3
PENDIDIKAN
MALAYSIA  Maka, jisim arang batu yang dihasilkan pada tahun ke-4 = 96 000(4) – 200(4)3

= 371 200 tan

Latihan Kendiri 3.1

∫1. d
Diberi dx (5x 3 + 4x) = 15x 2  +  4,  cari  (15x2 + 4) dx.

∫2. d
Diberi dx (8x 3) = 24x 2,  cari  24x2 dx.

3. Penggunaan air di sebuah pusat beli-belah A boleh diwakili oleh fungsi J = 100t3 + 30t2,

dengan keadaan J ialah isi padu air yang digunakan, dalam liter, dan t ialah masa,

dalam hari.

(a)  Cari kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A, dalam sebutan t.
dJ
(b)  Jika kadar penggunaan air  bagi pusat beli-belah  A berubah  kepada  dt = 1 500t 2 + 300t,

cari isi padu air, dalam liter, yang digunakan pada hari kedua.

Latihan Formatif 3.1 Kuiz bit.ly/2rGLiWM

∫1. dy
Diberi y = 3(2x + 2)3, cari  dx . Seterusnya, cari  [18(2x + 2)2] dx.

∫2.
Diberi f (x) = 5x + 2 , cari f (x) dan f (x) dx.
2 – 3x

Diberi y = 5(x + 2)3 dan dy = h(x + 2)k, cari nilai h + k. Seterusnya, cari nilai bagi 
∫ ( )3. dx
1 dy dx dengan keadaan x = 2.
10 dx
∫4. Diberi f (x) = 3x(2x + 1)2 dan (12x2 + 8x + 1) dx = af (x), cari nilai a.

5.  Fungsi keuntungan harian daripada jualan tiket bas bagi sebuah syarikat K diberi oleh
A = 100t 2 + 50t 3, dengan keadaan A ialah keuntungan yang diperoleh, dalam RM, dan 

t ialah masa, dalam hari.

(a)  Kira kadar keuntungan jualan tiket bas yang diperoleh syarikat itu selepas 5 hari.

(b)  Diberi kadar keuntungan jualan tiket bas bagi sebuah syarikat H ialah dA = 30t 2 + 40t,
dt

syarikat manakah yang memperoleh keuntungan paling tinggi pada hari ke-10?

84 3.1.1

Pengamiran

3.2 Kamiran Tak Tentu

Gambar di sebelah menunjukkan ahli Kelab Doktor Muda  AB
sebuah sekolah yang sedang mengukur tekanan darah rakannya. 
Bagaimanakah cara untuk menentukan tekanan darah dalam aorta,  3
t saat selepas satu denyutan bagi seorang dewasa normal? 

  Dengan menggunakan kamiran tak tentu terhadap fungsi kadar 
tekanan darah, kita boleh menentukan tekanan darah seseorang.
KEMENTERIAN
PENDIDIKANRumus kamiran tak tentu
MALAYSIA
2Aktiviti Penerokaan BBeerrkpuamsapnuglan PAK-21
B
Tujuan: Menerbitkan rumus kamiran tak tentu secara induktif

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/35s352i

2. Lengkapkan jadual bagi Kes 1 secara bergilir-gilir dengan rakan sepasangan anda.

3. Berdasarkan jadual tersebut, terbitkan rumus kamiran tak tentu secara induktif.

4. Ulang langkah 2 dan 3 bagi Kes 2.

5. Pamerkan hasil kerja anda dan rakan sepasangan anda di dalam kelas.

6. Anda dan rakan sepasangan akan bergerak untuk melihat hasil kerja pasangan lain.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa: Tip Pintar
  Bagi suatu pemalar a,

∫ a dx = ax + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar. Langkah-langkah untuk
mencari kamiran ax n
  Bagi suatu fungsi ax n, terhadap x, dengan
keadaan a ialah pemalar, n
∫ ax n dx = ax n + 1 + c, dengan keadaan a dan c ialah ialah integer dan n ≠ –1:
n+1 1. Tambahkan indeks bagi

pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. x dengan 1.
2. Bahagikan sebutan
ax n + 1
n+1 dengan indeks baharu.
3. Tambahkan pemalar c

dengan hasil kamiran.

  Secara amnya, fungsi ax + c dan + c dikenali sebagai 

kamiran tak tentu masing-masing bagi pemalar a terhadap x dan

fungsi axn terhadap x.

Perhatikan setiap kes yang berikut.

Kes 1 Kes 2 Kes 3

y = 5x, dy = 5 dan dy dy
dx y = 5x + 2, = 5 dan y = 5x – 3, = 5 dan

∫ 5 dx = 5x dx dx

∫ 5 dx = 5x + 2 ∫ 5 dx = 5x – 3

3.2.1 85

Daripada  ketiga-tiga  kes  tersebut,  didapati  bahawa  nilai  dy   bagi  setiap  kes  adalah  sama,  tetapi 
dx

sebutan  pemalar  dalam  hasil  kamiran  tak  tentu  adalah  berbeza.  Pemalar  ini  dikenali  sebagai 

pemalar pengamiran dan biasanya diwakili dengan simbol c. Pemalar c akan ditambah sebagai 
∫sebahagian daripada kamiran tak tentu bagi suatu fungsi. Misalnya,  5 dx = 5x + c.

Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi algebra

Rumus  kamiran  tak  tentu  akan  digunakan  untuk  mencari  kamiran  tak  tentu  bagi  suatu  pemalar 
atau fungsi algebra.
KEMENTERIAN
PENDIDIKANContoh 3
MALAYSIA
Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 12 (b) 1   (c)  – 0.5 
2
∫(c)   – 0.5 dx = – 0.5x + c
Penyelesaian

∫(a) 12 dx = 12x + c ∫(b) 1 dx = 1 x + c 
2 2

Contoh 4 Tip Pintar
∫ ∫ ax n dx = a x n dx
Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.
Cari kamiran bagi setiap
∫(a) x 3 dx ∫(b) 2 dx yang berikut.
x2
∫(a) dx
Penyelesaian ∫(b) 0 dx
∫(c) |x| dx
∫(a) x 3 dx = x3 + 1 + c ∫ ∫(b)2 dx = 2 x –2 dx
3+1 x2
= x4 + c ( )= 2 x–2 + 1 + c
4 –2 + 1

= –2x –1 + c

= – 2 + c
x

Dalam bab pembezaan, anda telah mempelajari kaedah untuk  Sudut Informasi
mencari pembezaan bagi suatu fungsi yang berbentuk seperti 
h(x) = 3x2 + 5x, dengan keadaan f(x) = 3x2 dan g(x) = 5x. ∫ [ f (x) ± g(x)] dx
  Kaedah yang serupa boleh digunakan untuk mencari  ∫ ∫= f (x) dx ± g(x) dx
kamiran bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau 
penolakan sebutan-sebutan algebra. juga dikenali sebagai
Jika f (x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka petua penambahan
atau penolakan.
∫ ∫ ∫[f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx
3.2.1 3.2.2
86

Pengamiran

Contoh 5

Cari kamiran bagi setiap yang berikut.

∫(a) (3x2 + 2) dx ∫(b) (x – 2)(x + 6) dx  ∫ ( )(c) x23+1 dx
x5

Penyelesaian

∫(a) (3x2 + 2) dx ∫(b) (x – 2)(x + 6) dx AB
∫ ∫= 3x2 dx + 2 dx ∫= (x2 + 4x – 12) dx
∫ ∫ ∫= x2 dx + 4x dx – 12 dx 3
= 3x3 + 2x + c
3 = x3 + 4x2 – 12x + c
32
= x3 + 2x + c
= x3 + 2x2 – 12x + c
3
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN∫ ( ) ∫ ( )(c) x2+13x 2+1
MALAYSIA3x5dx =x3 dx

B∫ ( )= 3x2 + x–3 dxKamiran bagi suatu
∫ ∫= 3x2 dx + x–3 dx fungsi yang melibatkan
= 3x3 + x–2 + c penambahan dan penolakan
3 –2 sebutan-sebutan algebra
1 boleh diwakilkan dengan
= x3 – 2x 2 + c satu pemalar pengamiran
sahaja. Jelaskan.

Latihan Kendiri 3.2

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

∫(a) 2 dx ∫(b) 5 dx  ∫(c)  –2 dx ∫(d) π dx
6 3

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
4 2
(a) 3x2 (b) 3 x 3  (c)  –x (d) – x2

(e) 3   (f)  3! x   (g)  2 ( )(h) – 3 3
x3 3! x !x

3. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. 1 3
2 x2
(a) 2x + 3 (b) 4x2 + 5x  (c)  x3 + 5x – 2 (d) + 4x – 2

4. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

∫(a) (x + 2)(x – 4) dx ∫(b) x2(3x2 + 5x) dx  ∫(c)  (5x2 – 3! x ) dx
∫(f)  (x + ! x )2 dx
∫(d) (5x – 3)2 dx 5x2 – 3x
x
∫ ( )(e) dx 

3.2.2 87

Kamiran tak tentu bagi fungsi berbentuk (ax + b)n, dengan keadaan a dan
b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1

Anda telah mempelajari cara untuk mencari kamiran tak tentu bagi fungsi y = 2x + 1.
Bagaimanakah pula cara untuk mencari kamiran bagi fungsi y = (2x + 1)8?

  Ungkapan (2x + 1)8 adalah sangat rumit untuk dikembangkan. Jadi, fungsi seperti ini 
boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah penggantian.

∫  Pertimbangkan  fungsi  y = (ax + b)n dx,  dengan  keadaan  a dan b ialah pemalar, n ialah
KEMENTERIAN dy
PENDIDIKANinteger dan n ≠ –1, maka dx= (ax +b)n.
MALAYSIA
Katakan,  u = ax + b
Jadi, du = a

dx

dan dy = un
dx

Dengan menggunakan petua rantai, Imbas Kembali
dy = dy × dx
du dx du Bagi suatu fungsi
y = g(u) dan u = h(x),
= dy × 1
dx ( du ) dy = dy × du
dx dx du dx

Gantikan  dy = un dan du = a, kita peroleh
dx dx

dy = un × 1 Sudut Informasi
du a

∫y = un du Ungkapan (ax + b)n dapat
a
dikembangkan dengan

∫ ∫(ax + b)n dx = un menggunakan teorem
a
du Binomial. Rumus am teorem

Binomial bagi ungkapan

∫= 1 un du (ax + b)n ialah
a
n [nCk(ax)n – k(b)k], dengan
1 un + 1
a n+1 ∑
[ ]= +c
k=0
keadaan k dan n ialah

Gantikan u = ax + b, kita peroleh integer serta a dan b

ialah pemalar.

∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1 + c
a(n + 1)

Maka,

∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1 + c, dengan keadaan  Menggunakan rumus
a(n + 1) di sebelah, bolehkah anda
mencari kamiran bagi
a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1.
∫ (3x 2 + 3)3 dx?

88 3.2.3

Pengamiran

Contoh 6

Dengan menggunakan kaedah penggantian, cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

∫(a) (3x + 5)5 dx ∫(b) ! 5x + 2 dx

Penyelesaian

(a)  Katakan u = 3x + 5 (b)  Katakan u = 5x + 2
du du
Jadi, dx = 3 Jadi, dx = 5

KEMENTERIANdx = du dx = du AB
PENDIDIKAN3 5
MALAYSIA !u 3
∫ ∫(3x + 5)5 dx = u5 du ∫ ∫! 5x + 2 dx = 5
3 Bdu
( )= 1 u6 + c
36 1

= (3x + 5)6 + c ∫= u2 du
18 5
3
= 2
u2 + c
15
3
= 2
(5x + 2)2 + c
15

Contoh 7 (b) 3
(5x – 3)6
Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) (2 – 3x)4 ∫ ∫(b) 3 dx = 3(5x – 3)–6 dx
(5x – 3)6
Penyelesaian
= 3(5x – 3)–5 + c
∫(a) (2 – 3x)4 dx = (2 – 3x)5 + c 5(–5)
–3(5)
= – (2 – 3x)5 + c
15

= – 3 3)5 + c
25(5x –

Latihan Kendiri 3.3

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kaedah penggantian.

∫(a) (x – 3)2 dx ∫(b) (3x – 5)9 dx  ∫(c)  4(5x – 2)5 dx
∫(d) (7x – 3)4 dx
3 ∫(e) 12 dx  ∫(f)  2 dx
(2x – 6)3 3(3x – 2)2

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

(a) (4x + 5)4 (b) 2(3x – 2)3  (c)  (5x – 11)4

(d) (3x – 2)5 (e) (6x 5 3)6   (f)  12
5 – (3x – 5)8

3.2.3 89

Persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan

Nilai pemalar pengamiran, c boleh ditentukan dengan menggantikan nilai x dan y yang sepadan 
ke dalam hasil pengamiran suatu fungsi kecerunan.

Contoh 8

Tentukan nilai pemalar pengamiran, c bagi  dy = 4x3 + 6x 2  –  3  dengan  y = 25 apabila x = 2.
dx
KEMENTERIAN
PENDIDIKANPenyelesaian
MALAYSIA
Diberi dy = 4x3 + 6x2 – 3. Apabila x = 2 dan y = 25,
dx 25 = 24 + 2(2)3 – 3(2) + c
c = –1
∫Jadi, y = (4x3 + 6x2 – 3) dx
y = 4x4 + 6x3 – 3x + c Maka, nilai pemalar pengamiran, c
43 dy
y = x4 + 2x3 – 3x + c bagi  dx = 4x3 + 6x2 – 3 ialah –1.

Fungsi kecerunan,  dy  atau f (x) bagi suatu lengkung boleh ditentukan dengan melakukan 
dx

pembezaan terhadap persamaan lengkung y = f (x). Sebaliknya, persamaan bagi suatu lengkung 

boleh diperoleh daripada pengamiran fungsi kecerunannya. Secara amnya,

Diberi suatu fungsi kecerunan  dy = f (x), maka persamaan lengkung 
dx
∫bagi fungsi itu ialah y = f (x) dx.

Contoh 9

Kecerunan bagi suatu lengkung pada titik (x, y) ialah dy = 15x2 + 4x – 3.
dx

(a)  Jika lengkung itu melalui titik (–1, 2), cari persamaan lengkung itu.

(b)  Seterusnya, cari nilai y apabila x = 1.

Penyelesaian

(a) Diberi dy = 15x2 + 4x – 3. (b) Apabila x = 1,
dx y = 5(1)3 + 2(1)2 – 3(1) + 2
y=6
∫Jadi, y = (15x2 + 4x – 3) dx Maka, y = 6 apabila x = 1.
y = 5x3 + 2x2 – 3x + c
Apabila x = –1 dan y = 2,
2 = 5(–1)3 + 2(–1)2 – 3(–1) + c
c=2

Maka, persamaan lengkung itu ialah 
y = 5x3 + 2x2 – 3x + 2.

90 3.2.4


Click to View FlipBook Version
Previous Book
ตลาดร้อยปีสามชุก สุพรรณบุรี
Next Book
HARI ANUGERAH KECEMERLANGAN AKADEMIK SMKS19 2022