The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by The Bloom Grow Solutions, 2022-07-14 02:51:43

Matematik Tambahan T5 KSSM

Matematik Tambahan T5 KSSM

MATEMATIK

TAMBAHAN

5TINGKATAN
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN MALAYSIA

KEM RUKUN NEGARA
EN
TERIAN Bahawasanya Negara Kita Malaysia
PENDID mendukung cita-cita hendak;
IKAN
M Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
ALAYSIA seluruh masyarakatnya;

Memelihara satu cara hidup demokrasi;

Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;

Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;

MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan

seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber: Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

KEMENTERIAN KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH
PENDIDIKAN
MALAYSIAMATEMATIK
TAMBAHAN

Tingkatan 5

PENULIS

Zaini bin Musa
Dr. Wong Mee Kiong
Azizah binti Kamar

Zakry bin Ismail
Nurbaiti binti Ahmad Zaki
Zefry Hanif bin [email protected]

Saripah binti Ahmad

EDITOR

Siti Aida binti Muhamad
Izyani binti Ibrahim

PEREKA BENTUK

Paing Joon Nyong

ILUSTRATOR

Nagehteran A/L Mahendran

ABADI ILMU SDN. BHD.
2020

NO. SIRI BUKU: 0108KEMENTERIAN PENGHARGAAN
PENDIDIKAN
KPM2020 ISBN 978-983-2914-67-9MALAYSIA Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
banyak pihak. Sekalung penghargaan dan terima
Cetakan Pertama 2020 kasih kepada semua pihak yang terlibat:
© Kementerian Pendidikan Malaysia •  Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf 

Hak cipta terpelihara. Mana-mana bahan dalam  Muka Surat, Bahagian Sumber dan
buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula, Teknologi Pendidikan, Kementerian
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan  Pendidikan Malaysia.
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang •  Jawatankuasa Penyemakan Naskhah 
bentuk atau cara, baik dengan cara elektronik,  Sedia Kamera, Bahagian Sumber dan
mekanik, penggambaran semula mahupun Teknologi Pendidikan, Kementerian
dengan cara perakaman tanpa kebenaran  Pendidikan Malaysia.
terlebih dahulu daripada Ketua Pengarah •  Pegawai-pegawai Bahagian Sumber dan 
Pelajaran Malaysia, Kementerian Pendidikan Teknologi Pendidikan serta Bahagian
Malaysia. Perundingan tertakluk kepada Pembangunan Kurikulum, Kementerian
perkiraan royalti atau honorarium. Pendidikan Malaysia.
•  Pengerusi serta ahli panel penilaian dan 
Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan  peningkatan mutu.
Malaysia oleh: •  GeoGebra
Abadi Ilmu Sdn. Bhd. •  Desmos
(199701033455) (448954-X) •  Semua individu yang terlibat secara langsung 
7-13, Infinity Tower, atau tidak langsung dalam penghasilan Buku
No. 28, Jalan SS6/3, Kelana Jaya, Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 ini.
47301 Petaling Jaya,
Selangor Darul Ehsan.
Tel: +603-7886 4517    Faks: +603-7886 4512
E-mel: [email protected]

Reka Letak dan Atur Huruf: 
Abadi Ilmu Sdn. Bhd.
(199701033455) (448954-X)
Muka Taip Teks: Times
Saiz Taip Teks: 11 poin

Dicetak oleh: 
World Line Marketing Sdn. Bhd. (1115599-K)
Lot 12, Jalan CJ 1/16,
Kawasan Perindustrian Cheras Jaya,
43200 Cheras,
Selangor Darul Ehsan.

KEMENTERIANPendahuluan v
PENDIDIKAN
MALAYSIARumus vii

1BAB Sukatan Membulat 1
1.1 Radian 
1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 2
1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 5
1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 12
Sudut Refleksi 20
Latihan Sumatif 23
Eksplorasi Matematik 24
27
2BAB Pembezaan
2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 28
2.2 Pembezaan Peringkat Pertama
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 30
2.4 Aplikasi Pembezaan 38
Sudut Refleksi 49
Latihan Sumatif 51
Eksplorasi Matematik 76
77
3BAB Pengamiran 79
3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan
3.2 Kamiran Tak Tentu 80
3.3 Kamiran Tentu
3.4 Aplikasi Pengamiran 82
Sudut Refleksi 85
Latihan Sumatif 92
Eksplorasi Matematik 111
114
4BAB Pilih Atur dan Gabungan 115
4.1 Pilih Atur 117
4.2 Gabungan
Sudut Refleksi 118
Latihan Sumatif
Eksplorasi Matematik 120
132
137
138
139

iii

KEMENTERIAN5BAB Taburan Kebarangkalian 140
PENDIDIKAN5.1 Pemboleh Ubah Rawak
MALAYSIA5.2 Taburan Binomial 142
5.3 Taburan Normal 152
Sudut Refleksi 166
Latihan Sumatif 184
Eksplorasi Matematik 185
187
6BAB Fungsi Trigonometri
6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 188
6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 190
6.4 Identiti Asas 193
6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 201
6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 211
Sudut Refleksi 215
Latihan Sumatif 222
Eksplorasi Matematik 228
229
7BAB Pengaturcaraan Linear 231
7.1 Model Pengaturcaraan Linear
7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 232
Sudut Refleksi
Latihan Sumatif 234
Eksplorasi Matematik 240
246
8BAB Kinematik Gerakan Linear 247
8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa  249
8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 
8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear  250
8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear
Sudut Refleksi 252
Latihan Sumatif 260
Eksplorasi Matematik 267
272
Jawapan 275
Glosari 275
Senarai Rujukan 278
Indeks
279
iv 294
295
296

Buku Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM  ini  ditulis  berdasarkan  Dokumen 
Standard  Kurikulum  dan  Pentaksiran  (DSKP)  Matematik  Tambahan  Tingkatan  5  yang 
disediakan oleh Kementerian Pendidikan Malaysia.

Buku ini diterbitkan bagi melahirkan murid yang mempunyai Kemahiran Abad

Ke-21  dengan  menerapkan  Kemahiran  Berfikir  Aras  Tinggi  (KBAT),  kemahiran  maklumat 
dan komunikasi, kemahiran berfikir dan menyelesaikan masalah serta kemahiran interpersonal 
dan arah kendiri supaya murid dapat bersaing pada peringkat global. Murid yang menguasai

kemahiran berfikir  aras tinggi berupaya untuk  mengaplikasikan pengetahuan, kemahiran dan 
nilai dalam membuat penaakulan dan refleksi bagi menyelesaikan masalah, membuat keputusan, 
berinovasi dan berupaya mencipta sesuatu. 

Elemen  Merentas  Kurikulum  (EMK)  seperti  penggunaan  bahasa  pengantar  yang  betul, 
kelestarian alam sekitar, nilai-nilai murni, penggunaan sains dan teknologi, semangat patriotik, 
berinovasi dan kreatif, keusahawanan, teknologi maklumat dan komunikasi, kelestarian global 
dan pendidikan kewangan diaplikasikan secara menyeluruh dalam penghasilan kandungan buku 
teks ini. Selain itu, pendekatan STEM diberikan supaya murid berpeluang untuk mengintegrasikan 
pengetahuan, kemahiran dan nilai dalam bidang sains, teknologi, kejuruteraan dan matematik.

Buku ini juga memberikan penekanan terhadap penerapan pemikiran komputasional (PK).
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
CIRI-CIRI ISTIMEWA DALAM BUKU INI DAN FUNGSINYA

1Aktiviti Penerokaan Individu Aktiviti yang melibatkan murid secara individu, berpasangan atau 
berkumpulan yang menggalakkan murid terlibat secara aktif dalam 
1Aktiviti Penerokaan Berpasangan proses pembelajaran.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan Mendedahkan murid dengan soalan-soalan untuk menguji kefahaman 
murid mengenai konsep yang dipelajari.
Latihan Kendiri 1.1 Mengandungi soalan-soalan untuk menguji sejauh mana penguasaan 
murid terhadap topik yang dipelajari.
Latihan Formatif 1.1 Menyediakan soalan penyelesaian masalah berserta langkah kerja yang
merangkumi situasi kehidupan yang sebenar.
Aplikasi Matematik
Imbas Kembali Membantu murid mengingat kembali perkara yang telah dipelajari.

Sudut Informasi Mengemukakan soalan yang memerlukan murid untuk berfikir secara 
GALERI SEJARAH kreatif dan menguji penguasaan murid.

Memberikan informasi tambahan kepada murid untuk lebih menguasai 
topik yang dipelajari.

Merangkumi penerangan mengenai sejarah perkembangan matematik
dan sumbangan tokoh-tokoh matematik.

Mengandungi aktiviti-aktiviti yang memerlukan perbincangan murid.

v

Akses QRKEMENTERIAN Memaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik dalam           
Tip PintarPENDIDIKAN pengiraan matematik.
MALAYSIA
AKaedah lternatif Memberikan pendedahan kepada murid mengenai aplikasi teknologi
dalam pembelajaran matematik.
PK
Memberikan pendedahan kepada murid menggunakan peranti mudah
PBP alih dengan mengimbas kod QR.

SUDUT REFLEKSI Membantu dengan memberikan tip-tip yang berkaitan dengan topik 
untuk kegunaan murid.
Latihan Sumatif
Menyediakan penyelesaian alternatif untuk soalan-soalan tertentu.
PAK-21
1.3.1 Aktiviti penerokaan yang melibatkan pemikiran komputasional 
merangkumi konsep penaakulan logik, algoritma, pengecaman corak, 
TP 1 TP 2 TP 3 peniskalaan dan penilaian.
TP 4 TP 5 TP 6
Pembelajaran Berasaskan Projek membolehkan murid mengaplikasikan
STEM pengetahuan dan kemahiran matematik dalam menyelesaikan masalah
yang melibatkan situasi harian.

Kesimpulan mengenai keseluruhan bab yang dipelajari.

Soalan-soalan yang berbentuk KBAR dan KBAT untuk mengetahui 
tahap penguasaan murid.

Mengandungi soalan KBAT untuk menguji murid berfikir aras tinggi.

Konsep pembelajaran abad ke-21 diaplikasikan untuk meningkatkan 
tahap kefahaman murid.
Mewakili standard pembelajaran untuk setiap bab.

Merangkumi tahap penguasaan bagi setiap soalan.

Aktiviti penerokaan yang menerapkan unsur sains, teknologi, 
kejuruteraan dan matematik.

Panduan Mengimbas AR (Augmented Reality)
untuk Animasi Tiga Dimensi yang Interaktif.

Imbas kod QR di sebelah untuk
memuat turun aplikasi.

Gunakan aplikasi tersebut untuk 
mengimbas halaman yang mempunyai
ikon AR (halaman 105 dan 106).

vi

Bab 1 Sukatan Membulat Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan

Panjang lengkok, s = jq nP = n!
r – r)!
KEMENTERIAN (n
PENDIDIKAN 1
Luas MALAYSIAsektor,L=2j 2qnCr= n!
– r)!r!
Rumus Heron = ! s(s – a)(s – b)(s – c), (n

s= a+b+c Rumus secaman, P = n!
2 a!b!c!…

Bab 5 Taburan Kebarangkalian

Bab 2 Pembezaan

y = uv, dy = u dv + v du P(X = r) = nCr prqn – r, p + q = 1
dx dx dx Min, m = np

du dv s = ! npq
dx dx
u dy v –u Z = X–m
v dx v2 s
y= , =

dy = dy × du Bab 6 Fungsi Trigonometri
dx du dx

Bab 3 Pengamiran sin2 A + kos2 A = 1
sek2 A = 1 + tan2 A
Luas di bawah lengkung kosek2 A = 1 + kot2 A

∫b sin 2A = 2 sin A kos A

= y dx atau kos 2A = kos2 A − sin2 A
a
∫b = 2 kos2 A – 1
  = 1 – 2 sin2A
= x dy
a tan 2A = 2 tan A
1 – tan2 A
Isi padu kisaran
sin (A  B) = sin A kos B  kos A sin B
∫= b π y2 dx atau kos (A  B) = kos A kos B  sin A sin B
a
tan (A  B) =  tan A  tan B
∫= b π x2 dy 1  tan A tan B
a

bit.ly/35acQRN Muat  turun  aplikasi  percuma  imbasan  kod  QR daripada Google Play,
App Store atau aplikasi lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas

kod QR dengan aplikasi itu atau layari laman sesawang yang tertera di 
sebelah kiri untuk muat turun fail PDF, GeoGebra dan jawapan lengkap. 
Kemudian, simpan fail yang dimuat turun bagi kegunaan luar talian.

vii

KEMENTERIANBAB SUKATAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA1 MEMBULAT

Radian
Panjang Lengkok Suatu Bulatan
Luas Sektor Suatu Bulatan
Aplikasi Sukatan Membulat
Senarai
Standard
Pembelajaran

bit.ly/2PMc8G3

Pada abad ke-21, teknologi dan inovasi Euclid (325-265 SM) merupakan seorang
berkembang dengan begitu pesat. ahli matematik Yunani yang berasal dari
Bangunan yang mempunyai reka Alexandria. Beliau dikenali dengan hasil
bentuk yang inovatif akan melonjakkan kerjanya, iaitu The Elements yang membuat
nama sesebuah negara ke tahap kajian mengenai geometri.
yang lebih tinggi. Seseorang arkitek
dapat mereka bentuk suatu bangunan Geometri ialah sebahagian daripada
yang unik dan indah dengan bantuan matematik yang mengambil berat persoalan
peranti yang canggih melalui kreativiti mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif
dan keupayaan inovasi. Namun, dari rajah dan sifat ruang.
bagaimanakah bangunan ini dapat
mencapai keharmonian dan dinamik Untuk maklumat lanjut:
dalam rekaannya? Apakah maklumat
yang diperlukan oleh seorang arkitek bit.ly/2T0pKPR
untuk membina bangunan berbentuk
tembereng major bagi bulatan seperti ini? Kepentingan Bab Ini
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN Kemahiran Pegawai Kawalan Trafik
MALAYSIA Udara membaca dan mentafsir
radar di Pusat Kawalan Trafik Udara
membolehkan pesawat-pesawat
selamat semasa penerbangan tanpa
berlakunya perlanggaran di udara yang
boleh mengakibatkan kecederaan
dan kematian.
Fungsi odometer di dalam kenderaan
adalah untuk mengukur jarak yang
telah dilalui oleh kenderaan dari awal
sehingga akhir perjalanan dengan
menggunakan lilitan tayar dan
bilangan pusingannya.

Video mengenai Radian Radian
seni bina berbentuk Darjah Degree
bulatan. Pusat bulatan Centre of circle
Jejari Radius
bit.ly/2OCLqOt Tembereng Segment
Sektor Sector
Perimeter Perimeter
Panjang lengkok Arc length
Luas sektor Area of sector

1

1.1 Radian

Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor bulatan yang 10 cm 18
ditandakan pada papan permainan baling damak dengan jejari 20 cm
10 cm dan 20 cm, masing-masing mempunyai panjang lengkok
10 cm dan 20 cm. Perhatikan bahawa dua sektor itu mempunyai 10 cm 10 cm
sudut yang sama. Sudut tersebut ditakrifkan sebagai 1 radian.
1 rad
Apakah yang dapat anda katakan tentang ukuran sudut 6
1 radian itu?
20 cm

KEMENTERIANMembuat perkaitan antara ukuran sudut dalam
PENDIDIKANradian dengan darjah
MALAYSIA
Dalam sukatan membulat, sistem yang biasa digunakan Sudut Informasi
untuk mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah. Walau
bagaimanapun, dalam beberapa cabang matematik, ukuran • “Rad” ialah singkatan
untuk suatu sukatan membulat tidak sesuai dilakukan dalam bagi “Radian”.
darjah. Oleh itu, satu unit baharu yang dikenali sebagai
radian diperkenalkan untuk menunjukkan saiz suatu sudut. • 1 rad boleh ditulis
sebagai 1r atau 1c.

Lakukan aktiviti penerokaan berikut untuk mengetahui takrifan satu radian dan seterusnya
membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan STEM PK

Tujuan: Menerangkan takrifan satu radian dan seterusnya membuat perkaitan
antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah

Langkah: bit.ly/2QoD7I1
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

2. Setiap kumpulan akan melakukan setiap aktiviti berikut dan catatkan sudut yang
tercangkum di pusat bulatan.

Seret gelongsor a supaya panjang lengkok, s sama dengan jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah dua kali jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah tiga kali jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s membentuk semibulatan.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s melalui satu putaran lengkap.

3. Berdasarkan hasil dapatan yang diperoleh, takrifkan sudut yang berukuran 1 radian.
Seterusnya, tuliskan perkaitan antara ukuran radian dengan darjah bagi sudut yang
tercangkum di pusat bulatan.

4. Daripada perkaitan tersebut, berapakah anggaran sudut 1 radian dalam darjah dan
anggaran sudut 1° dalam radian? Bincangkan.

2 1.1.1

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, takrifan satu radian boleh Sukatan Membulat AB
diberikan seperti yang berikut:
GALERI SEJARAH 1

KEMENTERIANSatu radian ialah ukuran sudut B
PENDIDIKANyang tercangkum di pusat sebuah
MALAYSIAbulatan oleh lengkok yang samajj
panjang dengan jejari bulatan itu. 1 rad
BOjA

Gottfried Wilhelm

Leibniz merupakan

seorang cendekiawan

Secara amnya, bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari j unit: matematik Jerman yang
Jika panjang lengkok AB = j, maka ˙AOB = 1 radian.
Jika panjang lengkok AB = 2j, maka ˙AOB = 2 radian. memperkenalkan satu
Jika panjang lengkok AB = 3j, maka ˙AOB = 3 radian.
Jika panjang lengkok AB = πj, maka ˙AOB = π radian. kaedah untuk mengira
Jika panjang lengkok AB = 2πj, maka ˙AOB = 2π radian.
π = 3.142 tanpa merujuk
Perhatikan bahawa AB = 2πj bermaksud OA telah kepada bulatan. Beliau juga
membuat satu putaran lengkap, iaitu OA telah bergerak melalui
sudut 360°. Hubungan antara ukuran sudut dalam radian dengan membuktikan bahawa π
darjah adalah seperti yang berikut. boleh ditentukan 4

  2π rad = 360° dengan menggunakan
rumus berikut.
π rad = 180°
π = 1 – 1 + 1 – 1
4 3 5 7

+ 1 – 111 + …
9

Jadi, apabila π = 3.142, Saiz bagi sudut 1 radian
adalah lebih kecil daripada
1 rad = 180°  ≈ 57.29° sudut 60°. Apakah
π kelebihan menggunakan
π sudut dalam radian
dan 1° = 180°  ≈ 0.01746 rad berbanding dengan sudut
dalam darjah? Bincangkan.

Contoh 1

Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah.

[Guna π = 3.142] Mencari penyelesaian
dalam Contoh 1(b) dengan
(a) 2  π rad  (b)  2.25 rad menggunakan kalkulator
5 saintifik.

Penyelesaian 1. Tekan

(a)    π rad = 180° 180° (b)    π rad = 180°
2 2 π 180° 2. Tekan
5  π rad =  5  π ×   2.25 rad = 2.25 × π

= 2 × 180°    = 2.25 × 180° 3. Skrin akan memaparkan
5 3.142
= 72°
    = 128° 54

1.1.1 3

Contoh 2 Tip Pintar

(a)  Tukarkan 40° dan 150° kepada radian, dalam sebutan π. Sudut-sudut khusus:
(b) Tukarkan 110° 30 dan 320° kepada radian.
Sudut Sudut
  [Guna π = 3.142] dalam dalam
darjah radian
Penyelesaian
0° 0
30°
(a)   180° = π rad π (b)    180° = π rad π π
180° 180° 36° 6
    40° = 40° × 110° 30 = 110° 30 × π
KEMENTERIAN 45° 5
PENDIDIKAN=2 π rad = 110° 30 × 3.142
MALAYSIA9 180° 60° π
π     = 1.929 rad 4
  150° = 150° × 180° π 90° π
320° = 320° × 180° 180° 3
5 270° π
= 6  π rad 3.142 360° 2
180°
= 320° ×

  = 5.586 rad π
3
2 π



Latihan Kendiri 1.1

1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142]

(a) π rad (b) 3  π rad  (c)  0.5 rad  (d)  1.04 rad
8 4

2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian, dalam sebutan π.

(a)  18°  (b)  120°  (c)  225°  (d)  300°

Latihan Formatif 1.1 Kuiz bit.ly/2OvH6l0

1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142]

(a) 172 π rad  (b)  1 1  π rad  (c)  2 rad  (d)  4.8 rad
3

2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian. Berikan jawapan betul kepada tiga

tempat perpuluhan. [Guna π = 3.142]

(a) 76°  (b)  139°  (c)  202.5° (d) 320° 10

3. Dalam setiap rajah berikut, POQ ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O. Tukarkan

setiap sudut POQ yang berikut kepada radian. [Guna π = 3.142]

(a) (b) P (c) (d) P

Q O Q

118° 150.5° O
O
73° P 220°
O Q

P Q

4 1.1.1

Sukatan Membulat

1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan AB
KEMENTERIAN
PENDIDIKANRajah di sebelah menunjukkan seorang budak perempuan 1
MALAYSIAsedang bermain buaian. Buaian dengan panjang 2.5 m itu 
berayun dan membentuk lengkok suatu bulatan yang melalui 2.5 m
B
sudut 1.7 rad. Berapakah panjang lengkok yang telah dilalui

oleh budak perempuan itu dalam ayunan tersebut?

Apakah rumus yang perlu digunakan untuk
menyelesaikan masalah ini?

Menentukan panjang lengkok, jejari dan sudut
tercangkum di pusat bulatan

2Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menerbitkan rumus panjang lengkok bagi suatu bulatan berpusat O

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/ecuneh4d

2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah
panjang lengkok AB.

3. Perhatikan panjang lengkok AB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat

bulatan apabila titik A atau titik B itu berubah.
4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Panjang lengkok minor AB
Lilitan bulatan
Sudut AOB
dan juga 360° ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama?

5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu

juga berubah atau masih sama?

6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari panjang lengkok minor bagi sebuah bulatan.

7. Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas.

8. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan
yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan.

Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa panjang lengkok berkadaran dengan sudut
pada pusat bulatan.

Panjang lengkok minor AB = Lilitan bulatan B
∠AOB 360°
j
Panjang lengkok minor AB = 2πj θ A
q 360° Oj

Panjang lengkok minor AB = 2πj × q
360°

dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit.
1.2.1 5

Walau bagaimanapun, jika ˙AOB diukur dalam radian, Sudut Informasi

Panjang lengkok minor AB = Lilitan bulatan B Simbol q yang dibaca
q 2π sebagai “téta” ialah huruf
j s kelapan dalam abjad Yunani
s = 2πj θ A dan sering kali digunakan
q 2π Oj untuk mewakili suatu sudut.

s= 2πj ×q Daripada takrifan radian,
2π bolehkah anda terbitkan
rumus s = jq ?
s = jq

Secara amnya,KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
s = jqMALAYSIA

dengan s ialah panjang lengkok bagi sebuah bulatan berjejari
j unit dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh lengkok di
pusat bulatan O.

Contoh 3

Cari panjang lengkok, s bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut.

[Guna π = 3.142] 
(a) (b) (c)

s

P P
s s

5 cm 6 cm –2 π rad O 10 cm Q
Q 3 140°

O 0.9 rad O Q P

Penyelesaian (b) Panjang lengkok, s = jq

(a) Panjang lengkok, s = jq s = 6 × 2  π
s = 5 × 0.9 3
s = 4.5 cm
s = 4π

s = 4(3.142)

s = 12.57 cm

(c) Sudut refleks POQ dalam radian

  = (360° – 140°) × π Imbas Kembali
180°
3.142 Saiz sudut bagi sudut refleks
= 220° × 180° ialah 180° , q , 360°.

  = 3.84 rad

Panjang lengkok, s = jq θ

s = 10 × 3.84
s = 38.4 cm 

6 1.2.1

Sukatan Membulat

Contoh 4 Imbas Kembali AB

KEMENTERIANRajah di sebelah menunjukkan B 1.4 cm Sektor Lengkok 1
PENDIDIKANsebahagian daripada bulatan C major major
MALAYSIAberpusat O dan berjejari j cm.
Diberi ˙AOB = 1.3 rad dan 2.6 cm O Sektor
Bpanjang lengkok AB dan BCminor
masing-masing ialah 2.6 cm 1.3 rad
dan 1.4 cm. Hitung A j cm O Lengkok
(a) nilai j, minor
(b) ˙BOC, dalam radian.
Perentas
Tembereng

Penyelesaian

(a) Dalam sektor AOB, (b) Dalam sektor BOC, Akses QR

s = 2.6 cm dan s = 1.4 cm dan j = 2 cm. Mengenal suatu bulatan.

q = 1.3 rad. Jadi, s = jq
q= s
Maka, s = jq j

j = s 1.4
q 2
q =
j = 2.6
1.3
q = 0.7 rad
j = 2 cm bit.ly/2tPcmnj
Maka, ˙BOC = 0.7 rad.

Latihan Kendiri 1.2

1. Cari panjang lengkok MN, dalam cm, bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut.

[Guna π = 3.142]

(a) (b) M (c) (d)
MN

M 5 cm O M
10 cm
12 cm 2 rad O 5– π rad
8 cm 6 2.45 rad
1.1 rad O P
O N
N
N

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. 25 cm E
Diberi panjang lengkok major EF ialah 25 cm dan 
˙EOF = 1.284 rad, cari 1.284 rad
(a) jejari, dalam cm, bulatan itu, O
(b) panjang lengkok minor EF, dalam cm.
[Guna π = 3.142] F

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah semibulatan OPQR Q
berjejari 5 cm. Diberi panjang lengkok QR ialah 5.7 cm, hitung
(a) nilai q, dalam radian, θ 5.7 cm
(b) panjang lengkok PQ, dalam cm. P 5 cm O R
[Guna π = 3.142]
7
1.2.1

Menentukan perimeter tembereng suatu bulatan

Kawasan berwarna pada rim tayar basikal yang berjejari
31 cm dalam rajah di sebelah merupakan tiga tembereng yang
sama saiz bagi sebuah bulatan. Perimeter bagi satu daripada
tembereng itu ialah hasil tambah semua sempadannya.

Dengan menggunakan rumus panjang lengkok,
s = jq dan petua lain yang sesuai, dapatkah anda
menentukan perimeter bagi satu daripada tembereng itu?
KEMENTERIAN
PENDIDIKANContoh 5 AKaedah lternatif
MALAYSIA
Rajah di sebelah menunjukkan sebuah A Untuk mencari panjang
bulatan dengan pusat O dan berjejari perentas AC, lukis satu garis
10 cm. Perentas AC mencangkum 114° OD yang berserenjang
sudut 114° pada pusat O. Hitung dengan AC.
perimeter tembereng berlorek ABC. O B Dalam ∆ COD,
[Guna π = 3.142] 10 cm ˙COD = 1124°
= 57
Penyelesaian C sin ˙COD = OCDC
Jadi, CD = OC sin ˙COD
Oleh sebab 180° = π rad, maka kita peroleh = 10 sin 57
π = 8.3867 cm
  114° = 114° × 180° Oleh itu, AC = 2CD
= 2(8.3867)
  = 1.990 rad = 16.77 cm

Panjang lengkok ABC = jq Adakah panjang AC
dapat dicari dengan
= 10 × 1.990 menggunakan petua sinus,
  = 19.90 cm sina A = sinb B = sinc C?

Dengan menggunakan petua kosinus, panjang perentas AC ialah

AC2 = 102 + 102 – 2(10)(10) kos 114°
AC = ! 200 – 200 kos 114°

= 16.77 cm

Maka, perimeter tembereng berlorek ABC = 19.90 + 16.77
= 36.67 cm

Latihan Kendiri 1.3

1. Bagi setiap bulatan berpusat O yang berikut, hitung perimeter, dalam cm, tembereng

berlorek ABC. [Guna π = 3.142]

(a) B C (b) –π rad (c) B (d)
3
2.5 rad A A
B O
A 6 cm O 10 cm C O C
C 120°
9 cm
O 8 cm
A 15 cm
B

8 1.2.2

Sukatan Membulat

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada sebuah P AB

bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. Diberi bahawa panjang 7 cm 1
lengkok PQ ialah 14 cm, cari θ
(a) sudut q, dalam darjah,
O
(b) perimeter tembereng berlorek, dalam cm.
KEMENTERIAN 14 cm
PENDIDIKAN Q
MALAYSIA
Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok
B
Pengetahuan dan kemahiran menukarkan ukuran sudut dalam darjah kepada radian dan
sebaliknya serta menggunakan rumus panjang lengkok, s = jq atau rumus lain yang sesuai boleh
menyelesaikan banyak masalah dalam kehidupan harian yang melibatkan panjang lengkok bagi
suatu bulatan.

Contoh 6 Aplikasi Matematik P Q

Rajah di sebelah menunjukkan kawasan lontaran bagi suatu acara 8m
lontar peluru di sebuah padang sekolah. Kawasan lontaran itu terdiri
daripada dua buah sektor bulatan AOB dan POQ yang berpusat di O. AB
Diberi bahawa ˙AOB = ˙POQ = 50°, OA = 2 m dan AP = 8 m. Hitung  2m
perimeter, dalam m, kawasan berwarna ABQP. [Guna π = 3.142]
O
Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Kawasan lontaran terdiri daripada   Tukarkan sudut 50° kepada radian dan 
dua buah sektor bulatan AOB dan gunakan rumus s = jq untuk mencari
POQ berpusat O. panjang lengkok AB dan PQ.
Sektor bulatan AOB berjejari 2 m, Perimeter kawasan berwarna ABQP
AP = 8 m dan ˙AOB = ˙POQ = 50°. boleh ditentukan dengan menambah
semua sempadan kawasan itu.

3 . Melaksanakan strategi

180° = π rad 3.142
180°
  50° = 50° ×

  = 0.873 rad

Panjang lengkok AB, s = jq Maka, perimeter kawasan berwarna ABQP
= panjang lengkok AB + BQ
s = 2(0.873)
s = 1.746 m + panjang lengkok PQ + AP
= 1.746 + 8 + 8.73 + 8
Panjang lengkok PQ, s = jq = 26.48 m

s = 10(0.873) 9
s = 8.73 m

1.2.2 1.2.3

4 . Membuat refleksi

Panjang lengkok AB = 50°  (2)(3.142)(2) Maka, perimeter kawasan berwarna
360°
ABQP
  = 1.746 m
= panjang lengkok AB + BQ
Panjang lengkok PQ = 50°  (2)(3.142)(10)
360° + panjang lengkok PQ + AP
= 1.746 + 8 + 8.73 + 8
  = 8.73 m = 26.48 m
KEMENTERIAN
Latihan Kendiri 1.4PENDIDIKAN
MALAYSIA
1. Dalam setiap rajah berikut, hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

(a) (b) (c)

C C O B
5 cm 10 cm
A
A 3 cm

4 cm 110° OD A 0.5 rad C
OB 3 cm B 1 cm
D

2. Bandar Raya Washington di Amerika Syarikat dan Bandar Raya Lima di Peru terletak pada
longitud yang sama masing-masing dengan latitud 38.88° U dan 12.04° S. Diberi bumi 
yang berbentuk sfera mempunyai jejari 6 371 km, anggarkan jarak, dalam km, di antara dua

bandar raya itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada Fazura O
25 m
trek larian yang berbentuk semibulatan. Fazura ingin
85°
menghantar baton kepada Jamilah yang sedang
menunggu 85° jauhnya dari Fazura. Berapakah jarak  Jamilah
yang Fazura perlu lari untuk menghantar baton

kepada Jamilah?

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah tingkap yang 100 cm
terdiri daripada bentuk segi empat tepat dan semibulatan.
Lebar tingkap itu ialah 70 cm dan tinggi tingkap 70 cm
berbentuk segi empat tepat ialah 100 cm. Cari 25 cm
(a) panjang lengkok, dalam cm, tingkap yang berbentuk
semibulatan itu,
(b) perimeter, dalam cm, keseluruhan tingkap itu.

5. Rajah di sebelah menunjukkan rantai yang 160°
dipasang pada gegancu hadapan dan belakang
sebuah basikal. Diberi bahawa lilitan gegancu 25 cm 185°
hadapan dan belakang masing-masing ialah
50.8  cm dan 30.5 cm. Hitung panjang, dalam cm,  1.2.3
rantai basikal itu.

10

Sukatan Membulat

Latihan Formatif 1.2 AB
KEMENTERIAN Kuiz bit.ly/2L6AZBv
PENDIDIKAN 1
MALAYSIA
1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. R
B15 cm O 275°
Panjang lengkok minor RS ialah 15 cm dan sudut sektor 
major ROS ialah 275°. Cari S
(a) sudut sektor minor ROS, dalam radian,

(b) jejari, dalam cm, bulatan itu.

2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor UOV berpusat O. U
Diberi panjang lengkok UV ialah 5 cm dan perimeter sektor 
UOV ialah 18 cm. Cari nilai q, dalam radian. θ 5 cm
O V
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor EOF bagi sebuah
bulatan berpusat O. Diberi bahawa OG = 4 cm dan  E
OE = 5  cm, cari
(a) nilai q, dalam radian, 5 cm
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
θ
O 4 cm G F

4. Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor OPQ dan ORS R
P
dengan pusat O dan masing-masing berjejari 2h cm dan 2h

3h cm. Diberi ˙POQ = 0.5 radian dan perimeter kawasan  0.5 rad S
berlorek PQSR ialah 18 cm, cari OQ
(a) nilai h, dalam cm,
3h
(b) beza, dalam cm, antara panjang lengkok RS dan PQ.

5. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada 10 cm M
O 51° P
bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Tangen di
N
titik M dan titik N pada lilitan bulatan itu bertemu
di titik P dan ˙MON = 51°, hitung
(a) panjang lengkok MN, dalam cm,

(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

6. Sebuah jam dinding mempunyai bandul dengan panjang 36 cm. Jika bandul itu berayun
melalui sudut 21°, cari jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui bandul itu dalam satu
ayunan lengkap.

7. Rajah di sebelah menunjukkan ukuran bagi sebuah tayar 14 cm
38 cm
kereta. Berapa jauhkah, dalam m, tayar itu telah bergerak 14 cm

setelah membuat
(a)  50 pusingan lengkap? 
(b) 1 000 pusingan lengkap?
[Guna π = 3.142]

11

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan

Sekeping piza berjejari 10 cm dipotong kepada 10 potongan
yang sama saiz. Bolehkah anda anggarkan luas permukaan
setiap potongan piza itu?

Apakah rumus yang boleh digunakan untuk menyelesaikan
masalah ini?

KEMENTERIANMenentukan luas sektor, jejari dan sudut tercangkum di pusat bulatan
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Luas sektor sebuah bulatan merupakan rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari.
Aktiviti penerokaan yang berikut menunjukkan cara untuk menerbitkan rumus luas sektor suatu
bulatan dengan menggunakan perisian geometri dinamik GeoGebra.

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menerbitkan rumus luas sektor suatu bulatan berpusat O

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/kvwsaz9f

2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah luas
sektor minor AOB.

3. Perhatikan luas sektor AOB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat bulatan

apabila titik A atau titik B itu berubah.

4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Luas sektor minor AOB dan
Luas bulatan
Sudut AOB
juga 360° ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama?

5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu

juga berubah atau masih sama?

6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari luas sektor minor bagi sebuah bulatan.
Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas.

7. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan
yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan.

8. Ahli daripada kumpulan yang lain akan memberikan respons terhadap pembentangan
yang dilakukan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa:

Luas sektor minor AOB = Luas bulatan B
∠AOB 360° j
Luas sektor minor AOB = πj2 Oθ
q 360° j

Luas sektor minor AOB = πj2 × q A
360°

dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit.
12 1.3.1

Sukatan Membulat

Walau bagaimanapun, jika ˙AOB = q diukur dalam radian, AB

Luas sektor minor AOB = Luas bulatan Akses QR 1
q 2π
KEMENTERIAN B
PENDIDIKAN L = πj 2 j Kaedah lain untuk
MALAYSIAq 2π O θL
j menerbitkan rumus luas
B
πj 2 A sektor suatu bulatan,
2π 1
L = × q L = 2 j 2q.

L = 1 j2q
2

Secara amnya,

L = 1 j2q bit.ly/2XYrKZE
2

dengan L adalah luas sektor bagi sebuah bulatan berjejari j unit
dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh sektor di pusat
bulatan O.

Contoh 7

Cari luas sektor, L bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut. [Guna π = 3.142]

(a) (b) M (c)

MO M

12 cm 2.2 rad O 124°
N 1.7 rad 8 cm 10 cm

O NN

Penyelesaian

(a) Luas sektor, L = 1 j2q (b) Luas sektor, L = 1 j2q
2 2
L = 1 (12)2(1.7) 1
2 L = 2 (8)2(2.2)

L = 1 (14 4)(1.7)     L = 1 (6 4)(2.2)   
2 2

L = 122.4 cm2 L = 70.40 cm2

(c) Sudut refleks MON dalam radian

  = (360° – 124°) × π Sudut Informasi
180°
3.142 Luas, L bagi suatu sektor
= 236° × 180° 1
bulatan ialah L = 2 2q,
  = 4.12 rad j

Luas sektor, L = 1 j2q dengan q ialah sudut dalam
2
radian. Oleh sebab s = jq,

1 kita peroleh: 1
2 2
L = (10)2(4.12) L = j ( jq )

L = 1 (100)(4.12) L = 1 js
2 2

L = 206 cm2

1.3.1 13

Contoh 8 P j cm O
Q θ
Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ yang bersudut q radian
dan berjejari j cm. Diberi luas sektor POQ ialah 35 cm2, cari
(a) nilai j jika q = 0.7 rad,
(b) nilai q jika jejari ialah 11 cm.

Penyelesaian

(a) Luas sektor POQ = 35 cm2 (b) Luas sektor POQ = 35 cm2
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN1j 2q= 35 1 j 2q = 35
MALAYSIA2 2

1 j 2(0.7) = 35  1 (11)2q = 35
2 2
j2 = 35 × 2
0.7 1 (121)q = 35
2
j2 = 100 35 × 2
q = 121
j = ! 100

j = 10 cm q = 0.5785 rad

Latihan Kendiri 1.5

1. Bagi setiap sektor bulatan AOB berpusat O yang berikut, tentukan luasnya, dalam cm2.

[Guna π = 3.142]

(a) (b) (c) (d) A

A –5 π rad
3
O 10 cm
1.1 rad 2.15 rad A O 135°
O
6 cm O 5 cm
20 cm

A BB BB

2. Suatu sektor bulatan berjejari 5 cm mempunyai perimeter 16 cm. Cari luas, dalam cm2,
sektor itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor major EOF E
berpusat O dan berjejari j cm dengan luas 195 cm2. Hitung
(a) nilai j, dalam cm, O j cm

(b) panjang lengkok major EF, dalam cm, 3.9 rad F

(c) perimeter, dalam cm, sektor major EOF.

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW O 10 cm
berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi bahawa luas sektor θV
itu ialah 60 cm2, hitung
(a) nilai q, dalam radian, W
(b) panjang lengkok VW, dalam cm,
(c) perimeter, dalam cm, sektor VOW. 1.3.1

14

Sukatan Membulat

Menentukan luas tembereng suatu bulatan AB
KEMENTERIAN
PENDIDIKANRajah di sebelah menunjukkan sehelai alas meja yang berbentuk 1
MALAYSIAsebuah bulatan berpusat O dengan corak berbentuk heksagon
terterap di dalamnya. Renda yang dijahit di sekeliling heksagon pula O
Bmerupakan tembereng bagi alas meja itu. Apakah maklumat yang
diperlukan untuk mencari luas setiap renda itu?

Dengan menggunakan rumus luas sektor, L = 1 j2q dan rumus
2

lain yang bersesuaian, masalah seperti ini boleh diselesaikan dengan
mudah dan cepat.

Contoh 9

Bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut, cari luas, dalam cm2, tembereng PRQ.

[Guna π = 3.142]
(a) (b) Q

QR 3.5 cm

O 4 cm R

2.2 rad

O 6 cm P P

Penyelesaian AKaedah lternatif

(a) 2.2 rad = 2.2 × 180° Q
3.142
= 126° 2 S

Luas sektor POQ = 1 j2q 63°1' P
2 O 6 cm

= 1 (6)2(2.2) Dalam ∆ POQ,
2 ∠POS = 1262° 2
= 63° 1
    = 39.60 cm2

  Luas ∆ POQ = 1 (OP)(OQ) sin ˙POQ
2
1 sin 63° 1 = PS
= 2 (6)(6) sin 126° 2 6
PS = 6 × sin 63° 1

    = 14.56 cm2 = 5.3468 cm

Luas tembereng PRQ = 39.60 – 14.56 PQ = 2PS
    = 25.04 cm2 = 2 × 5.3468
= 10.6936 cm

(b)  Dalam ∆ QOP, sin ˙QOS = QS Q OS = ! 62 – 5.34682
OQ 2 cm = 2.7224 cm
3.5 cm S
= 2 O J=a d12i ,× lu PaQs ∆ × P OOSQ
3.5 P
˙QOS = 34° 51
1
= 2 × 10.6936 × 2.7224

= 14.56 cm2

1.3.2 15

Jadi, ˙POQ = (2 × 34° 51) × π Imbas Kembali
180°
3.142
   = 69° 42 × 180°

C

= 1.217 rad

Luas sektor POQ = 1 j2q ba
2
1
= 2  (3.5)2(1.217) AcB

    = 7.454 cm2 (a) Luas ∆ ABC
ALAYSIA1
  Dalam ∆ POQ, semiperimeter, s = 3.5 + 3.5 + 4 = 2 ab sin C
2
s = 5.5 cm = 1 ac sin B
2
1
  Luas ∆ POQ = ! s(s – p)(s – q)(s – o) = 2 bc sin A

= ! 5.5(5.5 – 3.5)(5.5 – 3.5)(5.5 – 4) (b) Rumus luas segi tiga

= ! 5.5(2)(2)(1.5) M menggunakan Rumus

Heron:

= ! 33 Luas ∆ ABC
    = 5.745 cm2
PENDIDIKAN = ! s(s – a)(s – b)(s – c),
a + b + c
Luas tembereng PRQ = 7.454 – 5.745  dengan s = 2
    = 1.709 cm2
ialah semiperimeter.

Latihan Kendiri 1.6

1. Bagi setiap sektor AOB berpusat O yang berikut, cari luas tembereng ACB.

[Guna π = 3.142] 

(a) (b) (c) (d) A

C A CA C 9 cm
ENTERIAN 5 cm O

AB

7 cm 1.5 rad 2– π rad C 58° O 15 cm
3

O O 10 cm B B B

KEM2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi sebuah bulatan 3 cm M
berpusat O dan berjejari 3 cm. Diberi panjang lengkok minor MN O 5 cm
ialah 5 cm, cari
(a) ˙MON, dalam darjah, N
(b) luas tembereng berlorek, dalam cm2. H

3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor HOK bagi sebuah bulatan K 4 cm O
berpusat O dan berjejari 4 cm. Panjang perentas HK adalah sama
dengan jejari bulatan itu. Hitung
(a) ˙HOK, dalam radian,
(b) luas tembereng berlorek, dalam cm2.

16 1.3.2

Sukatan Membulat

Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor AB

Pengetahuan dan kemahiran menggunakan rumus luas sektor, L = 1 j2q atau rumus lain yang 1
2

sesuai boleh menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan luas sektor bagi suatu bulatan
dalam kehidupan harian.
KEMENTERIAN
PENDIDIKANContoh 10 Aplikasi Matematik P 120° Q
MALAYSIA
Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kipas kertas M N
Byang dibuka sepenuhnya. Bahagian PQNM merupakanO
bahagian yang diliputi dengan kertas. Diberi bahawa
OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 dan ∠POQ = 120°,
hitung luas, dalam cm2, kawasan yang diliputi oleh
kertas itu.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

PQNM ialah bahagian yang diliputi Cari panjang OM menggunakan nisbah
dengan kertas apabila sebuah kipas OM : MP = 2 : 3.
kertas dibuka sepenuhnya.
Diberi OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 Tukar 120° kepada radian dan gunakan
dan ∠POQ = 120°. rumus L = 1 j2q untuk mencari luas
Cari luas, dalam cm2, kawasan yang
diliputi oleh kertas. 2
sektor POQ dan luas sektor MON.
Tolakkan luas sektor MON daripada
luas sektor POQ untuk mencari luas
kawasan yang diliputi oleh kertas.

3 . Melaksanakan strategi

OM = 2 × OP Luas sektor POQ, L = 1 j2q
5 2
2
= 5 × 15 L = 1 (15)2(2.0947)
2

= 6 cm L = 235.65 cm2

q dalam radian = 120° × π Luas sektor MON, L = 1 j2q
180° 2

= 120° × 3.142 L = 1 (6)2(2.0947)
180° 2

  = 2.0947 rad L = 37.70 cm2

Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertas

= 235.65 – 37.70
= 197.95 cm2

1.3.3 17

4 . Membuat refleksi Tip Pintar

Luas sektor POQ, L = 120° × 3.142 × 152
360°
A
L = 235.65 cm2

Luas sektor MON, L = 120° × 3.142 × 62 j
360° O θL B

L = 37.70 cm2

Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertasKEMENTERIAN Jika q diukur dalam darjah,
PENDIDIKAN
= 235.65 – 37.70 MALAYSIA maka luas sektor bulatan,
= 197.95 cm2
L = q × π j 2.
360°

Latihan Kendiri 1.7

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah taman SRT yang R
berbentuk semibulatan berpusat O dan berjejari 12 m.

Kawasan berumput PQR berbentuk sektor bulatan 16 m
QT
berpusat Q dan berjejari 16 m. Kawasan berwarna

coklat cair pula akan dipagar dan ditanam dengan pokok 14 m

bunga. Diberi panjang lengkok PR ialah 14 m, cari SP O
(a) panjang pagar, dalam m, yang digunakan untuk

memagar kawasan tanaman pokok bunga, 12 m

(b) luas kawasan, dalam m2, tanaman pokok bunga itu.

2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas paip air berjejari 12 cm O
h cm E 18 cm F
12 cm. Air mengalir melalui paip itu dengan ketinggian h cm
dan kelebaran mengufuknya, EF ialah 18 cm. Hitung
(a) nilai h,
(b) luas kawasan, dalam cm2, keratan rentas yang

mengandungi air.

3. Rajah di sebelah menunjukkan dua keping cakera

padat masing-masing dengan jejari 11 cm dan 7 cm A
menyentuh antara satu sama lain di R. Kedua-dua
R
keping cakera itu terletak di atas garis lurus PDCQ. 11 cm B
7 cm
(a) Hitung ˙BAD, dalam darjah. Q
(b) Seterusnya, cari luas, dalam cm2, kawasan berlorek. P C
D

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah jam dinding yang 1.3.3
menunjukkan pukul 10:10 pagi. Diberi panjang jarum minit
bagi jam itu ialah 8 cm. Cari 
(a) luas sektor, dalam cm2, yang disurih oleh jarum minit
itu apabila waktu menunjukkan jam 10:30 pagi,
(b) sudut gerakan jarum minit itu, dalam radian, jika luas
sektor yang disurihnya ialah 80 cm2.

18

Sukatan Membulat

Latihan Formatif 1.3 AB
KEMENTERIAN Kuiz bit.ly/2rI5G9f
PENDIDIKAN 1
MALAYSIA
1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB berpusat O dan B
B
sektor PAQ berpusat A. Diberi OB = 6 cm, OP = AP,

˙PAQ = 0.5 rad dan panjang lengkok AB ialah 4.2 cm.  6 cm 4.2 cm
Hitung Q

(a) nilai q, dalam radian, θ
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. O P 0.5 rad A

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW dengan V

pusat O dan berjejari 5 cm. Diberi OW = OV = VW, cari θ
(a) nilai q, dalam radian, O 5 cm

(b) luas, dalam cm2, tembereng berlorek VW.

3. Sebuah kon berongga mempunyai jejari 3 cm dan W
tinggi 4 cm. Kon itu dibuka dan dibentangkan untuk  Q
membentuk sektor POQ seperti yang ditunjukkan
4 cm O
dalam rajah di sebelah. Diberi ˙POQ = q radian, cari θ
(a) nilai q, P
(b) luas, dalam cm2, sektor POQ. 3 cm

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O K
dan jejari 4 cm. Diberi panjang lengkok minor KL ialah 7 cm. 4 cm
(a) Nyatakan nilai q, dalam radian. O θ 7 cm
(b) Cari luas sektor major KOL, dalam cm2.
L
5. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan yang berjejari 9  cm. 
Lengkok minor AB mencangkum sudut 140° pada pusat bulatan  A 9 cm
O dengan tangen-tangen di A dan B bertemu di C. Hitung O
(a) AC, dalam cm,
(b) luas, dalam cm2, lelayang OACB, 140°
(c) luas, dalam cm2, sektor minor OAB,
(d) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. B

6. Rajah di sebelah menunjukkan tingkap udara di sebuah dewan. C
PQR ialah lengkok major bagi bulatan berpusat S. Garis OP
dan OR ialah tangen-tangen kepada bulatan itu. Saiz empat Q
panel yang lain adalah sama dengan panel OPQR. O ialah
pusat bagi tingkap udara yang menyentuh lengkok PQR di Q. S R
Diberi OS = 6 cm dan ˙OSR = 60°. P 60°
(a) Tunjukkan bahawa RS = 3 cm.
(b) Hitung luas, dalam cm2, panel OPQR. 6 cm
(c) Tingkap itu mempunyai simetri putaran di O dengan O
peringkat n, cari nilai n dan luas, dalam cm2, kawasan
berlabel T di antara dua panel. T

19

1.4 Aplikasi Sukatan Membulat

Teliti dua situasi dalam kehidupan harian yang berikut.

Pelangi ialah suatu fenomena optik yang merupakan
spektrum berwarna berbentuk gerbang. Pelangi terbentuk
apabila matahari memancarkan cahaya semasa atau
sejurus selepas hujan. Gerbang pelangi seperti yang
ditunjukkan dalam gambar di sebelah merupakan
lengkok bagi sebuah bulatan. Menggunakan rumus yang
telah dipelajari dan bantuan teknologi terkini, bolehkah
anda tentukan panjang lengkoknya itu?
KEMENTERIAN
PENDIDIKANKeratan rentas bagi terowong kereta api
MALAYSIAkebanyakannya berbentuk tembereng major sebuah
bulatan. Bagaimanakah kita boleh mencari panjang
lengkok dan luas keratan rentas bagi terowong kereta
api tersebut?

Kemahiran mengaplikasikan rumus dalam sukatan membulat, iaitu panjang lengkok,
s = jq dan luas sektor, L = 1 j2q, dengan q ialah sudut dalam radian serta rumus yang lain

2
boleh membantu menyelesaikan masalah seperti dalam dua situasi di atas.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat

Contoh berikut menunjukkan bagaimana rumus dalam sukatan membulat dan rumus lain yang
bersesuaian digunakan untuk menyelesaikan masalah berkaitan keratan rentas terowong kereta
api yang berbentuk tembereng major sebuah bulatan.

Contoh 11 B

Rajah di sebelah menunjukkan tembereng major ABC O
yang mewakili keratan rentas bagi sebuah terowong 4 m 1.8 rad
kereta api dengan pusat O dan jejari 4 m, dengan 
keadaan ˙AOC = 1.8 rad.  A
[Guna π = 3.142]
(a) Tunjukkan bahawa AC ialah 6.266 m.
(b) Cari panjang lengkok major ABC, dalam m.
(c) Cari luas keratan rentas terowong itu, dalam m2.

C

20 1.4.1

Sukatan Membulat

Penyelesaian O AB

KEMENTERIAN(a)  1.8 rad = 1.8 ×180° 4 m 1.8 rad 4m 1
PENDIDIKAN3.142 A
MALAYSIA= 103° 7 C
B C
BDengan menggunakan petua kosinus, C
4.484 rad
AC2 = OA2 + OC2 – 2(OA)(OC) kos ˙AOC 4m O
A
    = 42 + 42 – 2(4)(4) kos 103° 7
B
AC = ! 42 + 42 – 2(4)(4) kos 103° 7
4.484 rad
= ! 39.2619 O

= 6.266 m 4m
1.8 rad
(b) Sudut refleks AOC = 2π − 1.8 
    = 4.484 rad A

Panjang lengkok major ABC = jq

    = 4 × 4.484
    = 17.94 m

(c) Dengan menggunakan rumus luas segi tiga,

  Luas ∆ AOC = 1 × OA × OC × sin ˙AOC
2

= 1 × 4 × 4 × sin 103° 7
2

    = 7.791 m2

Luas sektor major ABC = 1 j2q
2
1
= 2 × 42 × 4.484

    = 35.87 m2

  Maka, luas keratan rentas terowong ialah 7.791 + 35.87 = 43.66 m2

Latihan Kendiri 1.8

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah wau bulan yang O
mempunyai paksi simetri OS. AQB ialah lengkok bagi
sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 20 cm. APBR ialah 20 cm
sebuah semibulatan berpusat P dan berjejari 16 cm. TRU
pula ialah lengkok sebuah bulatan berpusat S dan berjejari A P B
12 cm. Diberi panjang lengkok TRU ialah 21 cm. Hitung 16 cm U
(a) ˙AOB dan ˙TSU, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, wau bulan, Q
(c) luas, dalam cm2, wau bulan.
T R
2. Dalam rajah di sebelah, setiap duit syiling 20 sen mempunyai 12 cm S
jejari yang sama dan tangen kepada dua duit syiling 20 sen yang
lain. Jika luas kawasan berwarna biru ialah 12.842 mm2, cari
jejari, dalam mm, setiap duit syiling itu.

1.4.1 21

Latihan Formatif 1.4 Kuiz bit.ly/2R3qkLO

1. Jejari dan tebal sebiji kek yang berbentuk silinder P Q
masing-masing ialah 11 cm dan 8 cm. Rajah di sebelah  8 cm 11 cm
menunjukkan sepotong kek yang telah dipotong dengan O

keratan rentas seragamnya berbentuk sektor bulatan
POQ dan berjejari 11 cm. Diberi ˙POQ = 40°.
(a) Hitung

(i) perimeter, dalam cm, sektor POQ,

(ii) luas, dalam cm2, sektor POQ,

(iii) isi padu, dalam cm3, sepotong kek itu.
(b)  Jika jisim sepotong kek itu ialah 150 gram, hitung 

jisim, dalam gram, sebiji kek.
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN2. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah kolamA 12 m B
MALAYSIArenang dengan kedalaman seragam 1.5 m. ABCD adalah
berbentuk segi empat tepat dengan panjang 12 m dan 8m
lebar 8 m. AED dan BEC pula ialah dua sektor bulatan E
yang sama saiz dengan pusat E. Hitung
DC
(a) perimeter, dalam m, lantai kolam renang,

(b) luas, dalam m2, lantai kolam renang,

(c) isi padu, dalam m3, air yang memenuhi kolam renang itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas membulat R Q
seragam bagi sebatang kayu yang terapung di atas air
dengan jejari 46 cm. Titik P dan Q pada kayu itu terletak 10 cm P
pada permukaan air manakala titik tertinggi R pula ialah
10 cm di atas permukaan air. Hitung θ 46 cm
(a) nilai q, dalam radian, O
(b) panjang lengkok PRQ, dalam cm,
(c) luas keratan rentas kayu, dalam cm2, di atas permukaan
air itu.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bentuk bagi logo sebuah A B
syarikat aiskrim dari permukaan atas. Bentuk itu terdiri

daripada tiga sektor bulatan AOB, COD dan EOF yang F 30 cm
sama saiz berpusat O dan berjejari 30 cm. Diberi C
˙AOB = ˙COD = ˙EOF = 60°.
(a) Hitung O

(i) panjang lengkok AB, dalam cm,

(ii) luas sektor COD, dalam cm2,

(iii) perimeter tembereng EF, dalam cm, ED

(iv) luas tembereng EF, dalam cm2.

(b)  Logo itu akan dibina dengan konkrit. Jika ketebalan seragam logo itu ialah 5 cm, cari isi 

padu konkrit, dalam cm3, yang diperlukan untuk membuat logo itu.

(c)  Jika kos konkrit ialah RM0.50 per cm3, cari jumlah kos, dalam RM, untuk membina

logo itu.

22

SUDUT REFLEKSI Sukatan Membulat

SUKATAN MEMBULAT AB

1
KEMENTERIAN
PENDIDIKANPenukaran radian kepadaPanjang lengkokLuas sektor suatu bulatan
MALAYSIAdarjah dan sebaliknyasuatu bulatan

BAA
j j

× 180° Oθ Cs O θL C
π
B
Radian Darjah B
Luas sektor, L = 1 j2q
× π Panjang lengkok, s = jq 2
180° Perimeter tembereng ABC
= s + AB Luas tembereng ABC
= L – Luas ∆  AOB

Aplikasi

1. Adakah anda lebih cenderung untuk mengukur sesuatu sudut pada bulatan dalam darjah
daripada radian atau sebaliknya? Tuliskan justifikasi dan rasional untuk pilihan anda itu.

2. Layari Internet untuk mendapatkan jejari, dalam m, bagi enam buah roda Ferris

yang berikut:

(a) Eye on Malaysia (b) Wiener Riesenrad, Vienna (c) The London Eye

(d) Tianjin Eye, China (e) High Roller, Las Vegas (f) The Singapore Flyer

Katakan koordinat bagi pusat setiap roda Ferris itu ialah (0, 0), tentukan

(i) lilitan, dalam m, setiap roda Ferris itu,

(ii) luas kawasan, dalam m2, yang dilitupi oleh setiap roda Ferris itu bagi satu

pusingan lengkap,

(iii) persamaan bagi setiap roda Ferris itu.

23

Latihan Sumatif

1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor KOL bagi bulatan K
berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi luas sektor itu ialah 10 cm
60 cm2, hitung TP 2
(a) nilai q, dalam radian, θO
(b) perimeter, dalam cm, sektor KOL.
L
KEMENTERIAN2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB bagi bulatan
PENDIDIKANberpusat O. Diberi AD = DO = OC = CB = 3 cm, cari TP 2A
MALAYSIA(a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. D C B
2 rad R
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ dan sektor ROS
dengan pusat O. Diberi OP = 4 cm, nisbah OP : OR = 2 : 3 O
dan luas kawasan berlorek ialah 10.8 cm2, cari TP 3
(a) nilai q, dalam radian, P
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
4 cm
4. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi bulatan Oθ
dengan sudut q radian dan jejari j cm. Diberi perimeter
sektor itu ialah 18 cm dan luasnya ialah 8 cm2. TP 3 Q S
(a) Bentukkan sepasang persamaan serentak yang melibatkan M
j dan q.
(b) Seterusnya, cari nilai j dan nilai q. N j cm
θ
5. Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah segi empat sama dengan O
sisi 4 cm. PQ ialah lengkok bagi bulatan berpusat C dengan
jejari 5 cm. Cari  TP 3 AP B
(a) ˙PCQ, dalam darjah, Q 5 cm
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek APQ,
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek APQ. D 4 cm C

6. Rajah di sebelah menunjukkan sukuan bagi bulatan R
berpusat O dan berjejari 10 cm. Q ialah titik pada lengkok Q
itu dengan keadaan panjang lengkok PQ dan QR adalah
dalam nisbah 2 : 3. Diberi ˙POQ = q radian, cari TP 3 P θ
(a) nilai q, 10 cm O
(b) luas, dalam cm2, kawasan berwarna.

24

Sukatan Membulat

7. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah semibulatan dengan QR AB
pusat O dan berjejari j cm. Diberi panjang lengkok P O j cm S
PQ, QR dan RS adalah sama. Hitung luas, dalam cm2, 1
kawasan berlorek. Berikan jawapan dalam sebutan j.
[Guna π = 3.142]  TP 5
KEMENTERIAN
PENDIDIKAN8. Rajah di sebelah menunjukkan sektor VOW bagi bulatanV W
MALAYSIAberpusat O. Lengkok VW bagi bulatan itu mencangkum sudut64 cm 2 rad
2 radian di pusat O. Sektor VOW dilipat untuk membentuk
Bsebuah kon tegak supaya lengkok VW menjadi lilitan bagiO
tapak kon. Cari tinggi, dalam cm, kon itu. TP 5

9. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan AOBP dengan O P

ialah pusat bulatan dan ∆ APB ialah segi tiga bersudut tegak A –π rad B
di P. Diberi AB = 16 cm dan ˙ABP = π radian. Cari TP 3 6
O
6
(a) panjang AP, dalam cm,
(b) luas, dalam cm2, ∆ ABP,

(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

10. Dalam rajah di sebelah, AOB ialah semibulatan berpusat D y
A C (7, 7)
dan AEB ialah lengkok bagi bulatan berpusat C(7, 7).
y
Persamaan AB ialah x + 8 = 1. Hitung TP 4
(a)  luas ∆ ABC, 6
D y
(b) ˙ACB, dalam darjah, E x– + – = 1
68

(c) luas, dalam unit2, kawasan berlorek.

x
OB

11. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan ABCDE B C D
A E (9, 6)
berpusat F dan rombus BGDF. Diberi koordinat bagi E, G (5, 8)
F dan G masing-masing ialah (9, 6), (5, 6) dan (5, 8) dan  θ
˙BFD = q radian. Hitung TP 5
(a) nilai q, dalam radian, F (5, 6)
(b) luas, dalam unit2, sektor BFD,
(c) luas, dalam unit2, kawasan berlorek.

12. Rajah di sebelah menunjukkan sektor bulatan JKLM berpusat K

M dan dua sektor bulatan JAM dan MBL masing-masing M
berpusat A dan B. Diberi sudut major JML ialah 3.8 radian,  JL
cari TP 4
1 rad 1 rad
(a) jejari, dalam cm, sektor bulatan JKLM, 7 cm 7 cm

(b) perimeter, dalam cm, rantau berlorek, AB
(c) luas, dalam cm2, sektor bulatan JAM,
(d) luas, dalam cm2, rantau berlorek.

25

13. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat O Q
dan berjejari 2 cm terterap dalam sektor PQR bagi
bulatan berpusat P. Garis lurus PQ dan PR ialah A
tangen kepada bulatan masing-masing di titik A dan 2 cm
titik B. Hitung TP 4
(a) panjang, dalam cm, lengkok QR, P 60° O
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
B
14. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah R
taman. AOB ialah sektor bagi sebuah bulatan
berpusat O dan berjejari 18 m dan ACB ialah sebuah
semibulatan dengan diameter AB. Taman itu terdiri
daripada kawasan berumput AOB dan kawasan
pokok bunga berpagar ACB. Diberi bahawa luas bagi
kawasan berumput AOB ialah 243 m2, hitung TP 4
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang, dalam m, pagar yang diperlukan untuk
memagari kawasan pokok bunga,
(c) luas, dalam m2, kawasan pokok bunga.

15. Hilal mengikat empat buah tin minuman yang
berbentuk silinder tegak dengan seutas tali seperti
yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Jejari
bagi setiap tin itu ialah 5.5 cm. Hitung panjang tali, 
dalam cm, yang digunakan oleh Hilal. TP 5
KEMENTERIAN A
PENDIDIKAN
MALAYSIA 18 m

Oθ C

B

16. Sekeping aluminium yang berbentuk segi empat tepat berukuran 200 cm dan 110 cm
dibengkokkan untuk membentuk separuh permukaan melengkung silinder. Dua
semibulatan dilekatkan di kedua-dua hujung bentuk itu untuk membuat sebuah bekas
air seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. TP 5

200 cm 200 cm O
110 cm 110 cm
118°
PQ

Bekas itu diletakkan secara mengufuk dan air dituangkan ke dalamnya. PQ mewakili paras

air di dalam bekas itu dengan O ialah pusat semibulatan dan ˙POQ = 118°.
(a)  Tunjukkan bahawa jejari silinder itu ialah 35 cm, betul kepada cm terhampir.
(b) Hitung

(i) luas, dalam cm2, sektor POQ,

(ii) luas, dalam cm2, tembereng berlorek,

(iii) isi padu, dalam liter, air di dalam bekas itu.

26

SSuukkaattaann MMeemmbbuullaatt

17. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma dengan D AB
setiap keratan rentasnya ialah sektor bagi bulatan berjejari
3 cm. AOB dan CED ialah keratan rentas prisma itu 1
dengan A, B, C dan D terletak di atas permukaan lengkung
prisma. Diberi bahawa tinggi prisma itu ialah 4 cm dan 
˙CED = 40°, cari  TP 4
(a) panjang, dalam cm, lengkok AB,
(b) luas, dalam cm2, sektor AOB,
(c) isi padu, dalam cm3, prisma,
(d) jumlah luas permukaan, dalam cm2, prisma itu.

18. Persatuan Matematik SMK Taman Pagoh Indah
menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk
persatuan itu. Rajah di sebelah menunjukkan logo
berbentuk bulatan dan sektor bulatan yang direka oleh
Wong. Jejari bulatan setiap lengkok ialah 5 cm. Cari  TP 4
(a) perimeter, dalam cm, kawasan berwarna logo itu,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berwarna logo itu.
KEMENTERIAN 40° C
PENDIDIKAN E
MALAYSIA
4 cm B
B
O 3 cm A

M
SK

TI
P

Ahli matematik pada zaman dahulu mendapati bahawa pemalar π ialah nisbah lilitan
suatu bulatan kepada diameternya.

Maklumat di bawah menunjukkan anggaran niai π berdasarkan pendapat empat orang
tokoh matematik yang terkemuka di dunia.

Ahli matematik Greek, Ahli matematik
Yunani-Romawi,
Archimedes telah Ptolemy menunjukkan
bahawa nilai anggaran
membuktikan bahawa bagi π ialah 3.1416.

3 10 , π , 3 1 .
71 7

Ahli matematik Ahli matematik

Switzerland, Euler Jerman, Lambert

mendapati bahawa membuktikan bahawa
π ialah suatu nombor
π2 = 1 + 1 + 1 tak rasional.
6 12 22
1 1
+ 32 + 42 + …

Pada zaman moden hari ini, komputer boleh menilai π hingga sepuluh juta digit.
Teroka nilai π dengan menggunakan perisian geometri dinamik Desmos.

27

KEMENTERIANBAB
PENDIDIKAN
MALAYSIA2 PEMBEZAAN

Had dan Hubungannya dengan Pembezaan
Pembezaan Peringkat Pertama
Pembezaan Peringkat Kedua
Aplikasi Pembezaan
Senarai
Standard
Pembelajaran

bit.ly/2EOtFa4

28

Bakteria boleh menyebabkan Isaac Newton (1643-1727 TM) dan Gottfried
pelbagai jenis penyakit berbahaya Von Leibniz (1646-1716 TM) merupakan
dan mengancam kehidupan kita. ahli matematik yang mula mempelopori
Bakteria menghasilkan toksin yang prinsip asas kalkulus yang terdiri daripada
boleh merosakkan makanan. Makanan pembezaan dan pengamiran.
yang dicemari oleh bakteria akan
mengakibatkan keracunan makanan Kalkulus berasal daripada perkataan
dan boleh membawa maut jika tidak Latin yang bermaksud batu kecil yang
dirawat dengan segera. Antara digunakan untuk menghitung dan
penyakit yang menyerang manusia menyelesaikan suatu permasalahan
akibat bakteria ialah tifoid, demam dan matematik pada zaman dahulu.
pneumonia. Tahukah anda, rumus bagi
bilangan pertumbuhan bakteria, p Untuk maklumat lanjut:
dengan populasi awal ialah 1 500
menggunakan rumus bit.ly/2KFSrgc

( )p = 1 500 1 + 5t , dengan t ialah Kepentingan Bab Ini
t 2 + 30
masa, dalam jam? Bolehkah anda Sebuah LRT (Light Rapid Transit) yang
tentukan kadar pertumbuhan populasi bergerak dengan kadar perubahan
bakteria selepas 3 jam? Masalah ini sesaran terhadap masa menunjukkan
boleh diselesaikan dengan konsep halaju seketika bagi LRT itu manakala
pembezaan yang merupakan kadar perubahan halaju terhadap masa
sebahagian daripada kalkulus. menunjukkan pecutan seketika.
KEMENTERIAN Konsep pembezaan digunakan untuk
PENDIDIKAN menentukan peredaran darah dalam
MALAYSIA arteri pada masa tertentu serta jangka
masa bagi penyakit tumor membesar
dan mengecil di dalam badan manusia.

Video mengenai Had Limit
pertumbuhan Terbitan pertama First derivative
koloni bakteria. Kecerunan tangen Gradient of tangent
Terbitan kedua Second derivative
bit.ly/364Iwt8 Persamaan tangen Equation of tangent
Persamaan normal Equation of normal
Titik pusingan Turning point
Kadar perubahan Rate of change
Penghampiran Approximation
Titik pegun Stationary point
Titik lengkok balas Point of inflection

29

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan

Had merupakan konsep asas dalam operasi pembezaan seperti
halaju, v suatu objek pada masa t yang disebut sebagai halaju
seketika. Misalnya, semasa pemanduan, bacaan pada meter
laju kenderaan anda menunjukkan halaju 80 kmj–1.

Apakah yang dimaksudkan dengan bacaan halaju
80 kmj–1 pada meter laju itu? Bagaimanakah nilai 80 kmj–1
ini diperoleh? Dengan kaedah had, kita boleh menentukan
nilai tersebut melalui nilai penghampiran.
KEMENTERIAN
PENDIDIKANNilai had suatu fungsi apabila pemboleh ubah menghampiri sifar
MALAYSIA
Pertimbangkan jujukan 1, 1 , 1 , 1 , … dengan sebutan amnya, T
234 1
1, 1–
Tn = n dengan keadaan n = 1, 2, 3, ... 2
0
Perhatikan graf bagi jujukan itu seperti dalam rajah
1 2345
di sebelah. Apabila n semakin meningkat tanpa batas,

apakah yang akan terjadi kepada sebutan, T jujukan itu?

Adakah sebutannya semakin menghampiri sifar tetapi bukan

sifar? Bolehkah anda tentukan had bagi jujukan ini?

n

Ikuti penerokaan berikut untuk meneroka nilai had suatu
fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar pula.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan

Tujuan: Meneroka had suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar

Langkah:

1. Pertimbangkan fungsi f(x) = x2 + 3x , dengan domainnya ialah set semua nombor nyata,
x
kecuali sifar.

2. Tentukan nilai bagi f(0). Adakah anda boleh memperoleh nilai tersebut? Jelaskan.
x2
3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi fungsi f(x) = + 3x apabila x menghampiri
x

sifar dari arah kiri dan arah kanan. Seterusnya, lakarkan graf y = f(x) dan tentukan nilai

bagi had x2 + 3x .
x
x˜0

x – 0.1 – 0.01 – 0.001 – 0.0001 ... 0.0001 0.001 0.01 0.1

f (x)

4. Apakah yang anda boleh katakan tentang keputusan nilai f(0) yang diperoleh dalam

langkah 2 dengan nilai had x2 + 3x yang diperoleh dalam langkah 3? Bincangkan.
x
x˜0

30 2.1.1

Pembezaan

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa nilai bagi f(0) tidak dapat ditentukan AB

kerana menghasilkan suatu bentuk tak tentu, iaitu 0 . Oleh sebab had tidak dapat ditentukan 2
0

secara penggantian langsung, maka nilai bagi had x2 + 3x boleh ditentukan seperti yang
x˜0 x

ditunjukkan dalam jadual dan rajah yang berikut.

KEMENTERIANx f(x)
PENDIDIKAN
MALAYSIA– 0.12.9 f (x) Dengan menggunakan
– 0.01 2.99
B– 0.0012.999kalkulator grafik, lukis graf
– 0.0001 2.9999
0 6 bagi fungsi f (x) = x2 + 3x
0.0001  x
0.001 3.0001 4
0.01 3.001 3 f (x) = –x–2 –+x–3–x– dan anggarkan nilai bagi
3.01 2
3 x had f(x). Adakah fungsi f
– 4 –2 0 24
x˜0

tertakrif di x = 0?
Bincangkan kesannya

pada kewujudan had
apabila x menghampiri sifar.

0.1 3.1

Berdasarkan jadual dan rajah di atas, apabila nilai x semakin menghampiri sifar sama ada
dari arah kiri atau kanan, nilai f(x) menghampiri 3. Jadi, apabila x menghampiri sifar dari salah
satu arah, fungsi f(x) = x2 + 3x menghampiri 3, iaitu apabila x ˜ 0, x2 + 3x ˜ 3. Nilai 3 disebut

xx
sebagai had bagi x2 + 3x apabila x menghampiri sifar dan pernyataan ini boleh diringkaskan

x

dengan tatatanda:

had f(x) = had x2 + 3x = 3
x˜0 x˜0 x

Secara amnya,

Apabila x menghampiri a, dengan keadaan x ≠ a,
had bagi f(x) ialah L dan ditulis sebagai had f(x) = L.

x˜a

Cara-cara untuk menentukan had f(x), dengan a  adalah seperti yang berikut:
x˜a

Tentukan nilai had f(x) dengan menggantikan nilai x = a secara langsung ke dalam fungsi f(x). Jika,

f (a) ≠  0 f (a) = 0
0 0

Nilai had f(x) telah diperoleh, Tentukan had f(x) dengan cara:

x˜a x˜a

iaitu had f(x) = f(a). •  Pemfaktoran
•  Merasionalkan pengangka atau 
x˜a
penyebut fungsi itu.

2.1.1 31

Contoh 1

Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.

3 – !x (b) had x2 – 1 (c) had !x + 1 – 1
(a) had x˜1 x – 1 x˜0
x
x˜4 x + 2

Penyelesaian

(a) Gunakan penggantian secara langsung.

3 – !x = 3 – !4 = 3 – 2 = 1
had
KEMENTERIANx˜4 x + 2 4+2 4+2 6
PENDIDIKAN
MALAYSIA(b) Apabila x = 1, had x2 – 1 adalah dalam bentuk tak tentu, 0 .
x˜1 x – 1 0

Jadi, lakukan pemfaktoran dan hapuskan faktor sepunya

Lakarkan graf bagi setiap

sebelum melakukan penggantian secara langsung. fungsi yang berikut.

had x2 – 1 (a) f(x) = x2 – 1 , x ≠ 1
x˜1 x – 1 x–1
(b) f(x) = x + 1

= had (x + 1)(x – 1) Faktorkan pengangka dan Daripada graf, cari had bagi
x˜1 x – 1 hapuskan faktor sepunya setiap fungsi itu apabila x
menghampiri 1.
= had (x + 1) Penggantian langsung
x˜1 Dengan menggunakan
perisian geometri dinamik,
=1+1 lukis graf bagi setiap fungsi
=2 itu. Adakah perisian tersebut
dapat membezakan
(c) Apabila melakukan penggantian langsung, bentuk tak tentu, kedua-dua graf itu? Jelaskan
jawapan anda.
0 akan diperoleh. Jadi, rasionalkan pengangka bagi pecahan
0
dengan mendarabkannya dengan konjugat, iaitu ! x + 1 + 1.

had !x +1 – 1
x
x˜0

= had [( )( )]!x + 1 – 1 !x + 1 + 1x Darabkan dengan konjugat bagi pengangka
x˜0 !x + 1 + 1

= had (x + 1) – 1 (a – b)(a + b) = a2 – b2

( )x ˜ 0 x ! x + 1 + 1

= had x Hapuskan faktor sepunya

( )x ˜ 0 x ! x + 1 + 1

= had 1 f (x)
x˜0 !x + 1 + 1 f tidak tertakrif

=1 Penggantian langsung 1 apabila x = 0
!0 + 1 + 1
f (x) = �––x–+–x–1––––1
=1 –1
1+1 2 x
–1 0
=1 12
2

32 2.1.1

Pembezaan

Contoh 2

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f(x) f(x) = x–4––––x–2
3 x2
f (x) = x 4 – x 2 , x ≠ 0. Berdasarkan graf, cari 
x2

(a) f(0) (b) had f(x) (c) had f(x) AB
x˜0 x˜2
KEMENTERIAN 2
PENDIDIKANPenyelesaian 0 12 x
MALAYSIA –1
(a) Didapati bahawa tiada titik di x = 0. Maka, f(0) tidak
tertakrif di x = 0. B

(b) Apabila x ˜ 0 sama ada dari arah kiri atau kanan, f(x) ˜ –1. Maka, had f(x) = –1.
x˜0

(c) Apabila x ˜ 2 sama ada dari arah kiri atau kanan, f(x) ˜ 3. Maka, had f(x) = 3.
x˜2

Latihan Kendiri 2.1

1. Cari had bagi setiap fungsi yang berikut apabila x ˜ 0.

(a) x2 + x – 3 (b) ! x + 1 (c) x + 4 (d) a a
x–2 ax +

2. Tentukan had bagi setiap fungsi yang berikut.

(a) had (3x – 1) (b) had ! 10 – 2x (c) had x2 + x – 6
x˜0 x ˜ –3 x ˜ –3 x + 3

(d) had x–6 (e) had x2 – 3x + 2 (f) had 1 – ! 2x + 1
x2 – 36 x2 – 4 2x2 – x
x˜6 x˜2 x˜0

(g) had x – 4 (h) had 3 – ! 2x + 3 (i) had x + 2
x˜4 !x – 2 x˜3 x – 3 x ˜ –2 ! 5x + 14 – 2

3. Cari nilai bagi setiap had yang berikut.

(a) had x2 – 2x (b) had x2 – 4x + 3 (c) had x3 – 5x2 + 6x
x3 – 4x 2x2 – 5x – 3 x2 – 3x
x˜0 x˜3 x˜3

(d) had 5x (e) had x – 4 (f) had !x + 2 – 3
x˜0 3 – !x + 9 x˜4 2 – !8 – x x–7
x˜7

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y y = f(x)
graf fungsi y = f(x).
(a) Berdasarkan graf, 4 x
(i) cari f(0), 3 5
(ii) tentukan sama ada had f(x) wujud atau tidak. 2
1
x˜0
–1 0
Jelaskan.
(b) Seterusnya, cari 33

(i) had f(x)
x ˜ –1

(ii) had f(x)
x˜5

2.1.1

Terbitan pertama suatu fungsi f(x) melalui pembezaan dengan

prinsip pertama y

Tangen kepada suatu lengkung di suatu titik ialah satu garis lurus

yang menyentuh lengkung pada titik itu. Dalam rajah di sebelah, T(3, 8)

garis lurus AT dengan koordinat A dan T masing-masing ialah
(2, 4) dan (3, 8) ialah tangen kepada lengkung y = x2 di titik A.

Kecerunan tangen AT = y2 − y1 = 8 − 4 = 4 y = x2 A(2, 4)
x –x 3–2 0 x

21
KEMENTERIAN
Bagaimanakah cara untuk mencari kecerunan tangen bagiPENDIDIKAN Sudut Informasi
lengkung y = x2 di titik yang lain pula, misalnya B(3, 9)?MALAYSIA
Kecerunan lengkung
Kecerunan bagi suatu lengkung menggunakan graf adalah juga dikenali sebagai
sukar untuk ditentukan dan hasilnya tidak begitu tepat. Terdapat kecerunan tangen.
kaedah lain yang boleh digunakan untuk mencari kecerunan bagi
suatu lengkung pada titik tertentu, iaitu dengan menggunakan
idea had seperti dalam penerokaan berikut.

2Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Meneroka fungsi kecerunan tangen dan kecerunan tangen kepada
lengkung y = x 2 pada titik B(3, 9) dengan menggunakan idea had

Langkah: ggbm.at/z7kumqkk

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
2. Perhatikan graf y = x2 dan garis lurus yang melalui titik B(3, 9) dan titik

C(4, 16) pada graf tersebut.

3. Nilai m = 7 mewakili kecerunan bagi garis lurus BC.

4. Gerakkan titik C menghampiri titik B dan perhatikan perubahan pada nilai m.

5. Catatkan perubahan nilai m apabila titik C menghampiri titik B.

6. Katakan koordinat B(3, 9) ialah (x, y) dan koordinat C(4, 16) ialah (x + dx, y + dy), dengan
dx mewakili perubahan dalam nilai x dan dy mewakili perubahan dalam nilai y. Salin dan
lengkapkan jadual berikut.

dx x + dx y + dy dy dy y = x2
dx
1 4 16 7 7 C(x + δx, y + δy)
0.5 3.5 12.25 3.25 δy
0.05
0.005 B(x, y)
δx D(x + δx, y)

7. Apabila dx menghampiri 0, apakah yang berlaku pada nilai dy ? Bandingkan keputusannya
dengan keputusan yang diperoleh dalam langkah 5. dx

Daripada Aktiviti Penerokaan 2, perhatikan bahawa B(x, y) dan C(x + dx, y + dy) ialah dua titik
berhampiran pada lengkung y = x2.

34 2.1.2

Pembezaan

Jadi, y
Kecerunan garis lurus BC = CD C(x + δx, y + δy)
BD

= (y + dy) – y C1 δy
(x + dx) – x
C T AB
2
2
KEMENTERIAN dy y = x2 B(x, y)
PENDIDIKAN =
MALAYSIA δx D x
dx
B
Apabila titik C menghampiri titik B di sepanjang lengkung, 0

garis lurus BC berubah dan menjadi BC1, seterusnya menjadi GALERI SEJARAH
BC2, iaitu nilai bagi dx semakin kecil dan menghampiri sifar,
dx ˜ 0. Apabila titik C berada di atas titik B, garis lurus menjadi

tangen di titik B. Oleh itu,

Kecerunan lengkung di B = Kecerunan tangen BT
dy

= Nilai bagi had
dx ˜ 0 dx

Maka, bagi lengkung y = f(x), fungsi kecerunan tangennya Konsep had bagi suatu
fungsi mula diperkenalkan
dy secara eksplisit oleh Sir
pada sebarang titik boleh ditentukan dengan mencari had . Isaac Newton. Beliau
dx ˜ 0 dx menyatakan bahawa had
had dy disebut sebagai terbitan pertama bagi fungsi terhadap x ialah konsep asas dalam
kalkulus dan menjelaskan
dx ˜ 0 dx dy konsep utama had ialah
“mendekati dengan lebih
dan ditandakan dengan simbol dx . dekat daripada sebarang
perbezaan yang diberikan”.
dy dy f(x + dx) – f(x)
= had = had
dx dx dx
dx ˜ 0 dx ˜ 0

Fungsi kecerunan tangen dy ini boleh digunakan untuk
dx

mencari kecerunan tangen kepada suatu lengkung y = f(x) pada Sudut Informasi

sebarang titik (x, f(x)). • Simbol dx dibaca sebagai
“delta x” yang mewakili
Misalnya, pertimbangkan semula lengkung y = f(x) = x2. tokokan kecil dalam x.

dy = f(x + dx) – f(x) • Simbol dy dibaca sebagai
“delta y” yang mewakili
= (x + dx)2 – x2 tokokan kecil dalam y.

= x2 + 2x(dx) + (dx)2 – x2

= 2x(dx) + (dx)2 Bahagikan kedua-dua Tip Pintar
dy = 2x(dx) + (dx)2 belah persamaan
dx dx dengan dx

= 2x + dx

Maka, dy
dy dy bukan bermaksud dy
= had
dx dx ˜ 0 dx dx
= had (2x + dx)
bahagi dengan dx tetapi
dx ˜ 0
dy ialah simbol bagi had
dx

dy = 2x + 0 dy apabila dx ˜ 0.
dx dx
= 2x Fungsi kecerunan tangen

2.1.2 35

Jadi, kecerunan tangen kepada lengkung y = x2 pada titik B(3, 9) ialah dy = 2x = 2(3) = 6.
dx
dy
Secara amnya, proses untuk menentukan fungsi kecerunan atau terbitan pertama bagi suatu
dx
dy
fungsi y = f(x) dengan menggunakan idea had seperti ini disebut sebagai pembezaan
dx ˜ 0 dx

dengan prinsip pertama.

Contoh 3

dyKEMENTERIAN
Cari dx dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f(x) yang berikut.PENDIDIKAN
MALAYSIA
(a) y = 3x (b) y = 3x2 (c) y = 3x3

Penyelesaian

(a) Diberi y = f(x) = 3x (b) Diberi y = f(x) = 3x2

dy = f(x + dx) – f(x) dy = f(x + dx) – f(x)

= 3(x + dx) – 3x = 3(x + dx)2 – 3x2

= 3x + 3dx – 3x = 3[x2 + 2x(dx) + (dx)2] – 3x2

dy = 3dx = 3x2 + 6x(dx) + 3(dx)2 – 3x2
dx
= 3 = 6x(dx) + 3(dx)2
dy = 6x + 3dx
dy dy dx
Maka, = had
dx dx dy dy
dx ˜ 0 Maka, = had

= had 3 dx dx ˜ 0 dx
dy dx ˜ 0
dx = 3 = had (6x + 3dx)
dx ˜ 0

dy = 6x + 3(0)
dx
= 6x

(c) Diberi y = f(x) = 3x3

dy = f(x + dx) – f(x) Tip Pintar

= 3(x + dx)3 – 3x3 Langkah-langkah untuk

= 3(x + dx)(x + dx)2 – 3x3 dy
dx
= 3(x + dx)[x2 + 2x(dx) + (dx)2] – 3x3 menentukan bagi

= 3[x3 + 2x2(dx) + x(dx)2 + x2(dx) + 2x(dx)2 + (dx)3] – 3x3 sebarang fungsi f(x) dengan

= 3[x3 + 3x2(dx) + 3x(dx)2 + (dx)3] – 3x3 prinsip pertama.

= 3x3 + 9x2(dx) + 9x(dx)2 + 3(dx)3 – 3x3 1. Pertimbangkan dua titik

= 9x2(dx) + 9x(dx)2 + 3(dx)3 A(x, y) dan B(x + dx, y + dy)

dy = 9x2 + 9x(dx) + 3(dx)2 pada lengkung.

dx dy dy 2. Tentukan dy dengan
dy = f(x + dx) – f(x).

Maka, dx = had dx 3. Dapatkan nisbah dy .
dx
dx ˜ 0

= had [9x2 + 9x(dx) + 3(dx)2] 4. Ambil had bagi dy
dx ˜ 0 dx

dy = 9x2 + 9x(0) + 3(0)2 apabila dx ˜ 0.
dx
= 9x 2

36 2.1.2

Pembezaan

Latihan Kendiri 2.2

1. Cari dy dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f(x) yang berikut.
dx

(a) y = x (b) y = 5x (c) y = – 4x (d) y = 6x2 AB

(e) y = –x2 (f) y = 2x3 (g) y = 1 x2 (h) y = 1 2
2 x
KEMENTERIAN
2. Diberi y = 2x2 – x + 7, cari dy dengan menggunakan prinsip pertama.PENDIDIKAN
dxMALAYSIA

B
3. Dengan menggunakan prinsip pertama, cari fungsi kecerunan bagi lengkung y = 3 + x – x2.

Latihan Formatif 2.1 Kuiz bit.ly/36ml2zn

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f (x)
f(x) = x2 – 4x + 3.
(a) Daripada graf, cari setiap yang berikut. f (x) = x2 – 4x + 3
8
(i) had f(x) (ii) had f(x) (iii) had f(x)
x ˜ –1 x˜0 x˜1

(iv) had f(x) (v) had f(x) (vi) had f(x)
x˜2 x˜3 x˜4

(b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi a jika had f(x) = 8.
x˜a

dy 3 123 x
(c) (i) Tentukan fungsi kecerunan tangen, dx bagi graf itu
0
dengan menggunakan prinsip pertama. –1

(ii) Seterusnya, tentukan kecerunan tangen pada titik (4, 3). –1

2. Cari nilai bagi setiap had yang berikut.

(a) had (x2 – 6x + 9) (b) had 3! x 4 – 2x2 (c) had 9 – x
x˜0 x˜2 x2 – 81
x˜9

(d) had x2 – x – 2 (e) had x3 – x (f) had x2 – 7x + 10
x˜2 x – 2 x˜1 x – 1 x2 – 25
x˜5

3. Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.

(a) had ! 1 + 2x – ! 1 – 2x (b) had 3 – ! x + 5 (c) had x2 – 5x + 6
x˜0 x x˜4 x – 4 x˜3 2 – !x + 1

4. (a) Diberi bahawa had x2 – k = 4 , cari nilai k.
x ˜ 2 3x – 6 3

(b) Jika had x2 – 2x – h = –2, cari nilai bagi h + k.
x ˜ –1 kx + 2

5. Bezakan fungsi berikut terhadap x dengan menggunakan prinsip pertama.

(a) y = 5x – 8 (b) y = x2 – x (c) y = (x + 1)2 (d) y = 1
4x

6. Sesaran, s m, bagi seekor tupai yang berlari pada kabel lurus selepas t saat diberi oleh
s(t) = t2 – 3t, dengan keadaan t > 0. Menggunakan prinsip pertama, cari halaju tupai itu
apabila t = 5.

2.1.2 37

2.2 Pembezaan Peringkat Pertama

Rumus terbitan pertama bagi fungsi y = axn, dengan a ialah pemalar dan n

ialah integer

Perhatikan semula Contoh 3 pada halaman 36. Fungsi dy
Terbitan pertama bagi fungsi y = 3x, y = 3x2 dan dx Pola
y = 3x3 dengan prinsip pertama adalah mengikut y = 3x 3 3(1x1 – 1)
pola seperti dalam jadual di sebelah. y = 3x2 6x 3(2x2 – 1)
y = 3x3 9x2 3(3x3 – 1)
Daripada pola yang diperoleh, bagi fungsi
y = axn, dengan a ialah pemalar dan n ialah integer, Tip Pintar
kita boleh menerbitkan rumus terbitan pertama bagi
fungsi itu secara induktif seperti yang berikut.
KEMENTERIAN
PENDIDIKANJika y = axn, maka dy = anxn – 1 atau d (axn) = anxn – 1 Bagi y = axn,
MALAYSIAdx dx • Jika n = 1, dy = a

Tiga tatatanda yang boleh digunakan untuk menerangkan dx
terbitan pertama suatu fungsi y = axn adalah seperti yang berikut.
• Jika n = 0, dy = 0
dx

1 dy dy
Jika y = 3x2, maka dx = 6x dx disebut sebagai pembezaan y terhadap x.

f (x) dikenali sebagai fungsi kecerunan bagi lengkung

2 Jika f(x) = 3x2, maka f (x) = 6x y = f(x) kerana fungsi ini boleh digunakan untuk

mencari kecerunan lengkung pada sebarang titik.

3 d (3x2) = 6x Jika bezakan 3x2 terhadap x, hasilnya ialah 6x.
dx

Menentukan terbitan pertama bagi suatu fungsi algebra

Ikuti penerokaan berikut untuk melihat perbandingan antara graf fungsi f(x) dengan graf fungsi
kecerunannya, f (x) menggunakan perisian geometri dinamik Desmos.

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan STEM PK

Tujuan: Membandingkan graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x)

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/2Foq2bu
2. Perhatikan graf f(x) = x2 yang terpapar pada satah.

3. Klik butang (a, f(a)) untuk melihat koordinat titik sentuh antara graf f(x) dengan

garis tangennya.

4. Kemudian, klik butang f (x) = d [f (x)] untuk melihat graf f (x), iaitu graf fungsi kecerunan
dx
bagi f(x). Seterusnya, klik butang (a, f (a)) untuk melihat koordinat titik pada graf f (x).

38 2.2.1 2.2.2

Pembezaan

5. Seret gelongsor a untuk mengubah titik sentuh antara lengkung f(x) dengan garis tangennya. AB

6. Bandingkan graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x). Apakah yang anda 2
boleh katakan tentang kedua-dua graf ini apabila nilai a berubah?

7. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan lengkung y = x2 pada
koordinat-x yang diberi. Kecerunan lengkung boleh diperoleh dengan melihat koordinat-y
pada titik di graf f (x).
KEMENTERIAN
PENDIDIKANKoordinat-x–3–2 –1 0 1 2 3
MALAYSIA
Kecerunan
Blengkung

8. Dengan menggunakan rumus terbitan pertama yang telah dipelajari, tentukan fungsi f (x).
Seterusnya, gantikan nilai-nilai koordinat-x daripada jadual di atas ke dalam fungsi f (x)
untuk menyemak dan mengesahkan kecerunan lengkung yang diperoleh dalam langkah 7.

9. Teruskan penerokaan anda dengan fungsi yang lain seperti fungsi kubik, seterusnya
bandingkan jenis serta bentuk graf fungsi itu dengan graf fungsi kecerunannya.

10. Buat satu kesimpulan berdasarkan hasil dapatan anda.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa:
Perbandingan antara graf f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x) bagi tiga fungsi
polinomial dalam bentuk y = f(x) = axn, dengan a = 1 dan kuasa tertinggi polinomial, n = 1, 2
dan 3 dapat dirumuskan seperti berikut.

Graf y = f(x) = x dan Graf y = f(x) = x2 dan Graf y = f(x) = x3 dan
y = f (x) = 1 y = f (x) = 2x y = f (x) = 3x2

y y y = f Ј(x) y y = f Ј(x)
y = f (x) y = f (x) (2, 4)

y = fЈ(x) Parabola y = f (x)

Garis (1, 1) x Parabola 0 x x
lurus 0 0
Garis
lurus Lengkung
kubik

Langkah-langkah untuk menentukan kecerunan bagi lengkung f(x) pada suatu titik pula adalah
seperti berikut.

Cari fungsi kecerunan f (x) bagi fungsi f(x) = axn Gantikan nilai x ke dalam
terlebih dahulu dengan menggunakan rumus berikut: fungsi kecerunan itu.

Jika f(x) = axn, dengan a ialah pemalar
dan n ialah integer, maka f (x) = anxn – 1.

2.2.2 39

Proses untuk menentukan fungsi kecerunan f (x) bagi suatu fungsi y = f(x) disebut sebagai
pembezaan. Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama bagi suatu fungsi atau
fungsi terbitan atau pekali pembezaan y terhadap x.

Contoh 4

Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

(a) – 2 x6 (b) y = 1 ! x (c) f (x) = 3
3 5 8x 2

PenyelesaianKEMENTERIAN
PENDIDIKAN
( )(a) d – 2 x6 = – 2 (6x6 – 1)MALAYSIA (b) y = 1 ! x (c) f (x) = 3
dx 3 3 5 8x 2
1 = 3 x–2
= – 2 (6x5) = 1 8
x2
3 5
( )d = – 4x5 f (x) = 3 (–2x–2 – 1)
– 2 x6 ( )dy 1 1 1 – 1 8
dx 3 = 5
dx 2 x2 = – 3 x–3
4
= 1 – 1
2
x
10 3
f (x) = – 4x 3
dy 1
dx = 10! x

Contoh 5 Sudut Informasi

( )(a) Jika f(x) = 3 x4, cari f (–1) dan f  1 . Fungsi kecerunan bagi suatu
43 lengkung ialah suatu fungsi
manakala kecerunan bagi
(b) Diberi bahawa y = 9 3! x , cari nilai dy apabila x = 8. suatu lengkung pada titik
dx tertentu pula ialah suatu
nilai berangka.
Penyelesaian
Misalnya, bagi lengkung
(a) f(x) = 3 x4 (b) y = 9 3! x y = 2x3, fungsi kecerunannya
4 ialah dy = 2(3x3 – 1) = 6x2 dan
1
f (x) = 3 (4x4 – 1) dx
4 = 9x 3 kecerunannya pada titik (1, 2)
ialah dy = 6(1)2 = 6.
= 3x3 ( )dy = 9 1 x 1 – 1
3 dx
f (–1) = 3(–1)3 dx
= –3 3
2
( ) ( )f 1 = 3 1 3 = – 3
33
=1 3x
9
Apabila x = 8, dy = – 2
3
3(8)
dx
=3
4

Terbitan bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra
pula boleh diperoleh dengan membezakan fungsi itu sebutan demi sebutan secara berasingan.

Jika f(x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka

d [ f (x) ± g(x)] = d [ f (x)] ± d [g(x)]
dx dx dx

40 2.2.2


Click to View FlipBook Version
Previous Book
ตลาดร้อยปีสามชุก สุพรรณบุรี
Next Book
HARI ANUGERAH KECEMERLANGAN AKADEMIK SMKS19 2022