ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร ์คืออะไร ΅΅΅“ตรรกศาสตร ์” คือระบบวิชาความรู ้ที่ เกียวข ้องกับความคิดและการให ้ ่ เหตุผล΅ใช ้เป็ นเครืองมือในการเข ้าถึงหลักปร ัชญาต่างๆ ่ ΅และเป็ นพืนฐานใน ้ หลายๆสาขาวิชา΅และสําหร ับวิชาคณิตศาสตร ์΅น้องๆจะได ้เรียนตรรกศาสตร ์ใน เป็ นรูปแบบและกฎเกณฑ ์การให ้เหตุผลทางคณิ ีตศาสตร ์΅&Mathematical Logic) ไม่ ว่าจะเป็ น΅ⁿและ₧΅ⁿหรือ₧΅ⁿถ ้า,,แล ้ว₧΅ⁿก็ต่อเมือ่ ₧΅และนิเสธ΅นอกจากนี้ ΅หลัก ตรรกศาสตร ์จะใช ้สําหร ับการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ΅และนําไปใช ้ต่อยอดในการ เขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร ์΅สร ้างเป็ นพีชคณิตในทางดิจิตอล΅ฯลฯ ในวิชาคณิตศาสตร ์΅เราจะได ้เริมทํา่ความรู ้จักกับ΅ⁿตรรกศาสตร ์₧΅ในช ันม้ ,΅4 ตั้ งแต่เทอมแรกกันเลย΅เนือหาที้ ่ เรียนจะเกียวกับประพจน์่ ΅การเชือมประพจน์่ ΅ รวมไปถึงการหาค่าความจริงของประพจน์΅สมมูลและนิเสธของประพจน์΅สัจนิ ร ันดร ์และการอ ้างเหตุผล΅สุดท ้ายเราจะได ้เรียนเรืองตัวบ่งปริมาณและประโยค ่ เปิดว่ามีรูปแบบและลักษณะเป็ นอย่างไรด ้วย ประพจน์ “ประพจน์” คือ΅ประโยคหรือข ้อความบอกเล่าหรือปฏิเสธทีมีค่าความจริง่ ΅เป็ น จริงหรือเท็จ΅อย่างใดอย่างหนึ่ งเท่านั้ น

ข ้อความทีอยู่ในรูปของคําสั ่ ่ ง΅คําขอร ้อง΅คําอุทาน΅คําอ ้อนวอน΅คําแสดง ความปรารถนา สุภาษิตคําพังเพย΅ประโยคเปิดเป็ นข ้อความที่ ไม่เป็ นประพจน์ ประโยคทีมีความจริงไม่แน่นอน ่ ΅ไม่สามารถระบุว่าเป็ นจริงหรือเท็จได ้΅ไม่เป็ น ประพจน์ ข ้อความบอกเล่าทีมีตัวแปรอยู่ด ้วย่ ΅ไม่สามารถบอกว่าจริงหรือเท็จจะไม่เป็ น ประพจน์ เราเรียกมันว่า΅ⁿประโยคเปิด₧ ต ัวอย่างประโยคที่ เป็ นประพจน์ ดาวเสาร ์เป็ นดาวเคราะห ์΅΅&จริง' เขือนลําตะคองไม่ได ้อยู่ในจังหวัดกรุงเทพฯ ่ ΅&จริง' 8 ไม่เท่ากับ 3 (จริง' 15 –8 > 20 (เท็จ' 2 เป็ นจํานวนตรรกยะ΅&เท็จ'΅&΅รอใส่΅root ) ต ัวอย่างประโยคทีไม่เป็ นประพจน์ ่ 100 บวก΅20 มีค่าเท่าไหร ่΅&ประโยคคําถาม' จงเขียนประโยคบอกเล่า΅&ประโยคคําสั่ ง' โปรดอย่าเดินลัดสนาม΅&ข ้อความขอร ้อง' ให ้อภัยฉันด ้วยเถิด΅&ข ้อความอ ้อนวอน' อยากกินเค ้กอร ่อยๆ΅&ข ้อความแสดงความปรารถนา' ว ้าว΅สวยจัง΅&คําอุทาน' ไก่ได ้พลอย΅&สุภาษิตคําพังเพย' เธอเป็ นนักกีฬา΅&ประโยคเปิด' เรานิยมใช ้สัญลักษณ์΅p, q, r, s หรือตัวอักษรภาษาอังกฤษอืนๆ่ ΅แทนประพจน์

การแจกแจงความจริงของประพจน์ ประพจน์ทีมีค่าความจริง่ เป็ นจริง΅ใช ้ส ัญล ักษณ์΅T ประพจน์ทีมีค่าความจริง่ เป็ นเท็จ΅ใช ้ส ัญล ักษณ์΅F ถ ้าโจทย ์ไม่ได ้กําหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให ้΅เราต ้องแจกแจงค่า ความจริงทีอาจจะเกิดขึ่ นได ้ทั ้ ้ งหมดจากประพจน์ย่อยๆ΅นั้ น΅เราเรียกวิธีนี้ ว่า “การแจกแจงความจริง₧หรือ “การหาค่าความจริงของประพจน์₧ซึ่ ง วิธีทีนิย่ มในมากทีสุดคือ่ ΅การสร ้างตารางค่าความจริง เราสามารถหาจํานวนวิธีแจกแจงได ้โดยใช ้สูตร จํานวนวิธีแจกแจง΅; ΅2n โดยให ้΅n คือจํานวนของประพจน์ เช ่น΅ถ ้ามีประพจน์΅5 ประพจน์΅จะเขียนแจกแจงความจริงได ้΅25= 32 แบบ การเชือมประพจน์่

ถ ้าให ้΅p และ΅q เป็ นประพจน์΅เมือนําประพจน์มาเชื่อมกันด ้วยตัวเชื่อมแล ้ว่ ΅เราจะ เรียกประพจน์ใหม่นี้ ว่า΅ⁿประพจน์เชิงประกอบ₧΅ซึ่ งตัวเชือมที่ ่ ใช ้จะมี΅5 ตัว΅ได ้แก่΅ ตัวเชือม่ ΅ⁿและ₧΅ใช ้สัญลักษณ์΅คือ΅₧΅∧΅ⁿ ตัวเชือม่ ΅ⁿหรือ₧΅ใช ้สัญลักษณ์΅คือ ” ∨ “ ตัวเชือม่ ΅ⁿถ ้า↔΅แล ้ว↔₧΅ใช ้สัญลักษณ์΅คือ΅₧΅→΅ⁿ ตัวเชือม่ ΅ⁿก็ต่อเมือ่ ₧΅ใช ้สัญลักษณ์΅คือ΅₧΅↔΅ⁿ ตัวเชือม่ ΅ⁿนิเสธ₧΅ใช ้สัญลักษณ์แทนด ้วย΅₧΅~ “ จากตารางสามารถสรุปได้ด ังต่อไปนี้ ตัวเชือม่ ΅ⁿและ₧΅&∧'΅เป็ นจริงเพียงกรณีเดียวคือ΅T∧T เป็ น΅T ตัวเชือม่ ΅ⁿหรือ₧΅&∨'΅เป็ นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ΅F∨F เป็ น΅F ตัวเชือม่ ΅ⁿถ ้า↔แล ้ว↔₧΅&→'΅เป็ นเท็จเพียงกรณีเดียว΅คือ΅T → F เป็ น΅F ตัวเชือม่ ΅ⁿก็ต่อเมือ่ ₧΅&↔'΅ถ ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็ นจริง΅ไม่เหมือนกัน จะเป็ นเท็จ

นิเสธของประพจน์΅คือ΅ประพจน์ทีมีค่าความจริงตรงกันข ้ามกับประพจน์นั่ ้ นๆ΅ จากจริงเป็ นเท็จ΅จากเท็จเป็ นจริง ข้อควรระว ังในการหาค่าความจริงของประพจน์ ถ ้ามีวงเล็บ΅ให ้หาความจริงในวงเล็บก่อน ถ ้าไม่มีวงเล็บ΅ให ้หาความจริงของ΅ⁿ~” ก่อน΅แล ้วจึง΅ⁿ∧₧“∨” “→” และ΅ⁿ↔₧΅ ตามลําดับ ต ัวอย่าง จงสร ้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่ เป็ นไปได ้ของประพจน์΅p → (q ∧ s) วิธีทํา ประพจน์΅p → (q ∧ s) มีประพจน์ย่อย΅คือ΅p, q และ΅s ดังนั้ นจํานวนวิธีที่ แจกแจงได ้ทั้ งหมด΅คือ΅23= 8 แบบ΅และสร ้างตารางได ้ดังนี้ เทคนิคการสร ้างตารางแจกแจงความจริง หาจํานวนวิธีแจกแจงโดยใช ้สูตร΅2n

เริมจากเขียนประพจน์ตัวแรก่ ΅เขียน΅T ลงมาครึ่ งหนึ่ ง΅และเขียน΅F อีกคร ั้ งที่ เหลือ จํานวนค่าความจริงของประพจน์ตัวต่อไป΅ก็จะเป็ นครึ่ งหนึ่ งของประพจน์ตัว ก่อน ประพจน์ทีสมมูลก ัน่ ประพจน์สองรูปแบบจะสมมูลกันได ้΅ก็ต่อเมือ่ ΅ประพจน์ทั้ งสองมีค่าความจริง เหมือนกันทุกกรณี และสามารถนําไปใช ้แทนกันได ้΅โดยใช ้สัญลักษณ์“ ≡ ” แทนคําว่าสมมูล การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ สามารถทําได้΅2 วิธีคือ การใช ้ตารางแจกแจงความจริง หรือ การใช ้สมบ ัติสมมูลของ ประพจน์ สมบ ัติการสมมูล มีรูปแบบของประพจน์ทีสมมูลกันหลายรูปแบบ่ ΅ดังต่อไปนี้ • สมบ ัติการสล ับที่ p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p p ↔ q ≡ q ↔ p • สมบ ัติการเปลียนกลุ่ม่ p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r • สมบ ัติการแจกแจง p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r ) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )

( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r ) ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r ) • สมบ ัติของ΅ⁿถ้า,,แล้ว,,₧΅&΅→΅' p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q • สมบ ัติของ΅ⁿก็ต่อเมือ่ ₧΅&΅↔΅' p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p ) • สมบ ัติของนิเสธ΅&΅~ ) ~(~p) ≡ p ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(p → q) ≡ p ∧ ~q ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q • สมบ ัติอืนๆ่ p ∧ p ≡ p p ∧ T ≡ p p ∧ F ≡ F p ∧ ~p ≡ F p ∨ p ≡ p p ∨ T ≡ T p ∨ F ≡ p p ∨ ~p ≡ T p → F ≡ ~p F → p ≡ T p → T ≡ T T → P ≡ P P ↔ P ≡ T P ↔ ∼P ≡ F

ส ัจนิร ันดร ์ “ส ัจนิร ันดร ์₧คือ΅ประพจน์ทีมีค่าความจริง่ เป็ นจริงทุกกรณี΅มีวิธีการ ตรวจสอบ΅3 วิธี΅ได ้แก่ 1. สร ้างตารางค่าความจริง เพือหาค่าความจริงทุกรูปแบบที่ ่ เป็ นไปได ้΅ ถ ้าความจริงขันสุดท ้ายของประพจน์เป็ นจริงทุกกรณี ้ ΅แสดงว่าประพจน์ นั้ นเป็ นสัจนิร ันดร ์ 2. ใช ้วิธีหาข้อข ัดแย้ง ซึ่ งวิธีนีนิยมใช ้กับตัวเชื ้อม่ ΅ⁿหรือ₧΅กับ΅ⁿถ ้า,,แล ้ว,,₧΅ หากใช ้กับ΅ⁿและ₧΅, “ก็ต่อเมือ่ ₧΅อาจจะต ้องทําหลายคร ั้ ง΅มีวิธีการคือ΅สมมติ ให ้ประพจน์มีค่าความจริงเป็ นเท็จ΅แล ้วจากนั้ นก็ย ้อนกลับไปดูประพจน์ ย่อยๆ΅ว่าขัดแย ้งกันหรือไม่΅ถ ้าขัดแย ้งกัน΅แสดงว่าไม่มีโอกาสเป็ นเท็จ΅ ประพจน์นั้ นจะเป็ นสัจจนิร ันดร ์ 3. การใช ้หล ักสมมูล เราจะใช ้วิธีนีกับตัวเชื้อม่ ΅ⁿก็ต่อเมือ่ ₧โดยมีหลักการ΅ Δ ↔ Ο ถ ้า΅Δ ≡ Ο จะได ้ว่า΅Δ ↔ Ο เป็ นสัจจนิร ันดร ์ การอ ้างเหตุผล

“การอ้างเหตุผล₧คือ΅การตรวจสอบว่าข ้อความทีกําหนดให ้ชุดหนึ ่ ่ ง΅แล ้วทํา ให ้เกิดข ้อความอีกชุดนั้ น΅สมเหตุสมผลหรือไม่΅หรือ΅การหาผลสรุปจากเหตุที่ กําหนดให ้นั่ นเอง การอ้างเหตุผล΅ประกอบด้วย • เหตุ΅คือ΅ส่ิ งทีถูกกําหนดมาให ้ ่ ΅ประกอบด ้วยประพจน์ย่อยๆ΅P1, P2,P3…,Pn • ผล΅คือ΅ผลสรุปจากเหตุ΅แทนด ้วย΅Q 1. นําเหตุมาเชือมกันด ้วย่ ΅∧΅และนํา΅→΅มาเชือมกับผล่ ΅หลังจากนั้ นให ้ตรวจว่า เป็ นสัจนิร ันดร ์ (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) → Q หากเป็ นสัจนิร ันดร ์แสดงว่าการอ ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล΅&Valid) หาไม่เป็ นสัจนิร ันดร ์แสดงว่าการอ ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล΅&Invalid) 2. ให ้เหตุทุกข ้อเป็ นจริง΅&T) หาค่าความจริงและไปแทนในผล ถ ้าผล เป็ นจริง΅&T) แสดงว่า สมเหตุสมผล ถ ้าผล เป็ นเท็จ΅&F) แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล 3. ใช ้รูปแบบทีมีการพิสูจน์แล ้วว่าสมเหตุสมผล่ ประโยคเปิ ด “ประโยคเปิด₧΅คือ΅ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธทีมีตัวแปร่ ΅เมือแทนค่าตัว่ แปรด ้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ ์แล ้วประโยคเปิดนั้ นจะเป็ นประพจน์΅เช ่น “เธอใส่เสือสีเขียว้ ₧΅เป็ นประโยคเปิด΅เพราะมีคําว่า΅ⁿเธอ₧΅เป็ นตัวแปร΅ไม่ระบุว่า ใคร΅หากเปลียนเป็ น ่ ΅ⁿมาลีใส่เสือสีเขียว้ ₧΅ประโยคนีจะเป็ นประพจน์เพราะระบุตัว ้ แปรเรียบร ้อยแล ้ว “a เป็ นจํานวนคู่₧΅เป็ นประโยคปเปิด΅เพราะมีตัวแปร΅ⁿa” ถ ้าแทนค่า΅a = 8 ประโยค จะเปลียนเป็ น ่ ΅ⁿ8 เป็ นจํานวนคู่₧΅ประโยคนีจึงกลายเป็ นประพจน์ ้ ต ัวบ่งปริมาณ

“ตัวบ่งปริมาณ₧΅คือ΅ข ้อความทีบอกจํานวนของตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมาก ่ น้อยแค่ไหน΅มี΅2 ประเภท΅คือ • ∀x หมายถึง΅x ทุกตัวทีอยู่ในเอกภพสัมพัทธ ์ ่ เช ่น΅สําหร ับ΅x ทุกตัวซึ่ ง΅x+5=4 เขียนแทนด ้วย΅∀x[x+5=4] • ∃x หมายถึง΅x บางตัวทีอยู่ในเอกภพสัมพัทธ ์ ่ เช ่น΅มี΅x อย่างน้อยหนึ่ งตัว΅ซึ่ ง΅2x-3 < -1 เขียนแทนด ้วย΅∃x[2x-3 < -1] เนือหา้ ΅ⁿตรรกศาสตร ์₧΅ในช ันม้ ,4 เทอม΅1 ทีน้องๆจะต ้องเรียนก็มีประมาณนี ่ ้ ΅ อาจจะต ้องใช ้เวลาในการทําเข ้าใจอยู่บ ้าง΅แต่พี่ เชือว่าไม่น่าจะยากเกินไปถ ้าเรา ่ ขยันและตั้ งใจ΅หรือถ ้าน้องคนไหนยังรู ้สึกว่าอ่านยังไงก็ยังไม่เข ้าใจ΅ยังอยากได ้ คอร ์สเรียนเพือปูพื่ นฐานให ้แน่นขึ ้น้ ΅หรือจะเป็ นคอร ์สเรียนตรรกะศาสตร ์แบบ ตะลุยโจทย ์ไปพร ้อมกัน΅ทาง΅At Home ก็คัดสรรคอร ์สเรียนมากมายมาให ้เลือก΅ แอบกระซิบว่ามีคอร ์สเรียนฟรีด ้วยนะ΅ไปลุยกันได ้เลย

ประพจน์ที่เป็ นสัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่มี ค่าความจริงเป็ นจริงเสมอ ไม่ว่าประพจน์ยอยจะมีค ่ ่าความจริงเป็ น จริง หรือ เท็จ ก็ตาม เช่น p ∨ ~p , p→ p ,~( p ∧ ~p ) ,p ↔ p เป็ นต้น การตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็ นสัจนิรันดร์ทําได้ดังนี้ 1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง ตัวอยาง่จงตรวจสอบวาประพจน์ต ่ ่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q ใช้ตารางแสดงค่าความจริง ตัวอยาง่จงตรวจสอบวาประพจน์ต ่ ่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q จะเห็นว่ารูปแบบของประพจน์ [ ( p→ q ) ∧ p ]→q มีค่าจริงเป็ นจริงทุกกรณี ดังนั้น [ ( p→ q ) ∧ p ]→ q เป็ น สัจนิรันดร์ 2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง ตัวอยาง่จงตรวจสอบวาประพจน์ต ่ ่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1. ( p ∧ q )→ ( q ∨ p ) วิธีทํา สมมุติวา่ ( p ∧ q )→ ( q ∨ p ) เป็ นเท็จ จากแผนภาพ จะเห็นวา่ค่าความจริงของ p และ q เป็ นได้ทั้ งจริงและเท็จ แสดงวาไม ่ ่มีกรณีที่ทําให้( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็ นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็ นสัจนิรันดร์

จากแผนภาพ จะเห็นวา ค่ ่าความจริงของ p และ q เป็ นได้ทั้ งจริงและเท็จ แสดงวาไม ่ ่มีกรณีที่ทําให้( p ∧ q )→( q ∨ p ) เป็ นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์( p ∧ q )→( q ∨ p ) เป็ นสัจนิรันดร์ ตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็ นเท็จ หลักการการสมมุติให้เป็ นเท็จ คือ การหาวาเป็ นไปได้มั ่้ ยที่ประพจน์นั้นจะเป็ นเท็จ ถ้ามีแม้แต่กรณีเดียวได้ค่า ความจริงเป็ นเท็จขึ้นมา แสดงวาไม ่ ่เป็ นสัจนิรันดร์ แต่ถ้า เมื่อสมมุติให้เป็ นเท็จแล้วเกิดการขัดแย้งขึ้นเสมอ หมายความวา ประพจน์นั ่้ นยอม่ เป็ นสัจนิรันดร์ การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็ นเท็จ ประพจน์[(p→q)∧(q→r)]→(p→r) เป็ นสัจนิรันตร์หรือไม่ สมมุติให้ประพจน์ที่กาหนดให้เป็ จเท็จ ํ ดังนั้นเราจะต้องหาวาตัวเชื่อมหลักของประพจน์นี ่้คืออะไร ซึ่ง ตัวเชื่อมหลักคือ ( (p →q) ∧ (q→r) ) →( p →r ) ดังนั้นเราจะกาหนดให้ ํ →ที่วงกลมด้านบน มีค่าความจริงเป็ นเท็จ จะได้ ( (p →q) ∧ (q→r) ) →( p →r )

สรุป ประพจน์ที่เป็ นสัจนิรันดร์คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็ นจริง ทุกกรณีของประพจน์ยอย่ ตัวอยาง่ ประพจน์ที่เป็ นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ [ ~p ∧ ( p ∨ q)] →q ~(p ∧ ~q) [ ( p →q) ∧ ~q ] →~p (p ∧ q) →p (p ∧ q) ⇔(q ∧ p) (p ∧ q) →q (p ∨ q) ⇔(q ∨ p) p →(p ∨ q) (p →q) ⇔(~p ∨ q) q →(p ∨ q) (p →q) ⇔(~q →~p) [ p ∧ ( p →q)] →q (~p ∨ q) ⇔(~q →~p) [ ~p ∧ ( p →q)] →~q ( p ⇔q) ⇔[(p →q) ∧ (q →p)] ข้อสังเกต ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนํามาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็ นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔B เป็ นสัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผล “การอ้างเหตุผล”คือ การตรวจสอบวาข้อความที่ก ่ าหนดให้ชุดหนึ่ง ํ แล้วทําให้เกิดข้อความอีกชุดนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ หรือ การหาผลสรุปจากเหตุที่กาหนดให้นั ํนเอง่ การอ้างเหตุผล ประกอบด้วย • เหตุ คือ ส่ ิ งที่ถูกกาหนดมาให้ ประกอบด้วยประพจน์ย ํอยๆ ่ P1, P2,P3…,Pn • ผล คือ ผลสรุปจากเหตุ แทนด้วย Q 1. นําเหตุมาเชื่อมกนด้วย ั ∧ และนํา→มาเชื่อมกบผลั หลังจากนั้นให้ตรวจวาเป็ นสัจนิรันดร์ ่ (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) →Q หากเป็ นสัจนิรันดร์แสดงวาการอ้างเหตุผลนี ่้สมเหตุสมผล (Valid) หาไม่เป็ นสัจนิรันดร์แสดงวาการอ้างเหตุผลนี ่้ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) 2. ให้เหตุทุกข้อเป็ นจริง (T) หาค่าความจริงและไปแทนในผล ถ้าผลเป็ นจริง (T)แสดงวา่สมเหตุสมผล ถ้าผลเป็ นเท็จ (F)แสดงวา่ ไม่สมเหตุสมผล 3. ใช้รูปแบบที่มีการพิสูจน์แล้ววาสมเหตุสมผล่

ประโยคเปิ ด “ประโยคเปิ ด” คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพ สัมพัทธ์แล้วประโยคเปิ ดนั้นจะเป็ นประพจน์ เช่น “เธอใส่เสื้อสีเขียว” เป็ นประโยคเปิ ด เพราะมีคําวา “เธอ” เป็ นตัวแปร ไม ่ ่ระบุวาใคร หากเปลี่ยนเป็ น “มาลีใส ่ ่ เสื้อสีเขียว” ประโยคนี้จะเป็ นประพจน์เพราะระบุตัวแปรเรียบร้อยแล้ว

ตัวบ่งปริมาณ ตัวบ่งปริมาณ คือ สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิ ด”แล้วจะทําให้ประโยคนั้น กลายเป็ นประพจน์ ประโยคเปิ ด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ติดค่าตัวแปรที่ยัง “ไม่รู้วาเป็ นจริงหรือเท็จ” ่ โดยตัวแปรนั้น เป็ นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์(Universe : U) ประโยคเปิ ด ยังไม่ใช่ประพจน์(แต่เกือบเป็ นแล้ว) เพราะเรายังไม่รู้วาเป็ นจริงหรือเท็จ ่ เช่น “x มากกวา่3”จะเห็นวาตัวแปร ่ คือx ซึ่งเราไม่รู้วา่ xคืออะไรและมากกวา่ 3จริงไหม ดังนั้น ข้อความ นี้ยังไม่เป็ นประพจน์ เราจะกาหนดให้ ํ P(x) เป็ นประโยคเปิ ดใดๆ เราสามารถทําประโยคเปิ ดให้เป็ น “ประพจน์”ได้2วิธีคือ 1. นําสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าตัวแปรลงไป เช่น x มากกวา่ 3โดยเอกภพสัมพัทธ์คือจํานวนเต็ม จะเห็นวา่ ถ้าเราให้xเท่ากบั 2(ซึ่ง2เป็ นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้วา่ ประโยค2 มากกวา่ 3เป็ น เท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็ นประพจน์ 2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่2 ชนิด คือ 2.1) ∀x(อ่านวา่ for all x) ใช้แทนคําวา่ “สําหรับ x ทุกตัว”คําที่มีความหมายเดียวกบั ∀x ที่เราเห็นกนบั ่อยๆ เช่น สําหรับ xใดๆ, สําหรับ xแต่ละตัว 2.2) ∃x(อ่านวา่ for somex)ใช้แทนคําวา่ “มีx บางตัว”คําที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน ∃x เช่น มีx อยางน้อย ่ 1 ตัว วิธีการเขียนตัวบ่งปริมาณ เราจะให้P(x)แทนประโยคเปิ ด เราจะใช้สัญลักษณ์∀xP(x)และ ∃xP(x) สมมติถ้าให้P(x)แทน x+2 ≥ 2และให้U ∈ เมื่อ เป็ นเซตของจํานวนจริง จะได้∀x[x+2 ≥ 2]อ่านวา่ สําหรับ x ทุกตัว ที่x+2 ≥ 2 และจะได้∃x[x+2 ≥ 2] อ่านวา่ มีx บางตัว ที่x+2 ≥ 2 **ค่าx ที่จะเอามาพิจารณาได้คือเลขใดกได้ที่เป็ นจํานวนจริง ็แต่!!!คาความจริงจะเป็ นจริงหรือเท็จนั ่้นกอีก็ เรื่องนะคะ** ตัวบ่งปริมาณกับตัวเชื่อม จากที่เรารู้กนวัา่ เราสามารถเชื่อมประพจน์สองประพจน์โดยใช้ตัวเชื่อมแล้วได้ประพจน์ใหม่ขึ้นมา เรื่องนี้ก็ เหมือนกนคั ่ะเราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณโดยใช้ตัวเชื่อมที่เคยเรียนมา มาดูตัวอยางก่ นเลยดีกว ัาค่ะ่

ตัวอย่างที่1 กําหนดให้U = เมื่อ เป็นเซตของจํานวนจริง P(x)แทน x เป็นจํานวนนับ Q(x)แทน x เป็นจํานวนจริง ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน • จํานวนนับทุกตัวเป็นจํานวนจริง • สําหรับ x ทุกตัวถ้า x เป็นจํานวนนับแล้วx เป็นจํานวนจริง • สําหรับ x ทุกตัวถ้า P(x )แล้ว Q(x ) • ∀x[P(x)→Q(x)] ตัวอย่างที่2 กําหนดให้ P(x)แทน x เป็นจํานวนตรรกยะ Q(x)แทน x เป็นจํานวนเฉพาะ ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน • “มี”จํานวนตรรกยะบางตัว“ไม่ใช่”จํานวนเฉพาะ • มีx บางตัวซึ่ง P(x)และ ∼Q(x) • ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] ตัวอย่างของการใช้∀ และ ∃ 1.) ให้P(x)แทน 2x ≥ 10และ U={1,3,5,7,9} ค่าx ที่สามารถแทนลงใน 2x ≥ 10คือสมาชิกทุกตัวใน U จากโจทย์จะได้วา่ ∃x[2x ≥ 10] หมายความวา่ มีx บางตัวที่ทําให้2x ≥ 10เป็ นจริง 2.) ให้P(x)แทน x²+2x–8=0 และ U ={-4,2} จากโจทย์จะได้วา่ ∀x[x²+2x–8=0] หมายความวา่ x ทุกตัวใน U ทําให้สมการx²+2x –8=0 เป็ นจริง ข้อความที่กาหนดให้ต ํ ่อไปนี้ใช้กบข้อที่ ั 3-5 P(x)แทน xเป็ นจํานวนเต็ม Q(x)แทน xเป็ นจํานวนตรรกยะ E(x)แทน xเป็ นจํานวนเต็มคู่

A(x)แทน x เป็ นจํานวนเต็มคี่ 3.)จากข้อความข้างต้นสามารถสรุปอะไรได้บ้าง • จํานวนเต็มทุกตัวเป็ นจํานวนตรรกยะ • จํานวนเต็มทุกตัวเป็ นจํานวนเต็มคู่หรือจํานวนเต็มคี่ 4.) นําคําตอบจากข้อ3 มาเขียนเป็ นสัญลักษณ์ • จํานวนเต็มทุกตัวเป็ นจํานวนตรรกยะ(หมายความวา่ สําหรับทุกxถ้าxเป็ นจํานวนเต็ม แล้วxเป็ นจํานวนตรรกยะ) สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ดังนี้∀x[P(x)→Q(x)] • จํานวนเต็มทุกตัวเป็ นจํานวนคู่หรือจํานวนคี่(หมายความวา่ สําหรับทุกxถ้าx เป็ นจํานวน เต็มแล้วxเป็ นจํานวนเต็มคู่หรือจํานวนเต็มคี่) สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ดังนี้∀x[P(x)→(E(x) ∨ A(x)) ] 5.) เขียนประโยคจากสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ ํ 1. ∃x[Q(x) ∧ P(x)] : มีx บางตัวที่เป็ นจํานวนตรรกยะและเป็ นจํานวนเต็ม 2. ∃x[E(x) ∧ ∼A(x)] : มีจํานวนเต็มคู่บางตัวซึ่งไม่เป็ นจํานวนเต็มคี่ ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ สําหรับ ∀ • ∀xP(x)จะมีค่าความจริงเป็ น จริงกต็ ่อเมื่อแทนค่าx ด้วยสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์ทุก ครั้งP(x)กยังเป็ นจริง ็ เช่น ให้P(x)แทน x²+2x–8=0 และเอกภพสัมพัทธ์(U)={-4,2} จากตัวอยางจะเห็นว ่า่ เมื่อเราแทน x ด้วย-4(ซึ่งเป็ นสามาชิกใน U)จะได้16–8– 8=0 ดังนั้น P(x)จริง เมื่อแทน x ด้วย2(ซึ่งเป็ นสมาชิกใน U)จะได้4+4 –8=0 ดังนั้น P(x)จริง ดังนั้น ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็ นจริง • ∀xP(x)จะมีค่าความจริงเป็ น เท็จกต็ ่อเมื่อ มีบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) เป็ นเท็จ เช่น ให้P(x)แทน 2x ≥ 10และ U={1,3,5,7,9} ถ้าเราแทนค่าx ด้วย5,7,9เห็นได้ชัดวา่ P(x) เป็ นจริง เมื่อเราลองแทน x ด้วย1จะเห็นวา่ 2(1) ≥ 10 เป็ นเท็จ ดังนั้นเราสรุปได้เลยวา่ ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็ นเท็จ สําหรับ ∃

• ∃xP(x)จะมีค่าความจริงเป็ นจริงกต็ ่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) แล้วทําให้เป็ นจริง (อาจจะมีแค่1 ตัว หรือทุกตัวกได้นะจ๊ะ) ็ เช่น ให้P(x)แทน 2x ≥ 10และ U={1,3,5,7,9} จะเห็นวา่ เมื่อแทนค่าx ด้วย5,7,9จะเห็นวา่ P(5)=2(5) ≥ 10,P(7)=2(7) ≥ 10และP(9)=2(9) ≥ 10 เป็ นจริง ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็ นจริง • ∃xP(x)จะมีค่าความจริงเป็ นเท็จกต็ ่อเมื่อแทนค่าสมาชิกใน U แล้วทําให้P(x) เป็ น “เท็จ ทุกกรณี” เช่น ให้P(x)แทน 2x ≤ 10และ U={5,7,9} จะเห็นวา่ เมื่อเราแทนค่าx ด้วย5,7, 9ลงใน 2x ≤ 10จะได้วา่ P(x) เป็ นเท็จทุกกรณี ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็ นเท็จ ค่าความจริงของ “ตัวบ่งปริมาณ”กรณีที่ประโยคเปิ ดมี2 ตัวแปร ในกรณีที่ประโยคเปิ ดมี2 ตัวแปรเราจะใช้สัญลักษณ์P(x,y)และเมื่อเราเติมตัวบ่งปริมาณลงไปแล้วจะได้ ประพจน์4 ประพจน์ที่เป็ นไปได้ดังนี้ ให้a∈ U 1. ∀x∀yP(x, y) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ นําสมาชิกa ทุกตัวของ U มาแทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นจริง เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ มีa บางตัวของ U แทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นเท็จ 2.∃x∃yP(x,y) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ มีa บางตัวของ U ที่แทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นจริง เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ นําสมาชิกa ทุกตัวของ U มาแทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นเท็จ 3.∀x∃yP(x,y) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ นําสมาชิกa ทุกตัวของ U มาแทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นเป็นจริง เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ มีa บางตัวของ U ที่แทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นเท็จ 4.∃x∀yP(x,y) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ มีa บางตัวของ U แทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นจริง เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ นําสมาชิกa ทุกตัวของ U มาแทนค่าใน xแล้วทําให้ P(a, y) เป็นเท็จ

ถ้าน้องๆอ่านแล้วยังงงๆเราลองมาดูตัวอยางก่นคั ่ะ ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้วาเป็ นจริงหรือเท็จ ่ ให้U เป็ นเซตของจํานวนเต็ม 1.) ∀x[x ≠ x²] แนวคําตอบ เป็ นเท็จเพราะเมื่อแทน x=1จะเห็นวา่ 1=1² 2.) ∃x[x² ≥ 0] แนวคําตอบ เป็ นจริง เพราะเมื่อเราลองแทนค่า x=1จะเห็นวา่ 1² ≥ 0 (∃ : เป็ นจริงแค่กรณีเดียวกถือว ็า่ ประพจน์เป็ นจริงแล้ว) 3.) ∃x[x+2=x] แนวคําตอบ เป็ นเท็จเพราะในระบบจํานวนจริงนั้น มีแค่x+0=x ดังนั้น จึงไม่มีx ที่ทําให้x+2=0 พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้วาเป็ นจริงหรือเท็จ ่ ให้U ={-1, 0,1} 1.) ∀x∀y[x²–y=y² –x] (หมายความวา่ x ทุกตัว ทําให้y ทุกตัวเป็ นจริง) แนวคําตอบ เป็ นเท็จเพราะเมื่อแทน x=-1และy=1จะได้(-1)²- 1=1²–(-1) ⇒ 1 –1 =1+1 ⇒ 0= 1(เป็ นเท็จ) **∀ : เป็ นเท็จแค่กรณีเดียวกถือว ็ าเป็ นประพจน์นั ่้นเป็ นเท็จ วิธีคิดอยางละเอียด ่

แต่สําหรับคนที่เชี่ยวชาญแล้ว เพื่อเป็ นการประหยัดเวลา ให้เราลองคิดวากรณีไหนบ้างที่จะทําให้เป็ นเท็จ แล้วลองแทนค ่ ่า x y แค่กรณีนั้นกพอ ถ้าได้คําตอบออกมาเป็ นเท็จจริงก ็ ็สามารถสรุปได้เลย 2.) ∀x∃y[x² – y = y² – x] (หมายความวา่ x ทุกตัว ทําให้y บางตัวเป็ นจริง) แนวคําตอบ เป็ นจริง เพราะเมื่อแทน -1, 0 และ 1 ใน x แล้วจะได้

จะเห็นวามีสมาชิกบางตัวของ ่ U ที่เมื่อแทนค่าลงใน y แล้วเป็ นจริง 3.) ∃x∀y[x² – y ≠ y² – x] (หมายความวา่ มีx บางตัว ที่ทําให้y ทุกตัวเป็ นจริง) แนวคําตอบ เป็ นเท็จเพราะ

4.) ∃x∃y[2x+1 ≤ y] (หมายความวา่ มีx บางตัว ที่ทําให้y บางตัวเป็ นจริง) แนวคําตอบ เป็ นจริงเพราะเมื่อลองแทน x=-1และy=1จะได้2(-1)+1 ≤ 1 ⇒ -2+1 ≤ 1 ⇒ -1 ≤ 1 (เป็ นจริง) สรุป 1. ตัวบ่งปริมาณ มี2 ชนิด คือ ∀ (ทุกตัว) ∃ (บางตัว) 2. เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ประพจน์ได้โดยใช้ตัวเชื่อมของประพจน์ 3. กรณี1 ตัวแปรการหาค่าความจริงจะไม่ซับซ้อนมาก 4. กรณี2 ตัวแปรการหาค่าความจริงค่อนข้างซับซ้อน ให้แทนค่าใน xก่อน แล้วค่อยแทนค่า ใน y ทีหลัง 5. แน่นอนคะ่ อะไรที่ง่ายๆ จะไม่ค่อยออกสอบ(แต่กไม็ ่ได้แปลวาจะไม ่ ่ออกนะคะ) ดังนั้ น ให้ ศึกษากรณี2 ตัวแปรให้เยอะๆนะคะเพราะถ้าทํา 2 ตัวแปรได้1 ตัวแปรกคงชิลๆแล้วค ็ ่ะ

ผ้จัดทํา ู นายกฤตภัคณวัฒน์ จาคํามา เลขที่ 7 ม.5/4 นายกษิดิษ อุ่นอําไพ เลขที่ 8 ม.5/4 นายธนวัฒน์ ธนกิจปิ ยะรัตน์ เลขที่ 9 ม.5/4 เสนอโดย คุณครู สหัสชัย โผดนอก โรงเรียนมัธยมบ้านบางกะปิ เขตบางกะปิ กรุงเทพมหานคร