ใบความรู้ - ลำดับฮาร์มอนิก

ใบความรู้

เรอื่ ง “ลาดับฮารม์ อนิก”

ลาดับซ่ึงพจน์แต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของลาดับเลขคณิต เรียกว่า ลาดับฮาร์มอนิก สรุปเป็นกรณีท่ัวไป

ได้ดงั น้ี

จาก a1, a2, a3, …, an, … เปน็ ลาดับเลขคณิต

จะได้ 1 , 1 , 1 , ..., 1 , ...เป็นลาดับฮารม์ อนกิ
a1 a2 a3 an

ถ้าพจนท์ ่ี n ของลาดับเลขคณิต คอื an = a1 + (n – 1)d

แลว้ พจนท์ ี่ n ของลาดับฮาร์มอนกิ คือ an = 1
a1  (n 1)d

ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนดลาดบั ฮาร์มอนิก 1 , 1 , 1 , ... จงหาพจนท์ ่ี 50 ของลาดบั น้ี
3 7 11

(แนวคดิ ทาได้โดยเปลีย่ นลาดบั ฮารม์ อนิกท่ีโจทย์กาหนดให้เป็นลาดับเลขคณิตก่อน แล้วหา

พจนท์ ่ี 50 ของลาดับเลขคณิตที่ได้ จากน้ันเขียนส่วนกลับของพจน์ในลาดับเลขคณิต

จะได้พจน์ท่ี 50 ของลาดบั ฮาร์มอนิก ตามต้องการ)

วธิ ที า จากโจทย์ 1 , 1 , 1 , ... เปน็ ลาดับฮารม์ อนกิ
3 7 11

จะได้ 3, 7, 11, … เปน็ ลาดบั เลขคณิต

พจน์ท่ี n ของลาดบั เลขคณิต คือ an = a1 + (n – 1)d

a50 = a1 + (50 – 1)d
a50 = a1 + 49d

แทนคา่ จะได้ a50 = 3 + (49  4)

= 3 + 196

= 199

ดังน้ัน พจน์ที่ 50 ของลาดับ 1 , 1 , 1 , ... คอื 1
3 7 11 199

วธิ ีการหาพจน์กลางระหวา่ งพจนส์ องพจน์ของลาดับฮาร์มอนกิ

ถา้ a, H, b เปน็ ลาดบั ฮารม์ อนกิ

จะไดว้ า่ 1 , 1 , 1 เป็นลาดบั เลขคณติ
a H b
1 1 1 1
หาผลตา่ งรว่ ม; d= H  a = b  H

1  1 = 1  1
H H b a
2 ab
H = ab

จะได้ H = 2ab
ab
2ab
น่ันคอื H = ab เป็นสตู รการหาพจน์กลางของลาดบั ฮาร์มอนิก a, H, b

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาพจน์กลางระหว่าง p และ q ซ่ึงเปน็ ลาดบั ฮารม์ อนกิ
q p

วธิ ีทา จาก a, H, b เป็นลาดับฮาร์มอนิก

สูตร พจน์กลางของลาดบั ฮารม์ อนกิ คอื H = 2ab
ab
p q
p q 2  q  p 2 2pq
q p p2  q2 p2  q2
ดงั นัน้ พจน์กลางระหวา่ ง และ คอื p q = =
q p pq
