PENAAKULAN LOGIK

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

BAB 3: Penaakulan Logik

Logical Reasoning

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 56 – 57

NOTA Pautan Digital

Satu pernyataan ialah satu bentuk ayat yang boleh dinyatakan sama ada benar atau palsu tetapi tidak boleh kedua-duanya.
A statement is a form of sentence that can be stated whether it is true or false but not both.

A. Tentukan sama ada setiap ayat berikut ialah pernyataan atau bukan.

Determine whether each of the following sentences is a statement. SP3.1.1 TP1

Ayat Pernyataan atau Bukan pernyataan

Sentence Statement or Not a statement

Arnab ialah mamalia. Pernyataan

Rabbit is a mammal. Statement

1. Kuala Lumpur merupakan ibu negeri Selangor. Pernyataan
Statement
Kuala Lumpur is the capital of Selangor.
Bukan pernyataan
2. Cantiknya bunga itu! Not a statement

The flower is beautiful! Pernyataan
Statement
3. 45 + 7 = 53
Bukan pernyataan
4. 2x + 5 = 7 Not a statement

5. Faktorkan x2 + 3x – 10. Bukan pernyataan
Not a statement
Factorise x2 + 3x – 10.

B. Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

Determine whether each of the following statements is true or false. SP3.1.1 TP1

Pernyataan Benar atau Palsu

Statement True or False

–1 + 9 у 5 Benar/True

1. 72 = 14 Palsu/False

2. {m, a} ʚ {k, e, m, a, s} Benar/True
Benar/True
3. 5 ialah faktor bagi 25. Palsu/False
Benar/True
5 is a factor of 25.

4. –0.0037 lebih kecil daripada –0.037.

–0.0037 is smaller than –0.037.

5. 4j + 3j = 7j
29

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 57 – 58

A. Bina satu pernyataan benar dan pernyataan palsu daripada nombor dan simbol matematik yang diberi.

Construct a true statement and false statement from the given numbers and mathematical symbols. SP3.1.1 TP3

Pernyataan benar Pernyataan palsu

True statement False statement

13, 2, 11, +, Ͼ 13 + 11 Ͼ 2 atau/or 13 + 2 Ͼ 11 11 + 2 Ͼ 13

1. 4, 6, 1, +, Ͻ 1+4Ͻ6 4 + 6 Ͻ 1 atau/or 1 + 6 Ͻ 4

2. –1, 5, 7, ×, Ͼ 5 × 7 Ͼ –1 5 × (–1) Ͼ 7 atau/or (–1) × 7 Ͼ 5

3. 7, 2, 9, –, = 9 – 2 = 7 atau/or 9 – 7 = 2 7 – 2 = 9 atau/or 2 – 7 = 9

4. 15, 3, 4, ÷, Ͼ 15 ÷ 3 Ͼ 4 3 ÷ 4 Ͼ 15

5. 7, 5, 13, 2, +, –, Ͼ 7 + 13 – 2 Ͼ 5 atau/or 7 – 5 + 13 Ͼ 2 2 – 5 + 7 Ͼ 13 atau/or 7 + 5 – 13 Ͼ 2

B. Bentuk satu pernyataan benar dengan melengkapkan pernyataan yang diberi menggunakan pengkuantiti

“semua” atau “sebilangan”.

Form a true statement by completing the given statement using the quantifier “all” or “some”. SP3.1.1 TP3

Sebilangan nombor genap boleh dibahagi 1. Semua poligon sekata mempunyai sisi
tepat dengan 3. yang sama panjang.

Some All regular polygons have equal sides.

even numbers are divisible by 3.

2. Semua pecahan wajar adalah kurang 3. Sebilangan nombor ganjil ialah nombor
daripada 1. perdana.
proper fractions are less than 1. odd numbers are prime numbers.
All Some

4. Semua gandaan 8 ialah gandaan 4. 5. Sebilangan persamaan kuadratik mempunyai

All multiples of 8 are multiples of 4. dua punca.
Some
quadratic equations have two roots.

30

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 59 – 63

A. Bentuk satu penafian (∼p) bagi setiap pernyataan (p) berikut dengan menggunakan perkataan “bukan”
atau “tidak”. Kemudian, tentukan nilai kebenaran penafian itu.

Form a negation (∼p) for each of the following statements (p) by using the word “not” or “no”. Then, determine the truth
value of the negation. SP3.1.2 TP3

Pernyataan (p) Penafian (∼p) Benar atau Palsu

Statement (p) Negation (∼p) True or False

5 ialah faktor bagi 12. 5 bukan faktor bagi 12. Benar

5 is a factor of 12. 5 is not a factor of 12. True

1. 10 ÷ 5 sama dengan 2. 10 ÷ 5 tidak sama dengan 2. Palsu
10 ÷ 5 is not equal to 2. False
10 ÷ 5 is equal to 2.

2. Faktor perdana bagi 15 ialah 3 dan 5. Faktor perdana bagi 15 bukan 3 dan 5. Palsu
False
The prime factors of 15 are 3 and 5. The prime factors of 15 are not 3 and 5.

3. 70 ialah gandaan bagi 14 dan 10. 70 bukan gandaan bagi 14 dan 10. Palsu
70 is not a multiple of 14 and 10. False
70 is a multiple of 14 and 10.

4. 84 boleh dibahagi tepat dengan 3. 84 tidak boleh dibahagi tepat dengan 3. Palsu
84 is not divisible by 3. False
84 is divisible by 3.

NOTA p q p dan/and q p atau/or q
Benar/True Benar/True Benar/True Benar/True
• Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih Benar/True Palsu/False Palsu/False Benar/True
pernyataan dengan menggunakan perkataan “dan” Palsu/False Benar/True Palsu/False Benar/True
atau “atau”. Palsu/False Palsu/False Palsu/False Palsu/False
A compound statement is a combination of two or
more statements by using the word “and” or “or”.

• Nilai kebenaran bagi pernyataan majmuk.
The truth value of the compound statement.

B. Tentukan dua pernyataan, p dan q, daripada pernyataan majmuk berikut. Kemudian, tentukan sama
ada setiap pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu.

Determine two statements, p and q, from the following compound statements. Then, determine whether each of the following
compound statements is true or false. SP3.1.3 TP1

Pernyataan majmuk p q Benar atau Palsu

Compound statements True or False

3 ialah faktor bagi 9 dan 12. 3 ialah faktor bagi 9. 3 ialah faktor bagi 12. Benar

3 is a factor of 9 and 12. 3 is a factor of 9. 3 is a factor of 12. True

(Benar/True) (Benar/True)

1. Bulan Jun atau Julai ada Bulan Jun ada 31 hari. Bulan Julai ada 31 hari. Benar
31 hari. June has 31 days. July has 31 days. True
(Palsu/False) (Benar/True)
June or July has 31 days.

2. 5 + 3 Ͻ 7 dan 6 × 1 = 61. 5+3Ͻ7 6 × 1 = 61 Palsu
(Palsu/False) (Palsu/False) False
5 + 3 Ͻ 7 and 6 × 1 = 61.

3. 2 ialah nombor genap 2 ialah nombor genap. 2 ialah nombor perdana. Benar
dan nombor perdana. True
2 is an even number. 2 is a prime number.
2 is an even number and
a prime number. (Benar/True) (Benar/True)

31

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 60 – 65

A. Gabungkan dua pernyataan berikut dengan menggunakan perkataan “dan” atau “atau” untuk

membentuk satu pernyataan benar.

Combine the following two statements by using the word “and” or “or” to form a true statement. SP3.1.3 TP3

1 km = 100 m atau/or 1 m = 100 cm 1. 20 ialah gandaan 4 dan faktor bagi
60. and
a factor of 60.
20 is a multiple of 4

2. m × m = 2m atau/or n2 ÷ n = n 3. (–4)2 = 42 atau/or ΂ 1 ΃2 Ͼ ΂ 1 ΃2
4 3

4. Pentagon sekata mempunyai sisi yang sama 5. Diberi P = {M, U, R, A, H} dan Q = {H, A, R, U,
M}.
panjang dan jumlah sudut peluarannya
ialah 360°. Given P = {M, U, R, A, H} and Q = {H, A, R, U, M}.

A regular pentagon has equal sides and P=Q atau/or PʚQ
the sum of its exterior angles is 360°.

NOTA

Implikasi: Jika p, maka q. p = Antejadian/Antecedent p jika dan hanya jika q. Implikasi 1/Implication 1:
p if and only if q. Jika p, maka q./If p, then q.
Implication: If p, then q. q = Akibat/Consequent
Implikasi 2/Implication 2:
Jika q, maka p./If q, then p.

B. Tentukan antejadian dan akibat dalam setiap implikasi berikut.

Determine the antecedent and consequent in each of the following implications. SP3.1.4 TP2

Implikasi Antejadian Akibat

Implication Antecedent Consequent

Jika m Ͻ 0, maka m ialah nombor negatif. mϽ0 m ialah nombor negatif.
y–5=7
If m Ͻ 0, then m is a negative number. m is a negative number.

1. Jika y – 5 = 7, maka y = 12. y = 12

If y – 5 = 7, then y = 12.

2. Jika set A mempunyai 3 unsur, maka Set A mempunyai 3 unsur. Bilangan subset bagi set A
bilangan subset bagi set A ialah 8. Set A has 3 elements. ialah 8.

If set A has 3 elements, then the number of The number of subsets of
set A is 8.
subsets of set A is 8.
Hasil tambah sudut
3. Jika PQR ialah sebuah segi tiga, maka hasil PQR ialah sebuah segi tiga. pedalaman PQR ialah 180°.
tambah sudut pedalaman PQR ialah 180°. PQR is a triangle. The sum of interior angles of

If PQR is a triangle, then the sum of interior PQR is 180°.

angles of PQR is 180°.

4. Jika M പ N = M, maka M ʚ N. MപN=M MʚN

If M പ N = M, then M ʚ N. 32

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 63 – 65

A. Bina satu implikasi “jika p, maka q” berdasarkan antejadian dan akibat berikut.

Construct an implication “if p, then q” based on the following antecedents and consequents. SP3.1.4 TP3

Antejadian: Luas bulatan A ialah 154 cm2. 1. Antejadian: Poligon M ialah pentagon.

Antecedent: The area of circle A is 154 cm2. Antecedent: Polygon M is a pentagon.

Akibat: Jejari bulatan A ialah 7 cm. Akibat: Hasil tambah sudut pedalamannya ialah
540°.
Consequent: The radius of circle A is 7 cm.
Consequent: The sum of its interior angles is 540°.
Implikasi/Implication:
Jika luas bulatan A ialah 154 cm2, maka jejari Implikasi/Implication:
bulatan A ialah 7 cm. Jika poligon M ialah pentagon, maka hasil tambah
sudut pedalamannya ialah 540°.
If the area of circle A is 154 cm2, then the radius of circle If polygon M is a pentagon, then the sum of its interior
A is 7 cm. angles is 540°.

2. Antejadian: m boleh dibahagi tepat dengan 3. 3. Antejadian: 1 Ͻ 1
p q
Antecedent: m is divisible by 3. Antecedent:

Akibat: m ialah gandaan 3. Akibat: p Ͼ q

Consequent: m is a multiple of 3. Consequent:

Implikasi/Implication: Implikasi/Implication:
Jika m boleh dibahagi tepat dengan 3, maka m ialah
gandaan 3. Jika 1 Ͻ 1 , maka p Ͼ q./If 1 Ͻ 1 , then p Ͼ q.
If m is divisible by 3, then m is a multiple of 3. p q p q

B. Bina satu implikasi “p jika dan hanya jika q” berdasarkan implikasi berikut.

Construct an implication “p if and only if q” based on the following implications. SP3.1.4 TP3

Implikasi 1: Jika a = b, maka a – b = 0. 1. Implikasi 1: Jika PQRS mempunyai 4 sisi, maka
PQRS ialah sebuah sisi empat.
Implication 1: If a = b, then a – b = 0.
Implication 1: If PQRS has 4 sides, then PQRS is
Implikasi 2: Jika a – b = 0, maka a = b. a quadrilateral.

Implication 2: If a – b = 0, then a = b. Implikasi 2: Jika PQRS ialah sebuah sisi empat,
maka PQRS mempunyai 4 sisi.
a = b jika dan hanya jika a – b = 0.
Implication 2: If PQRS is a quadrilateral, then PQRS
a = b if and only if a – b = 0. has 4 sides.

PQRS mempunyai 4 sisi jika dan hanya jika PQRS
ialah sebuah sisi empat.
PQRS has 4 sides if and only if PQRS is a quadrilateral.

2. Implikasi 1: Jika mod bagi 3, 4, 1, 2, x, 5 ialah 3. Implikasi 1: Jika isi padu sebuah sfera ialah

3, maka x = 3. 288π cm3, maka jejari sfera itu ialah

Implication 1: If the mode of 3, 4, 1, 2, x, 5 is 3, then 6 cm.

x = 3. Implication 1: If the volume of a sphere is 288π cm3,

Implikasi 2: Jika x = 3, maka mod bagi 3, 4, 1, then its radius is 6 cm.

2, x, 5 ialah 3. Implikasi 2: Jika jejari sebuah sfera ialah 6 cm, maka

Implication 2: If x = 3, then the mode of 3, 4, 1, 2, x, isi padu sfera itu ialah 288π cm3.

5 is 3. Implication 2: If radius of a sphere is 6 cm, then its

Mod bagi 3, 4, 1, 2, x, 5 ialah 3 jika dan hanya jika volume is 288π cm3.
x = 3. Isi padu sebuah sfera ialah 288π cm3 jika dan hanya
The mode of 3, 4, 1, 2, x, 5 is 3 if and only if x = 3.
jika jejari sfera itu ialah 6 cm.
The volume of a sphere is 288π cm3 if and only if its

33 radius is 6 cm.

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 63 – 65

Tulis dua implikasi daripada pernyataan berikut.

Write two implications from the following statements. SP3.1.4 TP3

7y = –14 jika dan hanya jika y = –2. 1. a Ͻ b jika dan hanya jika a – b Ͻ 0.

7y = –14 if and only if y = –2. a Ͻ b if and only if a – b Ͻ 0.

Implikasi 1/Implication 1: Jika 7y = –14, maka y = –2. Implikasi 1/Implication 1: Jika a Ͻ b, maka a – b Ͻ 0.
If a Ͻ b, then a – b Ͻ 0.
If 7y = –14, then y = –2.

Implikasi 2/Implication 2: Jika y = –2, maka 7y = –14. Implikasi 2/Implication 2: Jika a – b Ͻ 0, maka a Ͻ b.
If a – b Ͻ 0, then a Ͻ b.
If y = –2, then 7y = –14.

2. Dua garis tidak bersilang antara satu sama lain jika dan hanya jika dua garis itu adalah garis selari. 34

The two lines does not intersect each other if and only if the two lines are parallel lines.

Implikasi 1/Implication 1: Jika dua garis tidak bersilang antara satu sama lain, maka dua garis itu adalah garis selari.
If the two lines does not intersect each other, then the two lines are parallel lines.

Implikasi 2/Implication 2: Jika dua garis adalah garis selari, maka dua garis itu tidak bersilang antara satu sama lain.
If the two lines are parallel lines, then the two lines does not intersect each other.

3. xa ialah ungkapan kuadratik jika dan hanya jika a = 2.

xa is a quadratic expression if and only if a = 2.

Implikasi 1/Implication 1: Jika xa ialah ungkapan kuadratik, maka a = 2.
If xa is a quadratic expression, then a = 2.

Implikasi 2/Implication 2: Jika a = 2, maka xa ialah ungkapan kuadratik.
If a = 2, then xa is a quadratic expression.

4. P ialah nombor genap jika dan hanya jika P boleh dibahagi tepat dengan 2.

P is an even number if and only if P is divisible by 2.

Implikasi 1/Implication 1: Jika P ialah nombor genap, maka P boleh dibahagi tepat dengan 2.
If P is an even number, then P is divisible by 2.

Implikasi 2/Implication 2: Jika P boleh dibahagi tepat dengan 2, maka P ialah nombor genap.
If P is divisible by 2, then P is an even number.

5. ABCDE ialah sebuah pentagon jika dan hanya jika ABCDE mempunyai 5 sisi.

ABCDE is a pentagon if and only if ABCDE has 5 sides.

Implikasi 1/Implication 1: Jika ABCDE ialah sebuah pentagon, maka ABCDE mempunyai 5 sisi.
If ABCDE is a pentagon, then ABCDE has 5 sides.

Implikasi 2/Implication 2: Jika ABCDE mempunyai 5 sisi, maka ABCDE ialah sebuah pentagon.
If ABCDE has 5 sides, then ABCDE is a pentagon.

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 66 – 69

Tulis akas, songsangan dan kontrapositif daripada implikasi berikut dan tentukan nilai kebenarannya.

Write the converse, inverse and contrapositive of the following implications and determine their truth values. SP3.1.5 TP3

Implikasi p (Palsu/False) q (Benar/True) Benar

Implication Jika 13 ialah nombor genap, maka 13 tidak boleh dibahagi tepat dengan 2. True

Akas If 13 is an even number, then 13 is not divisible by 2. Palsu

Converse Jika 13 tidak boleh dibahagi tepat dengan 2, maka 13 ialah nombor genap. False

If 13 is not divisible by 2, then 13 is an even number. Palsu

Songsangan Jika 13 bukan nombor genap, maka 13 boleh dibahagi tepat dengan 2. False

Inverse If 13 is not an even number, then 13 is divisible by 2. Benar

Kontrapositif Jika 13 boleh dibahagi tepat dengan 2, maka 13 bukan nombor genap. True

Contrapositive If 13 is divisible by 2, then 13 is not an even number.

1. Jika segi tiga sama kaki mempunyai 3 sisi, maka segi tiga sama kaki Palsu
mempunyai 3 paksi simetri. False
Implikasi
If an isosceles triangle has 3 sides, then the isosceles triangle has 3 axes of symmetry.
Implication

Akas Jika segi tiga sama kaki mempunyai 3 paksi simetri, maka segi tiga sama kaki Benar
mempunyai 3 sisi. True
Converse If an isosceles triangle has 3 axes of symmetry, then the isosceles triangle has 3 sides.
Benar
Songsangan Jika segi tiga sama kaki tidak mempunyai 3 sisi, maka segi tiga sama kaki tidak True
mempunyai 3 paksi simetri.
Inverse If an isosceles triangle does not have 3 sides, then the isosceles triangle does not have Palsu
3 axes of symmetry. False

Kontrapositif Jika segi tiga sama kaki tidak mempunyai 3 paksi simetri, maka segi tiga sama Benar
kaki tidak mempunyai 3 sisi. True
Contrapositive If an isosceles triangle does not have 3 axes of symmetry, then the isosceles triangle
does not have 3 sides.

2. Jika 9 ialah nombor perdana, maka 9 mempunyai dua faktor sahaja.
Implikasi
If 9 is a prime number, then 9 has two factors only.
Implication

Akas Jika 9 mempunyai dua faktor sahaja, maka 9 ialah nombor perdana. Benar
If 9 has two factors only, then 9 is a prime number. True
Converse

Songsangan Jika 9 bukan nombor perdana, maka 9 tidak mempunyai dua faktor sahaja. Benar
If 9 is not a prime number, then 9 does not have two factors only. True
Inverse

Kontrapositif Jika 9 tidak mempunyai dua faktor sahaja, maka 9 bukan nombor perdana. Benar

Contrapositive If 9 does not have two factors only, then 9 is not a prime number. True
35

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.1 Pernyataan Buku Teks: m.s. 69 – 70

NOTA

Contoh penyangkal ialah fakta atau objek yang menafikan kebenaran suatu pernyataan.
A counter-example is a fact or object that negate the truth of a statement.

A. Beri satu contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran pernyataan berikut.

Give one counter-example to negate the truth of the following statement. SP3.1.6 TP3

Pernyataan Contoh penyangkal

Statement Counter-example

Semua sisi empat mempunyai sudut 90° pada setiap bucu. Rombus

All quadrilaterals have the angle of 90° at each vertex. Rhombus

1. Semua poligon mempunyai pepenjuru. Segi tiga tidak mempunyai pepenjuru.
Triangle does not have diagonal.
All polygons have diagonals.

2. Jika p Ͻ 90° dan q Ͻ 90°, maka hasil tambah p dan q p = 89°, q = 89°. Hasil tambah p dan q ialah 178°
ialah sudut tirus. merupakan sudut cakah.
p = 89°, q = 89°. The sum of p and q is 178° which
If p Ͻ 90° and q Ͻ 90°, then the sum of p and q is acute angle. is obtuse angle.

3. Semua piramid mempunyai empat permukaan rata Piramid bertapak pentagon mempunyai lima
berbentuk segi tiga. permukaan rata berbentuk segi tiga.
The pyramid with pentagonal base has five
All pyramids have four triangular flat surfaces. triangular flat surfaces.

B. Tulis pernyataan yang dikehendaki dalam kurungan bagi setiap yang berikut dan tentukan nilai
kebenarannya. Sekiranya palsu, beri satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda.

Write a required statement as in the brackets for each of the following and determine its truth value. If it is false, give one
counter-example to support your answer. SP3.1.6 TP3

Jika p ialah faktor bagi 10, maka p ialah faktor 1. 111002 + 10112 = 101112 (Penafian/Negation)
bagi 5.
111002 + 10112 ≠ 101112
If p is a factor of 10, then p is a factor of 5. Palsu kerana 111002 + 10112 = 101112
False because 111002 + 10112 = 101112
(Songsangan/Inverse)

Jika p bukan faktor bagi 10, maka p bukan faktor
bagi 5.

If p is not a factor of 10, then p is not a factor of 5.

Benar/True

2. Jika suatu fungsi itu ialah fungsi kuadratik, 3. Jika Q Ͻ 3, maka Q Ͻ 5. (Akas)
maka kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah 2.
(Kontrapositif ) If Q Ͻ 3, then Q Ͻ 5. (Converse)

If a function is a quadratic function, then the highest Jika Q Ͻ 5, maka Q Ͻ 3.
power of the variable is 2. (Contrapositive) If Q Ͻ 5, then Q Ͻ 3.

Benar/True Palsu kerana Q = 4 Ͼ 3.
False because Q = 4 Ͼ 3.
36

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 71 – 74

NOTA

• Hujah deduktif ialah satu proses membuat kesimpulan khusus berdasarkan premis umum.
Deductive argument is a process of making a specific conclusion based on general premises.

• Hujah induktif ialah satu proses membuat kesimpulan umum berdasarkan premis khusus.
Inductive argument is a process of making a general conclusion based on specific premises.

Tentukan sama ada setiap hujah berikut merupakan hujah deduktif atau hujah induktif.

Determine whether each of the following arguments is a deductive argument or an inductive argument. SP3.2.1 TP2

Hujah Jenis hujah

Argument Type of argument

1. Sisi empat mempunyai 4 bucu. Pentagon mempunyai 5 bucu. Maka, Hujah induktif
semua poligon dengan n sisi mempunyai n bucu. Inductive argument

A quadrilateral has 4 vertices. A pentagon has 5 vertices. Thus, all polygons with

n sides has n vertices.

2. Semua segi tiga sama sisi mempunyai sudut 60° pada setiap bucu. ABC Hujah deduktif
ialah segi tiga sama sisi. Maka, ABC mempunyai sudut 60° pada setiap Deductive argument
bucu.

All equilateral triangle has an angle of 60° at each vertex. ABC is an equilateral

angle. Thus, ABC has an angle of 60° at each vertex.

3. Luas bulatan ialah πj2 cm2. Luas bulatan P dengan jejari 7 cm ialah Hujah deduktif
49π cm2. Deductive argument

The area of a circle is πj2 cm2. The area of circle P with a radius of 7 cm is 49π cm2.

4. (52 – 32) = (5 – 3)(5 + 3) = 16. (92 – 22) = (9 – 2)(9 + 2) = 77. Hujah induktif
Maka/Then, (a2 – b2) = (a – b)(a + b). Inductive argument

5. Set P dengan 2 unsur mempunyai 4 subset. Set Q dengan 4 unsur Hujah induktif
mempunyai 16 subset. Maka, semua set dengan n unsur mempunyai 2n Inductive argument

subset.

Set P with 2 elements has 4 subsets. Set Q with 4 elements has 16 subsets. Thus,
all sets with n elements have 2n subset.

6. Diberi bahawa am × an = am + n. Maka, 25 × 27 = 25 + 7 = 212. Hujah deduktif
Deductive argument
It is given that am × an = am + n. Thus, 25 × 27 = 25 + 7 = 212.

37

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 75 – 77

Tentukan sama ada hujah deduktif berikut adalah sah dan munasabah atau tidak. Jika tidak, beri

justifikasi anda.

Determine whether the following deductive arguments are valid and sound. If it is not, justify your answers. SP3.2.2 TP3

Premis 1: Semua mamalia berdarah panas. 1. Premis 1: Semua nombor perdana ialah
nombor ganjil.
Premise 1: All mammals are warm blooded. Premise 1:
All prime numbers are odd numbers.
Premis 2: Manusia ialah mamalia.
Premis 2: 5 ialah nombor perdana.
Premise 2: Humans are mammals.
Premise 2: 5 is a prime number.
Kesimpulan: Manusia adalah berdarah panas.
Kesimpulan: 5 ialah nombor ganjil.
Conclusion: Humans are warm blooded.
Conclusion: 5 is an odd number.

Hujah ini sah dan munasabah. Hujah ini sah tetapi tidak munasabah kerana Premis 1
adalah palsu.
This argument is valid and sound. This argument is valid but not sound because Premise 1
is false.

2. Premis 1: Jika f Ͻ 0, maka f 2 Ͼ 0. 3. Premis 1: Jika h ialah gandaan 18, maka h
ialah gandaan 9.
Premise 1: If f Ͻ 0, then f2 Ͼ 0. Premise 1:
If h is a multiple of 18, then h is a multiple
Premis 2: f 2 Ͼ 0
of 9.
Premise 2: f2 Ͼ 0
Premis 2: 8 226 ialah gandaan 18.
Kesimpulan: f Ͻ 0
Premise 2: 8 226 is a multiple of 18.
Conclusion: f Ͻ 0
Kesimpulan: 8 226 ialah gandaan 9.
Hujah ini tidak sah kerana tidak mematuhi bentuk
hujah deduktif yang sah. Tidak munasabah kerana Conclusion: 8 226 is a multiple of 9.
kesimpulan adalah benar juga bagi kes f Ͼ 0.
This argument is not valid because it does not comply Hujah ini sah dan munasabah.
the valid deductive argument. Not sound because the This argument is valid and sound.
conclusion is also true for f Ͼ 0.

4. Premis 1: Jika x + 3 = 7, maka x = 4. 5. Premis 1: Jika k ialah faktor bagi 16, maka k
ialah faktor bagi 8.
Premise 1: If x + 3 = 7, then x = 4. Premise 1:
If k is a factor of 16, then k is a factor of
Premis 2: x + 3 = 7
8.
Premise 2: x + 3 = 7
Premis 2: 4 ialah faktor bagi 16.
Kesimpulan: x = 4
Premise 2: 4 is a factor of 16.
Conclusion: x = 4
Kesimpulan: 4 ialah faktor bagi 8.
Hujah ini sah dan munasabah.
This argument is valid and sound. Conclusion: 4 is a factor of 8.

Hujah ini sah tetapi tidak munasabah kerana Premis 1
adalah palsu.
This argument is valid but not sound because Premise 1
is false.

38

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 78 – 80

Tulis satu kesimpulan bagi setiap hujah deduktif berikut untuk membentuk satu hujah deduktif yang sah

dan munasabah.

Write a conclusion for each of the following deductive arguments to form a valid and sound deductive argument. SP3.2.2 TP3

Premis 1: Jika x = 3, maka 3x – 2 = 7.

Premise 1: If x = 3, then 3x – 2 = 7.

Premis 2/Premise 2: x = 3
Kesimpulan/Conclusion: 3x – 2 = 7

1. Premis 1: Semua integer negatif lebih kecil daripada 0.

Premise 1: All negative integers is smaller than 0.

Premis 2: x ialah integer negatif.

Premise 2: x is a negative integer.

Kesimpulan: x lebih kecil daripada 0.
Conclusion: x is smaller than 0.

2. Premis 1: Semua sudut tirus adalah kurang daripada 90°.

Premise 1: All acute angles is less than 90°.

Premis 2: ∠PQR ialah sudut tirus.

Premise 2: ∠PQR is an acute angle.

Kesimpulan: ∠PQR adalah kurang daripada 90°.
Conclusion: ∠PQR is less than 90°.

3. Premis 1: Jika x ialah gandaan 4, maka x ialah gandaan 2.

Premise 1: If x is a multiple of 4, then x is a multiple of 2.

Premis 2: 28 ialah gandaan 4.

Premise 2: 28 is a multiple of 4.

Kesimpulan: 28 ialah gandaan 2.
Conclusion: 28 is a multiple of 2.

4. Premis 1: Jika sebuah poligon ialah sebuah oktagon, maka poligon itu mempunyai 8 sisi.

Premise 1: If a polygon is an octagon, then the polygon has 8 sides.

Premis 2: Poligon Q tidak mempunyai 8 sisi.

Premise 2: Polygon Q does not have 8 sides.

Kesimpulan: Poligon Q bukan oktagon.
Conclusion: Polygon Q is not an octagon.

5. Premis 1: Jika x ialah faktor bagi y, maka y boleh dibahagi tepat dengan x.

Premise 1: If x is a factor of y, then y is divisible by x.

Premis 2: y tidak boleh dibahagi tepat dengan x.

Premise 2: y is not divisible by x.

Kesimpulan: x bukan faktor bagi y.
Conclusion: x is not a factor of y.
39

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 78 – 80

Tulis premis bagi setiap hujah deduktif berikut untuk membentuk hujah deduktif yang sah dan munasabah.

Write the premise for each of the following deductive arguments to form a valid and sound deductive argument. SP3.2.3 TP3

Premis 1: Jika PQRS mempunyai sepasang sisi yang selari, makan PQRS ialah sebuah trapezium. 40

Premise 1: If PQRS has a pair of parallel lines, then PQRS is a trapezium.

Premis 2: PQRS mempunyai sepasang sisi yang selari.

Premise 2: PQRS has a pair of parallel lines.

Kesimpulan: PQRS ialah sebuah trapezium.

Conclusion: PQRS is a trapezium.

1. Premis 1: Jika A × 105 ialah nombor piawai, maka 1 р A Ͻ 10.
Premise 1: If A × 105 is a standard form, then 1 р A Ͻ 10.
Premis 2: A × 105 ialah nombor piawai.

Premise 2: A × 105 is a standard form.

Kesimpulan/Conclusion: 1 р A Ͻ 10

2. Premis 1: Jika 5 + x = 9, maka x = 4.
Premise 1: If 5 + x = 9, then x = 4.

Premis 2/Premise 2: 5 + x = 9

Kesimpulan/Conclusion: x = 4

3. Premis 1: Jika poligon M mempunyai 6 sisi, maka poligon M ialah heksagon.
Premise 1: If polygon M has 6 sides, then polygon M is a hexagon.

Premis 2: Poligon M mempunyai 6 sisi.

Premise 2: Polygon M has 6 sides.

Kesimpulan: Poligon M ialah heksagon.

Conclusion: Polygon M is a hexagon.

4. Premis 1: Semua gandaan 9 ialah gandaan 3.
Premise 1: All multiples of 9 are multiples of 3.

Premis 2: 108 ialah gandaan 9.

Premise 2: 108 is a multiple of 9.

Kesimpulan: 108 ialah gandaan 3.

Conclusion: 108 is a multiple of 3.

5. Premis 1: Jika tan θ = 1, maka θ = 45°.
Premise 1: If tan θ = 1, then θ = 45°.

Premis 2/Premise 2: θ ≠ 45°
Kesimpulan/Conclusion: tan θ ≠ 1
6. Premis 1: Jika a, b, c ialah trirangkap Pythagoras, maka a2 + b2 = c2.

Premise 1: If a, b, c is a Pythagorean triple, then a2 + b2 = c2.

Premis 2: a, b, c ialah trirangkap Pythagoras.

Premise 2: a, b, c are Pythagorean triples.

Kesimpulan/Conclusion: a2 + b2 = c2

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 78 – 80

Tulis premis bagi setiap hujah deduktif berikut untuk membentuk satu hujah deduktif yang sah dan

munasabah.

Write a premise for each of the following deductive arguments to form a valid and sound deductive argument. SP3.2.3 TP3

Premis 1: Jika 0° р θ р 90°, maka θ ialah sudut tirus.

Premise 1: If 0° р θ р 90°, then θ is an acute angle.

Premis 2/Premise 2: 0° р n р 90°.

Kesimpulan: n ialah sudut tirus.

Conclusion: n is an acute angle.

1. Premis 1: Jika suatu nombor boleh dibahagi tepat dengan 2, maka nombor itu ialah nombor genap.

Premise 1: If a number is divisible by 2, then the number is an even number.
22 boleh dibahagi tepat dengan 2.
Premis 2:
22 is divisible by 2.
Premise 2:

Kesimpulan: 22 ialah nombor genap.

Conclusion: 22 is an even number.

2. Premis 1: Jika suatu poligon mempunyai dua pasang sisi yang selari, maka poligon itu ialah segi empat
selari.
Premise 1:
If a polygon has two pairs of parallel sides, then the polygon is a parallelogram.
Premis 2:
Poligon K bukan segi empat selari.
Premise 2:
Polygon K is not a parallelogram.

Kesimpulan: Poligon K tidak mempunyai dua pasang sisi yang selari.

Conclusion: Polygon K does not have two pairs of parallel sides.

3. Premis 1: Semua segi tiga mempunyai hasil tambah sudut pedalaman 180°.

Premise 1: All triangles have the sum of interior angles of 180°.
ABC ialah sebuah segi tiga.
Premis 2:
ABC is a triangle.
Premise 2:

Kesimpulan: ABC mempunyai hasil tambah sudut pedalaman 180°.

Conclusion: ABC has the sum of interior angles of 180°.

4. Premis 1: Semua nombor perdana hanya boleh dibahagi dengan 1 dan nombor itu sendiri.

Premise 1: All the prime numbers are only divisible by 1, and itself.
23 ialah nombor perdana.
Premis 2:
23 is a prime number.
Premise 2:

Kesimpulan: 23 hanya boleh dibahagi dengan 1 dan 23.

Conclusion: 23 is only divisible by 1 and 23.

5. Premis 1: Semua nombor ganjil tidak boleh dibahagi tepat dengan 2.

Premise 1: All odd numbers are not divisible by 2.
p ialah nombor ganjil.
Premis 2:
p is an odd number.
Premise 2:

Kesimpulan: p tidak boleh dibahagi tepat dengan 2.
41 Conclusion: p is not divisible by 2.

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 81 – 82

NOTA

Kesimpulan benar Hujah Induktif Kesimpulan palsu
True conclusion Inductive Argument False conclusion

Kuat Lemah
Strong Weak

Meyakinkan Tidak meyakinkan Tidak meyakinkan
Cogent Not cogent Not cogent

Tentukan sama ada hujah induktif berikut kuat atau lemah. Seterusnya, tentukan sama ada hujah yang
kuat itu meyakinkan atau tidak meyakinkan dan beri justifikasi anda.

Determine whether the following inductive argument is strong or weak. Hence, determine whether the strong argument is cogent
or not cogent and justify your answer. SP3.2.4 TP3

Premis 1/Premise 1: 1 + 2 = 3 1. Premis 1: 24 ialah gandaan 12 dan 6.

Premis 2/Premise 2: 1 + 4 = 5 Premise 1: 24 is a multiple of 12 and 6.

Premis 3/Premise 3: 1 + 6 = 7 Premis 2: 36 ialah gandaan 12 dan 6.

Kesimpulan: Hasil tambah 1 dengan gandaan 2 Premise 2: 36 is a multiple of 12 and 6.
ialah nombor ganjil.
Premis 3: 48 ialah gandaan 12 dan 6.
Conclusion: The sum of 1 and multiples of 2 is an odd
number. Premise 3: 48 is a multiple of 12 and 6.

Kesimpulan: Semua gandaan 12 adalah gandaan 6.

Conclusion: All multiples of 12 are multiples of 6.

Kuat dan meyakinkan kerana semua premis dan Kuat dan meyakinkan kerana semua premis dan
kesimpulan adalah benar. kesimpulan adalah benar.
Strong and cogent because all premises and conclusion
Strong and cogent because all premises and conclusion are true.

are true.

2. Premis 1: 4 ialah faktor bagi 24. 3. Premis 1: Segi tiga sama kaki mempunyai
3 paksi simetri.
Premise 1: 4 is a factor of 24. Premise 1:
An isosceles triangle has 3 axes of symmetry.
Premis 2: 8 ialah faktor bagi 24.
Premis 2: Segi empat sama mempunyai 4 paksi
Premise 2: 8 is a factor of 24. simetri.
Premise 2:
Premis 3: 12 ialah faktor bagi 24. A square has 4 axes of symmetry.

Premise 3: 12 is a factor of 24. Premis 3: Pentagon sekata mempunyai 5 paksi
simetri.
Kesimpulan: Semua faktor bagi 24 ialah gandaan Premise 3:
4. A regular pentagon has 5 axes of symmetry.

Conclusion: All factors of 24 are multiples of 4. Kesimpulan: Semua bilangan paksi simetri bagi
poligon sekata adalah sama dengan
Lemah dan tidak meyakinkan kerana kesimpulan bilangan sisi poligon itu.
adalah palsu.
Weak and not cogent because the conclusion is false. Conclusion: All the number of axes of symmetry of
a regular polygon is equal to the number
of sides of the polygon.

Kuat dan tidak meyakinkan kerana Premis 1 adalah
palsu.
Strong and not cogent because Premise 1 is false.

42

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 83

Bentuk kesimpulan induktif yang kuat bagi setiap pola nombor berikut.

Form a strong inductive conclusion for each of the following number sequences. SP3.2.5 TP3

1, 4, 7, 10, … 1. 10, 8, 6, 4, … 2. 3, 7, 11, 15, …

1 = 4 + 3(0 – 1) 10 = 10 – 2(0) 3 = 4(1) – 1
4 = 4 + 3(1 – 1) 8 = 10 – 2(1) 7 = 4(2) – 1
7 = 4 + 3(2 – 1) 6 = 10 – 2(2) 11 = 4(3) – 1
10 = 4 + 3(3 – 1) 4 = 10 – 2(3) 15 = 4(4) – 1

Ӈ Ӈ Ӈ

Kesimpulan/Conclusion: Kesimpulan/Conclusion: Kesimpulan/Conclusion:
4 + 3(n – 1), n = 0, 1, 2, 3, … 2n2 – n, n = 0, 1, 2, 3, 4, … 4n – 1, n = 1, 2, 3, 4, …

3. 1, 0, –3, –8, … 4. 3, 12, 33, 72, … 5. 5, 6, 9, 14, …

1 = 2(1) – 12 3 = 13 + 2(1) 5 = (1 – 1)2 + 5
0 = 2(2) – 22 12 = 23 + 2(2) 6 = (2 – 1)2 + 5
–3 = 2(3) – 32 33 = 33 + 2(3) 9 = (3 – 1)2 + 5
–8 = 2(4) – 42 72 = 43 + 2(4) 14 = (4 – 1)2 + 5

Ӈ Ӈ Ӈ

Kesimpulan/Conclusion: Kesimpulan/Conclusion: Kesimpulan/Conclusion:
2n – n2, n = 1, 2, 3, 4, … n3 + 2n, n = 1, 2, 3, 4, … (n – 1)2 + 5, n = 1, 2, 3, 4, …

6. 8, 18, 30, 44, … 7. –5, –2, 7, 22, … 8. –3, –1, 11, 39, …

8 = 7(1) + 1 –5 = 3(0) – 5 –3 = 1 – (1 + 1)2
18 = 7(2) + 4 –2 = 3(1) – 5 –1 = 8 – (2 + 1)2
30 = 7(3) + 9 11 = 27 – (3 + 1)2
44 = 7(4) + 16 7 = 3(4) – 5 39 = 64 – (4 + 1)2
22 = 3(9) – 5
Ӈ Ӈ
Ӈ
Kesimpulan/Conclusion: Kesimpulan/Conclusion:
7n + n2, n = 1, 2, 3, 4, … Kesimpulan/Conclusion: n3 – (n + 1)2, n = 1, 2, 3, 4, …
3n2 – 5, n = 0, 1, 2, 3, …

43

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PBD 3.2 Hujah Buku Teks: m.s. 84 – 90

Selesaikan masalah berikut.

Solve the following problems. SP3.2.6 TP4 TP5 TP6

1. Waktu pada jam Alia menunjukkan jam 1457. 2. Hamidah mempunyai 50 hingga 60 biji guli.
Jam Chin menunjukkan waktu yang sama KBAT Jika dia mengira dalam empat-empat, terdapat
dengan jam Gopal.
Jam Gopal adalah 10 minit perlahan daripada 3 biji guli yang tertinggal. Jika dia mengira dalam
jam Alia. tiga-tiga, terdapat 2 biji guli yang tertinggal.
Jam Tan adalah 5 minit cepat daripada jam Berapakah bilangan sebenar guli yang dimiliki
Chin. oleh Hamidah?

The time on Alia’s watch is 1457 hours. Hamidah has 50 to 60 marbles. If she counts in fours,
Chin’s watch shows the same time with Gopal’s there will be 3 marbles left. If she counts in threes, there
watch. will be 2 marbles left. What is the actual number of
Gopal’s watch is 10 minutes slower than Alia’s watch. marbles that Hamidah owns?
Tan’s watch is 5 minutes faster than Chin’s watch.
Gandaan 4 antara 50 hingga 60 = 52, 56, 60
Buat kesimpulan bagi waktu pada jam Tan Multiples of 4 between 50 to 60 = 52, 56, 60
berdasarkan pernyataan di atas.
Bilangan guli yang mungkin = 55, 59
Make a conclusion for the time on Tan’s watch based on Possible number of marbles = 55, 59
the statements above.
Gandaan 3 antara 50 hingga 60= 51, 54, 57
Waktu pada jam Gopal = Waktu pada jam Chin Multiples of 3 between 50 to 60 = 51, 54, 57
Time on Gopal’s watch = Time on Chins watch
Bilangan guli yang mungkin = 53, 56, 59
= 1457 – 0010 Possible number of marbles = 53, 56, 59
= Jam 1447/1447 hours
Maka, bilangan sebenar guli ialah 59 biji.
Waktu pada jam Tan/Time on Tan’s watch Thus, the actual number of marbles is 59.
= 1447 + 0005
= Jam 1452/1452 hours

3. Rajah di bawah menunjukkan tiga corak pertama daripada suatu jujukan. Segi empat sama dalam corak
KBAT itu adalah terterap di dalam bulatan yang berdiameter 21 cm.

The diagram shows the first three patterns in a sequence. The square is inscribed in a circle with diameter of 21 cm.

Buat satu kesimpulan secara induktif bagi luas kawasan berlorek bagi jujukan corak di atas.

Make an inductive conclusion for the area of the shaded region for the sequence of pattern above.

Panjang/Length = x Corak ketiga/Third pattern:
212 = x2 + x2
441 = 2x2 22΂ ΃5 ×
7 × 10.52 – 220.5 × 220.5
x = 220.5
Maka/Thus,

Corak pertama/First pattern: ΂ ΃(2n 22
– 1) 7 × 10.52 – 220.5 , n = 1, 2, 3, …
΂ ΃1 ×22
7 × 10.52 – 220.5 × 220.5

Corak kedua/Second pattern:

22΂ ΃3 ×
7 × 10.52 – 220.5 × 220.5

44

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

PRAKTIS KE ARAH SPM KERTAS 1

1. Antara berikut, yang manakah bukan pernyataan? 3. Jika 4 ialah nombor ganjil, maka 4 tidak boleh
dibahagi tepat dengan 2.
Which of the following is not a statement?
If 4 is an odd number, then 4 is not divisible by 2.
A x + x = 2x
B 6 + 5 = 13 Tentukan kontrapositif bagi implikasi di atas.
C 2x = 6
D {2, 3, 6} ʚ {6, 3, 2, 1, 12} Determine the contrapositive for the above implication.

2. Antara berikut, yang manakah pernyataan palsu? A Jika 4 tidak boleh dibahagi tepat dengan 2, maka
4 ialah nombor ganjil.
Which of the following is a false statement?
If 4 is not divisible by 2, then 4 is an odd number.
A 4 atau 8 ialah faktor bagi 20.
B Jika 4 boleh dibahagi tepat dengan 2, maka
4 or 8 is a factor of 20. 4 ialah nombor genap.

B Semua nombor perdana mempunyai dua faktor If 4 is divisible by 2, then 4 is an even number.
sahaja.
C Jika 4 ialah nombor genap, maka 4 boleh
All prime numbers have two factors only. dibahagi tepat dengan 2.

C 1 ialah faktor bagi semua integer. If 4 is an even number, then 4 is divisible by 2.

1 is a factor of all integers. D Jika 4 ialah nombor ganjil, maka 4 boleh dibahagi
tepat dengan 2.
D Sebilangan poligon mempunyai hasil tambah
sudut peluaran 3600. If 4 is an odd number, then 4 is divisible by 2.

Some polygons have the sum of exterior angle of
3600.

PRAKTIS KE ARAH SPM KERTAS 2

SPM Bahagian A

1. (a) Tentukan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu.

Determine whether the following statement is true or false.

0.12 × 103 ialah satu nombor dalam bentuk piawai.

0.12 × 103 is a number in standard form.

(b) Tulis songsangan bagi implikasi berikut.

Write the inverse of the following implication.

Jika x ialah gandaan 4, maka x boleh dibahagi tepat dengan 4.

If x is a multiple of 4, then x is divisible by 4.

(c) Tulis Premis 2 untuk melengkapkan hujah berikut.

Write Premise 2 to complete the following argument.

Premis 1: Jika k + 5 = 7, maka k = 2.

Premise 1: If k + 5 = 7, then k = 2.

Premis 2/Premise 2: --------------------------------------------------------------------------------------------------
Kesimpulan/Conclusion: k + 5 ≠ 7

[3 markah/3 marks]
Jawapan/Answer:
(a) Palsu/False

(b) Jika x bukan gandaan 4, maka x tidak boleh dibahagi tepat dengan 4.
If x is not a multiple of 4, then x is not divisible by 4.

45 (c) k ≠ 2

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

2. (a) Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut.

Write two implications based on the following statement.

a : b = 5 : 3 jika dan hanya jika 3a = 5b.

a : b = 5 : 3 if and only if 3a = 5b.

(b) Bentuk satu kesimpulan induktif yang kuat berdasarkan pola nombor berikut. [4 markah/4 marks]

Form a strong inductive conclusion based on the following number sequence.

5 = (1 + 1)2 + 1
13 = (2 + 1)2 + 4
25 = (3 + 1)2 + 9
41 = (4 + 1)2 + 16

Ӈ

Jawapan/Answer:
(a) Implikasi 1: Jika a : b = 5 : 3, maka 3a = 5b.

Implikasi 2: Jika 3a = 5b, maka a : b = 5 : 3.
Implication 1: If a : b = 5 : 3, then 3a = 5b.
Implication 2: If 3a = 5b, then a : b = 5 : 3.

(b) (n + 1)2 + n2, n = 1, 2, 3, 4, …

3. (a) Bentuk satu penafian dan tentukan nilai kebenarannya berdasarkan pernyataan berikut.

Form a negation and determine its truth value based on the following statement.

Semua gandaan 12 ialah gandaan 6.

All multiples of 12 are multiples of 6.

(b) Beri satu contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran pernyataan berikut.

Give one counter-example to negate the truth of the following statement.

Semua gandaan 4 ialah gandaan 8.

All multiples of 4 are multiples of 8.

(c) Tulis akas bagi pernyataan berikut. [4 markah/4 marks]

Write the converse of the following statement.

Jika p – q Ͼ 0, maka p Ͼ q.

If p – q Ͼ 0, then p Ͼ q.

Jawapan/Answer:
(a) Bukan semua gandaan 12 ialah gandaan 6.

Not all multiples of 12 are multiples of 6.
Palsu/False

(b) 12 ialah gandaan 4 tetapi bukan gandaan 8.
12 is a multiple of 4 but not a multiple of 8.

(c) Jika p Ͼ q, maka p – q Ͼ 0.
If p Ͼ q, then p – q Ͼ 0.

46

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

SPM Bahagian B

4. (a) Jika + bermaksud ×, – bermaksud +, × bermaksud ÷ dan ÷ bermaksud –,
maka x + x – 2 + x ÷ 8 = 0 mempunyai dua punca yang nyata.

If + means ×, – means +, × means ÷ and ÷ means –, then x + x – 2 + x ÷ 8 = 0 has

two real roots.

Berdasarkan implikasi di atas, tentukan nilai-nilai x.

Based on the implication above, determine the values of x.

[3 markah/3 marks]

(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga corak pertama daripada suatu jujukan corak.

The diagram shows first three patterns from a pattern sequence.

Diberi bahawa diameter setiap bulatan ialah 14 cm.

Given that the diameter for each circle is 14 cm.

(i) Bentuk satu kesimpulan induktif bagi luas kawasan tidak berlorek dalam sebutan π.

Form an inductive conclusion for the area of the unshaded region in terms of π.

(ii) Seterusnya, hitung luas kawasan tidak berlorek untuk corak ke-7. ΂Guna π = 272΃

Hence, calculate the area of the unshaded region for the 7th pattern. Use π = 22

΂ ΃7

[5 markah/5 marks]

Jawapan/Answer:

(a) x × x + 2 × x – 8 = 0

x2 + 2x – 8 = 0

(x + 4)(x – 2) = 0

x + 4 = 0 atau/or x – 2 = 0

x = –4 x=2

Maka/Thus, x = –4, 2

(b) (i) 1: (14 × 14 – π × 72) × 1
2: (14 × 14 – π × 72) × 3
3: (14 × 14 – π × 72) × 5

…

Maka/Thus, (142 – 49π) × (2n – 1), n = 1, 2, 3, …

΂ ΃(ii) n = 7142 – 49 × 22 × (2 × 7 – 1)
Luas/Area = 7

= 42 × 13

= 546 cm2

47

Nama: ........................................................................................... Kelas: ..................................... Tarikh: .....................................

5. (a) Sebuah bekas mengandungi beberapa guli merah, kuning dan biru. Nisbah bilangan guli merah kepada
guli kuning kepada guli biru ialah 5 : 4 : 1. Jika 2 biji guli biru ditambah ke dalam bekas itu, maka 10 biji
guli merah dan 8 biji guli kuning perlu ditambah ke dalam bekas supaya dapat mengekalkan nisbah yang
sama. Jika 3 biji guli biru ditambah ke dalam bekas itu, maka 15 biji guli merah dan 12 biji guli kuning
perlu ditambah ke dalam bekas supaya dapat mengekalkan nisbah yang sama.

A container has several red, yellow and blue marbles. The ratio of the number of red marbles to yellow marbles to blue
marbles is 5 : 4 : 1. If 2 blue marbles are added into the container, then 10 red marbles and 8 yellow marbles need to be
added into the container to maintain the same ratio. If 3 blue marbles are added into the container, then 15 red marbles and
12 yellow marbles need to be added into the container to maintain the same ratio.

(i) Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi jumlah bilangan guli merah dan kuning yang perlu
dimasukkan apabila n biji guli biru dimasukkan ke dalam bekas supaya dapat mengekalkan nisbah
yang sama dengan keadaan n Ͼ 0.

Make an inductive conclusion for the total number of red and yellow marbles that need to be added if n blue marbles
are added into the container so that the ratio remains unchanged where n Ͼ 0.

(ii) Seterusnya, hitung jumlah bilangan guli yang perlu dimasukkan jika 9 biji guli biru dimasukkan ke
dalam bekas itu supaya dapat mengekalkan nisbah yang sama.

Hence, calculate the total number of marbles that are need to be added if 9 blue marbles are added into the container
so that the ratio of the marbles remains unchanged.

[5 markah/5 marks]
(b) (i) Tulis songsangan bagi implikasi berikut dan tentukan nilai kebenarannya.

Write the inverse of the following implication and determine its truth value.

Jika 5 ialah faktor bagi 8, maka 8 boleh dibahagi tepat dengan 5.

If 5 is a factor of 8, then 8 is divisible by 5.

(ii) Berdasarkan maklumat di bawah, buat satu kesimpulan deduktif bagi isi padu 3 buah sfera yang sama
dengan jejari 7 cm.

Based on the information below, make a deductive conclusion for the volume of 3 similar spheres with radius of 7 cm.

΂Guna/Use π = 272΃

Isi padu bagi sebuah sfera dengan jejari j ialah 4 πj3./The volume for a sphere with radius r is 4 πr3.
3 3

[4 markah/4 marks]

Jawapan/Answer:

(a) (i) 5 × 2 = 10, 4 × 2 = 8

5 × 3 = 15, 4 × 3 = 12

…

Jumlah guli merah dan kuning yang perlu ditambah/Total number of red and yellow marbles need to be added

= 5n + 4n

= 9n, n = 1, 2, 3, …

(ii) n = 9

Jumlah guli merah dan kuning yang perlu ditambah/Total number of red and yellow marbles need to be added

=9×9

= 81

Jumlah guli yang ditambah/Total number of marbles need to be added

= 81 + 9

= 90

(b) (i) Jika 5 bukan faktor bagi 8, maka 8 tidak boleh dibahagi tepat dengan 5.

If 5 is not a factor of 8, then 8 is not divisible by 5.

Benar/True

(ii) Isi padu/Volume = 3 × 4 × 22 × 73
3 7

= 4 312 cm3

48